resumo mat 1

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1 Limite - Revisão
O conceito de limite de uma função contribui para a análise do comporta-
mento da função na vizinhança de um determinado ponto.
Intuitivamente, dada uma função f(x) e um ponto b que pertence ao
domínio de f(x), dizemos que o limite à direita da função é L, quando x !
b+, f(x) ! L. Analogamente, dizemos que o limite à esquerda da função é
M , quando x ! b�, f(x) ! M: Limites à direita e limites à esquerda são
denominados limites laterais. Caso L = M , então a…rmamos que existe o
limite de f(x), ou seja:
lim
x!b
f(x) = L:
Limites in…nitos ocorrem quando x tende a um determinado valor, f(x)
tende para +1 ou �1, por exemplo:
lim
x!b+
f(x) = +1, lim
x!b�
f(x) = +1, lim
x!b+
f(x) = �1 e lim
x!b�
f(x) = �1.
Quando x ! +1 ou x ! �1, o limite de f(x) é denominado limite
no in…nito ( ou nos extremos do domíno), ou seja:
lim
x!+1
f(x) = m, lim
x!�1
f(x) = l:
A reta x = x0 é denominada assíntota vertical quando os limites laterais
de x0 são limites in…nitos. Analogamente, a reta y = y0 é denominada
assíntota horizontal quando y0 é um limite no in…nito.
1.1 Continuidade
A f(x) é contínua em a se e somente se as seguintes condições são satisfeitas:
i) f(a) existe,
ii) existe o limx!a f(x), e
iii) limx!a f(x) = f(a).
A função será descontínua em a se uma dessas condições não for satis-
feita.
1
2 Derivada
A reta secante é qualquer reta que passe por dois pontos de uma função. Se
ela passar pelos pontos P (x1; f(x1)) e Q(x1 +�x; f(x1 +�x)), a inclinação
desta reta será:
mPQ =
f(x1 +�x)� f(x1)
�x
;�x 6= 0:
Seja o ponto P um ponto …xo e Q móvel, podemos agora alterar �x.
Quando �x! 0, a reta secante tende à reta tangente.
Seja f(x) contínua em x1, a reta tangente ao grá…co de f no ponto
P (x1; f(x1)) é:
i) a reta P , com inclinação:
m(x1) = lim
�x!0
f(x1 +�x)� f(x1)
�x
;
ii) a reta x = x1, se o limite acima for +1 ou �1:
Se nem i) e nem ii) forem satisfeitas, então não existe reta tangente ao
grá…co de f no ponto P (x1; f(x1)):
A derivada de uma função f é a função denotada por f 0, tal que seu
valor em qualquer valor x do domínio de f seja dado por:
f 0(x) = lim
�x!0
f(x+�x)� f(x)
�x
;
se este limite existir. Para x = x1:
f 0(x1) = lim
�x!0
f(x1 +�x)� f(x1)
�x
;
Se f é derivável em x1, então f é contínua em x1: Uma função não será
derivável em x1 pelas seguintes razões:
i) se ela for descontínua em x1,
ii) se ela for contínua em x1, mas f possui uma reta vertical no ponto
x = x1,
iii) se ela for contínua em x1, mas f não possui uma reta tangente no
ponto x = x1.
2
2.1 Teoremas sobre Derivação
1) f(x) = c) f 0(x) = 0;
2) f(x) = xn ) f 0(x) = nxn�1 (n 2 Q);
3) f(x) = cx) f 0(x) = c;
4) h(x) = f(x) + g(x)) h0(x) = f 0(x) + g0(x);
5) h(x) = f(x)g(x)) h0(x) = f 0(x)g(x) + g0(x)f(x);
6) h(x) = f(x)
g(x)
) h0(x) =
�
f 0(x)g(x)�g0(x)f(x)
(g(x))2
�
(g(x) 6= 0):
2.2 Regra da Cadeia
Dada 2 funções f e g, a função composta fog é de…nida como:
(fog)(x) = f(g(x));
e o domínio de fog é o conjunto de todos os valores x no domínio de g tal
que g(x) esteja no domínio de f:
Regra da Cadeia: Se a função g for derivável em x e a função f for
derivável em g(x), então fog será derivável em x, e:
(fog)0(x) = f 0(g(x))g0(x):
3
2.3 Aplicações de Derivada
Um função f de…nida num intervalo será crescente naquele intervalo, se
e somente se, f(x1) < f(x2) sempre que x1 < x2, onde x1 e x2 são quais-
quer números no intervalo. Analogamente, ela será decrescente naquele
intervalo, se e somente se, f(x1) > f(x2) sempre que x1 < x2:
Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a; b] e derivável em
(a; b):
i) se f 0(x) > 0 para todo x em (a; b), então f(x) será crescente em [a; b];
ii) se f 0(x) < 0 para todo x em (a; b), então f(x) será decrescente em
[a; b]:
A função f terá um valor máximo relativo em c se existir um intervalo
aberto contendo c, no qual f(x) esteja de…nida, tal que f(c) � f(x) para
todo x nesse intervalo. Analogamente, ela terá um valor mínimo relativo
em c se f(c) � f(x) para todo x nesse intervalo.
Se f(x) for de…nida para todos os valores de x em (a; b) e se f possuir
um extremo relativo em c (a < c < b), então f 0(c) = 0; se f 0(c) existir.
Seja c um número no domínio de f e f 0(c) = 0 ou f 0(c) não existir, então
c será denominado ponto crítico de f:
Teste da derivada primeira para extremos relativos:
Seja f uma função contínua em todos os pontos do intervalo aberto (a; b),
contendo c e suponha que f 0 exista em todos os pontos de (a; b); exceto
possivelmente em c :
i) se f 0(x) > 0 para todo os valores de x em algum intervalo tendo c como
extremo direito, e se f 0(x) < 0 para todo os valores de x em algum intervalo
tendo c como extremo esquerdo, então f terá um valor máximo relativo em
c;
ii) se f 0(x) < 0 para todo os valores de x em algum intervalo tendo c como
extremo direito, e se f 0(x) > 0 para todo os valores de x em algum intervalo
tendo c como extremo esquerdo, então f terá um valor mínimo relativo em
c;
Para determinar os extremos relativos de f :
1) Calcule f 0(x):
2) Encontre os pontos críticos de f , isto é, os valores de x para os quais
f 0(x) = 0, ou para os quais f 0(x) não existe.
3) Aplique o teste da derivada primeira.
4
2.4 Derivadas de ordem superior
Seja f(x) uma função derivável, então f 0(x) será denominada derivada primeira
de f . Se a derivada de f 0(x) existir, então f 00(x) será denominada derivada
segunda de f . E assim sucessivamente podemos de…nir f 000(x) e outras
derivadas de ordem superior, em que fn(x) representa a derivada de ordem
n de f:
Seja f uma função diferenciável em algum intervalo aberto contendo c,
então:
i) se f 00(c) < 0, o grá…co de f é côncavo em (c; f(c));
ii) se f 00(c) > 0, o grá…co de f é convexo em (c; f(c)):
O ponto (c; f(c)) será um ponto de in‡exão do grá…co f se o grá…co
possuir uma reta tangente neste ponto e se existir um intervalo aberto con-
tendo c, tal que se x estiver neste intervalo:
i) se f 00(x) < 0 se x < c e f 00(x) > 0 se x > c,ou
ii) se f 00(x) > 0 se x < c e f 00(x) < 0 se x > c.
Adicionalmente, se exister f 00(c), então f 00(c) = 0:
Teste da derivada segunda para extremos relativos:
Seja c um número crítico de f , no qual f 0(c) = 0 e suponhamos que f 0
exista para todo x em algum intervalo aberto contendo c. Se f 00(c) existe e
i) se f 00(c) < 0; então f tem uma valor máximo relativo em c;
ii) se f 00(c) > 0; então f tem uma valor mínimo relativo em c:
Para obter um esboço do grá…co de uma função f , você deve seguir os
seguintes passos:
1) Determine o domínio de f:
2) Encontre os interceptos y e x (se possível) do grá…co.
3) Calcule f 0(x) e f 00(x).
4) Encontre os números críticos de f:
5) Aplique o teste da derivada primeira.
6) Determine os intervalos nos quais f é crescente (f 0(x) > 0) ou decres-
cente (f 0(x) < 0).
7) Encontre os pontos de in‡exão de f:
8) Veri…que a concavidade do grá…co: côncava (f 00(x) < 0) ou convexa
(f 00(x) > 0).
9) Veri…que a existência de possíveis assíntotas horizontais ou verticais.
5
3 Integral
3.1 Antidiferenciação
Uma função F será denomida antiderivada de uma função f em um inter-
valo se F 0(x) = f(x) para todo x que pertence a este intervalo.
Se f e g forem duas funções tais que f 0(x) = g0(x) para todo x em um
determinado intervalo, então haverá uma constante C tal que:
F (x) = G(x) + C
Consequentemente se F for uma antiderivada particular de f em um
determinado intervalo, então toda antiderivada de f neste intervalo será dada
por:
F (x) + C; (1)
onde C é uma constante arbitrária e todas as antiderivadas de f no intervalo
poderão ser obtidas de (1).
Antidiferenciação é o processo de de encontrar o conjunto de todas as
antiderivadas de uma dada função. O símbolo utilizado para esta operaçãoé
R
, e escrevemos:
Z
f(x)dx = F (x) + C; em que F 0(x) = f(x); e dF = f(x)dx:
Esta fórmula estabelece que quando antidiferenciamos a diferencial de
uma dada função, obtemos a própria função mais uma constante arbitrária.
Teoremas:
1)
R
dx = x+ C
2)
R
kf(x)dx = k
R
f(x)dx
3)
R
xndx = x
n+1
n+1
+ C para n 6= �1 ; (n 2 Q)
4)
R
(f(x) + g(x))dx =
R
f(x)dx+
R
g(x)dx
6
3.2 Regra da Cadeia para a Antidiferenciação
Seja g uma função diferenciável e seja o intervalo I a imagem de g. Suponha
que f seja uma função de…nida em I e que F seja uma antiderivada de f em
I, então: Z
f(g(x))[g0(x)dx] = F (g(x)) + C:
Observação: seja u = g(x); então du = g0(x)dx:Z
f(u)du = F (u) + C:
3.3 Integral De…nida
3.3.1 Operador Somatório
O conceito de área envolve a soma de várias parcelas, ou seja, necessitamos
da notação chamada somatória para de…nir este conceito:
nX
i=m
F (i) = F (m) + F (m+ 1) + :::+ F (n� 1) + F (n);
onde m e n são inteiros, m � n.
Teoremas:
1)
nP
i=1
c = cn;
2)
nP
i=1
cF (i) = c
nP
i=1
F (i);
3)
nP
i=1
[F (i) +G(i)] =
nP
i=1
F (i) +
nP
i=1
G(i);
4)
nP
i=1
i = n(n+1)
2
;
5)
nP
i=1
i2 = n(n+1)(2n+1)
6
:
7
3.3.2 Área de uma função
Seja f uma função contínua em um intervalo [a; b] e f(x) � 0, então a área
é de…nida como:
A = lim
n!1
nX
i=1
f(ci)�x;
em que f(ci) é o valor mínimo do subintervalo �x = b�an : Analogamente:
A = lim
n!1
nX
i=1
f(di)�x;
em que f(di) é o valor máximo do subintervalo �x:
3.3.3 Soma de Riemann e Integral De…nida
Seja f uma função de…nida no intervalo fechado [a; b]. Vamos dividir o in-
tervalo em n subintervalos, escolhendo qualquer dos (n � 1) pontos inter-
mediários entre a e b. Seja x0 = a e xn = b e x1; x2; :::; xn�1 tais que,
x0 < x1 < :::xn, não necessariamente equidistantes, e o i-ésimo subintervalo
é dado por �ix = xi�xi�1: Agora, para cada subintervalo escolhemos "i, tal
que, xi�1 � "i � xi. e de…nimos a seguinte soma:
nX
i=1
f("i)�ix
Tal soma é denominada Soma de Riemann. Observa-se que os valores
funcionais de f não são restritos aos valores não-negativos.
Se f é uma função de…nida no intervalo fechado [a; b], então a integral
de…nida de f de a até b; denotada por
bR
a
f(x)dx é dada por:
bZ
a
f(x)dx = lim
n!1
nX
i=1
f("i)�x = limk�k!0
nX
i=1
f("i)�ix;
em que k � k representa a norma da partição, ou seja, o comprimento
do maior subintervalo. Note que a a…rmação "a função f é integrável no
8
intervalo fechado [a; b]" signi…ca que a "integral de…nida de f de a até b
existe". Este símbolo ,
R
, lembra um S maiúsculo, o que é apropriado para
a integral de…nida, pois esta de…nição é o limite de uma soma.
Observação: O símbolo
R
é o mesmo que foi usado para indicar a operação
de antidiferenciação. A razão pelo emprego do mesmo símbolo será dada
pelo Segundo Teorema Fundamental do Cálculo, que permite calcular
a integral de…nida através da determinação de uma antiderivada, também
denominada integral inde…nida.
Teorema: Se uma função for contínua no intervalo fechado [a; b], então
ela será integrável neste intervalo.
De…nição: Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a; b] e f(x) �
0: Seja R a região limitada pela curva y = f(x), pelo eixo x e pelas retas
x = a e x = b. Então a medida A da área da região R é dada por:
R =
bZ
a
f(x)dx:
Esta de…nição estabelece que se f(x) � 0 para todo x em [a; b] , a integral
de…nida poderá ser interpretada geometricamente como a medida da área da
região R.
De…nições:
i) se a > b , então:
bZ
a
f(x)dx = �
aZ
b
f(x)dx; se
aZ
b
f(x)dx existir,
ii) se f(a) existe, então:
aZ
a
f(x)dx = 0
Propriedades da Integral De…nida (Teoremas):
1)
bR
a
kdx = k(b� a)
2)
bR
a
kf(x)dx = k
bR
a
f(x)dx
9
3)
bR
a
[f(x) + g(x)]dx =
bR
a
f(x)dx+
bR
a
g(x)dx
4) Se a função f for integrável em [a; b] , [a; c] e [c; b] , então:
bZ
a
f(x)dx =
cZ
a
f(x)dx+
bZ
c
f(x)dx; a < c < b
5) Se a função f for integrável num intervalo fechado contendo os números
a; b e c, então:
bZ
a
f(x)dx =
cZ
a
f(x)dx+
bZ
c
f(x)dx;
não importando a ordem de a; b e c:
6) Se as funções f e g forem integráveis no intervalo fechado [a; b], e se
f(x) � g(x) para todo x em [a; b]; então:
bZ
a
f(x)dx �
bZ
a
g(x)dx
3.4 Teoremas Fundamentais do Cálculo
Primeiro vamos enunciar o Teorema do valor médio para integrais para
provar o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo. Se f(x) � 0; o Teorema
do valor médio para integrais estabelece que existe um número � em [a; b] tal
que:
bZ
a
f(x)dx = f(�)�x
Note que o Teorema não estabelece que este número é necessariamente
único.
10
Observe que o valor da integral de…nida depende apenas da função f , a e
b, ou seja, não depende da variável x, utilizado como variável independente,
logo podemos utilizar outras notações:
bZ
a
f(x)dx =
bZ
a
f(t)dt
Se
bR
a
f(t)dt existe e de…nirmos x como um número em [a; b], então f será
contínua em [a; x], pois é contínua em [a; b]. Conseqüentmente,
xR
a
f(t)dt existe
e é um valor que depende de x: Logo,
xR
a
f(t)dt de…ne uma função F , tendo
como domínio todos os números no intervalo [a; b], cujo valor funcional em
qualquer x em [a; b] é dado por:
F (x) =
xZ
a
f(t)dt
Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo. Seja f contínua em
[a; b] e seja x qualquer número em [a; b]: Se F for de…nida por F (x) =
xR
a
f(t)dt,
então:
F 0(x) = f(x);
ou seja, o teorema estabelece que a integral de…nida com limite superior
variável é uma antiderivada de f:
Segundo Teorema Fundamental do Cálculo. Seja f contínua em
[a; b] e seja g uma função tal que g0(x) = f(x) para todo x em [a; b], então:
bZ
a
f(t)dt = g(b)� g(a)
Devido a relação entre integral de…nida e antiderivada, utilizamos o sinal
de integral
R
para a notação de antiderivadas. Vamos dispensar a terminolo-
gia de antiderivada e antidiferenciação e denominiarmos
R
f(x)dx de integral
11
inde…nida. O processo de cálculo de uma integral de…nida ou inde…nida é
chamado integração.
4 Função Logaritmica
Sabemos que: Z
tndt =
tn+1
n+ 1
+ C para n 6= �1; (n 2 Q);
entretanto para calcular
R
tndt para n = �1 , precisamos de…nir uma função
cuja derivada seja 1
x
: Pelo primeiro teorema sabemos que esta função é
xR
a
dt
t
:
A função logarítmica natural é de…nida por:
lnx =
xZ
1
dt
t
; x > 0:
Propriedades pela de…nição:
1) ln 1 =
1R
1
dt
t
= 0;
2) ln(ab) =
abR
1
dt
t
=
aR
1
dt
t
+
abR
a
dt
t
= ln a+ ln b;
3) ln(a
b
) = ln a� ln b;
4) ln ar = r ln a
4.1 Diferenciação logarítmica e Integrais
Dx[lnx] = Dx
24 xZ
1
dt
t
35 = 1
x
:
Dx[ln g(x)] =
g0(x)
g(x)
;
12
Z
1
t
dt = ln jtj+ C:
4.2 Mudança de Base e Diferenciação
loga x =
lnx
ln a
;
Dx[loga x] = Dx[
lnx
ln a
] =
1
x ln a
;
Dx[loga g(x)] = Dx[
ln g(x)
ln a
] =
g0(x)
g(x) ln a
;
5 Função Inversa e Teorema da Função In-
versa
Uma função é bijetora ou bijetiva se para cada número em sua imagem
corresponde exatamente a um número em seu domínio, ou seja, para todo x1
e x2 , se x1 6= x2 ) f(x1) 6= f(x2): Se f for uma função bijetora então existe
uma função f�1 , denominada função inversa de f , tal que:
x = f�1(y), y = f(x):
O domínio de f�1 é a imagem de f e a imagem de f�1 é o domínio de f:
Teorema da Função Inversa. Seja f uma função diferenciável em um
intervalo e que possua inversa. Se f 0(x) 6= 0 para todo x neste intervalo,
então a derivada da função inversa f�1, de…nida por x = f�1(y) será:
Df�1(y) =
1
f 0(x)
13
6 Função Exponencial
Como a função logarítmicanatural é crescente em todo o seu domínio, então
ela tem uma função inversa que é também crescente e é denominada função
exponencial natural, ou seja:
exp(x) = y se e somente se x = ln y:
De…nição: Se a for um número positivo qualquer e x for um número real
qualquer, de…nimos:
ax = exp(x ln a)
De…nição: O número e é de…nido por:
e = exp 1
Teorema: Para todos os valores de x :
exp(x) = ex:
Propriedades pela de…nição:
1) ea:eb = ea+b;
2) e
a
eb
= ea�b;
3) (ea)b = eab:
6.1 Derivadas e Integrais
Dx(e
x) = ex;
Dx(e
g(x)) = eg(x)g0(x);Z
exdx = ex + C
Função Exponencial de Base a:
1) h(x) = ag(x) ) h0(x) = ag(x)g0(x)lna (a > 0; a 6= 1)
2)
R
axdx = a
x
ln a
+ C (a > 0; a 6= 1)
14
7 Integração por Partes
Pela regra de derivada do produto de duas funções, temos:
Dx[f(x)g(x)] = f
0(x)g(x) + g0(x)f(x);
g0(x)f(x) = Dx[f(x)g(x)]� f 0(x)g(x);Z
g0(x)f(x)dx = f(x)g(x)�
Z
f 0(x)g(x)dx
8 Bibliogra…a
O Cálculo com Geometria Analítica - Louis Leithold:
Capítulo 3 - Derivada: 138-162;181-189,190-194, 205-206.
Capítulo 4 - Extremos Relativos: 216-220 e 236-253.
Capítulo 5 - Antiderivadas: 285-290,295-300; Integral de…nida: 312-352.
Capítulo 7 - Função Inversa: 421-439; Função Logarítmica Natural: 439-
455; Função Exponencial: 455-469.
15
9 Regras de Derivação
1) f(x) = c) f 0(x) = 0
2) f(x) = cx) f 0(x) = c
3) f(x) = xn ) f 0(x) = nxn�1 (n 2 <)
4) h(x) = f(x) + g(x)) h0(x) = f 0(x) + g0(x)
5) h(x) = f(x)g(x)) h0(x) = f 0(x)g(x) + g0(x)f(x)
6) h(x) = f(x)
g(x)
) h0(x) =
�
f 0(x)g(x)�g0(x)f(x)
(g(x))2
�
(g(x) 6= 0)
7) h(x) = ln(g(x))) h0(x) = g0(x)
g(x)
(g(x) 6= 0)
8) h(x) = eg(x) ) h0(x) = eg(x)g0(x)
9) h(x) = ag(x) ) h0(x) = ag(x)g0(x)lna (a > 0; a 6= 1)
10) h(x) = loga g(x)) h0(x) = g
0(x)
g(x)lna
(g(x) 6= 0; a > 0; a 6= 1);
em que loga g(x) =
ln g(x)
ln a
; loga e =
1
ln a
10 Regras de Integração
1)
R
dx = x+ C
2)
R
kf(x)dx = k
R
f(x)dx
3)
R
xndx =
�
xn+1
n+1
+ C para n 6= �1
ln jxj+ C para n = �1 ; (n 2 <)
4)
R
(f(x) + g(x))dx =
R
f(x)dx+
R
g(x)dx
5)
R
exdx = ex + C
6)
R
axdx = a
x
ln a
+ C (a > 0; a 6= 1)
7) Integração por partes:
R
g0(x)f(x)dx = f(x)g(x)� R f 0(x)g(x)dx
16