MODELAGEM E ANÁLISE DE SISTEMAS DINÂMICOS (244)

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SISTEMA DE CONTROLE I - HÉLIO LEÃES HEY 
3a LISTA DE EXERCÍCIOS
 
 
1) Dados os circuitos com amplificadores operacionais mostrados abaixo, obtenha a função de 
transferência Vo(s)/ Vi(s), para cada um. 
 
 
 
 
 
 
2) Dado o sistema de equações abaixo, represente-o através de gráfico de fluxo de sinais. Utilize a 
fórmula do ganho de Mason, para resolver este sistema de equações. 
 
A B C
A B
A B C
+ + =
- =
- - = -
ì
í
ï
îï
2 3 4
3 0
1
 
 
3) Dados os sistemas mecânicos translacionais, mostrados abaixo, pede-se: 
a) Escreva as equações diferenciais dos mesmos, considerando que não há nenhuma força aplicada, e o 
sistema é excitado somente pelas condições iniciais; 
b) Obtenha a função de tranferência dos sistemas, entre x1(s) e F(s), considerando que uma força f(t) é 
aplicada nas massas, no sentido de deslocá-las para baixo. 
 
 
SISTEMA DE CONTROLE I - HÉLIO LEÃES HEY 
 
 
 
4) Dado o sistema mecânico abaixo, pede-se: 
a) Escreva as equações diferenciais que o descrevem; 
b) Determine a função de transferência entre a força aplicada e o deslocamento x1 (t). 
 
 
 
5) Considere o sistema mecânico, abaixo mostrado, onde os valores numéricos de cada parâmetro 
sãomostrados. Assuma que as unidades são consistentes. Pede-se: 
a) Escreva as equações diferenciais que o descrevem, considerando que o sistema é excitado apenas 
pelas condições iniciais ( f(t) = 0 ); 
b) Assumindo que uma força f(t) é aplicada na massa M = 5, obtenha a função de transferência entre f(t) 
e o deslocamento x1(t). 
 
6) Um sistema mecânico, é definido pelo seguinte sistema de equações, onde x1(t), x2(t) e x3(t) são 
deslocamentos: 
 
 3 0
2
1
2
1 2d x t
dt
dx t
dt
dx t
dt
( ) ( ) ( )
 9 6 + - =  
 
- + + + - = 6 5 6 x x 
dx t
dt
d x t
dt
dx t
dt
t t1
2
2
2
2
2 35 4 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ‚‚ 
 
 - + + =4 4 02
2
3
2 3 x 7 x ( )
( )
( )t
d x t
dt
t ƒƒ 
a) Mostre o modelo que caracteriza este sistema; 
 
 
b) Substituindo 
dx t
dt
1( ) por i t1( ) , 
dx t
dt
2 ( ) por i2(t) e 
dx t
dt
3 ( ) por i3(t), temos agora um sistema 
elétrico. Mostre o seu modelo. 
7) Dado o sistema eletromecânico abaixo representado, pede-se: 
a) As equações diferenciais que o descrevem; 
b) O diagrama de blocos, considerando como entrada do sistema a tensão Va(s) e saída o 
deslocamento angular qm(s). 
 
8) Dada a equação diferencial 
dx t
dt
( )
 + f(x) = 0, linearize-a em torno do ponto x = 0, para cada um dos 
casos abaixo. 
a) f(x) = x 
b) f(x) = x3 
c) f(x) = e-x 
 
9) Repita o problema anterior, para a seguinte equação diferencial: 
dx t
dt
( )
 + f(x) = 1. Linearize-a para o 
ponto x=1. 
 
10) Dada a equação diferencial 
dx t
dt
( )
 + f(x) = 1. Linearize-a para o ponto x = 0 e resolva a equação 
linearizada com a seguinte condição inicial x(0) = 0,05, para os seguintes casos: 
a) f(x) = ex 
b) f(x) = e-x 
 
11) Seja o sistema de equações diferenciais mostrado a seguir: 
d y t
dt
dy t
dt
y t t t
2
1
2
1
2 1 1 3 2
( ) ( )
. ( ) ( ) ( ) k k k1 .+ + = +m m 
 
dy t
dt
y t
dy t
dt
t2 4 2 5
1
6 1
( )
. ( ) .
( )
( ) k k k+ + = m 
onde: y1(t) e y2(t) são saídas e mm 1(t) e mm 2(t) são entradas. 
 Obtenha, a representação por espaço de estado. 
 
12) Dado o sistema mecânico abaixo, obtenha: 
 a) As equações diferenciais que o descrevem; 
 b) O diagrama de Blocos; 
 c) A função de transferência; 
 d) O circuito elétrico análogo, utilizando a analogia FORÇA-CORRENTE. 
 
 
 
13) Dado o diagrama de Bloco abaixo, pede-se a função de transferência de Malha Aberta e a função 
de transferência de Malha Fechada 
. 
 
 
14) Dado os diagramas de Bloco abaixo, obtenha uma representação por espaço de estado para os 
mesmos. 
 
 2
 S
2
 5S
S + 5
 1
S + 1
+
-
U(s)a) Y(s)
 
as + b
 1
S2+ -
U(s)
b)
Y(s)
 
 
d
 1
S+
-
U(s)
c)
Y(s)
+
+ 1
S
e
 
 
15) Dado os circuitos elétricos abaixo, obtenha a função de transferência entre Vo(s) e Vi(s). 
 
 
 
16) Dado o diagrama de bloco abaixo, o qual é um sistema de controle de velocidade, obtenha a função 
de transferência do mesmo. wm (s) ðð saída; 
 Ei (s) ðð entrada. 
 
 
 
1
S
Ka+
-
Ei(s) wm(s)
+
-
 K
RaJS
Kv
Kb
Eo(s)
e
 
 
17) Utilizando a analogia FORÇA-TENSÃO, obtenha o sistema elétrico análogo ao sistema mecânico 
mostrado. 
 
 
 
18) Dados os sistemas mecânico e elétricos abaixo, mostre que são análogos, e qual é a analogia 
existente.