APOSTILA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 2018-1 (2) pdf · versão 1

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RREESSIISSTTÊÊNNCCIIAA DDOOSS MMAATTEERRIIAAIISS IIII 
CCCCEE00333300 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centro Universitário Estácio de Santa Catarina 
Paulo Cesar Martins Penteado 
2018 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apresentação 
 
Esta apostila, longe de ser original, consiste em um apanhado de trechos de autores consagrados, relacionados na 
Bibliografia Básica e na Bibliografia Complementar, assim como de outras referências, e tem por objetivo dar uma 
visão geral dos principais tópicos, conceitos e aplicações da teoria a ser desenvolvida durante o semestre e 
facilitar o estudo do acadêmico. 
Torna-se importante destacar que a consulta aos livros das Bibliografias é fundamental para o bom andamento e 
desenvolvimento das habilidades e competências necessárias para o prosseguimento dos estudos nas disciplinas 
que se seguirão. 
As críticas, sugestões e correções dos eventuais erros serão sempre bem-vindas. 
 
Paulo Cesar Martins Penteado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 3 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II – CCE0330 
 
ÍNDICE 
 
1. A Resistência dos Materiais II .......................................................................................................... 5 
1.1 Contextualização ................................................................................................................. 5 
1.2 Ementa da disciplina Resistência dos Materiais II ................................................................ 5 
1.3 Bibliografia Básica .............................................................................................................. 5 
1.4 Bibliografia Complementar ................................................................................................ 5 
Mapa conceitual de Resistência dos Materiais II ....................................................................... 6 
2. Propriedades geométricas de seções transversais planas ................................................................. 7 
2.1 Centro de gravidade de uma superfície plana ...................................................................... 7 
2.2 Centroide da superfície ........................................................................................................ 7 
2.3 Momentos de primeira ordem de uma área ........................................................................ 8 
2.4 Superfícies compostas ......................................................................................................... 8 
Exercícios – Série 1 ............................................................................................................................... 9 
3. Momento de inércia de uma área .................................................................................................... 12 
3.1 Introdução .......................................................................................................................... 12 
3.2 Momentos de inércia .......................................................................................................... 12 
3.3 Momento de inércia polar ................................................................................................... 12 
3.4 Teorema dos eixos paralelos (Teorema de Steiner) .............................................................. 13 
3.5 Áreas compostas ................................................................................................................. 13 
3.6 Produto de inércia ............................................................................................................... 14 
3.7 Teorema dos eixos paralelos para produto de inércia........................................................... 14 
Exercícios – Série 2 ............................................................................................................................... 14 
4. Carregamento axial .......................................................................................................................... 16 
4.1 Princípio de Saint-Venant .................................................................................................... 16 
4.2 O princípio da superposição ................................................................................................ 17 
4.3 Sistemas estaticamente indeterminados ............................................................................. 17 
4.4 Deformação axial ................................................................................................................ 17 
Exercícios – Série 3 ............................................................................................................................... 18 
4.5 Deformação e tensão térmica .............................................................................................. 21 
4.6 Concentração de tensão ...................................................................................................... 21 
Exercícios – Série 4 ............................................................................................................................... 22 
5. Torção em barras ............................................................................................................................. 24 
5.1 Torque ................................................................................................................................ 24 
5.2 Deformação por torção de um eixo circular ......................................................................... 24 
5.3 A fórmula da torção ............................................................................................................ 25 
5.4 Transmissão de potência ..................................................................................................... 25 
Exercícios – Série 5 .............................................................................................................................. 26 
5.5 Convenção de sinal para torque e ângulo de torção ........................................................... 27 
5.6 Ângulo de torção ................................................................................................................. 27 
Exercícios – Série 6 ............................................................................................................................... 28 
5.7 Elementos estaticamente indeterminados sob torção ......................................................... 29 
5.8 Exemplo resolvido ............................................................................................................... 29 
5.9 Eixos maciços não circulares ................................................................................................ 30 
Resistência dos Materiais II CCE0330 4 
 
Exercícios – Série 7 ............................................................................................................................... 31 
5.10 Tubos de paredes finas sob torção ..................................................................................... 33 
5.11 Fluxo de cisalhamento ....................................................................................................... 33 
5.12 Ângulo de torção ............................................................................................................... 34 
Exercícios – Série 8 .............................................................................................................................. 34 
6. Estudo da flexão em vigas ................................................................................................................ 36 
6.1 Esforços internos .................................................................................................................36 
6.2 Convenção de sinais dos esforços internos .......................................................................... 36 
6.3 Diagrama de esforços internos ............................................................................................ 37 
Exercícios – Série 9 ............................................................................................................................... 39 
6.4 Classificação dos tipos de flexão .......................................................................................... 40 
6.5 A flexão normal pura ........................................................................................................... 41 
6.6 A fórmula da flexão ............................................................................................................. 42 
Exercícios – Série 10 ............................................................................................................................. 43 
6.7 A flexão oblíqua pura .......................................................................................................... 46 
Exercícios – Série 11 ............................................................................................................................. 47 
6.8 A flexão normal composta .................................................................................................. 49 
Exercícios – Série 12 ............................................................................................................................ 51 
7. Cisalhamento transversal ................................................................................................................. 52 
7.1 Introdução .......................................................................................................................... 52 
7.2 A fórmula do cisalhamento .................................................................................................. 52 
7.3 Tensões de cisalhamento em vigas com seção retangular .................................................... 54 
Exercícios – Série 13 ............................................................................................................................. 54 
7.4 Fluxo de cisalhamento ......................................................................................................... 55 
7.5 Fluxo de cisalhamento em barras de paredes finas .............................................................. 56 
7.6 Centro de cisalhamento para seções transversais abertas ................................................... 57 
Exercícios – Série 14 ............................................................................................................................. 58 
8. Flambagem de colunas ..................................................................................................................... 59 
8.1 Introdução .......................................................................................................................... 59 
8.2 Carga crítica ......................................................................................................................... 59 
8.3 Fórmula de Euler – Coluna ideal com apoios de pinos ......................................................... 60 
8.4 Colunas com vários tipos de apoio ....................................................................................... 61 
Exercícios – Série 15 ............................................................................................................................. 62 
9. Revisão geral ................................................................................................................................... 63 
Exercícios – Série 16 ............................................................................................................................ 64 
Respostas ........................................................................................................................................... 65 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 5 
 
1. A RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
 
1.1 CONTEXTUALIZAÇÃO 
 
A disciplina de Resistência dos Materiais II está no Eixo Básico de Formação do Engenheiro Civil, sendo 
ministrada no quinto período, quando o aluno já possui conhecimentos em elasticidade, dominando as 
relações constitutivas que relacionam tensões e deformações, as equações de equilíbrio entre tensões, 
e tendo bem consolidados os conceitos de regime linear e não linear, tensão de escoamento, esforços 
em estruturas, entre outros. Esse conhecimento foi construído com conteúdos das disciplinas de Física 
Teórica, Física Experimental e Mecânica Geral, tendo sido dirigida para o âmbito da mecânica do 
contínuo na cadeira de Resistência dos Materiais I, ministrada no quarto período. O aluno também 
possui conhecimentos em cálculo diferencial e integral que lhe foram conferidos nas disciplinas de 
Cálculo Diferencial e Integral, já tendo aplicado esses conhecimentos em problemas de equilíbrio de 
tensões em volumes elementares e outros. 
O conteúdo da disciplina Resistência dos Materiais II concentra-se principalmente em determinar a 
distribuição de tensões e deformações em seções transversais de estruturas reticuladas submetidas a 
esforços de flexão, torção, cisalhamento e normais. O problema de instabilidade de colunas também é 
estudado. Esses conhecimentos são fundamentais para as disciplinas de estruturas do Eixo Profissional 
Específico Estruturas e Geotécnica, e particularmente para as disciplinas de Estruturas de Concreto I, II, 
III, Fundações e Contenções, Estruturas de Aço, Estruturas de Madeira, e Pontes. 
 
1.2 EMENTA DA DISCIPLINA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
 
Bloco 1: Propriedades geométricas de seções transversais planas (Hibbeler, Apêndice A) 
Bloco 2: Carregamento axial (Hibbeler, Capítulo 4) 
Bloco 3: Torção (Hibbeler, Capítulo 5) 
Bloco 4: Flexão (Hibbeler, Capítulo 6) 
Bloco 5: Cisalhamento na flexão (Hibbeler, Capítulo 7) 
Bloco 6: Colunas (Hibbeler, Capítulo 13) 
 
1.3 BIBLIOGRAFIA BÁSICA 
 
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 
RILEY, W. F.; STURGES, L. D.; MORRIS, D. H. Mecânica dos materiais. 5. ed. Rio de Janeiro: Livros 
Técncios e Científicos, 2003. 
BEER, F. P.; JOHNSTON Jr., R. Resistência dos materiais. 3. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1995. 
 
1.4 BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 
 
TIMOSHENKO, S. P.; GERE, J. E. Mecânica dos Sólidos: Volume 1. 1. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e 
Científicos, 1983. 
TIMOSHENKO, Stephen P.; GERE, James E.. Mecânica dos Sólidos: Volume 2. 1. ed. Rio de Janeiro: Livros 
Técnicos e Científicos, 1984. 
POPOV, E. P. Resistência dos Materiais. 2. ed. Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil, 1984. 
TIMOSHENKO, S. P.; GOODIER, J. N. Teoria da Elasticidade. 3. ed. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1980. 
DI BLASI, C. G. Resistência dos Materiais. Rio de Janeiro: Interamericana, 1982. 
 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 6 
 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 7 
 
2. PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE SEÇÕES TRANSVERSAIS 
PLANAS 
 
Até este ponto de nossos estudos, assumimos que a atração exercida pela Terra sobre um corpo rígido 
poderia ser representada por uma única força P. Essa força, chamada peso do corpo, deve ser aplicada, 
como veremos, no baricentro do corpo. 
Vamos considerar apenas corpos bidimensionais, contidos em um dado plano, e apresentaremos dois 
conceitos associados à determinação do baricentro de uma placa: o conceito de centroide de uma 
superfície e o conceito de momento de primeira ordem de uma superfície. 
 
2.1 CENTRO DE GRAVIDADE DE UMA SUPERFÍCIE PLANA 
 
Vamos considerar inicialmente uma placa horizontal. 
Podemos dividiressa placa em n pequenos elementos. As 
coordenadas do primeiro elemento são x1, y1, as do 
segundo elemento x2, y2 e assim por diante. As forças 
exercidas pela Terra sobre os elementos da placa são 
denominadas ΔP1, ΔP2, ..., ΔPn, respectivamente. 
 
Essas forças ou pesos estão orientadas em direção ao 
centro da Terra; porém, para todas as finalidades práticas, 
elas podem ser consideradas paralelas. Sua resultante é, 
portanto, uma única força P na mesma direção. 
∑𝐹𝑧: 𝑃 = ∆𝑃1 + ∆𝑃2 + ⋯ + ∆𝑃𝑛 
 
Para obter as coordenadas �̅� e �̅� do ponto G, onde a resultante P deve ser aplicada, escrevemos que os 
momentos de P em relação aos eixos x e y são iguais à soma dos momentos correspondentes dos pesos 
elementares: 
∑𝑀𝑦: �̅�𝑃 = 𝑥1 ∙ ∆𝑃1 + 𝑥2 ∙ ∆𝑃2 + ⋯ + 𝑥𝑛 ∙ ∆𝑃𝑛 ⟹ ∑ 𝑀𝑦 = �̅� ∙ 𝑃 = ∑ 𝑥 ∙ ∆𝑃 
 
∑𝑀𝑥: �̅�𝑃 = 𝑦1 ∙ ∆𝑃1 + 𝑦2 ∙ ∆𝑃2 + ⋯ + 𝑦𝑛 ∙ ∆𝑃𝑛 ⟹ ∑ 𝑀𝑥 = �̅� ∙ 𝑃 = ∑ 𝑦 ∙ ∆𝑃 
 
Se, agora, aumentarmos o número de elementos em que a placa é dividida e diminuirmos o tamanho de 
cada elemento, teremos, no limite, as seguintes expressões: 
 𝑃 = ∫ 𝑑𝑃 �̅� ∙ 𝑃 = ∫ 𝑥 ∙ 𝑑𝑃 �̅� ∙ 𝑃 = ∫ 𝑦 ∙ 𝑑𝑃 
Essas expressões definem o peso P e as coordenadas �̅� e �̅� do baricentro G da placa plana. 
 
2.2 CENTROIDE DA SUPERFÍCIE 
 
Voltemos à placa anterior e, agora, vamos considerá-la homogênea, com peso específico ϒ (peso por 
unidade de volume, em N/m3) e espessura t. 
Nesse caso, o módulo ΔP do peso de um elemento da placa pode ser expresso como ΔP = ϒ·t·ΔA. 
Analogamente, podemos expressar o módulo P do peso da placa inteira como P = ϒ·t·A. 
Substituindo ΔP e P nas equações anteriores de momentos e dividindo por ϒ·t, obtemos: 
∑𝑀𝑦: �̅�𝐴 = 𝑥1 ∙ ∆𝐴1 + 𝑥2 ∙ ∆𝐴2 + ⋯ + 𝑥𝑛 ∙ ∆𝐴𝑛 ⟹ ∑ 𝑀𝑦 = �̅� ∙ 𝐴 = ∑ 𝑥 ∙ ∆𝐴 
Resistência dos Materiais II CCE0330 8 
 
 
∑𝑀𝑥: �̅�𝐴 = 𝑦1 ∙ ∆𝐴1 + 𝑦2 ∙ ∆𝐴2 + ⋯ + 𝑦𝑛 ∙ ∆𝐴𝑛 ⟹ ∑ 𝑀𝑥 = �̅� ∙ 𝐴 = ∑ 𝑦 ∙ ∆𝐴 
Mais uma vez, se aumentarmos o número de elementos em que a placa é dividida e diminuirmos o 
tamanho de cada elemento, teremos, no limite: 
 
 �̅� ∙ 𝐴 = ∫ 𝑥 ∙ 𝑑𝐴 �̅� ∙ 𝐴 = ∫ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴 
 
Essas equações definem as coordenadas �̅� e �̅� do baricentro de uma placa homogênea. O ponto de 
coordenadas �̅� e �̅� é também conhecido como centroide C da superfície A da placa. 
É importante ressaltar que, se a placa não for homogênea as equações não podem ser usadas para 
determinar o baricentro; porém, ainda definem o centroide da superfície. 
 
2.3 MOMENTOS DE PRIMEIRA ORDEM DE UMA ÁREA 
 
A integral ∫ 𝒙 ∙ 𝒅𝑨 é conhecida como momento de primeira ordem da área A em relação ao eixo y e 
será representada por Qy. Analogamente, a integral ∫ 𝒚 ∙ 𝒅𝑨 é conhecida como momento de primeira 
ordem da superfície A em relação ao eixo x e será representada por Qx. 
Portanto: 
 𝑄𝑦 = ∫ 𝑥 ∙ 𝑑𝐴 𝑄𝑥 = ∫ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴 
 
No SI, o momento de primeira ordem de uma superfície é medido em m3. 
Comparando as expressões já obtidas, verificamos que os momentos de primeira ordem da superfície A 
podem ser expressos como produtos da área pelas coordenadas do centroide: 
 
 𝑄𝑦 = �̅� ∙ 𝐴 𝑄𝑥 = �̅� ∙ 𝐴 
 
Reciprocamente, as coordenadas do centroide podem ser obtidos dividindo-se os primeiros momentos 
da superfície por sua área. 
Em Resistência dos Materiais, o cálculo de momentos de primeira ordem é útil na determinação de 
forças cortantes devidas a carregamentos transversais. 
É importante destacar que, se o centroide de uma superfície estiver situado sobre um eixo coordenado, 
o momento de primeira ordem da superfície em relação ao eixo será nulo. 
 
2.4 SUPERFÍCIES COMPOSTAS 
 
Em muitos casos, uma superfície pode ser dividida em retângulos, triângulos e outras formas usuais. A 
abscissa �̅� de seu centroide C pode ser determinada a partir das abscissas dos centroides das várias 
partes componentes. Analogamente, o mesmo pode ser feito com a ordenada �̅� do centroide: 
 
 �̅� =
∑ �̅�𝑖 ∙ 𝐴𝑖
∑ 𝐴𝑖
 �̅� =
∑ �̅�𝑖 ∙ 𝐴𝑖
∑ 𝐴𝑖
 
 
Após a divisão da área em áreas mais simples, temos: 𝑄𝑦 = ∑�̅�𝑖𝐴𝑖 e 𝑄𝑥 = ∑�̅�𝑖𝐴𝑖 
 
 
 
 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 9 
 
A localização do centroide de algumas áreas planas é dada na tabela a seguir. 
 Área �̅� �̅� 
 
b∙h 
𝑏
2
 
ℎ
2
 
 
𝑏ℎ
2
 
𝑏
3
 
ℎ
3
 
C
x
y
O x
y
 
𝜋𝑟2
4
 
4𝑟
3𝜋
 
4𝑟
3𝜋
 
C
y
O
r
x
y
 
𝜋𝑟2
2
 0 
4𝑟
3𝜋
 
 
Exercícios – Série 1 
1. Determine a ordenada �̅� da área do triângulo 
da figura ao lado 
 
2. Para o retângulo da figura ao lado, calcule, por 
integração, os momentos de primeira ordem da 
área em relação aos eixos x e y. 
 
b
y
x
h
 
y
x
h
b
Resistência dos Materiais II CCE0330 10 
 
3. Determine a posição do centroide da superfície 
plana da figura ao lado. 
y
x
7,5 cm
10 cm
15 cm
 
4. Determine a posição do centroide da superfície 
plana da figura ao lado. 
y
x
7,5 cm
10 cm
15 cm
 
5. Determine a posição do centroide da superfície 
plana da figura ao lado. 
y
x
20 mm
20 mm
200 mm
150 mm
 
6. Determine a posição do centroide da superfície 
plana da figura ao lado. 
y
x
60 mm 90 mm
180 mm
 
7. Determine a posição do centroide da superfície 
plana da figura a seguir. 
30 mm 20 mm
y
x
36 mm
24 mm
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 11 
 
8. Para a superfície plana da figura ao lado, determine: 
a) os momentos estáticos com relação aos eixos x e y; 
b) a posição do centroide. 
 
9. Determine a posição do centroide para a 
superfície plana da figura ao lado. 
 
 
10. Determine a posição do centroide para a 
superfície plana da figura ao lado. 
 
 
11. Determine a posição do centroide para a 
superfície plana da figura ao lado. 
 
 
12. Determine a posição do centroide para a 
superfície plana da figura ao lado. 
 
 
13. Determine a posição do centroide para a 
superfície plana da figura ao lado. 
 
 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 12 
 
3. MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA ÁREA 
 
3.1 INTRODUÇÃO 
 
Sempre que uma carga distribuída atua perpendicularmente a uma área e sua intensidade varia 
linearmente, o cálculo do momento da distribuição de carga em relação a um eixo envolverá uma 
quantidade chamada momento de inércia de área, também denominado de momento de área de 
segunda ordem ou segundo momento de inércia. 
Consideremos, por exemplo, uma chapa imersa na água e 
sujeita à pressão exercida pelo fluido. A pressão 
hidrostática p varia linearmente com a profundidade y: p = 
ϒ·y, em que ϒ é o peso específico do fluido. 
A força que atua sobre a área diferencial dA da chapa é 
dada por: 
dF = pdA = (ϒ·y)dA 
O momento dessa força, em relação ao eixo x, é: 
dM = dF·y ⟹ dM = [(ϒ·y)·dA]·y ⟹ dM = ϒ·y2dA 
A integração de dM sobre a área inteira da chapa origina: 
𝑀 = 𝛾 ∫ 𝑦2𝑑𝐴 
A integral ∫ 𝒚𝟐𝒅𝑨 é denominada momento de inércia de área Ix em relação ao eixo x. 
As integrais dessa forma geralmente surgem em fórmulas usadas em Mecânica dos Fluidos, Mecânica 
dos Materiais e Resistência dos Materiais. Em Resistência dos Materiais, o momento de inércia de área 
está relacionado com as tensões e deformações que aparecem por flexão em um elemento estrutural e, 
portanto, junto com as propriedades do material determina a resistência de um elemento estrutural sob 
flexão. 
 
3.2 MOMENTOS DE INÉRCIA 
 
Por definição, os momentos de inércia de uma área diferencial dAem relação aos eixos x e y são 
dIx = y
2dA e dIy = x
2dA, respectivamente. 
Para a área inteira A, os momentos de inércia são 
determinados por integração: 
 
 𝐼𝑥 = ∫ 𝑦
2𝑑𝐴 
𝐴
 𝐼𝑦 = ∫ 𝑥
2𝑑𝐴 
𝐴
 
 
 
 
 
3.3 MOMENTO DE INÉRCIA POLAR 
 
Também podemos formular esta quantidade para dA em relação ao “polo” O ou eixo z. Isso é conhecido 
como momento de inércia polar. e representado por JO. 
O momento de inércia polar é definido como dJO = r
2dA, em que r é a distância perpendicular do polo O 
(eixo z) até o elemento de área diferencial dA. Para a área inteira, o momento de inércia polar é: 
 
 𝐽𝑂 = ∫ 𝑟
2𝑑𝐴 
𝐴
= 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 
Resistência dos Materiais II CCE0330 13 
 
 
Essa relação entre JO, Ix e Iy é possível porque r
2 = x2+ y2. 
Observe ainda que, pelas formulações obtidas, JO, Ix e Iy são grandezas sempre positivas, pois são obtidas 
pelo produto entre uma distância ao quadrado e uma área. Além disso, a unidade de medida para o 
momento de inércia é a de comprimento elevada à quarta potência, por exemplo, mm4, cm4, m4. 
 
3.4 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS (TEOREMA DE STEINER) 
 
O teorema dos eixos paralelos pode ser usado para determinar o momento de inércia de uma área em 
relação a qualquer eixo que seja paralelo a um eixo passando pelo centroide C e para o qual o momento 
de inércia é conhecido. 
Para desenvolver este teorema, vamos considerar, na figura a seguir, a determinação do momento de 
inércia da área sombreada em relação ao eixo x. 
Para começar, vamos escolher um elemento diferencial dA 
localizado a uma distância qualquer y’ do eixo centroidal x’. 
Se a distância entre os eixos paralelos x e x’ for dy, então o 
momento de inércia de dA em relação ao eixo x é 
dIx = (y’ + dy)
2dA. Para a área inteira: 
𝐼𝑥 = ∫ (𝑦
′ + 𝑑𝑦)
2 𝑑𝐴
𝐴
 
𝐼𝑥 = ∫ (𝑦
′2 + 2𝑦′𝑑𝑦 + 𝑑𝑦
2)𝑑𝐴
𝐴
 
𝐼𝑥 = ∫ 𝑦′
2 𝑑𝐴
𝐴
+ 2𝑑𝑦 ∫ 𝑦
′𝑑𝐴
𝐴
+ 𝑑𝑦
2 ∫ 𝑑𝐴
𝐴
 
 
A primeira integral representa o momento de inércia da área 𝐼�̅�′ em relação ao eixo centroidal x’ . 
A segunda integral é zero, pois o eixo x’ passa pelo centroide C da área; ou seja, ∫ 𝑦′𝑑𝐴 = 𝑦′̅ ∫ 𝑑𝐴 = 0 
pois 𝑦′̅ = 0. 
A terceira integral representa a área total A sombreada. 
O resultado final é, portanto: 𝐼𝑥 = 𝐼�̅�′ + 𝐴 ∙ 𝑑𝑦
2 . 
Uma expressão semelhante pode ser escita para Iy . Ou seja: 𝐼𝑦 = 𝐼�̅�′ + 𝐴 ∙ 𝑑𝑥
2 . 
O momento de inércia polar 𝐽�̅� é dado por: 𝐽�̅� = 𝐼�̅�′ + 𝐴 ∙ 𝑑𝑦
2 + 𝐼�̅�′ + 𝐴 ∙ 𝑑𝑥 
2 
Mas: 𝐽�̅� = 𝐼�̅�′ + 𝐼�̅�′ e 𝑑
2 = 𝑑𝑥
2 + 𝑑𝑦
2. 
Portanto: 𝐽𝑂 = 𝐽�̅� + 𝐴𝑑
2 
A forma de cada uma das três últimas equações destacadas estabelece que: 
 
O momento de inércia de uma área em relação a um eixo é igual ao seu momento de inércia em 
relação a um eixo paralelo passando pelo seu centroide mais o produto de sua área pelo quadrado da 
distância entre os eixos. 
 
3.5 ÁREAS COMPOSTAS 
 
Muitas áreas de seção transversal consistem em uma série de formas mais simples interligadas, como 
retângulos, triângulos e semicírculos. 
Contanto que o momento de inércia de cada uma dessas formas seja conhecido ou possa ser 
determinado em torno de um eixo comum, o momento de inércia da “área composta” pode ser 
determinado como a soma algébrica dos momentos de inércia de suas partes compostas. 
 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 14 
 
3.6 PRODUTO DE INÉRCIA 
 
O produto de inércia para o elemento diferencial dA na 
figura ao lado, que está localizado no ponto (x, y) , é 
definido como dIxy = xydA. 
Dessa forma, para a área inteira A, o produto de inércia é: 
 𝐼𝑥𝑦 = ∫ 𝑥𝑦𝑑𝐴
𝐴
 
 
O produto de inércia, assim como os momentos de inércia são medidos, no SI, em m4. Entretanto, ao 
contrário dos momentos de inércia que são sempre positivos, o produto de inércia pode ser positivo, 
negativo ou zero, dependendo da localização dos eixos coordenados. 
Se o eixo x ou o eixo y for um eixo de simetria para a área, o produto de inércia para a área será zero. 
 
3.7 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS PARA PRODUTO DE INÉRCIA 
 
Considere a área sombreada mostrada na figura ao lado, na qual x' e 
y' representam um conjunto de eixos centroides e x e y representam 
um conjunto correspondente de eixos paralelos. Considerando que o 
produto de inércia de dA em relação aos eixos x e y é dIxy = (x' + dx)(y' 
+ dy)dA, para a área inteira teremos: 
𝐼𝑥𝑦 = ∫ (𝑥′ + 𝑑𝑥)(𝑦′ + 𝑑𝑦)𝑑𝐴𝐴 
𝐼𝑥𝑦 = ∫ 𝑥′𝑦′ 𝑑𝐴𝐴 + 𝑑𝑥 ∙ ∫ 𝑦′𝑑𝐴𝐴 + 𝑑𝑦 ∙ ∫ (𝑥′𝑑𝐴𝐴 + 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ ∫ 𝑑𝐴𝐴 
O primeiro termo à direita, no segundo membro da equação, representa o produto de inércia da área 
em relação ao eixo centroide Ix’y’. Os segundo e terceiro termos equivalem a zero, já que os momentos 
da área são considerados em torno do eixo centroide. Como sabemos que a quarta integral representa a 
área total A, temos, portanto, como resultado final: 
 𝐼𝑥𝑦 = 𝐼�̅�′𝑦′ + 𝑑𝑥𝑑𝑦𝐴 
É importante destacar que os sinais algébricos para dx e dy devem ser mantidos quando da aplicação da 
dessa equação. 
Deve-se notar a similaridade entre essa equação e a equação para o teorema dos eixos paralelos para 
momentos de inércia. 
 
Exercícios – Série 2 
 
1. Determine o momento de inércia para a área retangular 
mostrada na figura ao lado em relação ao: 
a) eixo centroidal x’; 
b) eixo xb passando pela base do retângulo, 
c) polo ou eixo z’ perpendicular ao plano x’y’ e passando pelo 
centroide C. 
C
xb
x’
y’
y’
h/2
h/2
b/2 b/2
dy’
 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 15 
 
2. Para a área da seção transversal da viga em T da figura ao lado, 
determine: 
a) a ordenada y do centroide em relação à base; 
b)o momento de inércia da área da seção transversal em torno 
do eixo centroide x’. 
8 cm
10 cm
3 cm
2 cm 
3. Determinar Para a seção em T, da figura ao lado, determine: 
a) a posição do centroide, yc, em relação à base; 
b) o momento de inércia em relação ao eixo xc, que passa pelo 
centroide, e em relação ao eixo y de simetria. 
 
4. Determine �̅�, que marca a localização do centroide, e a seguir 
calcule os momentos de inércia 𝐼�̅� e 𝐼�̅� em relação aos eixos 
centroidais para a viga T. 
 
5. Determine yC, que marca a localização do centroide, C; a 
seguir, determine os momentos de inércia centroidais Ix e Iy. 
 
6. Determine a localização (�̅�, �̅�) do centroide C; a seguir, 
determine os momentos de inércia 𝐼�̅�′ e 𝐼�̅�′. 
 
7. Determine os momentos de inércia da área da seção 
transversal da viga mostrada na figura ao lado em torno 
dos eixos centroides x e y. 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 16 
 
8. Determine o produto de inércia da área da seção 
transversal da viga mostrada na figura ao lado em torno 
dos eixos centroides x e y. 
 
 
4. CARREGAMENTO AXIAL 
 
Nesta aula analisaremos estruturas sujeitas a um carregamento axial e vamos calcular as deformações a 
que ficam sujeitas. Apresentaremos o princípio de Saint-Venant e o princípio da superposição de efeitos. 
 
4.1 PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT 
 
Em 1855, o cientista francês Barné de Saint-Venant observou pela primeira vez que a tensão e a 
deformação produzidas em pontos de um corpo suficientemente distantes da região de aplicação da 
carga serão iguais à tensão e à deformação produzidas por quaisquer carregamentos aplicados que 
tenham a mesma resultante estaticamente equivalente e sejam aplicados ao corpo dentro da mesma 
região. 
Assim, o principio de Saint–Venant permite analisar diferentes formas de carregamento (aplicação de 
cargas) de uma mesma maneira, desde que, em uma situação de cargas concentradas, se desconsidere a 
distribuição das tensões nas regiões próximas ao pontode aplicação, local em que o perfil de tensão da 
força é de difícil análise. 
A figura abaixo mostra que em uma seção transversal a uma distância d, maior que a largura b do corpo, 
a distribuição das tensões é praticamente uniforme. 
 
 
 
Isso equivale a dizer que podemos, respeitadas as condições de afastamento mínimo do ponto de 
aplicação de carga concentrada, tratar qualquer corpo submetido à aplicação de uma carga de qualquer 
natureza, como um corpo localizado entre duas placas sobre as quais é aplicada tensão uniformemente 
distribuída que, consequentemente, também estará uniformemente distribuída ao longo de cada uma 
das seções transversais do corpo, em toda a sua extensão. Tal equivalência é mostrada na figura aseguir. 
Resistência dos Materiais II CCE0330 17 
 
 
4.2 O PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO 
 
O princípio da superposição é frequentemente usado para determinar a tensão ou o deslocamento em 
um ponto de um elemento quando este estiver sujeito a um carregamento complicado. Subdividindo o 
carregamento em componentes, o princípio da superposição afirma que a tensão ou o deslocamento 
resultante no ponto pode ser determinado se antes for determinada a tensão ou o deslocamento 
causado por cada componente da carga agindo separadamente sobre o elemento. Então, a tensão ou 
deslocamento resultante é determinado pela soma algébrica das contribuições causadas por cada 
uma das componentes das cargas. 
Para a aplicação deste princípio devemos estabelecer duas hipóteses: 
 A carga deve ser linearmente relacionada à tensão ou ao deslocamento; 
 A carga não deve mudar significativamente a geometria ou a configuração original do elemento. 
 
4.3 SISTEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS 
 
Em algumas situações iremos nos deparar com elementos estaticamente indeterminados. Um elemento 
é estaticamente indeterminado se as equações de equilíbrio da Estática, ∑�⃗� = 0 e ∑�⃗⃗⃗� = 0, não forem 
suficientes para determinar as reações no elemento. Neste caso, torna-se necessário estabelecer uma 
equação adicional para a solução. 
Essa equação adicional necessária para a solução é denominada condição de compatibilidade ou 
condição cinemática e deve levar em consideração a geometria da deformação e as restrições aos 
deslocamentos que ocorrem nos apoios ou em outros pontos do elemento. 
 
4.4 DEFORMAÇÃO AXIAL 
 
Vamos considerar uma barra homogênea, de comprimento L e seção transversal constante de área A, e 
sujeita a uma carga axial constate P. 
Sabemos que, pela lei de Hooke: 𝜎 = 𝐸 ∙ 𝜖 ⟹ 
𝑃
𝐴
= 𝐸 ∙
𝛿
𝐿
 
Então: 
 𝛿 =
𝑃 ∙ 𝐿
𝐴 ∙ 𝐸
 
Se a área da seção transversal for variável e/ou a carga for variável, então, devemos fazer: 
Resistência dos Materiais II CCE0330 18 
 
 𝛿 = ∫
𝑃(𝑥)𝑑𝑥
𝐴(𝑥) ∙ 𝐸
𝐿
0
 
Se a barra consistir em várias partes com diferentes seções transversais e diferentes materiais ao longo 
do seu comprimento, a deformação total é encontrada com a soma das deformações de cada 
componente da barra: 
 𝛿 = ∑
𝑃𝑖 ∙ 𝐿𝑖
𝐸 ∙ 𝐴𝑖
𝑖
 
 
Exercícios – Série 3 
 
1. A barra da figura tem largura constante de 35 mm e espessura de 10 mm. 
 
Determine a tensão normal média máxima na barra quando ela é submetida à carga mostrada. 
 
2. Um tubo de alumínio está firmemente unido a uma haste de aço e outra de bronze, como mostra a 
figura a seguir, e cargas axiais são aplicadas nas posições indicadas. 
 
 
Determine o máximo valor de P de maneira que não se ultrapasse as seguintes tensões: 1250 kgf/cm2 
no aço, 700 kgf/cm2 no alumínio e 1100 kgf/cm2 no bronze. 
 
3. A peça fundida mostrada na figura ao lado é feita de 
aço, cujo peso específico é 𝛾aço = 80 kN/m
3. Determine a 
tensão de compressão média que age nos pontos A e B. 
 
4. Uma coluna de fundição suporta uma carga axial de compressão de 40.000 kgf. Determinar seu 
diâmetro interno se o externo for de 16 cm e a máxima tensão não puder exceder 600 kgf/cm2. 
 
5. Determine o diâmetro externo de um tirante tubular de aço que deve suportar uma força de tração 
de 60 tf com uma tensão máxima de 1400 kgf/cm2. Considere que a espessura da parede do tubo é 
um décimo do diâmetro externo. 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 19 
 
6. Todas as barras da estrutura articulada, mostrada ao 
lado, têm uma seção de 2 cm × 3 cm. Determinar a 
máxima carga P que pode ser aplicada sem que se exceda 
a tensão de 1400 kgf/cm2 em tração e nem a de 
850 kgf/cm2 em compressão. Costuma-se fixar uma tensão 
de compressão menor para evitar o risco de flambagem. 
 
7. O elemento AC mostrado na figura ao lado está 
submetido a uma força vertical de 3 kN. Determine a 
posição x dessa força de modo que a tensão de 
compressão média no apoio liso C seja igual à tensão de 
tração média na barra AB. A área da seção transversal da 
barra é 400 mm2 e a área em C é 650 mm2. 
 
 
8. Na figura a seguir é mostrado parte do trem de pouso de um pequeno avião. Determine a tensão de 
compressão na armadura tubular AB durante a aterrissagem por uma reação do solo R = 2000 kgf. 
Considere que AB forma um ângulo de 53° com BC. 
 
 
9. Uma barra prismática, de comprimento L e área de seção transversal A, tem módulo de elasticidade E. 
Estabeleça uma expressão para o alongamento total ΔL da barra se uma força de tração P atuar em suas 
extremidades. 
 
10. Uma barra de aço (E = 200 GPA) com 2 m de 
comprimento e área de seção transversal de 10 cm2 está 
solidamente ligada a uma placa rígida que, por sua vez, se 
apoia em um tubo de cobre (E = 115 GPa) de 90 cm de 
comprimento e seção transversal de área 30 cm2, como 
mostrado na figura ao lado. Desprezando o peso da barra 
de aço, determine o deslocamento de sua extremidade 
livre se a carga P = 50 kN for aplicada como indicada. 
 
 
 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 20 
 
11. Uma barra de aço cuja área de seção transversal é 500 mm2 está submetida ao carregamento 
mostrado na figura abaixo. 
 
Considerando que para o aço E = 200 GPa, determine o alongamento total da barra. 
 
12. Uma viga rígida AB está apoiada nos dois 
postes curtos mostrados na figura ao lado. O 
poste AC é feito de aço e tem diâmetro de 20 mm, 
e o poste BD é feito de alumínio e tem diâmetro 
de 40 mm. Determine o deslocamento do ponto F 
em AB se uma carga vertical de 90 kN for aplicada 
nesse ponto. Considere Eaço = 200 GPa, Eal = 70 
GPa. 
 
13. A coluna de aço A-36 (Eaço = 200 GPa), mostrada na 
figura ao lado, é usada para suportar as cargas simétricas 
dos dois pisos de um edifício. Determine o deslocamento 
vertical de sua extremidade, A, se P1 = 200 kN, P2 = 310 kN 
e a coluna tiver área de seção transversal de 14.625 mm2. 
 
 
14. Duas barras AB e CD, consideradas absolutamente rígidas, estão articuladas em A e em D e 
separadas em C mediante um rolete, como mostrado ao lado. Em B, uma haste de aço ajuda a suportar 
a carga de 6000 kgf. Determine o deslocamento vertical do rolete situado em C. 
 
 
15. A coluna, mostrada na figura ao lado, é de concreto de 
alta resistência e reforçada com quatro hastes de aço A-36. 
Se for submetida a uma força axial de 800 kN, determine o 
diâmetro exigido para cada haste de modo que 1/4 da carga 
seja suportada pelo aço e 3/4, pelo concreto. 
Considere: Eaço = 200 GPa e Econcreto = 25 GPa. 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 21 
 
4.5 DEFORMAÇÃO E TENSÃO TÉRMICA 
 
Sabe-se que quanto maior a temperatura de um corpo, maior será a agitação de suas partículas em 
torno de uma posição de equilíbrio. 
Vamos considerar um corpo sólido inicialmente a uma temperatura T0. Se a temperatura desse corpo 
aumentar para um novo valor T, a agitação térmica de suas partículas aumentará e, consequentemente, 
a distância média entre elas deverá aumentar, pois aspartículas passarão a vibrar com maior amplitude. 
Assim, o aquecimento faz com que todas as dimensões do corpo (comprimento, largura e altura) 
aumentem. Nesse caso, dizemos que o corpo sofreu uma dilatação térmica. 
Por outro lado, o resfriamento provoca a diminuição da agitação das partículas e, consequentemente, a 
diminuição nas dimensões do corpo. Dizemos, então, que o corpo sofreu uma contração térmica. 
Alguns experimentos de laboratório ajudam a entender melhor a dilatação térmica linear, por exemplo, 
de uma barra metálica. Eles nos levam a concluir que a dilatação térmica linear, ΔL: 
• é diretamente proporcional à variação de temperatura ΔT = T ‒ T0, ou seja, quanto maior a variação 
de temperatura, maior a dilatação térmica linear (ΔL ∝ ΔT); 
• é diretamente proporcional ao comprimento inicial L0 do corpo, ou seja, quanto maior o 
comprimento inicial, maior a dilatação térmica linear (ΔL ∝ L0); 
• depende do material de que é feito o corpo. 
Assim, podemos estabelecer uma lei geral que rege a dilatação térmica linear de um sólido: 
 ∆𝐿 = 𝛼 ∙ 𝐿0 ∙ ∆𝑇 
Nessa expressão, a constante de proporcionalidade 𝛼 é chamada de coeficiente de dilatação térmica 
linear e seu valor muda de acordo com o material de que é feito o corpo. Esse coeficiente geralmente é 
medido em °C‒1. 
A mudança no comprimento de um elemento estaticamente determinado pode ser calculada 
diretamente pela equação acima, visto que o elemento está livre para se expandir ou contrair quando 
sofrer mudança na temperatura. Contudo, quando o elemento é estaticamente indeterminado, esses 
deslocamentos térmicos podem ser restringidos pelos apoios, o que produz tensões térmicas que 
devem ser consideradas no projeto. 
 
4.6 CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO 
 
Já sabemos que, próximo à região de aplicação de uma força 
concentrada, a força gera uma distribuição de tensão complexa, como 
mostrado ao lado. Entretanto, as distribuições de tensão complexas não 
surgem somente sob um carregamento concentrado; também aparecem 
em seções nas quais a área da seção transversal do elemento muda. 
Em regiões de descontinuidade da seção transversal, como em regiões com furos ou de filetes de 
rebaixo, podem ocorrer valores altos de tensões localizadas ou concentrado, como mostrado abaixo. 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 22 
 
Em ambos os casos, o equilíbrio da força exige que o valor da força resultante desenvolvida pela 
distribuição de tensão seja igual a P. Na prática da Engenharia, a distribuição de tensão real não precisa 
ser determinada. Em vez disso basta saber qual é a tensão máxima nessas seções e, então, o elemento é 
projetado para resistir a essa tensão quando a carga axial P for aplicada. 
Em casos nos quais a área da seção transversal de um elemento muda, como os já discutidos, podem-se 
determinar valores específicos da tensão normal máxima na seção crítica por métodos experimentais ou 
por técnicas matemáticas avançadas que utilizam a teoria da elasticidade. Os resultados dessas 
investigações normalmente são apresentados em gráficos com a utilização de um fator de concentração 
de tensão K. Definimos K como a razão entre a tensão máxima e a tensão média que agem sobre a 
menor seção transversal; isto é: 𝐾 =
𝜎𝑚á𝑥
𝜎𝑚é𝑑
 
Contanto que K seja conhecido e a tensão normal média tenha sido calculada por σméd = P/A em que A é 
a menor área de seção transversal, então, pela equação anterior, a tensão máxima na seção transversal 
é : 𝜎𝑚á𝑥 = 𝐾 ∙ 𝜎𝑚é𝑑 ⟹ 𝜎𝑚á𝑥 = 𝐾 ∙
𝑃
𝐴
 
Em geral, valores específicos de K são apresentados em gráficos em manuais relacionados à análise de 
tensão, como os exemplos dados nas figuras abaixo para os dois casos discutidos anteriormente. 
 
 
 
É importante destacar que o valor de K é independente das propriedades do material da barra; mais 
exatamente, o valor de K depende somente da geometria da barra e do tipo de descontinuidade. 
 
Exercícios – Série 4 
 
1. Em 1989, um novo cabo de fibra óptica capaz de suportar 40.000 chamadas telefônicas 
simultaneamente foi lançado no Oceano Pacífico, desde a Califórnia até o Japão, cobrindo uma distância 
de 13.300 km. O cabo foi desenrolado do bordo de um navio com uma temperatura média de 22 °C e 
lançado ao fundo do mar com uma temperatura média de 5 °C. O coeficiente de dilatação térmica linear 
do cabo é de 75·10‒6 °C‒1. Determine o comprimento do cabo que deve ser transportado no navio para 
atravessar os 13.300 km. 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 23 
 
2. Uma barra reta de comprimento L foi colocada entre dois anteparos 
fixos, separados por uma distância L. Não existem tensões ou 
deformações nesta condição inicial. A barra é feita de material com 
módulo de elasticidade E e coeficiente de dilatação térmica linear 𝛼. 
Determine a tensão axial σ que passa a atuar na barra se ela sofrer um 
aumento de temperatura ΔT. 
L
 
3. Uma barra de aço A-36 (E = 200 GPa; 𝛼 = 12·10‒6 °C‒1), mostrada 
na figura ao lado, está restringida para caber exatamente entre os 
dois suportes fixos quando a temperatura é 30 °C. Se a 
temperatura aumentar para 60 °C, determine a tensão térmica 
normal média desenvolvida na barra. 
A
B
10mm
10mm
1 m
 
4. A barra AB, mostrada na figura ao lado é perfeitamente ajustada 
aos anteparos fixos quando a temperatura é de +25 °C. Determinar 
as tensões atuantes nas partes AC e CB da barra para a 
temperatura de ‒50 °C. Usar E = 200 GPa e 𝛼 = 12·10‒6 °C‒1. 
A BC
300 mm 300 mm
A = 400 mm
2
A = 800 mm
2
 
 
5. A chave elétrica fecha quando as hastes de ligação CD e AB 
se aquecem, o que provoca a translação e a rotação do braço 
rígido BDE até fechar o contato em F. A posição original de 
BDE é vertical e a temperatura é 20 °C. Se AB for feita de 
bronze C86100 (αbronze = 17·10
‒6 °C‒1) e CD , de 
alumínio 6061-T6 (αalumínio = 24·10
‒6 °C‒1), determine o 
espaço s exigido entre os contatos para a chave fechar 
quando a temperatura alcançar 110 °C. 
 
6. As dimensões de uma barra de aço são mostradas na 
figura ao lado. Se a tensão admissível for σadm = 115 MPa, 
determine a maior força axial P que a barra pode suportar. 
 
 
7. A tira de aço, mostrada na figura ao lado, está 
sujeita a uma carga axial de 80 kN. Determine a 
tensão normal máxima desenvolvida na tira e o 
deslocamento de uma de suas extremidades em 
relação à outra. A tensão de escoamento do aço é 
σe = 700 MPa e Eaço = 200 GPa. 
 
 
 
 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 24 
 
5. TORÇÃO EM BARRAS 
 
5.1 TORQUE 
 
Torque é um momento, medido em N·m, que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo 
longitudinal. A figura a seguir ilustra o que acontece quando um torque T é aplicado a um eixo circular 
considerando que este seja feito de um material com alto grau de deformação, como a borracha. 
 
Observe que a seções transversais circulares continuam circulares, as linhas radiais continuam retas 
mas, as linhas longitudinais ficam torcidas. 
 
5.2 DEFORMAÇÃO POR TORÇÃO DE UM EIXO CIRCULAR 
 
A partir da observação da figura abaixo, podemos concluir que o ângulo de torção 𝝓 (fi) da barra é 
proporcional ao torque T aplicado e ao comprimento L da barra, ou seja, 𝜙 = 𝜙(𝑇, 𝑥). 
 
Uma vez que as extremidades do elemento permanecem planas, a deformação por cisalhamento ϒ é 
igual ao ângulo de torção 𝜙.: 𝐿 ∙ 𝛾 = 𝜌 ∙ 𝜙 ⟹ 𝛾 =
𝜌∙𝜙
𝐿
 . 
Isso nos permite concluir que a deformação de cisalhamento ϒ é proporcional à distância radial ρ (rô) da 
linha central da barra e terá um valor máximo na periferia do eixo, a uma distância c de seu centro: 
𝛾𝑚á𝑥 =
𝑐∙𝜙
𝐿
 . 
Essa relação pode ser obtida diretamente a partir da geometria da figura (acima à direita) notando que ϒ 
é o ângulo entre as linhas AB e A’B, isto é, ϒmáx é oângulo ABA’. Portanto, ϒmáx·L é igual à distância AA’ 
na extremidade da barra. Mas, uma vez que a distância AA’ é igual a c·φ, obtemos c·φ = ϒmáx·L. 
Mas, como 
∙
𝜙
𝐿
=
𝛾𝑚á𝑥
𝑐
 , então as deformações por cisalhamento se relacionam por: 𝛾 = (
𝜌
𝑐
) ∙ 𝛾𝑚á𝑥 
 
Em outras palavras, a deformação por cisalhamento no interior do eixo varia linearmente ao longo de 
qualquer linha radial, de zero na linha central do eixo até um valor máximo ϒmáx em seu contorno 
externo. 
 
 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 25 
 
5.3 A FÓRMULA DA TORÇÃO 
 
Se o material for linear elástico, então a lei de Hooke se aplica, τ = G·ϒ, e, consequentemente, uma 
variação linear na deformação por cisalhamento implica em uma variação linear na tensão de 
cisalhamento correspondente ao longo da linha radial da seção transversal. 
 
Portanto, assim como acontece com a deformação por cisalhamento ϒ, 
a tensão de cisalhamento τ no interior do eixo varia linearmente ao 
longo de qualquer linha radial, de zero na linha central do eixo até um 
valor máximo τmáx em seu contorno externo: 𝜏 = (
𝜌
𝑐
) ∙ 𝜏𝑚á𝑥 
 
 
Vamos considerar um eixo AB sujeito à ação dos momentos 
de torção T e T’, iguais e de sentidos opostos, nos pontos A 
e B. Vamos corta o eixo por uma seção perpendicular ao 
eixo longitudinal em um ponto qualquer C, como mostrado 
na figura ao lado. 
 
O diagrama de corpo livre da parte BC deve incluir as forças 
de cisalhamento dF, perpendiculares ao raio do eixo, que a 
parte AC exerce sobre a parte BC quando o eixo é torcido. 
Para ocorrer o equilíbrio da parte BC, o conjunto de forças 
elementares deve produzir um momento de torção interno 
T, igual e contrário a T’. 
 
Para expressar que a soma dos momentos das forças dF, à distância ρ do centro, em relação ao centro, 
tem a mesma intensidade do torque T devemos impor que: ∫ 𝜌 𝑑𝐹
𝐴
= 𝑇 
Como 𝜏 =
𝑑𝐹
𝑑𝐴
 , então 𝑑𝐹 = 𝜏 𝑑𝐴 e chegamos a: ∫ 𝜌 𝜏 𝑑𝐴
𝐴
= 𝑇 
Mas, como acabamos de mostrar que 𝜏 = (
𝜌
𝑐
) ∙ 𝜏𝑚á𝑥 , a integral se torna: 𝑇 = ∫ 𝜌 (
𝜌
𝑐
) ∙ 𝜏𝑚á𝑥 𝑑𝐴𝐴 
A relação 
𝜏máx
𝑐
 é constante e pode ser retirada da integral e ficamos com: 𝑇 =
𝜏máx
𝑐
∫ 𝜌2𝑑𝐴
𝐴
 
Nessa equação, a integral depende apenas da geometria do eixo. Ela representa o momento polar de 
inércia da área da seção transversal do eixo calculado em torno da linha central longitudinal do eixo. Tal 
grandeza será representada por J. 
Então: : 𝑇 =
𝜏máx
𝑐
∙ 𝐽 ⟹ 𝜏máx =
𝑇∙𝑐
𝐽
 e 𝜏 =
𝑇∙𝜌
𝐽
 
 
Para um eixo circular maciço de raio c, o momento polar de inércia J é calculado por: 𝐽 =
𝜋
2
∙ 𝑐4 
E, para um eixo tubular: 𝐽 =
𝜋
2
∙ (𝑐𝑜
4 − 𝑐𝑖
4) 
 
5.4 TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA 
 
Quando usados para transmitir potência desenvolvida por uma máquina, eixos e tubos de seções 
transversais circulares ficam sujeitos a torques que dependem da potência gerada pela máquina e da 
velocidade angular do eixo. 
Potência é definida como o trabalho realizado por unidade de tempo e medida em J/s = W (watt). 
O trabalho transmitido por um eixo rotativo é igual ao produto entre o torque aplicado e o ângulo de 
rotação. 
Resistência dos Materiais II CCE0330 26 
 
Se durante um intervalo de tempo dt um torque aplicado T provocar a rotação dθ no eixo, então a 
potência instantânea P será: 𝑃 =
𝑇𝑑𝜃
𝑑𝑡
. 
Como 
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= 𝜔, velocidade angular do eixo, então, a potência transmitida será: 𝑃 = 𝑇 ∙ 𝜔 
 
Nesse ponto é importante relembrar que a velocidade angular ω é dada por: 𝜔 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓 em que f é 
a frequência de rotação do eixo, medida em Hz (hertz = s‒1). 
 
Exercícios – Série 5 
1. A distribuição de tensão em um eixo maciço foi representada 
em gráfico ao longo de três linhas radiais arbitrárias, como 
mostra a figura ao lado. Determine o torque interno resultante 
na seção. 
 
2. Um eixo é feito de uma liga de aço com tensão de 
cisalhamento admissível τadm = 84 MPa. Se o diâmetro do eixo for 
37,5 mm, determine o torque máximo T que pode ser 
transmitido. Qual seria o torque máximo T' se fosse feito um furo 
de 25 mm de diâmetro no eixo? Faça um rascunho da 
distribuição da tensão de cisalhamento ao longo de uma linha 
radial em cada caso. 
3. O eixo maciço de raio c é submetido a um torque T. 
Determine a fração de T à qual resiste o material contido 
no interior da região externa do eixo, que tem raio 
interno c/2 e raio externo c. 
 
4. O eixo mostrado na figura abaixo está apoiado em dois mancais e sujeito a três torques. Determine a 
tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B localizados na seção a-a do eixo (ver figura do 
detalhe). 
 
 
5. Um eixo maciço de aço AB mostrado na figura ao lado será 
usado para transmitir 3.750 W do motor M ao qual está 
acoplado. Se o eixo girar a ω = 175 rpm e o aço tiver uma 
tensão de cisalhamento admissível τ = 100 MPa, determine o 
diâmetro exigido para o eixo com precisão de mm. 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 27 
 
6. Um eixo tubular com diâmetro interno de 30 mm e diâmetro externo de 42 mm será usado para 
transmitir 90 kW de potência. Determine a frequência de rotação do eixo de modo que a tensão de 
cisalhamento não ultrapasse 50 MPa. 
 
7. Um moto-redutor de 2,5 kW pode girar a 330 rev/minuto. Se a 
tensão de cisalhamento admissível para o eixo for τadm = 56 MPa, 
determine, com aproximação de múltiplos de 5 mm, o menor 
diâmetro do eixo que pode ser usado. 
 
 
8. O tubo de uma perfuratriz de poço de petróleo é feito de aço e tem diâmetro de 112 mm e espessura 
de 6 mm. Se o tubo estiver girando a 650 rev/minuto enquanto recebe potência de um motor de 12 kW, 
determine a tensão de cisalhamento máxima no tubo. 1,75 MPa. 
 
9. O eixo maciço de aço AC tem diâmetro de 25 mm e 
está apoiado nos mancais lisos em D e E. O eixo está 
acoplado a um motor em C, que transmite 3 kW de 
potência ao eixo quando está girando a 50 rev/s. Se as 
engrenagens A e B absorverem 1 kW e 2 kW, 
respectivamente, determine a tensão de cisalhamento 
máxima desenvolvida no eixo no interior das regiões 
AB e BC. O eixo é livre para girar em seus mancais de 
apoio D e E. 
 
 
Tarefa: Hibbeler, Problemas da série 5.1 a 5.43 
 
5.5 CONVENÇÃO DE SINAL PARA TORQUE E ÂNGULO DE TORÇÃO 
 
O sinal do ângulo de torção é dado, geralmente, de acordo com a regra da mão direita. 
De acordo com esta regra, o torque T e o ângulo φ serão positivos desde que o polegar esteja 
direcionado para fora da seção cortada do eixo quando os dedos o envolverem para dar a tendência da 
rotação. 
 
5.6 ÂNGULO DE TORÇÃO 
 
Às vezes, o projeto de um eixo depende de restrições à quantidade de rotação ou torção que pode 
ocorrer quando o eixo é submetido a um torque. Além do mais, saber calcular o ângulo de torção para 
um eixo é importante quando analisamos as reações em eixos estaticamente indeterminados. 
Vamos desenvolver uma fórmula para determinar o ângulo de torção φ (fi) de uma extremidade de um 
eixo em relação à sua outra extremidade. 
Já sabemos que: 
 o ângulo de torção e a deformação de cisalhamento máxima estão relacionados (𝛾máx =
𝑐∙𝜙
𝐿
) ; 
 no regime elástico, a tensão de cisalhamento e a deformação de cisalhamento estão relacionados pela 
Lei de Hooke (𝛾máx =
𝜏máx
𝐺
) ; 
 a tensão de cisalhamento máxima ocorre na periferia do eixo (𝜏𝑚á𝑥 =
𝑇∙𝑐
𝐽
) . 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 28 
 
Das duas últimas relações, podemos escrever: 𝛾máx =
𝑇∙𝑐
𝐺∙𝐽
 
Igualando esta última relação e a primeira, teremos: 
𝑐∙𝜙
𝐿
=
𝑇∙𝑐
𝐺∙𝐽
 
Portanto: 
 𝜙 =
𝑇 ∙ 𝐿
𝐺 ∙ 𝐽
 
Esta relação é válida para um eixo com seção transversalconstante ao longo de seu comprimento e 
sujeito a um torque constante. 
Para um eixo com seção transversal variável e/ou sujeito a torque variável, temos: 
 
 𝜙 = ∫
𝑇(𝑋)𝑑𝑥
𝐽(𝑥)𝐺
 
𝐿
0
 
 
Se o eixo consistir em várias partes com diferentes seções transversais e diferentes materiais ao longo 
do seu comprimento, o ângulo de torção é encontrado com a soma dos ângulos de torção de cada 
componente: 
 𝜙 = ∑
𝑇𝑖 ∙ 𝐿𝑖
𝐺 ∙ 𝐽𝑖
𝑖
 
 
Neste ponto deve ser salientado que, visto que a lei de Hooke foi usada no desenvolvimento da fórmula 
para o ângulo de torção, é importante que os torques aplicados não provoquem escoamento do 
material e que o material seja homogêneo e se comporte de maneira linear elástica. Além disso, são 
limitadas a barras de seção transversal circular, sólidas ou vazadas. 
 
Exercícios – Série 6 
 
1. Para o eixo mostrado na figura ao lado, esboce 
o diagrama de momento torsor. 
 
 
 
 
2. As hélices de um navio estão acopladas a um eixo maciço de aço A-36 (G = 75 GPa) com 60 m de 
comprimento, diâmetro externo de 340 mm e diâmetro interno de 260 mm. Se a potência de saída for 
4,5 MW quando o eixo gira a 20 rad/s, determine a tensão de torção máxima no eixo e seu ângulo de 
torção. 
 
3. O eixo de transmissão tubular para a hélice de um aerodeslizador tem 6 m de comprimento. Se o 
motor transmitir 4 MW de potência ao eixo quando as hélices giram a 25 rad/s, determine o diâmetro 
interno exigido para o eixo, considerando que o diâmetro externo seja 250 mm. Qual é o ângulo de 
torção do eixo quando ele está em operação? Considere τadm = 90 MPa e G = 75 GPa. 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 29 
 
4. O eixo de aço A-36, mostrado na figura ao lado, é feito com 
dois tubos, AB e CD, e uma seção maciça BC. O eixo é suportado 
por mancais que permitem sua rotação livremente. Se as 
engrenagens, fixadas nas extremidades do eixo, estiverem 
submetidas a torques de 85 N·m, determine o ângulo de torção 
da engrenagem A em relação à engrenagem D. Os tubos têm 
um diâmetro externo de 30 mm e diâmetro interno de 20 mm. 
A seção maciça tem diâmetro de 40 mm. Adote: G = 75 GPa. 
 
 
5. No exercício anterior, determine o ângulo de torção da extremidade B da seção maciça em relação à 
extremidade C. 
 
6. O eixo de aço A-36 de 20 mm de diâmetro é submetido 
aos torques mostrados. Determine o ângulo de torção da 
extremidade B. Considere: G = 75 GPa. 
 
Tarefa: Hibbeler, Problemas da série 5.44 a 5.72 
 
5.7 ELEMENTOS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS SOB TORÇÃO 
 
Um eixo carregado com torque pode ser classificado como estaticamente indeterminado se a equação 
de equilíbrio de momento aplicada em torno da linha central do eixo não for adequada para determinar 
os torques desconhecidos que agem no eixo. 
Neste caso, deve se impor uma equação de compatibilidade como, por exemplo, uma relação entre os 
ângulos de torção do eixo. 
Um exemplo dessa situação será discutido a seguir. 
 
5.8 EXEMPLO RESOLVIDO 
 
O eixo maciço da figura abaixo tem diâmetro de 20 mm e comprimento 300 m. 
 
Dado que o eixo está submetido ao torque aplicado T = 300 N·m, determinar as reações aplicadas no 
eixo devido aos apoios A e B. 
Resistência dos Materiais II CCE0330 30 
 
A partir de uma análise do diagrama de corpo livre 
do eixo, mostrado na figura ao lado, concluímos 
que: 𝑇𝐴 + 𝑇𝐵 = 300 N∙m (I) 
Observe que esta relação não é suficiente para 
encontrar os torques desconhecidos, pois temos 
duas incógnitas e apenas uma equação. 
O problema é estaticamente indeterminado. 
 
Devemos, então, obter uma segunda relação entre os torques TA e TB. 
Para isso, vamos dividir o eixo em dois componentes 
que devem ter deformações compatíveis. Como as 
extremidades do eixo são fixas, a soma dos ângulos 
de torção das duas partes deve ser nula. 
Ou seja: φ = φ1 + φ2 = 0 
Ficamos, então, com: 
𝑇𝐴∙𝐿1
𝐽1∙𝐺
−
𝑇𝐵∙𝐿2
𝐽2∙𝐺
= 0 (II) 
 
Da equação (II) e considerando que o eixo tem diâmetro constante (J1 = J2) e é feito de um único 
material (G = constante), ficamos com: 𝑇𝐵 =
𝐿1
𝐿2
∙ 𝑇𝐴 
Substituindo os valores conhecidos, teremos: 𝑇𝐵 =
200
100
∙ 𝑇𝐴 ⟹ 𝑇𝐵 = 2 ∙ 𝑇𝐴 
Na equação (I): TA +2·TA = 300 ⟹ 𝑇𝐴 = 100 N∙m e 𝑇𝐵 = 200 N∙m (Resposta) 
 
5.9 EIXOS MACIÇOS NÃO CIRCULARES 
 
Até agora, durante nosso estudo de torção, demonstramos que, quando um torque é aplicado a um eixo 
de seção transversal circular - isto é, um eixo simétrico em relação à sua linha central - as deformações 
por cisalhamento variam linearmente de zero na linha central a máxima na superfície externa. Além 
disso, devido à uniformidade da deformação por cisalhamento em todos os pontos de mesmo raio, a 
seção transversal não se deforma; mais exatamente, ela permanece plana após a torção do eixo. 
Todavia, eixos cujas seções transversais não são circulares não são simétricos em relação às respectivas 
linhas centrais e, como a tensão de cisalhamento é distribuída de um modo muito complexo nas seções 
transversais, elas ficarão abauladas ou entortarão quando o eixo sofrer torção, como mostrado abaixo. 
 
A partir de uma análise matemática baseada na teoria da elasticidade, é possível afirmar que a tensão 
de cisalhamento máxima, τmáx, qualquer que seja a forma da seção transversal, ocorre em um ponto na 
borda da seção transversal mais próximo da linha central do eixo. 
Essas análises matemáticas também demonstram que um eixo com seção transversal circular é o mais 
eficiente, pois está submetido a uma tensão de cisalhamento máxima menor, bem como a um ângulo 
de torção menor do que um eixo correspondente com seção transversal não circular e submetido ao 
mesmo torque. 
Resistência dos Materiais II CCE0330 31 
 
A tabela abaixo mostra as equações que fornecem a tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de 
torção para eixos com seções transversais triangulares, quadradas e elípticas. Os pontos em que a 
tensão de cisalhamento é máxima são destacados nas respectivas seções transversais. 
 
Forma da seção transversal τmáx φ 
Quadrada 
 
4,81 ∙ 𝑇
𝑎3
 
7,10 ∙ 𝑇 ∙ 𝐿
𝑎4 ∙ 𝐺
 
Triângulo equilátero 
 
20 ∙ 𝑇
𝑎3
 
46 ∙ 𝑇 ∙ 𝐿
𝑎4 ∙ 𝐺
 
Elipse 
 
2 ∙ 𝑇
𝜋 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏2
 
(𝑎2 + 𝑏2) ∙ 𝑇 ∙ 𝐿
𝜋 ∙ 𝑎3 ∙ 𝑏3 ∙ 𝐺
 
 
Exercícios – Série 7 
1. O eixo maciço de aço, mostrado na figura ao 
lado, tem diâmetro de 20 mm e extremidades, A e 
B, fixas. 
Se for submetido aos dois torques, determine as 
reações nos apoios fixos A e B. 
 
2. O eixo de aço A-36 tem diâmetro de 50 mm e 
está preso nas extremidades A e B. Se for 
submetido ao momento, determine a tensão de 
cisalhamento máxima nas regiões AC e CB do eixo. 
 
3. O eixo de aço é composto por dois segmentos: 
AC, com diâmetro de 12 mm e CB, com diâmetro 
de 25 mm. Se estiver preso em suas extremidades 
A e B e for submetido a um torque de 750 N·m, 
determine a tensão de cisalhamento máxima no 
eixo. Gaço = 75 GPa. 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 32 
 
4. O eixo é feito de aço-ferramenta L2, tem 
diâmetro de 40 mm e está preso em suas 
extremidades A e B. Se for submetido ao 
conjugado, determine a tensão de cisalhamento 
máxima nas regiões AC e CB. 
 
5. Um eixo de aço vazado, ACB, com diâmetro externo de 
50 mm e diâmetro interno de 40 mm é fixado contra 
rotação nas extremidadess A e B (ver figura). Forças 
horizontais P são aplicadas nas extremidades do braço 
vertical que está soldado ao eixo no ponto C. Determine o 
valor máximo permitido da força P se a tensão de 
cisalhamento admissível no eixo for de 45 MPa. 
 
 
6. O tubo de bronze C86100 tem diâmetro externo de 
37,5 mm e espessura de 3 mm. A conexão em C está sendo 
apertada com uma chave de torque. Se for aplicadauma 
força F = 100 N, determine a tensão de cisalhamento 
máxima no tubo. 
 
 
7. O eixo escalonado ACB, de seção circular sólidas com 
dois diâmetros diferentes, é fixado contra rotação nas 
extremidades (ver figura). Se a tensão de cisalhamento 
admissível no eixo é de 43 MPa, qual é o torque máximo 
(T0)máx que pode ser aplicado na secção C? 
 
8. O eixo de alumínio 6061-T6 mostrado na figura ao lado tem área 
de seção transversal na forma de um triângulo equilátero. 
Determine o maior torque T que pode ser aplicado à extremidade 
do eixo se a tensão de cisalhamento admissível for τadm = 56 MPa e o 
ângulo de torção na extremidade estiver restrito a φadm = 0,02 rad. 
Qual é a intensidade do torque que pode ser aplicado a um eixo de 
seção transversal circular feito com a mesma quantidade de 
material? Gal = 26 GPa. 
 
 
Tarefa: Hibbeler, Problemas da série 5.73 a 5.87 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 33 
 
5.10 TUBOS DE PAREDES FINAS SOB TORÇÃO 
 
Nesta aula, vamos analisar os efeitos da aplicação de um torque a um tubo de parede fina de seção 
transversal fechada, isto é, um tubo sem qualquer fratura ou fenda ao longo de seu comprimento. Um 
tubo desse tipo, com área de seção transversal constante, porém arbitrária, é mostrado na figura ao 
lado. 
Para a análise, consideraremos que as paredes têm 
espessura variável t. Como elas são finas, poderemos obter 
uma solução aproximada para a tensão de cisalhamento 
considerando que essa tensão é uniformemente distribuída 
pela espessura do tubo. Em outras palavras, poderemos 
determinar a tensão de cisalhamento média no tubo em 
qualquer ponto dado. 
 
5.11 FLUXO DE CISALHAMENTO 
 
A figura ao lado mostra um pequeno elemento do tubo de 
comprimento finito s e largura diferencial dx, já destacado 
anteriormente. 
Em uma extremidade, o elemento tem espessura tA e na outra 
extremidade, a espessura é tB. Devido ao torque aplicado T, uma 
tensão de cisalhamento é desenvolvida na face frontal do 
elemento. Especificamente, na extremidade A, a tensão de 
cisalhamento é τA, e na extremidade B, é τB. 
 
Essas tensões podem ser relacionadas observando-se que tensões de cisalhamento equivalentes τA e τB 
também devem agir sobre as laterais longitudinais do elemento. Visto que essas laterais têm espessuras 
constantes, tA e tB, as forças que agem sobre elas são dFA = τA (tA dx) e dFB = τB (tB dx). O equilíbrio de 
força exige que essas forças sejam de igual valor, mas em sentidos opostas, de modo que: 
 
 𝜏𝐴 ∙ 𝑡𝐴 = 𝜏𝐵 ∙ 𝑡𝐵 
 
Esse importante resultado afirma que: 
O produto entre a tensão de cisalhamento longitudinal média e a espessura do tubo é a mesma em 
cada ponto na área de seção transversal do tubo. 
Esse produto é denominado fluxo de cisalhamento q, e, em termos gerais, podemos expressá-lo como: 
 
 𝑞 = 𝜏méd ∙ 𝑡 
 
Uma vez que q é constante na seção transversal, a maior tensão de cisalhamento média ocorrerá no 
local em que a espessura do tubo for a menor. 
Se um elemento diferencial com espessura t, comprimento ds e 
largura dx for isolado do tubo (figura ao lado) vemos que a área sobre 
a qual a tensão de cisalhamento média age é dA = t·ds. 
Consequentemente: 𝑑𝐹 = 𝜏𝑚é𝑑 ∙ 𝑑𝐴 ⟹ 𝑑𝐹 = 𝜏𝑚é𝑑 ∙ 𝑡 ∙ 𝑑𝑠 
Portanto: 𝑑𝐹 = 𝑞 ∙ 𝑑𝑠 ou 𝑞 =
𝑑𝐹
𝑑𝑠
 
 
Este resultado nos permite afirmar que o fluxo de cisalhamento, que é constante na área da seção 
transversal, mede a força por unidade de comprimento ao longo da área de seção transversal do tubo. 
Tensão de cisalhamento média 
Resistência dos Materiais II CCE0330 34 
 
A tensão de cisalhamento média, τméd, que age sobre a área sombreada dA = t·ds do elemento 
diferencial, mostrado anteriormente, pode ser relacionada com o torque T considerando-se o torque 
produzido pela tensão de cisalhamento em tomo de um ponto selecionado O no interior do limite do 
tubo. 
Como já mostrado, a tensão de cisalhamento desenvolve uma 
força 𝑑𝐹 = 𝜏𝑚é𝑑 ∙ 𝑡 ∙ 𝑑𝑠 sobre o elemento. Essa força age 
tangencialmente à linha central da parede do tubo e, chamando 
de h o braço de momento, o torque é: dT = h dF = h τméd t ds 
Para a seção transversal inteira, exige-se: 𝑇 = ∮ ℎ𝜏méd𝑡𝑑𝑠 
Observe que a "integral de linha" indica que a integração deve 
ser executada ao redor de toda a borda da área. 
 
Como o fluxo de cisalhamento (𝑞 = 𝜏méd ∙ 𝑡) é constante, esses termos que estão juntos saem da 
integral, de modo que: 𝑇 = 𝜏méd ∙ 𝑡 ∙ ∮ ℎ𝑑𝑠 
Pode-se fazer uma simplificação gráfica para calcular a integral visto que a área média, indicada pelo 
triângulo destacado na figura anterior é dAm = (
1
2
)hds. Assim: ∮ ℎ𝑑𝑠 = ∫ 2 𝑑𝐴𝑚 = 2𝐴𝑚 
Portanto: 𝑇 = 2 ∙ 𝜏méd ∙ 𝑡 ∙ 𝐴𝑚 ⟹ 𝜏𝑚é𝑑 =
𝑇
2∙𝑡∙𝐴𝑚
 
Além disso, como 𝑞 = 𝜏méd ∙ 𝑡, ainda podemos escrever: 𝑞 =
𝑇
2∙𝐴𝑚
 
É importante destacar que Am não é a área da seção transversal do tubo; Am é a área envolvida pela 
linha mediana (em tracejado na figura acima) 
 
5.12 ÂNGULO DE TORÇÃO 
 
O ângulo de torção φ para um tubo de parede fina e seção transversal arbitrária pode ser determinado 
igualando-se o trabalho realizado pelo torque aplicado ao tubo e a energia de deformação acumulada. 
Demonstra-se que: 𝜙 =
𝑇∙𝐿
4∙𝐴𝑚
2 ∙𝐺
∙ ∮
𝑑𝑠
𝑡
 
Nessa expressão, a integração deve ser executada em todo o contorno da área de seção transversal do 
tubo. 
 
Exercícios – Série 8 
 
1. Calcule a tensão de cisalhamento média em um tubo 
de parede fina com seção transversal circular de raio 
médio r e espessura t, submetido a um torque T. 
Calcule também o ângulo de torção relativo se o tubo 
tiver comprimento L. 
 
2. Um tubo quadrado de alumínio tem as dimensões 
mostradas na figura ao lado. Determine a tensão de 
cisalhamento média no tubo no ponto A se ele for 
submetido a um torque de 85 N·m. Calcule também o 
ângulo de torção devido a esse carregamento. 
Considere Gal = 26 GPa. 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 35 
 
3. O tubo é feito de bronze C86100 e tem seção 
transversal retangular, como mostrado na figura ao 
lado. Se for submetido aos dois torques, determine a 
tensão de cisalhamento média no tubo nos pontos A e 
B. Determine também o ângulo de torção da 
extremidade C. O tubo é fixo em E. 
Considere: G = 38 GPa 
 
4. Um tubo fino é composto por três chapas de 
aço A-36 de 5 mm de espessura, de tal modo que 
sua seção transversal é triangular, como mostra a 
figura ao lado. Determine o torque máximo T ao 
qual ele pode ser submetido se a tensão de 
cisalhamento admissível for τadm = 90 MPa e a 
torção no tubo estiver restrita a não mais do que 
φ = 2·10‒3 rad. 
 
5. Compare os valores da tensão de cisalhamento 
elástica máxima e do ângulo de torção 
desenvolvidos em eixos de aço inoxidável 304 com 
seções transversais circular e quadrada. Cada eixo 
tem a mesma área de seção transversal de 5.600 
mm2, comprimento de 900 mm e está submetido 
a um torque de 500 N·m. Considere G = 75 GPa. 
 
 
6. O cabo de latão tem seção transversal triangular de 2 mm em 
um lado. Se a tensão de escoamento para o latão for τe = 205 
MPa, determine o torque máximo T ao qual o cabo pode ser 
submetido de modo a não sofrer escoamento. Se esse torque 
for aplicado a um segmento de 4 m de comprimento, determine 
o maior ângulo de torção de uma extremidade do cabo em 
relação à outra extremidade que não causará dano permanente 
ao cabo. Glat = 37 GPa. 
 
 
Tarefa: Hibbeler, Problemas da série 5.88 a 5.105 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 36 
 
6. ESTUDO DA FLEXÃO EM VIGAS 
 
6.1 ESFORÇOS INTERNOS 
 
Para projetar e dimensionar um elemento estrutural ou mecânico é necessário conhecer as cargas 
‒forças e momentos‒ queatuam dentro do elemento, a fim de garantir que o material possa resistir a 
essas cargas. 
Consideremos a viga em balanço engastada em A, mostrada 
na figura ao lado,sujeita às cargas F1 e F2 e um ponto B, ao 
longo de seu comprimento. 
Os esforços internos que atuam na seção transversal da viga 
que passa pelo ponto B podem ser determinadas usando o 
método das seções. 
A
B
F1
F2
 
O método das seções, também conhecido como método de Ritter, é utilizado para se determinar as 
forças atuantes dentro de um elemento estrutural. Esse método baseia-se no princípio de que se um 
corpo está em equilíbrio, qualquer parte dele também está. 
O método consiste em seccionar o elemento estrutural no ponto que se deseja determinar os esforços e 
aplicar as equações de equilíbrio estático do corpo extenso e rígido na região seccionada. 
Para a viga que estamos considerando, teremos: 
A
B
F1
F2
MA
Ax
Ay
BB
F1 F2VB
NB
MB
MB
NB
VB
 
A componente de força NB, que atua perpendicularmente à seção transversal, é chamada de esforço 
normal. A componente de força VB, que é tangente à seção transversal é chamada de esforço cortante. 
O momento de binário MB é denominado momento fletor. 
As componentes de força NB e VB impedem a translação relativa entre as duas partes da estrutura e o 
momento de binário MB impede a rotação relativa entre elas. De acordo com o princípio da ação e da 
reação ou terceira lei de Newton esses esforços devem atuar em sentidos opostos em cada segmento, 
como mostrado na figura anterior. 
Os esforços NB e VB e o momento MB podem agora ser determinados aplicando as equações de 
equilíbrio do corpo extenso e rígido a qualquer um dos dois segmentos. No caso exemplificado, a 
escolha do segmento da direita é mais adequada, visto não envolver as reações do engate em A. 
 
6.2 CONVENÇÃO DE SINAIS DOS ESFORÇOS INTERNOS 
 
Para os sinais dos esforços internos, adotaremos aqui a convenção estabelecida em HIBBELER, R. C. 
Estática: Resistência dos Materiais. 7ª edição. Editora Pearson Prentice Hall, São Paulo, 2010. 
O esforço normal N é considerado positivo se criar tração. 
O esforço cortante V é positivo se fizer com que o segmento da viga sobre o qual atua gire no sentido 
horário. 
Resistência dos Materiais II CCE0330 37 
 
O momento fletor M será postivo quando tender a curvar o segmento no qual ele atua de uma maneira 
côncava para cima, causando compressão nas fibras superiores do elemento. 
Os esforços que são opostos a estes são considerados negativos. 
A tabela a seguir ilustra essa convenção de sinais para os esforços internos em uma seção transversal S. 
 
Se o segmento sob análise estiver sujeito a uma carga tridimensional externa, então os esforços internos 
geralmente são expressos como positivos ou negativos, de acordo com um sistema de coordenadas x, y 
e z adotado. 
 
6.3 DIAGRAMA DE ESFORÇOS INTERNOS 
 
Os esforços internos estão associados à seção transversal considerada. Assim, se mudarmos a seção 
considerada, poderá acorrer a mudança do(s) esforço(s) interno(s). 
Desta forma é possível determinar como cada tipo de esforço varia, de seção em seção, ao longo dos 
eixos das barras de uma estrutura. Para isso, é necessário seccionar a viga a uma distância arbitrária x a 
partir de uma extremidade e, depois de aplicar as equações de equilíbrio ao segmento de comprimento 
x, obter N, V e M em função de x., ou seja, N = N(x), V = V(x) e M = M(x). 
Esta variação pode ser mostrada graficamente usando os eixos das barras como eixos das abscissas e os 
esforços representados nos eixos das ordenadas. 
Sendo assim é possível traçar, para cada tipo de esforço, um gráfico que mostra como este esforço varia 
ao longo do comprimento do(s) eixo(s) da(s) barra(s). Estes gráficos, representando as funções de 
variação dos esforços internos em cada seção da estrutura, recebem o nome diagrama de esforços 
internos ou linhas de estado. 
As funções que representam os esforços internos são contínuas em trechos. Por este motivo, ao traçar 
um diagrama de estado devemos fazê-lo um trecho de cada vez. Um trecho é o conjunto de seções 
transversais limitado por seções onde: 
  aparece, ou desaparece, uma carga externa ou uma barra 
e/ou 
  ocorre mudança na lei que rege a direção do eixo da barra. 
As seções que limitam um trecho são chamadas de seções limites do trecho 
 
 Procedimentos para análise e obtenção dos diagramas de esforços 
 
 Reações de suporte 
Determine todas as forças reativas e momentos de binário que atuam sobre a viga e decomponha todas 
as forças em componentes que atuam perpendicular e paralelamente ao eixo da viga. 
 Funções de esforço normal, esforço cortante e momento 
Especifique coordenadas separadas x tendo uma origem na extremidade esquerda da viga e 
estendendo-se para trechos da viga entre forças concentradas e/ou momentos de binário, ou onde a 
carga distribuída é contínua. 
Seccione a viga a cada distância x e desenhe o diagrama de corpo livre de um dos segmentos. Cuide para 
que N, V e M apareçam atuando em seu sentido positivo, de acordo com a convenção de sinal. 
Resistência dos Materiais II CCE0330 38 
 
O esforço normal N é obtido somando-se as forças direcionadas ao longo do eixo da viga. 
O esforço cortante V é obtido somando-se as forças perpendiculares ao eixo da viga. 
O momento M é obtido somando-se os momentos em relação à extremidade seccionada do segmento. 
Diagramas de esforço normal, esforço cortante e momento fletor 
Desenhe o diagrama do esforço normal (N versus x), o diagrama do esforço cortante (V versus x) e o 
diagrama de momento (M versus x). Se os valores calculados das funções descrevendo N, V e M forem 
positivos, os valores são desenhados acima do eixo x, enquanto valores negativos são desenhados 
abaixo do eixo x. 
Geralmente, é conveniente fazer os gráficos dos diagramas de esforço normal, esforço cortante e 
momento fletor diretamente abaixo do diagrama de corpo livre da viga. 
 
 Método gráfico para construir diagramas de força cortante e momento fletor 
 
Quando uma viga está sujeita a vários carregamentos diferentes, determinar V e M em função de x e 
representar essas equações em gráfico pode ser bastante trabalhoso. 
Entretanto, existe um método mais simples para construir os diagramas de força cortante e momento 
fletor - um método baseado em duas relações diferenciais que existem entre carga distribuída, força de 
cisalhamento e momento fletor. 
Para obter essas duas relações diferenciais, considere a viga mostrada na figura abaixo, que está sujeita 
a um carregamento arbitrário. 
 
Um diagrama de corpo livre para um pequeno segmento Δx da viga 
é mostrado na figura ao lado. 
Visto que esse segmento foi escolhido em uma posição x onde não 
há nenhuma força concentrada nem momento conjugado, os 
resultados que serão obtidos não se aplicarão a esses pontos de 
carregamento concentrado. 
Observe que todos os carregamentos mostrados no segmento agem 
em suas direções positivas, de acordo com a convenção de sinal 
estabelecida. Além disso, ambos, cisalhamento e momento internos 
resultantes, que agem na face direita do segmento, devem sofrer 
uma pequena mudança finita para manter o segmento em 
equilíbrio. 
Observe também que a carga distribuída foi substituída por uma força resultante w(x)Δx que age a uma 
distância fracionária k(Δx) da extremidade direita, sendo 0 < k < 1. Se, por exemplo, w(x) for constante, 
então k = 1/2. 
Aplicando as duas equações de equilíbrio ao segmento, temos: 
 
  00 )()(; VVxxwVFy xxwV  )(
(I) 
 
+
 00 )()]([)(; MMxkxxwMxVMO
 
2)()( xkxwxVM 
(II) 
 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 39 
 
Dividindo (I) e (II) por Δx e calculando o limite quando Δx → 0, essas duas equações tornam-se: 
 
𝑑𝑉
𝑑𝑥
= −𝑤(𝑥)𝑑𝑀
𝑑𝑥
= 𝑉 
Essas equações podem ser interpretadas, respectivamente, como: 
 
As equações obtidas também podem ser reescritas na forma dV = ‒w(x)dx e dM = Vdx. Observando que 
w(x)dx e Vdx representam áreas diferenciais sob o diagrama de carga distribuída e força cortante, 
respectivamente, podemos integrar essas áreas entre quaisquer dois pontos na viga e escrever: 
 ∆𝑉 = − ∫ 𝑤(𝑥)𝑑𝑥 ∆𝑀 = ∫ 𝑉(𝑥)𝑑𝑥 
Mais uma vez, podemos interpretar essas equações, respectivamente, como: 
 
 
Exercícios – Série 9 
 
1. Determine o esforço normal, o esforço cortante e o 
momento fletor que atuam à esquerda, ponto B, e à 
direita, ponto C, da força de 6 kN sobre a viga da 
figura ao lado. 
 
2. Determine o esforço normal, o esforço cortante e o 
momento fletor que atuam no ponto C da viga da 
figura ao lado. 
 
3. Determine o esforço normal, o esforço cortante e o 
momento fletor que atuam no ponto C da viga da 
figura ao lado. 
 
4. Represente graficamente os diagramas de 
esforço cortante e momento fletor para a viga da 
figura ao lado. 
 
5. Represente graficamente os diagramas de 
esforço cortante e momento fletor para a viga da 
figura ao lado. 
 
6. Represente graficamente os diagramas de 
esforço cortante e momento fletor para a viga da 
figura ao lado. 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 40 
 
7. Represente graficamente os diagramas de 
esforço cortante e momento fletor para a viga da 
figura ao lado. 
 
 
8. Represente graficamente os diagramas de 
esforço cortante e momento fletor para a viga da 
figura ao lado. 
 
 
9. Para a viga da figura ao lado, determine o esforço cortante 
e o momento fletor como uma função de x, e depois 
construa os diagramas de esforço cortante e de momento 
fletor. 
 
 
10. Para a viga da figura ao lado, determine o esforço 
cortante e o momento fletor como uma função de x, e 
depois construa os diagramas de esforço cortante e de 
momento fletor. 
 
 
6.4 CLASSIFICAÇÃO DOS TIPOS DE FLEXÃO 
 
Podemos classificar a flexão de uma barra usando dois critérios. 
 
1º) Em função da posição relativa entre os eixos principais de inércia da seção e a direção do vetor 
momento fletor 
 Flexão normal (ou flexão reta), quando a direção do vetor momento fletor M coincide com um 
dos eixos principais de inércia da seção 
 Flexão oblíqua, quando não ocorre a coincidência 
 
2º) Em função dos esforços que agem na seção transversal da barra 
 Flexão pura, quando só atua um momento fletor M; 
 Flexão simples, quando atuam um momento fletor M e uma força de cisalhamento V; 
 Flexão composta, quando atuam um momento fletor M e uma força normal N, com ou sem 
força de cisalhamento V. 
Resumindo, podemos ter: 




















Composta
Simples
Pura
Oblíqua
Composta
Simples
Pura
Normal
Flexão
 
 
 
 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 41 
 
6.5 A FLEXÃO NORMAL PURA 
 
Passaremos agora a discutir as deformações que ocorrem 
quando uma viga prismática reta, feita de um material 
homogêneo, é submetida à flexão. Nossa discussão ficará 
limitada a vigas com área de seção transversal simétrica em 
relação a um eixo e a um momento fletor aplicado em torno de 
uma linha central perpendicular a esse eixo de simetria, como 
mostrado na figura ao lado. 
Se usarmos um material de alta capacidade de 
deformação, como a borracha, poderemos ilustrar 
fisicamente o que acontece quando um elemento 
prismático reto é submetido a um momento fletor. 
Considere, por exemplo, a barra reta (não 
deformada) na figura ao lado, que tem seção 
transversal quadrada e marcada por uma grade de 
linhas longitudinais e transversais. 
 
Quando um momento fietor é aplicado, as linhas 
da grade tendem a se distorcer segundo o padrão 
mostrado na figura ao lado, onde podemos ver 
que as linhas longitudinais se tornam curvas e as 
linhas transversais verticais continuam retas, 
porém sofrem rotação. 
Observe também que a deformação da barra 
provoca alongamento na parte inferior da barra e 
a compressão do material na porção superior da 
barra. 
 
Por consequência, entre essas duas regiões deve existir 
uma superfície, denominada superfície neutra, na qual 
não ocorrerá mudança nos comprimentos das fibras 
longitudinais do material. 
Com base nessas observações, adotaremos as três 
premissas seguintes em relação ao modo como a 
tensão deforma o material. 
 O eixo longitudinal x, que se encontra no interior da superfície neutra, não sofre qualquer mudança no 
comprimento. Mais exatamente, o momento tenderá a deformar a viga de modo que essa linha toma-se 
uma curva localizada no plano de simetria x-y. 
 Todas as seções transversais da viga permanecem planas e perpendiculares ao eixo longitudinal 
durante a deformação. 
 Qualquer deformação da seção 
transversal dentro de seu próprio plano, 
será desprezada. Em particular, o eixo z, 
que se encontra no plano da seção 
transversal e em torno do qual a seção 
transversal gira, é denominado eixo neutro. 
 
Para mostrar como essa distorção deformará o material, isolaremos um segmento da viga localizado à 
distância x ao longo do comprimento da viga com espessura Δx antes da deformação e depois da 
deformação, já destacado na figura anterior. 
Resistência dos Materiais II CCE0330 42 
 
A figura abaixo mostra uma vista lateral desse elemento tomado da viga antes e após a deformação. 
Observe que qualquer segmento de reta Δx, 
localizado na superfície neutra, não muda de 
comprimento, ao passo que qualquer segmento de 
reta Δs, localizado à distância arbitrária y acima da 
superfície neutra, se contrairá e se tornará Δs' 
após a deformação. 
Por definição, a deformação normal ε ao longo de 
Δs é determinada por: 
 𝜀 = lim
∆𝑠→0
∆𝑠′ − ∆𝑠
∆𝑠
 
Antes da deformação: Δs = Δx. 
Após a deformação, Δx tem raio de curvatura ρ 
com centro de curvatura no ponto O'. 
Logo: Δx = Δs = ρ·Δθ 
 
Da mesma maneira, o comprimento deformado de Δs torna-se Δs' = (ρ -y)·Δθ. 
Substituindo esses valores no limite anterior, teremos: 𝜀 = lim∆𝑠→0
(𝜌−𝑦)∆𝜃−𝜌∆𝜃
𝜌∆𝜃
 ⟹ 𝜀 = −
𝑦
𝜌
 
Esse importante resultado indica que a deformação normal longitudinal de qualquer elemento no 
interior de uma viga depende de sua localização y na seção transversal e do raio de curvatura ρ do eixo 
longitudinal da viga no ponto. 
Em outras palavras, para qualquer seção transversal específica, a deformação normal longitudinal 
variará linearmente com y em relação ao eixo neutro. Ocorrerá uma contração (‒ε) nas fibras 
localizadas acima do eixo neutro (+y), ao passo que ocorrerá um alongamento (+ε) nas fibras localizadas 
abaixo do eixo (‒y). Assim, a deformação máxima ocorre na fibra mais externa localizada a distância c do 
eixo neutro: 𝜀máx =
𝑐
𝜌
 
Dessas duas relações, obtemos: 𝜀 = − (
𝑦
𝑐
) 𝜀máx 
 
6.6 A FÓRMULA DA FLEXÃO 
 
Vamos agora desenvolver uma equação que relaciona a distribuição de tensão longitudinal em uma viga 
e o momento fletor interno resultante que age na seção transversal da viga. 
Consideraremos que o material se comporta de uma maneira linear elástica, de modo que a lei de 
Hooke se aplica, isto é, σ = E·ε. 
Então, uma variação linear da deformação nomal , como demonstramos há pouco, deve ser a 
consequência de uma variação linear da tensão normal. Logo, assim como a variação da deformação 
normal, σ variará de zero no eixo neutro do elemento até um valor máximo, σmáx, à distância c mais 
afastada do eixo neutro, conforme mostra a figura abaixo 
 
Pela lei de Hooke ou pela semelhança de triângulos, teremos: 
 𝜎 = − (
𝑦
𝑐
) 𝜎máx 
Resistência dos Materiais II CCE0330 43Vamos considerar, agora, um elemento de área dA da 
seção transversal localizado em +y, como mostrado na 
figura ao lado. 
Podemos localizar a posição do eixo neutro na seção 
transversal satisfazendo a condição de que a força 
resultante produzida pela distribuição de tensão na área 
da seção transversal deve ser nula. 
Observando que a força dF = σ dA age sobre o elemento arbitrário dA na figura, devemos impor que: 
𝐹𝑅 = ∑𝐹𝑥 ⟹ 0 = ∫ 𝑑𝐹
𝐴
 ⟹ 0 = ∫ 𝜎𝑑𝐴
𝐴
 ⟹ 0 = ∫ − (
𝑦
𝑐
) 𝜎𝑚á𝑥𝑑𝐴
𝐴
 ⟹ 0 =
−𝜎𝑚á𝑥
𝑐
∫ 𝑦𝑑𝐴
𝐴
 
 
Visto que 
−𝜎𝑚á𝑥
𝑐
 não é igual a zero, então: 0 = ∫ 𝑦𝑑𝐴
𝐴
 
Neste ponto devemos relembrar que a localização �̅� para o centroide da área da seção transversal é 
definida pela equação �̅� =
∫ 𝑦𝑑𝐴
∫ 𝑑𝐴
 . 
Se ∫ 𝑦𝑑𝐴 = 0 então, �̅� = 0 e, portanto, o centroide encontra-se no eixo neutro. 
Consequentemente, uma vez determinado o centroide para a área da seção transversal do elemento, a 
localização do eixo neutro é conhecida. 
Podemos determinar a tensão na viga pelo fato de que o momento interno resultante M deve ser igual 
ao momento produzido pela distribuição de tensão em torno do eixo neutro. 
O momento de dF em torno do eixo neutro, na figura acima, é dM = y dF. Observe que, pela regra da 
mão direita, esse momento é positivo. 
Uma vez que dF = σdA, para toda a seção transversal teremos: (𝑀𝑅)𝑧 = ∑𝑀𝑧 ⟹ 𝑀 = ∫ 𝑦𝑑𝐹𝐴 ⟹
 𝑀 = ∫ 𝑦(𝜎𝑑𝐴)
𝐴
 ⟹ 𝑀 = ∫ 𝑦 (
𝑦
𝑐
𝜎𝑚á𝑥) 𝑑𝐴𝐴 ⟹ 𝑀 =
𝜎𝑚á𝑥
𝑐
∫ 𝑦2𝑑𝐴
𝐴
 
Nessa expressão, a integral representa o momento de inércia da área da seção transversal, calculada 
em torno do eixo neutro. Esse valor é representado pela letra I. 
 
Portanto, podemos expressar σmáx como: 𝜎𝑚á𝑥 =
𝑀∙𝑐
𝐼
 
 
E, para um ponto a uma distância y do eixo neutro: 𝜎 = −
𝑀∙𝑦
𝐼
 (Fórmula da flexão) 
 
Exercícios – Série 10 
 
1. A viga simplesmente apoiada, na 
figura ao lado, tem a área de seção 
transversal também mostrada na 
figura. Determine a tensão de flexão 
máxima absoluta na viga. 
 
 
2. A viga mostrada na figura ao lado 
tem área de seção transversal em 
forma de um canal, como indicado na 
figura. 
Determine a tensão de flexão máxima 
que ocorre na viga na seção a-a. 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 44 
 
3. Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída. Determinar a largura 
b da seção em T invertido da mesma, como mostrado ao lado, de maneira que se alcancem 
simultaneamente as tensões admissíveis de 350 kgf/cm2 em tração e 840 kgf/cm2 em compressão. 
 
 
4. Um elemento com as dimensões mostradas na figura 
deverá ser usado para resistir a um momento fletor interno 
M = 2 kN·m. Determine a tensão máxima no elemento se o 
momento for aplicado: 
a) em torno do eixo z; 
b) em torno do eixo y. 
 
5. A haste de aço com diâmetro de 20 mm está sujeita a um 
momento interno M = 300 N·m. Determine a tensão criada 
nos pontos A e B. Dado: 𝐼 =
𝜋∙𝑟4
4
. 
 
6. A peça de mármore, que podemos considerar como um 
material linear elástico frágil, tem peso específico de 24 kN/m3 e 
espessura de 20 mm. Calcule a tensão de flexão máxima na peça 
se ela estiver apoiada: 
a) em seu lado (como na figura a); 
b) em suas bordas (como na figura b). 
c) Se a tensão de ruptura for σrup = 1,5 MPa, explique as 
consequências de apoiar a peça em cada uma das posições. 
 
 
7. A peça de mármore, que podemos considerar como um 
material linear elástico frágil, tem peso específico de 24 kN/m3. 
Se for apoiada nas bordas, como mostrado na figura ao lado, 
determine a espessura mínima que ela deve ter para não 
quebrar. A tensão de ruptura é σrup = 1,5 MPa. 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 45 
 
8. A viga tem a seção transversal mostrada na figura. Se for 
feita de aço com tensão admissível σadm = 170 MPa, 
determine o maior momento interno ao qual ela pode 
resistir se o momento for aplicado: 
a) em torno do eixo z; 
b) em torno do eixo y. 
 
9. A peça de máquina feita de alumínio está sujeita a um 
momento M = 75 N·m. Determine as tensões de flexão 
máximas, tanto de tração quanto de compressão, na peça. 
 
 
10. A viga de aço tem a área de seção transversal mostrada na figura. Se w0 = 10 kN/m, determine a 
tensão de flexão máxima na viga. 
 
 
11. A viga tem a seção transversal retangular mostrada na figura. Determine a maior carga P que pode 
ser suportada em suas extremidades em balanço de modo que a tensão de flexão na viga não ultrapasse 
σmáx = 10 MPa. 
 
 
 
12. Uma viga em balanço de 3 m de comprimento tem seção 
transversal mostrada na figura ao lado. Uma carga distribuída varia 
linearmente desde zero na extremidade em balanço até q kgf/m no 
engaste. Calcular q se σt ≤ 300 kgf/cm
2 e σc ≤ 700 kgf/cm
2. 
 
13. Calcular a tensão máxima de tração e a tensão máxima de compressão na viga da figura abaixo. 
 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 46 
 
6.7 A FLEXÃO OBLÍQUA PURA 
 
Já mostramos a fórmula da flexão, 𝜎 = −
𝑀∙𝑦
𝐼
 , para o caso em que a área da seção transversal era 
simétrica em torno de um eixo perpendicular ao eixo neutro e também que o momento interno 
resultante M agisse ao longo do eixo neutro. 
Porém, essas condições são desnecessárias, e, agora, mostraremos que a fórmula da flexão também 
pode ser aplicada tanto a uma viga com área de seção transversal de qualquer formato, como a uma 
viga com momento interno resultante que aja em qualquer direção. 
 
 Momento aplicado ao longo do eixo principaI 
 
Considere que a seção transversal da viga tem a forma 
assimétrica mostrada na figura ao lado. 
O sistema de coordenadas x, y, z orientado para a direita é 
definido de modo tal que a origem esteja localizada no 
centroide C da seção transversal e o momento interno 
resultante M aja ao longo do eixo +z. 
A distribuição de tensão que age sobre toda a área da seção 
transversal deve ter: 
 força resultante nula; 
 momento interno resultante em torno do eixo z igual a M; 
 momento interno resultante em torno do eixo y nulo. 
 
Observe que a última condição, a de que os momentos em torno do eixo y sejam nulos, não foi 
considerada anteriormente, visto que a distribuição da tensão de flexão era simétrica em relação ao 
eixo y e tal distribuição de tensão produzia automaticamente momento nulo em torno do eixo y. 
Estas três condições podem ser expressas matematicamente considerando-se a força que age sobre o 
elemento diferencial dA localizado em (0, y, z). Essa força é dF = σdA e, portanto, teremos: 
  𝐹𝑅 = ∑ 𝐹𝑥 ⟹ 0 = − ∫ 𝜎 𝑑𝐴𝐴 (I) 
  (𝑀𝑅)𝑧 = ∑ 𝑀𝑧 ⟹ 0 = ∫ −𝑦𝜎 𝑑𝐴𝐴 (II) 
  (𝑀𝑅)𝑦 = ∑ 𝑀𝑦 ⟹ 0 = ∫ 𝑧𝜎 𝑑𝐴𝐴 (III) 
Como mostrado anteriormente, a equação (I) é satisfeita desde que o eixo z passe pelo centroide da 
área da seção transversal. Além disso, visto que o eixo z representa o eixo neutro para a seção 
transversal, a deformação normal variará de zero no eixo neutro a máxima em um ponto y localizado à 
maior distância y = c do eixo neutro. 
Contanto que o material se comporte de maneira linear elástica, a distribuição de tensão normal na área 
da seção transversal também será linear, de modo que 𝜎 = − (
𝑦
𝑐
) 𝜎máx. 
Quando essa relação é substituída na equação (II) e integrada, resulta na fórmula da flexão: 𝜎máx =
𝑀𝑐
𝐼
 . 
Quando substituída na equação (III), obtemos: 0 =
−𝜎máx
𝑐
∫ 𝑦𝑧 𝑑𝐴
𝐴
 ⟹ ∫ 𝑦𝑧 𝑑𝐴
𝐴
= 0 
Essa integral é denominada produto de inércia para a área e ela realmente será nula desde que os eixos 
y e z sejam escolhidos como os eixos principais de inércia para a área. 
Para uma área de forma qualquer, a orientação dos eixos principais pode ser determinadapelas 
equações de transformação de inércia. 
Entretanto, se a área tiver um eixo de simetria, é fácil definir os eixos principais visto que eles sempre 
estarão orientados ao longo do eixo de simetria e perpendiculares a ele. 
 
Resumindo, as equações (I), (II) e (III) sempre serão satisfeitas independentemente da direção do 
momento aplicado M. 
Resistência dos Materiais II CCE0330 47 
 
 Momento aplicado arbitrariamente 
 
Às vezes, um elemento pode ser carregado de tal modo que o momento interno resultante não aja em 
torno de um dos eixos principais da seção transversal. Quando isso ocorre, em primeiro lugar, o 
momento deve ser decomposto em componentes dirigidas ao longo dos eixos principais: My = M senθ e 
Mz = M cosθ, onde θ é positivo se medido do eixo +z na direção do eixo +y. 
 
Então, a fórmula da flexão pode ser usada para determinar a tensão normal provocada por cada 
componente do momento. 
Por fim, usando o princípio da superposição, a tensão normal resultante em qualquer ponto pode ser 
determinada: 
 𝜎 = −
𝑀𝑧 ∙ 𝑦
𝐼𝑧
+
𝑀𝑦 ∙ 𝑧
𝐼𝑦
 
 
A localização e orientação, em relação ao eixo z, do eixo neutro (NA), no qual σ = 0, pode ser 
determinada por cálculo proporcional ou, com a equação acima, fazendo σ = 0: 𝑦 =
𝑀𝑦∙𝐼𝑧
𝑀𝑧∙𝐼𝑦
∙ 𝑧 
Visto que Mz = M cosθ e My = M senθ, então: 𝑦 = (
𝐼𝑧
𝐼𝑦
∙ tg𝜃) 𝑧 
Essa é a equação da reta que define o eixo neutro para a seção transversal. 
Uma vez que a inclinação dessa reta é tg α = y/z, então: tg𝛼 =
𝐼𝑧
𝐼𝑦
∙ tg𝜃 
 
Exercícios – Série 11 
 
1. A seção transversal retangular mostrada na figura ao lado está sujeita a um momento fletor 
M = 12 kN·m. 
 
Determine a tensão normal desenvolvida em cada canto da seção e especifique a orientação do eixo 
neutro NA, eixo sobre o qual σ = 0. 
Resistência dos Materiais II CCE0330 48 
 
2. A viga-caixão está sujeita a um momento fletor M = 25 kN·m 
direcionado, como mostra a figura. Determine a tensão de 
flexão máxima na viga e a orientação do eixo neutro. 
 
 
3. A viga tem seção transversal retangular. Se estiver sujeita a um 
momento fletor M = 3.500 N·m direcionado como mostra a 
figura, determine a tensão de flexão máxima na viga e a 
orientação do eixo neutro. 
 
 
4. A viga em T está sujeita a um momento fletor M = 15 k N·m 
direcionado, como mostra a figura. Determine a tensão de 
flexão máxima na viga e a orientação do eixo neutro. A 
localização y do centroide, C, deve ser determinada. 
 
 
5. Se o momento interno resultante que age na seção 
transversal da escora de alumínio tiver valor M = 520 N·m e 
for direcionado como mostra a figura, determine a tensão 
de flexão nos pontos A e B. A localização y do centroide C 
da área da seção transversal da escora deve ser 
determinada. Especifique, também, a orientação do eixo 
neutro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 49 
 
6.8 A FLEXÃO NORMAL COMPOSTA 
 
A flexão normal composta consiste na ação combinada de uma força normal e de momentos fletores. 
Os momentos fletores podem decorrer da excentricidade, com relação ao eixo do elemento, de força 
atuando na direção longitudinal. 
Este tipo de flexão pode ocorrer em vigas, vigas protendidas, pilares, eixos assimétricos, etc. 
A distribuição de tensões na seção transversal de uma viga sob carregamento axial pode ser considerada 
uniforme somente quando a linha de ação das cargas passa pelo centróide da seção transversal. 
A figura ao lado mostra uma barra sujeita à carga axial P. 
Vamos calcular as tensões atuantes na seção transversal 
da viga que passa pelo ponto C. 
Para isso, devemos obter os esforços internos que atuam 
naquela seção transversal da viga. 
 
Secionando a viga em C e aplicando o método das seções, 
obtemos: 
F = P e M = Pd 
Observe que, na seção considerada, atuam: 
 uma força normal F 
 um momento fletor M 
 
 
Cada um desses esforços internos exerce uma tensão na seção transversal considerada. 
A tensão devida à força normal é dada por: 𝜎1 =
𝑃
𝐴
 
A figura ao lado mostra o diagrama de tensões 
devido a esta força normal. 
 
 
E, a tensão devida ao momento fletor: 𝜎2 = ±
𝑀∙𝑦
𝐼
 
A figura ao lado mostra o diagrama de tensões 
devido a este momento fletor. 
 
Pelo princípio da superposição, a tensão em 
qualquer ponta da seção será: 
 𝜎𝑥 =
𝑃
𝐴
±
𝑀 ∙ 𝑦
𝐼
 
A figura ao lado mostra o diagrama de tensões 
resultante na seção considerada. 
 
 Equação da linha neutra 
 
A equação da linha neutra pode ser determinada impondo-se a condição que a tensão na linha neutra, 
por definição, é nula (σx = 0). 
Então, por meio da equação geral escrevemos: 0 =
𝑃
𝐴
+ (−
𝑀∙𝑦0
𝐼
) ⟹ 𝑦0 =
𝑃
𝐴
∙
𝐼
𝑀
 
 
É importante destacar que os resultados obtidos são válidos somente quando satisfeitas as condições de 
aplicabilidade da superposição, ou seja, as tensões envolvidas não devem ultrapassar o limite de 
proporcionalidade do material. 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 50 
 
 Exemplo da aplicação 
Para exemplificar o estudo desse tipo de flexão, vamos resolver o 
problema a seguir. 
Uma força de 15.000 N é aplicada à borda do elemento mostrado 
na figura ao lado. Despreze o peso do elemento e determine o 
estado de tensão nos pontos B e C. 
 
 
 
 Resolução 
⦁ Cargas internas. O elemento é secionado passando um plano 
transversal por B e C. Para equilíbrio na seção, é preciso haver 
uma força axial N agindo no centroide e um momento fletor M 
em torno do eixo do centroide ou principal. 
A figura ao lado mostra estes esforços internos. 
Usando as equações de equilíbrio teremos: 
N = 15.000 N e M = 750.000 N·mm 
 Características da seção 
Área A: 𝐴 = 100 ∙ 40 ⟹ 𝐴 = 4000 mm2 
Momento de inércia I: 𝐼 =
1
12
40 ∙ 1003 ⟹ 𝐼 = 3,33 ∙ 106 mm4 
 Componentes da tensão 
A distribuição da tensão normal uniforme devida à força normal é 
dada por: 
𝜎 =
𝑃
𝐴
 ⟹ 𝜎 =
15.000 N
4.000 mm2
 ⟹ 𝜎 = 3,75 MPa 
Tal distribuição é mostrada na figura ao lado. 
 
A distribuição da tensão normal devida ao momento fletor tem 
seu valor máximo dado por: 
𝜎máx =
𝑀 ∙ 𝑐
𝐼
 ⟹ 𝜎máx =
750.000 ∙ 50
3,33 ∙ 106
 ⟹ 𝜎máx = 11,25 MPa 
 
Tal distribuição é mostrada na figura ao lado. 
 
Se as distribuições da tensão normais acima forem somadas 
algebricamente, a distribuição da tensão resultante é a mostrada 
na ao lado. 
Embora aqui isso não seja necessário, pois não foi pedido, a 
localização da linha de tensão nula pode ser determinada por 
cálculo proporcional de triângulos; isto é: 
7,5 MPa
𝑥
=
15 MPa
(100 mm − 𝑥)
 ⟹ 𝑥 = 33,3 mm 
 
Elementos de material em B e C estão submetidos somente a 
tensão normal ou tensão uniaxial, como mostram as figuras ao 
lado. Portanto: 
σB = 7,5 MPa (Tração) e σC = 15 MPa (Compressão) 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 51 
 
Exercícios – Série 12 
 
1. Para o pilar, mostrado na figura ao lado, traçar o 
diagrama de σx para uma seção transversal, 
admitindo-se uma excentricidade e = 20,0 cm. 
x
z
z
y
ye
80 cm
80 cm
4000 kN
 
2. Sabendo-se que a magnitude da força P que atua na 
estrutura, mostrada na figura ao lado, é igual a 2 kN, 
determine a tensão no ponto A e no ponto B. 
 
3. O suporte de aço é usado para ligar as 
extremidades de dois cabos. Se a tensão normal 
admissível para o aço for σadm = 168 MPa, 
determine a maior força de tração P que pode ser 
aplicada aos cabos. O suporte tem espessura de 
12 mm e largura de 18 mm. 
 
4. O suporte de aço é usado para ligar as 
extremidades de dois cabos. Se a força P = 2,5 kN 
foraplicada, determine a tensão normal máxima 
no suporte. O suporte tem espessura de 12 mm e 
largura de 18 mm. 
5. O bloco retangular de peso desprezível, 
mostrado na figura ao lado, está sujeito a uma 
força vertical de 40 kN aplicada em seu canto. 
Determine a distribuição da tensão normal que 
age sobre uma seção que passa por ABCD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 52 
 
7. CISALHAMENTO TRANSVERSAL 
 
7.1 INTRODUÇÃO 
 
Quando fizemos o estudo dos diagramas de esforços internos, pudemos constatar que as vigas, em 
geral, ficam submetidas a forças cortantes e a momentos fletores. 
O cisalhamento V é o resultado de uma distribuição de tensão de 
cisalhamento transversal que age na seção transversal da viga, como 
mostrado na figura ao lado. 
Devido à propriedade complementar de cisalhamento, observe que 
tensões de cisalhamento longitudinais associadas também agirão ao 
longo dos planos longitudinais da viga. Por exemplo, um elemento 
retirado de um ponto interno da seção transversal está sujeito a 
tensões de cisalhamento transversal e longitudinal como mostra o 
detalhe da figura. 
Como resultado da tensão de cisalhamento, serão desenvolvidas tensões de deformação que tenderão a 
distorcer a seção transversal de uma maneira bastante complexa e ela não permanecerá plana. 
 
No desenvolvimento da fórmula da flexão, consideramos que as seções transversais devem permanecer 
planas e perpendiculares ao eixo longitudinal da viga após a deformação. Embora essa regra seja 
infringida quando a viga é submetida a cisalhamento e também a flexão, de modo geral, podernos 
considerar que a distorção da seção transversal descrita anteriormente é pequena o suficiente para ser 
desprezada. Essa consideração é particularmente verdadeira para o caso mais comum como de uma 
viga esbelta; isto é, uma viga cuja largura é pequena em comparação com seu comprimento. 
Em nosso curso, até agora, desenvolvemos as fórmulas da carga axial, da torção e da flexão 
determinando, em primeiro lugar, a distribuição da deformação com base em premissas referentes à 
deformação da seção transversal. Entretanto, no caso do cisalhamento transversal, a distribuição da 
deformação por cisalhamento ao longo da largura de uma viga não pode ser expressa facilmente em 
termos matemáticos, pois ela não é uniforme nem linear para seções transversais retangulares, como já 
discutimos. 
 
7.2 A FÓRMULA DO CISALHAMENTO 
 
Desenvolveremos uma fórmula para a tensão de cisalhamento indiretamente; isto é, usando a fórmula 
da flexão e a relação entre momento fletor e cisalhamento. 
 Fórmula da flexão: 𝜎 = −
𝑀∙𝑦
𝐼
 . 
 Relação entre momento fletor e força de cisalhamento: 𝑉 =
𝑑𝑀
𝑑𝑥
 . 
Para mostrar como essa relação é definida, consideraremos um elemento de comprimento dx retirado 
de uma viga, como mostra a figura a seguir. O momento fletor que atua no lado esquerdo do elemento 
é M e no lado direito o momento fletor é M + dM. 
Resistência dos Materiais II CCE0330 53 
 
M M dM + a b
c dt
s s
y
L.N.
tdx
c
 
De modo geral, o momento fletor varia ligeiramente quando se caminha de uma seção para outra seção 
adjacente da viga. Se y é a distância medida acima da linha neutra (L.N.), então, a tensão normal na 
seção esquerda a-a é dada por: 𝜎 =
𝑀∙𝑦
𝐼
 
De maneira similar, a tensão normal na seção direita b-b é: 𝜎′ =
(𝑀+𝑑𝑀)∙𝑦
𝐼
 
Consideremos, agora, o equilíbrio do elemento sombreado acdb. A força atuando sobre uma área dA da 
face ac é o produto da tensão normal pela área. Assim: 𝜎 ∙ 𝑑𝐴 =
𝑀∙𝑦
𝐼
∙ 𝑑𝐴 
A soma de todas as forças ao longo da face esquerda ac é dada pela integração: 𝐹esq = ∫
𝑀∙𝑦
𝐼
 𝑑𝐴
𝑐
𝑦
 
Da mesma maneira, na face direita bd, a soma das forças normais é dada por: 𝐹dir = ∫
(𝑀+𝑑𝑀)∙𝑦
𝐼
 𝑑𝐴
𝑐
𝑦
 
Evidentemente estas duas forças são diferentes e alguma força horizontal adicional deve atuar no 
elemento sombreado para manter o equilíbrio. 
Sendo a face superior ab considerada livre de quaisquer forças horizontais aplicadas externamente, 
então, existe somente a possibilidade de que uma força de cisalhamento horizontal atue ao longo da 
face inferior cd. Essa força é a ação da parte inferior da viga sobre o elemento sombreado. Chamaremos 
de τ a tensão de cisalhamento ao longo dessa face, como destacado na figura anterior. 
Além disso, se considermos a largura da viga igual a t, então, a força de cisalhamento ao longo da face 
cd será: 𝐹cis = 𝜏 ∙ 𝑡 ∙ 𝑑𝑥 
Impondo o equilíbrio de forças, vem: ∑𝐹 = ∫
𝑀∙𝑦
𝐼
 𝑑𝐴
𝑐
𝑦
+ ∫
(𝑀+𝑑𝑀)∙𝑦
𝐼
 𝑑𝐴
𝑐
𝑦
+ 𝜏 ∙ 𝑡 ∙ 𝑑𝑥 = 0 
Resolvendo-se, vem: 𝜏 =
1
𝐼∙𝑡
∙
𝑑𝑀
𝑑𝑥
∙ ∫ 𝑦 𝑑𝐴
𝑐
𝑦
 
Nessa relação, sabendo que 
𝑑𝑀
𝑑𝑥
= 𝑉, ficamos com: 𝜏 =
𝑉
𝐼∙𝑡
∙ ∫ 𝑦 𝑑𝐴
𝑐
𝑦
 
A integral nesta última equação representa o momento de primeira ordem, Q, em relação à linha 
neutra, da área sombreada da seção transversal da viga. Essa área é sempre a parte da seção transversal 
situada acima da posição onde a tensão de cisalhamento a ser calculada atua. 
Assim, a fórmula da tensão de cisalhamento fica: 
 
𝜏 =
𝑉∙𝑄
𝐼∙𝑡
 (Fórmula do cisalhamento) 
 
Visto que esta equação foi derivada indiretamente da fórmula da flexão, é necessário que o material se 
comporte de uma maneira linear elástica e tenha o mesmo módulo de elasticidade sob tração e sob 
compressão. 
Para vigas de seções transversais retangulares: : 𝑄 = 𝑦′ ∙ 𝐴′ , onde A' é a porção superior (ou inferior) 
da área da seção transversal do elemento, definido pela seção onde t é medida e y' é a distância até o 
centroide de A', medida em relação à linha neutra (ou eixo neutro). 
 
A tensão de cisalhamento τ, que acabamos de obter, atua 
horizontalmente. Entretanto, vamos considerar o equilíbrio de um 
elemento diferencial de espessura t da viga submetido a uma tensão 
de cisalhamento τ1 em sua face inferior, como mostrado ao lado. 
A força horizontal total na face inferior é: τ1·t·dx. 
dx
dy
t
1
t1
t2t2
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 54 
 
Para garantir o equilíbrio, a mesma força atua na face superior e, portanto, a tensão de cisalhamento na 
face superior também vale τ1. 
Essas duas forças originam um binário de intensidade: τ1·t·dx·dy. 
Para garantir o equilíbrio dos momentos, deve haver outro binário, de sentido oposto, criado pelas 
forças que atuam nas faces verticais. Se chamarmos de τ2 a tensão de cisalhamento nas faces verticais, o 
binário criado pelas forças verticais terá intensidade: τ2·t·dx·dy. 
Como os binários devem ter a mesma intensidade, chegamos a: 𝜏1 = 𝜏2 
Consequentemente, não só existem tensões de cisalhamento agindo horizontalmente em um ponto de 
uma viga, mas também tensões de cisalhamento de mesmo valor agindo verticalmente naquele mesmo 
ponto. 
 
7.3 TENSÕES DE CISALHAMENTO EM VIGAS COM SEÇÃO RETANGULAR 
 
Para o caso particular de uma viga com seção 
transversal de espessura b e altura h, como a da 
figura ao lado, teremos: 
 𝑄 = 𝑦′ ∙ 𝐴′ ⟹ 𝑄 =
1
2
∙ (
ℎ2
4
− 𝑦2) ∙ 𝑏 
 𝐼 =
1
12
∙ 𝑏 ∙ ℎ3 
t = b 
 
Com estes valores na equação do cisalhamento, obtemos: 
 𝜏 =
𝑉∙𝑄
𝐼∙𝑡
 ⟹ 𝜏 =
𝑉∙
1
2
∙(
ℎ2
4
−𝑦2)∙𝑏
(
1
12
∙𝑏∙ℎ3)∙𝑏
 ⟹ 𝜏 =
6∙𝑉
𝑏∙ℎ3
∙ (
ℎ2
4
− 𝑦2) 
Esse resultado indica que a distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal é parabólica e a 
intensidade varia de zero nas partes superior e inferior, em y = ±h/2, até um valor máximo no eixo 
neutro, em y = 0, quando: 𝜏máx = 1,5 ∙
𝑉
𝐴
 
 
Exercícios – Série 13 
1. A viga mostrada na figura ao lado é feita de madeira e está 
sujeita a umaforça de cisalhamento (cortante) vertical 
interna resultante V = 3 kN. Determine: 
a) a tensão de cisalhamento na viga no ponto P; 
b) a tensão de cisalhamento máxima na viga. 
 
2. A viga mostrada na figura ao lado tem seção transversal 
retangular e é feita de madeira com tensão de cisalhamento 
admissível τadm = 11,2 MPa. Se for submetida a um 
cisalhamento V = 20 kN, determine a menor dimensão a de 
sua parte inferior e 1,5a de seus lados. 
 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 55 
 
3. Se, na viga do problema anterior, a = 250 mm, determine a tensão de cisalhamento máxima. 
 
4. Uma viga de madeira deve suportar três forças 
concentradas mostradas. Sabendo que para o tipo de 
madeira utilizada, σadm = 12 MPa e τadm = 0,82 MPa, 
determinar a altura d mínima necessária para a viga. 
 
 
 
Tarefa: Hibeller, Problemas de 7.1 a 7.35 
 
7.4 FLUXO DE CISALHAMENTO 
 
Na prática da engenharia, às vezes são construídas estruturas compostas por várias partes para se obter 
maior resistência às cargas. Alguns exemplos são mostrados na figura abaixo. 
 
Se as cargas provocarem flexão nas partes componentes, pode ser necessário uttitzar elementos de 
fixação como pregos, parafusos, material de soldagem ou cola para evitar o deslizamento relativo dessas 
partes. 
Para projetar esses elementos de fixação, é preciso conhecer a força de cisalhamento à qual eles devem 
resistir ao longo do comprimento da estrutura. Esse carregamento, quando medido como força por 
unidade de comprimento, é denominado fluxo de cisalhamento, q. No SI, q é medido em N/m. 
O valor do fluxo de cisalhamento ao longo de qualquer seção longitudinal de uma viga pode ser obtido 
por um desenvolvimento semelhante ao usado para determinar a tensão de cisalhamento em uma viga. 
Vamos considerar a determinação do fluxo de cisalhamento ao longo da junção que liga a parte 
composta na viga, mostrada a figura abaixo, à aba da viga. Como mostrado no detalhe da figura, três 
forças horizontais devem agir sobre essa parte. Duas dessas forças, F e F + dF, são desenvolvidas por 
tensões normais causadas pelos momentos M e M + dM, respectivamente. A terceira força, a qual, para 
equilíbrio, é igual a dF, age na junção e deve ser suportada pelo elemento de fixação. 
 
Como sabemos, dF é o resultado de dM, então, como já fizemos ao obter a fórmula do cisalhamento, 
teremos: 𝑑𝐹 =
𝑑𝑀
𝐼
∫ 𝑦 𝑑𝐴′
𝐴′
 ⟹ 𝑑𝐹 =
𝑑𝑀
𝐼
𝑄 (I) 
Resistência dos Materiais II CCE0330 56 
 
Visto que o segmento tem comprimento dx, o fluxo de cisalhamento, ou força por unidade de 
comprimento ao longo da viga, é 𝑞 =
𝑑𝐹
𝑑𝑥
 . 
Portanto, dividindo ambos os membros da igualdade por dx, obtemos: 
𝑑𝐹
𝑑𝑥
=
𝑑𝑀
𝐼
𝑄
𝑑𝑥
 
Finalmente, lembrando que 
𝑑𝑀
𝑑𝑥
= 𝑉, chegamos a: 𝑞 =
𝑉∙𝑄
𝐼
 
Nesta expressão, 𝑄 = ∫ 𝑦 𝑑𝐴′
𝐴′
= 𝑦′ ∙ 𝐴′, em que A' é a área da seção transversal do segmento 
acoplado à viga na junção onde o fluxo de cisalhamento deve ser calculado e y' é a distância do eixo 
neutro ao centroide de A'. 
É muito importante identificar corretamente o valor adequado de Q na determinação do fluxo de 
cisalhamento em uma junção particular da seção transversal. 
Como exemplo, considere as seções transversais das vigas mostradas na figura abaixo, nas quais as 
partes constituintes sombreadas estão presas às vigas por elementos de fixação (pregos). 
 
Nos planos da conexão, o fluxo de cisalhamento necessário q é determinado usando-se um valor de Q 
calculado a partir de A’ e y’ indicados em cada figura. 
Observe que esse valor de q encontrará a resistência de um único elemento de fixação nas figuras (a) e 
(b), de dois elementos de fixação na figura (c) e de três elementos de fixação na figura (d). Em outras 
palavras, o elemento de fixação nas figuras (a) e (b) suporta o valor calculado de q e, nas figuras (c) e (d), 
cada elemento de fixação suporta q/2 e q/3, respectivamente. 
 
7.5 FLUXO DE CISALHAMENTO EM BARRAS DE PAREDES FINAS 
 
A determinação da distribuição do fluxo de cisalhamento pela área da seção 
transversal de um elemento é importante em aplicações de projetos 
estruturais e mecânicos. Aqui, consideraremos que o elemento tem paredes 
finas, isto é, a espessura da parede é pequena em comparação com a altura 
ou largura do elemento, como mostrado ao lado. 
Já sabemos que o fluxo de cisalhamento é 𝑞 =
𝑉∙𝑄
𝐼
 , ou seja, a variação de fluxo de cisalhamento ao 
longo da seção depende apenas da variação do momento estático. 
Em particular, q variará linearmente ao longo dos segmentos (mesas ou abas) perpendiculares à direção 
de V e parabolicamente ao longo de segmentos (alma) inclinados ou paralelos em relação a V. 
Além disso, sabemos que a tensão de cisalhamento é: 𝜏 =
𝑉∙𝑄
𝐼∙𝑡
. 
Portanto: 𝜏 =
𝑞
𝑡
 ⟹ 𝑞 = 𝜏 ∙ 𝑡 
Dois outros pontos importantes devem ser observados: 
 o fluxo de cisalhamento q sempre age paralelamente às paredes do elemento, visto que a seção na 
qual q é calculado é tomada perpendicularmente às paredes. 
 o sentido de q é tal que o cisalhamento parece "fluir" pela seção transversal, para dentro na aba 
superior da viga, "combinando-se" e, então, "fluindo" para baixo pela alma, uma vez que deve contribuir 
para a força de cisalhamento V, e, então, separando-se e "fluindo" para fora na aba inferior. 
Resistência dos Materiais II CCE0330 57 
 
Para uma viga caixão, como a mostrada na figura ao lado, q 
cresce continuamente desde zero em A até um valor máximo 
em C e C' na linha neutra, e depois decresce de volta a zero 
em E. 
O sentido de q nas partes horizontais da seção pode ser 
facilmente obtido pelo seu sentido nas partes verticais ou 
sentido da força cortante V. 
 
Para uma viga de mesa larga, mostrada na figura ao lado, o 
fluxo de cisalhamento cresce simetricamente desde zero em 
A e A’ até um valor máximo em C, e depois decresce de volta 
a zero em E e E’. A continuidade da variação de q e a fusão 
de q a partir de ramos de seção sugerem uma analogia para 
o fluxo de fluido. 
 
Se conseguirmos "visualizar" esse "fluxo", teremos um meio fácil para definir não somente a direção e o 
sentido de q, mas também o sentidoo correspondente de τ. Outros exemplos do sentido que q toma ao 
longo de segmentos de elementos de paredes finas são mostrados na figura abaixo. 
 
Em todos os casos, a simetria prevalece em torno de um eixo colinear com V; o resultado é que q "flui" 
em uma direção tal que dará as componentes necessárias da força vertical equivalentes a V e ainda 
satisfará os requisitos do equilíbrio da força horizontal para a seção transversal. 
 
7.6 CENTRO DE CISALHAMENTO PARA SEÇÕES TRANSVERSAIS ABERTAS 
 
Vamos agora analisar o efeito da aplicação do cisalhamento ao longo de um eixo principal do centroide 
que não é um eixo de simetria para uma seção transversal aberta. Como antes, só analisaremos 
elementos com paredes finas, portanto, usaremos as dimensões até a linha central das paredes dos 
elementos. 
Um exemplo típico desse caso é a seção do perfil em U 
(canal) mostrada na figura ao lado, que tem uma 
extremidade engastada e a outra em balanço e é submetida 
a uma força P. Se essa força for aplicada ao longo do eixo 
anteriormente vertical e assimétrico que passa pelo 
centroide C da área da seção transversal, o perfil não 
somente se curvará para baixo, mas também será torcido em 
sentido horário, como mostra a figura. 
Para impedir essa torção, é necessário aplicar P a um ponto 
O localizado à distância e da alma do perfil. 
O ponto O é denominado centro de cisalhamento ou centro 
de flexão. Quando P é aplicada no centro de cisalhamento, a 
viga sofrerá flexão sem torção. 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 58 
 
É importante ressaltar que o centro decisalhamento sempre estará localizado sobre um eixo de 
simetria da área da seção transversal de um elemento e depende somente da geometria dessa seção. 
Os manuais de projeto costumam apresentar listas com a localização desse ponto para vários tipos de 
vigas com seções transversais de paredes finas comumente utilizadas na prática. 
 
Exercícios – Série 14 
1. Uma viga caixão quadrada é construída a partir de 
quatro tábuas, como mostrado na figura ao lado. Sabendo 
que o espaçamento entre os pregos é de 45 mm e a viga 
está submetida a um cisalhamento vertical de magnitude 
V = 2,7 kN, determine a força cortante em cada prego. 
 
2. A viga é construída com duas tábuas presas uma à outra 
na parte superior e na parte inferior por duas fileiras de 
pregos espaçados de 150 mm. Se uma força de 
cisalhamento interna V = 3 kN for aplicada às tábuas, 
determine a força de cisalhamento à qual cada prego 
resistirá. 
 
3. A viga é construída com duas tábuas presas uma à outra 
na parte superior e na parte inferior por duas fileiras de 
pregos espaçados de 150 mm. Se cada prego puder 
suportar uma força de cisalhamento de 2,5 kN, determine a 
força de cisalhamento máxima V que pode ser aplicada à 
viga. 
 
4. A viga é construída com cinco tábuas parafusadas 
como mostra a figura ao lado. Determine a força de 
cisalhamento máxima desenvolvida em cada parafuso 
se o espaço entre eles for s = 250 mm e o cisalhamento 
aplicado for V = 35 kN. 
 
5. A viga é composta por quatro tábuas coladas como 
mostra a figura ao lado. Se for submetida a um 
cisalhamento V = 850 kN, determine o fluxo de 
cisalhamento em B e C ao qual a cola deve resistir. 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 59 
 
8. FLAMBAGEM DE COLUNAS 
 
8.1 INTRODUÇÃO 
 
Estruturas que suportam carregamentos podem falhar de várias formas, dependendo do tipo da 
estrutura, das condições de apoio, dos tipos de carregamentos e dos materiais usados. Por exemplo, um 
eixo em um veículo pode fraturar repentinamente devido a ciclos repetidos de carregamento ou uma 
viga pode defletir excessivamente, de forma que a estrutura fique incapaz de realizar suas funções 
desejadas. Esses tipos de falhas são prevenidos dimensionando-se as estruturas de forma que as 
tensões máximas e os deslocamentos máximos permaneçam dentro dos limites toleráveis. 
Outro tipo de falha é a flambagem. 
Vamos considerar especificamente a flambagem de 
colunas, que são membros longos e esbeltos carregados 
axialmente em compressão, como mostrado na figura ao 
lado. Se um membro em compressão for relativamente 
esbelto, ele pode defletir lateralmente e falhar por flexão, 
em vez de falhar por compressão direta do material. Esta 
deflexão lateral denomina-se flambagem e dizemos que a 
coluna flambou. Sob um carregamento axial crescente, as 
deflexões laterais irão aumentar também, e eventualmente 
a coluna irá romper completamente. 
No projeto de colunas a área da seção transversal é selecionada de modo que: 
 a tensão admissível não seja ultrapassada , isto é, 𝜎 =
𝑃
𝐴
≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚 ; 
 a deformação fique dentro das especificações, ou seja, 𝛿 =
𝑃𝐿
𝐴𝐸
≤ 𝛿𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑎 
Após estes cálculos, pode-se descobrir que a coluna é instável sob carregamento e que de repente se 
torna acentuadamente curva ou flamba. 
Neste instante, torna-se necessário estabelecer os diferentes tipos de equilíbrio Este conceito pode ser 
demonstrado muito facilmente, considerando-se o equilíbrio de uma bola sobre três superfícies 
diferentes., como mostrado a seguir: 
 
 
8.2 CARGA CRÍTICA 
 
A carga axial máxima que uma coluna pode suportar quando está 
na iminência de sofrer flambagem é denominada carga crítica, 
Pcr. Qualquer carga adicional provocará flambagem na coluna e, 
portanto, deflexão lateral, como mostrado na figura ao lado. 
Para entender o mecanismo dessa instabilidade, vamos 
considerar um mecanismo composto por duas barras sem peso, 
rígidas e conectadas por pinos nas extremidades, como mostrado 
na figura (a), a seguir. 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 60 
 
 
Quando as barras estão na posição vertical, a mola, de rigidez k, não está esticada e uma pequena força 
vertical P é aplicada ao topo de uma delas. Podemos perturbar essa posição de equilíbrio deslocando o 
pino em A até uma pequena distância Δ, como na figura (b). Visto que θ é pequeno, tg θ = θ e Δ = θ · 
𝐿
2
 . 
Como mostra o diagrama de corpo livre do pino, na figura (c), quando as barras são deslocadas, a mola 
produz uma força de recuperação F = k·Δ, enquanto a carga aplicada P desenvolve duas componentes 
horizontais, Px = P·tg θ, que tendem a empurrar o pino (e as barras) ainda mais para fora da posição de 
equilíbrio. 
Assim, a força de restauração da mola torna-se F = k· θ · 
𝐿
2
 , e a força perturbadora 2Px = 2·P·θ. 
Se a força de restauração for maior que a força perturbadora, isto é, 𝑘 ∙ 𝜃 ∙
𝐿
2
> 2 ∙ 𝑃 ∙ 𝜃, e observando 
que θ é cancelado, poderemos resolver P, o que dá: 𝑃 <
𝑘∙𝐿
4
 (equilíbrio estável) 
Essa é uma condição para equilíbrio estável, visto que a força desenvolvida pela mola seria adequada 
para devolver as barras às suas respectivas posições verticais. 
Por outro lado, se 𝑘 ∙ 𝜃 ∙
𝐿
2
< 2 ∙ 𝑃 ∙ 𝜃, então: 𝑃 >
𝑘∙𝐿
4
 (equilíbrio instável) 
Nesse caso, o mecanismo estaria em equilíbrio instável. Em outras palavras, se essa carga P for aplicada 
e ocorrer um leve deslocamento em A, o mecanismo tenderá a sair do equilíbrio e não retornar à sua 
posição original. 
O valor intermediário de P, definido pelo requisito 𝑘 ∙ 𝜃 ∙
𝐿
2
= 2 ∙ 𝑃 ∙ 𝜃, é a carga crítica. 
Então, a carga crítica será: 𝑃cr =
𝑘∙𝐿
4
 (equilíbrio neutro) 
 
8.3 FÓRMULA DE EULER – COLUNA IDEAL COM APOIOS DE PINOS 
 
Vamos agora determinar a carga crítica de flambagem para uma coluna 
suportada por pinos, como mostra a figura ao lado. 
A coluna a ser considerada é uma coluna ideal, o que significa uma coluna 
perfeitamente reta antes da carga, feita de material homogêneo e na qual a 
carga é aplicada no centroide da seção transversal. Consideramos ainda que o 
material comporta-se de uma maneira linear elástica e que a coluna sofre 
flambagem ou flexão em um único plano. 
A carga crítica para uma coluna ideal é conhecida como a carga de flambagem de 
Euler, devido ao famoso matemático suíço Leonhard Euler (1707- 1783), que foi 
o primeiro a estabelecer uma teoria de flambagem para colunas. 
De acordo com Euler, a carga P que provoca flambagem é: 𝑃 =
𝑛2∙𝜋2∙𝐸∙𝐼
𝐿2
 , com n = 1, 2, 3, ... 
O menor valor de P é obtido quando n = 1, de modo que a carga crítica para a coluna é, portanto: 
 
 𝑃cr =
𝜋2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼
𝐿2
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 61 
 
Observe que, nessas condições, a flambagem estará na iminência de ocorrer em torno do eixo no qual o 
momento de inércia I assume o menor valor. 
Para a finalidade de projeto, a equação anterior também pode ser escrita de uma forma mais útil, se 
expressarmos I = A·r2, onde A é a área da seção transversal e r o raio de giração da área da seção 
transversal. 
Assim: 𝑃cr =
𝜋2∙𝐸∙(𝐴∙𝑟2)
𝐿2
 ⟹ (
𝑃
𝐴
)
cr
=
𝜋2∙𝐸
(𝐿/𝑟)2
 ⟹ 𝜎cr =
𝑃cr
𝐴
=
𝜋2∙𝐸
(𝐿/𝑟)2
 , em que 𝑟 = √𝐼/𝐴 
A relação geométrica L/r nessa equação é conhecida como índice de esbeltez, uma medida da 
flexibilidade da coluna e usado para classificar colunas como compridas, intermediárias ou curtas. 
Além disso, a equação de Euler só poderá ser usada se a tensão crítica for menor do que a tensão de 
escoamento do material. 
 
8.4 COLUNAS COM VÁRIOS TIPOS DE APOIO 
 
As equações que fornecem Pcr e σcr, do item anterior, são válidas para uma coluna com extremidades 
acopladas por pinos. 
Entretanto, sea coluna for apoiada de outros modos, então a fórmula de Euler poderá ser usada para 
determinar a carga crítica, desde que “L” represente a distância entre pontos de momento nulo. Essa 
distância é denominada comprimento efetivo da coluna, Le. 
Em vez de especificar o comprimento efetivo da coluna, muitos códigos e manuais de projeto dão 
fórmulas de colunas que empregam um coeficiente adimensional K denominado fator de comprimento 
efetivo. Este fator é definido por: 𝐿𝑒 = 𝐾 ∙ 𝐿 
A figura abaixo mostra colunas com vários tipos de apoio e o fator de comprimento efetivo a ser usado 
em cada caso. 
 
 
Para estes casos, as equações anteriores tornam-se: 𝑃cr =
𝜋2∙𝐸∙𝐼
(𝐾∙𝐿)2
 e 𝜎cr ==
𝜋2∙𝐸
(𝐾∙𝐿/𝑟)2
 
 
 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 62 
 
Exercícios – Série 15 
1. A coluna é composta por um elemento 
estrutural rígido preso por um pino na base e 
acoplado a uma mola no topo. Se a mola não 
estiver esticada quando a coluna estiver em 
posição vertical, determine a carga crítica que 
pode ser aplicada à coluna. 
 
 
2. Um tubo ele aço A-36, E = 200 GPa, com 7,2 m de comprimento 
e a seção transversal mostrada na figura ao lado deve ser usado 
como uma coluna presa por pinos na extremidade. Determine a 
carga axial admissível máxima que a coluna pode suportar sem 
sofrer flambagem. 
 
 
3. Uma coluna de aço A-36 (E = 200 GPa; σe = 250 
MPa) tem comprimento de 4 m e está presa por 
pinos em ambas as extremidades. Se a área da 
seção transversal tiver as dimensões mostradas na 
figura, determine a carga crítica. 
 
 
4. O elemento estrutural W200 x 46 de aço A-36 mostrado na 
figura ao lado deve ser usado como uma coluna acoplada por 
pinos. Determine a maior carga axial que ele pode suportar antes 
ele começar a sofrer tlambagem ou antes que o aço escoe. 
Considere que, para este elemento: E = 200 GPa; (σe)aço = 250 MPa; 
A = 5.890 mm2; Ix = 45,5·10
6 mm4 e Iy = 15,3·10
6 mm4. 
 
 
5. Resolva o Exercício 3 considerando que a coluna é engastada na base e presa por pinos no topo. 
 
 
 
 
 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 63 
 
9. REVISÃO GERAL 
 
 Propriedades geométricas de áreas 
 Centroide de uma superfície: �̅� ∙ 𝐴 = ∑ 𝑥 ∙ ∆𝐴 e �̅� ∙ 𝐴 = ∑ 𝑦 ∙ ∆𝐴 
 
 Momento de 1ª ordem: 𝑄𝑦 = �̅� ∙ 𝐴 𝑄𝑥 = �̅� ∙ 𝐴 
 
 Momento de inércia: 𝐼𝑥 = ∫ 𝑦
2𝑑𝐴 
𝐴
 𝐼𝑦 = ∫ 𝑥
2𝑑𝐴 
𝐴
 
 
 Momento de inércia polar: 𝐽𝑂 = ∫ 𝑟
2𝑑𝐴 
𝐴
= 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 
 
 Teorema dos eixos paralelos: 𝐼𝑥 = 𝐼�̅�′ + 𝐴 ∙ 𝑑𝑦
2 e 𝐽𝑂 = 𝐽�̅� + 𝐴𝑑
2 
 
 Carregamento axial 
 Deformações mecânicas: 𝛿 =
𝑃∙𝐿
𝐴∙𝐸
 e 𝛿 = ∑
𝑃𝑖∙𝐿𝑖
𝐸∙𝐴𝑖
𝑖 
 
 Deformação térmica: ∆𝐿 = 𝛼 ∙ 𝐿0 ∙ ∆𝑇 
 
 Torção 
 Tensão de cisalhamento máxima: 𝜏máx =
𝑇∙𝑐
𝐽
 
 
 Potência transmitida: 𝑃 = 𝑇 ∙ 𝜔 
 
 Ângulo de torção: 𝜙 =
𝑇∙𝐿
𝐺∙𝐽
 e 𝜙 = ∑
𝑇𝑖∙𝐿𝑖
𝐺∙𝐽𝑖
𝑖 
 
 Flexão 
 Tensão máxima na flexão normal pura: 𝜎𝑚á𝑥 =
𝑀∙𝑐
𝐼
 
 
 Tensão na flexão oblíqua pura: 𝜎 = −
𝑀𝑧∙𝑦
𝐼𝑧
+
𝑀𝑦∙𝑧
𝐼𝑦
 
 
 Tensão na flexão normal composta: 𝜎𝑥 =
𝑃
𝐴
±
𝑀∙𝑦
𝐼
 
 
 Cisalhamento transversal 
 Tensão de cisalhamento: 𝜏 =
𝑉∙𝑄
𝐼∙𝑡
 
 
 Fluxo de cisalhamento: 𝑞 =
𝑉∙𝑄
𝐼
 
 
 Flambagem de coluna 
 Carga crítica (Fórmula de Euler): 𝑃cr =
𝜋2∙𝐸∙𝐼
(𝐾∙𝐿)2
 (válida quando 𝜎cr =
𝑃cr
𝐴
< 𝜎𝑒) 
 
 
 
 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 64 
 
Exercícios – Série 16 
1. Para a área da figura ao lado, determine: 
a) a posição do centroide 
b) o momento em relação ao eixo centroidal x’. 
 
 
2. O elemento AC mostrado na figura ao lado está 
submetido a uma força vertical de 3 kN. Determine a 
posição x dessa força de modo que a tensão de 
compressão média no apoio liso C seja igual à tensão de 
tração média na barra AB. A área da seção transversal da 
barra é 400 mm2 e a área em C é 650 mm2. 
 
3. Uma barra de aço A-36 (E = 200 GPa; 𝛼 = 12·10‒6 °C‒1), mostrada 
na figura ao lado, está restringida para caber exatamente entre os 
dois suportes fixos quando a temperatura é 30 °C. Se a 
temperatura aumentar para 60 °C, determine a tensão térmica 
normal média desenvolvida na barra. 
A
B
10mm
10mm
1 m
 
 
4. Um eixo maciço de aço AB mostrado na figura ao lado será 
usado para transmitir 3.750 W do motor M ao qual está 
acoplado. Se o eixo girar a ω = 175 rpm e o aço tiver uma 
tensão de cisalhamento admissível τ = 100 MPa, determine o 
diâmetro exigido para o eixo com precisão de mm. 
 
 
5. Para a viga da figura ao lado, determine o esforço cortante 
e o momento fletor como uma função de x, e depois 
construa os diagramas de esforço cortante e de momento 
fletor. 
 
 
6. Um elemento com as dimensões mostradas na figura 
deverá ser usado para resistir a um momento fletor interno 
M = 2 kN·m. Determine a tensão máxima no elemento se o 
momento for aplicado: 
a) em torno do eixo z; 
b) em torno do eixo y. 
 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 65 
 
7. O suporte de aço é usado para ligar as 
extremidades de dois cabos. Se a tensão normal 
admissível para o aço for σadm = 168 MPa, 
determine a maior força de tração P que pode ser 
aplicada aos cabos. O suporte tem espessura de 
12 mm e largura de 18 mm. 
 
8. A viga mostrada na figura ao lado tem seção transversal 
retangular e é feita de madeira com tensão de cisalhamento 
admissível τadm = 11,2 MPa. Se for submetida a um 
cisalhamento V = 20 kN, determine a menor dimensão a de 
sua parte inferior e 1,5a de seus lados. 
 
 
 
Respostas 
 
Série 1 
 
1. Solução: 
Sabemos que: �̅� ∙ 𝐴 = ∫ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴 
A área A do triângulo é dada por: 𝐴 =
𝑏∙ℎ
2
 
Resta calcular a integral ∫ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴 = 𝑄𝑥 
Para isto, vamos considerar a área elementar destacada na figura ao 
lado. 
Temos: dA = x·dy (área de um pequeno retângulo) 
O valor de x, base do retângulo, pode ser escrita a partir de uma relação 
de semelhança de triângulos: 
𝑥
𝑏
=
ℎ−𝑦
ℎ
 ⟹ 𝑥 = 𝑏 (
ℎ−𝑦
ℎ
) 
Então: 𝑑𝐴 = 𝑏 (
ℎ−𝑦
ℎ
) 𝑑𝑦 
A integral torna-se, então: 𝑄𝑥 = ∫ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴 = ∫ 𝑦 ∙ 𝑏 (
ℎ−𝑦
ℎ
) 𝑑𝑦
ℎ
0
 
y
y
dy
x
x
h
b
x
 
Resolvendo a integral, temos: 𝑄𝑥 =
𝑏
ℎ
∫ 𝑦 ∙ (ℎ − 𝑦)𝑑𝑦
ℎ
0
=
𝑏
ℎ
∫ (𝑦 ∙ ℎ − 𝑦2)𝑑𝑦
ℎ
0
=
𝑏
ℎ
(
ℎ3
2
−
ℎ3
3
) =
𝑏∙ℎ2
6
 
Portanto: �̅� ∙ 𝐴 = ∫ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴 ⟹ �̅� ∙
𝑏∙ℎ
2
=
𝑏∙ℎ2
6
 ⟹ �̅� =
ℎ
3
 
Importante: Este resultado é válido para qualquer triângulo. Ele indica que o centroide está localizado a 
um terço da altura, medida a partir da base do triângulo. 
 
2. 𝑄𝑥 =
𝑏∙ℎ2
2
; 𝑄𝑦 =
ℎ∙𝑏2
2
 
 
3. �̅� = 81,8 mm; �̅� = 104,5 mm 
 
4. �̅� = 81,8 mm; �̅� = 70,4 mm 
 
5. �̅� = 110,5 mm; �̅� = 64,5 mm 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 66 
 
6. �̅� = 70 mm; �̅� = 60 mm 
 
7. �̅� = 33,8 mm; �̅� = 35,6 mm 
 
8. a) Qx = 506·10
3 mm3; Qy = 758·10
3 mm3; b) �̅� = 54,9 mm; �̅� = 36,7 mm 
 
9. xC = 0,16 cm; yC = 2,77 cm 
 
10. xC = −0,69 cm; yC = 1,37 cm 
 
11. xC = 1,5 cm; yC = −1,91 cm 
 
12. xC = −0,137 cm; yC = −1,137 cm 
 
13. xC = 1,53 cm; yC = 1,24 cm 
 
Série 2 
 
1. a) 𝐼�̅�′ = 
1
12
𝑏ℎ3; b) 𝐼𝑥𝑏 = 
1
3
𝑏ℎ3; c) 𝐽�̅� =
1
12
𝑏ℎ3 +
1
3
𝑏ℎ3 = 
1
12
𝑏ℎ(ℎ2 + 𝑏2) 
 
2. a) y = 8,55 cm; b) I = 646 cm4 
 
3. a) yc = 3,5 cm; b) Ix = 291 cm
4; Iy = 91 cm
4 
 
4. �̅� = 206,8 mm ; 𝐼�̅� = 222·10
6 mm4; 𝐼�̅� = 115·10
6 mm4 
 
5.�̅� = 5,7 cm; Ix = 855,3 cm
4; Iy = 163 cm
4 
 
6. C (1,5 cm, 1,0 cm); 𝐼�̅�′ = 4 cm
4; 𝐼�̅�′ = 8,5 cm
4 
 
7. Ix = 2,90·10
9 mm4; Iy = 5,60·10
9 mm4 
 
8. Ixy = ‒3,00·10
9 mm4 
 
Série 3 
 
1. 85,7 MPa 
 
2. Pmáx = 1833 kgf 
 
3. σA = σB = ‒ 64,0 kPa 
 
4. 13,08 cm 
 
5. 12,31 cm 
 
6. Pmáx = 2125 kgf 
 
7. x = 124 mm 
Resistência dos Materiais II CCE0330 67 
 
 
8. 622 kgf/cm2 
 
9. ∆𝐿 = 
𝑃∙𝐿
𝐴∙𝐸
 
 
10. 0,558 mm 
 
11. 0,00030 m + 0,00035 m + 0,00056 m = 0,00121 m = 1,21 mm 
 
12. 0,225 mm  
 
13. δA = −1,75 mm 
 
14. 0,3375 cm 
 
15. daço = 33,85 mm 
 
Série 4 
 
1. 13.317 km 
 
2. 𝜎 = −𝐸 ∙ 𝛼 ∙ ∆𝑇 
 
3. ‒72 MPa 
 
4. σAC = 240 MPa; σCB = 120 MPa 
 
5. s = 0,7425mm 
 
6. Do gráfico, obtemos K = 1,4 e Pmáx = 16,43 kN 
 
7. Do gráfico, obtemos K = 1,6 e σmáx = 640 MPa (o material permanece elástico, pois σmáx < σe); 
δA/D = 2,20 mm. 
 
Série 5 
 
1. T = 11,0 kN·m 
 
2. T = 0,87 kN⋅m; T’ = 0,70 kN·m 
 
3. 𝑇′ =
15
16
𝑇 ≅ 0,94 ∙ 𝑇 
 
4. τA = 1,89 MPa; τB = 0,377 MPa 
 
5. d = 22 mm 
 
6. f = 26,6 Hz 
 
7. d = 20 mm 
Resistência dos Materiais II CCE0330 68 
 
 
8. τmáx = 1,75 MPa 
 
9. τmáxAB = 1,038 MPa; τmáxBC = 3,113 MPa 
 
Série 6 
 
1. 
 
 
2. τmáx = 44,31 Mpa; φ = 11,946° 
 
3. di = 201,3 mm; φ = 3,30° 
 
4. φA/D = 0,879° 
 
5. φB/C = 0,0646° 
 
6. φ = 5,739° 
 
Série 7 
 
1. TA = ‒ 345 N·m e TB = 645 N·m 
 
2. τACmáx = 8,15 MPa; τBCmáx = 4,07 MPa 
 
3. τmáx = 232,30 MPa 
 
4. τACmáx = 9,55 MPa; τBCmáx = 6,37 MPa 
 
5. Pmáx = 2717 N 
 
6. τmáx = 3,21 MPa 
 
7. (T0)máx = 150 N·m 
 
8. T = 24,12 N·m; T = 33,10 N·m 
 
Série 8 
 
1. 𝜏𝑚é𝑑 =
𝑇
2∙𝜋∙𝑡∙𝑟𝑚
2 ; 𝜙 =
𝑇∙𝐿
2∙𝜋∙𝑟𝑚
3 ∙𝐺∙𝑡
 
 
2. τA = 1,7 N/mm
2; φ = 3,92·10‒3 rad 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 69 
 
3. τA = 1,75 MPa; τB = 2,92 MPa; φ = 6,29·10
‒3 rad 
 
4. T = 500 N·m 
 
5. (τc)máx = 4,23MPa ; (τq)máx = 5,74MPa ; φc = 0,0689° ; φq = 0,0778° 
 
6. T = 0,0820 N·m; φ = 25,49 rad 
 
Série 9 
 
1. À esquerda: NB = 0; VB = 5 kN; MB = 15 kN·m. À direita: NC = 0; VC = ‒1 kN; MC = 15 kN·m 
 
2. NC = 0; VC = 1,25 kN; MC = 18,75 kN·m 
 
3. NC = 0; VC = 5 kN; MC = ‒22,5 kN·m 
 
4. 
 
 
5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 70 
 
6. 
 
 
7. 
 
 
8. 
 
 
9. V = 6 kN; M = (6x ‒ 18) kN·m 
 
10. V = ‒ 30·x kN; M = (25 ‒ 15·x2) kN·m 
 
Série 10 
 
1. σmáx = 12,7 MPa 
 
2. σmáx = 16,2 MPa 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 71 
 
3. b = 14,92 cm 
 
4. a) σmáx = 13,89 MPa; b) σmáx = 27,78 MPa 
 
5. σA = 381,97 MPa; σB = 270,09 MPa 
 
6. a) σmáx = 0,081 MPa; b) σmáx = 2,025 MPa; c) A peça de mármore vai quebrar quando apoiada como 
em (b). 
 
7. e = 27 mm 
 
8. a) Mz = 14,15 kN⋅m; b) My = 4,08 kN⋅m 
 
9. (σc)máx = 3,612 MPa e (σt)máx = 6,709 MPa 
 
10. σmáx = 111,38 MPa 
 
11. P = 1,67 kN 
 
12. q = 256 kgf/m 
 
13. σt = 833 kgf/cm
2 (em x = 2 m) e σc = 1042 kgf/cm
2 (em x = 5 m) 
 
Série 11 
 
1. σB = 2,25 MPa; σC = ‒4,95 MPa; σD = ‒2,25 MPa; σE = 4,95 MPa; α = ‒79,4° 
Ver abaixo: 
 
 
2. σB = ‒77,5 MPa (C); σD = 77,5 MPa (T); α = ‒36.87° 
 
3. σA = 2,903 MPa (T); σB = −2,903 MPa (C); α = −66,59° 
 
4. σA = 21,97 MPa (T); α = −63,91° 
 
5. σA = −1,298 MPa (C); σB = 0,587 MPa (T); α = −3,74° 
 
 
 
 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 72 
 
Série 12 
 
1. 
6,25 MPa 9,36 MPa
3,11 MPa
15,61 MPa
 y0 = ‒26,67 cm 
 
2. σA = 70,98 MPa (T); σB = 80,24 MPa (C) 
 
3. P = 1,756 kN 
 
4. σmáx = 239,2 MPa 
 
5. 
 
Para a carga combinada: e = 0,0667 m e h = 0,133 m 
 
Série 13 
 
1. a) τP = 0,346 MPa; b) τmáx = 0,360 MPa 
 
2. a = 42,26 mm 
 
3. τmáx = 0,320 MPa 
 
4. d = 300 mm 
 
Série 14 
 
1. F = 369 N 
 
2. F = 3,37 kN 
 
3. Vmáx = 2,222 kN 
 
4. F = 5.31 kN 
 
5. qB = 1,31 MN/m e qC = 0,0498 MN/m 
 
 
 
 
Resistência dos Materiais II CCE0330 73 
 
Série 15 
 
1. Pcr = k·L 
 
2. Pcr = 228,2 kN 
 
3. Pcr = 22,7 kN 
 
4. P = 1.472,5 kN 
 
5. Pcr = 46.4 kN 
 
Série 16 
 
1. a) xC = 0,0; yC = 8,55 cm; b) Ix’ = 646 cm
4 
 
2. x = 124 mm 
 
3. ‒72 MPa 
 
4. d = 22 mm 
 
5. V = 6 kN; M = (6x ‒ 18) kN·m 
 
6. a) σmáx = 13,89 MPa; b) σmáx = 27,78 MPa 
 
7. P = 1,756 kN 
 
8. a = 42,26 mm