Matemática financeira Módulo 5

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14/08/2018 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
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 1-Conceitos Básicos-Fórmulas
 
O juro composto é o critério de cálculo do juro mais justo e mais aplicado em todo
o território nacional.
 
Diferentemente da capitalização simples, no sistema de capitalização composta,
os juros são calculados sempre com base no montante acumulado no final do
período anterior. Com isso, o crescimento do montante pode ser representado
graficamente por uma curva exponencial, enquanto que na capitalização simples,
o montante cresce linearmente. Pode-se dizer que a capitalização composta é
como uma capitalização simples, só que calculada período por período.
Lembrando que na capitalização simples o montante é dado por: M = C.(1+i.n),
vamos chamar de M1 o montante ao final do primeiro período:
M1 = C.(1+i.1) → M1 = C.(1+i)
No segundo período, o juro será calculado sobre M1. Assim, temos:
M2 = M1.(1+i.1) → M2 = C.(1+i).(1+i) → M2 = C.(1+i)2
No terceiro período, o juro será calculado sobre M2. Assim, temos:
M3 = M2.(1+i.1) → M3 = C.(1+i)2.(1+i) → M3 = C.(1+i)3
E assim sucessivamente. O montante ao final de n períodos é: Mn = C.(1+i)n
 
Para o cálculo do juro composto, podemos aplicar a própria definição de
montante:
M = C + J
 J = M – C = C.(1 + i)n – C
 
Colocando o fator comum C em evidência, teremos:
 
J = C .[(1 + i)n– 1]
 
A maioria das aplicações a juros compostos será calculada através da fórmula do
montante, ficando a fórmula do juro em segundo plano.
 
 
Exemplo: Calcule o montante de um capital de R$ 1.000,00, aplicado a juros
compostos de 5% ao mês, durante dez meses.
 
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
C = 1000
i = 5% = 5/100 = 0,05
n = 10
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Repare que podemos aplicar diretamente a fórmula do montante composto, pois a
taxa de juros e o prazo estão na mesma unidade de medida de tempo:
M = C.(1 + i)n
Substituindo os valores temos:
M = 1000 . (1 + 0,05 )10
M = R$ 1.628,89
 
Sugestão de cálculo:
 
Calculadora RPN (HP12C):
f FIN
1000 CHS PV
5 i
10 n
FV
 
2-Valor atual (A) e Valor nominal (N)
Em cada área financeira específica a nomenclatura tem suas características
próprias.
No caso do cálculo de dívidas, as denominações “capital” e “montante” são
substituídas por “atual” e “nominal”.
Definimos o valor atual como o valor da dívida em uma data anterior à sua data
de vencimento e o valor nominal como seu valor na própria data de vencimento.
O nominal é um valor associado à idéia de valor futuro, de montante, pois agrega
o principal e o juro da dívida.
Cada dívida tem uma única data de vencimento e, portanto, um único valor
nominal. Em correspondência, como existe, normalmente, um prazo para o
vencimento da dívida, esta pode apresentar muitos valores atuais.
 Conceitualmente podemos dizer que todos os valores atuais de uma dívida terão
como montante o mesmo valor nominal, no prazo de antecipação (tempo que vai
da data de pagamento antecipado até a data do vencimento).
Nem sempre a taxa do cálculo original da dívida é a mesma para todos os valores
atuais. A taxa de juros pode mudar de acordo com as características do mercado
ou da legislação.
 
Operacionalmente, substituindo na fórmula do montante M por N e P por A,
podemos escrever:
 
 N = A.(1 + i)n ou A =
N/(1 + i)n
 
 
Exemplo: Calcule o valor nominal de uma dívida cujo valor atual, cinco meses
antes do vencimento, é de R$5.000,00, sabendo que esse cálculo foi feito a juros
compostos de 3% ao mês.
 
 Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
A = 5000
i = 3% = 3/100 = 0,03
n = 5
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Repare que podemos aplicar diretamente a fórmula do valor nominal composto,
pois a taxa de juros e o prazo estão na mesma unidade de medida de tempo:
N = A.(1 + i)n
Substituindo os valores temos:
N = 5000 . (1 + 0,03 )5
N = R$ 5.796,37
 
Sugestão de cálculo:
f FIN
5000 CHS PV
3 i
5 n
FV
 
Exercício 1:
Uma indústria financia seu capital de giro em um banco que cobra juros compostos de 5% ao
mês. Podemos afirmar que, para um capital de R$10.000,00 essa indústria pagará, em um
prazo de seis meses, um juro de:
 
A)
R$13.400,96
 
B)
R$3.400,96
 
C)
R$6.599,04
 
D)
R$10.304,96
 
E)
R$12.400,96
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) GGGGGGGGGG 
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Exercício 2:
 Do que restou do seu décimo terceiro salário, um professor aplicou R$1.000,00
em uma instituição financeira que paga juros compostos de 2% ao mês.
Efetuando os cálculos, determinamos que o montante que esse professor receberá
ao final de cinco meses será:
 
A)
R$1.000,08
 
B)
R$2.104,08
 
C)
R$1.104,08
 
D)
R$1.108,04
 
E)
R$3.108,04
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
D) DDDDDDDDDDD 
E) DDDDDDDDDDD 
A) DDDDDDDDDDD 
B) DDDDDDDDDDD 
C) DDDDDDDDDDD 
Exercício 3:
Um capital qualquer deverá render de juros compostos 20% do seu valor em cinco meses, se
for aplicado à taxa de:
 
A)
3,71% ao ano
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B)
3,71% ao mês
 
C)
7,31% ao mês
 
D)
7,31% ao ano
 
E)
5,71% ao mês
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
D) FFFFFFFFF 
E) FFFFFFFFF 
A) FFFFFFFFF 
B) FFFFFFFFF 
Exercício 4:
 O capital que devo aplicar hoje em uma instituição que remunera as aplicações à
taxa de juros compostos de 4% ao mês para ter R$ 5.000,00 de montante daqui
a dez meses será de:
 
A)
R$377,82
 
B)
R$4.377,82
 
C)
R$2.377,82
 
D)
R$3.377,82
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E)
R$3.777,82
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) FFFFFFFFFFFF 
B) FFFFFFFFFFFF 
C) FFFFFFFFFFFF 
D) FFFFFFFFFFFF 
Exercício 5:
 Podemos afirmar que valor dos juros recebidos por um investidor que aplicou
R$5.000,00 à taxa composta de 4% ao mês durante 11 meses foi de:
 
A)
R$697,27
 
B)
R$1.697,27
 
C)
R$3.697,27
 
D)
R$967,27
 
E)
R$2.697,27
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) FFFFFFFFF 
B) FFFFFFFFF 
C) FFFFFFFFF 
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D) FFFFFFFFF 
E) FFFFFFFFF 
Exercício 6:
 Um investidor aplicou R$40.000,00 a juros compostos, recebendo um
montante de R$51.200,00 depois de três meses. Sabendo que nos dois primeiros
meses as taxas de juros da aplicação foram 5% e 6% respectivamente, podemos
afirmar que a taxa referente ao último mês da aplicação foi:
 
A)
1,5%
 
B)
150%
 
C)
15%
 
D)
20%
 
E)
13%
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) FFFFFFFFF 
B) FFFFFFFFF 
D) FFFFFFFFF 
E) FFFFFFFFF 
C) FFFFFFFFF 
Exercício 7:
 Um cliente deve R$1.000,00 a uma instituição financeira e declaraque somente
poderá pagá-la ao final de três anos. Sabendo que a financeira concorda, mas
para não perder o poder aquisitivo de seu ativo, propõe-lhe uma taxa de juros
compostos de 1,5% ao mês para corrigir o valor da dívida, podemos afirmar que
o montante composto pago pelo cliente ao final desse prazo foi:
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A)
R$709,14
 
B)
R$2.709,14
 
C)
R$3.709,14
 
D)
R$1.709,14
 
E)
R$907,14
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
D) VVVVVV 
Exercício 8:
Qual o valor do capital que, aplicado à taxa de juro composto de 10% ao ano, gera um montante de R$6.655,00
ao final de três anos?
 
A)
R$5.000,00
 
B)
R$4.500,00
 
C)
R$5.500,00
 
D)
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R$4.750,00
 
E)
R$6.000,00
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
E) VVVVVVVVV 
A) VVVVVVVVV