3. (UnB-1º2013) Se α e β são as raízes positiva e negativa, respectivamente, do polinômio f(x) = x2 - x - 1, então α3 – β3 = √5 F3.

Para resolver a questão, primeiro precisamos encontrar as raízes do polinômio \( f(x) = x^2 - x - 1 \). Usamos a fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Aqui, \( a = 1 \), \( b = -1 \) e \( c = -1 \). Calculando o discriminante: \[ b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5 \] Agora, substituindo na fórmula: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \] Assim, as raízes são: \[ \alpha = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \quad \text{(raiz positiva)} \] \[ \beta = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \quad \text{(raiz negativa)} \] Agora, precisamos calcular \( \alpha^3 - \beta^3 \). Usamos a identidade: \[ \alpha^3 - \beta^3 = (\alpha - \beta)(\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2) \] Primeiro, calculamos \( \alpha - \beta \): \[ \alpha - \beta = \sqrt{5} \] Agora, precisamos de \( \alpha^2 + \beta^2 \) e \( \alpha\beta \). Sabemos que: \[ \alpha + \beta = 1 \quad \text{e} \quad \alpha\beta = -1 \] Portanto: \[ \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 1^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3 \] Agora, substituindo na identidade: \[ \alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2 = \alpha^2 + \beta^2 + \alpha\beta = 3 - 1 = 2 \] Finalmente, substituindo tudo na expressão de \( \alpha^3 - \beta^3 \): \[ \alpha^3 - \beta^3 = (\sqrt{5})(2) = 2\sqrt{5} \] A questão afirma que \( \alpha^3 - \beta^3 = \sqrt{5} F_3 \). Sabemos que \( F_3 = 2 \) (termo de Fibonacci). Portanto: \[ \alpha^3 - \beta^3 = \sqrt{5} \cdot 2 = 2\sqrt{5} \] Assim, a afirmação está correta.