GRÁFICO DE FUNÇÃO QUADRATICA_2018-1

Prévia do material em texto

Página 1 de 7 
 
Texto de apoio à disciplina Pré-Cálculo 
Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
A função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0, 𝑥 ∈ ℝ é chamada de FUNÇÃO QUADRÁTICA. 
O GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Vamos ver que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Vamos estudar o 
“método de completar o quadrado” para obter o gráfico de função quadrática. Esse método é 
aplicável em qualquer tipo de parábola, tendo interseção com o eixo 𝑥 ou não tendo interseção 
com o eixo 𝑥. 
Sabemos da Geometria Analítica que a equação 𝑦 = 𝑎𝑥2 representa uma parábola com 
vértice na origem e eixo de simetria coincidente com o eixo 𝑦. 
Além disso, 
▪ quando 𝑎 > 0, sabemos que a concavidade da parábola é voltada para cima. 
▪ Quando 𝑎 < 0, sabemos que a concavidade da parábola é voltada para baixo. 
Podemos completar o quadrado na expressão 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 da equação 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 e 
encontrar valores para ℎ e 𝑘 de forma a reescrever a expressão, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘. 
Assim, 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 equivale a 𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘, que por sua vez equivale a 
𝑦 − 𝑘 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2. 
A equação acima é chamada de forma canônica da equação de uma parábola. Essa parábola é 
uma translação da parábola de equação 𝑦 = 𝑎𝑥2, ou seja, é uma parábola cujo vértice é 𝑉(ℎ, 𝑘) e, 
além disso, a concavidade é para cima quando 
0a
 e para baixo quando 
0a
. 
Por analogia, 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘 é chamada de forma canônica da função quadrática 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 e o gráfico da função quadrática é uma parábola de vértice 𝑉(ℎ, 𝑘), e, além 
disso, a concavidade é para cima quando 𝑎 > 0 e para baixo quando 𝑎 < 0. 
 
Exemplos: 
1. Queremos esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 + 40𝑥 + 90. 
Vamos identificar a parábola de equação 
90404 2  xxy
. 
Página 2 de 7 
 
Completando o quadrado dessa expressão: 
       902525524905249010490404 2222 xxxxxxxxy
 
      105490100549025425524 222  xxxx
. 
Assim, 
   222 54)10(105490404  xyxyxxy
 
Essa equação representa uma parábola de vértice 𝑉(−5, −10), com 
concavidade voltada para cima. 
A parábola que representa o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 + 40𝑥 + 90 
está desenhada na figura ao lado. 
 
 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2. Queremos esboçar o gráfico da função 𝑔(𝑥) = −𝑥2 − 3𝑥 +
27
4
. 
Vamos identificar a parábola de equação 
4
272 3  xxy
. 
Completando o quadrado dessa expressão: 
      
4
27
4
9
4
9
2
32
4
27
2
32
4
272
4
272 2233 xxxxxxxxy
 
         2
2
32
2
3
4
362
2
3
4
27
4
9
4
9
2
32 992  xxxxx
. 
 
Assim, 
   2
2
32
2
3
4
272 993  xyxyxxy
. 
Essa equação representa uma parábola de vértice 𝑉 (−
3
2
, 9) e como 
1a
, a parábola tem 
concavidade voltada para baixo. 
 
A parábola que representa o gráfico da função 𝑔(𝑥) = −𝑥2 − 3𝑥 +
27
4
 
está desenhada na figura ao lado. 
 
 
Página 3 de 7 
 
O TRINÔMIO DE SEGUNDO GRAU 
Daqui em diante o objetivo será justificar os principais resultados do trinômio do segundo grau, 
tão conhecidos. Para deduzir esses resultados será aplicado o “método de completar o quadrado”. 
Atenção, não será cobrado em nenhuma avaliação ou atividade de Pré-Cálculo as deduções a 
seguir. O importante é o aluno conhecer os principais resultados. 
 
DEDUÇÃO DAS SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU 
As soluções da equação: 
02  cbxax
, 𝑎, 𝑏, 𝑐 constantes reais, 
0a
, 
lRx
. 
De acordo com o que foi visto anteriormente, ao completar o quadrado no trinômio de grau 2 
cbxax 2
, 
0a
, obtemos: 
    00
4
42
2
2 2
a
acb
a
bxacbxax
 
    2
22
4
42
24
42
2 a
acb
a
b
a
acb
a
b xxa  
. 
 
Para que essa equação tenha solução é preciso que 
02
2
4
4 
a
acb
, porque sabemos que 
  02
2

a
bx
. 
Mas, como 
04 2 a
, para que essa equação tenha solução é preciso que 
042  acb
. 
Quando há solução, temos dois casos a considerar: 
042  acb
 ou 
042  acb
. 
• Quando 
042  acb
, resolvendo a equação, temos que: 
 
a
b
a
b
a
b xxx
22
2
2
00 
. 
• Quando 
042  acb
, resolvendo a equação, temos que: 
   
2
2
4
42
2 a
acb
a
bx
 
 
2
2
4
4
2 a
acb
a
bx
 
 
2
2
4
4
2
a
acb
a
bx
 
 
2
2
2
4
2
a
acb
a
bx
 
||2
4
2
2
a
acb
a
bx 
 
Quando
0a
, 
a
acbb
a
acb
a
b
a
acb
a
b xxx
2
4
2
4
22
4
2
222  
 
Quando
0a
, 
a
acbb
a
acb
a
b
a
acb
a
b xxx
2
4
2
4
22
4
2
222 

  
. 
 
Página 4 de 7 
 
Resumindo, 
▪ Se 
042  acb
 então a equação 
02  cbxax
 não tem solução. 
• Se 
042  acb
 então a equação 
02  cbxax
 tem uma única solução: 
a
bx
2

. 
• Se 
042  acb
 então a equação 
02  cbxax
 tem duas soluções: 
a
acbbx
2
42
. 
Observação: 
Quando 
042  acb
, temos que 
a
b
a
b
a
acbbx
22
0
2
42  
, e assim a equação 
02  cbxax
, tem duas soluções iguais. 
Quando 
042  acb
, temos que a equação 
02  cbxax
, tem duas soluções diferentes, 
que são: 
a
acbb
x
2
42
 e 
a
acbb
x
2
42
. 
Podemos dizer que a equação 
02  cbxax
 tem solução se e só se 
042  acb
. 
 
DEDUÇÃO DA FATORAÇÃO DO TRINÔMIO DO SEGUNDO GRAU 
▪ Afirmação 1: 
Se 
1x
 e 
2x
 são as raízes da equação 
02  cbxax
 então 
  21
2 xxxxacbxax 
. 
Vamos verificar que essa afirmação é de fato verdadeira. 
Se 
1x
 e 
2x
 são as raízes da equação 
02  cbxax
 então 
a
acbbx
2
4
1
2 
 e 
a
acbbx
2
4
2
2 
. 
Substituindo esses valores de 
1x
 e 
2x
 em 
  21 xxxxa 
, obtemos: 
   























 
a
acb
a
b
a
acb
a
b
a
acbb
a
acbb xxaxxaxxxxa
2
4
22
4
22
4
2
4
21
2222
 
      


























 
2
2
42
22
4
22
4
2
222
a
acb
a
b
a
acb
a
b
a
acb
a
b xaxxa
 
      cbxaxxxaxxaxxa
a
c
a
b
a
ac
a
b
a
b
a
b
a
acb
a
b
a
b 




   22
4
4
44
2
4
42
22
2
22
2
2
2
2
2
2
. 
 
Observação: 
Esta demonstração vale, ainda se 
042  acb
, quando temos 
a
b
xx
2
21 
. Vale notar 
que se 
042  acb
, então 
a
b
c
4
2

. 
 
Página 5 de 7 
 
▪ Afirmação 2: 
Se a equação 
02  cbxax
 não possui solução, um dos dois casos é verdadeiro: 
(i) 
0a
, e neste caso temos que 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 para todo 
lRx
 
ou 
(ii) 
0a
 e neste caso temos que 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 para todo 
lRx
. 
Justificativa: 
Ao completar o quadrado, vimos que 
    2224 4
2
24
42
2
2
a
acb
a
b
a
acb
a
b xaxacbxax  
, ou 
seja, 
  224 4
2
2
2
a
acb
a
bxacbxax 
. 
Vamos verificar que se a equação não possui solução, então 
  02
2
4
42
2
 
a
acb
a
bx
 para todo 
lRx
. 
Sabemos que: 
✓ 
  02
2

a
bx
, para todo 
lRx
. 
✓ quando a equação não possui solução e 
0a
, então 
04 2 a
 e 
042  acb
, donde 
02
2
4
4  
a
acb
. 
Logo, sendo 
  02
2

a
bx
 e 
02
2
4
4  
a
acb
 então 
  02
2
4
42
2
 
a
acb
a
bx
. 
Como 
  224 4
2
2
2
a
acb
a
bxacbxax 
, concluímos que o sinal de 
cbxax 2
 só depende do 
sinal de a. 
 
Aplicação da Fatoração: ANÁLISE DO SINAL DO TRINÔMIO DO SEGUNDO GRAU 
A análise de sinal de 
cbxaxxE  2)(
. 
▪ Se a equação 
cbxaxxE  2)(
 possui duas raízes distintas: 
Considerando que as raízes são 
1x
 e 
2x
, 
21 xx 
, podemos considerar, sem perda de generalidade 
que, 
21 xx 
. 
Pela afirmação 1 anterior, 
  21
2 xxxxacbxax 
 
Logo, quando 
0a
 
 
1xx 
 
1xx 
 
21 xxx 
 
2xx 
 
 xx2
 
A 

 

 

 

 

 
1xx
 

 0 

 

 

 
2xx
 

 

 

 0 

 
  21
2 xxxxacbxax 
 

 0 

 0 

 
Página 6 de 7 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, quando 
0a
 
 1xx 
 
1xx 
 
21 xxx 
 
2xx 
 
 xx2
 
a 

 

 

 

 

 
1xx
 

 0 

 

 

 
2xx
 

 

 

 0 

 
  21
2 xxxxacbxax 
 

 0 

 0 

 
 
 
 
▪ Se a equação 
cbxaxxE  2)(
 possui duas raízes iguais, 
21 xx 
, pela afirmação 1 
anterior, 
    2121
2 xxaxxxxacbxax 
. 
Logo, 
➢ quando 
0a
 
 
 
 
 
 
1xx 
 
1xx 
 
 xx1
 
a
 

 

 

 
 21xx 
 

 0 

 
 21
2 xxacbxax 
 

 0 

 
Página 7 de 7 
 
 
 
➢ quando 
0a
 
 
1xx 
 
1xx 
 
 xx1
 
a
 

 

 

 
 21xx 
 

 0 

 
 21
2 xxacbxax 
 

 0 

 
 
 
 
 
 
 
 
▪ Se a equação 
cbxaxxE  2)(
 não possui raízes reais, pela afirmação 2 da seção anterior, 
o sinal de 
cbxaxxE  2)(
 só depende do sinal de a. 
➢ quando 
0a
 
 
 
 x
 
a 

 
cbxax 2
  
 
➢ quando 
0a
 
 
 x
 
a 

 
cbxax 2
 