aula 03- regra de sociedade

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3ºAula
Regra de sociedade
É uma aplicação da divisão em partes 
diretamente proporcionais. Quando duas os mais 
pessoas se reúnem com intuito de constituir uma 
empresa, nem sempre elas entram com capitais 
iguais, ou pelo mesmo período de tempo. Portanto, 
quando os lucros são auferidos na empresa, é natural 
se esses sejam divididos em partes diretamente 
proporcionais aos capitais investidos. 
Segundo o Dicionário Eletrônico Aurélio – 
Sociedade s. f. Reunião de pessoas unidas pela origem 
ou por leis. União de pessoas ligadas por ideias ou 
por algum interesse comum. Trato; convivência. 
Associação. Solidariedade de interesses. Parceria. 
Sociedade anônima: empresa que tem o capital 
dividido em ações. 
Boa aula!
Matemática Financeira I
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Objetivos de aprendizagem
1- Regra de sociedade
Ao término desta aula, vocês serão capazes de:
• entender que a resolução de uma regra de 
sociedade é uma aplicação de divisão em partes 
proporcionais;
• calcular o valor dos lucros devidos a cada um 
dos sócios, segundo o capital e o tempo investido 
na sociedade.
Seções de estudo
1 - Regra de sociedade
Quando duas ou mais pessoas se juntam, 
formando uma sociedade numa atividade com fins 
lucrativos, é justo que os lucros ou prejuízos, sejam 
divididos entre elas, proporcionalmente ao capital 
que cada uma empregou e ao tempo que o capital 
esteve empregado. 
Na resolução de situações-problema dessa 
natureza, usa-se a chamada regra de sociedade, que 
consiste em dividir a quantia considerada em partes 
diretamente proporcionais ao capital empregado, 
ao tempo de aplicação ou a outras grandezas. 
É, portanto, uma das aplicações da divisão 
proporcional, que tem como objeto a divisão dos 
lucros ou dos prejuízos entre sócios que formam 
uma sociedade. Uma sociedade pode ser classificada 
em simples ou composta, dependendo dos capitais 
aplicados e dos períodos de tempo de aplicação que 
podem ser iguais ou diferentes para cada sócio. 
1.1 Regra de sociedade simples
 
1º caso: Os capitais são iguais e aplicados 
durante o mesmo tempo: 
O lucro ou o prejuízo é dividido pelo número 
de sócios. 
Exemplo: 
1) Três sócios obtiveram um lucro de R$ 
222.600,00. Sabendo que seus capitais eram iguais 
qual a parte de cada um dos sócios? 
Neste caso, basta dividir o lucro pelo número 
de sócios. 
222600/3 = 74.200. Logo, a parte de cada sócio 
é de R$ 74 200,00. 
2) Três pessoas formaram uma sociedade, 
Pedro entrou com R$ 24.000,00; Manoel com R$ 
30.000,00 e Augusto com R$ 36.000,00. Depois 
de três meses tiveram um lucro de R$ 60.000,00. 
Calcule o lucro de cada sócio.
• Resolução:
Para cada sócio, a razão entre o lucro e o 
dinheiro investido é igual a razão entre o lucro total 
da sociedade e o total investido pela sociedade. 
Então: 
Assim, A/24000 = B/30000 = C/36000 = 2/3. 
Logo: 
A = R$ 24.000,00 . 2/3 = R$ 16.000,00; 
B = R$ 30.000,00 . 2/3 = R$ 20.000,00; 
C = R$ 36.000,00 . 2/3 = R$ 24.000,00. 
Temos ai um exemplo da aplicação de divisão 
em partes diretamente proporcionais.
2º caso: Os capitais são diferentes e empregados 
durante o mesmo tempo: 
Neste caso, dividimos o lucro ou o prejuízo em 
parte diretamente proporcional aos capitais dos sócios. 
 Exemplo: 
Por ocasião do balanço anual de uma firma 
comercial, formada por três sócios, verificou-se um 
prejuízo de R$ 27.000. Qual a parte correspondente 
a cada sócio se os seus capitais são de R$ 54 000, R$ 
45 000 e R$ 36 000. 
•Resolução:
Temos, então:
x + y + z = 27.000 (vamos aplicar a regra de 
divisão proporcional) 
x =54000p 
y =45000p
z = 36000p
 A = B = C = A+B+C = 60000 = 2
24000 30000 36000 90000 90000 3
 x = y = z 
54000 45000 36000
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Então, 54000p + 45000p + 36000p = 27.000 
então 135000p = 27000 que p = 27000/135000 
então p = 0,2 agora calculando o valor do prejuízo 
de cada sócio: 
x = 10.800
y = 9.000
z = 7.200 
Logo, o prejuízo correspondente a cada sócio é, 
respectivamente, de: R$ 10 800, R$ 9 000 e R$ 7 200. 
3º caso: Os capitais são iguais e empregados 
durante tempos diferentes: 
Os lucros e os prejuízos são divididos em partes 
diretamente proporcionais aos períodos de tempo 
em que os capitais ficaram investidos. 
Exemplo: 
Três amigos, A, B e C, juntaram-se numa 
sociedade com idêntica participação no capital 
inicial. A deixou seu capital durante 4 meses, B por 
6 meses e C por 3 meses e meio. Sabendo que, ao 
final de um ano, houve um lucro de R$ 162 000, 00, 
como dividir essa quantia entre os três? 
Como os capitais de abertura foram iguais, basta 
dividir o lucro em partes proporcionais ao tempo. 
Para facilitar os cálculos vamos transformar o 
tempo de dias para meses.
Não precisa dividir o tempo em dias pode 
deixar em meses mesmo (se quiser): 
A - 4 meses, então tem direito a 4p (4 partes 
da proporção) 
B - 6 meses, então tem direito a 6p (6 partes 
da proporção)
C - 3,5 meses, então tem direito a 3,5p ( 3,5partes 
da proporção)
A + B + C = 162.000 temos então 
4p + 6p + 3,5p = 162.000
13,5p = 162.000 então p = 162.000/13,5 então 
p = 12000
 A = B = C 
 120 180 105
 A = B = C 
 4 6 3,5
Agora: 
A = 4 . 12000 = 48000
B = 6 . 12000 = 72000
C = 3,5 . 12000= 42.000
Finalmente: 
A + B + C = 162.000
A = 48 00 B = 72 000 C = 42 000 
1.2 Regra de sociedade 
composta 
Na sociedade composta, tanto os capitais 
quanto os períodos de investimento são diferentes 
para cada sócio. Trata-se, portanto, de dividir os 
lucros ou os prejuízos em partes diretamente 
proporcionais, tanto ao capital quanto ao período 
de investimento. 
Então: 
Quando os capitais e os períodos de tempo 
forem diferentes, os lucros ou os prejuízos serão 
divididos em parte diretamente proporcionais 
ao produto dos capitais pelos períodos de 
tempo respectivos. 
É uma divisão proporcional composta.
Exemplo: 
Uma sociedade teve um lucro de R$ 11 700,00. 
O primeiro sócio entrou com R$ 1 500,00 durante 5 
meses, e o outro, com R$ 2 000,00 durante 6 meses. 
Qual foi o lucro de cada um? 
 
x = 7.500p e y = 12.000p, temos que x + y = 
11.700 então 
7.500p + 12.000p = 11.700 assim 19500p = 
11700 calculando o valor de 
p = 11700/19500, então p = 0,6 logo :
x = 4.500
y = 7 200 
Tempos diferentes e capitais diferentes 
Divide-se o lucro ou prejuízo da sociedade 
proporcionalmente aos produtos do tempo pelo 
capital, respectivo de cada sócio. 
 x = y e x + y = 11.700
1500 . 5 2000 . 5
Matemática Financeira I
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Exemplo: 
1) Três pessoas formam uma sociedade em 
que o primeiro entrou com o capital de R$ 3.000,00; 
o segundo com R$ 2.000,00 e o terceiro com R$ 
5.000,00. O primeiro permaneceu 12 meses na 
sociedade; o segundo 9 meses e o terceiro 4 meses. 
Qual foi o lucro de cada um, se o lucro total da 
sociedade foi de R$ 3.700,00?
• Resolução: 
Veja que o lucro será dividido pelo produto do 
capital empregado pelo tempo então:
1º sócio: 3.000,00 . 12 = 36.000,00 
2º sócio: 2.000,00 . 9 = 18.000,00 
3º sócio: 5.000,00 . 4 = 20.000,00
 
Temos que x + y + z = 3700
Podemos aplicar a seguinte propriedade. 
Logo: 
x = R$ 36.000,00 . 0,05 = R$ 1800 ; 
y = R$ 18.000,00 . 0,05 = R$ 900,00 ; 
z = R$ 20.000,00 . 0,05 = R$ 1.000,00. 
Portanto cada sócio recebeu 1800; 900, 
1000 respectivamente.
 x + y + z = 3700 = 0,05 
 74000 74000
Retomando a aula
Chegamos, assim, ao fi nal da terceira aula. 
Espera-se que agora tenha fi cado mais claro 
o entendimento de vocês sobre o conceito 
de porcentagens e suas aplicações. Vamos, 
então, recordar:
1 - Regra de sociedade 
Quando há um sociedade formadao assunto 
dinheiro ou qualquer negociação, compra, venda 
investimentos, lucros ou prejuízos sempre estão 
associados a uma divisão proporcional, ao 
investimento de cada um dos sócios. Note então, 
que a regra e uma aplicação do conceito de divisão 
proporcional. Daí a importância do conhecimento 
para manipular dados inerentes a situação financeira 
de uma empresa.
NETO, Alexandre Assaf. Matemática Financeira 
e Suas Aplicações. Editora ATLAS, 2009.
AYRES JÚNIOR, F. Matemática financeira: 
resumo da teoria, 500 problemas resolvidos. São 
Paulo: Mc Graw-Hill, 1981.
www.juliobattisti.com.br
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