Pesquisa Operacional - Exercícios de Programação Linear-20130821-102851

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EXERCÍCIOS – PROGRAMAÇÃO LINEAR
Uma empresa fabrica 2 modelos de cintos de couro. O modelo M1, de melhor qualidade, requer o dobro do tempo de fabricaçãoem relação ao modelo M2. Se todos os cintos fossem do modelo M2, a empresa poderia produzir 1.000 unidades por dia. A disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. Os cintos empregam fivelas diferentes, cuja disponibilidade diária é de 400 para M1 e 700 para M2. Os lucros unitários são de $4,00 para M1 e $3,00 para M2. Qual o programa ótimo de produção que maximiza o lucro total diário da empresa? Construa, o modelo do sistema descrito.
Uma microempresa tem disponíveis os seguintes tecidos: 16 m2 de algodão, 11 m2 de seda e 15 m2 de lã. Para confeccionar um terno padrão, são necessários 2 m2 de algodão, 1m2 de seda e 1 m2 de lã. Para um vestido padrão, são necessários 1 m2 de algodão, 2 m2 de seda e 3 m2 de lã. Se o lucro líquido de um terno é de 300 u.m. e de um vestido de 500 u.m., quantas peças de cada tipo a microempresa deve fabricar para ter o maior lucro possível?
Uma fábrica produz três tipos de chapas metálicas, A, B e C, que são primeiramente prensadas e depois esmaltadas. A prensa dispõe de 1190 minutos livres por mês e cada chapa, A ou B, leva um minuto para ser prensada, enquanto a chapa C leva o dobro do tempo devido ao tamanho maior. Por outro, lado, a aplicação de esmalte nesta última leva apenas um minuto, enquanto as chapas A e B exigem 3 e 4,5 minutos, respectivamente. O total de tempo disponível na seção de esmaltagem é de 4000 minutos por mês. A demanda dos três tipos de chapas absorve facilmente toda a produção e o lucro para a chapa A, B e C é de 5, 7 e 8 dólares por unidade, respectivamente. Formule o problema de modo a maximizar o lucro e resolva-o.
Duas fábricas produzem 3 diferentes tipos de papel. A companhia que controla as fábricas tem um contrato para produzir 16 toneladas de papel fino, 6 toneladas de papel médio e 28 toneladas de papel grosso. Existe uma demanda para cada tipo de espessura. O custo de produção na primeira fábrica é de R$1.000,00 e o da segunda fábrica é de R$2.000,00 por dia. A primeira fábrica produz 8 toneladas de papel fino, 1 tonelada de papel médio e 2 toneladas de papel grosso por dia, enquanto a segunda fábrica produz 2 toneladas de papel fino, 1 tonelada de papel médio e 7 toneladas de papel grosso. Quantos dias cada fábrica deverá operar para suprir os pedidos mais economicamente?
Um criador de coelhos alimenta os animais com cinco tipos de ração, cuja composição de nutrientes (unidades/Kg) está mostrada abaixo:
	Nutrientes
	Ração A
	Ração B
	Ração C
	Ração D
	Ração E
	Proteínas
	30
	20
	15
	80
	20
	Carboidratos
	60
	20
	60
	20
	20
	Gordura
	5
	10
	5
	3
	2
	Custo/Kg
	0,20
	0,30
	0,40
	0,50
	0,25
Ele calculou as necessidades diárias de alimentação de cada animal em, pelo menos, 80 unidades de proteína, 120 unidades de carboidratos e 30 unidades de gordura. Qual deve ser a mistura das rações acima a custo mínimo?
Uma rede de depósitos de material de construção tem 4 lojas que devem ser abastecidas com 50m³ (loja a), 80m³ (loja 2), 40m³ (loja 3) e 100m³ (loja 4) de areia grossa. Essa areia pode ser carregada em 3 portos P1, P2 e P3, cujas distâncias às lojas estão no quadro (em km):
	 
	L1
	L2
	L3
	L4
	P1
	30
	20
	24
	18
	P2
	12
	36
	30
	24
	P3
	8
	15
	25
	20
O caminhão pode transportar 10 m³ por viagem. Os portos têm areia para suprir qualquer demanda. Estabelecer um plano de transporte que minimize a distância total percorrida entre os portos e as 	lojas e supra as necessidades das lojas. Construa o modelo linear do problema.
Um agricultor está interessado na produção do milho e algodão. Ele deseja saber qual a combinação dessas 2 linhas de produção que lhe pode proporcionar a maior renda possível. Ele possui área disponível de 100 ha e sabe que pode dispor, durante o período de produção de milho e algodão, de 3.600 homens/dia e 240 dias de trabalho de um trator médio. Com base em sua experiência, ele sabe que naquela terra e com sua técnica de produção, o milho produz 2.000 Kg/ha e o algodão 1.800 kg/ha. A cultura do milho exige 30 homens/dia por ha e 4 dias de serviço de trator por hectare, enquanto o algodão exige 60 homens/dia por ha e 2 dias de trator por ha. As perspectivas de preço são de R$ 1.700,00 por tonelada de milho e de R$ 2.040,00 por tonelada de algodão.
No exemplo abaixo desejamos otimizar o lucro pela utilização de até quatro opções de culturas (milho, trigo, soja e açúcar). As restrições referem-se ao espaço utilizado, gastos com preparo do terreno e utilização de mão-de-obra. Tem-se disponível 400 ha de terra para o cultivo. A matriz abaixo apresenta os dados referentes a cada cultura.
	Atividade
	Milho
	Trigo
	Soja
	Açúcar
	Disponível
	Preparo do terreno (R$/ha)
	
1000,00
	
1200,00
	
1500,00
	
1200,00
	
500.000,00
	Mão-de-obra
(homens/dia)
	
20
	
30
	
25
	
28
	
10.000
	Lucro (R$/ha)
	600,00
	800,00
	900,00
	500,00
	
Um fazendeiro que dispõe de 24.000 m3 de água e de 240 jornadas de trabalho, tem possibilidade de cultivar batata, amendoim, milho e tomate. Interessa a ele maximizar a sua renda pela utilização dos fatores água e trabalho. Sabendo-se que as pretensas atividades possuem as características estabelecidas na tabela abaixo, determinar o plano de renda máxima.
	Atividade
	Unidade
	Água (m3)
	Trabalho (h/d)
	Renda Bruta(R$)
	Batata
	Ha
	6.000
	25
	600,00
	Amendoim
	Ha
	5.000
	40
	1.200,00
	Milho
	Ha
	5.000
	10
	250,00
	Tomate
	Ha
	10.000
	120
	3.200,00
O produto “E” dá um lucro de R$ 40,00 por unidade e o “F”, R$ 50,00. Para sua fabricação são necessários 3 estágios, os quais são apresentados abaixo com os respectivos tempos (em minutos).
	Produto
	Mistura
	Refrigeração
	Embalagem
	E
	1
	5
	3
	F
	2
	4
	1
Durante o ciclo de produção, o equipamento de mistura está disponível por no máximo 12 horas, o de refrigeração por 30 horas e o de empacotamento por 15 horas. Determine o número de unidades a produzir em cada ciclo de produção.
Certa firma processa dois tipos de fibra sintética (A e B) usando as mesmas máquinas. No departamento responsável pela mistura de ingredientes, que dispõe de 200 horas por mês, a produção é limitada por 2 horas por tonelada da fibra A e 4 horas por tonelada da fibra B. No departamento responsável pela embalagem as necessidades são 6 horas por tonelada da fibra A e 8 horas para a fibra B, com um total máximo de 480 horas disponível de máquinas por mês. Para o departamento responsável pelo corte das fibras, as necessidades são 10 e 6 horas por toneladas das fibras A e B, respectivamente. Esse departamento dispõe de apenas 600 horas de máquinas por mês. Outros departamentos limitam a produção de fibra B a um máximo de 35 toneladas por mês. O lucro é de R$ 8,00 por tonelada para a fibra A e R$ 10,00 para a fibra B. A firma deseja determinar as quantidades mensais de fibras A e B que devem ser produzidas de forma a maximizar os lucros.
Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade de couro para fabricar 1 unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de 5 reais e o de cinto é de 4 reais, pede-se: o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é maximizar seu lucro por hora. Resolva o problema graficamente.
Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de 100 reais e o lucro unitário de P2 é de 150 reais. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os dois produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidosde P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa e resolva o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa.
Uma rede de, televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa A com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 telespectadores, enquanto o programa B, com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o produtor insiste no uso de, no mínimo, 5 minutos para propaganda e que não há verba para mais que 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores?
Formule e resolva o problema. Certo fabricante de combustível para avião vende 2 tipos de combustível, A e B. O combustível de tipo A possui 25% de gasolina 1, 25% de gasolina 2 e 50% de gasolina 3. 0 combustível B tem 50% de gasolina 2 e 50% de gasolina 3. Há disponível para produção 500 galões de gasolina 1 e 200 galões de cada gasolina 2 e 3. Os lucros pela venda dos combustíveis A e B são, respectivamente, 20 e 30 dólares. Quanto se deve fazer de cada combustível para se obter um lucro máximo? Formule e resolva o problema.
Uma companhia de armazéns tem 1200 dólares para alocar a um de seus armazéns. Três produtos 1, 2 e 3 exigem 30, 3 e 15 m2 de espaço por unidade, respectivamente. Há 1500 m2 de espaço disponível. O produto 1 custa 12 dólares, o produto 2 custa 4,50 dólares e o produto 3 custa 17 dólares. Quanto de cada produto deve ser comprado se os preços de venda dos produtos 1, 2 e 3 são, respectivamente, de 15, 6 e 21 dólares, de modo a maximizar o lucro? Formule o resolva problema.
Um fazendeiro tem que decidir o quanto vai plantar de milho e de alfafa. Os lucros são de R$ 2.000,00 por alqueire de milho e de R$ 1.000,00 por alqueire de alfafa. Suponha que suas limitações sejam: terra disponível é de 8 alqueires e água disponível para irrigação de 80.000 litros sendo que deseja-se plantar no máximo 4 alqueires de milho. Cada alqueire de milho requererá 10.000 litros de água para irrigação e cada alqueire de alfafa requererá 20.000 litros de água. Modele e resolva o problema.
Resolva novamente o problema anterior supondo que seja requerido que mais de 50% do total cultivado sejam plantados com alfafa.
Um carpinteiro possui 6 peças de madeira e dispõe de 28 horas de trabalho para confeccionar biombos ornamentais. Dois modelos venderam muito bem no passado, de maneira que ele se limitou a esses dois tipos. Ele estima que o modelo I requer 2 peças de madeira e 7hs de trabalho, enquanto o modelo II necessita de 1 peça de madeira e 8hs de trabalho. Os preços dos modelos são, respectivamente, R$ 120,00 e R$ 80,00. Quantos biombos de cada modelo o carpinteiro deve montar se deseja maximizar o rendimento obtido com as vendas?
Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades produtivas:
	a) Arrendamento - Destinar certa quantidade de alqueires Para a plantação de cana de açúcar, a uma usina 	local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra R$ 300,00 por alqueire por ano;
	b) Pecuária - Usar outra parte para a criação de gado de corte. A recuperação das pastagens requer adubação 	(100 kg/alqueire) e irrigação (100.000 litros de água/alqueire) por ano. O lucro estimado nessa atividade é de 	R$400,00 por alqueire por ano.
	c) Plantio de Soja - Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200 kg por alqueire de 	adubos e 200.000 litros de água por alqueire para irrigação por ano. O lucro estimado nessa atividade é de R$ 	500,00 por alqueire por ano.
A disponibilidade de recursos por ano é de 12.750.000 litros de água, 14.000 kg de adubo e 100 alqueires de terra. Quantos alqueires deverá destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno? Construa o modelo de decisão e resolva-o no Excel.
Uma oficina mecânica deseja alocar o tempo ocioso disponível em suas máquinas para a produção de 3 produtos. A tabela abaixo dá as informações sobre as necessidades de horas de máquina para produzir uma unidade de cada produto, assim como a disponibilidade das máquinas, o lucro dos produtos e a demanda máxima existente no mercado. Deseja--se o esquema semanal de produção de lucro máximo.
	Tipo de máquina
	Produto A
	Produto B
	Produto C
	Tempo disponível (horas por semana)
	Torno
	5
	3
	5
	400
	Fresa
	8
	4
	0
	500
	Furadeira
	2
	5
	3
	300
	Lucro
	20
	15
	18
	
	Demanda semanal
Mínima
	40
	50
	20
	
Uma companhia de armazéns tem 1200 dólares para alocar a um de seus armazéns. Três produtos 1, 2 e 3 exigem 30, 3 e 15 m2 de espaço por unidade, respectivamente. Há 1500 m2 de espaço disponível. O produto 1 custa 12 dólares, o produto 2 custa 4,50 dólares e o produto 3 custa 17 dólares. Quanto de cada produto deve ser comprado se os preços de venda dos produtos 1, 2 e 3 são, respectivamente, de 15, 6 e 21 dólares, de modo a maximizar o lucro?
Uma empresa dispõe de recursos produtivos suficientes para produzir 3 diferentes produtos P1, P2 e P3. A capacidade de armazenagem, se fosse fabricado apenas um produto, seria de:
1000 unidades para P1
900 unidades para P2
1200 unidades para P3
Espera-se ter que armazenar no máximo a produção de 5 dias. A capacidade de produção por hora para cada produto individualmente é de: 10 unidades para P1; 6 unidades para P2 e 15 unidades para P3. A disponibilidade é de 8h/dia.
A disponibilidade diária de matéria-prima, usada nos 3 produtos, é de 240 kg. O uso por unidade de produto é de: 1,5 kg para P1, 2,4 kg para P2 e 2 kg para P3.
Se os lucros unitários são de $500,00 para P1, $800,00 para P2 e $400,00 para P3, qual a produção diária ótima?
Uma pequena fábrica de papel toalha manufatura três tipos de produtos A, B e C. A fábrica recebe o papel em grandes rolos. O papel é cortado, dobrado e empacotado. Dada a pequena escala da fábrica, o mercado absorverá qualquer produção a um preço constante. O lucro unitário de cada produto é respectivamente R$ 1,00, R$ 1,50, e R$ 2,00. O quadro abaixo identifica o tempo requerido para operação (em horas) em cada seção da fábrica, bem como a quantidade de máquinas disponíveis, que trabalham 40 horas por semana. Planeje a produção semanal da fábrica.
	
Seção
	Produto A
	Produto B
	Produto C
	Qde. Máquina
	Corte
	8
	5
	2
	3
	Dobra
	5
	10
	4
	10
	Empacotamento
	0,7
	1
	2
	2
Uma empresa, após um processo de racionalização de produção, ficou com disponibilidade de 3 recursos produtivos, R1, R2 e R3. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de $120,00 por unidade e P2, $150,00 por unidade. O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de uso de recursos:
	Produto
	Recurso R1 por unidade
	Recurso R2 por unidade
	Recurso R3 por unidade
	P1
	2
	3
	5
	P2
	4
	2
	3
	Disponibilidade de recursos por mês
	100
	90
	120
Que produção mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para a empresa? Construa o modelo do sistema.
Um distribuidor de produtos para festas infantis compra dos produtores chapéus de papel, línguas-de-sogra e bexigas, e prepara caixas com esses três produtos na forma de kits para festas. Observações anteriores mostram que:
A quantidade de chapéus e línguas-de-sogra deve ser pelo menos 50% do total.
O pacote deve ter pelo menos 20 bexigas.
Cada item deve concorrer com pelo menos 25% do total da caixa.
O custo dos componentes (em milhares de unidades) é: Chapéu de papel: 50000; Língua-de-sogra:20000; Bexigas: 5000. Qual a composição da caixa que tem o menor custo?
Deseja-se obter uma dieta para rações de gado, que contenha os nutrientes N1, N2, N3, N4. As indústrias locais de alimentosfabricam dois produtos: “A” e “B”, os quais contém as seguintes quantidades de nutrientes por quilo:
	Produto
	N1
	N2
	N3
	N4
	A
	100g
	
	100g
	200g
	B
	
	100g
	200g
	100g
Sabe-se que o gado deve consumir diariamente, pelo menos 0,4 kg de N1, 0,6 Kg de N2, 2 Kg de N3 e 1,7 kg de N4. O alimento “A” custa R$ 80,00 por quilo e o “B” R$ 32,00 /kg. Determinar as quantidades diárias de “A” e “B” a serem usadas por animal, de modo a se obter um menor custo.
Sabe-se que os alimentos leite, carne e ovos fornecem as quantidades de vitaminas dadas na tabela abaixo:
	Vitamina
	Leite (litro)
	Carne (kg)
	Ovos (dúzia)
	Quantidade diária mínima
	A
	0,25 mg
	2 mg
	10 mg
	1 mg
	B
	25 mg
	20 mg
	10 mg
	50 mg
	C
	2,5 mg
	200 mg
	10 mg
	10 mg
	Custo diário
	R$ 2,20
	R$ 17,00
	R$ 4,20
	
Deseja-se calcular quais as quantidades de leite, carne e ovos, a fim de satisfazer as quantidades diárias mínimas de nutrientes a um custo mínimo. Formule e resolva o problema no Excel.
Uma empresa produz televisão em 3 fábricas: São Paulo, João Pessoa e Manaus. Os pontos principais de revenda, com as respectivas encomendas mensais são:
	Rio de Janeiro
	6.000 unidades
	Salvador
	5.000 unidades
	Aracajú
	2.000 unidades
	Maceió
	1.000 unidades
	Recife
	3.000 unidades
A produção máxima mensal em cada fábrica é:
	São Paulo
	10.000 unidades
	João Pessoa
	5.000 unidades
	Manaus
	6.000 unidades
O custo de transportes das fábricas até as revendas é dado pelo quadro abaixo:
R$ por 1.000 unidades de TV
	Para
De
	Rio de Janeiro
(1)
	Salvador
(2)
	Aracaju
(3)
	Maceió
(4)
	Recife
(5)
	(1) São Paulo
	1.000
	2.000
	3.000
	3.500
	4.000
	(2) João Pessoa
	4.000
	2.000
	1.500
	1.200
	1.000
	(3) Manaus
	6.000
	4.000
	3.500
	3.000
	2.000
Determinar o número de unidades produzidas em cada fábrica e entregues a cada revenda, a fim de minimizar o custo de transporte.
Trata-se do dimensionamento da equipe de uma empresa coletora de resíduos urbanos. A cidade para onde os serviços de coleta estão sendo planejados foi subdividida em blocos, com número variável de quarteirões por bloco. O critério para definição dos blocos foi estabelecido em função do número de quarteirões que uma equipe básica formada por 1 (um) motorista e 2 (dois) auxiliares é capaz de cobrir em um dia de trabalho. A empresa propõe que em alguns desses blocos seja implantado o sistema seletivo de coleta de resíduos, ao invés do sistema padrão. O Quadro 1 resume as informações básicas desses dois sistemas.
	Tipos de Coleta
	Parâmetros
	
	Quadro Máximo de Funcionários no Sistema
	Funcionários Necessários por Bloco
	Receita da Empresa por Bloco
	Padrão
	72
	3
	90
	Seletiva
	96
	6
	120
A empresa decidiu que empregará uma equipe total de no máximo 120 funcionários. A questão gerencial da empresa, numa primeira etapa, é: como alocar esses funcionários nos dois sistemas de coleta de resíduos, de forma a maximizar a receita obtida pela empresa? Complementarmente, a resposta a essa pergunta definirá quantos blocos terão coleta seletiva de resíduos, para que no futuro sejam selecionados e preparados para receber esse tipo de coleta.
O coordenador de um projeto que trabalha com estudantes universitários e do ciclo básico pediu a uma emissora pública de televisão, com programação voltada exclusivamente para educação e cultura, que transforme uma série de gravações sobre o tema “educação ambiental” em duas novas mídias diferentes: (i) um curso apostilado e (ii) um DVD multimídia. Com essa iniciativa, a emissora gostaria de atingir um público mínimo de 330 alunos de segundo grau em escolas privadas, 1150 na rede pública e 350 universitários em instituições públicas ou privadas. Estimativas para os custos de produção e de estudantes beneficiados por alternativa são apresentadas na tabela abaixo.
	
	
	
	Estudantes Beneficiados por Lote
	Mídia
	Unidades por Lote
	Custo ($) por Lote
	Alunos da Rede Privada
	Alunos da Rede Pública
	Universitários
	Coleção de Apostilas
	10
	100
	70
	200
	50
	DVD Multimídia
	10
	60
	26
	100
	40
A emissora precisa definir quantas unidades 3de cada mídia devem ser produzidas, e tem apenas $620 disponíveis para atender a esse pedido.
32) 	Uma empresa de transporte aéreo dispõe de 8 aviões Boeing-727, 15 Electra e 12 Bandeirantes para levar cargas de SP aos aeroportos do Rio e de Porto Alegre. No momento, a partir de SP, 150 toneladas de carga devem ser enviadas para o Rio, e 100 toneladas para Porto Alegre. Os aviões possuem tonelagens diferentes, e em função da rota e da aeronave utilizada os custos de transporte variam; estes valores estão mostrados na tabela a seguir. Encontrar o número ideal de aviões (quantos e quais) em cada rota capaz de atender a demanda de cargas a um custo mínimo de transporte.
	Custos
	Aeronaves
	
	B-727
	Electra
	Bandeirantes
	SP --> Rio
	23
	5
	1,4
	SP --> Porto Alegre
	58
	10
	3,8
	Tonelagem
	45
	7
	4
a) Construa o modelo de programação linear correspondente.
33) 	Uma tarefa é constituída de três operações: Preparação, Embalagem e Transporte. As capacidades máximas diárias de cada seção são: Preparação: 160 up (unidades de preparação), Embalagem: 240 ue (unidades de embalagem), Transporte: 170 ut (unidades de transporte). A manipulação de uma unidade de produto A exige 5up, 10ue e 5ut; para o produto B, cada unidade exige 2up, 2ue e 6ut; uma unidade do produto C exige 8up, 6ue e 3ut. Os lucros líquidos de cada unidade A, B e C são, respectivamente 10, 8, 5 unidades monetárias.
Formule o programa de tarefas (decisão quanto às quantidades de A, B e C), sob a forma de um Modelo 	de Programação Linear, de modo a maximizar o lucro líquido total sem ultrapassar as capacidades 	máximas das seções.