COMO CALCULAR O CENTRO DE MASSA OU CENTRÓIDE USANDO INTEGRAL

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COMO CALCULAR O CENTRO DE MASSA 
OU CENTRÓIDE USANDO INTEGRAL? 
 
Elison Rian Silva de Araujo* 
elysson.sp@gmail.com 
Tel.: (98) 99190-5354 
 
 
*Estudante de Engenharia, Maurício de Nassau – Teresina - PI 
 
CALCULO DE CENTRÓIDE USANDO INTEGRAL 
 
 
Iremos aprender como calcular um centroide ou centro de massa usando integral, 
passo a passo. 
Tentarei tornar o mais sucinto possível, para que o entendimento seja rápido e 
eficiente aos leigos em integral. 
 
Então vamos lá!!!! 
 
Primeiramente o que diabos é integral? Integral seria uma área do cálculo que 
serve para delimitar a área localizada sob uma curva ou plano cartesiano. 
Para início precisaremos saber integral, claro! Uma noção básica de funções de 
primeiro grau, segundo grau e álgebra linear básica. Como bem sabemos, quem está lendo 
este texto-aula deverá saber derivadas, funções, soma e subtração de frações. 
 
Usarei exemplos para facilitar o entendimento. Ok! 
Vamos lá!!! 
 
Ex¹.: Calcule o centroide da seguinte figura. 
 
 
Figura 1 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO DA FIGURA I PASSO A PASSO: 
 
1º Passo: Encontrar a função de cada figura apresentada. 
 
Podemos analisar que há três figuras distintas, um triângulo retângulo, um retângulo e um 
trapézio. E cada uma delas têm funções diferentes. 
Então vamos lá!!!! 
 
Encontre a função da Figura I: 
Analisando bem o gráfico percebemos que a figura I é uma reta. E qual a função de uma 
reta? Pois bem, seria 𝑓(𝑥) = 𝑎. 𝑥 + 𝑏. 
Agora que sabemos a função de uma reta, vamos encontrar as coordenadas e substituir na 
função. 
Como na figura geral fala que cada quadrinho é equivalente a 1 metro. Então podemos 
perceber que as coordenadas seriam (3,4); (0,0). 
Agora vamos substituir as coordenadas na função. 
 
Minha função: 𝑓(𝑥) = 𝑎. 𝑥 + 𝑏 
Substituindo as coordenadas na função: o 𝑓(𝑥) é o mesmo que a coordenada 𝑦. 
Mas primeiro substituiremos a segunda coordenada que seria (0,0) para descobrirmos o 
valor de 𝑏. 
𝑥 = 0 ; 𝑦 = 0 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎. 𝑥 + 𝑏 
 
0 = 𝑎. 0 + 𝑏 
0 = 𝑏 
Então cheguemos a conclusão que o 𝑏 é igual a 0. 
Agora substituiremos a primeira coordenada na função que seria (3,4) para encontrarmos 
o valor de 𝑎. 
𝑥 = 3 ; 𝑦 = 4 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎. 𝑥 + 𝑏 
 
4 = 𝑎. 3 + 0 
4 = 𝑎. 3 
4
3
= 𝑎 
Concluímos que 𝑎 é igual a 
4
3
. 
Então minha função da figura I é 
𝑓(𝑥) =
4
3
. 𝑥 
 
 
2º Passo: Encontrar a área da Figura. 
Nesse passo iremos descobrir como encontrar a área de uma figura. Sendo assim a 
primeira parte para encontrar o centroide. 
 
Agora que descobrimos a função da primeira figura, devemos substituir a função na 
integral definida da área. 
Função: 𝑓(𝑥) =
4
3
. 𝑥 
 
Formula da Área: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
Substituindo a função na formula ficaria da seguinte forma: ∫
4
3
𝑥𝑑𝑥
3
0
 
 
Agora resolveremos a integral. 
Mais primeiro vamos entender por que a variação de 0 a 3, portando, seria pelo fato do 
início da figura está partido do ponto 0 e indo até o ponto 3, sendo assim esses pontos 
apenas no eixo X. 
 
 
∫
4
3
𝑥𝑑𝑥
3
0
 
 
Resolução da Integral 
 
Como bem sabemos que toda constante dentro de um integral pode sair. Então 
colocaremos ela para sair. Que ficaria da seguinte forma: 
 
4
3
∫ 𝑥𝑑𝑥
3
0
 
 
Logo em seguida iremos integrar o x. Que ficaria da seguinte forma: 
 
4
3
×
𝑥2
2
 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒 0 𝑎 3 
 
Quando integramos o símbolo da integral desaparece. 
O x está variando de 0 a 3. Se substituímos o 0 no x, tudo desaparece. Então 
substituiremos só o 3. Que fica da seguinte forma: 
 
4
3
×
32
2
 
Substituir o 3 no x. 
Agora resolveremos essa fração. 
 
4
3
×
32
2
 
 
4
3
×
9
2
 
 
4
3
×
9
2
=
36
6
= 6 
Então, a área tem o valor 6. Representada pela A=6. 
 
Agora que já obtemos o valor da área, agora vamos encontrar o x barra. 
 
3º Passo: Encontrar o valor do 𝑥, chama-se x barra. 
O x barra é uma coordenada do eixo x com um valor numérico, mostrando assim o local 
exato do centro da figura I. 
 
 
Formula do 𝑥: 
1
𝐴
∫ [𝑓(𝑥)]𝑥𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
Substituindo a função e a área na formula. 
 
 
Função: 
4
3
𝑥 
Área: 6 
 
1
𝐴
∫ [𝑓(𝑥)]𝑥𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
1
6
∫ (
4
3
𝑥) 𝑥𝑑𝑥
3
0
 
 
Multiplique o x que está fora dos parênteses com o que está dentro dos parênteses. Como 
a seguir: 
 
1
6
∫
4
3
𝑥²𝑑𝑥
3
0
 
 
Logo em seguida coloque a constante fora da integral. Como a seguir: 
 
1
6
×
4
3
∫ 𝑥²𝑑𝑥
3
0
 
 
Depois iremos integrar o x usando a primitiva e unificar as frações. E quando integramos 
o símbolo da integral sumirá. Como a seguir: 
 
4
18
×
𝑥³
3
 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒 0 𝑎 3. 
 
 
Agora substituímos as variações no X, mas como o 0 vai zerar tudo então não 
substituiremos ele ok! Como a seguir: 
 
4
18
×
3³
3
 
 
Agora resolvendo as frações. A seguir: 
 
4
18
×
3³
3
 
 
4
18
×
27
3
 
 
4
18
×
27
3
=
108
54
= 2 
Então o 𝒙 é igual à 2. 
 
4º Passo: Encontrar o valor do 𝑦, chama-se y barra. 
Assim como o x barra o y barra também é uma coordenada mais só que do eixo y com 
um valor numérico, mostrando assim o local exato do centro da figura I. 
 
Formula do 𝑦: 
1
2𝐴
∫ [𝑓(𝑥)]²𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
Substituindo a função e a área na formula. 
 
 
Função: 
4
3
𝑥 
Área: 6 
 
1
2𝐴
∫ [𝑓(𝑥)]²𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
1
2 × 6
∫ [
4
3
𝑥] ²𝑑𝑥
3
0
 
 
Levaremos toda a função ao quadrado. Como a seguir: 
 
1
12
∫
16
9
𝑥²𝑑𝑥
3
0
 
 
 
Logo em seguida coloque a constante fora da integral. Como a seguir: 
 
1
12
×
16
9
∫ 𝑥²𝑑𝑥
3
0
 
 
Depois iremos integrar o x usando a primitiva e unificar as frações. E quando integramos 
o símbolo da integral sumirá. Como a seguir: 
 
16
108
×
𝑥³
3
 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒 0 𝑎 3. 
 
Agora substituímos as variações no X, mas como o 0 vai zerar tudo então não 
substituiremos ele ok! Como a seguir: 
 
16
108
×
3³
3
 
 
Agora resolvendo as frações. A seguir: 
 
16
108
×
3³
3
 
 
16
108
×
27
3
 
 
16
108
×
27
3
=
432
324
= 1,33 
 
Então o 𝒙 é igual à 1,33. 
 
Concluímos que o centroide da figura I é: 
 
Centroide: (𝒙 = 𝟐; 𝒚 = 𝟏, 𝟑𝟑). 
 
 
 
Agora que encontremos o centroide da figura I passo a passo, as outras figuras VOCÊS 
irão encontrar da mesma forma só que sem a minha ajuda kkk. Ok!!! 
 
 
 
Obrigado a todos! 
Espero que eu tenha ajudado cada um de vocês. 
E um ótimo estudo!