UNIVESP_GABARITO_PROVA_CALCULO2_2019

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CADERNO DE PERGUNTAS 
Avaliação Regular 
CURSO Engenharia de Computação/Produção TURMA 2018.2 APLICAÇÃO 2º bim/2019 CÓDIGO DA PROVA 
P001 DISCIPLINA MCA502 – Cálculo II 
INSTRUÇÕES AO ALUNO 
1. É obrigatória a devolução deste caderno de questões ao término da prova. 
2. Está autorizada a entrada de alunos até 1 hora depois do início marcado da prova (início da prova: 18h). 
3. Você só poderá sair depois de transcorridas 1 hora e 15 minutos do início marcado da prova. 
MATERIAL EXTRA: É permitido o uso de resumo teórico impresso do AVA. 
 
 
QUESTÕES OBJETIVAS 
 
Questão 1 (1,5 pontos) 
Sobre a superfície de nível 36 da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥2 + 36𝑦𝑦2 + 9𝑧𝑧2, podemos afirmar: 
a) É um elipsoide com eixos de tamanho, respectivamente, 4, 36 e 9. 
b) É uma esfera. 
c) É um elipsoide com eixos de tamanho, respectivamente, 6, 2 e 4. 
d) É um elipsoide com eixos de tamanho, respectivamente, 3, 1 e 2. 
e) Nenhuma das demais alternativas. 
 
Questão 2 (1,5 pontos) 
A temperatura em uma superfície é dada por T = 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦). Um besouro se desloca sobre essa superfície 
pela curva 𝛾𝛾(𝑡𝑡) = (𝑥𝑥(𝑡𝑡), 𝑦𝑦(𝑡𝑡)) . Sabe-se que no instante 𝑡𝑡 = 5𝑠𝑠 o besouro está na posição (3,− 5), que 
neste instante seu vetor velocidade é 𝛾𝛾′(5) = �𝑥𝑥′(5), 𝑦𝑦′(5)� = (6,2) e que 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
(3,− 5) = 2 e 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
(3,− 5) = −7. 
Podemos afirmar que na trajetória do besouro no instante 𝑡𝑡 = 5𝑠𝑠: 
a) A temperatura está aumentando a uma taxa de 2 unidades de temperatura por segundo. 
b) A temperatura está diminuindo a uma taxa de 4 unidades de temperatura por segundo. 
c) A temperatura está aumentando a uma taxa de 6 unidades de temperatura por segundo. 
d) A temperatura está diminuindo a uma taxa de 2 unidades de temperatura por segundo. 
e) Nenhuma das demais alternativas. 
 
Questão 3 (1,5 pontos) 
Sobre a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2 + 6𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 + 17, é correto afirmar: 
a) (−3, 2) é seu único ponto crítico e é um ponto de mínimo local. 
b) (−3, 2) é seu único ponto crítico e é um ponto de máximo local. 
c) (3, 2) é seu único ponto crítico e não é nem ponto de máximo nem de mínimo local. 
d) (3, 2) é seu único ponto crítico e é ponto de mínimo local. 
e) Nenhuma das demais alternativas. 
 
 
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Questão 4 (1,5 pontos) 
Obtenha o Polinômio de Taylor de ordem dois de 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 𝜕𝜕
𝜕𝜕
+ cos (𝑥𝑥𝑦𝑦2), no ponto (0, 1). 
a) 𝑄𝑄(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 1 + 2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑦𝑦 − 𝜕𝜕2
2
 
b) 𝑄𝑄(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑦𝑦 − 𝜕𝜕2
2
 
c) 𝑄𝑄(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 1 + 2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝜕𝜕2
2
 
d) 𝑄𝑄(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 1 + 2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑦𝑦 − 𝜕𝜕2
2
+ 𝑦𝑦2 
e) Nenhuma das demais alternativas. 
 
 
QUESTÕES DISSERTATIVAS 
 
Questão 5 (2,0 pontos) 
Calcule ∬ (3𝑥𝑥 + 𝑒𝑒𝜕𝜕3)𝑑𝑑𝑦𝑦 ∧ 𝑑𝑑𝑧𝑧 + 𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧 ∧ 𝑑𝑑𝑥𝑥 + (ln(𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦4 + 1) + 4𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑥𝑥 ∧ 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑆𝑆 por meio da superfície S que é o 
bordo do elipsoide 𝑥𝑥2 + 𝜕𝜕2
16
+ 𝑧𝑧2
9
≤ 1, orientada com a normal que aponta para fora. 
 
Questão 6 (2,0 pontos) 
Calcule a massa da placa {(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ ℝ2| 1 ≤ 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 ≤ 4 } com densidade 𝛿𝛿(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 4(𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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GABARITO 
CURSO Engenharia de Computação/Produção TURMA 2018.2 APLICAÇÃO 2º bim/2019 CÓDIGO DA PROVA 
P001 DISCIPLINA MCA502 – Cálculo II 
 
QUESTÕES OBJETIVAS 
 
Questão 1 
A resposta correta é: c) É um elipsoide com eixos de tamanho, respectivamente, 6, 2 e 4. 
Justificativa 
A superfície de nível 36 é obtida de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥2 + 36𝑦𝑦2 + 9𝑧𝑧2 = 36. Segue: 
𝜕𝜕2
9
+ 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2
4
= 1 e, portanto, temos um elipsoide de eixos 6 (no eixo x), 2 (no eixo y) e 4 (no eixo z). 
 
 
Questão 2 
A resposta correta é: d) A temperatura está diminuindo a uma taxa de 2 unidades de temperatura 
por segundo. 
Justificativa 
Do enunciado 𝛾𝛾′���⃗ (5) = (6,2) 
𝛻𝛻𝑓𝑓(−3, 5) = �𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
(3,−5), 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
(3,−5)� = (2, − 7) 
Daí 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
(5) = 〈∇��⃗ 𝑓𝑓(3,−5), 𝛾𝛾′���⃗ (5)〉 = (2,−7). (6,2) = 12 − 14 = −2 
A temperatura está diminuindo a uma taxa de 2 unidades de temperatura por segundo. 
 
 
Questão 3 
A resposta correta é: e) Nenhuma das demais alternativas. 
Justificativa 
𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2 + 6𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 + 17 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 2𝑥𝑥 + 6 = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = −3 
 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = −2𝑦𝑦 + 4 = 0 ⇒ 𝑦𝑦 = 2 . 
 Logo, o único ponto crítico é ( −3, 2) 
Como 𝜕𝜕
2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕2
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 2 > 0, 𝜕𝜕2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 0 e 𝜕𝜕2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕2
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = −2 segue que � 𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕2 (−3, 2) 𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 (−3, 2)
𝜕𝜕2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕
(−3, 2) 𝜕𝜕2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕2
(−3, 2) � = �2 00 −2� =
−4 < 0 Portanto, concluímos que (−3, 2) não é ponto de máximo nem é ponto de mínimo local. 
4 de 4 
Questão 4 
A resposta correta é: a) 𝑸𝑸(𝒙𝒙,𝒚𝒚) = 𝟏𝟏 + 𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝒙𝒙𝒚𝒚 − 𝒙𝒙𝟐𝟐
𝟐𝟐
 
 
Justificativa 
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝜕𝜕
𝜕𝜕
+ cos(𝑥𝑥𝑦𝑦2) ⇒ 𝑓𝑓(0,1) = 0
1
+ cos(0) = 1 
 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 1
𝜕𝜕
− 𝑦𝑦2sen(𝑥𝑥𝑦𝑦2) ⇒ 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
(0, 1) = 1 − 0 = 1 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = − 𝜕𝜕
𝜕𝜕2
− 2𝑥𝑥𝑦𝑦𝑠𝑠𝑒𝑒𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑦𝑦2) ⇒ 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
(0,1) = 0 
 
𝜕𝜕2𝑓𝑓
𝜕𝜕𝑥𝑥2
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = −𝑦𝑦4cos(𝑥𝑥𝑦𝑦2) ⇒ 𝜕𝜕2𝑓𝑓
𝜕𝜕𝑥𝑥2
(0,1) = −1 
𝜕𝜕2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕2
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 2 𝜕𝜕
𝜕𝜕3
− 2𝑥𝑥𝑠𝑠𝑒𝑒𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑦𝑦2) − 4𝑥𝑥2𝑦𝑦2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑥𝑥𝑦𝑦2) ⇒ 𝜕𝜕2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕2
(0,1) = 0 
𝜕𝜕2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = − 1
𝜕𝜕2
− 2𝑦𝑦sen(𝑥𝑥𝑦𝑦2) − 2𝑦𝑦3𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑥𝑥𝑦𝑦2) ⇒ 𝜕𝜕2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕
(0, 1) = −1 
Polinômio de Taylor: 
Q(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 𝑓𝑓(𝑎𝑎, 𝑏𝑏) + 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
(𝑎𝑎, 𝑏𝑏)(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) + 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
(𝑎𝑎, 𝑏𝑏)(𝑦𝑦 − 𝑏𝑏) + 12 �𝜕𝜕2𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥2 (𝑎𝑎, 𝑏𝑏)(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)2 + 2 𝜕𝜕2𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝑦𝑦 (𝑎𝑎, 𝑏𝑏)(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)(𝑦𝑦 − 𝑏𝑏) + 𝜕𝜕2𝑓𝑓𝜕𝜕𝑦𝑦2 (𝑎𝑎, 𝑏𝑏)(𝑦𝑦 − 𝑏𝑏)2� 
𝑄𝑄(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 1 + 1(𝑥𝑥 − 0) + 0(𝑦𝑦 − 1) + 1
2
(−1)(𝑥𝑥 − 0)2 + 1
2
2(−1)(𝑥𝑥 − 0)(𝑦𝑦 − 1) + 1
2
 0(𝑦𝑦 − 1)2 = 1 + 2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑦𝑦 − 𝜕𝜕2
2
 
 
 
QUESTÕES DISSERTATIVAS 
 
Questão 5 
Pelo Teorema de Gauss, vale: 
 ∬ (3𝑥𝑥 + 𝑒𝑒𝜕𝜕3)𝑑𝑑𝑦𝑦 ∧ 𝑑𝑑𝑧𝑧 + 𝑦𝑦𝑑𝑑𝑧𝑧 ∧ 𝑑𝑑𝑥𝑥 + (ln(𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦4 + 1) + 4𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑥𝑥 ∧ 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑆𝑆 = 
 = ∭ (𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
+ 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
+ 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑧𝑧𝑉𝑉
)𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∭ (3 + 1 + 4)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 8𝑑𝑑𝑐𝑐𝑉𝑉(𝑑𝑑) = 8𝑉𝑉 43 𝜋𝜋 ∙ 1 ∙ 4 ∙ 3 = 128𝜋𝜋 
 
Questão 6 
𝑀𝑀 = ∬ 𝛿𝛿(𝑥𝑥,𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∬ 4(𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2)𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑑𝑑𝑑𝑑 
Passamos para coordenadas polares: 
𝑥𝑥 = 𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑟𝑟 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 2𝜋𝜋 
𝑦𝑦 = 𝑟𝑟𝑠𝑠𝑒𝑒𝑥𝑥𝑟𝑟 1 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 2 (é uma coroa circular de raios 1 e 2). 
Jacobiano = 𝑟𝑟 𝛿𝛿(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 4(𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2) = 4𝑟𝑟2 
𝑀𝑀 = ∫ ∫ 4𝑟𝑟2 ∙ 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟 =212𝜋𝜋0 ∫ 𝑟𝑟4|21𝑑𝑑𝑟𝑟 = 2𝜋𝜋(16 − 1) = 30𝜋𝜋2𝜋𝜋0