P1-Calculo 2B 2018 2 Pedro Roberto Turma G

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Universidade Federal Fluminense – GMA
VE1 – Ca´lculo 2B – Turma G1 – 04/10/2018
Prof. Pedro Roberto de Lima
NOME:
QUESTA˜O VALOR NOTA
1 2,00
2 1,25
3 4,00
4 1,25
5 1,50
TOTAL: 10,00 NOTA
Instruc¸o˜es:
• A prova tem durac¸a˜o de 1h50min, so´ pode ser entregue apo´s
45min do inı´cio e deve conter justificativas para todas as res-
postas.
• Durante a prova, e´ proibido: (i) sair da sala, (ii) comunicar-
se com os colegas e (iii) usar e/ou portar quaisquer tipos
de materiais e/ou dispositivos, incluindo livros, apostilas,
anotac¸o˜es, calculadoras, celulares, smartphones e tablets.
QUESTO˜ES
1. [2,00] Nos casos possı´veis, fac¸a a associac¸a˜o do con-
junto descrito com sua representac¸a˜o geome´trica as-
sinalando entre pareˆnteses o nu´mero correspondente.
(a) [0,20] ( ) Conjunto definido explicitamente por
f(x, y) = x2 + y2.
(b) [0,20] ( ) Conjunto definido explicitamente por
f(x, y) =
√
x2 + y2.
(c) [0,20] ( ) Gra´fico de f(x) =
√
1− x2.
(d) [0,20] ( ) Gra´fico de f(x, y, z) = z2 − x2 − y2.
(e) [0,20] ( ) Conjunto definido parametricamente
por f(x, y) = (x, y, x2 + y2).
(f) [0,20] ( ) Conjunto definido parametricamente
por f(u, v) = (u cos(v), u sin(v), u2).
(g) [0,20] ( ) Conjunto definido parametricamente
por f(t) = (cos(t), sin(t)).
(h) [0,20] ( ) Conjunto definido implicitamente por
f(x, y, z) = z− x2 − y2.
(i) [0,20] ( ) Conjunto de nı´vel de f(x, y, z) = z2 −
x2 − y2.
(j) [0,20] ( ) Conjunto de nı´vel de f(x, y) = x2+y2.
2. [1,25] Mostre que o limite abaixo na˜o existe.
lim
(x,y,z)→(0,0,0)
x2y2z2
x6 + y6 + z6
3. [4,00] Considere a func¸a˜o
f(x, y) =

x3y3
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0).
(a) [1,25] Mostre que f e´ contı´nua no ponto (0, 0).
(b) [0,50] Determine as derivadas parciais ∂f
∂x
(x, y) e
∂f
∂y
(x, y) nos pontos (x, y) 6= (0, 0).
(c) [0,50] Determine ∂f
∂x
(0, 0) e ∂f
∂y
(0, 0).
(d) [0,50] Determine se f e´ diferencia´vel no ponto
(0, 0).
(e) [1,25] Determine a equac¸a˜o do plano tangente
ao gra´fico de f que passa pelo ponto (1, 1, 1
2
).
4. [1,25] Considere a func¸a˜o f(x, y, z) = 3
√
xyz, que pos-
sui derivadas parciais dadas por
∂f
∂x
=
yz
3(xyz)2/3
,
∂f
∂y
=
xz
3(xyz)2/3
,
∂f
∂z
=
xy
3(xyz)2/3
.
(a) [1,00] Determine a func¸a˜o afim que fornece
aproximac¸o˜es para os valores de f(x, y, z)
quando x, y e z esta˜o todos pro´ximos de 2.
(b) [0,25] Utilizando o item anterior, determine uma
aproximac¸a˜o para o nu´mero 3
√
2.01× 2.02× 2.03.
5. [1,50] Seja f : R3 → R uma func¸a˜o diferencia´vel tal
que f(0, 0, 0) = 3 e
∂f
∂x
(0, 0, 0) = 2,
∂f
∂y
(0, 0, 0) = 0,
∂f
∂z
(0, 0, 0) = 0.
(a) [0,75] Considerando a func¸a˜o w(u, v) definida
por w = f(x, y, z), onde x = u − v, y = u2 − 1
e z = 3v− 3, determine ∂w
∂u
quando u = v = 1.
(b) [0,75] Considerando a func¸a˜o g(t) = (t, t2, t3),
determine a matriz jacobiana da func¸a˜o com-
posta g ◦ f no ponto (0, 0, 0).