Apostila sobre Trabalho, Energia e Conservação de Energia

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
DO RIO GRANDE DO NORTE 
CAMPUS PARNAMIRIM 
TÉCNICO INTEGRADO EM MECATRÔNICA 2019.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EMANUELLA SGARGTTA SILVA 
GABRIEL LOURENÇO AMBRÓSIO 
JÚLIO CÉSAR COSTA 
MATEUS EDUARDO BEZERRA FREITAS 
SOFIA SEVERO GALVÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ENERGIA: 
Conservação de energia, sistemas dissipativos 
e sistemas conservativos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Parnamirim/RN 
2019 
 
 
EMANUELLA SGARGTTA SILVA 
GABRIEL LOURENÇO AMBRÓSIO 
JÚLIO CÉSAR COSTA 
MATEUS EDUARDO BEZERRA FREITAS 
SOFIA SEVERO GALVÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ENERGIA: 
Conservação de energia, sistemas dissipativos 
e sistemas conservativos 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho acadêmico apresentado como material 
auxiliar da apresentação de slide ao Técnico 
Integrado em Mecatrônica do Instituto Federal de 
Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande 
do Norte Campus Parnamirim, em cumprimento 
às exigências legais da disciplina de Física I. 
 
Orientador: Prof. Carlos Magno Lima F. e Silva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Parnamirim/RN 
2019 
 
 
RESUMO 
 
 
 
 Esse trabalho acadêmico apresenta o resultado do estudo do grupo sobre o tema 
“Energia: conservação e análise de sistemas dissipativos e conservativos”. Por intermédio de 
sites da internet e livros, foi pesquisado de forma breve sobre conteúdos fundamentais para a 
compreensão do tema principal, como conceitos de trabalho e energia, relacionando-os. 
Convém ressaltar, a preferência dada em destacar a conservação de Energia Mecânica, 
abordando também, como comporta-se tal energia em sistemas dissipativos e conservativos. É 
notório observar, a presença de elementos ilustrativos, questões de vestibulares e aplicações 
do cotidiano nesse trabalho – tudo para facilitar o ensino desse objeto da Física. Enfim, 
denota-se esse trabalho como uma coletânea de interpretações e anotações dos integrantes do 
grupo durante o estudo para o seminário proposto pelo professor, enriquecido com figuras 
elaboradas de forma autoral pelo aplicativo Geo Gebra. 
 
Palavras-chaves: Energia. Forças. Tipos de sistemas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE ILUSTRAÇÕES 
 
 
 
Figura 1 – demonstração da força conservativa peso...............................................................08 
Figura 2 – deformação da mola................................................................................................09 
Figura 3 – gráfico da força elástico..........................................................................................09 
Figura 4 –demonstração da fórmula da Energia Cinética........................................................10 
Figura 5 – Gráfico das energias................................................................................................11 
Fugura 6 – Encontrando a altura...............................................................................................12 
Figura 7 – Ilustração da questão...............................................................................................13 
Figura 8 – Decompondo as forças............................................................................................14 
Figura 9 – Encontrando a altura................................................................................................14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
1. INTRODUÇÃO..................................................................................................................06 
2. CONCEITOS ELEMENTARES.......................................................................................07 
2.1. TRABALHO......................................................................................................................07 
2.2. ENERGIA..........................................................................................................................07 
2.2.1. Energia Potencial Gravitacional..................................................................................07 
2.2.2. Energia Potencial Elástica............................................................................................08 
2.2.3. Energia Cinética............................................................................................................09 
3. CONSERVAÇÃO DE ENERGIA.....................................................................................10 
3.1. ENERGIA MECÂNICA....................................................................................................11 
3.2. SISTEMAS CONSERVATIVOS......................................................................................11 
3.3. SISTEMAS DISSIPATIVOS............................................................................................12 
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS.............................................................................................15 
5. REFERÊNCIAS..................................................................................................................16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 
 
“Tudo está conectado. Tudo está interligado. O fim de uma coisa representa o início de 
outra. E vamos seguindo em complexa rotatividade, nessa viagem pela Espaçonave Terra: 
onde a energia do Amor não tem início, não tem meio e não tem fim”. 
A frase de autoria desconhecida pode parecer demasiadamente ingênua e romantizada, 
entretanto, verbaliza uma das maiores verdades da nossa ciência: tudo está interligado. 
Podemos visualizar a comprovação dessa sentença em diversos princípios científicos: 
Princípio da Conservação das Massas; Princípio das Proporções Definidas; Princípio da 
Conservação de Energia. 
O primeiro, enunciado por Antoine Lavoisier afirma “na natureza nada se cria, nada se 
muda: tudo se transforma”. O segundo, verbalizado por Joseph Proust, diz que em um sistema 
fechado a massa do produto equivale à massa dos reagentes. 
O último princípio, o da Conservação de Energia, base para o relatório em questão, 
assegura que em um sistema isolado (aquele que não interage com outros sistemas), a energia 
total é constante. Logo, a energia (seja ela gravitacional; cinética; elástica; “do amor”) assim 
como tudo na natureza permanece conservada. 
Entretanto, se existem sistemas isolados é fato que existem, também, sistemas não 
isolados, aqueles que interagem com segundos. E é importante introduzir o pensamento de 
que, em tais circunstâncias, a energia total varia, diferentemente do que ocorreria em um 
sistema isolado, como proposto pelo princípio supracitado. 
Por fim, visando definir, exemplificar e aplicar esses conceitos, a apresentação do grupo 
ocorrerá, bem como os dizeres decorridos neste documento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. CONCEITOS ELEMENTARES 
 
O trabalho e energia estão interligados na Física. Essa seção abordará essa relação. 
 
2.1.TRABALHO 
 
“Realizar trabalho em Física implica a transferência de energia de um sistema para outro” 
(DOCA, 2007, p. 272). E para que ocorra essa transferência é necessário uma ação de uma 
força que gere deslocamento. Com isso, obtém-se a seguinte relação para qualquer direção esentido da força a qual deseja calcular seu trabalho realizado: 
 
 ⃗ ⃗ 
 
Em que: 
a) representa o trabalho realizado em (Joules); 
b) ⃗ representa o módulo da força com qual deseja-se calcular o trabalho realizado em 
 (Newtons); 
c) ⃗ representa o módulo do vetor deslocamento em (metros); 
d) representa o ângulo formado entre o vetor ⃗ e o vetor ⃗. 
 
Observações: 
i) , quando os vetores ⃗ e ⃗ são perpendiculares (pois 
ii) , quando a força está “desfavorável”, resistente ao deslocamento, ou seja, 
quando ; 
iii) , quando a força está “favorável” ao movimento, ou seja, quando 
 . 
 
2.2 ENERGIA 
 
A energia é a propriedade de que determinado sistema possui que lhe permite realizar 
trabalho. A energia é medida em (Joules) no SI – unidade de medida igual ao do trabalho. 
Podemos relacionar esses dois conceitos, com o Teorema do trabalho-energia (que é mais 
utilizado coma energia cinética): 
 
 
A seguir, os principais tipos de energia da Mecânica. 
 
2.2.1 Energia Potencial Gravitacional 
 
 
É uma energia armazenada pelo corpo em função da sua posição num campo 
 
 
gravitacional e depende da intensidade do peso do corpo no local onde se encontra e 
da altura do seu centro de massa em relação a um plano horizontal de referência, de 
acordo com Doca (2007). 
Outro fator importante a se destacar e importante na compreensão de 
Conservação De Energia é que o peso, força que considera-se para o cálculo da 
Energia Potencial Gravitacional ( uma força conservativa, é uma força cujo a 
determinação de seu trabalho só depende de sua posição inicial e final. 
Considere os objetos A e B de massa iguais a . Como 
 ⃗ ⃗ (considerei a energia potencial gravitacional inicial igual a ). Observa-
se que no objeto A, independente de sua trajetória (representado pela linha em preto) ⃗ 
é o mesmo. Nota-se que ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ , ou seja, a 
componente da força ⃗⃗ no vetor ⃗⃗⃗⃗⃗. Contudo ao observar a figura abaixo, 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
 ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 
 
 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
 ⃗⃗⃗⃗⃗ . Já no objeto B, com sua 
trajetória em linha preta, Nota-se que ⃗ ⃗ 
 ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . 
É por essa demonstração, também que consideramos a força peso conservativa. 
Assim, . 
 
Figura 1 – demonstração da força conservativa peso 
 
Fonte: elaborado pelos autores desse trabalho acadêmico. 
 
 
2.2.2 Energia Potencial Elástica 
 
É a energia armazenada em sistemas elásticos deformados. 
 
É a energia armazenada como resultado da aplicação de uma força 
para deformar um objeto elástico. A energia é armazenada até que a 
força seja removida e o objeto volte à sua forma original, realizando 
trabalho no processo. A deformação pode envolver comprimir, 
esticar ou torcer o objeto. (Khan Academy. Trabalho e Energia, 
 
 
2019. O que é Energia Potencial Elástica?. Disponível em: 
<pt.khanacademy.org/science/physics/work-and-energy/hookes 
law/a/what-is-elastic-potential-energy>. Acesso em: 20 de maio de 
2019. 
 
Sendo a deformação medida na mola. E considerando ⃗⃗⃗⃗⃗ , 
cujo ⃗⃗⃗⃗⃗ é a força elástica e k é a constante elástica. 
 
Figura 2 – deformação da mola 
 
Fonte: <www.forumeiros.com.br>, com adaptações dos autores. 
 
Como a força elástica é uma força variável (depende de x), no cálculo 
de seu trabalho é usado um gráfico. 
 
Figura 3 – gráfico da força elástico 
 
Fonte: elaborado pelos autores desse trabalho acadêmico. 
 
 Portanto, 
 
 
 
 
 
. 
 
2.2.3. Energia Cinética 
 
 É a energia associada ao movimento de um corpo. “Por estar em 
movimento, dizemos que a partícula está energizada e, nesse caso, 
apresenta o que chamamos de energia cinética ( .” Ou seja, o 
trabalho realizado pela partícula é assimilado sob forma de energia 
cinética. 
 
 
 
 Como ⃗ ⃗ (É fundamental esclarecer que 
nesse caso, a velocidade inicial é nula, ou seja, – para 
não violar o teorema do trabalho-energia. Observando a figura abaixo, 
 ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = ma (segundo a Lei de Newton). ⃗ ̅̅ ̅̅ – medida 
do segmento ̅̅ ̅̅ ). Como ⃗⃗⃗⃗⃗ é paralela a ⃗, então . Nota-se, 
que conforme Torricelli, 
 ⃗ ⃗ 
 
 
 
. Como 
a velocidade inicial é , supondo que o corpo partiu do repouso, tem-se: 
 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 –demonstração da fórmula da Energia Cinética 
 
Fonte: elaborado pelos autores desse trabalho acadêmico. 
 
3. CONSERVAÇÃO DE ENERGIA 
 
Segundo a Física, a energia total do Universo é constante. Essa frase está de acordo 
com o Princípio de Conservação de Energia. Congruente a tal enunciado, essa energia pode 
ser converter e assumir-se de diversos tipos. 
 Ao cientista Antoine Lavoiser (1743 – 1794), considerado pai da química moderna, 
atribuiu-se uma das mais famosas frases da Ciência: “Na Natureza nada se cria, nada se 
perde, tudo se transforma.” Algo que rege o Princípio da Conservação de Energia: não 
podemos cria, adquirir, consumir, acabar coma energia, apesar de muitos abusarem desses 
termos incorretos. 
 A energia pode ser encontrada de diversas formas: cinética, potencial, térmica, 
luminosa, elétrica, química, mecânica, atômica, entre outras. 
 Algumas aplicações diárias desse Princípio são: 
i) Quando empurra-se uma caixa, converte-se energia química em energia 
cinética; 
ii) Quando atrita-se uma mão na outra, converte-se energia cinética em energia 
térmica; 
iii) Nas usinas hidrelétricas, ocorre a conversão de energia potencial gravitacional, 
em cinética, que por sua vez, converte-se em elétrica. 
 
 
iv) O liquidificar converte energia elétrica em energia cinética e sonora. 
 Matematicamente, pode-se transcrever o que foi dito no início dessa seção, da seguinte 
forma: 
 
 
Nota: Essa igualdade depende do sistema avaliado. Mas quando analisamos a energia 
total de um sistema, ou seja, considerando um , essa igualdade é 
válida. 
 
 3.1. ENERGIA MECÂNICA 
 
 Em um sistema mecânico conservativo (ver próxima seção) a energia mecânica é 
constante. A energia mecânica é a soma da energia cinética e potencial do sistema isolado. 
 
 
 Podemos visualizar o comportamento da energia mecânica (invariável) e das energias 
variáveis (potencial e cinética) por meio de um gráfico. Suponha que o gráfico ilustre a 
variação de energia cinética e potencial gravitacional de um corpo lançado verticalmente de 
cima para baixo. 
 
Figura 5 – Gráfico das energias 
 
Fonte: Elaborado pelos autores desse trabalho acadêmico 
 
3.3. SISTEMAS CONSERVATIVOS 
 
 São os sistemas em que não ocorre a dissipação de energia, especificamente, de 
energia mecânica. Ou seja, quando atuam apenas forças conservativas – forças cujo trabalho 
independe de sua trajetória, como o a força Peso, força Elástica. Nesse sistema a energia 
mecânica é constante. 
 
 
 É comum que seja pedido em questões a altura mínima que um corpo deve ser lançado 
para realizar um loop completo em um sistema conservativo (geralmente, pedem para 
desprezar o atrito e a resistência do ar), como está indicado na figura. 
Suponha essa altura mínima, o raio da circunferência descrita pelo loop e a 
massa do corpo. 
 
Figura 6 – Encontrando a altura 1 
 
Fonte:www.rumoaoita.com.br. 
 
 Note que o objetivo é calcular a energia mínima que o corpo deve ter para “enfrentar” 
a passagem pelo ponto . Observe que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Note que as únicas forças que atuam no ponto B são a peso (a normal é nula), pois 
como estou considerando a energia mínima necessária, ou seja, estou considerando o valor 
mínimo. Portanto, a força peso é a resultante centrípeta: 
 
 
 
 
 
 Substituindo em , tem-se: 
 
 
 
 
 
 
. 
 
 3.4. SISTEMAS DISSIPATIVOS 
 
 São sistemas em que atuam forças dissipativas – cujo o trabalho dependem de sua 
trajetória (do corpo em que atua essa força). Fazendo, então, com que a energia mecânica não 
seja constante, dissipe. Parte da energia mecânica é transformada em energia sonora, térmica, 
entre outras formas. A energia mecânica dissipada, pode ser calculada logicamente por: 
 
 
 
 É notório destacar que na natureza é encontrado mais sistemas dissipativos do que 
conservativos. Apesar da energia mecânica dissipada for mínima, diminuindo, por exemplo, o 
atrito, é muito difícil encontrar uma superfície totalmente polida. 
 
 
 É frequente aplicações em questões que perguntam o coeficiente de atrito. Como por 
exemplo: “Um bloco de massa desce o plano inclinado a partir de A, com velocidade 
inicial nula. O bloco chega ao ponto com velocidade igual a √
 
 
. Podemos afirmar que o 
coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é igual a:” 
 
Figura 7 – Ilustração da questão 
 
Fonte: (*)
1
 
 A resolução se dá por: 
 Note que o sistema acima é dissipativo, ou seja, há a atuação da força de atrito. Assim, 
a . Portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 Como a única força dissipativa que realiza trabalho é a de atrito, que é paralela ao 
deslocamento, então o trabalho da força de atrito converterá parte da energia mecânica do 
sistema em outra – essa energia convertida é a energia dissipada. 
 ⃗ ⃗⃗⃗ 
 
 
 ⃗⃗⃗ 
 
 
 
 
 
 
 Decompondo as forças e observando que não há movimento perpendicular a trajetória, 
tem-se que: 
 ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
 Por fim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8 – Decompondo as forças 
 
Fonte: Elaborado pelos autores desse trabalho acadêmico. 
 
 
(*) www.futuromilitar.com.br. Exercícios sobre energia mecânica. 
 
 
(ITA 2005) Um objeto pontual de massa desliza com velocidade inicial ⃗⃗⃗ horizontal, 
do topo de uma esfera em repouso, de raio . Ao escorregar pela superfície, o objeto 
sofre uma força de atrito de módulo constante dado por . Para que o 
objeto se desprenda da superfície esférica após percorrer um arco de (veja figura), 
sua velocidade inicial deve ter o módulo de: 
 
Figura 9 – Ilustração da questão 
 
 
Fonte: (*) www.fisica220v.files.wordpress.com. Exercícios Trabalho e Energia. 
 
Resolução: 
 
Seja A o ponto inicial do objeto e B o ponto em que ele se desprende da superfície 
esférica. Note que . Observe que na figura 9, 
 
 
 
. 
Figura 9 – Descobrindo a altura 2 
 
Fonte: (*).
2
 
 
(*)www.fisica220v.files.wordpress.com. Exercícios Trabalho e Energia. 
 
 
Portanto, 
 
 
. Por outro lado, 
 
 
 
 e 
 
 
 
 . Como 
o sistema é dissipativo, devido ao trabalho da força de atrito (a força peso é conservativa e a 
normal não realiza trabalho), temos que: . Obs.: vamos considerar o módulo 
do trabalho da força de atrito, pois consideraremos a variação da energia mecânica como a 
inicial menos a final (e não, ao contrário). Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
Note que a força de atrito é uma força dissipativa –sua trajetória importa – então o 
deslocamento será o comprimento do arco de 60° ( ) que o objeto percorrerá. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
. Portanto, o 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
Por outro lado, quando o objeto está em , ele está em iminência de sair pela tangente, 
ou seja, ⃗⃗⃗ . Observe que a força de atrito é perpendicular ao vetor resultante centrípeta. 
Então: ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
 
 
 
 . A força centrípeta é igual a componente da força Peso 
no eixo que consideraremos como o raio. Assim, 
 
 
 
. 
Por fim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 √
 
 
 
 
 
 
 
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
Portanto, entende-se que os sistemas conservativos são quando não há forças 
dissipativas, pois não há resistência do ar e nem força de atrito. Sendo assim, a energia total 
em tem como resultado o mesmo valor em , porque mesmo alterando seu valor no 
percurso com as energias potenciais, no final não haverá perda ( ). A soma das 
quantidades de diferentes formas de energia é constante em todos os momentos em que ocorre 
o fenômeno. As forças conservativas são aquelas que o trabalho não depende de sua trajetória. 
Agora temos a conservação da energia mecânica: É a praticamente a mesma coisa, porém só 
muda fato de que usamos ela para calcular as energias potenciais e cinética: Supondo que 
está no ponto mais alto, ela tem mais energia potencial do que , pois está em uma altura 
menor. Nisso, terá energia cinética, pois tem velocidade (Supondo um sistema sendo formado 
por uma rampa cujo ponto está no topo e no “pé” da rampa). A soma será constante: 
 . 
Contudo, entende- se que as forças dissipativas dependem de sua trajetória, já ela é 
uma força que está relacionada ao atrito e a resistência do ar, porque há a perda de energia. 
Quando é dito que é sistema dissipativo, a energia mecânica não se conserva. Transforma 
energia mecânica em outras formas de energia (calor, som, etc). Portanto: a energia total em 
( ) é menor do que a energia total em ( ), pois durante o caminho tinha forças que 
dissipavam a energia (que é o atrito e a resistência do ar). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. REFERÊNCIAS 
 
O QUE É CONSERVAÇÃO DE ENERGIA. KHAN ACADEMY. Disponível em: <www. 
pt.khanacademy.org/science/physics/work-and-energy/work-and-energy-tutorial/a/what-
isconservation-of-energy>. Acesso em: 17 jun. 2019. 
 
EXERCÍCIOS ENERGIA MECÂNICA. FUTURO MILITAR. Disponível em: <www. 
futuromilitar.com.br/wpcontent/uploads/2017/08/TD027FIS12_AFA_EFOMM_energia_mec 
anica_fisica.pdf>. Acesso em: 17 jun. 2019. 
SIMULADO. RUMO AO ITA. Disponível em: 
<www.rumoaoita.com/wpcontent/uploads/2017/03/simulados_fisica_fisica_revisao_ita_ita.pd 
p>. Acesso em: 17 jun. 2019. 
HELOU; NEWTON; HELOU. Tópicos de Física 1 (Mecânica): 3 ed. São Paulo: Editora 
Saraiva, 2007