Cálculo Diferencial E integrais 1,2 e 3 (4)

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Integrais Duplas - Volume
Na tentativa de resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido e, no processo, chegar à definição de integral dupla. 
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f : IR2  IR contínua no retângulo 
R = [a,b] x [c,d]
Consideremos uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado 
R = [a,b] x [c,d]
= { (x,y)  IR2| a < x < b, c < y < d }
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f  0 em IR 
Q = {(x,y,z) | (x,y)  IR e 0  z  f(x,y)}
Q
R
Volume de Q = V = ?
e vamos, inicialmente, supor f(x,y) > 0. O gráfico de f é a superfície de equação z = f(x,y). 
Seja Q o sólido que está contido na região acima de R e abaixo do gráfico de Q, ou seja,
Q = {(x,y,z)  IR3| (x,y)  R, 
 0  z  f(x,y)}
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O primeiro passo consiste em dividir o retângulo R em sub-retângulos. Faremos isso dividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos [xi-1 , xi], de mesmo comprimento x = (b – a) / m, e o intervalo [c,d] em n subintervalos [yj-1 , yj], de mesmo comprimento y = (b – a) / n. traçando retas paralelas aos eixos coordenados passando pelos extremos dos subintervalos, formamos os sub-retângulos. 
	Rij = [xi-1,xi] x [yj-1,yj ] = {(x,y) | xi-1 < x < xi , yj-1 < y < yj }
cada um dos quais com área A = xy.
Partição de R
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Partição de R
xi
x
b
a
x
d
c
R
y
x1
x2
xi-1
y1
y2
yj-1
yj
y
Rij
(xij , yij)
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Integrais Duplas - Volume
Se escolhermos um ponto arbitrário (xij,yij) em cada Rij, podemos aproximar a parte de Q que está acima de cada Rij por uma caixa retangular fina (ou um prisma) com base Rij e altura f(xij,yij). O volume desta caixa é dado pela sua altura vezes a área do retângulo da base:. 
	Vij = f(xij,yij)A. 
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Integrais Duplas - Volume
	Se seguirmos com esse procedimento para todos os retângulos e somarmos os volumes das caixas correspondentes, obteremos uma aproximação do volume total de Q:
	Essa dupla soma significa que, para cada sub-retângulo, calculamos o valor de f no ponto amostra escolhido, multiplicamos esse valor pela área do sub-retângulo e, então, adicionamos os resultados. 
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V = 
x
y
z
Q
R
f (xij , yij)
 (xij , yij)
Vij
Integrais Duplas - Volume
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Integrais Duplas - Volume
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Definição
Considere uma função z = f (x, y) contínua e definida numa região fechada e limitada D do plano xy.
Traçando retas paralelas aos eixos x e y, recobrimos a região D por pequenos retângulos.
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Considere somente os retângulos Rk que estão totalmente contidos em D, numerando-os de 1 a n.
	Em cada retângulo Rk, tome o ponto Pk = (xk , yk) e forme a soma
SOMA DE RIEMANN:
onde Ak = xk . yk é a área do retângulo Rk.
Traçando-se mais retas paralelas aos eixos x e y, os retângulos ficam cada vez menores.
	Toma-se mais retas tal que a diagonal máxima dos retângulos Rk tende a zero quando n tende ao infinito.
Definição
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Então, se
	existe, ele é chamado INTEGRAL DUPLA de f (xk ,yk)Ak sobre a região D.
	Denota-se por:
Definição
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Interpretação Geométrica
Se f (x, y)  0, f (xk , yk)Ak representa o volume de um prisma reto, cuja base é o retângulo Rk e cuja altura é f (xk , yk).
A soma de Riemann é a aproximação do volume limitado abaixo da região z e acima de D.
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Interpretação Geométrica
Assim, se z = f (x, y)  0, então
	é o VOLUME DO SÓLIDO delimitado superiormente pelo gráfico de z = f (x, y) e inferiormente pela região D.
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Interpretação Geométrica
Se f(x, y) = 1  P(x, y)  D, então, V = 1.áreaD.
Logo:
Área da Região D
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Cálculo de Volumes - Aplicações
A Integral dupla dá o volume sob a superfície f(x,y)
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Cálculo de Volumes - Aplicações
	Para f (x, y)  0, a integral
	nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = f (x, y), inferiormente pela região D e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de D.
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Exemplos
Representamos na Figura a região R (base deste sólido): 
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Teorema de Fubini
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Teorema de Fubini
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Exercícios
1) Determinar o volume do sólido limitado pelos planos
 coordenados pelo plano x + y + z = 3, no 1º octante.
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Exercícios
2) Determinar o volume do sólido limitado por z = 4 − x2 ; x = 0; y = 6; z = 0; y = 0.
Resposta: 32 u.v 
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Exercícios
3) Determinar o volume do sólido limitado no 1º octante pelos
 cilindros x2 + y2 = a2 e x2 + z2 = a2. 
Resposta: 2a3/3 u.v. 
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Exercícios
4) Determinar o volume do sólido limitado superiormente por z = 2x + y + 4 e inferiormente por z = − x − y + 2 e lateralmente pela superfície definida pelo contorno da região D limitada pelas curvas y = x2 – 4 e 
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Exercícios
Resposta: -22/15 u.v. 
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Exercícios
5) Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados. 
Resposta: 48 
Primeiro, observamos que S é o sólido que se encontra sob a superfície 
e acima de
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Exercícios
6)Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima da região do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x2. 
Resposta: 216/35 
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Exercícios
8) Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos 
 x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0. 
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Exercícios
8) Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos 
 x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0. 
Resposta: 1/3 
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Exercícios
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