Lista Polinomios

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Lista de exercícios: Polinômios – Problemas Gerais – Prof ºFernandinho 
 
Questões: 
 
01.(GV) Num polinômio 𝑃(𝑥) do terceiro grau, o coeficiente de 𝑥3 é 1. Sabendo-se que 𝑃(0) = 4, 𝑃(1) = 6 e 
𝑃(2) = 18, calcule o valor de 𝑃(−1). 
 
02.(GV) Dado o polinômio 𝑃(𝑥) = (𝑝𝑞 − 2)𝑥3 + (𝑝2 + 𝑞2 − 5)𝑥2 + (𝑝 + 𝑞 − 3)𝑥 + 2𝑝 − 5𝑞 + 1, calcule o 
valor de 𝑝3 + 𝑞3 sabendo-se que o polinômio 𝑃(𝑥) é identicamente nulo. 
 
03.(MP) Dado o polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑚. 𝑥 − 1, onde 𝑚 ∈ ℛ. Se 𝑃(2) = 3. 𝑃(0), calcule 𝑃(𝑚). 
 
04.(MP) Determinar 𝑎 𝑒 𝑏 de modo que (𝑎 − 3). 𝑥2 + (2𝑏 − 𝑎). 𝑥 + 4 ≡ 2𝑥2 + 𝑥 + 4. 
 
05.(MAUÁ) Determinar os valores de 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 na identidade: 𝑥2 + 𝑥 + 1 ≡ 𝑎. (𝑥2 + 1) + (𝑏𝑥 + 𝑐). 𝑥 
 
06.(PUC) Sendo 𝑥3 + 1 = (𝑥 + 1). (𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏) para todo valor real de 𝑥, quanto vale 𝑎 + 𝑏? 
 
07.(UEL) Quais os valores de 𝑚 e 𝑛 para que o polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 𝑚𝑥 + 𝑛 seja um cubo perfeito, 
ou seja, tenha a forma 𝑃(𝑥) = (𝑥 + 𝑏)3? 
 
08.(MP) Calcule o valor de 𝑎 𝑒 𝑏 para que se tenha 
15−𝑥
𝑥.(𝑥−5)
≡
𝑎
𝑥
+
𝑏
𝑥−5
 , para todo x real, com 𝑥 ≠ 0 𝑒 𝑥 ≠ 5. 
 
09.(UNIFESP) Se 
𝑥
𝑥2−3𝑥+2
=
𝑎
𝑥−1
+
𝑏
𝑥−2
 é verdadeira para todo x real, com 𝑥 ≠ 1 𝑒 𝑥 ≠ 2, calcule o valor de 
𝑎. 𝑏 
 
10.(PUC) Calcule os valores de 𝑚, 𝑛 𝑒 𝑝 𝑝ara que o polinômio 𝑃(𝑥) = 2𝑚𝑥3 + (2𝑝 + 7)𝑥2 + 5𝑚𝑥 + 2𝑚 e o 
polinômio 𝑄(𝑥) = (𝑚 + 𝑛 + 𝑝)𝑥4 − (𝑝 + 1)𝑥3 + 𝑚𝑥2 + (𝑛 − 𝑝)𝑥 + 𝑛 sejam idênticos. 
 
11.(FUVEST) Um polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, de terceiro grau, satisfaz as seguintes condições: 
𝑃(1) = 0 e 𝑃(𝑥) ≡ −𝑃(−𝑥). Determine o valor de 𝑃(2). 
 
12.(MP) Obtenha o quociente e o resto da divisão de 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 − 1 por 𝑄(𝑥) = 𝑥2 + 2 pelo 
método da chave. 
 
13.(MP) Obtenha o quociente e o resto da divisão de 𝑃(𝑥) = 𝑥4 + 3𝑥2 − 𝑥 + 1 por 𝑄(𝑥) = 𝑥2 − 1 pelo 
método de Descartes (ou dos coeficientes a determinar). 
 
14.(ESPM) Qual é o resto da divisão do polinômio 𝑥5 − 3𝑥2 + 1 pelo polinômio 𝑥2 − 1? 
 
15.(GV) Dividindo o polinômio 𝑃(𝑥) por 𝑥2 + 𝑥 − 1 obtém-se quociente igual a 𝑥 − 5 e resto igual a 13𝑥 + 5. 
Calcule o valor de 𝑃(1). 
 
16.(MP) Se o polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥 − 𝑏 com 𝑎 𝑒 𝑏 reais é divisível por 𝑄(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 1, quanto vale 
a soma 𝑆 = 𝑎 + 𝑏? 
 
17.(MACK) Calcule 𝑝 𝑒 𝑞 reais positivos de modo que 𝑥4 + 1 seja divisível por 𝑥2 + 𝑝. 𝑥 + 𝑞. 
 
 
 
 
 
 
18.(ITA) Quais são os valores de 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 que tornam o polinômio 𝑃(𝑥) = 4𝑥5 + 2𝑥4 − 2𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
divisível pelo polinômio 𝑄(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 + 1? 
 
19.(GV) Sendo 𝑃(𝑥) = 4𝑥6 + 2𝑥5 − 2𝑥4 + 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, e 𝐺(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 + 1, determine os 
valores de 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 que tornam 𝑃(𝑥) divisível por 𝐺(𝑥). 
 
20.(ITA) Sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑒 𝑑 constantes reais. Sabendo que a divisão do polinômio 𝐴(𝑥) = 𝑥4 + 𝑎𝑥2 + 𝑏 pelo 
polinômio 𝐵(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 4 é exata, e que a divisão do polinômio 𝐶(𝑥) = 𝑥3 + 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥 − 3 pelo 
polinômio 𝐷(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 + 2 tem resto – 5, determine o valor de 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑. 
 
21.(MP) Determinar 𝑎 𝑒 𝑏 no polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑥2 − 𝑏𝑥 − 1 sabendo que 𝑃(1) = 3 e que 𝑃(𝑥) são 
divisível por 𝑥 − 2. 
 
22.(MP) Sendo 𝑛 um número natural qualquer, qual é o resto de divisão de 5𝑥2𝑛 − 4𝑥2𝑛+1 − 2 por 𝑥 + 1? 
 
23.(ITA) A divisão de um polinômio 𝑃(𝑥) por 𝑥2 − 𝑥 resulta no quociente 6𝑥2 + 5𝑥 + 3 e resto −7𝑥. Qual é o 
resto da divisão de 𝑃(𝑥) por 2𝑥 + 1? 
 
24.(GV) Qual é o resto da divisão de 𝑃(𝑥) = 𝑥10 + 𝑥9 + 𝑥8 + 𝑥7 + 𝑥6 − 𝑥5 − 𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 + 1 pelo 
binômio 𝑥 + 1? 
 
25.(MP) Determine "𝑎" de modo que 𝑃(𝑥) = 𝑎. 𝑥3 − 6𝑎. 𝑥 + 8 seja divisível por 𝑥 − 𝑎. 
 
26.(GV) Dividindo o binômio 𝑃(𝑥) = 3𝑥101 + 1 pelo binômio 𝐷(𝑥) = 𝑥2 − 1, obtemos como resto o binômio 
𝑅(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. Determine os coeficientes 𝑎 𝑒 𝑏 do binômio 𝑅(𝑥). 
 
27.(MACK) Se 𝑅(𝑥) é o resto da divisão de 𝑥25 + 𝑥23 + 𝑥2 − 𝑥 − 1 por 𝑥2 − 1, calcule o valor de 𝑅(2). 
 
28.(MACK) Se 𝑅(𝑥) é o resto da divisão de 𝑥80 + 3𝑥79 − 𝑥2 − 𝑥 − 1 por 𝑥2 + 2𝑥 − 3, qual é o valor de 
𝑅(0)? 
 
29.(ANGLO) Qual é o resto da divisão do polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥2015 + 2015𝑥2014 + 2013 por 𝑥2 − 1? 
 
30.(UNICAMP) Determine o resto da divisão de 𝑥100 + 𝑥 + 1 por 𝑥2 − 1. 
 
31.(ITA) A divisão de um polinômio 𝑃(𝑥) por (𝑥 − 1). (𝑥 − 2) tem resto 𝑥 + 1. Se os restos das divisões de 
𝑃(𝑥) por 𝑥 − 1 e 𝑥 − 2 são, respectivamente, os números 𝑎 𝑒 𝑏, calcule o valor 𝑎2 + 𝑏2. 
 
32.(MACK) Um polinômio 𝑃(𝑥), de grau maior que 1, deixa resto 1, quando dividido por 𝑥 − 2, e deixa resto 
2, quando dividido por 𝑥 − 3. Qual é o resto da divisão de 𝑃(𝑥) por 𝑥2 − 5𝑥 + 6? 
 
33.(MAUÁ) Determinar 𝑝 𝑒 𝑞 de modo que o polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑝𝑥2 + (𝑝 + 3)𝑥 + 2𝑝 + 𝑞 seja 
divisível por 𝑥 e por 𝑥 − 2. 
 
34.(MACK) O polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 é divisível por 𝑥 − 1 e por 𝑥 + 1. Quando o dividimos 
por 𝑥 − 2, obtemos resto igual a 12. Nessas condições, calcule o valor de 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐. 
 
35.(FUVEST) Um polinômio 𝑃(𝑥) é divisível por 𝑥 + 1 e, dividido por 𝑥2 + 1, dá quociente 𝑥2 − 4 e o resto 
𝑅(𝑥). Se 𝑅(2) = 9, determine 𝑃(𝑥). 
 
36.(ITA) Dividindo-se o polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥5 + 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 1 por 𝑥 − 1, obtém-se resto igual a 2. Ao 
dividir 𝑃(𝑥) por 𝑥 + 1, obtém-se resto igual a 3. Sabendo que 𝑃(𝑥) é divisível por 𝑥 − 2, calcule o valor de 
𝑎.𝑏
𝑐
. 
 
 
 
 
 
37.(FUVEST) O polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥, em que 𝑎 𝑒 𝑏 são números reais, tem restos 2 e 4 quando 
dividido por 𝑥 − 2 e 𝑥 − 1, respectivamente. Nessas condições determine o valor de 𝑎 𝑒 𝑏. 
 
38.(MACK) Um polinômio 𝑃(𝑥) dividido por 𝑥2 − 𝑥 − 2 tem resto 2𝑥 − 1. Qual é o resto da divisão do 
polinômio 𝑃(𝑥) por 𝑥 + 1? 
 
39.(PUC) O resto da divisão de 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥3 − 2𝑥 + 1 por 𝑄(𝑥) = 𝑥 − 3 é 4. Qual é o valor de "𝑎"? 
 
40.(UNIFESP) A divisão de um polinômio 𝑃(𝑥) por um polinômio 𝐾(𝑥) tem Q(x) = 𝑥3 + 3𝑥2 + 5 como 
quociente e 𝑅(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 7 como resto. Sabendo-se que o resto da divisão de 𝐾(𝑥) por 𝑥 é 2, qual é o resto 
da divisão de 𝑃(𝑥) por 𝑥? 
 
41.(FUVEST) Seja 𝑃(𝑥) um polinômio divisível por 𝑥 − 3. Dividindo 𝑃(𝑥) por 𝑥 − 1 obtemos quociente 𝑄(𝑥) 
e resto 10. Qual é o resto da divisão de 𝑄(𝑥) por 𝑥 − 3? 
 
42.(UNESP) O polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 2𝑥 + 𝑏 é divisível por 𝑥 − 2 e, quando dividido por 𝑥 + 3, deixa 
como resto – 45. Nessas condições, quais são os valores de 𝑎 𝑒 𝑏? 
 
43.(FUVEST) Sejam 𝑅1 e 𝑅2 os restos das divisões de um polinômio 𝑃(𝑥) por 𝑥 − 1 e por 𝑥 + 1, 
respectivamente. Nessas condições, se 𝑅(𝑥) é o resto da divisão de 𝑃(𝑥) por 𝑥2 − 1, calcule em função de 𝑅1 e 
𝑅2 o valor de 𝑅(0). 
 
44.(MACK) O polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 é divisível por 𝑥 − 3 e 𝑃(𝑃(3)) = 6. Qual é o resto da divisão 
de 𝑃(𝑥) por 𝑥 − 1? 
 
45.(UNESP) Considere o polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑, onde 𝑏, 𝑐 𝑒 𝑑 são constantes reais. A derivada 
de 𝑃(𝑥) é, por definição, o polinômio 𝑄(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑏𝑥 + 𝑐. Se 𝑄(1) = 0, 𝑄(−1) = 4 e o resto da divisão de 
𝑃(𝑥) por 𝑥 − 1 é 2, calcule os valores de 𝑏, 𝑐 𝑒 𝑑. 
 
46.(GV) Um polinômio do 4ºgrau é divisível por (𝑥 − 3)3. Sendo 𝑃(0) = 27 e 𝑃(2) = −1, calcule o valor de 
𝑃(5). 
 
47.(ITA) Um polinômio 𝑃(𝑥), dividido por 𝑥 + 1 dá resto – 1, por 𝑥 − 1 dá resto 1 e por 𝑥 + 2 dá resto 1. Qual 
será o resto da divisão do polinômio por (𝑥 + 1). (𝑥 − 1). (𝑥 + 2)? 
 
48.(ANGLO) Na divisão do polinômio 𝑃(𝑥) por 𝑥 − 3, obtém-se quociente 𝑄(𝑥) e resto 5. O resto da divisão 
de 𝑄(𝑥) por 𝑥− 2 é 7. Qual é o resto da divisão de 𝑃(𝑥) por (𝑥 − 3). (𝑥 − 2)? 
 
49.(MP) Um polinômio 𝑃(𝑥) dividido por 𝑥 − 2 dá resto 4. O quociente desta divisão é então dividido por 
𝑥 − 5, obtendo-se resto 10. Determine o resto da divisão de 𝑃(𝑥) por (𝑥 − 2). (𝑥 − 5)? 
 
50.(ITA) Um polinômio 𝑃(𝑥), dividido pelo binômio 𝑥 − 1, dá resto 3. O quociente desta divisão é então 
dividido pelo binômio 𝑥 − 2, obtendo-se resto 2. Qual é o resto da divisão de 𝑃(𝑥) por (𝑥 − 1). (𝑥 − 2)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
 
01. 𝑃(−1) = 6 02. 𝑝3 + 𝑞3 = 9 03. 𝑃(𝑚) = −3 04. 
𝑎 = 5
𝑏 = 3
 05. 
𝑎 = 1
𝑏 = 0
𝑐 = 1
 
 
06. 𝑎 + 𝑏 = 0 07. 
𝑚 = 12
𝑛 = −8
 08. 
𝑎 = −3
𝑏 = 2 
 09. 𝑎. 𝑏 = −2 10. 
𝑚 = 1 
𝑛 = 2 
𝑝 = −3
 
 
 
11. 𝑃(2) = 6 12. 
𝑄(𝑥) = 2𝑥 + 1 
𝑅(𝑥) = −3𝑥 − 3
 13. 
𝑄(𝑥) = 𝑥2 + 4 
𝑅(𝑥) = −𝑥 + 5
 14. 𝑅(𝑥) = 𝑥 − 2 15. 𝑃(1) = 14 
 
 
16. 𝑆 = −11 17. 
𝑝 = √2
𝑞 = 1 
 18. 
𝑎 = 3 
𝑏 = −2
𝑐 = 1 
 19. 
𝑎 = −3
𝑏 = 3 
𝑐 = −1
 20. 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 21 
 
21. 
𝑎 = −
3
2
𝑏 = −
9
2
 22. 𝑅(𝑥) = 7 23. 𝑅(𝑥) = 5 24. 𝑅(𝑥) = 3 25. 
𝑎 = ±2 
𝑎 = ± √2
 
 
 
26. 
𝑎 = 3
𝑏 = 1
 27. 𝑅(2) = 2 28. 𝑅(0) = −1 29. 𝑅(𝑥) = 4028𝑥 + 1 30. 𝑅(𝑥) = 𝑥 + 2 
 
 
31. 𝑎2 + 𝑏2 = 13 32. 𝑅(𝑥) = 𝑥 − 1 33. 
𝑝 =
7
3
 
𝑞 = −
14
3
 34. 
𝑎 = 2 
𝑏 = −1
𝑐 = −2
 35. 𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 3𝑥2 + 𝑥 + 3 
 
 
36. 
𝑎.𝑏
𝑐
= 9 37. 
𝑎 = −6
𝑏 = 9 
 38. 𝑅(𝑥) = −3 39. 𝑎 =
1
3
 40. 𝑅(𝑥) = 17 
 
 
41. 𝑅(𝑥) = −5 42. 
𝑎 = 1 
𝑏 = −12
 43. 𝑅(0) =
𝑅1+𝑅2
2
 44. 𝑅(𝑥) = 2 45. 
𝑏 = −1
𝑐 = −1
𝑑 = 3 
 
 
 
46. 𝑃(5) = 32 47. 𝑅(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 1 48. 𝑅(𝑥) = 7𝑥 − 16 49. 𝑅(𝑥) = 10𝑥 − 16 50. 𝑅(𝑥) = 2𝑥 + 1