Lista4 - TurmaT02

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral II Turma: T02
Prof.: Ana Cristina Salviano Veiga Data: 06/03/19
Data da Terceira Avaliac¸a˜o: 29/03/19
LISTA 4 - SEQUEˆNCIAS E SE´RIES
1. Determine se a sequeˆncia e´ convergente ou divergente. Se for convergente, encontre
seu limite.
(a) an =
(n+ 1)!
(n+ 2)!
(b) an = ln(n+ 1)− ln(n+
√
n) (c) an =
(n− e
n
)n
(d) an = sen
(npi
2
)
(e) an = (n+ lnn)
1
n (f) an =
(4n+ 1)5
7n3 + 6n2 + 3
(g) an =
n!
3 · 5 · 7 · . . . · (2n+ 1) (h) an =
nsen(n)
n2 + 1
(i) an =
ln(n)
n1/n
(j) an =
(−10)n
n!
2. Considere a sequeˆncia
{ ln(n+ 7)√
n+ 7
}∞
n=1
.
(a) Essa sequeˆncia e´ mono´tona?
(b) Essa sequeˆncia e´ limitada?
(c) Essa sequeˆncia e´ convergente?
3. Uma sequeˆncia {an} e´ dada por a1 =
√
2, an+1 =
√
2 + an. Mostre que {an} e´ crescente
e limitada superiormente por 3. Conclua que a sequeˆncia e´ convergente e encontre seu
limite.
4. Mostre que a sequeˆncia definida por
a1 = 2 an+1 =
1
3− an
satisfaz 0 < an ≤ 2 e e´ decrescente. Conclua que a sequeˆncia e´ convergente e encontre
seu limite.
5. Seja sn a soma parcial da se´rie
∞∑
n=1
an.
(a) Por definic¸a˜o, quando
∞∑
n=1
an e´ convergente?
(b) Por definic¸a˜o, quando
∞∑
n=1
an e´ absolutamente convergente?
(c) Por definic¸a˜o, quando
∞∑
n=1
an e´ condicionalmente convergente?
(d) Se
∞∑
n=1
an e´ divergente, o que podemos dizer sobre
∞∑
n=1
|an|?
6. Se a n-e´sima soma parcial da se´rie
∞∑
n=1
an e´ sn = 3− n2−n, encontre an e
∞∑
n=1
an.
7. Seja {an}∞n=1 uma sequeˆncia tal que an > 0 para todo n e lim
n→∞
an+1
an
= L < 1. Encontre
o limite dessa sequeˆncia.
8. Uma se´rie
∞∑
n=1
an e´ definida pela sequeˆncia a1 = 1 e an+1 =
an
arctg(n)
, para n ≥ 1.
Determine se
∞∑
n=1
an converge ou diverge.
9. Encontre o limite da sequeˆncia convergente {an} tal que a1 = 1 e an+1 = an + 1
2n+1
para n ≥ 1.
10. Expresse a d´ızima perio´dica 4, 173263263263... como uma frac¸a˜o.
11. Teste a convergeˆncia ou divergeˆncia das se´ries.
(a)
∞∑
n=1
arctg(n) (b)
∞∑
n=1
(−1)n n
n2 + 1
(c)
∞∑
n=2
lnn
n
(d)
∞∑
n=1
(5n+ 1)n
n2n
(e)
∞∑
n=1
n!
nn
(f)
∞∑
n=1
1 + 2n+ n3√
1 + n4 + n8
(g)
∞∑
n=1
1
n+ 7n
(h)
∞∑
n=1
cosn
1 + 2n
(i)
∞∑
n=1
n22n−1
(−5)n (j)
∞∑
n=1
5n
3n + 4n
(k)
∞∑
n=1
n2
en3
(l)
∞∑
n=1
1 · 3 · 5 · ... · (2n− 1)
2 · 5 · 8 · ... · (3n− 1)
12. Encontre os valores de p para os quais a se´rie e´ convergente.
(a)
∞∑
n=2
1
n(lnn)p
(b)
∞∑
n=3
1
n lnn[ln(lnn)]p
(c)
∞∑
n=1
n(1 + n2)p
13. Encontre a soma das se´ries.
(a)
∞∑
n=1
(2
5
)n
(b)
∞∑
n=0
(−1)npi2n+1
32n+1(2n+ 1)!
(c)
∞∑
n=0
(−1)npi2n
(2n)!
(d)
∞∑
n=2
2
n2 − 1
(e)
∞∑
n=0
pi
n+2
2
n!
(f)
∞∑
n=1
e(n+1)
pi(n−1)
(g)
∞∑
n=1
[arctg(n+ 2)− arctg(n)]
14. Encontre o raio de convergeˆncia e o intervalo de convergeˆncia das seguintes se´ries:
(a)
∞∑
n=0
(n+ 1)2xn
n!
(b)
∞∑
n=0
8n(x+ 1)3n+1
n2 + 1
(c)
∞∑
n=0
(1.5.9 . . . (4n+ 1))(x− 2)2n
15. Mostre que a se´rie
∞∑
n=1
nn
(2n)!
e´ convergente. Deduza que lim
n→∞
nn
(2n)!
= 0.
16. Usando a definic¸a˜o, encontre a se´rie de Taylor para f(x) = cos x centrada em pi . Mos-
tre que essa se´rie converge para todo x. Use a desigualdade de Taylor para provar que
a se´rie de Taylor converge para f(x) para todo x.
17. Em cada caso, escreva os 4 primeiros termos na˜o nulos da expansa˜o em se´rie de Taylor
em a = 0 (isto e´, a expansa˜o em se´rie de Maclaurin) para a func¸a˜o dada e encontre R,
o raio de convergeˆncia da se´rie.
(a)
2x3
2 + x
(b) tan−1 x (c)
d
dx
∞∑
n=0
(x
2
)n
(d)
√
9 + x2 (e) x3 sinx4 (f) x3e−x
2
18. Seja s =
∞∑
n=0
(−1)n
n2 + 1
= sn + rn, onde sn =
n∑
i=0
(−1)i
i2 + 1
. Qual e´ o menor valor de n que
garante que |s− sn| ≤ 1100?
19.
∞∑
n=1
1
n11/10
=
N∑
n=1
1
n11/10
+RN e´ uma p-se´rie.
(a) Encontre o limite superior integral para o resto RN .
(b) Qual e´ o menor valor de N que garante que RN ≤ 110?
20. Seja f(x) =
∫ x2
0
t(sin t2)dt.
(a) Encontre a expansa˜o em se´rie de Maclaurin para f(x).
(b) Para quais valores de x essa expansa˜o e´ va´lida?
(c) Qual o nu´mero mı´nimo de termos na expansa˜o em se´rie de Taylor de f necessa´rios
para aproximar f(1) com precisa˜o de 1
5,000
? Qual e´ a aproximac¸a˜o (escreva como uma
soma de frac¸o˜es)?
(d) Encontre g(23)(0) se g(t) = t sin(t2).
21. Seja f(x) = x lnx
(a) Escreva o polinoˆmio de Taylor de grau 3 de f(x) centrado em 1.
(b) Encontre um limite superior para f (4)(x) no intervalo [1
2
, 3
2
].
(c) Use o resultado acima e a desigualdade de Taylor para encontrar um limite superior
para o resto R3(x) onde x satisfaz |x− 1| < 12 .
Bibliografia: Stewart, James. Ca´lculo, 7a edic¸a˜o, Sa˜o Paulo, Pioneira, 2014.
GABARITO - LISTA 4 - SEQUEˆNCIAS E SE´RIES
1. (a) 0 (b) 0 (c) e−e (d) Divergente (e) 1 (f) Divergente (g) 0 (h) 0 (i)
Divergente (j) 0 2. (a) Sim (b) Sim (c) Sim
6. a1 =
5
2
, an =
n− 2
2n
para n ≥ 2 e
∞∑
n=1
an = 3
7. 0 8. Convergente 9.
3
2
10.
416909
99900
11. (a) Divergente (b) Convergente (c) Divergente (d) Convergente
(e) Convergente (f) Divergente (g) Convergente (h) Convergente
(i) Convergente (j) Divergente (k) Convergente (l) Convergente
12. (a) p > 1 (b) p > 1 (c) p < −1
13. (a) 2/3 (b)
√
3/2 (c) −1 (d) 3/2 (e) pie
√
pi (f)
pie2
pi − e (g) 3pi/4− arctg(2)
14. (a) R =∞ e I = (−∞,∞) (b) R = 1/2 e I = [−3/2,−1/2] (c) R = 0 e I = {2}
16. cos(x) =
∞∑
n=1
(−1)n+1 (x− pi)
2n
(2n)!
17. (a)
2x3
2 + x
= x3 − x
4
2
+
x5
4
− x
6
8
+ · · · e R = 2
(b) tan−1 x = x− x
3
3
+
x5
5
− x
7
7
+ · · · e R = 1
(c)
d
dx
∞∑
n=0
(x
2
)n
=
1
2
+
x
2
+
3x2
8
+
x3
4
+ · · · e R = 2
(d)
√
9 + x2 = 3 +
x2
6
− x
4
216
+
x6
3888
+ · · · e R = 3
(e) x3 sinx4 = x7 − x
15
6
+
x23
120
+
x31
5040
+ · · · e R =∞
(f) x3e−x
2
= x3 − x5 + x
7
2
− x
9
6
+ · · · e R =∞
18. n = 9
19. (a) RN ≤
∫ ∞
N
1
x11/10
dx =
10
N1/10
(b) N = 1020
20. (a) f(x) =
∞∑
n=0
(−1)n+1 x
8n+8
(4n+ 4)(2n+ 1)!
(b) x ∈ (−∞,∞)
(c) n = 2 (3 termos) e f(1) ≈ 1
4
− 1
48
+
1
1440
(d) −(23)!/(11)!
21. (a) T3(x) = (x− 1) + (x− 1)
2
2
− (x− 1)
3
6
(b) 16 (c) 1/24