plano de aula pirâmides ENEM

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Serviço Público Federal 
Ministério da Educação 
Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica 
Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul 
Campus Caxias do Sul 
 
Plano de Aula – Pirâmides – Revisão ENEM 
 
Disciplina: Matemática. 
Professores: Luis Correa e Darília Indart. 
Público alvo: alunos do 3º/4º ano do ensino médio. 
Período previsto para execução: 120 minutos. 
 
Metodologias utilizadas: A metodologia utilizada é a expositiva dialogada. Está, se dá 
com a exposição oral do conteúdo por parte do professor e com a participação ativa dos 
estudantes, cujo conhecimento prévio será considerado. 
 
Recursos utilizados: Quadro, giz e folha com atividades do ENEM. 
 
Objetivos: 
- Analisar uma pirâmide e identificar seus elementos: base, altura, arestas, apótemas e 
superfícies, para que os alunos relembrem os conteúdos já vistos no ensino médio. 
- Diferenciar os tipos de pirâmides: triangular, quadrangular, pentagonal e hexagonal, 
para fixação de conteúdos. 
- Calcular área e volume de uma pirâmide, com o intuito de que os estudantes realizem o 
Exame Nacional do Ensino Médio com maior clareza no que diz respeito à pirâmides. 
 
Conceito: Geometria espacial. 
Conteúdos: Cálculo de área e volume de uma pirâmide, bem como seus elementos e 
classificações. 
 
 
 
Desenvolvimento da aula: 
 
Será solicitado previamente a chave da sala da aula para os professores ocuparem 
o quadro com antecedência, buscando maximizar o tempo da aula propriamente dita. 
Iniciaremos o encontro questionando aos alunos como é o formato de uma pirâmide e se 
eles lembram da definição. Segundo José e Osvaldo (2013), a definição de pirâmide é 
“Considerando um polígono convexo ABC…MN situado num plano α e um ponto V fora 
de α. Chame-se Pirâmide à reunião dos segmentos com uma extremidade em V e a outra 
nos pontos do polígono. V é o vértice da pirâmide e o polígono formado por ABC…MN 
é a base da pirâmide”. Nessa mesma pirâmide, podemos visualizar a altura h, e suas faces 
laterais. Ainda nessa pirâmide, localizaremos, e se espera que os alunos lembrem, sobre 
a aresta da base e a aresta lateral. 
 
 No que diz respeito a pirâmide regular, que será o segundo tópico abordado, se 
espera que os alunos lembrem da definição que é “Uma pirâmide regular é uma pirâmide 
reta cuja base é uma região poligonal limitada por um polígono regular” (medidas e 
arestas iguais e a projeção do ponto V no plano é o centro da pirâmide). 
 
 Referente a classificação das pirâmides, temos: Triangular, que sua base é um 
triângulo, composta de quatro faces: três faces laterais e a face da base; Quadrangular, 
onde sua base é um quadrado, composta de cinco faces: quatro faces laterais e a face da 
base; Pentagonal sua base é um pentágono, composta de seis faces: cinco faces laterais e 
a face da base e Hexagonal, que sua base é um hexágono, composta de sete faces: seis 
faces laterais e face da base. E assim sucessivamente. (Para ser regular deve se ter os 
lados iguais). 
 
 Em toda pirâmide regular devemos destacar quatro importantes triângulos 
retângulo nos quais aparecem: A aresta da base (l), a aresta lateral (L1), o raio da base (r), 
o apótema da pirâmide (a), o apótema da base (a1) e altura h. Com isso, temos as seguintes 
relações, conforme a figura 1: 
 
 
 
Figura 1 – livro do DANTE, Matemática, Contexto e aplicações, possíveis relações de Pitágoras na pirâmide. 
 
Tetraedro regular: é um tetraedro que tem as seis arestas congruentes entre si e as quatro 
faces triangulares congruentes e equiláteras. 
 
Referente a área e volume de uma pirâmide, temos: 
Área da superfície de uma pirâmide: 
-Superfície lateral: é formada pelas faces laterais (triangulares). 
-Superfície total: é formada pelas faces laterais e pela base. 
-Área lateral: é a área da superfície lateral. 
-Área total: é a área da superfície total. 
 
-Volume de uma pirâmide: Área da base x altura / 3 
 
Por fim, resolveremos no quadro juntamente com os estudantes a questão 173 do ENEM 
2009: 
Questão 173 da prova do Enem 2009 (Foto: Reprodução/Enem) 
Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 
19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos da mesma 
altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, 
espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base 
inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, 
unindo-os, conforme a figura. 
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte 
superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele 
passará a gastar com parafina para fabricar uma vela? 
 
 
 
A - 156 cm3. 
B - 189 cm3. 
C - 192 cm3. 
D - 216 cm3. 
E - 540 cm3. 
 
Será reservado o tempo de 60 minutos para os alunos resolverem dez questões do 
ENEM referente ao conteúdo trabalho em aula. 
 
Avaliação: A avaliação se dará em dois momentos: primeiramente, será avaliada a 
participação e desempenho do aluno em sala de aula com as atividades propostas. Em um 
outro momento, será entregue aos alunos 10 questões do ENEM para resolverem. 
 
Referências: 
 
DANTE, Luiz Roberto: Matemática: Contexto & Aplicações. Volume 2. São Paulo. 
Editora Ática, 2011. 
DOLCE, Oswaldo e POMPEO, Jose Nicolau. Fundamentos de Matemática 
Elementar: Geometria espacial, posição e métrica. Volume 10. 6ª ed. São Paulo: 
Editora Atual, 2005. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 QUESTÕES DO ENEM SOBRE PIRÂMIDES: 
 
1-Questão 141 da prova do Enem 2012 (Foto: Reprodução/Enem) 
Maria quer inovar sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. 
Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas. 
 
Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações? 
A) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide. 
B) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide. 
C) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide. 
D) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma. 
E) Cilindro, prisma e tronco de cone. 
 
2-Questão 177 da prova do Enem 2009 (Foto: Reprodução/Enem) 
Um artesão construiu peças de artesanato interceptando uma pirâmide de base quadrada com um 
plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que poderia obter, ele concluiu que uma delas 
poderia ter uma das faces pentagonal. Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do 
artesão? 
A - Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a interseção de um plano com a 
pirâmide intercepta suas arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono de 4 lados. 
B - Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares e, quando um plano intercepta essa 
pirâmide, divide cada face em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 lados. 
C - Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de uma face com um plano é um 
segmento de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono obtido nessa interseção 
tem 5 lados. 
D - O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de uma pirâmide com um 
plano é igual ao número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 faces, o polígono tem 5 
lados. 
E - O número de lados de qualquer polígono obtido interceptando-se uma pirâmide por um plano 
é igual ao número de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide tem 4 arestas laterais, o 
polígono tem 4 lados. 
 
 
 
 
 
3-Questão 144 da prova do Enem 2011 (Foto: Reprodução/Enem) 
Uma indústria fabrica brindespromocionais em forma de pirâmide. A pirâmide é obtida a partir 
de quatro cortes em um sólido que tem a forma de um cubo. No esquema, estão indicados o sólido 
original (cubo) e a pirâmide obtida a partir dele. 
 
Os pontos A, B, C, D e O do cubo e da pirâmide são os mesmos. O ponto O é central na face 
superior do cubo. Os quatro cortes saem de O em direção às arestas AD, BC, AB e CD, nessa 
ordem. Após os cortes, são descartados quatro sólidos. 
Os formatos dos sólidos descartados são: 
A - todos iguais. 
B - todos diferentes. 
C - três iguais e um diferente. 
D - apenas dois iguais. 
E - iguais dois a dois. 
 
4- (Unirio) Uma pirâmide de base quadrada tem 18m de altura e 20m de apótema 
lateral. Calcule a área da base dessa pirâmide. A área da base é de: 
 
a) 304m² 
b) 204m² 
c) 314m² 
d) 340m² 
 
 
5- (IBGE – FGV 2016). Uma pirâmide regular é construída com um quadrado de 6 m de lado e 
quatro triângulos iguais ao da figura abaixo. 
 
 
 
O volume dessa pirâmide em m³ é aproximadamente: 
(A) 84; 
(B) 90; 
(C) 96; 
(D) 108; 
(E) 144. 
 
6. (CESGRANRIO) Uma pirâmide quadrangular regular tem todas as arestas iguais a x. O volume 
dessa pirâmide é: 
a) (x3 
2
)/3 
b) (x3 
2
)/6 
c) (x3 
3
)/2 
d) (x3 
3
)/6 
 e) x3 
 
7-Questão 173 da prova do Enem 2009 (Foto: Reprodução/Enem) 
Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de 
altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos da mesma altura — 3 
troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre 
eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com 
uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura. 
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que 
tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com 
parafina para fabricar uma vela? 
 
A - 156 cm3. 
B - 189 cm3. 
C - 192 cm3. 
D - 216 cm3. 
E - 540 cm3. 
 
 
 
8. (PUC) A base de uma pirâmide reta é um quadrado cujo lado mede 8√2cm. Se as arestas 
laterais da pirâmide medem 17 cm, o seu volume, em centímetros cúbicos, é: 
a) 520. 
b) 640. 
c) 680. 
d) 750. 
e) 780. 
 
 
9- (Ita) A razão entre a área da base de uma pirâmide regular de base quadrada e a área de uma 
das faces é 2. Sabendo que o volume da pirâmide é de 12m², temos que a altura da pirâmide mede 
(em metros): 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
10. (UNIRIO) Um prisma de altura H e uma pirâmide têm bases com a mesma área. Se o volume 
do prisma é a metade do volume da pirâmide, a altura da pirâmide é: 
a) H/6 
b) H/3 
c) 2H 
d) 3H 
e) 6H