PROVA CÁLCULO NUMÉRICO AVA II

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Disciplina: Cálculo Numérico 
Avaliação: Avaliação II - Individual 
 
Nota da Prova: 7,00 
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada 
1. Em matemática, denomina-se interpolação linear o método de interpolação que se utiliza de 
uma função linear f(x) (um polinômio de primeiro grau) para representar, por aproximação, 
uma suposta função f(x), que originalmente representaria as imagens de um intervalo 
descontínuo contido no domínio de f(x). Portanto, pela interpolação linear é possível 
determinar o valor da função para um ponto intermediário entre dois pontos distintos. 
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta um enunciado coerente com este contexto: 
 a) Seja y = f(x) definida pelos pontos (2,4) e (4,5). Determine aproximadamente o valor de 
f(5). 
 b) Seja y = f(x) definida pelos pontos (0,1) e (2,9). Determine aproximadamente o valor de 
f(1). 
 c) Seja y = f(x) definida pelos pontos (1,3) e (2,9). Determine aproximadamente o valor de 
f(3). 
 d) Seja y = f(x) definida pelos pontos (0,1) e (1,2). Determine aproximadamente o valor de 
f(7). 
 
2. Uma das aplicações da interpolação é a de aproximação de funções complexas para 
funções mais fáceis. Suponha que tenhamos uma função, e que seja muito mais difícil para 
avaliar da forma em que se encontra. Podemos, então, escolher alguns valores referência 
da função antiga e tentar interpolar estes dados para construir uma função mais fácil. O que 
significa interpolar? 
 a) Aproximar uma função por meio de uma outra função, geralmente polinomial. 
 b) É um modo de utilizar a regra dos trapézios quando o número de dados é elevado. 
 c) Representar as equações lineares no plano cartesiano quando as incógnitas se acham 
igualmente relacionadas à mesma função. 
 d) Resolver a integral quando o intervalo for constante em relação à variável. 
 
3. Interpolação linear é uma ramificação da matemática que se caracteriza por uma função 
linear (polinômio de primeiro grau), a qual representa em resultados aproximados uma 
função f(x). Considerando a tabela a seguir e utilizando a interpolação linear, qual o valor 
estimado de f(0,25)? 
 
 a) f(0,25) = 2,5 
 b) f(0,25) = 0,75 
 c) f(0,25) = 0,5 
 d) f(0,25) = 2,75 
Anexos: 
CN - Interpolacao de Lagrange2 
CN - Regressao Linear2 
 
4. O método de Newton ou também chamada de Newton-Rapson é usado para determinar os 
zeros de uma função. Considerando uma função f do quinto grau, sabemos que essa 
função tem no máximo 5 raízes, se uma delas está no intervalo fechado [0, 1], encontre 
essa raiz a partir de x = 0,8 usando o método de Newton com uma precisão de 0,01. 
Lembre-se de usar apenas 3 casas decimais e considere a função: 
 
 a) 0,525. 
 b) 0,5. 
 c) 0,502. 
 d) 0,04. 
 
5. O método de Lagrange é um dos métodos de interpolação linear que estudamos. Neste 
sentido, e com base na tabela a seguir, determine para a função f(x) = ln x o valor de: 
 
 a) - x² + 4x - 3 
 b) - x² + 2x - 5 
 c) 0,5x² - 2,5x + 3 
 d) 0,5x² - 1,5x + 1 
Anexos: 
CN - Interpolacao de Lagrange2 
CN - Regressao Linear2 
 
6. Para destacar a importância de trabalhar com sistemas de equações não lineares, vamos 
levantar a situação em que existe a necessidade de realizar a análise do comportamento de 
um regime permanente do circuito não linear, quando os valores de tensão através dos 
resistores podem ser obtidos através da resolução de um sistema de equações não 
lineares, e o problema se reduz a encontrar uma raiz para o sistema de equações. Uma 
segunda situação permite mencionar que, no sistema aéreo, os controladores de voo 
trabalham com radares e, quando dois destes radares estão localizados em posições 
conhecidas, eles podem determinar a distância de suas localizações até uma aeronave que 
está se aproximando dentro do espaço aéreo. Neste caso, também temos um sistema de 
equações não lineares, e a solução está em calcular o valor das raízes das equações. 
Assim, efetue os seguintes cálculos: 
 
Dado o sistema de equações não lineares: 
 
 a) As derivadas parciais das duas funções que compõem o sistema apresentam ponto de 
descontinuidade. 
 b) O Método de Newton é apropriado para calcular o erro relativo das variáveis com 
referência às raízes de ambas as funções. 
 c) No sistema, as variáveis x e y assumem o mesmo valor. 
 d) As duas funções que compõem o sistema apresentam ponto de descontinuidade. 
 
7. Ao estudar matemática financeira, o professor de Luiz comentou que para determinar o 
prazo em um financiamento no sistema Price é necessário utilizar um método numérico. O 
professor de Luiz passou o seguinte problema: suponha que um financiamento no sistema 
Price no valor de R$ 20.000,00 está aplicado a uma taxa de 2% ao mês e o valor de cada 
parcela seja de R$ 609,05, determine o prazo desse financiamento. Luiz, lembrando o que 
seu professor falou em sala, resolveu usar o Método da Bissecção para encontrar o prazo. 
Luiz fez as seguintes anotações: 
 
 a) 52,5 e 53,75. 
 b) 53,75 e 54,0625. 
 c) 53,75 e 54,375. 
 d) 55 e 52,5. 
 
8. As expressões algébricas que se formam a partir da união de duas ou mais variáveis e 
constantes, relacionadas através de operações de multiplicação, subtração ou adição, 
recebem o nome de polinômios. Dado o polinômio P (x) = 0,5x² - 4x -1, determine o seu 
valor para x igual a 0,5. 
 a) O valor do polinômio é 2,125. 
 b) O valor do polinômio é 2,375. 
 c) O valor do polinômio é -1,875. 
 d) O valor do polinômio é -2,875. 
 
9. Determinar raízes de polinômios por vezes não é simples se pensarmos em polinômios de 
grau maior que 3, para polinômio de grau 1 basta isolar a variável independente, polinômios 
de grau dois usamos Bhaskara. São métodos interativos que na maioria das vezes usamos 
para determinar raízes de polinômios de grau maior e igual a 3, mas para entendê-los 
precisamos compreender as características dos polinômios. Sobre o exposto, analise as 
sentenças a seguir: 
 
I- Todo polinômio de grau maior que 1 tem pelo menos uma raiz real. 
II- Se o polinômio tem grau impar, então ele tem pelo menos uma raiz real. 
III- Se um polinômio de grau n tem n - 1 raízes, então uma das raízes tem multiplicidade 2. 
IV- Se um polinômio de grau n tem todas n raízes distintas, então ele pode ser reescrito da 
seguinte forma: 
 
 a) IV. 
 b) III. 
 c) II. 
 d) I. 
 
10. Uma equação não linear é uma equação que contenha termos da forma x², x³, termos com 
raiz entre outros. Um sistema de equações é dito não linear se pelo menos uma das 
equações não é linear. Para resolver um sistema não linear, usamos processos interativos. 
Considere o sistema linear: 
f(x,y)=0 
g(x,y)=0 
onde, f ou g são funções não lineares. Com relação aos processos interativos usados para 
encontrar a solução dos sistemas não lineares, analise as sentenças a seguir: 
 
I- Para aplicar o método da Interação Linear, precisamos encontrar as funções F e G 
(chamadas de funções de interação) que satisfazem F(x,y) = x e G(x,y) = y de tal forma que 
sejam contínuas e suas derivadas parciais também são contínuas. 
II- Para aplicar o método de Newton, temos que considerar que f e g sejam contínuas, mas 
não é necessário que suas derivadas primeiras e segundas sejam também contínuas. 
III- Para o método de Interação Linear, podemos considerar qualquer ponto inicial (x0, y0), 
não é preciso estar próximo da solução. 
IV- Para o método de Newton, temos que considerar o ponto inicial (x0, y0) próximo da 
solução. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) II e IV. 
 b) I e IV. 
 c) II e III. 
 d) I e III.