Aula SC - Tema 04 - Modelagem matemática - transformada de Laplace

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Engenharias Elétrica, da Computação e de Energia – Sistemas de Controle – Prof. Solivan Valente 1
Engenharias Elétrica, da Computação e de Energia
Prof. Solivan Valente
solivan@up.edu.br
Tema 4
Modelagem matemática: a transformada de Laplace
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Funções singulares
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Antes de iniciarmos o estudo da transformada de Laplace e da sua 
aplicação na análise e projeto de sistemas de controle, vamos rever 
algumas funções singulares.
Essas funções são muito importantes no estudo de sistemas de 
controle, especialmente para a representação de sinais de entrada.
Vamos rever:
• Degrau unitário
• Exponenciais causais
• Impulso (Delta de Dirac)
• Rampa
• Parábola causal
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Funções singulares
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Degrau unitário (ou Step function, ou Heaveside function)
𝑢 𝑡 = 
0 , 𝑡 < 0
1 , 𝑡 > 0
𝑡
𝑢(𝑡)
1
0
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Degrau unitário deslocado
𝑢 𝑡 − 𝑎 = 
0 , 𝑡 < 𝑎
1 , 𝑡 > 𝑎
𝑡
𝑢(𝑡 − 𝑎)
1
0 𝑎
𝑎 > 0 Degrau “atrasado”
𝑎 < 0 Degrau “adiantado”
𝑎 > 0
𝑡
𝑢(𝑡 − 𝑎)
1
0𝑎
𝑎 < 0
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Funções singulares
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Exemplo 1: Escreva a expressão matemática do sinal de tensão 𝑣(𝑡).
+
−
5 V 2 
𝑡 = 0
𝑣(𝑡)
+
−
Comportamento da tensão sobre o 
resistor com o passar do tempo:
𝑡 [s]
𝑣 𝑡 [V]
5
0
Podemos expressar 𝑣(𝑡) por meio de uma função degrau unitário, com 
amplitude multiplicada por 5:
𝑣 𝑡 = 5. 𝑢(𝑡) [V]
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Exemplo 2: Escreva a expressão matemática do sinal de corrente 𝑖𝑅(𝑡).
2 A R𝑡 = 0
𝑖𝑅(𝑡)
𝑡 = 3
Comportamento da corrente através 
do resistor com o passar do tempo:
𝑡 [s]
𝑖𝑅 𝑡 [A]
2
0 3
𝑖𝑅 𝑡 = 2 − 2𝑢 𝑡 − 2𝑢(𝑡 − 3)
𝑖𝑅 𝑡 = 2 1 − 𝑢 𝑡 + 𝑢(𝑡 − 3)
Faça um diagrama com as funções 
individuais e com a soma delas para 
verificar a expressão de 𝑖𝑅(𝑡).
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Funções singulares
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Funções causais São funções que têm valor nulo para 𝑡 < 0.
Podem ser obtidas pela multiplicação de uma 
função qualquer pelo degrau unitário 𝑢(𝑡).
Exemplos: Exponenciais causais
𝑓 𝑡 = 
0 , 𝑡 < 0
𝑒−𝑎𝑡 , 𝑡 > 0
𝑓 𝑡 = 𝑒−𝑎𝑡 . 𝑢(𝑡)
𝑡
𝑓(𝑡)
1
0
𝑎 > 0
Exponencial
decrescente
causal
𝑡
𝑓(𝑡)
1
0
𝑎 < 0
Exponencial
crescente
causal
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Funções singulares
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Pulso retangular
𝑃Δ(𝑡) = 
1
Δ
, 0 < 𝑡 < Δ
0 , 𝑡 < 0 𝑒 𝑡 > Δ 𝑡
𝑃Δ(𝑡)
1
Δ
0 Δ
Utilizando o degrau unitário:
𝑃Δ(𝑡) =
1
Δ
𝑢 𝑡 − 𝑢(𝑡 − Δ)
O pulso tem área unitária: 𝐴 = 
−∞
∞
𝑃Δ 𝑡 𝑑𝑡 = 1
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Impulso unitário
Área sob o impulso: 𝐴 = 
−∞
∞
𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = 
0−
0+
𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = 1
(Delta de Dirac)
𝛿(𝑡) = 
0 , 𝑡 ≠ 0
∞ , 𝑡 = 0
𝑡
𝛿(𝑡)
0
1
Amplitude infinita
Área sob o impulso
Impulso deslocado:
𝑡
𝛿(𝑡 − 𝑡0)
0
1
𝑡0
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𝛿 𝑡 = lim
Δ→0
𝑃Δ(𝑡) = lim
Δ→0
1
Δ
𝑢 𝑡 − 𝑢(𝑡 − Δ)
Utilizando o pulso retangular:
𝛿 𝑡 =
𝑑𝑢(𝑡)
𝑑𝑡
𝑢 𝑡 = 
−∞
𝑡
𝛿 𝜆 𝑑𝜆
Ou:
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Rampa
𝑡. 𝑢 𝑡 = 
0 , 𝑡 < 0
𝑡 , 𝑡 > 0
𝑡
𝑡. 𝑢(𝑡)
0
45𝑜
𝑎
𝑎
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Parábola causal
𝑡2. 𝑢 𝑡 = 
0 , 𝑡 < 0
𝑡2 , 𝑡 > 0
𝑡
𝑡2. 𝑢(𝑡)
0 𝑎
𝑎2
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Funções singulares
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Exercício 1:
Obtenha as expressões matemáticas que representam os sinais:
a)
𝑡
𝑓(𝑡)
0
5
−5
𝑓 𝑡 = 
0 , 𝑡 < 0
5. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) , 𝑡 > 0
𝑓 𝑡 = 5. 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 . 𝑢(𝑡)
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b)
𝑡
𝑔(𝑡)
0
7
−7
𝑔 𝑡 = 
0 , 𝑡 < 0
7. 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) , 𝑡 > 0
𝑔 𝑡 = 7. 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 . 𝑢(𝑡)
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c)
𝑡
ℎ(𝑡)
50 64321−1−2
2
3
−3
−4
5
ℎ 𝑡 = 3. 𝛿 𝑡 + 2 − 3. 𝛿 𝑡 + 1 + 2. 𝛿 𝑡 − 4. 𝛿 𝑡 − 2 + 5. 𝛿(𝑡 − 6)
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d)
𝑡
𝑓(𝑡)
0
45𝑜
3
Observe que temos uma reta 𝑡 + 3 para 𝑡 > 0.
𝑓 𝑡 = 
0 , 𝑡 < 0
𝑡 + 3 , 𝑡 > 0
𝑔 𝑡 = (𝑡 + 3). 𝑢(𝑡)
𝑔 𝑡 = 𝑡. 𝑢 𝑡 + 3. 𝑢(𝑡)
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Funções singulares
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Exercício 2:
Obtenha as derivadas das funções a seguir:
a)
𝑡
𝑓(𝑡)
2
0 3
𝑓 𝑡 = 2. 𝑢 𝑡 − 2. 𝑢(𝑡 − 3)
𝑑𝑓(𝑡)
𝑑𝑡
= 2. 𝛿 𝑡 − 2. 𝛿(𝑡 − 3)
𝑡
𝑑𝑓(𝑡)
𝑑𝑡
2
0 3
−2
A área de cada impulso 
corresponde à variação de 
amplitude de 𝑓(𝑡) no ponto. 
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Funções singulares
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b) 𝑔 𝑡 = 5𝑡. 𝑢 𝑡
𝑡
𝑔(𝑡)
0
𝑑𝑔(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
5𝑡 . 𝑢 𝑡 + 5𝑡.
𝑑𝑢(𝑡)
𝑑𝑡
Derivada de um produto:
𝑑𝑔(𝑡)
𝑑𝑡
= 5𝑢 𝑡 + 5𝑡. 𝛿(𝑡)
≠ 0 para 𝑡 = 0
O produto 5𝑡. 𝛿(𝑡) é sempre nulo. Assim: 
𝑑𝑔(𝑡)
𝑑𝑡
= 5𝑢 𝑡
𝑡
𝑑𝑔(𝑡)
𝑑𝑡
5
0
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Escolha do modelo matemático
Um dos passos fundamentais na análise e projeto de sistemas de 
controle é o desenvolvimento de modelos matemáticos a partir 
de esquemas de sistemas físicos.
Há 2 métodos principais:
• Funções de transferência no domínio da frequência (Laplace)
• Equações de estado no domínio do tempo.
Neste tema, estudaremos a modelagem por funções de 
transferência, utilizando a transformada de Laplace.
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Escolha do modelo matemático
Mas por que a transformada de Laplace é necessária?
Já verificamos que uma equação diferencial pode descrever a 
relação entre a entrada 𝑟(𝑡) e a saída 𝑐(𝑡) de um sistema. A forma 
da equação diferencial e os valores dos seus coeficientes são uma 
formulação ou descrição do sistema. 
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Porém, a representação de um sistema por meio de uma equação 
diferencial não é satisfatória do ponto de vista da abordagem de 
sistemas. Por que? Porque os parâmetros do sistema (que 
aparecem nos coeficientes), a saída 𝑐(𝑡) e a entrada 𝑟(𝑡)
aparecem por toda a equação.
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Escolha do modelo matemático
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Isso facilita a análise e o projeto. Esta conveniência não pode
ser obtida com uma equação diferencial, mas pode com a 
transformada de Laplace.
É preferível uma representação matemática em que a entrada, a 
saída e o sistema sejam partes distintas e separadas:
Além disso, precisamos representar a interconexão de diversos 
subsistemas, com uma função transferência no interior de cada 
bloco, de modo que elas possam ser facilmente combinadas para 
produzir uma representação equivalente simples:
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Transformada de Laplace
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Pierre-Simon, Marquês de Laplace
(1749 – 1827) 
Foi um matemático, astrônomo e físico francês que 
organizou a astronomia matemática, resumindo e 
ampliando o trabalho de seus predecessores nos cinco 
volumes do seu Mécanique Céleste (Mecânica Celeste) 
(1799 – 1825). Esta obra-prima traduziu o estudo 
geométrico da mecânica clássica usada por Isaac Newton 
para um estudo baseado em cálculo, conhecido como 
mecânica física. 
Entre muitas outras contribuições, ele propôs a 
transformada de Laplace, que aparece em todos os ramos 
da física matemática, campo em cuja formação teve um 
papel principal. 
Laplace foi eleito membro da Royal Society em 1789, 
tornou-se conde do Império em 1806 e foi nomeado 
marquês em 1817.
Adaptado de: https://pt.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplace
Fonte da imagem:
Por Jean-Baptiste Paulin Guérin
http://www.photo.rmn.fr/ , Public Domain, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=11128007
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Transformada de Laplace
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Há duas definições da transformada de Laplace:
𝐹 𝑠 = 
−∞
+∞
𝑓 𝑡 . 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
𝐹 𝑠 = 
0−
+∞
𝑓 𝑡 . 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
Transformada de Laplace Bilateral
Transformada de Laplace Unilateral
Elas possuem propriedades diferentes e, na teoria de Controle, 
utilizamos a transformada unilateral. Em nosso estudo vamos omitir 
o termo “unilateral”.
Para mais detalhes sobre os dois tipos de transformada de Laplace, as semelhanças e diferenças entre 
elas, e também as relações com a transformada de Fourier, veja o livro:
Oppenheim, A. V.; Willsky, A. S. Sinais e Sistemas. 2ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
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Transformada de Laplace
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Definição:
ℒ 𝑓 𝑡 = 𝐹 𝑠 = 
0−
∞
𝑓 𝑡 𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡
ℒ−1 𝐹 𝑠 =
1
2𝜋𝑗
 
𝜎−𝑗∞
𝜎+𝑗∞
𝐹 𝑠 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑠 = 𝑓 𝑡 . 𝑢(𝑡)
Transformada
Direta
𝑡 → 𝑠
Transformada
Inversa
𝑠 → 𝑡
Notação: ℒ transformada direta ℒ−1 transformada inversa
As equações acima assumem que, no domínio do tempo, temos 
sempre uma função nula para 𝑡 < 0, ou seja, uma função causal.
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Transformada de Laplace
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A variável 𝑠 é uma variável complexa, chamada de frequência 
complexa. Ela é definida como 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔.
Como 𝑠 é complexa, a função 𝐹(𝑠) precisa ser representada sobre 
um plano, com um eixo real 𝜎 e um eixo imaginário 𝑗𝜔.
Ele é chamado de plano 𝑠, ou plano complexo.
A parte real 𝜎 está relacionada a uma exponencial,
enquanto a parte imaginária 𝜔 é a frequência angular
(a mesma da transformada de Fourier).
𝑓 𝑡 mostra o sinal no domínio do tempo (forma de onda)
𝐹(𝑠) mostra o sinal no domínio da frequência complexa (plano 𝑠).
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Transformada de Laplace
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Veja um exemplo:
𝐻 𝑠 =
𝑠3 + 2𝑠2 + 6𝑠 + 7
𝑠2 + 0,2𝑠 + 2,8
𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔
𝜔𝜎
Superfície do módulo 𝐻 𝑠
variando com 𝜎 e 𝜔.
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Transformada de Laplace
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Se fizermos um “corte” em 𝜎 = 0, obteremos uma curva em função 
da frequência 𝜔:
𝜔𝜎
A borda superior é a curva do módulo 𝐻 𝑗𝜔 = |𝐻(𝑠)|𝜎=0
que é exatamente a curva de módulo da transformada de Fourier 𝐻 𝜔 .
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Transformada de Laplace
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Para evitar traçar a superfície em 3 dimensões, normalmente 
representamos a função 𝐻(𝑠) com outros gráficos.
Curvas de Resposta 
em Frequência
Observe que a curva do módulo
corresponde à borda superior do 
“corte” mostrado na figura anterior.
Ela é traçada apenas para ω ≥ 0.
𝜔
𝐻 𝑗𝜔 = |𝐻(𝑠)|𝜎=0
MÓDULO
𝜔
𝜃𝐻 𝑗𝜔 = 𝜃𝐻(𝑠)|𝜎=0
FASEA curva da fase também é 
traçada apenas para ω ≥ 0.
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Transformada de Laplace
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𝑗𝜔
𝜎
Diagrama de polos e zeros de 𝑯(𝒔) no plano 𝑠
Os zeros são os pontos do plano 𝑠 em que 𝐻 𝑠 = 0, ou seja, são as raízes do numerador de 𝐻(𝑠).
Cada zero é representado por um “o” no plano.
Os polos são os pontos do plano 𝑠 em que |𝐻(𝑠)| → ∞, ou seja, são as raízes do denominador de 𝐻(𝑠).
Cada polo é representado por um “x” no plano.
Polinômio com 3 raízes Zeros de 𝐻 𝑠
𝐻 𝑠 =
𝑠3 + 2𝑠2 + 6𝑠 + 7
𝑠2 + 0,2𝑠 + 2,8
Neste exemplo, 𝐻(𝑠) tem 3 zeros e 2 polos:
Polinômio com 2 raízes Polos de 𝐻 𝑠
𝑠 = −1,364
𝑠 = −0,318 + 𝑗. 2,243
𝑠 = −0,100 + 𝑗. 1,670
𝑠 = −0,100 − 𝑗. 1,670
𝑠 = −0,318 − 𝑗. 2,243
−0,100 + 𝑗. 1,670
−0,100 − 𝑗. 1,670
−1,364
−0,318 + 𝑗. 2,243
−0,318 − 𝑗. 2,243
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Transformada de Laplace
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Exemplo 3: Obter a transformada de Laplace de 𝑓 𝑡 = 𝐴. 𝑒−𝑎𝑡. 𝑢(𝑡).
ℒ 𝑓 𝑡 = 𝐹 𝑠 = 
0−
∞
𝑓 𝑡 𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡Definição:
Como 𝑓(𝑡) não possui um impulso em 𝑡 = 0, o limite inferior de integração 0−
pode ser substituído simplesmente por 0. Então, temos:
𝐹 𝑠 = 
0
∞
𝑓 𝑡 𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 
0
∞
𝐴. 𝑒−𝑎𝑡. 𝑢 𝑡 . 𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 𝐴. 
0
∞
𝑒− 𝑠+𝑎 𝑡 𝑑𝑡
𝐹 𝑠 = 𝐴.
1
−(𝑠 + 𝑎)
𝑒− 𝑠+𝑎 𝑡
𝑡=0
∞
= 𝐴. 0 −
1
−(𝑠 + 𝑎)
=
𝐴
𝑠 + 𝑎
Assim:
𝑓 𝑡 = 𝐴. 𝑒−𝑎𝑡. 𝑢 𝑡 ⟺ 𝐹 𝑠 =
𝐴
𝑠 + 𝑎
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Transformada de Laplace
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Podemos calcular as transformadas direta e inversa de Laplace por 
meio das integrais que as definem, mas o mais usual é utilizar uma 
tabela com pares de transformadas já calculadas. 
Além disso, diversas propriedades (ou teoremas) da transformada 
de Laplace são muito úteis para evitar os cálculos usando as 
integrais.
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Transformada de Laplace
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𝛿(𝑡) 1
𝑢(𝑡)
1
𝑠
𝑡. 𝑢(𝑡)
1
𝑠2
𝑡𝑛 . 𝑢(𝑡)
𝑛!
𝑠𝑛+1
𝑒−𝑎𝑡 . 𝑢(𝑡)
1
𝑠 + 𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 . 𝑢(𝑡)
𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 . 𝑢(𝑡)
𝜔
𝑠2 + 𝜔2
𝑠
𝑠2 + 𝜔2
𝑓(𝑡) 𝐹(𝑠)
Impulso
Degrau
Rampa
Parábola ou polinômio
Exponencial
Seno
Cosseno
A tabela ao lado mostra 
alguns exemplos de 
transformadas de Laplace:
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Transformada de Laplace
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Linearidade (homogeneidade)
Linearidade (superposição)
Deslocamento em frequência
Deslocamento no tempo
Mudança de escala (ou escalonamento)
Diferenciação no tempo
Integração no tempo
Diferenciação no tempo
Diferenciação no tempo
Propriedades da transformada de Laplace
Diferenciação na frequência𝑓(𝑡) 𝐹(𝑠)
𝑘. 𝑓(𝑡) 𝑘. 𝐹(𝑠)
𝑓1 𝑡 + 𝑓2(𝑡) 𝐹1 𝑠 + 𝐹2(𝑠)
𝑒−𝑎𝑡 . 𝑓(𝑡) 𝐹(𝑠 + 𝑎)
𝑓(𝑡 − 𝑇) 𝑒−𝑠𝑇 . 𝐹 𝑠 𝑇 > 0
𝑓(𝑎𝑡)
1
𝑎
𝐹
𝑠
𝑎
𝑎 > 0
𝑑𝑓
𝑑𝑡
𝑠. 𝐹 𝑠 − 𝑓 0−
𝑑2𝑓
𝑑𝑡2
𝑠2. 𝐹 𝑠 − 𝑠. 𝑓 0− − 𝑓′ 0−
𝑑𝑛𝑓
𝑑𝑡𝑛
𝑠𝑛. 𝐹 𝑠 − 
𝑘=1
𝑛
𝑠𝑛−𝑘 . 𝑓𝑘−1 0−
 
0−
𝑡
𝑓 𝜏 𝑑𝜏
𝐹(𝑠)
𝑠
𝑡. 𝑓(𝑡) −
𝑑𝐹(𝑠)
𝑑𝑠
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Transformada de Laplace
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Teorema do valor final (1) 𝑓 ∞ = lim
𝑠→0
𝑠. 𝐹(𝑠)
Teorema do valor inicial (2) 𝑓 0+ = lim
𝑠→∞
𝑠. 𝐹(𝑠)
(1) A notação correta é lim
𝑡→∞
𝑓 𝑡 . Mas adotaremos 𝑓 ∞ por simplicidade.
Para que este teorema leve a resultados finitos corretos, todas as raízes do denominador (polos) de 
𝐹(𝑠) devem ter parte real negativa, e não mais que um pode estar na origem.
(2) Para que este teorema seja válido, 𝑓(𝑡) deve ser contínua ou ter uma descontinuidade em 
degrau em 𝑡 = 0 (isto é, sem impulsos 𝛿(𝑡) ou suas derivadas em 𝑡 = 0).
Observações:
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Transformada de Laplace
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Exercício 3:
Calcule as seguintes transformadas de Laplace, utilizando a tabela de pares e a 
tabela de propriedades.
a) 𝑓 𝑡 = 𝑡3. 𝑢(𝑡)
Sabemos que: 𝑡𝑛. 𝑢 𝑡 ⟺
𝑛!
𝑠𝑛+1
A solução é obtida por simples substituição, com 𝑛 = 3:
𝑡3. 𝑢 𝑡 ⟺
3!
𝑠3+1
Assim:
𝐹 𝑠 = ℒ[𝑓(𝑡)] =
6
𝑠4
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b) 𝑓 𝑡 = 3. 𝑢 𝑡 − 3. 𝑢(𝑡 − 5)
Sabemos que:
𝑢 𝑡 ⟺
1
𝑠
𝑓 𝑡 − 𝑇 ⟺ 𝑒−𝑠𝑇 . 𝐹(𝑠)
Transformada conhecida (tabela)
Teorema do deslocamento no tempo
Pelo teorema da linearidade (a transformada de uma soma é igual à soma 
das transformadas individuais), temos:
𝐹 𝑠 = ℒ 𝑓(𝑡) = ℒ[3. 𝑢 𝑡 − 3. 𝑢(𝑡 − 5)]
𝐹 𝑠 = 3. ℒ 𝑢 𝑡 − 3. ℒ 𝑢 𝑡 − 5 = 3
1
𝑠
− 3
1
𝑠
𝑒−5𝑠
𝐹 𝑠 = ℒ[𝑓(𝑡)] =
3
𝑠
−
3
𝑠
𝑒−5𝑠 =
3
𝑠
1 − 𝑒−5𝑠
Assim:
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c) 𝑓 𝑡 = 𝑒−𝑎𝑡. 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 . 𝑢(𝑡)
Sabemos que:
𝑒−𝑎𝑡. 𝑔 𝑡 ⟺ 𝐺(𝑠 + 𝑎)
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 . 𝑢 𝑡 ⟺
𝜔
𝑠2 + 𝜔2
Seja: 𝑔 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 . 𝑢 𝑡 ⟺ 𝐺 𝑠 =
𝜔
𝑠2 + 𝜔2
Então: 𝑓 𝑡 = 𝑒−𝑎𝑡. 𝑔 𝑡 ⟺ 𝐹 𝑠 = 𝐺 𝑠 + 𝑎 =
𝜔
(𝑠 + 𝑎)2+𝜔2
Assim: 𝑓 𝑡 = 𝑒−𝑎𝑡. 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 . 𝑢(𝑡) ⟺ 𝐹 𝑠 =
𝜔
(𝑠 + 𝑎)2+𝜔2
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Transformada de Laplace
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d) 𝑓 𝑡 = 𝑒−𝑎𝑡. 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 . 𝑢(𝑡)
Sabemos que:
𝑒−𝑎𝑡. 𝑔 𝑡 ⟺ 𝐺(𝑠 + 𝑎)
𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 . 𝑢 𝑡 ⟺
𝑠
𝑠2 + 𝜔2
Seja: 𝑔 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 . 𝑢 𝑡 ⟺ 𝐺 𝑠 =
𝑠
𝑠2 + 𝜔2
Então: 𝑓 𝑡 = 𝑒−𝑎𝑡. 𝑔 𝑡 ⟺ 𝐹 𝑠 = 𝐺 𝑠 + 𝑎 =
(𝑠 + 𝑎)
(𝑠 + 𝑎)2+𝜔2
Assim: 𝑓 𝑡 = 𝑒−𝑎𝑡. 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 . 𝑢(𝑡) ⟺ 𝐹 𝑠 =
𝑠 + 𝑎
(𝑠 + 𝑎)2+𝜔2
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e) 𝑓 𝑡 = 𝑒−𝑎𝑡 𝐴. 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝐵. 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 . 𝑢(𝑡)
Pelo teorema da linearidade, sabemos que a transformada de uma soma é 
igual à soma das transformadas individuais. Assim:
𝐹 𝑠 = ℒ 𝑓(𝑡) = ℒ 𝐴. 𝑒−𝑎𝑡. 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 . 𝑢(𝑡) + ℒ 𝐵. 𝑒−𝑎𝑡 . 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 . 𝑢(𝑡)
𝐹 𝑠 = 𝐴. ℒ 𝑒−𝑎𝑡. 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 . 𝑢(𝑡) + 𝐵. ℒ 𝑒−𝑎𝑡. 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 . 𝑢(𝑡)
𝐹 𝑠 = 𝐴
𝑠 + 𝑎
(𝑠 + 𝑎)2+𝜔2
+ 𝐵
𝜔
(𝑠 + 𝑎)2+𝜔2
=
𝐴 𝑠 + 𝑎 + 𝐵𝜔
(𝑠 + 𝑎)2+𝜔2
Assim:
𝑓 𝑡 = 𝑒−𝑎𝑡 𝐴. 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝐵. 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 . 𝑢 𝑡 ⟺ 𝐹 𝑠 =
𝐴 𝑠 + 𝑎 + 𝐵𝜔
(𝑠 + 𝑎)2+𝜔2
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Transformada de Laplace
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Exemplo 4: Obter a transformada inversa de
Observe que o denominador tem 𝑠 + 3 2 e não temos essa transformada na 
tabela. Porém, sabemos que:
𝑡. 𝑢 𝑡 ⟺
1
𝑠2
Transformada conhecida (tabela)
𝑒−𝑎𝑡 . 𝑓 𝑡 ⟺ 𝐹(𝑠 + 𝑎) Teorema do deslocamento em frequência
Então, dando nomes para as funções intermediárias:
𝑓 𝑡 = 𝑡. 𝑢 𝑡 ⟺ 𝐹 𝑠 =
1
𝑠2
𝑒−𝑎𝑡. 𝑓 𝑡 = 𝑒−𝑎𝑡. 𝑡. 𝑢 𝑡 ⟺ 𝐹 𝑠 + 𝑎 =
1
(𝑠 + 𝑎)2
𝐺 𝑠 =
1
𝑠 + 3 2
41
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Fazendo 𝑎 = 3, temos: 𝑒−3𝑡. 𝑡. 𝑢 𝑡 ⟺
1
(𝑠 + 3)2
Assim: 𝑔 𝑡 = ℒ−1 𝐺(𝑠) = 𝑒−3𝑡. 𝑡. 𝑢 𝑡
De forma geral:
𝑒−𝑎𝑡. 𝑡. 𝑢 𝑡 ⟺
1
(𝑠 + 𝑎)2
42
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Exercício 4: Calcule a transformada inversa 𝑓(𝑡) de 𝐹 𝑠 = 𝑠.
Sabemos que: 𝛿 𝑡 ⟺ 1
𝑑𝑔
𝑑𝑡
⟺ 𝑠. 𝐺 𝑠 − 𝑔 0−
Fazendo 𝑔 𝑡 = 𝛿(𝑡), sabemos que 𝑔 0− = 0, porque o impulso é não nulo 
apenas em 𝑡 = 0. Então: 
𝑑𝑔(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑𝛿(𝑡)
𝑑𝑡
⟺ 𝑠. 𝐺 𝑠 − 0 = 𝑠. 1 = 𝑠
Assim:
𝑓 𝑡 =
𝑑𝛿(𝑡)
𝑑𝑡
⟺ 𝐹 𝑠 = 𝑠 ou: 𝑓 𝑡 = ℒ−1 𝐹(𝑠) =
𝑑𝛿(𝑡)
𝑑𝑡
43
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Incluindo os resultados obtidos e alguns outros, obtemos uma 
tabela mais ampla de transformadas de Laplace, que será muito 
útil na análise e no projeto de sistemas de controle:
44
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Tabela de transformadas de Laplace
𝛿(𝑡) 1
𝑢(𝑡)
1
𝑠
𝑡. 𝑢(𝑡)
1
𝑠2
𝑡𝑛 . 𝑢(𝑡)
𝑛!
𝑠𝑛+1
𝑒−𝑎𝑡 . 𝑢(𝑡)
1
𝑠 + 𝑎
𝑓(𝑡) 𝐹(𝑠)
𝑒−𝑎𝑡 . 𝑡. 𝑢 𝑡
𝑑𝛿(𝑡)
𝑑𝑡
𝑠
1
(𝑠 + 𝑎)2
𝑡2
2
. 𝑢(𝑡)
1
𝑠3
(doublet)
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 . 𝑢(𝑡)
𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 . 𝑢(𝑡)
𝜔
𝑠2 + 𝜔2
𝑠
𝑠2 + 𝜔2
𝑒−𝑎𝑡 . 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 . 𝑢(𝑡)
𝑒−𝑎𝑡 . 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 . 𝑢(𝑡)
𝑓(𝑡) 𝐹(𝑠)
𝑐2 + 𝑑2. cos 𝜔𝑡 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑑
𝑐
. 𝑢(𝑡)
𝑐𝑠 + 𝑑𝜔
𝑠2 + 𝜔2
𝑐2 + 𝑑2. 𝑒−𝑎𝑡 cos 𝜔𝑡 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑑
𝑐
. 𝑢(𝑡)
𝑐 𝑠 + 𝑎 + 𝑑𝜔
𝑠 + 𝑎 2 + 𝜔2
𝑡. 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 . 𝑢(𝑡)
2𝜔. 𝑠
𝑠2 + 𝜔2 2
𝑡. 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 . 𝑢(𝑡)
𝑠2 − 𝜔2
𝑠2 + 𝜔2 2
𝜔
(𝑠 + 𝑎)2+𝜔2
𝑠 + 𝑎
(𝑠 + 𝑎)2+𝜔2
𝑒−𝑎𝑡 𝑐. 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝑑. 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 . 𝑢 𝑡
𝑐. 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝑑. 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 . 𝑢 𝑡
45
Transformada de Laplace
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Observação:
Quando temos um seno e um cosseno oscilando na mesma frequência, podemos 
fazer a soma fasorial deles:
Fasor do
cosseno
Fasor
do seno
(atrasado 90𝑜)
𝑐. 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡
𝑑. 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡
Fasor da
soma
𝜙
𝑐. 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝑑. 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 = 𝑐2 + 𝑑2. cos 𝜔𝑡 − 𝜙
Soma fasorial:
𝜙 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑑
𝑐
Ângulo de atraso em relação ao cosseno:
𝑐. 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝑑. 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 = 𝑐2 + 𝑑2. cos 𝜔𝑡 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑑
𝑐
Então:
46
Transformada de Laplace
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Em muitas situações de análise e projeto de sistemas de controle, precisamos 
calcular a transformada inversa de Laplace de funções que possuem polinômios 
no numerador e/ou no denominador. Em alguns casos, precisamos realizar a 
divisão desses polinômios antes de obter a inversa.
Inicialmente, observe a seguinte divisão inteira:
113
4
113 4
−8
33
−32
1
28
113
4
=
4.28 + 1
4
= 28 +
1
4
A divisãode polinômios é bastante semelhante e é necessária quando o 
numerador tem ordem maior ou igual à ordem do denominador.
Divisão de polinômios
47
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Divisão de polinômios (Método da Chave)
1. Marque os termos de maior ordem no dividendo (numerador) e no divisor (denominador).
2. Anote o resultado da divisão desses termos no quociente.
3. Multiplique o termo obtido por cada termo do divisor, e coloque os resultados com sinal trocado sob o dividendo.
4. Faça a soma e acrescente os termos adicionais do dividendo (“baixar”).
5. Repita os passos 1 a 4 até obter um resto com grau menor que o do divisor.
Exemplo: 𝑠3 + 3𝑠2 − 4𝑠 + 10
𝑠2 − 𝑠 + 3
Ordem 3
Ordem 2
𝑠3 + 3𝑠2 − 4𝑠 + 10 𝑠2 − 𝑠 + 3
𝑠−𝑠
3 + 𝑠2 − 3𝑠
4𝑠2 − 7𝑠 + 10
−3𝑠 − 2
−4𝑠2 + 4𝑠 − 12
+ 4
Então:
𝑠3 + 3𝑠2 − 4𝑠 + 10
𝑠2 − 𝑠 + 3
=
𝑠 + 4 𝑠2 − 𝑠 + 3 + (−3𝑠 − 2 )
𝑠2 − 𝑠 + 3
= 𝑠 + 4 −
3𝑠 + 2
𝑠2 − 𝑠 + 3
Para casa: Mostre que 𝑠3 + 3𝑠2 − 4𝑠 + 10 = 𝑠 + 4 𝑠2 − 𝑠 + 3 + (−3𝑠 − 2 )
48
Transformada de Laplace
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Expansão em Frações Parciais
Para obter a transformada inversa de Laplace de uma função com polinômios no 
numerador e no denominador, precisamos expandir essa função em suas frações 
parciais. A transformada inversa de cada termo é obtida de modo mais simples.
Seja uma função 𝐹(𝑠) dada por:
𝐹 𝑠 =
𝑁(𝑠)
𝐷(𝑠)
Polinômio no numerador
Polinômio no denominador
Há 3 situações distintas para a expansão de 𝐹(𝑠) em frações parciais:
• Caso 1: As raízes de 𝐷(𝑠) são reais e distintas.
• Caso 2: As raízes de 𝐷(𝑠) são reais e repetidas.
• Caso 3: As raízes de 𝐷(𝑠) são complexas ou imaginárias.
Em todas elas, expandimos 𝐹(𝑠) com constantes 𝐾1, 𝐾2, 𝐾3... em diversos 
numeradores; essas constantes são chamadas de resíduos.
49
Transformada de Laplace
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𝐹 𝑠 =
𝑁(𝑠)
𝐷(𝑠)
Polinômio no numerador
Polinômio no denominador
Importante!
ANTES de expandir em frações parciais, devemos verificar as ordens dos 
polinômios que estão no numerador e no denominador da função.
Para fazer a expansão em frações parciais, o polinômio do numerador deve ter 
ordem MENOR que o polinômio do denominador.
Exemplo:
𝐹 𝑠 =
𝑠3 + 2𝑠2 + 6𝑠 + 7
𝑠2 + 6𝑠 + 9
Fazemos a expansão em frações parciais apenas desta parte.
ordem menor que a ordem do denominador
𝐹 𝑠 =
𝑠 − 4 𝑠2 + 6𝑠 + 9 + 19𝑠 + 43
𝑠2 + 6𝑠 + 9
= 𝑠 − 4 +
19𝑠 + 43
𝑠2 + 6𝑠 + 9
Polinômio de ordem maior que o denominador: precisamos fazer a 
divisão dos polinômios antes de realizar a expansão de 𝐹(𝑠) em 
frações parciais. Fazendo a divisão, obtemos:
50
Transformada de Laplace
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Caso 1: As raízes de 𝐷(𝑠) são reais e distintas
𝐹 𝑠 =
𝑁(𝑠)
𝐷(𝑠)
=
𝑁(𝑠)
𝑠 + 𝑝1 𝑠 + 𝑝2 ⋯ 𝑠 + 𝑝𝑚 ⋯ 𝑠 + 𝑝𝑛
𝐹 𝑠 =
𝐾1
𝑠 + 𝑝1
+
𝐾2
𝑠 + 𝑝2
+ ⋯ +
𝐾𝑚
𝑠 + 𝑝𝑚
+ ⋯ +
𝐾𝑛
𝑠 + 𝑝𝑛
Resíduos que 
precisamos calcular
Para calcular cada resíduo, multiplicamos a função pelo denominador da fração 
parcial correspondente. Por exemplo, para calcular 𝐾𝑚 fazemos:
= 𝑠 + 𝑝𝑚
𝐾1
𝑠 + 𝑝1
+ 𝑠 + 𝑝𝑚
𝐾2
𝑠 + 𝑝2
+ ⋯ + 𝐾𝑚 + ⋯ + 𝑠 + 𝑝𝑚
𝐾𝑛
𝑠 + 𝑝𝑛
Fazendo 𝑠 → −𝑝𝑚 , todos os termos à direita tendem a 0, exceto 𝐾𝑚: 
𝑠 + 𝑝𝑚 . 𝐹 𝑠 =
𝑠 + 𝑝𝑚 . 𝑁(𝑠)
𝑠 + 𝑝1 𝑠 + 𝑝2 ⋯ 𝑠 + 𝑝𝑚 ⋯ 𝑠 + 𝑝𝑛
 
𝑠 + 𝑝𝑚 . 𝑁(𝑠)
𝑠 + 𝑝1 𝑠 + 𝑝2 ⋯ 𝑠 + 𝑝𝑚 ⋯ 𝑠 + 𝑝𝑛 𝑠→−𝑝𝑚
= 𝐾𝑚
51
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Exemplo 5: Expandir 𝑌(𝑠) em frações parciais. 𝑌 𝑠 =
32
𝑠 𝑠2 + 12𝑠 + 32
Então, podemos escrever:
𝑌 𝑠 =
32
𝑠 𝑠 + 4 (𝑠 + 8)
=
𝐾1
𝑠
+
𝐾2
𝑠 + 4
+
𝐾3
𝑠 + 8
𝐾1 = 
32
𝑠 + 4 (𝑠 + 8)
𝑠→0
= 1
𝐾2 = 
32
𝑠(𝑠 + 8)
𝑠→−4
= −2
𝐾3 = 
32
𝑠 𝑠 + 4
𝑠→−8
= 1
𝑌 𝑠 =
1
𝑠
−
2
𝑠 + 4
+
1
𝑠 + 8
Para casa: verifique se esta expressão resulta 
realmente na expressão original de 𝑌(𝑠).
Calculando as raízes de 𝑠2 + 12𝑠 + 32, obtemos:
𝑠 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−12 ± 144 − 4.1.32
2
=
−12 ± 4
2
= 
−4
−8
Raízes reais e 
distintas
52
Transformada de Laplace
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Exercício 5: Expandir 𝐹(𝑠) em frações parciais. 𝐹 𝑠 =
5
𝑠 + 3 𝑠 + 7 𝑠 + 1
Observamos que o denominador tem claramente 3 raízes distintas.
Então, podemos escrever:
𝐹 𝑠 =
5
𝑠 + 3 𝑠 + 7 𝑠 + 1
=
𝐾1
𝑠 + 3
+
𝐾2
𝑠 + 7
+
𝐾3
𝑠 + 1
𝐾1 = 
5
𝑠 + 7 (𝑠 + 1)
𝑠→−3
= −
5
8
𝐹 𝑠 = −
5/8
𝑠 + 3
+
5/24
𝑠 + 7
+
5/12
𝑠 + 1
𝐾2 = 
5
𝑠 + 3 (𝑠 + 1)
𝑠→−7
=
5
24
𝐾3 = 
5
𝑠 + 3 (𝑠 + 7)
𝑠→−1
=
5
12 Para casa: verifique se esta expressão 
resulta realmente na expressão 
original de 𝐹(𝑠).
53
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Caso 2: As raízes de 𝐷(𝑠) são reais e repetidas
𝐹 𝑠 =
𝑁(𝑠)
𝐷(𝑠)
=
𝑁(𝑠)
𝑠 + 𝑝1 𝑟 𝑠 + 𝑝2 ⋯ 𝑠 + 𝑝𝑛
𝐹 𝑠 =
𝐾1
𝑠 + 𝑝1 𝑟
+
𝐾2
𝑠 + 𝑝1 𝑟−1
+ ⋯ +
𝐾𝑟
𝑠 + 𝑝1
+
𝐾𝑟+1
𝑠 + 𝑝2
+ ⋯ +
𝐾𝑛
𝑠 + 𝑝𝑛
Para calcular 𝐾1 até 𝐾𝑟 (para 𝑟 > 1), multiplicamos a função por 𝑠 + 𝑝1
𝑟 : 
Denominador com raiz repetida 
𝑟 vezes em −𝑝1
𝐹1 𝑠 = 𝑠 + 𝑝1
𝑟 . 𝐹 𝑠 =
𝑠 + 𝑝1
𝑟 . 𝑁(𝑠)
𝑠 + 𝑝1 𝑟 𝑠 + 𝑝2 ⋯ 𝑠 + 𝑝𝑛
𝐹1 𝑠 = 𝐾1 + 𝑠 + 𝑝1 . 𝐾2 + 𝑠 + 𝑝1
2. 𝐾3 + ⋯ + 𝑠 + 𝑝1
𝑟−1. 𝐾𝑟 +
𝐾𝑟+1 𝑠 + 𝑝1
𝑟
𝑠 + 𝑝2
+ ⋯ +
𝐾𝑛 𝑠 + 𝑝1
𝑟
𝑠 + 𝑝𝑛
Fazendo 𝑠 → −𝑝1 , calculamos 𝐾1. Para calcular 𝐾2 derivamos a expressão em 
relação a 𝒔 e fazemos 𝑠 → −𝑝1. Derivadas sucessivas permitem o cálculo até 𝐾𝑟.
Os demais resíduos 𝐾𝑟+1 até 𝐾𝑛 são obtidos como no Caso 1. 
A raiz múltipla gera termos 
adicionais na expansão
54
Transformada de Laplace
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Exemplo 6: Expandir 𝐹(𝑠) em frações parciais. 𝐹 𝑠 =
2
𝑠 + 1 𝑠 + 2 2
O denominador tem duas raízes 𝑠 = −2 (isto é, uma raiz com multiplicidade 2).
Na expansão em frações parciais, cada fator do denominador forma o denominador 
de um termo. Cada raiz múltipla gera termos adicionais com expoentes que vão 
diminuindo até 1:
𝐹 𝑠 =
2
𝑠 + 1 𝑠 + 2 2
=
𝐾1
𝑠 + 1
+
𝐾2
𝑠 + 2 2
+
𝐾3
𝑠 + 2
O resíduo 𝐾1 (não ligado à raiz múltipla) é obtido como no Caso 1:
𝐾1 = 
2
𝑠 + 2 2
𝑠→−1
= 2
O resíduo 𝐾2 pode ser isolado, multiplicando ambos os lados por 𝑠 + 2
2: 
2
𝑠 + 1
= 𝑠 + 2 2
𝐾1
𝑠 + 1
+ 𝐾2 + 𝑠 + 2 . 𝐾3
55
Transformada de Laplace
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Fazendo 𝑠 → −2 (raiz múltipla), temos:
 
2
𝑠 + 1
𝑠→−2
= 𝑠 + 2 2
𝐾1
𝑠 + 1
𝑠→−2
+ 𝐾2 + 𝑠 + 2 . 𝐾3
𝑠→−2
−2 = 0 + 𝐾2 + 0 𝐾2 = −2
Para obter o resíduo 𝐾3 derivamos a última expressão em relação a 𝑠 :
𝑑
𝑑𝑠
2
𝑠 + 1
=
𝑑
𝑑𝑠
𝑠 + 2 2
𝐾1
𝑠 + 1
+ 𝐾2 + 𝑠 + 2 . 𝐾3
Lembrete das derivadas:
Divisão
𝑢
𝑣
′
=
𝑢′𝑣 − 𝑢𝑣′
𝑣2
Produto
𝑢𝑣 ′ = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′
−2
𝑠 + 1 2
=
𝑠 𝑠 +2
𝑠 + 1 2
𝐾1 + 𝐾3
Desenvolvendo, obtemos:
Fazendo 𝑠 → −2 (raiz múltipla), temos:
 
−2
𝑠 + 1 2
𝑠→−2
= 
𝑠 𝑠 + 2
𝑠 + 1 2
𝑠→−2
𝐾1 + 𝐾3 𝐾3 = −2
56
Transformada de Laplace
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Assim, temos:
𝐹 𝑠 =
2
𝑠 + 1 𝑠 + 2 2
=
𝐾1
𝑠 + 1
+
𝐾2
𝑠 + 2 2
+
𝐾3
𝑠 + 2
𝐹 𝑠 = 2
1
𝑠 + 1
−
1
𝑠 + 2 2
−
1
𝑠 + 2
Para casa: verifique se esta expressão resulta 
realmente na expressão original de 𝐹(𝑠).
57
Transformada de Laplace
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Exercício 6: Expandir 𝐻(𝑠) em frações parciais. 𝐻 𝑠 =
6
𝑠 − 3 𝑠 + 1 2
O denominador tem duas raízes 𝑠 = −1 (isto é, uma raiz com multiplicidade 2).
Na expansão, cada raiz múltipla gera termos adicionais com expoentes que vão 
diminuindo até 1:
𝐻 𝑠 =
6
𝑠 − 3 𝑠 + 1 2
=
𝐾1
𝑠 − 3
+
𝐾2
𝑠 + 1 2
+
𝐾3
𝑠 + 1
O resíduo 𝐾1 (não ligado à raiz múltipla) é obtido como no Caso 1:
𝐾1 = 
6
𝑠 + 1 2
𝑠→3
=
3
8
O resíduo 𝐾2 pode ser isolado, multiplicando ambos os lados por 𝑠 + 1
2: 
6
𝑠 − 3
= 𝑠 + 1 2
𝐾1
𝑠 − 3
+ 𝐾2 + 𝑠 + 1 . 𝐾3
58
Transformada de Laplace
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Fazendo 𝑠 → −1 (raiz múltipla), temos:
 
6
𝑠 − 3
𝑠→−1
= 𝑠 + 1 2
𝐾1
𝑠 − 3
𝑠→−1
+ 𝐾2 + 𝑠 + 1 . 𝐾3
𝑠→−1
−
3
2
= 0 + 𝐾2 + 0 𝐾2 = −
3
2
Para obter o resíduo 𝐾3 derivamos a última expressão em relação a 𝑠 :
𝑑
𝑑𝑠
6
𝑠 − 3
=
𝑑
𝑑𝑠
𝑠 + 1 2
𝐾1
𝑠 − 3
+ 𝐾2 + 𝑠 + 1 . 𝐾3
Lembrete das derivadas:
Divisão
𝑢
𝑣
′
=
𝑢′𝑣 − 𝑢𝑣′
𝑣2
Produto
𝑢𝑣 ′ = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′
−6
𝑠 − 3 2
=
𝑠 + 1 𝑠 − 7
𝑠 − 3 2
𝐾1 + 𝐾3
Desenvolvendo, obtemos:
Fazendo 𝑠 → −1 (raiz múltipla), temos:
 
−6
𝑠 − 3 2
𝑠→−1
= 
𝑠 + 1 𝑠 − 7
𝑠 − 3 2
𝑠→−1
𝐾1 + 𝐾3 𝐾3 = −
3
8
59
Transformada de Laplace
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Assim, temos:
Para casa: verifique se esta expressão resulta 
realmente na expressão original de 𝐻(𝑠).
𝐻 𝑠 =
6
𝑠 − 3 𝑠 + 1 2
=
𝐾1
𝑠 − 3
+
𝐾2
𝑠 + 1 2
+
𝐾3
𝑠 + 1
𝐻 𝑠 =
3
8
𝑠 − 3
−
4
3
8
𝑠 + 1 2
−
3
8
𝑠 + 1
𝐻 𝑠 =
3
8
1
𝑠 − 3
−
4
𝑠 + 1 2
−
1
𝑠 + 1
60
Transformada de Laplace
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Caso 3: As raízes de 𝐷(𝑠) são complexas ou imaginárias
𝐹 𝑠 =
𝑁(𝑠)
𝐷(𝑠)
=
𝑁(𝑠)
𝑠 + 𝑝1 𝑠2 + 𝑎𝑠 + 𝑏 ⋯
=
𝐾1
𝑠 + 𝑝1
+
𝐾2𝑠 + 𝐾3
𝑠2 + 𝑎𝑠 + 𝑏
+ ⋯
Sendo 𝑝1 uma raiz real e 𝑠
2 + 𝑎𝑠 + 𝑏 tendo raízes complexas ou imaginárias.
Os resíduos são obtidos igualando os coeficientes da equação depois da 
simplificação das frações.
Se 𝑎 = 0 (raízes imaginárias), os cálculos são os mesmos. 
61
Transformada de Laplace
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Exemplo 7: Expandir 𝐹(𝑠) em frações parciais. 𝐹 𝑠 =
3
𝑠 𝑠2 + 2𝑠 + 5
Calculando as raízes de 𝑠2 + 2𝑠 + 5, obtemos:
𝑠 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−2 ± 4 − 4.1.5
2
=
−2 ± 𝑗4
2
= 
−1 + 𝑗2
−1 − 𝑗2
Raízes complexas
Então, expandimos 𝐹(𝑠) da seguinte forma:
𝐹 𝑠 =
3
𝑠 𝑠2 + 2𝑠 + 5
=
𝐾1
𝑠
+
𝐾2𝑠 + 𝐾3
𝑠2 + 2𝑠 + 5
O resíduo 𝐾1 (não ligado às raízes complexas) é obtido como no Caso 1:
𝐾1 = 
3
𝑠2 + 2𝑠 + 5
𝑠→0
=
3
5
62
Transformada de Laplace
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Agora, utilizando o valor obtido de 𝐾1, multiplicamos a função pelo mínimo 
múltiplo comum do denominador e simplificamos:
𝐹 𝑠 =
3
𝑠 𝑠2 + 2𝑠 + 5
=
3
5
𝑠
+
𝐾2𝑠 + 𝐾3
𝑠2 + 2𝑠 + 5
=
3
5 𝑠
2 + 2𝑠 + 5 + 𝑠 𝐾2𝑠 + 𝐾3
𝑠 𝑠2 + 2𝑠 + 5
𝐹 𝑠 =
3
𝑠 𝑠2 + 2𝑠 + 5
=
𝑠2 𝐾2 +
3
5 + 𝑠 𝐾3 +
6
5 + 3
𝑠 𝑠2 + 2𝑠 + 5
Igualando os termos de mesma potência no numerador: 𝐾2 +
3
5
= 0 𝐾2 = −
3
5
𝐾3 +
6
5
= 0 𝐾3 = −
6
5Assim, temos:
𝐹 𝑠 =
3
𝑠 𝑠2 + 2𝑠 + 5
=
𝐾1
𝑠
+
𝐾2𝑠 + 𝐾3
𝑠2 + 2𝑠 + 5
𝐹 𝑠 =
3
5
1
𝑠
−
𝑠 + 2
𝑠2 + 2𝑠 + 5
Para casa: verifique se esta expressão resulta 
realmente na expressão original de 𝐹(𝑠).
63
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Exercício 7: Expandir 𝐺(𝑠) em frações parciais. 𝐺 𝑠 =
5
𝑠 + 2 𝑠2 + 3𝑠 + 9
Calculando as raízes de 𝑠2 + 3𝑠 + 9, obtemos:
𝑠 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−3 ± 9 − 4.1.9
2
=
−3 ± −27
2
=
−
3
2
+ 𝑗
3 3
2
−
3
2
− 𝑗
3 3
2
Raízes complexas
Então, expandimos 𝐺(𝑠) da seguinte forma:
𝐺 𝑠 =
5
𝑠 + 2 𝑠2 + 3𝑠 + 9
=
𝐾1
𝑠 + 2
+
𝐾2𝑠 + 𝐾3
𝑠2 + 3𝑠 + 9
O resíduo 𝐾1 (não ligado às raízes complexas) é obtido como no Caso 1:
𝐾1 = 
5
𝑠2 + 3𝑠 + 9
𝑠→−2
=
5
7
64
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Agora, utilizando o valor obtido de 𝐾1, multiplicamos a função pelo mínimo 
múltiplo comum do denominador e simplificamos:
𝐺 𝑠 =
5
𝑠 + 2 𝑠2 + 3𝑠 + 9
=
5
7
𝑠 + 2
+
𝐾2𝑠 + 𝐾3
𝑠2 + 3𝑠 + 9
=
5
7 𝑠
2 + 3𝑠 + 9 + 𝑠 + 2 𝐾2𝑠 + 𝐾3
𝑠 + 2 𝑠2 + 3𝑠 + 9
𝐺 𝑠 =
5
𝑠 + 2 𝑠2 + 3𝑠 + 9
=
𝑠2 𝐾2 +
5
7 + 𝑠 𝐾3 + 2𝐾2 +
15
7 + (2𝐾3 +
45
7 )
𝑠 + 2 𝑠2 + 3𝑠 + 9
Igualando os termos no numerador: 𝐾2 +
5
7
= 0 𝐾2 = −
5
7
2𝐾3 +
45
7
= 5 𝐾3 = −
5
7Assim, temos:
𝐺 𝑠 =
5
𝑠 + 2 𝑠2 + 3𝑠 + 9
=
𝐾1
𝑠 + 2
+
𝐾2𝑠 + 𝐾3
𝑠2 + 3𝑠 + 9
𝐺 𝑠 =
5
7
1
𝑠 + 2
−
𝑠 + 1
𝑠2 + 3𝑠 + 9
Para casa: verifique se esta expressão resulta 
realmente na expressão original de 𝐺(𝑠).
65
Transformada de Laplace
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Exemplo 8: Calcule as transformadas inversas de Laplace das funções que 
expandimos em frações parciais:
𝑌 𝑠 =
32
𝑠 𝑠2 + 12𝑠 + 32
=
1
𝑠
−
2
𝑠 + 4
+
1
𝑠 + 8
𝐹 𝑠 =
2
𝑠 + 1 𝑠 + 2 2
= 2
1
𝑠 + 1
−
1
𝑠 + 2 2
−
1
𝑠 + 2
𝐹 𝑠 =
3
𝑠 𝑠2 + 2𝑠 + 5
=
3
5
1
𝑠
−
𝑠 + 2
𝑠2 + 2𝑠 + 5
Caso 3
Caso 2
Caso 1
c)
b)
a)
Uma vez feita a expansão em frações parciais, a transformada inversa 
de Laplace é obtida diretamente pela tabela de transformadas.
66
Transformada de Laplace
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𝑌 𝑠 =
32
𝑠 𝑠2 + 12𝑠 + 32
=
1
𝑠
−
2
𝑠 + 4
+
1
𝑠 + 8
a)
𝑢(𝑡) ⟺
1
𝑠
𝑒−𝑎𝑡. 𝑢(𝑡) ⟺
1
𝑠 + 𝑎
Lembrando que a transformada de uma soma é a soma das transformadas, basta 
observarmos os seguintes pares de transformadas na tabela:
Assim:
𝑦 𝑡 = ℒ−1 𝑌 𝑠 = ℒ−1
1
𝑠
−
2
𝑠 + 4
+
1
𝑠 + 8
𝑦 𝑡 = ℒ−1
1
𝑠
− 2. ℒ−1
1
𝑠 + 4
+ ℒ−1
1
𝑠 + 8
𝑦 𝑡 = 𝑢 𝑡 − 2. 𝑒−4𝑡. 𝑢 𝑡 + 𝑒−8𝑡. 𝑢 𝑡
𝑦 𝑡 = 1 − 2. 𝑒−4𝑡 + 𝑒−8𝑡 . 𝑢(𝑡)
67
Transformada de Laplace
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𝐹 𝑠 =
2
𝑠 + 1 𝑠 + 2 2
= 2
1
𝑠 + 1
−
1
𝑠 + 2 2
−
1
𝑠 + 2b)
𝑒−𝑎𝑡. 𝑢(𝑡) ⟺
1
𝑠 + 𝑎
Observarmos os seguintes pares de transformadas na tabela:
𝑒−𝑎𝑡. 𝑡. 𝑢 𝑡 ⟺
1
(𝑠 + 𝑎)2
Assim:
𝑓 𝑡 = ℒ−1 𝐹 𝑠 = 2. ℒ−1
1
𝑠 + 1
−
1
𝑠 + 2 2
−
1
𝑠 + 2
𝑓 𝑡 = 2. 𝑒−𝑡. 𝑢 𝑡 − 𝑒−2𝑡. 𝑡. 𝑢 𝑡 − 𝑒−2𝑡. 𝑢(𝑡)
𝑓 𝑡 = 2. 𝑒−𝑡 − 𝑡. 𝑒−2𝑡 − 𝑒−2𝑡 . 𝑢(𝑡)
68
Transformada de Laplace
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c) 𝐹 𝑠 =
3
𝑠 𝑠2 + 2𝑠 + 5
=
3
5
1
𝑠
−
𝑠 + 2
𝑠2 + 2𝑠 + 5
Temos os seguintes pares de transformadas na tabela:
𝑢(𝑡) ⟺
1
𝑠
𝑐2 + 𝑑2. 𝑒−𝑎𝑡 cos 𝜔𝑡 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑑
𝑐
. 𝑢 𝑡 ⟺
𝑐 𝑠 + 𝑎 + 𝑑𝜔
𝑠 + 𝑎 2 + 𝜔2
Observe que precisamos de um termo 𝑠 + 𝑎 no numerador e no denominador. 
Além disso, o termo 𝜔 do numerador deve estar ao quadrado no denominador. 
Inicialmente, veja que:
𝑠 + 1 2 = 𝑠2 + 2𝑠 + 1
Assim, podemos escrever:
𝑠 + 2
𝑠2 + 2𝑠 + 5
=
𝑠 + 1 + 1
𝑠 + 1 2 + 4
=
1. 𝑠 + 1 +
1
2 . 2
𝑠 + 1 2 + 22
𝑐 𝑎
𝑑
𝜔
𝑎 𝜔
69
Transformada de Laplace
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𝐹 𝑠 =
3
5
1
𝑠
−
3
5
𝑠 + 2
𝑠2 + 2𝑠 + 5
=
3
5
1
𝑠
−
3
5
1. 𝑠 + 1 +
1
2 . 2
𝑠 + 1 2 + 22
Reescrevendo a expressão de 𝐹(𝑠), obtemos:
𝑓 𝑡 =
3
5
𝑢(𝑡) −
3
5
𝑐2 + 𝑑2. 𝑒−𝑎𝑡 cos 𝜔𝑡 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑑
𝑐
. 𝑢 𝑡
𝑓 𝑡 =
3
5
𝑢(𝑡) −
3
5
12 +
1
2
2
. 𝑒−𝑡 cos 2𝑡 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
1/2
1
. 𝑢 𝑡
Assim, a transformada inversa será:
𝑓 𝑡 = ℒ−1 𝐹 𝑠 =
3
5
ℒ−1
1
𝑠
−
3
5
ℒ−1
1. 𝑠 + 1 +
1
2 . 2
𝑠 + 1 2 + 22
𝑐 𝑎
𝑑
𝜔
𝑎 𝜔
70
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Simplificando:
𝑓 𝑡 =
3
5
𝑢(𝑡) −
3
5
12 +
1
2
2
. 𝑒−𝑡 cos 2𝑡 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
1/2
1
. 𝑢 𝑡
𝑓 𝑡 =
3
5
𝑢(𝑡) −
3 5
10
𝑒−𝑡 cos 2𝑡 − 26,57𝑜 . 𝑢 𝑡
𝑓 𝑡 =
3
5
−
3 5
10
𝑒−𝑡 cos 2𝑡 − 26,57𝑜 . 𝑢(𝑡)
𝑓 𝑡 = 0,600 − 0,671. 𝑒−𝑡 cos 2𝑡 − 26,57𝑜 . 𝑢(𝑡)
𝑒−𝑎𝑡 𝑐. 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝑑. 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 . 𝑢 𝑡 ⟺
𝑐 𝑠 + 𝑎 + 𝑑𝜔
𝑠 + 𝑎 2 + 𝜔2
Para casa: refaça o item (c) usando o par da transformada que escreve 
seno e cosseno separadamente (sem soma fasorial entre eles):
71
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Resolução de Equações Diferenciais pela Transformada de Laplace
Para resolver uma equação diferencial pela transformada de Laplace, utilizamos:
1. A propriedade da diferenciação:
𝑑𝑓
𝑑𝑡
⟺ 𝑠. 𝐹 𝑠 − 𝑓 0−
𝑑2𝑓
𝑑𝑡2
⟺ 𝑠2. 𝐹 𝑠 − 𝑠. 𝑓 0− − 𝑓′ 0−
𝑑𝑛𝑓
𝑑𝑡𝑛
⟺ 𝑠𝑛. 𝐹 𝑠 − 
𝑘=1
𝑛
𝑠𝑛−𝑘 . 𝑓𝑘−1 0−
𝑓(𝑡) ⟺ 𝐹(𝑠)
2. As condições de contorno do problema, que são os valores iniciais (em 𝑡 = 0−) 
para a função 𝑓 𝑡 e suas derivadas: 𝑓 0− , 𝑓′ 0− , 𝑓′′ 0− etc.
3. A tabela de transformadas, para obter a transformada direta do termo 
independente e a transformada inversa de 𝐹 𝑠 , ao final.
72
Transformada de Laplace
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Exemplo 9: Dada a equação diferencial a seguir, obtenha a solução 𝑦(𝑡)
considerando que todas as condições iniciais são iguais a zero. Utilize a 
transformada de Laplace. (Exemplo 2.3, pág.31 Nise)
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
+ 12
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 32𝑦 = 32𝑢(𝑡)
Iniciamos com a transformada de Laplace de toda a equação – ou seja, 
transformamos o modelo que está no domínio do tempo para o domínio da 
frequência de Laplace: 𝑑𝑦
𝑑𝑡
⟺ 𝑠. 𝑌 𝑠 − 𝑦 0−
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
⟺ 𝑠2. 𝑌 𝑠 − 𝑠. 𝑦 0− − 𝑦′ 0−
𝑦(𝑡) ⟺ 𝑌(𝑠)
𝑢(𝑡) ⟺
1
𝑠
𝑠2. 𝑌 𝑠 + 12𝑠. 𝑌 𝑠 + 32. 𝑌 𝑠 =
32
𝑠
Como as condições iniciais são nulas: 𝑦 0− = 0 e 𝑦′ 0− = 0.
Então, temos: 
73
Transformada de Laplace
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Isolando o termo 𝑌(𝑠), temos: 𝑌 𝑠 =
32
𝑠 𝑠2 + 12𝑠 + 32
Para calcular a transformada inversa 𝑦 𝑡 = ℒ−1[𝑌 𝑠 ], que é a solução da 
equação diferencial, precisamos expandir 𝑌 𝑠 em frações parciais.
Já resolvemos essa função no Exemplo 5 (Caso 1):
𝑌 𝑠 =
32
𝑠 𝑠2 + 12𝑠 + 32
=
1
𝑠
−
2
𝑠 + 4
+
1
𝑠 + 8
𝑦 𝑡 = 1 − 2. 𝑒−4𝑡 + 𝑒−8𝑡 . 𝑢(𝑡)
A transformada inversa foi calculada no Exemplo 8.
Ela é a solução da equação diferencial:
Para casa: verifique se esta função 𝑦(𝑡) realmente resolve a equação diferencial dada.
74
Transformada de Laplace
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Exercício 8:
Resolva as seguintes equações diferenciais utilizando transformadas de Laplace, 
para as condições iniciais dadas em cada caso. Em todos os casos, admita que as 
funções forçantes (termos independentes) sejam nulas antes de 𝑡 = 0−.
(Problema 5, pág.77 Nise)
𝑥 0 = 4 e 𝑥′ 0 = −4
𝑥 0 = 4 e 𝑥′ 0 = 1
𝑥 0 = 2 e 𝑥′ 0 = 3
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 2𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑡)a)
Condições iniciais:
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑥 = 5. 𝑒−2𝑡 + 𝑡b)
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 4𝑥 = 𝑡2c)
75
Transformada de Laplace
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𝑥 0 = 4 e 𝑥′ 0 = −4
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 2𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑡)a)
Condições iniciais:
Sabemos que: 𝑑𝑥
𝑑𝑡
⟺ 𝑠. 𝑋 𝑠 − 𝑥 0−
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
⟺ 𝑠2. 𝑋 𝑠 − 𝑠. 𝑥 0− − 𝑥′ 0−
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 . 𝑢(𝑡) ⟺
𝜔
𝑠2 + 𝜔2
O enunciado afirma que a função forçante é nula para 𝑡 < 0−. Então, temos:
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 2𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 . 𝑢(𝑡)
Utilizando as condições iniciais dadas, obtemos:
𝑠2. 𝑋 𝑠 − 4𝑠 − −4 + 2. 𝑠. 𝑋 𝑠 − 4 + 2. 𝑋 𝑠 =
2
𝑠2 + 4
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Transformada de Laplace
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𝑋 𝑠 . 𝑠2 + 2𝑠 + 2 =
2
𝑠2 + 4
+ 4𝑠 + 4 =
2 + 𝑠2 + 4 4𝑠 + 4
𝑠2 + 4
𝑋 𝑠 . 𝑠2 + 2𝑠 + 2 =
4𝑠3 + 4𝑠2 + 16𝑠 + 18
𝑠2 + 4
𝑋 𝑠 =
4𝑠3 + 4𝑠2 + 16𝑠 + 18
𝑠2 + 4 𝑠2 + 2𝑠 + 2
Isolando 𝑋(𝑠), temos:
Raízes imaginárias
𝑠 = ± 𝑗2
Raízes complexas
𝑠 = −1 ± 𝑗1
A expansão em frações parciais utiliza duas frações, ambas com raízes 
complexas ou imaginárias (Caso 3):
𝑋 𝑠 =
4𝑠3 + 4𝑠2 + 16𝑠 + 18
𝑠2 + 4 𝑠2 + 2𝑠 + 2
=
𝐾1𝑠 + 𝐾2
𝑠2 + 4
+
𝐾3𝑠 + 𝐾4
𝑠2 + 2𝑠 + 2
77
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Desenvolvendo, obtemos:
𝑋 𝑠 =
4𝑠3 + 4𝑠2 + 16𝑠 + 18
𝑠2 + 4 𝑠2 + 2𝑠 + 2
=
𝑠3 𝐾1 + 𝐾3 + 𝑠
2 𝐾2 + 2𝐾1 + 𝐾4 + 𝑠 2𝐾2 + 2𝐾1 + 4𝐾3 + 2𝐾2 + 4𝐾4
𝑠2 + 4 𝑠2 + 2𝑠 + 2
Igualando os termos dos numeradores: 𝐾1 + 𝐾3 = 4
𝐾2 + 2𝐾1 + 𝐾4 = 4
2𝐾2 + 2𝐾1 + 4𝐾3 = 16
2𝐾2 + 4𝐾4 = 18
A solução deste sistema com 4 incógnitas é: 𝐾1 = −
1
5
𝐾2 = −
1
5
𝐾3 =
21
5
𝐾4 =
23
5
𝑋 𝑠 =
−
1
5 𝑠 −
1
5
𝑠2 + 4
+
21
5 𝑠 +
23
5
𝑠2 + 2𝑠 + 2
= −
1
5
𝑠 + 1
𝑠2 + 4
+
1
5
21𝑠 + 23
𝑠2 + 2𝑠 + 2
Então, temos:
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Transformada de Laplace
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Lembrando das transformadas:
𝑒−𝑎𝑡 𝑐. 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝑑. 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 . 𝑢 𝑡 ⟺
𝑐 𝑠 + 𝑎 + 𝑑𝜔
𝑠 + 𝑎 2 + 𝜔2
𝑐. 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝑑. 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 . 𝑢 𝑡 ⟺
𝑐𝑠 + 𝑑𝜔
𝑠2 + 𝜔2
𝑋 𝑠 = −
15
𝑠 + 1
𝑠2 + 4
+
1
5
21𝑠 + 23
𝑠2 + 2𝑠 + 2
= −
1
5
1. 𝑠 +
1
2 2
𝑠2 + 22
+
1
5
21 𝑠 + 1 + 2.1
𝑠 + 1 2 + 12
e lembrando que 𝑠 + 1 2 = 𝑠2 + 2𝑠 + 1, podemos escrever:
Então, a transformada inversa (que é a solução da equação diferencial) será:
𝑥 𝑡 = −
1
5
1. cos 2𝑡 +
1
2
𝑠𝑒𝑛 2𝑡 . 𝑢 𝑡 +
1
5
𝑒−𝑡 21. cos 𝑡 + 2. 𝑠𝑒𝑛 𝑡 . 𝑢(𝑡)
𝑥 𝑡 =
1
5
− cos 2𝑡 −
1
2
𝑠𝑒𝑛 2𝑡 + 21𝑒−𝑡 cos 𝑡 + 2𝑒−𝑡𝑠𝑒𝑛 𝑡 . 𝑢 𝑡
Para casa: verifique se esta função 𝑥(𝑡) realmente resolve a equação diferencial dada.
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Para casa:
𝑥 0 = 4 e 𝑥′ 0 = 1
𝑥 0 = 2 e 𝑥′ 0 = 3
Condições iniciais:
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑥 = 5. 𝑒−2𝑡 + 𝑡b)
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 4𝑥 = 𝑡2c)
Resposta: 𝑥 𝑡 = 𝑡 − 2 + 11𝑡. 𝑒−𝑡 + 𝑒−𝑡 + 5. 𝑒−2𝑡 . 𝑢(𝑡)
Resposta:
𝑥 𝑡 =
17
8
cos 2𝑡 +
3
2
𝑠𝑒𝑛 2𝑡 +
1
4
𝑡2 −
1
8
. 𝑢(𝑡)
Condições iniciais: