Aula_2_-_Fenomenos_de_transporte

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FENÔMENOS DE TRANSPORTE B - Aula 2
Profª: Valéria Rodrigues
• Fluido contínuo;
• Campo de velocidade e de aceleração;
• Regime permanente e transitório;
• Escoamentos Uni, Bi e Tridimensional;
• Campo uniforme de escoamento;
• Linhas de corrente, emissão e trajetórias;
• Campo de tensão;
• Viscosidade: dinâmica e cinemática;
• Fluido Newtoniano e Fluido Não Newtoniano;
• Pressão, temperatura e tensão superficial;
• Descrição e classificação dos movimentos dos fluidos;
• Exemplos de cálculo.
Todos os materiais são constituídos de moléculas.
O estudo das propriedades do fluido a partir do comportamento
de suas moléculas consiste no enfoque molecular (matéria
descontínua).
O estudo do fluido a partir do enfoque molecular é de difícil
solução matemática (a derivada de uma função só pode ser
calculada em um ponto se a função for contínua naquele ponto).
As propriedades do fluido são funções contínuas da posição e do
tempo.
É conveniente tratar o fluido como ummeio contínuo.
Volumes muito pequenos promovem uma grande variação de ρ,
porém acima de certo valor essa propriedade torna-se estável.
Ex: δ∀ = 0,001 mm3 (grão de areia) possui em média 2,5 × 1013 moléculas.
Gases e líquidos (CNTP) podem ser tratados como um meio contínuo.
• Por menor que seja a divisão de um fluido (dm, dx, dv, etc), a parte
isolada deverá apresentar as mesmas propriedades que a matéria
como um todo.
• A hipótese do contínuo permite estudar as propriedades dos fluidos
através do cálculo diferencial e/ou integral, uma vez que a
continuidade é fundamental na teoria do cálculo.
massa específica
Massa m
Volume
  

 O conceito de contínuo é a base da mecânica clássica dos fluidos .
Cada propriedade do fluido é considerada como tendo um valor
definido em cada ponto no espaço.
 A hipótese do contínuo é válida no tratamento do comportamento
dos fluidos sob condições normais (CNPT).
 Essa teoria falha somente quando a trajetória média livre
das moléculas torna-se da mesma ordem de grandeza da menor
dimensão característica significativa do problema.
 Ocorre em casos específicos (escoamento de um gás rarefeito em
camadas superiores da atmosfera).
Definição da massa específica em um ponto 
Na teoria cinética dos gases e na mecânica estatística realiza-se a análise dos fluidos considerando a ação de cada
molécula. Nas aplicações de engenharia estudam-se as manifestações médias mensuráveis de um conjunto de
moléculas.
Representação de campo escalar
A massa δm será dada pelo número instantâneo de moléculas contidas no
volume δ∀ de modo que a massa específica média é dada por ρ = δm/δ∀
(valor flutuante).
 Moléculas entram enquanto outras saem.
 A massa específica em um “ponto” flutua aleatoriamente com o tempo.
A linha pontilhada vertical representa um volume específico escolhido (δ∀) e
cada ponto dado representa a massa específica (ρ) medida em um
determinado instante.
D = 0,01 μm15 moléculas 17 moléculas
t1 t2
Conceito do meio contínuo  possibilita o tratamento
matemático adequado às aplicações de engenharia.
São meios deformáveis, seus átomos ou suas
moléculas estão muito próximos uns dos outros.
O material pode ser considerado, macroscopicamente, 
como uma massa homogênea.
Dimensões 
muito 
pequenas
Substância homogênea  as características médias permanecem as mesmas
no cubo de tamanho reduzido.
As características médias tenderão aos limites. dVol
dm
ΔVol
Δm
lim
0ΔV


ρ
dVol
dP
ΔVol
ΔP
lim
0ΔV


γ
As quantidades médias variam de maneira contínua.
O elemento possui propriedades que dependem ou não da quantidade da substância presente.
As que dependem  extensivas (massa, peso, capacidade calorífera...).
As que não dependem  intensivas (massa específica, peso específico...).
ρH20 = 1.000 kg/m
3 a 4°C, ϒ = 9,81 kN/m3
massa aceleração da gravidade
Volume
Peso m g
Volume
    

Densidade Relativa - dr ou SG (Specific Gravity)
Relação entre a massa específica de uma substância e a de outra
tomada como referência.
o
dr



Líquidos  água a 4 oC.
Gases ar atmosférico a 0oC.
O peso específico, ϒ, pode ser representado por:
SG = 1SG =
𝜌
𝜌𝐻2𝑂
𝛾 =
𝑚𝑔
∀
= 𝜌g
Campo de Escoamento
A descrição de qualquer propriedade do fluido como massa
específica, pressão, velocidade e aceleração é formulada em
função das partículas. A representação dos parâmetros dos
fluidos em função das coordenadas espaciais e do tempo
denomina-se campo de escoamento.
A velocidade é uma grandeza vetorial, possui módulo, direção e 
sentido para sua completa descrição.
Em termos de suas três componentes escalares.
Distribuição da temperatura em uma sala – Campo de temperatura (grandeza
escalar).
T = T (x,y,z, t1)
T = T (x,y,z, t2)
T = T (x,y,z, t3)...
T = T (x,y,z, tn)
T = T (x,y,z,t)
E o campo de velocidades (grandeza vetorial).
kVjViVt)z,y,(x,V zyx


kwjviut)z,y,(x,V


ou ainda
t)z,y,w(x,w
t)z,y,v(x,v
t)z,y,u(x,u



Partícula fluida A: Velocidade  função da posição e do tempo.
  kz(t)jy(t)ix(t)r onde t,rVV AAA


Aceleração da partícula fluida:
 
dt
t,rVd
a AA



 
dt
dz
z
V
dt
dy
y
V
dt
dx
x
V
t
V
dt
t,rVd
a














Regra da cadeia para funções
vetoriais.
 
V 
x 
y 
z 
t 
x 
y 
z 
t 
Funções de t.
zyx Vz
V
V
y
V
V
x
V
t
V
a














Aceleração convectiva
Aceleração instantânea (local)
convectivalocal aaa


Taxa de variação da
velocidade das partículas
fluidas em instante do
campo de escoamento.
Taxa de variação da velocidade das
partículas fluidas em função da
posição no campo de escoamento.
Voltando à expressão de aceleração e relembrando do cálculo.
k
z
f
j
y
f
i
x
f
f










Gradiente de f.
w
z
V
v
y
V
u
x
V
t
V
a














Del ou parcial.
gradf
 
dt
dz
z
V
dt
dy
y
V
dt
dx
x
V
t
V
dt
t,rVd
a














i.i = j.j = k.k = 1
Escoamentos em regime permanente e transitório (não permanente)
Regime permanente
Velocidade não varia no tempo 
𝜕𝑉
𝜕𝑡
= 0, na prática 
𝜕𝑉
𝜕𝑡
≠ 0
Regime transitório
Velocidade varia no tempo de maneira aleatória. Isto é, não existe uma
sequência regular para a variação.
Escoamentos uni (1D), bi (2D) e tridimensionais (3D)
Em geral, um campo de velocidade de um escoamento é tridimensional,
ou seja:
Em alguns casos uma ou duas componentes são muito menores que a(s)
outras (s).
 Se u >> w e v >> w, então, temos escoamento bidimensional.
 Se u >> v e u >> w, então, temos escoamento unidimensional (não
existem, mas pode ser usados para modelar muitos importantes).
Escoamento uniforme em uma dada seção transversal possui velocidade constante através da seção normal ao
escoamento.
Velocidade relativa zero (condição de não deslizamento). 
Velocidade constante através de qualquer seção normal ao escoamento.
 𝑉 = 𝑉𝑥
Exercício FOX: Para os campos de velocidade dados abaixo, determine:
a. Se o campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional.
b. Se o escoamento é em regime permanente ou transiente.
𝑉 = 𝑎𝑦2𝑒−𝑏𝑡 𝑖
𝑉 = 𝑎𝑥𝑦2 𝑖 −𝑎𝑏𝑦𝑡 𝑗
𝑉 = [𝑎𝑒−𝑏𝑥 ] 𝑖 + 𝑏𝑡2 𝑗
𝑉 = 𝑎𝑥2 𝑖 + 𝑏𝑥 𝑗 + 𝑐 𝑘
𝑉 = 𝑎𝑥 𝑖+ 𝑏𝑦 𝑗 + 𝑐𝑡 𝑘
𝑉 = 𝑎(𝑥2 +𝑦2)
1
2(
1
𝑧3
) 𝑘
𝑉 = 𝑎𝑥 + 𝑡 𝑖 − 𝑏𝑦2 𝑗 𝑉 = 𝑎𝑥2 𝑖 − 𝑏𝑥𝑧 𝑗 + 𝑐𝑦 𝑘
Trajetória: Linha traçada por uma dada partícula fluida ao longo
de seu escoamento. Utiliza-se corantes ou fumaça para observar o escoamento.
Usado para estudar, por exemplo, a trajetória de um poluente
liberado em uma chaminé.
Linhas de tempo: várias partículas adjacentes marcadas em 
um dado instante.
X
y
z
Partícula no instante t1
Partícula no instante t2
Partícula no instante t3
Linha de Corrente: tangencia os vetores velocidade de diversas
partículas, umas após as outras
• Duas linhas de corrente não podem se interceptar, senão o ponto
teria duas velocidades.
X
y
z
Partícula 1 no instante t
Partícula 2 no instante t
Partícula 3 no instante t
v1
v2
v3
Analiticamente, para escoamentos 2D, a inclinação da linha de corrente deve ser 
igual a tangente do ângulo que o vetor velocidade faz com o eixo x, ou seja: 
Experimentalmente, a visualização do escoamento com
corantes produz linhas de corrente para um escoamento
permanente, mas para escoamentos não permanentes o
experimento não necessariamente oferece informação sobre
as linhas de corrente.
Linha de Emissão (filete):definida pela sucessão de partículas
que tenham passado pelo mesmo ponto.
A pluma que se desprende de uma chaminé permite visualizar de forma grosseira uma 
linha de emissão.
Ponto de
Referência
Fotografia de seis linhas de emissão para o escoamento sobre um automóvel em
um túnel de vento.
Se o escoamento for permanente  a velocidade em cada ponto do campo
permanece constante com o tempo.
As linhas de corrente (LC) não variam de um instante para outro.
Uma partícula localizada em uma LC permanecerá sobre ela  partículas
consecutivas passando num ponto fixo estarão na mesma LC e permanecerão
nela  Linhas de corrente (LC), linhas de trajetória (LT) e linhas de emissão (LE)
coincidirão.
Integração das equações que definem as linhas tangentes ao campo de
velocidade.
V

jviuV


Escoamento bidimensional
u
v
dx
dy

jdyidxrd


0Vrd


u
v
y
x
Como obter equações das LC?
Pessoa regando plantas com uma mangueira e movendo para
baixo e para cima.
Oque acontece quando diminuímos o diâmetro de uma tubulação?
Exemplo 2.1: Livro Fox et al. (2016). 
Um campo de velocidade é dado por 𝑉 = 𝐴𝑥 𝑖 − 𝐴𝑦 𝑗 as unidades de V são m/s; x
e y são dados em m; A = 0,3 s-1.
a) Obtenha uma equação para as linhas de corrente no plano xy. Resp. xy = c.
b) Trace a linha de corrente que passa pelo ponto (x0, y0) = (2,8). Resp. x0y0 = 16
m2. Ilustrar gráfico.
c) Determine a velocidade de uma partícula no ponto (2,8). Resp. 𝑽 = 𝟎, 𝟔 𝒊 − 𝟐,𝟒 𝒋
d) Se a partícula passando pelo ponto (x0, y0) no instante t = 0 for marcada,
determine sua localização no instante t = 6 s. Resp. (x, y) = (12,1; 1,32).
e) Qual a velocidade desta partícula em t = 6s. Resp. 𝑽 = 𝟑, 𝟔𝟑 𝒊 − 𝟎, 𝟑𝟗𝟔 𝒋
f) Mostre que a equação da trajetória da partícula é a mesma equação da linha de
corrente. Resp. x0y0 = xy.
Campo de tensão
Forças de superfície: geradas pelo contato entre partículas ou
superfícies sólidas. Ex: pressão.
Forças de campo: agem através das partículas. Ex: campo por
gravidade ( 𝑔) e campo por volume (ρ 𝑔d∀).
Vetor unitário normal
Uma componente da tensão é positiva quando o seu sentido e o
do plano no qual atua são ambos positivos ou ambos negativos.
• A tensão que passa por um ponto é especificada pelas suas nove
componentes (tensor de tensão).
• Por um ponto passam um nº infinito de planos, resultando um nº infinito
de tensões.
• O estado de tensão em um ponto é determinado especificando a tensão
que atua nos três planos perpendiculares que passam por esse ponto.
Porém pode ser especificado completamente em três planos quaisquer.
• As componentes das tensões são definidas por índices duplos.
• Os planos são nomeados + ou – de acordo com o sentido da normal.
• Convenção de sinais: o vetor de área dA sempre aponta para fora do
volume de controle (VC).
σ 1,2
Direção do plano no qual a tensão
atua (vetor normal).
Direção do eixo na qual a tensão
aponta.
O estado de tensão pode ser completamente descrito pelas
tensões atuantes em três planos quaisquer ortogonais
entre si que passam pelo ponto.
Tensão normal Tensões cisalhantes
𝝈𝒙𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
δ𝑨𝒙→𝟎
δ𝑭𝒙
δ𝑨𝒙
𝝉𝒙𝒚 = 𝐥𝐢𝐦
δ𝑨𝒙→𝟎
δ𝑭𝒚
δ𝑨𝒙
𝝉𝒙𝒛 = 𝐥𝐢𝐦
δ𝑨𝒙→𝟎
δ𝑭𝒛
δ𝑨𝒙
𝝉𝒙𝒚 Índice duplo.
Atua no plano x e na direção de y.
Tensão normal
Tensões cisalhantes
Plano x-z 
Direção y
Representa o plano pela coordenada que a área
aponta (vetor n).
 𝑛
dAy (+)
σyy
τyz
τyx
dAx
dAy
dAz
Coordenadas retangulares
dAx (+)dAx (-)
dA sempre aponta para fora do VC.
Tensão positiva: dA e τ apontam para o mesmo sentido
do eixo de referência, ou seja, ambos positivos ou
negativos.
Tensão negativa: dA e τ apontam para o sentido contrário
do eixo de referência.
(-)
(+)
(+)
Eixo de referência.
Propriedade que caracteriza a resistência à
modificação relativa das partículas.
Um fluido em repouso não oferece nenhuma resistência à
modificação relativa de suas partículas.
O mesmo ocorre nos fluidos considerados perfeitos.
Fluidos reais  há um esforço de atrito entre
as partículas  esforços tangenciais  tensões
de cisalhamento.
Viscosidade
Sólidos são elásticos e Fluídos são viscosos.
As tensões são desenvolvidas qdo um sólido é deformado e qdo um
fluido é escoado.
Os tipos de fluidos podem ser definidos por meio da relação entre
cisalhamento e escoamento (taxa de deformação).
Lei de Newton da viscosidade 
fluidos newtonianos  a tensão
de cisalhamento é diretamente
proporcional à taxa de
deformação.
O atrito interno  devido, basicamente, às interações
intermoleculares (forças coesivas) e/ou trocas de quantidade de
movimento.
Geralmente função da temperatura.
ƍ
Força constante
Fluido em repouso
y
x
y
x
0A
yx dA
dF
A
F
lim
y

 


Deforma continuamente
Tensão de cisalhamento
Área de contato do elemento fluido com a
placa.
y
u
t d
d
d
dα
 
dy
du
yx 
tl
t
l
u δuδδ
δ
δ
δ 
dy
du
dt
d
t
lim
0t


αα



Taxa de deformação = 
ll δδ  y t δαδδuδ  y t δu/δδα/δ Cateto Adjacente
Cateto Oposto
Intervalo t  fluido deformado: MNOP  M’NOP’
yl
y
l
y
l
tg δαδδ
δ
δ
δα
δ
δ
δα 
Ângulos em radianos.
y
u
t d
d
d
dα

Mostra a igualdade 
Ângulo pequeno
1
2
3 tl δuδδ 
Δy
ΔU
AF μ
Viscosidade absoluta ou dinâmica
 
2L
FT
μ
Dimensão: Unidade no SI:
2m
N.s
2
2
m
.sKg.m/s
Pa.s
m.s
Kg
dy
dU
A
F
μ
Viscosidade cinemática
ρ
μ
ν
 
T
L2
ν
Dimensão: Unidade no SI:
s
m2
Variação da viscosidade de fluidos newtonianos com a
Temperatura e Pressão.
• Para gases:
• O aumento da temperatura, aumenta a viscosidade.
• A pressão somente influencia a partir de 1000 kPa, no qual ocorre aumento
da viscosidade com o aumento da pressão.
• Para líquidos:
• O aumento da temperatura, diminui a viscosidade.
• A pressão geralmente não exerce efeito, porém a viscosidade pode sofrer
aumento em pressões muito altas.
MECÂNICA DOS
FLUIDOS CONTÍNUOS
NÃO VISCOSO VISCOSO
COMPRESSÍVEL INCOMPRESSÍVEL
 OS FLUIDOS VISCOSOS PODEM SER CLASSIFICADOS EM DOIS GRANDES GRUPOS: FLUIDOS
NEWTONIANOS E FLUIDOS NÃO NEWTONIANOS.
dy
du
 
0 20000 40000 60000 80000100000
0
50
100
150
200
SOLUÇÕES DE SACAROSE
ÁGUA
GASOLINA
MERCÚRIO
T
e
n
s
ã
o
 d
e
 C
is
a
lh
a
m
e
n
to
 (
P
a
)
Taxa de Deformação (s)-1
FLUIDOS NEWTONIANOS:
Fluidos não-newtonianos  a deformação não segue a Lei de Newton
 depende do grau de deformação.
Exemplo de pseudoplástico (não dilatante)  tinta látex.
Exemplo de dilatante  água + amido de milho e areia + água (areia movediça).
Exemplo de plástico de Bingham 
pasta de dente, lama de perfuração e
argila.
Reduz-se à lei da viscosidade de Newton para n = 1 e k = μ.
Viscosidade aparente do fluido.
 Fluidos não newtonianos dependentes do tempo:
-FLUIDOS TIXOTRÓPICOS: DECRÉSCIMO NA VISCOSIDADE APARENTE CONFORME A
DURAÇÃO DA TENSÃO.



TIXOTRÓPICO
REOPÉCTICO
EXEMPLO: VIDRO, DIVERSOS TIPOS DE TINTAS.
-FLUIDOS REOPÉCTICOS: APRESENTAM COMPORTAMENTO INVERSO DOS
TIXOTRÓPICOS.
EXEMPLO: SUSPENSÃO DE GESSO, LUBRIFICANTES.
Exemplo 2.2: Livro Fox et al. (2016). 
Uma placa infinita move-se sobre uma segunda placa, havendo entre elas uma
camada de líquido, como mostrado. Para uma pequena altura da camada, d,
podemos supor uma distribuição linear de velocidade no líquido. A viscosidade do
líquido é 0,0065 g/cm.s e sua densidade relativa é 0,88. Determine:
a) A viscosidade absoluta do líquido, em N.s/m2. Resp. 6,50 x 10-4 N.s/m2.
b) A viscosidade cinemática do líquido, em m2/s. Resp. 7,39 x 10-7 m2/s.
c) A tensão de cisalhamento na placa superior, em N/m2. Resp. 0,65 N/m2.
d) A tensão de cisalhamento na placa inferior, em Pa. Resp. Resp. 0,65 Pa.
e) O sentido de cada tensão de cisalhamento calculada nas partes (c) e (d).
Resp. x negativo e x positivo.
Tensão Superficial
Tensão Superficial
Superfície da Água
(líquido)/Ar (gás)
Características da membrana elástica 
esticada (tensão superficial):
• Θ – ângulo de contato.
• σ – módulo de tensão superficial 
(N/m).Membrana elástica
Dependem dos tipos de
líquidos e da superfície.
A pureza do líquido
afeta o ângulo de
contato.
Tensão Superficial
Gotas arredondadas.
Θ > 90° - Água
“molha” a superfície
do carro.
Gotas achatadas.
Θ < 90° - Água “não
molha” a superfície
do carro.
Carro sujoCarro Limpo
Efeitos da tensão superficial. Ex: Gotas de água na superfície do carro sujo e após lavagem (limpo).
Bolha de sabão: a
tensão superficial
age em ambos os
lados (interno e
externo)
Adesão
Coesão
Tensão superficial
+ Sólido hidrófobo (θ > 90°) – Parafina
- Sólido hidrófilo (θ < 90°) – Vidro
Neutro (θ = 90°) – Prata 
As forc ̧as atrativas aplicadas nas moléculas no interior do líquido se
equilibram devido à simetria.
As forças que atuam sobre as moléculas da superfície do líquido não
são simétricas. A força resultante tende a puxar as moléculas da
superfície para o interior da massa líquida. Ocorre equilíbrio entre as
repulsivas das moléculas abaixo da superfície do líquido que são
comprimidas (reduc ̧ão da área de superfície do líquido).
Gota de água no ar 
atmosférico
(adesão < coesão)
A tensão superficial de um líquido decresce com a temperatura e torna-se nula no ponto
crítico, não há interface distinta entre líquido e vapor em temperaturas acima do ponto
crítico. O efeito da pressão na tensão superficial usualmente é desprezível.
Tabela A.4 – Livro Fox, et al. (2016)
Tensão superficial varia com a temperatura. Valores a 20 °C.
A tensão superficial é tão alta
no Hg que as gotas formam
esferas “sólidas” sobre uma
superfície lisa, sem molhar.
Experimento simples para demonstrar a tensão superficial
da água.
Utilize um pote plástico, água da torneira, agulhas de
costura (gilete, clip), detergente para louças. Coloque
água no pote plástico e com bastante cuidado coloque a
agulha flutuando na água. A agulha irá flutuar devido a
tensão superficial. Agora pingue uma gosta de detergente
na superfície da água (longe da agulha). A agulha irá
afundar pois, o detergente quebra a tensão superficial da
água.
O detergente é tensoativo e gera
problemas ambientais em cursos
d’água devido ao despejo de
esgotos sem tratamento na água.
https://www.youtube.com/watch?v=yPT6yTxLPO8
Maior pressão exercida no ponto pela força peso da agulha.
Coloque um pouco de pimenta do reino em pó em um prato com água, não
cubra toda a superfície. Coloque o dedo no centro do prato e nada acontece.
Agora pingue uma gota de detergente em seu dedo e repita o procedimento
anterior. A pimenta do reino em pó vai para as laterais do prato. Isso acontece
porquê o detergente reduz a tensão superficial da água.
https://www.youtube.com/watch?v=2suY9h7xnKg&feature=youtu.be
Coesão, adesão e tensão superficial são responsáveis pela capilaridade da água. A elevação do
líquido é inversamente ao diâmetro do tubo e a temperatura.
Capilaridade: efeito da tensão superficial.
• O efeito capilar é parcialmente responsável pela subida da água em árvores (1).
• A subida da querosene por um pavio de algodão inserido na lamparina (2).
• Medida de pressão em canalizações e reservatórios (3).
• Umidade em elementos estruturais (fundação, pilares) (4).
• Localização de aquíferos confinados e não confinados (5).
1
2
3
4
5
Menisco
Capilaridade: elevação ou rebaixamento da altura (ascensão ou
depressão) de uma coluna líquida em um tubo de pequeno diâmetro
(capilares) imerso em um líquido.
Menisco
As moléculas liquidas na interface sólido-líquido são submetidas por forças coesivas com
outras moléculas liquidas como por forças adesivas com moléculas do sólido.
As moléculas de água são atraídas com maior força pelas moléculas de vidro do que pelas
outras moléculas de água e, portanto, a água tende a subir pela superfície do vidro. O oposto
ocorre com o mercúrio, o que impede a ascensão da superfície do líquido próximo a parede
de vidro.
ρH2O = 1000 kg/m3, ρHg = 13600 kg/m3
Equação de Laplace
Acréscimo da pressão interna. 
Decréscimo da pressão interna. Não altera a pressão interna. 
A resultante da força F é f.
𝑃 =
𝐹𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙
𝐴
𝑃 =
𝜎𝐴𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙
𝐴
𝑃 =
𝜎2π𝑅
π𝑅2
Para uma superfície esférica com raio de curvatura R, a
pressão é dada pela fórmula de Laplace:
Na superfície do líquido a força f atua para cima,
devido à pressão de Laplace, e a força
gravitacional (Fg), para baixo, devido ao peso da
coluna do líquido no capilar.
Interface côncava. 
Pressão de Laplace. 
Área transversal do capilar.
No equilíbrio: f = Fg
Fazer a equação de h em função de D R = D/2, então, h = 4σcosα/ρgD
Equilíbrio de forças na coluna líquida cilíndrica
de altura h no tubo.
A forças do efeito capilar é quantificada pelo ângulo de contato.
Mesmo nível 
O fino filme do dispositivo tem duas superfícies (2b).
F no sentido oposto para
equilibrar o efeito de tração.
Quando o arame móvel é puxado a uma distância ∆x,
área da superfície aumenta em ∆A = 2b∆x e o trabalho
W realizado durante o processo de estiramento é:
F = Tensão (N/m) x comprimento (m)Diferença de pressão
∆A = b∆x + b∆x = 2b∆x
Uma interface curva indica diferença de
pressão ao longo dela, sendo a pressão
maior no lado côncavo.
A pressão ∆P maior que a pressão
atmosférica no interior de uma gotícula ou
bolha é determinada considerando um
diagrama de corpo livre de meia gotícula ou
bolha.
P i =Pressão interna.
P o =Pressão externa.
O excesso de pressão na gotícula líquida em um gás (ou numa bolha de gás em um líquido) – Processo infinitesimal. 
Aumento da energia superficial durante a expansão.
O trabalho de expansão realizado.
Equaçãode Laplace
2πR 𝜎𝑠 + 2πR 𝜎𝑠
A = 4𝜋𝑅2
Exemplo 2.3: Livro Fox et al. (2016). 
Crie um gráfico mostrando a ascensão ou depressão capilar em coluna de
mercúrio ou de água, respectivamente, como uma função do diâmetro do tubo D.
Determine o diâmetro mínimo requerido para cada coluna de modo que a
magnitude da altura seja menor que 1 mm. Resp. DHg = 11,2 mm; Dágua = 30,0
mm.
A equação superestima o efeito da capilaridade e fornece resultados
razoáveis somente para diâmetros menores do que 2,54 mm. Para diâmetros na faixa 2,54 < D < 2
7,94 mm, os dados experimentais para a ascensão capilar em uma interface água-
ar estão correlacionados por meio da expressão empírica Δh = 0,400/e4,37D.
Çengel, et al. (2015).