MODELAGEM E ANÁLISE DE SISTEMAS DINÂMICOS (185)

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5 – Análise do Lugar das Raízes 1
5 – Análise do Lugar das Raízes
5.1 – Objetivos da aula
• Caracterizar o Lugar das Raízes;
• Conceituar as Regras para elaboração do Lugar das Raízes;
• Definir os tipos de análise dos sistemas a partir dos diagramas;
• Exercitar os conceitos.
5.2 - Introdução
O Método do Lugar das Raízes (M.L.R.) é uma técnica desenvolvida por Evans em 1948, que
permite visualizar como variam os polos de um sistema em malha fechada quando se altera o valor
do ganho. Trata-se de um método poderoso de análise e projeto para a estabilidade e a resposta
transitória e sua análise gráfica permite uma descrição qualitativa do desempenho de um sistema
de controle (sistemas realimentados dependem fortemente da matemática).
Os estudos feitos até aqui, contemplaram as respostas de sistemas de primeira e segunda ordens.
Uma vantagem do MLR está na sua capacidade de permitir análises e soluções para sistemas de
ordem superior e pode ser usado para descrever qualitativamente o desempenho de um sistema a
medida que diversos parâmetros são alterados, bem como as faixas de estabilidade de um sistema
específico.
Apesar de ser originalmente uma técnica gráfica para determinação dos polos, o MLR é uma
ferramenta de grande utilidade na definição da estrutura de um controlador e atualmente
encontra-se implementado em diversos pacotes computacionais.
5.3 – O Problema do Sistema de Controle
Um problema conhecido em sistemas de controle é: enquanto os polos da função de transferência
em malha aberta são facilmente determinados (comumente são conhecidos por inspeção e não se
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5 – Análise do Lugar das Raízes 2
alteram com mudanças no ganho do sistema), os polos da função de transferência a malha fechada
são mais difíceis de determinar (normalmente não podem ser encontrados sem fatorar o
polinômio característico do sistema, o denominador da função de transferência). Além disso, os
polos a malha fechada se alteram quando se muda o ganho. 
Isso pode ser facilmente observado na seguinte: 
Figura 5.1 – Sistema de controle com realimentação [NISE]
Neste exemplo da figura acima, temos:
Função de Transferência de Malha Aberta:
FTMA=K⋅G(s )⋅H (s) (5.1)
Função de Transferência de Malha Fechada:
FTMF=T (s)= K G(s)
1+KG (s )H (s) (5.2)
Exercício 5.1: Seja G(s)= s+1s (s+2) e H (s)=
s+3
s+4
a) Calcule os zeros e polos do sistema em malha aberta.
b) Determine a função de transferência em malha fechada. Determine seus zeros.
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c) Verifique que os polos do sistema em malha fechada são mais difíceis de calcular e dependem
do ganho K.
5.4 – Representação Vetorial de Números Complexos
Um número complexo s=σ+ jω=M ∠ θ pode ser descrito como um vetor:
Figura 5.2 – Representação vetorial de números complexos [NISE]
Quando o número complexo é substituído em uma função complexa F(s) , temos como resultado
outro número complexo. Por exemplo, se F(s)=s+a , substituindo então o número complexo
s=σ+ jω resulta F ( s)=(σ+a) jω , outro número complexo. Este número é mostrado a
seguir:
Figura 5.3 – Representação vetorial do número F (s )=(σ+a ) jω [NISE]
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5 – Análise do Lugar das Raízes 4
Observe que F(s) apresenta um zero em -a. Se deslocarmos o vetor de 'a' unidades para a
esquerda, como a seguir, teremos uma representação alternativa do número complexo que se
origina no zero de F(s) e termina no ponto s=σ+ jω .
Figura 5.4 – Representação alternativa do número F ( s)=(σ+a) jω [NISE]
Concluímos que (s+a) é um número complexo e pode ser
representado por um vetor traçado a partir do zero da função ao
ponto s. 
Exemplo 5.1: F ( s)=s+7 calculada no ponto s=5+ j2 vale F (5+ j2 )=12+ j2 e pode ser
obtido traçando a partir do zero da função, -7, um vetor até s=5+ j2 como mostrado a seguir.
Figura 5.5 – Representação de F ( s)=s+7 calculada em s=5+ j2 [NISE]
Vamos agora admitir a função:
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F (s )=
∏
i=1
m
(s+ zi)
∏
j=1
n
( s+ p j)
=
(s+z1)(s+z 2) ...(s+ zm)
(s+ p1)(s+ p2)...(s+ pn)
(5.3)
Nesta função temos fatores complexos no numerador e no denominador e uma vez que cada fator
complexo pode ser visto como um vetor, a magnitude M de F(s) em cada ponto s é dada por:
M=
∏
i=1
m
|(s+zi)|
∏
j=1
n
|(s+ p j)|
(5.4)
A expressão acima pode ser interpretada como “o produto das distâncias até os zeros dividido pelo
produto das distâncias até o polos” (pois |s+ z i| é a magnitude do vetor traçado a partir do zero
de F(s) em −z i ao ponto s e |s+ p j| é a magnitude do vetor traçado a partir do polo de F(s)
em −p j ao ponto s.
O argumento (ângulo ou fase) de F(s), em qualquer ponto s é dado por:
θ=∑
i=1
m
|(s+z i)−∑
j=1
n
|(s+ p j) (5.5)
A expressão acima pode ser interpretada como “a soma dos ângulos de dos zeros menos a soma
dos ângulos dos polos” (onde o argumento do zero é o ângulo, medido no sentido trigonométrico,
a partir do eixo real, de um vetor traçado do zero de F(s) em −z i ao ponto s e o argumento do
polo é o ângulo, medido no sentido trigonométrico a partir do eixo real, de um vetor traçado do
polo de F(s) em −p j ao ponto s.
Exercício 5.2 (NISE p.316): Dado F ( s)= (s+1)s(s+2) , obtenha F(s) no ponto s=−3+ j4 usando a
abordagem geométrica vista acima.
Exercício 5.3 (NISE p.316): Dado F ( s)= (s+2)(s+4)s(s+3)(s+6) , obtenha F(s) no ponto s=−7+ j9 das
seguintes formas:
a) Substituindo diretamente o ponto em F(s).
b) Calculando o resultado usando vetores.
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5.5 – Definindo o Lugar Geométrico das Raízes
O Lugar Geométrico das Raízes (L.G.R.) é um diagrama construído no plano complexo a partir dos
polos e zeros do sistema em malha aberta, que representa o conjunto de polos do sistema em
malha fechada para cada valor de ganho. 
Seja o sistema de controle em malha fechada representado pelo diagrama de blocos abaixo:
Figura 5.6 – Sistema em Malha Fechada
Sua Função de Transferência em malha fechada é dada por:
C ( s)
R(s)
=
G(s )
1+G (s)⋅H (s) (5.6)
Para um SLIT, a Função de Transferência de Malha Aberta assume a forma:
G(s)⋅H (s)=
k (s−z1)(s−z2)...(s− zm)
(s−p1)(s− p2)...(s− pn)
, k>0 (5.7)
sendo z1, z2, …, zm os zeros em malha aberta; p1, p2, ... , os polos em malha aberta e k o ganho (ou,
mais apropriadamente, o ganho aparente), que, por simplicidade, é suposto positivo. 
Os polos do sistema em malha fechada determinam as características dinâmicas da resposta do
sistema em malha fechada e são as raízes da equação: 
1+G(s)⋅H ( s)=0 (5.8)
Ou seja:
G(s)⋅H (s)=
k (s−z1)(s−z2)...(s− zm)
(s−p1)(s− p2)...(s− pn)
=−1+ j⋅0 (5.9)
A representação complexa foi adotada para enfatizar que se trata de uma igualdade de números
complexos, a qual envolve duas condições: 
1. a condição de fase definida por: 
∢G (s)⋅H (s)=180o±i⋅360o (i=0,1,2,. ..) (5.10)
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que, no caso de um SLIT, pode ser expressa como:
∑
i=1
m
∣(s+ z i)−∑
j=1
n
∣(s+ p j)=180o± i⋅360o (i=0,1,2 , ...) (5.11)
O L.G.R. é definido pelo conjunto de pontos s no plano complexo que satisfazem esta condição. 
Note que ( é um número complexo, cuja representação no plano complexo é apresentada na figura
abaixo:
Figura 5.7 – Representação de (s-zi)
Para facilitar o entendimentoda expressão (5.11), vamos definir ϕi=| s−z i , como sendo a
contribuição de fase do zero zi, medida no sentido anti-horário a partir do eixo real. Da mesma
forma, θ j=| s−p j , é a fase do número complexo s-pj e corresponde à contribuição de fase do
polo pj. Portanto, a condição de fase pode ser escrita na forma: 
ϕ1+ϕ2+...+ϕm−θ1−θ2− ...−θn=180
o±i⋅360o (i=0,1,2 , ...) (5.12)
e define a condição geométrica que determina a pertinência ou não de um ponto do plano
complexo ao L.G.R.. Observe que essa condição é independente do valor do ganho k. 
2. a condição de módulo(ou de ganho) definida por:
|G(s )⋅H (s)|=1 (5.13)
No caso de um S.L.I.T., para um dado ponto s*do plano complexo que satisfaz a condição de
módulo vale a relação: 
|G(s*)⋅H (s*)|=k⋅|(s
*−z1)|⋅|(s
*−z2)|⋅...⋅|(s
*−zm)|
|( s*−p1)|⋅|(s
*−p2)|⋅...⋅|(s
*− pn)|
=1 (5.14)
e portanto:
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k=
|(s*−p1)|⋅|(s
*−p2)|⋅...⋅|(s
*− pn)|
|(s*−z1)|⋅|(s
*−z2)|⋅...⋅|(s
*−zm)|
(5.15)
que é a condição de ganho. 
Resumindo: 
1 – Condição de FASE:
∑
i=1
m
|(s+ z i)−∑
j=1
n
|(s+ p j)=180o±i⋅360o (i=0,1,2,...)
2 – Condição de GANHO:
|K G (s)⋅H ( s)|=1
Em resumo pode-se afirmar que a condição de fase fornece os
subsídios para a construção do L.G.R. e a condição de ganho
permite parametrizá-lo em termos do ganho k.
Vamos entender melhor o conceito com um exercício.
Exercício 5.4: Um sistema de câmara de vídeo, semelhante ao mostrado na figura a seguir, pode
acompanhar automaticamente um objeto. O sistema de rastreamento consiste em um sensor
duplo e um transmissor, em que um componente é montado sobre a câmara e o outro usado pelo
objeto. Uma diferença entre as saídas dos dois sensores que recebe energia do transmissor faz
com que o sistema gire a câmara para eliminar a diferença e seguir a fonte de energia.
Figura 5.8 – Câmera de vídeo com sistema de controle de posição
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Admita a representação em diagrama de blocos deste sistema apresentada a seguir:
Figura 5.9 – Diagrama de Blocos do sistema da Câmera de segurança com rastreamento automático [NISE]
a) Encontre a função de transferência em malha fechada T (s)=
C (s)
R(s) , em função de
K=K1 K 2 .
b) os polos da função de transferência encontrada em (a) variam em função de K. Preencha a
tabela a seguir com o valor destes polos.
K Polo 1 Polo 2
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
c) Localize estes polos no plano complexo para cada valor de K.
Se retirarmos a localização dos polos individuais e representarmos o seu percurso por linhas
cheias, esta representação recebe o nome de Lugar das Raízes.
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d) Baseado na definição acima, esboce o Lugar das Raízes para este exercício.
e) Baseado no LGR obtido no item anterior, determine o intervalo de valores de K para qual o
sistema é:
• superamortecido;
• criticamente amortecido;
• subamortecido;
• estável.
Exemplo 5.2: Seja o sistema dado pelo seguinte diagrama:
Figura 5.10 – Sistema em Malha Fechada
Temos:
FTMA= k
s⋅(s+2) , polos reais em 0 e -2
FTMA= k
s2+2s+k
, {k=0→ polos reais em 0e−2k=1→ poloduplo real em−1k=2→ polos complexos em−1± j⋅1
O L.G.R. pode ser construído, determinando-se os polos de Função de Transferência em malha
fechada para diversos valores de ganho assumindo a forma:
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Figura 5.11 – Lugar das Raízes do Sistema
onde as setas indicam a trajetória dos polos de malha fechada a medida que se aumenta o ganho.
Vamos estudar agora algumas propriedades do lugar das raízes para depois entendermos as regras
de construção do LGR.
5.6 – Propriedades do Lugar das Raízes
Vimos em exercícios e exemplos anteriores, como chegar ao lugar das raízes encontrando as raízes
de um polinômio de segunda ordem no denominador da função de transferência. 
Considere o que aconteceria se aquele polinômio fosse de quinta ou décima ordem. Encontrar as
raízes do polinômio para um número elevado de valores de ganho, sem o uso de um computador
seria um grande problema.
Ao analisar as propriedades do lugar das raízes seremos capazes de fazer um esboço rápido do
lugar das raízes para sistemas de ordem superior sem ter que encontrar as raízes do denominador
da função de transferência a malha fechada. Seja o sistema de controle geral a seguir: 
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Figura 5.12 – Sistema de controle de malha fechada [NISE]
Já vimos anteriormente que a FTMF é dada por:
T (s)= K G(s)
1+KG (s )H (s)
Das condições de Módulo e Fase já vistas, temos
|KG (s)H (s )|=1
|(KG (s)H (s))=(2m+1)⋅180o
(5.16)
• desta forma, se quisermos saber se um ponto está no lugar das raízes de um dado sistema,
substituímos s em KG (s)H (s) o que resulta num número complexo. 
• se o ângulo do número complexo for um múltiplo ímpar de 180°, este valor de s é um polo
do sistema para um valor particular de K. 
Uma vez que o critério do ângulo seja atendido, tudo o que resta a satisfazer é o critério da
magnitude. Por conseguinte, 
K= 1
∣G(s)∣∣H (s)∣ (5.17)
Exercício 5.5: Considere o sistema a seguir:
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Figura 5.13 – Sistema de controle [NISE]
E diagrama de polos e zeros:
Figura 5.14 – Diagrama de polos e zeros do sistema acima [NISE]
Verifique se o ponto −2+ j3 pertence ao lugar das raízes para algum valor de K.
Resolução: Se este ponto for um polo em malha fechada, então devemos ter
∣(KG (s)H (s))=(2m+1)⋅180o ou ∣(G (s)H (s))=(2m+1)⋅180o , pois K é real.
Já vimos, da expressão (5.11) na condição de fase que o cálculo acima pode ser obtido como a
diferença entre os ângulos dos zeros e dos polos, como pode ser visto abaixo:
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Figura 5.15 – Contribuição dos polos e zeros no ponto −2+ j3 [NISE]
Assim, ϕ1+ϕ2−θ3−θ4=56,31
o+71,57o−90o−108,43o=70,55o .
Pelo resultado acima, conclui-se que o ponto −2+ j3 não é um ponto sobre o lugar das raízes,
ou seja, não é um polo em malha fechada para nenhum valor do ganho.
b) Repita o exercício acima para o ponto s=−2+ j √2
2
 e caso ele seja um ponto do lugar das
raízes, determine o valor do ganho K que satisfaz esta condição.
Exercício 5.6: Para um sistema com realimentados unitária e função de transferência no canal
direto igual a 
G(s)= K (s+2)
(s2+4s+13)
Pede-se:
a) Calcule o ângulo de G(s) no ponto −3+ j0 encontrando a soma algébrica dos ângulos dos
vetores desenhados a partir dos zeros e polos de G(s) para o ponto dado. 
b) Determine se o ponto especificado em(a) está sobre o lugar das raízes. 
c) Se o ponto especificado em (a) estiver sobre o lugar das raízes, encontre o ganho K, usando os
comprimentos dos vetores. 1
1 Resp: (a) Soma dos ângulos = 180° (b) O ponto está sobre o lugar das raízes (c) 10 = K . 
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5.7 – Esboçando o Lugar das Raízes
5.7.1 - Definições
• Ramo: é o caminho que o polo percorre. Existe um ramo para cada polo a malha fechada. 
O número de ramos do lugar das raízes igual ao número de polos
a malha fechada.
O lugar das raízes do sistema discutido no item anterior (reproduzido a seguir) apresentadois
ramos, um começando em 0 e o outro em -10. 
Figura 5.16 – Diagrama de Blocos do sistema da Câmera de segurança com rastreamento automático [NISE]
Figura 5.17 – Lugar das Raízes do sistema de Ca mera [NISE]
• Simetria: cada ponto do lugar das raízes representa um polo, ou seja, uma raiz do
polinômio característico do sistema de controle a malha fechada. Também sabemos que
um polinômio com coeficientes reais ou tem raízes reais ou complexo conjugadas. 
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5 – Análise do Lugar das Raízes 16
Portanto, o lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real.
A figura acima ilustra essa simetria. A seguir serão apresentadas algumas propriedades do L.G.R.
que são utilizadas na sua construção.
5.7.2 – L.G.R. Sobre o eixo real
Para analisar o comportamento do L.G.R. sobre o eixo real é conveniente avaliar inicialmente a 
contribuição de fase de um par de polos ou zeros complexos conjugados de malha aberta. A figura
abaixo mostra que a contribuição de fase de um par de polos complexos conjugados para um
ponto no eixo real é de θ1+θ2=360
o . Portanto o comportamento do L.G.R. Sobre o eixo real
depende exclusivamente dos polos e zeros reais.
Figura 5.18 – Contribuição de fase de polos complexos conjugados
Para um ponto s* sobre o eixo real, as possíveis contribuições de fase são:
• +ϕi=+180
o , para cada zero real de malha aberta zi, a direita de s*;
• −θ j=−180
o , para cada polo real de malha aberta pi, a direita de s*;
• +ϕi=θ j=0
o , para cada zero zi ou polo pi real de malha aberta zi, a esquerda de s*;
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5 – Análise do Lugar das Raízes 17
No eixo real, para K>0, o lugar das raízes existe à esquerda de
um número ímpar de polos e/ou zeros finitos de malha aberta
sobre o eixo real. 
Exemplo 5.3: Seja o sistema cuja Função de Transferência em malha aberta é dada por:
FTMA=(s+2)⋅(s+4,5)
(s−1)⋅(s+7)
Note-se que o L.G.R. atende as três regras
apresentadas. 
Exercício 5.7: Encontre o LGR sobre o eixo real do sistema de controle mostrado a seguir:
5.7.2 - Pontos de Início e Término do L.G.R.
Os pontos de início (ou “partida”) do L.G.R. são os polos da Função de Transferência em malha
fechada quando k→0 , ou seja, quando não há realimentação. Portanto o L.G.R. tem início nos
polos da Função de Transferência em malha aberta. 
Os pontos de término (ou “chegada”) do L.G.R. são os polos da Função de Transferência em malha
fechada quando k→∞ , os quais podem ser obtidos a partir da condição de módulo escrita na
forma: 
∣(s− z1)∣⋅∣(s−z2)∣⋅...⋅∣(s−zm)∣
∣(s− p1)∣⋅∣(s−p2)∣⋅...⋅∣(s− pn)∣
=1
k (5.18)
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5 – Análise do Lugar das Raízes 18
Verifica-se que quando k→∞ , o L.G.R. tende aos zeros da Função de Transferência em Malha
Aberta do sistema. 
Outra forma de verificar isso, pode ser vista em [NISE], utilizando o diagrama de blocos
realimentado padrão, apresentado no início deste capítulo.
Figura 5.19 – Sistema com realimentação negativa padrão
Fazendo G(s)=
N G(s)
DG (s)
, H (s)=
N H (s)
DH (s)
 e T (s)=
K G (s)
1+K G (s)H (s) , temos:
T (s)=
K
N G (s)
DG(s)
1+
K N G (s)N H (s)
DG(s)DH (s)
 → T (s)=
K
N G(s)
DG (s)
DG(s )DH (s)
DG (s)DH (s)+K N G(s)N H (s)
→
T (s)=
K N G( s)DH (s)
DG (s)DH (s)+K N G(s)N H (s)
(5.19)
O lugar das raízes é definido pelas raízes da equação característica:
DG (s)DH (s)+K N G (s)N H (s)=0 (5.20)
• Fazendo k→0 , a equação acima fica: DG (s)DH (s)=0 e vemos que os polos do
sistema a malha fechada nos ganhos pequenos tendem aos polos combinados de G(s) e
H(s), ou seja, o lugar das raízes se inicia nos polos de G(s) e H(s), a função de transferência
de malha aberta;
• Fazendo k→∞ , a equação acima fica aproximadamente igual a : K N G (s)N H (s)=0 e
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5 – Análise do Lugar das Raízes 19
vemos que os polos do sistema de malha fechada nos ganhos elevados tendem aos zeros
combinados de G(s) e H(s), ou seja, o lugar das raízes termina nos zeros de G(s) e H(s), a
função de transferência de malha aberta;
O LGR se inicia nos polos finitos e infinitos de G(s)H(s) e termina
nos zeros finitos e infinitos de G(s)H(s). 
Portanto, o passo inicial para construção do L.G.R. consiste em marcar no plano complexo os polos
e zeros de malha aberta através dos símbolos "x" e "o", respectivamente. 
O número de ramos do L.G.R. deve obrigatoriamente ser igual ao
número n de polos do sistema em malha fechada. Em geral, m≤n
e portanto o L.G.R. Tem n-m ramos que tendem para zeros no
infinito quando k→∞. Estes ramos constituem as chamadas
assíntotas que serão analisadas adiante.
Exercício 5.8: Tente esboçar o LGR do exercício 5.7, usando as regras aprendidas até o momento.
5.7.3 – Comportamento no infinito: Assíntotas
Como vimos acima, os ramos do LGR começam nos polos e terminam nos zeros da função de
transferência a malha aberta. Mas o que acontece quando esta função de transferência tem um
número diferente de polos e zeros finitos?
Tomemos, por exemplo, a função: G(s)= Ks (s+1)(s+2) , que possui 3 polos em -2, -1 e 0 e
nenhum zero finito. Neste caso, como fica o esboço do LGR?
Devemos levar em consideração que toda função de s tem um número igual de polos e zeros se
incluirmos os polos e zeros infinitos bem como os polos e zeros finitos. Assim, a função G(s) acima
tem três zeros infinitos. 
Estes zeros no infinito aparecem no lugar das raízes como assíntotas, que são retas para as quais os
ramos tendem quando k→∞ e só estão presentes quando o número de polos finitos n for maior
que o número de zeros finitos m. 
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5 – Análise do Lugar das Raízes 20
O L.G.R. tem n-m ramos que tendem para as assíntotas.
A seguinte regra, cuja demonstração pode ser encontrada, por exemplo, na página 284 do [OGATA]
resume como encontrar as assíntotas num LGR. 
O lugar das raízes tende a retas assintóticas quando o lugar
tende ao infinito. Além disso, a equação das assíntotas é dada
pelo ponto de intersecção sobre o eixo real, σa , e o ângulo
θa da seguinte forma: 
σa=
∑ polos finitos−∑ zeros finitos
num. polos finitos−num. zeros finitos
αa=
(2k+1)⋅180o
num. polos finitos−num. zeros finitos
em que k=0,±1,±2,±3, ... e o ângulo é dado em graus no
sentido anti-horário a partir do eixo real positivo.
Exemplo 5.4: Considere o sistema realimentado da figura abaixo:
Figura 5.20 – Sistema realimentado do exemplo
• Polos em malha aberta (n=3): p1=0, p2=-2 e p3=-3;
• Zero em malha aberta (m=1): z1=-1;
• Número de assíntotas: n−m=2 ;
• Ângulo das assíntotas: αk=90
o±k⋅180o (k=0,1) → α0=90
o e α1=−90
o
Note que, para pontos suficientemente afastados e localizados sobre a assíntota de ângulo
α0=90
o , as contribuições de fase dos polos e do zero são próximas, ou seja: θ1≃90
o ,
θ2≃−90
o , θ3≃−90
o e ϕ1≃−90
o . Assim, ϕ1−θ1−θ2−θ3=180
o .
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5 – Análise do Lugar das Raízes 21
• O ponto de cruzamento das assintotas é dado por: σa=
[0+(−2)+(−3)]−[−1]
3−1
=−2
E assim, as regras previamente discutidas são atendidas pelo diagrama.
Figura 5.21 – Lugar das Raízes do exemplo
Exercício 5.9: Esboce o Lugar das Raízes para o sistema mostrado a seguir:
Figura 5.22 – Sistema realimentado do exemplo
Exercício 5.10: Esboce o Lugar das Raízes para o sistema com realimentação unitária, cuja Função
de Transferência direta é dada a seguir:
G(s)= K
(s+2)(s+4)(s+6)
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5 – Análise do Lugar das Raízes 22
5.8 – Refinando o esboço do Lugar das Raízes
5.8.1 - Revisão
Vimos nos itens anteriores como esboçar um LGR determinando alguns pontos relevantes, como:
• Número de ramos;
• Simetria;
• Segmentos sobre o eixo real;
• Pontos de início e término;
• Assíntotas.
Agora, refinaremos este esboço, calculando:
• Pontos de saída e de chegada sobre o eixo real;
• Pontos de interseção do eixo jω e
• Ângulos de partida e de chegada.
5.8.2 – Pontos de partida e chegada sobre o eixo real
A presença de pontos de “partida” e “chegada” sobre o eixo real ocorre nas seguintes condições: 
• Quando houver dois polos de malha aberta adjacentes sobre o eixo real e se o segmento
entre ambos fizer parte do L.G.R., então haverá pelo menos um ponto de partida nesse
segmento. 
• Da mesma forma, se houver dois zeros de malha aberta adjacentes sobre o eixo real e se o
segmento entre ambos fizer parte do L.G.R., então haverá pelo menos um ponto de
chegada pertencente a esse segmento. Esta regra se aplica também quando um dos zeros
estiver localizado no infinito. 
• Se o segmento entre um polo e um zero reais pertence ao L.G.R., então o número de
pontos de partida sobre o segmento é igual ao número de chegadas, mesmo que este seja
nulo.
Veja a figura a seguir em que foi esboçado um LGR a partir das regras vistas na aula passada.
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5 – Análise do Lugar das Raízes 23
Figura 5.23 – Exemplo de LGR [NISE]
Este LGR sai do eixo real entre -1 e -2 e retorna a ele entre +3 e +5. O ponto onde o lugar deixa o
eixo real, σ1 − é chamado de ponto de saída e o ponto onde o lugar retorna ao eixo real, σ2 ,
é chamado de ponto de entrada.
Como os dois polos a malha fechada, os quais estão em-1 e -2 quando 0 = K , movem-se de um
deles em direção ao outro, o ganho aumenta a partir do valor zero. Concluímos que o ganho deve
ser máximo no eixo real no ponto onde ocorre a saída, em algum lugar entre -1 e -2. Naturalmente,
o ganho aumenta além deste valor quando os polos se deslocam para o plano complexo.
Concluímos que o ponto de partida ocorre no ponto de ganho máximo sobre o eixo real entre os
polos de malha aberta. 
Usando um raciocínio análogo, podemos concluir que o ganho no ponto de entrada é o mínimo
encontrado no eixo real entre os dois zeros. 
Assim, lembrando que, da condição de ganho, temos:
K= −1
G (s)H (s ) (5.21)
E como os pontos de entrada e saída do eixo real são pontos críticos da função (5.21), onde
s=σ (real), basta derivarmos a equação
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5 – Análise do Lugar das Raízes 24
K= −1
G (σ)H (σ) (5.22)
E igualarmos esta derivada a zero para obtermos os pontos críticos (de ganho máximo e mínimo
sobre o eixo real), encontrando desta forma, os pontos de saída e chegada.
Exercício 5.11: Obter os pontos de saída e chegada para o lugar das raízes da figura anterior
usando o cálculo diferencial (NISE, p318).
Uma outra forma de obter os pontos de saída e de chegada sem precisar de derivadas é o
chamado método de transição que não será deduzido aqui (ver [NISE]).Seu enunciado é: 
Os pontos de saída e de entrada satisfazem a relação
∑
i=1
m 1
σ+z i
=∑
i=1
n 1
σ+ p i
onde zi e pi são, respectivamente, os negativos dos zeros e dos
polos de G(s)H(s).
Exercício 5.12: Repita o exercício 5.11 utilizando o método de transição descrito acima (NISE,
p319). 
Exercício 5.13: Para o sistema com função de Transferência de Malha Aberta dada por:
FTMA= s+3
(s+1)(s+2) , resulta o LGR da figura abaixo:
Figura 5.24 – LGR do sistema
Determine os pontos de partida e chegada ao eixo real utilizando o método de transição.
Resp: s=-1,58 e s=-4,4
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5 – Análise do Lugar das Raízes 25
5.8.3 – Pontos de Cruzamento do LGR com o eixo imaginário
Os pontos de interseção do eixo jω é um ponto no lugar das raízes que separa a operação estável
do sistema da operação instável e basicamente, estes pontos podem ser determinados:
1. utilizando-se o critério de Routh para obtenção dos valores do ganho k correspondente
(forçando uma linha de zeros na tabela de Routh se obterá o ganho; retornando à linha
para a equação de polinômio par e determinando as raízes resulta a frequência do ponto
de interseção com o eixo imaginário) e 
2. substituindo-se s=jω na equação característica e igualando-se a zero as partes real e
imaginária para determinação de ω. 
Exemplo 5.5: Para o sistema com Função de Transferência em malha aberta dada por:
G(s)⋅H (s)= k
s3+8s2+32s
determine a frequência e o ganho, K, para o qual o lugar das raízes cruza o eixo imaginário. 
Resolução: a equação característica do denominador de Função de Transferência em malha
fechada é dada por: s3+8s2+32s+k=0
O valor de ganho para o qual o L.G.R. intercepta o eixo imaginário poder ser calculado pelo critério
de Routh, resultando k= 256. A frequência do ponto de cruzamento é determinada substituindo-se
k=256 e s= jω na equação característica obtendo-se: (−8ω2+256)+ j⋅(−ω3+32ω)=0 .
Anulando-se a parte real, resulta ω=±√32 .
Exercício 5.15: Para o sistema da figura a seguir, cujo esboço do LGR foi obtido anteriormente,
obter a freqüência e o ganho, K, para o qual o lugar das raízes cruza o eixo imaginário. Para que
faixa de valores de K o sistema é estável? (NISE p.320)
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5 – Análise do Lugar das Raízes 26
Figura 5.25 – LGR do sistema do exercício 5.15
5.8.4 – Ângulos de partida e chegada
Considere a figura a seguir que mostra os polos e zeros de um sistema em malha aberta, alguns
dos quais são complexos. 
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5 – Análise do Lugar das Raízes 27
Figura 5.26 – LGR com zeros e polos complexos [NISE]
O lugar das raízes se inicia nos polos de malha aberta e finaliza nos zeros de malha aberta. Para
esboçar o lugar das raízes corretamente, precisamos calcular o ângulo de partida do lugar das
raízes a partir dos polos complexos e o ângulo de chegada aos zeros complexos. 
Se admitirmos um ponto ε no lugar das raízes próximo ao polo complexo, a soma dos ângulos
traçados a partir de todos os polos e zeros finitos é um múltiplo ímpar de 180°. Exceto para o polo
próximo ao ponto ε, admitimos que todos os ângulos traçados a partir de todos os outros polos e
zeros são desenhados diretamente ao polo que está próximo do ponto ε. 
Desta forma, o único ângulo desconhecido na soma é o ângulo desenhado a partir do polo que
está próximo a ε. Podemos buscar a solução para este ângulo desconhecido, o qual também é o
ângulo de partida deste polo complexo. Portanto, a partir da figura anterior:
−θ1+θ2+θ3−θ4−θ5+θ6=(2k+1)⋅180
o (5.23)
E assim: θ1=θ2+θ3−θ4−θ5+θ6−(2k+1)⋅180
o
De forma totalmente análoga podemos determinar ângulos de chegada a zeros complexos.
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5 – Análise do Lugar das Raízes 28
Exemplo 5.6: Dado o sistema com retroação unitária da figura seguinte, encontre o 
ângulo de partida dos polos e esboce o lugar das raízes. (NISE p.322)
Figura 5.27 – Sistema do exemplo 5.6 [NISE]
Resolução: Utilizando os polos e zeros da função G(s)=(s+2)/[(s+3)(s2+2s+2)] , conforme
apresentado na figura abaixo, calcula-se a soma dos angulos desenhados até um ponto ε próximo
ao polo complexo -1+j1, no segundo quadrante:
Figura 5.28 – Sistema do exemplo 5.6 [NISE]
Assim tem-se: −θ1−θ2+θ3−θ4=−θ1−90
o+tg−1(1 /1)−tg−1(1/2)=180o
de onde se obtém θ=−251,6o=108,4o , cujo esboço é mostradona figura acima.
Exercício 5.16: [NISE, p.323] Dado um sistema com retroação unitária com função de transferência
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5 – Análise do Lugar das Raízes 29
do canal direto: G(s)=
K (s+2)
(s2−4s+13)
, faça o seguinte: 
(a) Esboce o lugar das raízes. 
(b) Determine o ponto de interseção com o eixo imaginário 
(c) Determine o ganho, K, no ponto de interseção do eixo jω. 
(d) Determine o ponto de entrada. 
(e) Determine o ângulo de partida dos polos complexos. 
Resp: (b) s=± j√21 (c) = K=4 (d) Ponto de Entrada = -7 (e) Angulo de Partida = -233,1o 
As regras apresentadas neste item permitem a elaboração de um esboço do L.G.R. que é suficiente
para a definição da estrutura básica de um controlador. No entanto, para efeito de projeto e
atribuição de valores numéricos aos parâmetros do compensador é necessário um diagrama mais
preciso, que pode ser obtido a partir de uma ferramenta computacional ou graficamente,
utilizando-se regras complementares. Na sequência são apresentados alguns exemplos de
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5 – Análise do Lugar das Raízes 30
aplicação. 
5.9 – LGR em Exemplos
5.9.1 – Regras Básicas para esboçar o Lugar das Raízes
1. Número de Ramos: é igual ao número de polos de malha
fechada.
2. Simetria: o LGR é simétrico em relação ao eixo real.
3. Segmentos no eixo real: sobre o eixo real, o lugar das
raízes existe à esquerda de um número ímpar de polos
e/ou zeros a malha aberta finitos sobre o eixo real. 
4. Pontos de Início e Término: o LGR se inicia nos polos
finitos e infinitos de G(s)H(s) e termina nos zeros finitos e
infinitos de G(s)H(s).
5. Comportamento no infinito (assíntotas): sendo n o
número de polos em malha aberta e m o número de zeros
em malha aberta, então:
σa=
∑ polos finitos−∑ zeros finitos
num. polos finitos−num. zeros finitos
αa=
(2k+1)⋅180o
num. polos finitos−num. zeros finitos
em que k=0,±1,±2,±3, ...
.
5.9.1 – Regras Adicionais para refinar o esboço do LGR
1. Pontos de Entrada e saída do eixo real: LGR sai do eixo
real no ponto onde o ganho é máximo e entra no eixo
real no ponto onde o ganho é mínimo, sendo que os
pontos de saída e de entrada satisfazem a relação
.
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5 – Análise do Lugar das Raízes 31
∑
i=1
m 1
σ+z i
=∑
i=1
n 1
σ+ p i
onde zi e pi são, respectivamente, os negativos dos zeros
e dos polos de G(s)H(s).
2. Intersecção com o eixo j ω: Pode-se usar Routh-Hurwitz
para determinar o valor do ganho K e substituir jω na
equação característica para determinar o ponto de
interseção com o eixo jω.
3. Ângulos de Partida e Chegada: O lugar das raízes sai dos
polos complexos (entra nos zeros complexos) a malha
aberta segundo ângulos que podem ser calculados da
seguinte forma: admita um ponto ε próximo ao polo
(zero) complexo. Adicione a este ponto todos os ângulos
desenhados a partir dos polos e zeros a malha aberta. A
soma é igual a (2k+1)⋅180o . O único ângulo
desconhecido é o do vetor traçado a partir de ε próximo
ao polo (zero), visto que todos os outros polos e zeros
podem ser considerados ligados ao polo (zero) complexo
próximo ao ponto ε. Calculando o ângulo desconhecido
obtém-se o ângulo de partida (ângulo de chegada).
Exercício 5.17: (NISE, p.325) Esboce o lugar das raízes para o sistema mostrado a seguir e
determine o seguinte: 
Figura 5.29 – Sistema do exercício 5.17 [NISE]
(a) O ponto e o ganho exatos onde o lugar cruza a reta de relação de amortecimento 0,45. 
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5 – Análise do Lugar das Raízes 32
(b) O ponto e o ganho exato onde o lugar cruza o eixo jω. 
(c) O ponto de saída do eixo real. 
(d) A faixa de K na qual o sistema é estável. 
Exercício 5.18: (NISE, p.326) Dado um sistema com retroação unitária com a seguinte função de
transferência do canal direto: G(s)=
K (s−2)(s−4)
(s2+6s+25)
, faça o seguinte:
(a) Esboce o lugar das raízes.
(b) Determine o ponto de interseção com o eixo imaginário. 
(c) Determine o ganho, K, no ponto de interseção com o eixo jω. 
(d) Determine o ponto de entrada. 
(e) Determine o ponto onde o lugar cruza a reta de relação de amortecimento 0,5. 
(f) Determine o ganho onde o lugar cruza a reta de relação de amortecimento 0,5. 
(g) Encontre a faixa de ganho, K, para a qual o sistema é estável. 
Exemplo 5.7: (PEA2455-p.72) - Seja o sistema indicado na figura que pode, por exemplo,
representar um sistema de controle de posição de uma inércia pura através de um controlador
proporcional. 
Figura 5.30 – Sistema do exemplo 5.7 [PEA2455]
Faça um esboço do LGR deste sistema.
Resolução:
i) Pontos de início e término do L.G.R: o L.G.R. parte da origem do plano complexo(polo duplo); 
ii) L.G.R. sobre o eixo real: não há; 
iii) Assíntotas: m= 0 e n= 2. Portanto existem duas assíntotas. Seus ângulos são:α1=90° e α2=270°,
ou seja, as assíntotas coincidem com o eixo imaginário. 
iv) Pontos de partida e de chegada sobre o eixo real: não há. 
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5 – Análise do Lugar das Raízes 33
Exemplo 5.8: (PEA2455-p.72) - O sistema indicado na figura representa o de controle de posição de
uma inércia pura através de um controlador PD (proporcional + derivativo). 
Figura 5.31 – Sistema do exemplo 5.8 [PEA2455]
Faça um esboço do LGR deste sistema.
Resolução:
i) Pontos de início e término do L.G.R:
ii) LGR sobre o eixo real:
iii) Assíntotas: m= 1 e n= 2. Portanto existe apenas uma assíntota, cujo ângulo é:
α=180o±i⋅360o e coincide com a parte real situada à esquerda do ponto -1. 
iv) Pontos de “partida” e de “chegada” sobre o eixo real: Por questões de simetria em relação
ao eixo real e como o L.G.R. se inicia nos polos e termina nos zeros, concluí-se que existe
um ponto de “chegada” do L.G.R. sobre o eixo real. Para se obter a abcissa do ponto de
“chegada”, aplica-se o método de transição, obtendo-se s= -2.
v) Pontos de cruzamento com o eixo imaginário: o polinômio característico em malha fechada
é dado por: s2+ks+k=0 . A Tabela de Routh equivalente é mostrada abaixo. Como k> 0,
pode-se concluir que o sistema em malha fechada será sempre estável. Portanto, não
haverá cruzamento do eixo imaginário.
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5 – Análise do Lugar das Raízes 34
vi) Esboço do L.G.R: Comparando-se o diagrama obtido com o do Exemplo anterior, nota-se
que a presença do zero produziu uma "atração" do L.G.R. nas proximidades do ponto -1 e o
sistema é estável para qualquer valor do ganho k>0. 
Exemplo 5.9: (PEA2455-p.73) - Adotando-se o mesmo sistema do exemplo anterior, porém
incluindo-se um polo real.
Figura 5.32 – Sistema do exemplo 5.9 [PEA2455]
Faça um esboço do LGR deste sistema.
Resolução:
i) Pontos de início e término do L.G.R:
ii) LGR sobre o eixo real:
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5 – Análise do Lugar das Raízes 35
iii) Assíntotas: m=1 e n=3. Portanto há duas assíntotas, cujos ângulo são: α1=90
o e
α2=270
o . Aabcissa do ponto de intersecção das assíntotas com o eixo real é dada por:
s0=
[0+0−4 ]−[−1]
3−1
=−1.5
iv) Pontos de “partida” e de “chegada” sobre o eixo real: Neste caso não há, pois o número de
possíveis pontos de “chegada” deve ser igual ao de pontos de partida. 
v) Pontos de cruzamento com o eixo imaginário: o polinômio característico em malha fechada
é dado por: s3+4s2+ks+k=0 . A Tabela de Routhequivalente é mostrada abaixo. Como
k>0, pode-se concluir que o sistema em malha fechada será sempre estável. Portanto, não
haverá cruzamento do eixo imaginário.
vi) Esboço do L.G.R: Comparando-se o diagrama obtido com o do Exemplo anterior, nota-se
que a presença do polo adicional em s= -4 afastou o L.G.R. da origem. Além disso, a
presença do polo alterou qualitativamente o comportamento do L.G.R. e tornou o sistema
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5 – Análise do Lugar das Raízes 36
oscilatório para valores elevados de ganho.
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5 – Análise do Lugar das Raízes 37
5.13 – Plano de Estudo e material de referência
Para os temas descritos neste capítulo, use como referência a bibliografia básica (NISE, Norman –
Engenharia de Sistemas de Controle) e a bibliografia de referência (OGATA, K. - Engenharia de
Controle Moderno – 5a Ed.):
1. [NISE] - Cap. 8 (pp.128-147)
2. [NISE] - Cap. 9 (pp.235-250)
3. [NISE] - Cap. 10 (pp.266-278)
4. [OGATA] - Cap. 5 (pp.145-245)
5.14 - BIBLIOGRAFIA
1. EISENCRAFT, M. - Controle II – Notas de Aula. Disponível em: 
http://professor.ufabc.edu.br/marcio.eisencraft/Artigos/ControleII.pdf . Acessado em 
Fevereiro de 2012.
2. PASSARINI, L.C. - “Criterio de Estabilidade de Routh-Hurwitz” - Notas de Aula – Escola de
Engenharia de São Carlos – USP, 2009.
3. CRUZ, J. J; FUAD, K; - PEE-413 – Controle I – Notas de Aula. Escola Politécnica da USP, 1997.
4. GARCIA, C. - PEA 2455 Controle I – Notas de Aula. Escola Politécnica da USP, 2006.
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	5 – Análise do Lugar das Raízes
	5.1 – Objetivos da aula
	5.2 - Introdução
	5.3 – O Problema do Sistema de Controle
	5.4 – Representação Vetorial de Números Complexos
	5.5 – Definindo o Lugar Geométrico das Raízes
	5.6 – Propriedades do Lugar das Raízes
	5.7 – Esboçando o Lugar das Raízes
	5.7.1 - Definições
	5.7.2 – L.G.R. Sobre o eixo real
	5.7.2 - Pontos de Início e Término do L.G.R.
	5.7.3 – Comportamento no infinito: Assíntotas
	5.8 – Refinando o esboço do Lugar das Raízes
	5.8.1 - Revisão
	5.8.2 – Pontos de partida e chegada sobre o eixo real
	5.8.3 – Pontos de Cruzamento do LGR com o eixo imaginário
	5.8.4 – Ângulos de partida e chegada
	5.9 – LGR em Exemplos
	5.9.1 – Regras Básicas para esboçar o Lugar das Raízes
	5.9.1 – Regras Adicionais para refinar o esboço do LGR
	5.13 – Plano de Estudo e material de referência
	5.14 - BIBLIOGRAFIA