pratica interdisciplinar 4

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ALGEBRA E GEOMETRIA: UM OLHAR SOBRE SEUS CONCEITOS E APLICAÇÕES
Simione dos Reis Bazzan Valler- 1214359 1
Tutor Externo: Rosilene Zago 2
Centro Universitário Leonardo Da Vinci
UNIASSELVI
MATEMATICA
FLEX-1136
24/06/2019
	
RESUMO
O presente trabalho foi realizado para aquisição de nota para a disciplina de Pratica Interdisciplinar IV do curso de Licenciatura em Matemática, e foi realizada através de leitura de livros didáticos e pesquisas online. Esse trabalho apresenta um breve estudo teórico sobre as disciplinas de álgebra linear e geometria analítica, suas histórias, seus conceitos e suas aplicações. Também abordaremos as interações entre as mesmas e também para perceber como esses temas são abordados na escola. Estudo que tem por objetivos: fomentar a análise e a reflexão sobre esse tema, buscando respostas para sua aplicação dentro do ensino da matemática. A Matemática é tradicionalmente dividida em três grandes áreas: a Geometria, a Álgebra e a Análise. Essas áreas são também conhecidas como delineadoras de maneiras de pensar em Matemática.
Palavras-chave: Geometria Analítica; Álgebra Linear; Escola; Aplicações; 
1. INTRODUÇÃO
A solução para um mesmo problema pode ser encontrada "geometricamente", "algebricamente" ou "analiticamente". A decisão sobre qual é a melhor, a mais simples, ou a mais adequada solução, depende da natureza do problema e das preferências pessoais bastante subjetivas de quem o resolve. No entanto, na maioria das vezes, as áreas do conhecimento matemático se entrelaçam de maneira significativa e isso nem sempre é percebido nos assuntos ministrados no Ensino Básico.
Com base em um breve estudo teórico busca-se aqui apresentar uma reflexão acerca da importância da geometria analítica e da álgebra linear no ensino da matemática escolar bem como apontar os pontos que dificultam esse aprendizado.
Esse campo tem como essência real a transferência de uma investigação geométrica para uma investigação algébrica correspondente. Por ter a geometria analítica tido de esperar o desenvolvimento do simbolismo e dos processos algébricos para que se desenvolva-se de forma plena o seu papel. Parece então correto concordar com a maioria dos historiadores de que foram as contribuições de René Descartes e Pierre de Fermat que deram a geometria analítica os contornos iniciais para a forma com a qual estamos acostumados nos dias de hoje. 
No que tange o estudo da álgebra dentro do currículo escolar muitas vezes esta é tida como uma generalização da aritmética, e essa visão inadequada que se deve muito pelo desconhecimento da história da álgebra e de sua conceituação o que vem por fim a prejudicar sua aplicação da mesma na escola. Para que se supere essas limitações autores aqui apresentados propõem em vez de buscar uma aprendizagem aritmética, buscar uma produção de significados para a álgebra, indo além do aprendizado desta.
Quanto ao estudo da geometria analítica está também sofre com problemas de conceitualização e compreensão de sua aplicabilidade dentro da matemática escolar. Neste breve estudo será apresentado, a história desta disciplina, seus conceitos e sua aplicação no estudo da matemática.
 
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1 ALGEBRA LINEAR: SUA HISTÓRIA, SEUS CONCEITOS E SUAS APLICAÇÕES
Álgebra linear é um ramo da matemática que surgiu do estudo detalhado de sistemas de equações lineares, sejam elas algébricas ou diferenciais. A álgebra linear utiliza alguns conceitos e estruturas fundamentais da matemática como vetores, espaços vetoriais, transformações lineares, sistema de equações lineares e matrizes.
Até o início do século XIX a álgebra era considerada simplesmente como a aritmética simbólica, na qual usam-se letras que representam números. Uma nova visão mais moderna da álgebra surgiu por volta de 1830 na Inglaterra com o trabalho de Georg Peacock (1791-1858), o qual foi pioneiro em estudar seriamente os princípios fundamentais da álgebra, procurando dar a ela um tratamento logico equiparável ao dos elementos de Euclides. Ele fazia a distinção entre o que ele chama de álgebra aritmética e álgebra simbólica.
FIGURA1- Georg Peacock
A Álgebra é uma das áreas mais antigas da Matemática, se considerarmos seus primórdios vinculados à Teoria de Números e à Aritmética Básica. Ao longo da História, muito conhecimento foi sendo adicionado e, desde o século XVII, a partir da observação de regras comuns que certos conjuntos com determinadas operações satisfaziam, foram se originando as diferentes estruturas algébricas (e subáreas da Álgebra) que hoje são estudadas. Nos dias atuais, as aplicações de Álgebra também são muitas, como na Tecnologia da Informação, com a transmissão de mensagens, a Criptografia para a segurança dos dados digitais, funcionamento dos telefones celulares, armazenamento de grande quantidade de dados, etc. De modo geral, na escola, o ensino da Álgebra se restringe a resolução de equações algébricas de modo mecânico, quase sempre sem vincular com problemas reais ou, pelo menos, geométricos.
Semelhante ao que aconteceu com a geometria que permaneceu por muito tempo acorrentada a sua visão euclidiana, por muito tempo também foi inconcebível que pudesse haver uma álgebra diferente da álgebra comum aritmética.
Segundo Lins & Gimenez (1997), não há um consenso a respeito do que seja penar algebricamente. Essa falta de consenso acaba por vez prejudicando a aplicação da mesma no âmbito escolar.
Outro marco na história da álgebra foram os estudos de François Viéte, estudos estes que tomaram como critério fundamental a evolução da escrita.
De acordo com Sessa (p49), muitos historiadores costumam dividir a história da álgebra em três períodos, o primeiro da álgebra retórica, o segundo da álgebra sincopada e por último da álgebra simbólica. Esta ultima cuja a linguagem é basicamente, a da álgebra atual.
A álgebra linear se destaca pela sua funcionalidade através da história da matemática. Vejamos exemplos atuais onde ela pode ser aplicada:
- Na ciência da computação, a computação gráfica é repleta de álgebra linear. Manipulação de imagens como o redimensionamento de uma foto, a coloração de ícones em um computador e renderização de gráficos em jogos são possíveis pelo que chamamos de transformações lineares.
- A teoria dos grafos, ramo que estuda as relações entre os objetos de um determinado conjunto numérico, é baseado na álgebra linear. O matemático Leonard Euler contribui para esta teoria na tentativa de resolver o famoso “problema das pontes de Konigsberg”. A teoria evolui e é palco de aplicações como o desenvolvimento de sistemas de navegação mais eficientes além de diversas outras aplicações computacionais.
Existem ainda mais aplicações da álgebra linear em modelos econômicos preditivos, na medicina com a tomografia computadorizada, no desenvolvimento de jogos, na administração florestal, na internet com motores de buscas mais eficientes e muito mais. Sem dúvidas suas aplicações são presentes em diversos ramos e profissões, logo vale a pena aprender esta disciplina sempre visando suas aplicações.
 
2.2 GEOMETRIA ANALITICA: SUA HISTÓRIA, SEUS CONCEITOS E SUAS APLICAÇÕES
Para que se possa responder as questões acerca do pai da geometria analítica, antes de tudo é preciso conceituar o que é geometria analítica. Segundo a história os gregos antigos dedicaram-se de forma considerável a álgebra geométrica, bem como, está a partir da ideia de coordenada foi usada pelos antigos egípcios e pelos romanos na agrimensura e na confecção de mapas.
Historicamente, a Geometria Euclidiana é um dos conhecimentos que teve seu desenvolvimento desde as civilizações mais antigas, na Grécia e no Egito e era principalmente utilizada para resolver problemas práticos da Agricultura, Astronomia, Arquitetura e Engenharia. No entanto, já na Escola Pitagórica, começou a ser apresentada com uma abordagem sintética em que certas noções geométricas são consideradasprimitivas e onde o raciocínio dedutivo a partir de axiomas e teoremas é a ferramenta principal para obter proposições verdadeiras.
Nos dias atuais, os conhecimentos de Geometria são aplicados nos mais variados campos do conhecimento humano, tais como: Física, Química, Geologia, Astronomia, Engenharia, Biologia, Navegação, Cartografia, Computação Gráfica e muitos outros. Na maioria dos livros didáticos atuais, os temas de Geometria Euclidiana são ainda tratados axiomaticamente e poucas aplicações são apresentadas.
FIGURA 2 – René Descartes
Foi com o filosofo e matemático francês René Descartes, cujo nome em latim é Renatus Cartesius, que surgiu a geometria. Fixando as bases do seu trabalho em dois eixos fixos, que se interceptam em um ponto, Descartes escreveu uma obra chamada “La Géometrie”, na qual introduz a noção de coordenadas. Sua obra “La Géometrie” se caracteriza, por uma completa aplicação da Álgebra à Geometria e da Geometria à Álgebra.
Foi em sua obra “La Géometrie” que Descartes fez uma explanação de alguns dos princípios da geometria algébrica e revelar um avanço em relação aos gregos. Se por um lado para os gregos, uma variável correspondia ao comprimento de um segmento, o produto de duas variáveis à área de um retângulo e o produto de três variáveis ao volume do paralelepípedo retângulo. Para Descartes x2 não sugeria uma área, antes porem o quarto termo da proporção 1: x = x : x2, suscetível de ser representada por um segmento de reta fácil de construir quando se conhece o x.
Considerando duas grandezas relacionadas entre si, representou uma delas sobre um dos eixos e a outra sobre o outro eixo, construindo, por meio de paralelas, os outros dois lados, completou a figura de um paralelogramo, definindo e caracterizando um ponto do plano. Mostrou a seguir, que a relação entre as grandezas pode ser representada por uma curva bem definida, ao mesmo tempo que demonstrava que a curva correspondia uma equação e que a equação de uma curva permitia o estudo das propriedades dessa curva.
Para Descartes, as verdades claras e distintas, no caso da geometria, são os segmentos que ele, como os gregos anteriormente, identifica com os números. Na consideração de um certo problema, diz ele, devemos escrever a equação que liga os segmentos conhecidos aos desconhecidos e a partir delas resolver os problemas.
Ele observa que a Geometria é “difícil” e a Álgebra é “fácil”, e que seus métodos, nesse caso, se limitavam a resolver os problemas difíceis que os gregos haviam propostos pela álgebra, mais clara e fácil de manipular.
FIGURA 3 – Pierre de Fermat
A figura de Pierre de Fermat dentro do desenvolvimento da geometria analítica aparece descrita no artigo “Isogene ad locus planos e sólidos”, publicado após sua morte. Conforme Howard (2004) nesse artigo encontra-se a equação geral da reta e uma discussão sobre hipérboles, elipses e parábolas. Ainda um trabalho sobre tangentes e quadraturas no qual definiu muitas curvas novas analiticamente.
Segundo Eves Howard (2004), poucas experiencias escolares podem ser mais emocionantes para um aluno do Ensino Médio ou inicio da faculdade do que uma introdução a esse novo e poderoso método de enfrentar problemas geométricos.
A essência da ideia do método analítico na geometria, quando aplicado ao plano, consiste em estabelecer uma correspondência entre os pontos do plano e pares ordenados de números reais viabilizando assim uma correspondência entre curvas e planos e equações em duas variáveis, de maneira que para cada curva do plano está associada uma equação bem definida.
Descartes sugeriu umas poucas curvas novas, gerados por movimentos mecânicos, Fermat propôs muitas curvas novas, definidas por equações algébricas.
2.3 RELAÇÕES ENTRE GEOMETRIA E ALGEBRA
	Para Itzcovich (2012), das muitas relações que podem ser propostas entre a álgebra e a geometria, destaca-se aquelas em que o recurso algébrico está a serviço da construção geométrica. Para o autor existem inúmeras situações nas quais há de se construir figuras, mas em geral o problema principal da geometria não é o de desenhar o que é pedido, mas demonstrar ao aluno que mediante ao uso da régua e do compasso, a solução pode ser encontrada. Sendo nesse ponto que o recurso da álgebra pode mostrar sua fertilidade.
... é apelando a determinada expressões algébricas que se identificam as relações que são colocadas em jogos, e que podem apresentar as condições de possibilidade da construção, da validade do construído e da quantidade de soluções (ITZCOVICH, p55)
	Desse modo, a álgebra aparece como ferramenta para a construção argumentativa, dentro da sua relação com a geometria.
	Com a introdução do plano cartesiano por René Descartes, no início do século XVII, problemas de outras áreas da Matemática, como os da Álgebra, puderam ser transformados em problemas de Geometria (e vice-versa), muitas vezes conduzindo à simplificação das soluções. Essa integração da Álgebra com a Geometria deu origem, dentre outras, à Geometria Analítica que foi um dos pontos chaves para que Isaac Newton e Gottfried Leibniz pudessem desenvolver as ideias do Cálculo Diferencial e Integral no final daquele mesmo século.
Enquanto a Álgebra e a Geometria estiveram separadas, seus progressos foram lentos e suas aplicações limitadas. No entanto, quando estas duas ciências foram unidas, deram uma a outra renovada vitalidade e seguiram rapidamente rumo à perfeição. (Joseph Louis Lagrange)
	
No estudo da Geometria integrada à Álgebra destacamos ainda a noção de simetria que é encontrada nas formas presentes na natureza: nas folhas, nas flores, no corpo humano e de outros animais, nos cristais de gelo, na neve, entre tantos outros exemplos de objetos com formas simétricas. Ao longo da evolução do conhecimento, a noção de simetria se tornou uma das mais importantes, não apenas em Geometria, mas em todas as áreas da Matemática e na Física, onde o entendimento de simetrias dos objetos e fenômenos físicos fornece meios extremamente eficazes para a compreensão das leis que regem tais fenômenos. Os "argumentos de simetria" fornecem atalhos e soluções elegantes para problemas matemáticos e físicos. Os diferentes tipos de simetrias existentes no plano e no espaço podem ser classificados de modo bastante elegante ao se utilizar certas estruturas algébricas conhecidas como grupos.
Todos os objetos, figuras e relações já obtidas na geometria euclidiana clássica são estudados na geometria analítica por meio da álgebra. Isso expande os conceitos da geometria, que agora podem ser analisados de modo completamente novo, e introduz conceitos que ainda não podiam ser considerados ou que não podiam ser explorados ao máximo na geometria euclidiana. Um exemplo disso é o conceito de distancia entre um ponto e uma reta.
O conceito de distancia é um dos mais importantes dentro da geometria analítica. Por meio deles são definidos outros conceitos importantes, como os de círculos e circunferências. Além disso, a maioria das definições algébricas de figuras geométricas é obtida por intermédio do conceito de distância.
3. MATERIAIS E MÉTODOS
	Os métodos utilizados neste trabalho foram exclusivamente a leitura de livros didáticos, pesquisas a cerca do trabalho proposto, sendo a pratica simulada. Como material foi utilizado documentários, pesquisa online, livros, papel e computador.
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO
Conforme Sessa (2009), há uma grande variedade de respostas para a forma de como é introduzida a álgebra na escola, o que divide o trabalho algébrico em aspectos prioritários e os não fundamentais. A exemplo disso há os que encaram como prioridade, o tratamento das equações, que de maneira geral usam letras para designar números desconhecidos, sendo essa conforme o autor as primeiras experiencias no terreno da álgebra. Desta forma, para muitos alunos, as equações tem por objetivos isolar as incógnitas.
Para Linz & Gimenez (1997), a aplicação da álgebra na escola pode ser vista como aritmética generalizada,quando o aluno atinge o estágio operatório formal, e isso já constitui alguma atividade algébrica. Outro caso que se apresenta segundo o autor, é quando as operações são conhecidas em suas propriedades operatórias, dentro de uma álgebra abstrata.
5. CONCLUSÃO
Após a realização desse breve estudo teórico acerca da álgebra e da geometria, oque se percebe é que muito das dificuldades na sua aplicação dentro do estudo da matemática na escola, deve-se principalmente pela falta de estudo e conhecimento sobre como se deu a construção desses dois conceitos e de como se desenvolveu ao longo da historia seus estudos e suas aplicações.
Pode-se afirmar ainda que o campo da álgebra e da geometria é bastante vasto tanto para sua aplicação como para o estudo sobre como esses temas se constituíram ao longo da história da matemática. E que muito ainda haveria para ser apontado nesse trabalho, mas como o objetivo era buscar despertar essa reflexão, limitou-se aqui a esse breve apanhado histórico e apontamento de possíveis aplicabilidade desses dois temas na vida escola.
Dentro dessa analise pode-se dizer que a álgebra na escola se aplica e se caracteriza dentro de duas notações, pela presença de certos conteúdos e da aplicação de certos processos a esses conteúdos, que não se limita ao uso de letras nas operações matemáticas.
REFERÊNCIAS
HOWARD, Eves. Introdução a história da matemática; tradução: Hygino Domingues -Campinas, Sp: Editora Unicamp, 2004
ITZCOVICH, Horácio. Iniciação ao estudo didático da geometria: das construções às demonstrações/Horácio Itzcovich; tradução romina Amorebieta, Luciano Ismael Barrinuevo Guillermo Segú. – 1. Ed.- São Paulo: Anglo, 2012
LINZ, Romulo Campos, GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XXI. – Campinas, SP: Papirus, 1997.
SESSA, Carmem. Iniciação ao estudo didático da álgebra: origens e perspectivas/ Carmem Sessa; tradução Damian Kraus. – São Paulo: Edições SM, 2009.
COELHO, Flavio Ulhôa; LOURENÇO, Mary Lilian. Um curso de Álgebra Linear. São Paulo: EDUSP, 2013.
LIPSCHUTZ, Seymor; LIPSON, Marc. Álgebra Linear. Porto Alegre: Bookman, 2011.
LESSA, José Roberto. Álgebra Linear. InfoEscola,2019
1 Nome dos acadêmicos
2 Nome do Professor tutor externo
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI – Curso (Código da Turma) – Prática do Módulo I – dd/mm/aa
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