Progressão Aritmética e Geométrica

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Índice 
 
1. Progressão Aritmética 2 
2. Progressão Geométrica 6 
3. Função do 1º Grau 11 
4. Conjuntos 18 
5. Princípio Multiplicativo e Permutações 29 
6. Probabilidade 41 
7. Gráfico Estatístico 42 
8. Estatística 46 
9. Geometria Analítica 50 
10. Geometria Plana 58 
11. Áreas 68 
12. Geometria Espacial 1 77 
13. Geometria Espacial 2 81 
14. Trigonometria 84 
15. Aritmética 94 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Progressão Aritmética 
 
Progressão Aritmética: P.A. 
 
Definição: 
Sequência numérica onde excetuando-se o primeiro e o último todos os termos são médias 
aritméticas dos seus vizinhos. 
 
Ex.: 
1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36. 
2
2616
21
2
2111
16
2
166
11
2
111
6








 
 
 
1. Nomenclatura. 
 
 
2. Razão de uma P.A. 
Constante formada a partir da diferença de um termo pelo seu antecessor. Ou seja: 
1 nn aar
 
Ex.: 
1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36. 
r = 6 -1 = 11 – 6 = 16 – 11 = ... 
 
 A Progressão Aritmética será crescente se, e somente, se r > 0. 
 
 A Progressão Aritmética será decrescente se, e somente, se r < 0; 
 
 A Progressão Aritmética será monótona ou constante se e somente se r = 0. 
 
 
3. Termo Geral de uma Progressão Aritmética. 
razãor
termoésimona
termoprimeiroa
n
:
:
:1

 
 
 
 
 
 
 
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Ex.: 
1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36. 
rnaa
a
a
a
a
a
n )1(
5.991
5.31
5.21
51
1
1
100
4
3
2
1






 
 
 
ATENÇÃO! 
Poderíamos utilizar como referência outro termo da progressão não sendo, necessariamente, o 
primeiro. 
Repare que: 
 
raa
rraa
rraa
raa
a
r
49
4950
4950
99
51100
1100
99
1100
1100
51






 
 
 
Utilizando o mesmo raciocínio, teríamos: 
raa
raa
raa
.60
.75
.90
40100
25100
10100



 
 
 
Portanto, poderíamos utilizar uma generalização do modelo numérico acima: 
yxp
Para
ryaa xp


:
.
 
 
 
4. Representação Prática de uma Progressão Aritmética. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 3 termos: x – r, x , x + r 
 
 5 termos: x-2r, x – r, x, x + r, x + 2r 
 
 7 termos: x – 3r, x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r, x + 3r 
 
 
 
5. Soma dos termos de uma Progressão Aritmética 
 
 
n
aa
Sn n .
2
1 
 
 
Observação: 
A soma dos termos equidistantes será constante. 
Ex.: 
1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36. 
1 + 36 = 6 + 31 = 11 + 26 = 16 + 21 = 37. 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
1. Calcule o 17º termo de uma PA cujo primeiro termo é 3 e cuja razão é 5. 
 
Solução: 
a1 = 3 e r = 5 , utilizando o termo geral, temos: 
a17 = a1+ 16r 
a17 = 3 + 16 . 5 
a17 = 83 
 
 
2. Determine a PA onde a5 = 15 e a8 = 21. 
 
Solução: 
Para determinar a PA precisamos achar a, e r. 
a5 = a1+ 4r = 15 
 
a8 = a1+ 7r = 21 
 
Resolvendo o sistema, temos: 
a1 = 7 e r = 2 
 
Logo, a PA é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(7,9,11,13, 15, ...) 
 
 
3. Qual é o primeiro termo negativo da PA (60, 53, 46,...)? 
 
Solução: 
an < 0 
a1 + (n - 1) r < 0 
60 + (n - 1) (-7) < 0 
n – 1 > 60/7 
n > 67/7  9,5 
 
 Como n tem que ser um número natural, o primeiro termo negativo será quando n = 10. 
 
a10 = 60 + (10 – 1) ( - 7) 
a10 = - 3 
 
4. Em uma PA de 3 termos, a soma deles vale 21 e o produto 231. Determine esta PA. 
Solução: 
 
x - r + x + x + r = 21 
3x = 21 
x=7 
(7 - r) . 7(7 + r) = 231 
(7 - r) (7 + r) = 33 
49 - r2 = 33 
r2 = 16 
r = ± 4 
Logo, temos: 
r = 4 ou r = -4 
 (3,7, 11) (11,7,3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Progressão Geométrica 
 
 
Definição: 
Sequência numérica onde excetuando-se o primeiro e o último todos os termos são médias 
geométricas dos seus vizinhos. 
Ex.: 
2, 6, 18, 54, 162, 486... 
486.54162
162.1854
54.618
18.26




 
 
1. Nomenclatura 
 
 
 
 
2. Razão de uma P.G. 
Constante formada a partir do quociente entre um termo e o seu antecessor. Ou seja: 
1

n
n
a
a
q
 
Ex.: 
2, 6, 18, 54, 162, 486... 
162
486
54
162
6
18
2
6
q
 
 
 
3. Termo Geral de uma Progressão Geométrica. 
 
Ex.: 
2, 6, 18, 54, 162, 486... 
razãoq
termoésimona
termoprimeiroa
n
:
:
:1

 
 
 
 
 
 
 
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1
1
99
100
3
4
2
3
2
1
.
3.2
3.2
3.2
3.2
2






n
n qaa
a
a
a
a
a
 
 
 
ATENÇÃO! 
Poderíamos utilizar como referência outro termo da progressão não sendo, necessariamente, o 
primeiro. 
Repare que: 
49
51100
4950
1100
99
1100
.
..
.
99
qaa
qqaa
qaa
q



 
 
Utilizando o mesmo raciocínio, teríamos: 
60
40100
75
25100
90
10100
.
.
qaa
qaa
qaa



 
 
Portanto, poderíamos utilizar uma generalização do modelo numérico acima: 
yxp
Para
qaa rxp


:
.
 
 
 
4. Representação Prática de uma Progressão Geométrica. 
 
 3 termos: 
xqx
q
x
,,
 
 
 5 termos: 
 x.qx.q,x,,
q
x
,
q
x 2
2
 
 
 
 
 
 
 
 
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 7 termos: 
 x.q,x.qx.q,x,,
q
x
,
q
x
, 32
23q
x
 
 
 
 
5. Soma dos termos de uma Progressão Geométrica Finita. 
 
1
1.1



q
qa
Sn n
n
 
1
. 1



q
aqa
Sn n
 
6. Soma dos termos de uma Progressão Geométrica Infinita e Decrescente. 
q
a
S


1
1
 
Observação: 
O produto dos termos equidistantes será constante. 
Ex.: 
2, 6, 18, 54, 162, 486... 
2.486 = 6.162 = 18.54 = 972Exercícios Resolvidos 
 
1. Obtenha o 10º termo da PG (1, 2, 4, 8, ...) 
 
 Solução: 
a1 = 1 
q = 2 
a10 = a1 . q9 = 1 . 29 
a10 = 512 
 
 
 
2. Em uma PG de termos positivos a3 = 45 e a5 = 405, calcule o primeiro termo e a razão 
desta sequência. 
 
Solução: 
a5 = a1 . q4 = 405 
a3 = a1 . q2 = 45 
 
 Dividindo uma pela outra, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
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4
1
2
1
405
45
a q
a q

 
q2 = 9 
 
(Como todos os termos são positivos) 
q=3 
 
 Substituindo em a3, temos: 
a1 . 32 = 45 
9a1 = 45 
a1 = 5 
 
 
 
3. Calcular a soma dos 10 termos iniciais da PG (1,3,9,27, ...) 
 
Solução: 
 
S10 =  101. 3 1 59049 1
29524
3 1 2
 
 

 
 
 
4. Calcular a soma dos termos da PG 
1 1 1
1, , , ,...
3 9 27
 
 
 
 
Solução: 
a1 = 1 
q = 
1
3
 
1 1 3
1 2 21
3 3
a
S   

 
 
 
5. Em uma PG de 3 termos, a soma deles vale 21 e o produto 216. Determine esta PG. 
Solução: 
 Neste tipo de exercício, deveremos fazer a seguinte notação: 
, ,
x
x xq
q
 
 
 
 
pois quando fizermos o produto, eliminaremos uma variável. 
. . 216
x
x xq
q
 
 
 
 
x3 =216 
x = 6 
 
 
 
 
 
 
 
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6
6 6 21q
q
  
 
6
6 15 0q
q
  
 
26 15 6 0q q  
 
22 5 2 0q q  
 
q = 2 ou q = ½ 
PG PG 
(3,6,12) (12, 6, 3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Função do 1º Grau 
 
Síntese Teórica 
 
 FUNÇÃO AFIM 
 
 f: RR 
 x  f(x) = ax + b, a  0 
 
 
 ZERO DA FUNÇÃO AFIM 
 
f (x) = ax + b = 0  x = 
b
a

 
 
 
 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
 
O gráfico da função afim é uma reta, que intercecta: 
* o eixo das abscissas (Ox) em 






 0 ,
a
b
 
* o eixo das ordenadas (Oy) em (0, b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
Representar graficamente a função afim f : R  R tal que f(x) = 2x - 3 
Tendo em vista que: 
b = 3 é a ordenada do ponto que a reta intercecta Oy e 2x - 3 = 0  x = 
2
3
 é a abscissa do ponto 
onde a reta intercecta Ox, a representação gráfica da função f será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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b) g : R  R tal que g(x) = 6 - 3x 
Tendo em vista que: 
 b = 6 é a ordenada do ponto onde a reta intercecta Oy e 6 - 3x = 0  x = 2 é a abscissa do ponto 
onde a reta intercecta Ox. 
A representação gráfica da função g será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atenção: 
 I) a > 0  f é crescente 
 Veja a função f do exemplo anterior. 
 
II) a < 0  f é decrescente 
 Veja a função g do exemplo anterior. 
 A função afim é bijetiva. 
 
 
 VARIAÇÃO DOS SINAIS 
 
Observe os gráficos dados a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Em resumo: 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
Estudar a variação dos sinais da função: 
f : R  R tal que f(x) = 2x - 3 
 
Determinação da raiz: f(x) = 2x -3 = 0  x = 
2
3
 
 Já que a = 2, portanto a > 0, vem: 
 
 
 
isto é, 
x, x  R e x > 
2
3
 f(x) > 0 
x, x  R e x < 
2
3
 f(x) < 0 
 
g: R  R tal que g(x) = 6 - 3x 
Determine a raiz g(x) = 6 - 3x =  x = 2 
Já que a = 3, portanto a < 0, vem: 
 
 
 
isto é, 
x, x  R e x > 2  f(x) < 0 
x, x  R e x < 2  f(x) < 0 
 
 
Função Constante 
 
A função f : R  R 
x f(x) = k, k  R 
é dita função constante e o seu gráfico é uma reta paralela ao eixo Ox. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Casos Particulares 
 
FUNÇÃO LINEAR 
 
f(x) = ax 
Termo independente de x é nulo. 
 
 
OBERVAÇÃO 
I) O gráfico da função linear é uma reta que contém a origem do sistema de eixos cartesianos, já 
que para x= 0  y = f (0) = a . 0 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
II) Se a = 1, tem-se f(x) = x e o seu gráfico é a reta suportes das bissetrizes do 1º e 3º quadrantes 
do sistema de eixos cartesianos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
III) Se a = -1, tem-se f(x) = -x e o seu gráfico é a reta suporte das bissetrizes do 2º e 4º 
quadrantes do sistema de eixo cartesianos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESIGUALDADES 
 
São relações da forma: 
 
 
 
 
 
 
 
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(I) a> b ou 
(II) a  b 
(III) c < d 
(IV) c  d 
 
Em (I) e (III) lemos respectivamente: a é maior do que b, c é menor do que d. Os termos a e c 
estão no primeiro membro e os termos b e d estão no segundo membro da desigualdade. 
As desigualdades entre expressões algébricas que são verdadeiras indepen-dentemente dos 
valores atribuídos às variáveis são conhecidas como desigualdades incondicionais. 
 
Exemplo: (a + b)2 >-1 
Existem também as desigualdades que se verificam apenas para determinados valores de 
incógnitas que nelas se encontram. Neste caso temos, as desigualdades condici-onais ou 
inequações. 
 
Exemplo: (a + b)2 > 25 
 
 
 
INEQUAÇÕES 
O conjunto de valores da incógnita que ao ser substituída torna a inequação uma sentença 
verdadeira, constitui a solução da inequação. 
 
 
PROPRIEDADES 
I) Uma inequação não se altera quando somamos ou diminuímos aos dois membros a mesma 
quantidade. 
 
II) Uma inequação não se altera quando multiplicamos ou dividimos os dois membros pelo mesmo 
número positivo. 
 
III) Alteramos os sentidos da inequação quando multiplicamos ou dividimos os dois membros pelo 
mesmo número negativo. 
 
IV) Podemos elevar os dois membros de uma desigualdade à mesma potência (ou deles extrair 
raízes de mesmo índice) desde que eles sejam positivos. 
 
 
INEQUAÇÕES DO 1º GRAU 
Chamamos de inequação do 1º grau as sentenças reduzidas as formas: ax + b > 0, ax + b < 0, ax 
+ b  0, ax + b  0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS 
Para acharmos o conjunto solução das inequações devemos resolvê-las separadamente e depois 
encontrarmos a intersecção das respostas. 
Nos seguintes exemplos tomaremos U = R 
 
 
 
5
3x2x3x
7
2x3 


 ( I ) 
 
4
5x11
2
115x
2x




 ( II ) 
 
Resolvendo a inequação (I) encontramos x>
2
11
 
Resolvendo a inequação (II) encontramos x>11 
 
 
 
 
 
 
S = {x  R  x > 11} 
 
 
4
x
5x
2
x
8
x

 ( I ) 
 
)2(
7
1
)2(
8
1
 xx
 ( II ) 
 
 
Resolvendo a inequação (I) encontramos x >- 8 Resolvendo a inequação (II) encontramos x<30 
 
 
 
 
 
 
 
 
S={x  R  -8 < x < 30} 
 
 
 
2
815x
58x


 ( I ) 
 
 
 
 
 
 
 
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4
3
5x3)2(x 
 ( II ) 
 
 
Resolvendo a inequação (I ) encontramos x > 2 
Resolvendo a inequação (II) encontramos x <
4
7

 
 
 
 
 S =  
5
2
1x
2 


 
equivalente a: 
2
1x
2


 ( I ) 
 
5
2
1x


 ( II ) 
 
 
Resolvendo a inequação (I) encontramos x > 5 Resolvendo a inequação (II) encontramos x<11 
 S = {x  R  5< x <11} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Conjuntos 
 
SS II MMBB OOLL OO GGII AA DDEE CC OO NN JJ UUNN TT OOSS 
= igual a 
 pertence a 
≠ diferente de 
 não pertence a 
> maior do que 
< menor do que 
 maior do que ou igual a 
 menor do que ou igual a 
 e 
 ou 
 contém 
 está contido 
 implica 
 se e somente se 
, { } conjunto vazio 
c
B
A
 complementar de B em relação à A 
 união 
 interseção 
 existe 
 para todo 
 não existe 
 
 
CCAA RR DDII NNAA LL II DDAA DDEE DDEE UU MM CC OO NNJJ UUNN TT OO 
A cardinalidade de um conjunto A, finito, indica a quantidade de elementos deste conjunto. 
Notação:  A ou Card(A) ou nA. 
 
Exemplo: 
 Sendo 
A = {a, b, c } e B = ( a, b, d, e } temos: A= 3 e B =4. 
 
 
CCOO NN JJ UU NN TT OO DD AA SS PPAA RR TTEE SS 
Chama-se conjunto das partes de um conjunto A, P (A), o conjunto cujos elementos são todos os 
subconjuntos de A. 
P (A) = {B  B  A} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Apostila ENEM em 100 Dias 
Matemática - Apostila 
 
Exemplos: 
I) A= {a} P (A) ={, {a}} 
II) A= {a,b} P (A) ={, {a}, {b}, {a,b}} 
III) A= {a,b,c} P (A) ={,{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, 
 {b,c}, {a,b,c}} 
De um modo geral temos # P(A) = 2n onde n = #A. 
 
 
UUNNII ÃÃ OO DDEE CCOO NNJJ UU NNTT OO SS --  
A união de dois conjuntos A e B é o conjunto A  B, formados pelos elementos de A e pelos 
elementos de B. 
A  B ={x  x  A v x B} 
 
Exemplo: 
Sendo 
A={a, b, c} e B={a, b, d, e} então A  B ={a, b, c, d, e} 
 
 
IINNTTEE RRSS EE ÇÇÃÃ OO DDEE CC OONN JJ UU NN TT OOSS --  
A interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto A  B, formado pelos elementos que 
pertencem a esses dois conjuntos simultaneamente. 
A  B= {x  x  Ax  B} 
 
Exemplo: 
Sendo 
A= {a, b, c} e B= {a, b, d, e} então A  B = {a, b} 
 
 
CCOO NN JJ UU NN TT OOSS DD II SS JJ UU NN TT OOSS 
Dois conjuntos A e B, são disjuntos quando A B = . 
 
Exemplo: 
A = {conjunto dos torcedores do vasco} 
B = conjunto dos seres que possuem mais de um 
 neurônio 
 
 
CCAA RR DDII NNAA LL II DDAA DDEE DDAA UUNNII ÃÃ OO DDEE CCOO NNJJ UU NNTT OO SS 
De um modo geral temos: 
# (A  B) = #(A) + # (B) - # (A B) 
# (A  B  C) = # (A) + # (B) + # (C) - # (A B) - #(A  C)- # (B  C) + (A  B  C) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Apostila ENEM em 100 Dias 
Matemática - Apostila 
 
DD II FFEE RREE NNÇÇ AA DD EE CCOO NNJJ UUNN TT OOSS 
A diferença entre conjuntos A e B é o conjunto A - B, formado pelos elementos que a A que a B. 
A - B= {x  x A x  B} 
 
Exemplo: 
Sendo 
A= {a, b, c, j }, B= {a, b, d, e}, C={0, 5, 7} e D = {0, 3, 5, 7} então: 
A-B={c, j} B-A={d, e} 
C-D=  C-A={0, 5, 7} 
 
 
OOBB SS EE RRVV AA ÇÇÃÃ OO 
Se A  B =  então A –B = A e B - A= B. Se A  B então A -B= . 
Em geral, temos: A - B  B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa). 
 
 
CCOO MM PP LL EE MM EE NN TTAA RR DDEE BB EE MM RREE LL AA ÇÇ ÃÃ OO ÀÀ AA 
Quando temos B  A, o conjunto A-B é chamado de complementar de B em relação à A e 
escreve-se: 
A – B = CAB 
 
Note que x  CAB  x  A e x  B 
 
 
Atenção!!! 
"O complementar de B em relação à A é o que falta em B para B se tomar igual a A." 
 
 
 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO 
Os primeiros números que conhecemos quando aprendemos a contar são: 1, 2, 3, 4, 5, ... Estes 
números surgiram como resultado da comparação de diferentes conjuntos que tinham algo em 
comum. Certo conjunto de pedras colocadas numa sacola podia ser colocado em 
correspondência com o conjunto das ovelhas de um rebanho; o conjunto das pedras tinha algo 
em comum com o das ovelhas: este algo em comum é o mesmo número de elementos. 
Paulatinamente a ideia de número se tornou menos concreta e os números passaram a ser 
tratados como entes em si, independentes dos conjuntos dos quais, num certo sentido, eram 
representantes. E por serem necessários surgiram o zero: 0, e os números negativos: -1, -2, -3, . . 
. 
Os números considerados até aqui são atualmente "organizados" do seguinte modo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Apostila ENEM em 100 Dias 
Matemática - Apostila 
 
CCOONNJJUUNNTTOO DDOOSS NNÚÚMMEERROOSS NNAATTUURRAAIISS:: IINN 
IN = {0, 1, 2, 3,4, ...} 
 
 Todo número natural n, n  2 pode ser decomposto como um produto de fatores primos, 
isto é, n 2a . 3b . 5c . 7d ... 
 Dados dois números naturais a e b, chama-se mínimo múltiplo comum entre a e b e 
representa-se mmc (a, b) o menor dos múltiplos comuns entre a e b. 
 Dados dois números naturais a e b, chama-se maior divisor comum entre a e b e 
representa-se mdc (a, b) o maior dos divisores comuns entre a e b. 
 
Exemplo: 
120 e 360 
840= 23. 3 . 5 . 7 
360 = 23 . 32 . 5 
 
. mmc (840, 360) = 23 . 32 . 5. 7 = 2520 
 
. mdc (840, 360) = 23 . 3 . 5 = 120 
 
Propriedades: mdc (a, b) = a . b 
 
 
CCOO NN JJ UU NN TT OO DDOOSS NNÚÚ MM EE RR OOSS IINNTT EE II RR OOSS :: ZZ 
Z= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...} 
 
Graficamente: 
 
 
 
Atenção! 
O conjunto dos números naturais é um subconjunto do conjunto dos números inteiros, isto é: 
 
 
 
 
 
 
OO SS ÍÍ MMBB OO LL OO 
(+): como índice de um conjunto, indica a exclusão dos seus elementos negativos; 
(-): como índice de um conjunto, indica a exclusão dos seus elementos positivos; 
(*): como índice de um conjunto, indica a exclusão do zero. 
 
Como exemplos:Z+ = {0, 1, 2, 3, 4...} é o conjunto dos inteiros não negativos. 
 
 
 
 
 
 
 
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Apostila ENEM em 100 Dias 
Matemática - Apostila 
 
 
Z*+ = {1, 2, 3, 4 ...} é o conjunto dos inteiros positivos. 
 
Z - = {...-3, -2, -1, 0} é o conjunto dos inteiros não positivos. 
 
Z*- = {..., -3, -2, -1} é o conjunto dos inteiros negativos. 
 
 
NNÚÚ MMEE RR OOSS RRAA CCII OONN AA II SS 
O conjunto dos números inteiros pode ser representado sobre uma reta ordenadamente conforme 
o esquema: 
 
 
 
 
 
Nesta reta há muito mais pontos que os que representam os números inteiros. A idéia de dividir 
um objeto em partes iguais levou-nos aos números fracionários que são números da forma p/q 
com q  0. O nome racional deve-se ao fato deles terem origem na razão entre dois números 
inteiros. 
No conjunto dos números racionais, destacamos os subconjuntos: 
Q+ = conjunto dos racionais não negativos 
Q- = conjunto dos racionais não positivos 
Q* = conjunto dos racionais não nulos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
RREE PP RREE SS EE NNTT AAÇÇ ÃÃ OO DDEE CCII MM AALL 
 
Todo número racional pode ser representado por um número decimal. 
Este número decimal pode aparecer de 2 modos: 
 
 
CCOOMM AA QQUUAANNTTIIDDAADDEE FFIINNIITTAA DDEE CCAASSAASS DDEECCIIMMAAIISS 
 
Exemplo: 
3
22
3
16
2 ;
10
16
1,6 ;
100
5
0,05 ;
2
3
6 
 
Nestes casos, o denominador da fração será da forma: 2x . 5y com x e y  N 
 
 
 
 
 
 
 
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Apostila ENEM em 100 Dias 
Matemática - Apostila 
 
CCOOMM UUMMAA QQUUAANNTTIIDDAADDEE IINNFFIINNIITTAA DDEE AALLGGAARRIISSMMOOSS 
Que se repetem periodicamente, isto é, uma dízima periódica. 
 
Exemplo: 
30,0,333...
3
1

 (período: 3) 
2857140,714...0285714285
7
2

 (período 
 285714) 
31,8...8333,1
6
11

 = (período) 
 
As dízimas periódicas dividem-se em 2 grupos: 
 
a) Dizima periódica simples: 
Formada pela fração irredutível p/q onde q possui fatores primos da forma 
 q = 3a . 7b...(a, b, ...  N) e q  1. 
 
Exemplo: 
 ...
11
1
 ,
21
5
 ,
3
2
 
 
b) Dízima periódica composta: 
 
Formada pela fração irredutível p/q onde q possui fatores primos da forma q = 3a . 7b associados a 
fatores primos (2a) ou (5b) ou ambos com a  0 ou b ≠0. 
 
Definimos geratriz como a fração que origina a dízima periódica. 
 
 
MMÉÉTTOODDOO PPAARRAA OOBBTTEENNÇÇÃÃOO DDEE UUMMAA FFRRAAÇÇÃÃOO GGEERRAATTRRIIZZ 
 
Exemplo: x = 0,777 ... 
 
 x = 0,777... 
 10x = 7,777... 
 
x = 
9
7
 (Geratriz) 
 
Exemplo: 
 x = 6,4343... 100x - x = 637 
 100x = 643, 4343... 99x = 637 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Apostila ENEM em 100 Dias 
Matemática - Apostila 
 
99
637
x 
 (Geratriz) 
 
Exemplo: 
 
 x = 2,133... 
 10x = 21,3333... 
 
 
5 1
32
45
96
90
192
x 
 (Geratriz) 
 
 
CCOO NN JJ UUNNTT OO DD OOSS NNÚÚMM EE RR OOSS II RRRR AACC II OONN AAII SS 
Sabendo-se que entre 2 números racionais sempre há um número racional (por exemplo entre 
2
1
 
e 
3
1
 existe 







2
1
3
1
: 
12
5
2 
 durante muito tempo, achou-se que seria possível preencher a reta 
somente com a presença de números racionais. 
 
Observemos a seguinte construção: 
Se o ponto A representa o número zero e o ponto B representa o número 1, o segmento AB tem 
comprimento 1. Construindo BC perpendicular a AB e de comprimento 1, o teorema de Pitágoras 
dá o comprimento de AC que será 
2
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Marcando na reta AD de mesmo comprimento que AC, o ponto D representará o número
2
; o 
número 
2
 não é racional, o que pode ser mostrado com alguns recursos de Aritmética. 
Números que não podem ser representados da forma p / q com p  z e q  z* são números 
irracionais. 
Também não são racionais os números 
3
e 
3 9-
, e alguns mais extravagantes como  (pi = 
3,14159...) e outros. Todos eles têm representação na reta onde já estão colocados os números 
racionais e é muito importante o fato de que a completam. 
10x – x = 19,2 
9x = 19,2 
10
192
9x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Apostila ENEM em 100 Dias 
Matemática - Apostila 
 
OOBB SS EE RRVV AA ÇÇÃÃ OO 
A representação decimal de um número irracional é infinita e não-periódica, 
 
 
CCOO NN JJ UUNNTT OO DD OOSS NNÚÚMM EE RR OOSS RREE AAII SS 
IR = {x / x é racional ou x é irracional} 
 
 naturais 
 inteiros 
 negativos 
 racionais 
números não-inteiros 
 reais 
 
 irracionais 
 
Os números reais podem ser representados pelos pontos de uma reta r, de tal modo que: 
 
 
 
 
Essa correspondência biunívoca entre elementos de IR e os pontos de r é denominada sistema 
de coordenadas abscissas; a reta r é chamada de reta real ou do eixo dos números reais, e o 
ponto O, corresponde ao número zero, é a origem desse sistema. 
Observe que são reais todos os números naturais, inteiros, racionais e irracionais, assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CCOOMMPPAARRAAÇÇÃÃOO DDEE NNÚÚMMEERROOSS RREEAAIISS 
Dados dois números reais a e b, então ocorre somente uma das seguintes situações: 
a = b  a – b = 0 
a > b  a – b > 0 ou (a – b)  IR*+ 
a < b  a – b < 0 ou (a – b)  IR*- 
 
a < b  - a > - b 
a > b  - a < - b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Apostila ENEM em 100 Dias 
Matemática - Apostila 
 
DDEEMMOONNSSTTRRAAÇÇÃÃOO 
a < b  a - (a + b) < b - (a + b) 
 - b < - a 
 - a > - b 
 
Observe que devemos mudar o sentido da desigualdade se multiplicarmos seus dois membros 
por -1. 
 
 
IINNTT EE RRVV AALL OOSS 
No conjunto dos números reais destacaremos alguns subconjuntos importantes, determinados por 
desigualdades, chamados intervalos. 
Quaisquer que sejam os números reais a e b, a < b, temos: 
 
IINNTTEERRVVAALLOOSS LLIIMMIITTAADDOOSS 
{x  IR  a  x  b} é o intervalo fechado de extremos a e b 
 
 
 
 
Notação: [a; b] 
 
{x  IR  a < x < b} é o intervalo aberto de extremos a e b 
 
 
 
Notação: 
 b:a
 
 
{x  IR  a  x < b} é o intervalo fechado em a e aberto em b. 
 
 
 
Notação: [a; b[ 
 
{x  IR  a < x  b} é o intervalo aberto em a e fechado em b. 
 
 
 
Notação: ]a; b] 
 
IINNTTEERRVVAALLOOSS IILLIIMMIITTAADDOOSS 
 
{x  R  x  a} = [a, +  [ = [a, + ) 
 
 
 
 
 
 
 
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Apostila ENEM em 100 Dias 
Matemática - Apostila 
 
 
 
 
{x  R  x > a} = ]a, + [ = (a, +){x  R  x  b} = ] - , b] = (- , b) 
 
 
 
{x  R  x < b} = ] - , b[ = (- , b) 
 
 
 
 
Exemplo: 
Sendo A = ] - ; 
2
] e B = ] - ; + [, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, A  B =] -; 
2
], A  B = IR 
 A – B = ]- ; -] e B -A= 
2
; + [. 
 
 
OOBB SS EE RRVV AA ÇÇÃÃ OO 
Módulo de um número real: 
Definimos módulo de um número real x (x) como a distância da origem da reta real ao número x. 
De um modo geral temos. 
 x se x  0 
x = 
 -x se x < 0 
 
Exemplo: 
5 = 5 pois 5  0 
 
 
 
 
 
 
 
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Apostila ENEM em 100 Dias 
Matemática - Apostila 
 
-3 = 3 pois -3 < 0 
 
 x -3 se x  3 
x-3 = 
 -x + 3 se x < 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Apostila ENEM em 100 Dias 
Matemática - Apostila 
 
Princípio Multiplicativo e Permutações 
 
A origem desse assunto está ligada ao estudo dos jogos de azar, tais como: lançamento de 
dados, jogos de carta etc. Atualmente, você também pode perceber a utilização da Análise 
Combinatória nas estimativas de acerto em jogos populares tais como: loteria esportiva, loto, 
loteria federal etc., além de aplicações mais específicas, como confecções de horários, de planos 
de produção, de número de placas de automóveis etc. 
 
Fatorial 
Introduziremos, inicialmente, o conceito de fatorial que será de grande utilidade nos exercícios de 
Análise Combinatória. 
 
DEFINIÇÃO 
n! =n . (n - 1) . (n - 2). ... 3.2.1 para n  N e n > 1 
O símbolo n! (lê-se fatorial de n ou n fatorial) 
 
Exemplos 
• 2! = 2 x 1 = 2 
• 4!= 4 x 3 x 2 x 1 = 24 
• 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040 
 
 
 
 
Exemplos 
• 6! = 6 x 5! 
• 9! = 9 x 8! 
 
 
Simplifique as expressões: 
a) 
7!
6!
 
b) 
8!
8.6!
 
c) 
20!8!3!
4!19!7!
 
 
 
 
Solução 
 
a) 
7!
6!
=
7.6!
7
6!

 
Por definição temos:  01 = 1 e 1! =1 
  n! = n . (n – 1)! 
 
 
 
 
 
 
 
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Apostila ENEM em 100 Dias 
Matemática - Apostila 
 
b) 
8!
8.6!
=
8.7.6!
7
8.6!

 
c) 
20!8!3!
4!19!7!
=
20!19!8!7!3! 20.8
40
4!.3!.19!.7! 4
 
 
 
 
 
Simplifique as expressões: 
a) 
 2 !
!
n
n

 b) 
 
 
2 !
2 2 !
n
n 
 
 
Solução 
a) 
 2 !
!
n
n

 = 
  
   
2 1 !
2 . 1
!
n n n
n n
n
 
  
 
 
b) 
 
 
2 !
2 2 !
n
n 
= 
   
 
 
2 2 1 2 2 !
2 2 1
2 2 !
n n n
n n
n
 
 

 
 
 
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO 
Se um determinado evento A pode ocorrer de m maneiras' e um evento independente B pode 
ocorrer de n maneiras, então, a ocorrência sucessiva dos eventos A e B pode acontecer de m . n 
maneiras distintas. 
 
Um rapaz possui cinco camisas e duas calças. De quantos modos diferentes ele poderá se vestir? 
 
Solução 
A escolha de uma calça poderá ser feita de duas maneiras diferentes. Escolhida a primeira calça, 
o rapaz poderá escolher qualquer uma das cinco camisas, formando portanto, cinco conjuntos 
diferentes. Se tivesse escolhido a segunda calça, novamente poderia combinar essa calça com as 
cinco camisas que possui, formando outros cinco conjuntos diferentes. Portanto, o número total 
de maneiras diferentes de se vestir nesse caso será: 2 x 5 = 10. 
 
Poderíamos esquematizar o problema desse modo: 
• escolha de uma calça: 2 possibilidades diferentes; 
• escolha de uma camisa: 5 possibilidades diferentes. 
Total: 2 x 5 = 10 
 
Quantos números de dois algarismos podemos formar com os algarismos de 1 a 9? 
 
Solução 
• escolha de um algarismo para a casa das dezenas: 9 possibilidades; 
• escolha de um algarismo para a casa das unidades: 9 possibilidades. 
 
 
 
 
 
 
 
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Apostila ENEM em 100 Dias 
Matemática - Apostila 
 
Total: 9 x 9 =81. 
 
Podemos portanto, formar 81 números algarismos com os algarismos de 1 a 9. 
 
 
Num grupo de 5 rapazes e 4 moças, de quantos modos distintos podem ser escolhidos um rapaz 
para presidente e uma moça para secretária do grêmio estudantil? 
 
Solução 
• escolha de um rapaz para presidente: 5 possibilidades; 
• escolha de uma moça para secretária: 4 possibilidades. 
 Total: 5 x 4 = 20 
 
 
Quantos números de dois algarismos podem ser formados no sistema de numeração decimal? 
Solução 
• escolha de um algarismo para a casa das dezenas: 9 possibilidades (o zero não pode ocupar 
essa posição); 
• escolha de um algarismo para a casa das unidades: 
10 possibilidades. 
Total: 9 x 10 = 90 
 
 
Observação 
Quando alguma das escolhas que iremos fazer possuir restrição, devemos começar por esta 
escolha. 
 
Quantos números pares de dois algarismos podem ser formados com os algarismos de 1 a 9? 
a) Podendo ocorrer a repetição de algarismos. 
b) Sem ocorrer a repetição de algarismos. 
 
 
Solução 
a) 
• escolha de um algarismo para a casa das unidades: 4 possibilidades (o número deve terminar 
em 2, 4, 6 ou 8, para ser par); 
• escolha de um algarismo para a casa das dezenas: 9 possibilidades. 
Total: 9 x 4 = 36 
 
b) 
• escolha de um algarismo para a casa das unidades: 4 possibilidades (2, 4, 6, 8); 
• escolha de um algarismo para a casa das dezenas: 8 possibilidades, já que do total de 9 
algarismos que podem ser escolhidos não podemos utilizar aquele que estiver ocupando a casa 
das unidades, para que não haja repetição. 
 
 
 
 
 
 
 
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32 
 
 
Apostila ENEM em 100 Dias 
Matemática - Apostila 
 
Total: 8 x 4 = 32 
 
 
Quantos são os divisores do número 72? 
Solução 
Cada divisor de 72 é da forma 2x.3Y pois 72 = 23.32, onde x  (0,1,2,3) e y  (0,1,2). 
• escolha de um valor para x: 4 possibilidades (0,1,2,3); 
• escolha de um valor para y: 3 possibilidades (0,1,2). 
Total: 4 x 3 = 12 divisores 
 
 
No sistema decimal, quantos são os números de três algarismos distintos que podemos formar? 
Solução 
• escolha de um algarismo para a casa das centenas: 9 possibilidades (pois o zero não pode 
ocupar essa posição); 
• escolha de um algarismo para a casa das dezenas: 9 possibilidades, pois embora o zero possa 
ocupar essa posição, não podemos repetir o algarismo que se encon-tra na casa das centenas; 
• escolha de um algarismo para a casa das unidades: 8 possibilidades já que não podemos repetir 
o algarismo das centenas e nem o das dezenas. 
Total: 9 x 9 x 8 = 648 
 
 
Quantos são os resultados possíveis para um teste da loteria esportiva com 16 jogos? 
Solução 
Para cada um dos 16 jogadores, temos três resultados possíveis (coluna 1, coluna do meio e 
coluna 2). Pelo multiplicativo, teremos que o total de resultados possíveis será: 
 
 
 
 
 
 
T = 3x 3 x 3 x 3 x ... x 3 = 316 = 430467721 resultados distintos. 
 
 
PERMUTAÇÃO SIMPLES 
Uma permutação simples de um grupamento com n elementosdistintos é uma ordenação destes 
elementos onde cada um aparece uma única vez. 
 
O número de permutações simples destes n elementos é dada por: 
 
Exemplos 
• P3= 3! = 3 x 2 x 1 = 6 
• P2 = 2! = 2 x 1 = 2 
Pn = n! 
 
 
 
 
 
 
 
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Apostila ENEM em 100 Dias 
Matemática - Apostila 
 
 
Quantos números com 5 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5? 
Solução 
Verificando que n = p = 5, vamos obter: 
P5 = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 
Portanto, poderemos formar 120 números. 
 
 
Observação 
Note que na permutação utilizamos todos os elementos. Apenas arrumamos. Então não se 
esqueça: arrumar é o mesmo que permutar. 
 
 
Quantos são os anagramas da palavra "cola"? 
Solução 
Anagramas são palavras obtidas, efetuando-se todas as trocas possíveis entre as letras de uma 
palavra dada e que podem ter ou não significado na linguagem corrente. 
A palavra em questão, "cola", possui 4 letras distintas, logo o total de anagramas será igual ao 
total de permutações que podem ser feitas com essas 4 letras, isto é: 
Total de anagramas: P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. 
 
 
Permutando os algarismos 2, 4, 6 e 8, formamos números. 
Dispondo esses números em ordem crescente, qual o número que ocupa a 22ª posição? 
 
Solução 
2 _____ _____ _____  P3 =3!=6 
4 _____ _____ _____  P3 =3!=6 
6 _____ _____ _____  P3 =3!=6 
8 2 _____ _____  P2 =2!=2 
 
8426 é o 21º número, portanto, o 22º será: 8462. 
 
 
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO 
Quando temos n elementos com as repetições de um tipo, b repetições de outro, q de outro, etc. 
O número de permutações que podemos formar é dada por: 
 
 
 
 
Quantos são os anagramas da palavra: 
a) ELEGER 
b) CANDIDATA 
, , ,... !
! ! !...n
n
P
  
  

 
 
 
 
 
 
 
 
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Apostila ENEM em 100 Dias 
Matemática - Apostila 
 
 
Solução 
Já sabemos que cada anagrama corresponde a uma permutação das letras da palavra. 
 
Neste exemplo, ocorrem letras repetidas. 
a) ELEGER  6 letras, sendo 3 E, 1 L, 1 G, 1R. 
 
O número de anagramas é: 
3
6
6!
120
3!P
 
 
 
 b) CANDIDATA  9 letras, sendo 3A, 2D, 1C, 1N, 1 I, 1T. 
 O número de anagramas é: 
 
3,2
9
9!
30240
3!2!P
 
 
 
Quantos números pares obteremos, permutando-se os algarismos 1, 2, 2, 3, 3, 3 e 4 ? 
Devemos contar as permutações que terminam por 2 e as que terminam por 4. 
Terminado por 2: 
 
 
 
Deixando um algarismo 2 fixo na casa das unidades, devemos permutar nas outras casas os 
algarismos 1, 2, 3, 
3, 3 e 4. O número de permutações é: 
 
3
6
6!
120
3!P
 
 
Terminando por 4: 
 
 
 
Deixando o 4 fixo na casa das unidades, permutamos nas outras casas os algarismos 1, 2, 2, 3, 3 
e 3. O número de permutações é: 
 
3,2
6
6!
60
3!2!P
 
 
 
Logo, o total de números pares é 120 + 60 = 180. 
 
 
 
 
 
 
 
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Apostila ENEM em 100 Dias 
Matemática - Apostila 
 
 
 
PERMUTAÇÃO CIRCULAR 
“De quantas formas podemos colocar quatro pessoas em fila?” Responder esta pergunta é 
simples: para a 1ª posição da fila, temos 4 possibilidades, para a 2ª, 3 possibilidades, para a 3ª, 2 
possibilidades e para 4ª, 1 possibilidade. Logo, o total de possibilidades é 4.3.2.1 = 4! = 24. 
Agora, responda o seguinte "De quantas formas podemos colocar quatro pessoas em uma mesa 
circular?" A primeira vista parece que estas perguntas possuem a mesma resposta, mas repare o 
esquema a" seguir: 4 das possibilidades que estávamos considerando representam uma única 
arrumação visto que, de uma arrumação para outra, basta girarmos a mesa. 
 
 
Logo, como consideramos cada arrumação quatro vezes, basta dividir o resultado por quatro: 
4!
3! 6
4
 
 
 
De uma forma geral, dizemos que o número de permutações circulares de n elementos é dada 
por: 
 
 
 
Se não quisermos decorar a fórmula, basta pensar o seguinte: 
Em uma mesa circular vazia com quatro cadeiras ao redor, de quantas formas diferentes a 
primeira pessoa pode sentar-se? 
Antes de responder, pense o seguinte: 
O problema cita mesa circular para mostrar uma ausência de referencial. Como a mesa está 
vazia, é indiferente para primeira pessoa onde ela sentará, logo, só existe urna forma de escolha. 
Já a segunda pessoa a sentar à mesa possui referência. Ela pode sentar-se à frente da primeira, 
ou à sua esquerda ou à sua direita, logo, a segunda pessoa possui três possibilidades. 
 
1ª pessoa - 1 possibilidade 
2ª pessoa - 3 possibilidades 
3ª pessoa - 2 possibilidades 
4ª pessoa - 1 possibilidade 
1 x 3 x 2 x 1 = 6 arrumações possíveis 
 
 
 
ARRANJO E COMBINAÇÃO 
 
Arranjos Simples 
Pc = (n-1)! 
 
 
 
 
 
 
 
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Apostila ENEM em 100 Dias 
Matemática - Apostila 
 
Todos os problemas de Arranjos Simples também 
poderão ser resolvidos pelo Princípio Multiplicativo. 
 
Seja o conjunto A = (1, 2, 3). Quantos números com 2 algarismos distintos podemos formar com 
os elementos de A? 
Teremos como resposta do problema os seguintes números: 12, 13, 21, 23, 31 e 32. Cada 
número obtido será chamado de agrupamento. Note, então, que obtivemos 6 agrupamentos 
distintos. 
 
 
 
 
A ordem dos elementos que formam cada agrupamento é considerada, isto é, os agrupamentos 
12 e 21, por exemplo, são diferentes embora formados pelos mesmos elementos (os algarismos 1 
e 2). Tais agrupamentos, formados por elementos distintos e cuja ordem é levada em conta, 
chamam-se Arranjos Simples. 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DO NÚMERO DE ARRANJOS SIMPLES 
Sendo n o número de elementos de um conjunto A, o número de arranjos simples de n elementos 
tomados p a p será dado por: 
 
 
 
 
 
,n pA
: lê se arranjo de n elementos tomados p a p 
 
 
 
Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os elementos do conjunto 
{1,2,3,4,5}? 
 
Solução 
Nesse caso n = 5, que indica o total de elementos que temos para usar, e p = 3, que é a forma 
segundo a qual os elementos vão ser associados, já que o problema pede números de três 
algarismos. Aplicando a fórmula vamos obter: 
 5,3
5! 5.4.3.2!
60
5 3 2!A
  

 
 Portanto, poderemos formar 60 números com três algarismos distintos. 
Com os algarismos 0, 1, 2, 5 e 6, sem os repetir, quantos números compreendidos entre 100 e 
1000 poderemos formar? 
 
Atenção: 
Arranjos Simples  não há repetição de elementos; a ordem dos elementos é considerada. 
 ,
!
n p
n
n pA

 
 
 
 
 
 
 
 
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Apostila ENEM em 100 Dias 
Matemática - Apostila 
 
 ,
!
! !n p
n
n p pC

 
Solução 
Como os números devem estar compreendidos entre 100 e 1000, terão 3 algarismos. Como não 
pode haver repetição de elementos e a ordem dos elementos em cada agru-pamento é 
considerada (por exemplo, o número 123 é diferente do número 132), trata-se de um problema de 
arranjos simples. 
Números iniciados por 1: 1 ___ ___  A4,2 =12 
Números iniciados por 2: 2 ___ ___ A4,2 =12 
Números iniciados por 5: 5 ___ ___  A4,2 =12 
Números iniciados por 6: 6 ___ ___  A4,2 =12 
 
Portanto, o total de números pedido é 4 x 12 = 48. 
 
 
Em um campeonato de futebol, participam dez clubes, todos com a mesma possibilidade de 
vencer. De quantas maneiras diferentes poderemos ter a classificação para os três primeiros 
lugares? 
 
Solução 
Note que a ordem dos elementos em cada agrupamento é importante, pois o clube A em primeiro, 
B em segundo e C em terceiro é diferente de B em primeiro, A em segundo e C 
em terceiro. Não há repetição de elementos, pois o mesmo clube não pode ocupar duas posições 
diferentes simulta-neamente. Portanto, trata-se de um problema de arranjo simples. Temos um 
total de dez clubes para ocuparem três posições, logo: A10,3 = 720. 
 
 
COMBINAÇÃO SIMPLES 
São agrupamentos onde a ordem com que os elementos comparecem não é considerada. 
O número de combinações de n elementos tomados p a p, que indicamos por Cn,p será dado por: 
 
 
 
 
 
Quantas duplas distintas podemos formar com 3 pessoas A, B e C? 
Repare que agora, se mudarmos a posição dos elementos em um agrupamento, não obteremos 
um novo agrupamento. Isto é, a dupla AB é igual à dupla BA, a dupla AC é a mesma que CA e a 
dupla BC é a mesma que CB. Portanto, o total de duplas distintas será 3 (AB, AC e BC). 
 
 
Quantas comissões formadas de 4 elementos cada uma, podemos formar com 10 alunos de uma 
classe? 
 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Apostila ENEM em 100 Dias 
Matemática - Apostila 
 
 10,4
10! 10! 10.9.8.7.6!
120
10 4 !4! 6!4! 6!.4.3.2.1C
   

 
 
 
 
Quantos são os resultados distintos possíveis de serem obtidos num teste da loto? 
 
Solução 
Cada resultado possível corresponde a um conjunto de 5 números, sem importância de ordem, 
obtidos de um total de cem números. Teremos então: 
 
 100,5
100! 100.99.98.97.96.95!
75287520
100 5 !5! 95!.5.4.3.2.1C
  

 
 
 
Numa escola, existem 10 professores de Matemática e 7 de Física. Quantas comissões podemos 
formar compostas de 5 professores de Matemática e 3 de Física? 
 
Solução 
• escolha dos professores de Matemática: C10,5 = 252 
• escolha dos professores de Física: C7,3 = 35 
 
Pelo princípio multiplicativo, vamos ter: 
C10,5 x C7,3 = 252 x 35 = 8820. 
Poderemos portanto, formar 8820 comissões. 
 
 
Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6 
dessas substâncias se, entre as dez, duas somente não podem ser juntadas porque produzem 
mistura explosiva? 
 
Solução 
Total de associação: C10,6 = 210 
Total de associações onde aparecem juntas A e B: C8,4 = 70 
 Logo, o total de associações possíveis será: 
 
C10,6 - C8,4 = 210 – 70 = 140 
 
 
 
(CESGRANRIO) Seja M um conjunto de 20 elementos. O número de subconjuntos de M que 
contém exatamente 18 elementos é: 
a) 360 
b) 190 
 
 
 
 
 
 
 
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Apostila ENEM em 100 Dias 
Matemática - Apostila 
 
c) 180 
d) 120 
e) 18 
 
Solução 
Temos um total de 20 elementos para escolhermos 18, independendo da ordem. Logo, teremos 
 
 20,18
20!
190
20 18 !18!C
 

 
 
Portanto, o total de subconjuntos com 18 elementos que podemos formar com um conjunto de 20 
elementos será 190. 
Alternativa b. 
 
 
Uma organização dispõe de 10 economistas e 6 administradores. Quantas comissões de 6 
pessoas podem ser formadas de modo que cada comissão tenha no mínimo, 
3 administradores? 
a) 2400 
b) 675 
c) 3136 
d) 60 
e) 3631 
 
Solução 
Teremos que considerar as seguintes comissões: 
• com 3 administradores e 3 economistas: 
C6,3 x C10,3 = 2400 
• com 4 administradores e 2 economistas: 
C6,4 x C10,2 = 675 
• com 5 administradores e 1 economista: 
C6,5 x C10,1 = 60 
• com 6 administradores e nenhum economista: teremos só uma possibilidade. 
O total de comissões que poderemos formar será então: 
2400 + 675 + 60 + 1 = 3136 
Alternativa c. 
 
 
 
 
Soluções Inteiras de um Sistema 
 
Exemplo 1 
Determine o número de soluções inteiras positivas da equação x + y + z =,6. 
 
 
 
 
 
 
 
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Apostila ENEM em 100 Dias 
Matemática - Apostila 
 
 
Solução 
Representando cada unidade por • e colocando a barra I entre duas quaisquer das 6 bolas, 
obtemos uma maneira de escrever 6 como soma de três inteiros positivos. 
Exemplo 
 
 
Basta, então, colocar a barra em duas das cinco posições. 
Logo, temos C5,2 = 10 maneiras diferentes de escrevermos 6 como soma de 3 inteiros positivos. 
 
 
Exemplo 2 
Determinar o número de soluções naturais da equação x+y+z=6. 
 
Solução 
Acrescentando 1 a cada uma das parcelas do 1º membro, 
 
 
 
Para obtermos o número de soluções naturais de x + y + z = 6, basta contar o número de 
soluções inteiras positivas de x'+y'+ z' = 9, ou seja: 
 
C 8,2= 28 soluções naturais de x + y + z = 6. 
 
 
 
 
 
Com 5 consoantes diferentes e 4 vogais diferentes, quantas "palavras" podemos formar tendo 3 
consoantes distintas e 2 vogais distintas? 
 
Solução 
Escolha 3 das 5 consoantes: C5,3 
Escolha 2 das 4 vogais: C4,2 
No de grupos de 3 consoantes e 2 vogais: C 5,3 . C4,2 
Em cada um desses grupos, devemos permutar os elementos. Portanto, teremos C5,3 . C4,2 . P5 = 
7200 "palavras" com 3 consoantes distintas e 2 vogais distintas. 
 
 
 
 
 Como as soluções são naturais (inclui o zero), somamos 1 a x, 
y e z e, assim, voltamos a trabalhar com soluções inteiras 
positivas. 
 
 
 
 
 
 
 
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Apostila ENEM em 100 Dias 
Matemática - Apostila 
 
Probabilidade 
 
Dado um experimento com um número finito de possíveis resultados, definem-se: 
 
 Espaço amostral do experimento 
É o conjunto de todos os possíveis resultados do experimento. 
 
 Evento 
É qualquer subconjunto do espaço amostral. 
 
 Probabilidade 
Sendo  o espaço amostral de um experimento dado e A um evento (A  ), a probabilidade de 
ocorrência do evento A é representada e definida por 
)n(Ω
n(A)
p(A) 
, onde 
)A(n
 número de elementos do conjunto A 
)(n
 número de elementos do conjunto . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Apostila ENEM em 100 Dias 
Matemática - Apostila 
 
Gráfico Estatístico 
 
1. Introdução 
O gráfico estatístico é uma forma de apresentação dos dados estatísticos, cujo objetivo é o de 
produzir, no investigador ou no público em geral, uma impressão mais rápida e viva do fenômeno 
em estudo, já que os gráficos falam mais rápido à compreensão do que as séries. O gráfico é um 
instrumento que possibilita transmitir muitas vezes o significado de planilhas ou tabelas 
complexas de uma forma mais eficiente e mais simples. Não adianta você saber efetuar a 
confecção de um gráfico se não souber a que finalidade se destina determinado gráfico. Desta 
forma você correrá o risco de apresentar um gráfico que não seja adequado a uma determinada 
situação. O gráfico apresenta de forma detalhada, aelaboração e utilização do fichário-imagem. 
Uma representação gráfica tem por objetivo fazer aparecer as relações que existem entre 
elementos que são representados prévia e rigorosamente de modo a garantir a monossemia que 
envolve a "Graphique". O exemplo utilizado é o de uma cooperativa com diferentes tipos de 
informações que foram representadas na forma gráfica com o auxílio do fichário-imagem. 
 
 
2. Gráficos Estatísticos 
Para se criar um gráfico é preciso primeiro conhecer o tipo de informação que se deseja 
transmitir, pois um gráfico poderá informar de forma visual as tendências de uma série de valores 
em relação a um determinado espaço de tempo, a comparação de duas ou mais situações e 
muitas outras. Cada tipo de gráfico é adequado para uma diferente situação a ser analisada. Se 
um gráfico for definido de forma incorreta, poderá ocorrer a análise errada de uma situação, 
causando uma série de interpretações distorcidas do assunto em questão, tornando desta forma o 
desenho do gráfico sem qualquer efeito aproveitável. Para tornarmos possível uma representação 
gráfica, estabelecemos uma correspondência entre os termos da série e determinada figura 
geométrica, de tal modo que cada elemento da série seja representado por uma figura 
proporcional. A representação gráfica de um fenômeno deve obedecer a certos requisitos 
fundamentais para ser realmente útil: 
 
 
2.1 Aspectos básicos no tracejado 
 
a) Simplicidade: o gráfico deve ser destituído de detalhes de importância secundária, assim 
como de traços desnecessários que possam levar o observador a uma análise morosa ou com 
erros; 
 
b) Clareza: o gráfico deve possibilitar uma interpretação correta dos valores representativos 
do fenômeno em estudo; 
 
c) Veracidade: o gráfico deve expressar a verdade sobre o fenômeno em estudo, ou seja, 
cálculos devem coincidir com as marcações 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Apostila ENEM em 100 Dias 
Matemática - Apostila 
 
2.2 Diagramas 
Os diagramas são gráficos geométricos de, no máximo, duas dimensões; para sua construção, 
em geral, faz-se uso do sistema cartesiano. Dentre os principais diagramas, destacamos: 
 
2.2.1. Gráfico em linha ou em curva 
São ideais para ilustrar tendências em dados que ocorrem ao longo do tempo. Esse tipo de 
gráfico se utiliza da linha poligonal para representar a série estatística. Constitui uma aplicação do 
processo de construção do gráfico de uma função no sistema de coordenadas cartesianas. 
 
Construção: O gráfico pode apresentar linhas contínuas ou conter marcadores de dados. 
 
Exemplo: 
 
 
2.2.2. Gráfico em colunas ou em barras 
É a representação de uma série por meio de retângulos, dispostos verticalmente (em colunas) ou 
horizontalmente (em barras). Quando em colunas, os retângulos têm a mesma base e as alturas 
são proporcionais aos respectivos dados. Quando em barras, os retângulos têm a mesma altura e 
os Comprimentos são proporcionais aos respectivos dados. Desse modo, estamos garantindo a 
proporcionalidade entre as áreas dos retângulos e os dados estatísticos. 
 
Construção: 
As Categorias são organizadas horizontalmente e os valores verticalmente. Quando há mais de 
uma sequência, é interessante inserir a legenda no gráfico; cada sequência é diferenciada por 
uma cor ou padrão. 
 
Exemplos: 
 
a) Gráfico em colunas 
O gráfico em questão terá a finalidade de demonstrar a projeção dos valores de vendas de 
diversos produtos durante o primeiro trimestre de um determinado ano em relação à taxa de 
projeção aplicada a cada mês. 
 
 
 
 
 
 
 
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Apostila ENEM em 100 Dias 
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b) Gráfico em barras 
 
Construção: As Categorias são organizadas verticalmente, para focalizar a comparação de 
valores. 
 
São usualmente bem ilustrados num simples gráfico de barras onde a altura da barra é igual à 
frequência. 
 
Dados qualitativos, particularmente quando as categorias são ordenadas, Gráficos de barras 
empilhadas mostram o relacionamento de itens individuais com o todo. 
 
 
 
 
2.3 Gráfico em setores 
 
Construção: Esse gráfico é construído com base em um círculo, e é empregado sempre que 
desejamos ressaltar a participação do dado no total. 
 
O total é representado pelo círculo, que fica dividido em tantos setores quantas são as partes. Os 
setores são tais que suas áreas são respectivamente proporcionais aos dados da série. Obtemos 
 
 
 
 
 
 
 
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Apostila ENEM em 100 Dias 
Matemática - Apostila 
 
cada setor por meio de regra de três simples e direta, lembrando que o total da série corresponde 
a 360°. 
 
Os setores do gráfico são desenhados de tal forma que eles tenham área proporcional à 
frequência. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Estatística 
 
1- Introdução 
Estatística é uma ciência exata que visa fornecer subsídios ao analista para coletar, organizar, 
resumir, analisar e apresentar dados. Trata de parâmetros extraídos da população, tais como 
média ou desvio padrão. 
A estatística fornece-nos as técnicas para extrair informação de dados, os quais são muitas vezes 
incompletos, na medida em que nos dão informação útil sobre o problema em estudo. Sendo 
assim, é objetivo da Estatística extrair informação dos dados para obter uma melhor compreensão 
das situações que representam. 
Quando se aborda uma problemática envolvendo métodos estatísticos, estes devem ser utilizados 
mesmo antes de se recolher a amostra, isto é, deve-se planejar a experiência que nos vai permitir 
recolher os dados, de modo que, posteriormente, se possa extrair o máximo de informação 
relevante para o problema em estudo, ou seja para a população de onde os dados provêm. 
Quando de posse dos dados, procura-se agrupa-los e reduzi-los, sob forma de amostra, deixando 
de lado a aleatoriedade presente. 
Seguidamente o objetivo do estudo estatístico pode ser o de estimar uma quantidade ou testar 
uma hipótese, utilizando-se técnicas estatísticas convenientes, as quais realçam toda a 
potencialidade da Estatística, na medida em que vão permitir tirar conclusões acerca de uma 
população, baseando-se numa pequena amostra, dando-nos ainda uma medida do erro cometido. 
 
 
2- População e amostra 
Qualquer estudo científico enfrenta o dilema de estudo da população ou da amostra. Obviamente 
teríamos uma precisão muito superior se fosse analisado o grupo inteiro, a população, do que 
uma pequena parcela representativa, denominada amostra. Observa-se que é impraticável na 
grande maioria dos casos, estudar-se a população em virtude de distâncias, custo, tempo, 
logística, entre outros motivos. 
A alternativa praticada nestes casos é o trabalho com uma amostra confiável. Se a amostra é 
confiável e proporciona inferir sobre a população, chamamos de inferência estatística. Para que a 
inferência seja válida, é necessária uma boa amostragem, livre de erros, tais como falta de 
determinação correta da população, falta de aleatoriedade e erro no dimensionamento da 
amostra. 
Quando não é possível estudar, exaustivamente, todos os elementos da população, estudam-se 
só algunselementos, a que damos o nome de Amostra. 
Quando a amostra não representa corretamente a população diz-se enviesada e a sua utilização 
pode dar origem a interpretações erradas. 
 
 
3- Medidas de tendência Central 
As mais importantes medidas de tendência central, são a média aritmética, média aritmética para 
dados agrupados, média aritmética ponderada, mediana, moda, média geométrica, média 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática - Apostila 
 
harmônica, quartis. Quando se estuda variabilidade, as medidas mais importantes são: amplitude, 
desvio padrão e variância. 
 
 
Medidas 
Média aritmética 
 
Média aritmética para dados 
agrupados 
 
Média aritmética ponderada 
 
Mediana 
1) Se n é impar, o valor é central, 
 2) se n é par, o valor é a média dos dois 
valores centrais 
Moda Valor que ocorre com mais frequência. 
 
Sendo a média uma medida tão sensível aos dados, é preciso ter cuidado com a sua utilização, 
pois pode dar uma imagem distorcida dos dados. 
A média possui uma particularidade bastante interessante, que consiste no seguinte: 
se calcularmos os desvios de todas as observações relativamente à média e somarmos esses 
desvios o resultado obtido é igual a zero. 
A média tem uma outra característica, que torna a sua utilização vantajosa em certas aplicações: 
Quando o que se pretende representar é a quantidade total expressa pelos dados, utiliza-se a 
média. 
Na realidade, ao multiplicar a média pelo número total de elementos, obtemos a quantidade 
pretendida. 
 
 
4.1- Moda 
Define-se moda como sendo: o valor que surge com mais frequência se os dados são discretos, 
ou, o intervalo de classe com maior frequência se os dados são contínuos. 
Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a 
moda ou a classe modal 
Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos, 
apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se pode calcular a média e 
por vezes a mediana. 
 
 
4.2- Mediana 
A mediana, é uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida do 
seguinte modo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra) que a 
divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os 
outros 50% são maiores ou iguais à mediana 
Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n 
elementos: 
 
 Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio. 
 Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos médios 
 
 
4.3-Considerações a respeito de Média e Mediana 
Como medida de localização, a mediana é mais robusta do que a média, pois não é tão sensível 
aos dados. 
 
1- Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem. 
2- A mediana não é tão sensível, como a média, às observações que são muito maiores ou muito 
menores do que as restantes (outliers). Por outro lado a média reflete o valor de todas as 
observações. 
 
Como já vimos, a média ao contrário da mediana, é uma medida muito influenciada por valores 
"muito grandes" ou "muito pequenos", mesmo que estes valores surjam em pequeno número na 
amostra. Estes valores são os responsáveis pela má utilização da média em muitas situações em 
que teria mais significado utilizar a mediana. 
A partir do exposto, deduzimos que se a distribuição dos dados: 
 
1. for aproximadamente simétrica, a média aproxima-se da mediana 
2. for enviesada para a direita (alguns valores grandes como "outliers"), a média tende a ser maior 
que a mediana 
3. for enviesada para a esquerda (alguns valores pequenos como "outliers"), a média tende a ser 
inferior à mediana. 
 
 
5 - Medidas de dispersão 
Introdução 
 
No capítulo anterior, vimos algumas medidas de localização do centro de uma distribuição de 
dados. Veremos agora como medir a variabilidade presente num conjunto de dados através das 
seguintes medidas: 
 
 
5.1- Medidas de dispersão 
Um aspecto importante no estudo descritivo de um conjunto de dados, é o da determinação da 
variabilidade ou dispersão desses dados, relativamente à medida de localização do centro da 
amostra. 
 
 
 
 
 
 
 
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Supondo ser a média, a medida de localização mais importante, será relativamente a ela que se 
define a principal medida de dispersão - a variância, apresentada a seguir. 
 
5.2- Variância 
Define-se a variância, como sendo a medida que se obtém somando os quadrados dos desvios 
das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número de observações 
da amostra menos um. 
 
 
 
5.3- Desvio-padrão 
Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a 
mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as 
mesmas unidades que os dados, tomamos a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio 
padrão: 
O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for, 
maior será a dispersão dos dados. 
 
Algumas propriedades do desvio padrão, que resultam imediatamente da definição, são: 
 
O desvio padrão será maior, quanta mais variabilidade houver entre os dados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Geometria Analítica 
 
 
PPoonn ttoo nnoo RR22 
Um ponto é um par ordenado (x, y) onde x é a abscissa e y é a ordenada. 
 
Exemplo: 
Observe no gráfico abaixo os pontos A (xA, yA) e B (xB, yB). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DD II SS TT ÂÂ NNCC II AA EE NNTT RREE DD OOII SS PP OONNTT OOSS 
Dados dois pontos A (xA, yA) e B (xB, yB), como calcular a distância entre eles? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para calcular a distância entre os pontos A e B, nós criamos um triângulo retângulo de catetos 
conhecidos e utilizamos o teorema de Pitágoras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática - Apostila 
 
Assim: 
dAB2 = (xA - xB)2 + (yA - yB)2 
Temos que a distância entre eles é: 
   2BA
2
BAAB yyxxd 
 
 
 
PPOONN TT OO MMÉÉ DDII OO 
Dados dois pontos: A(xA,yA) e B(xB, yB), como descobrir as coordenadas do ponto médio entre 
eles? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para isso vamos criar dois triângulos retângulos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que os triângulos TMA e MBR são congruentes, pois têm dois ângulos iguais, o que 
garante que são semelhantes 
MAMB
. O que garante que a razão de semelhança seja 1 é o 
fato de eles serem congruentes. 
 
Logo, 
MTBR 
 e 
MRAT 
, ou seja, 
mammb xxxxx 
 é o ponto médio de xa e xb 
mamma yyyyy 
 é o ponto médio de ya e yb 
 
xm- xb = xa - xm  2xm =xa + xb 
xm –xb = yb - ym  2ym =ya + yb 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Portanto, 
 M = (Xm, Ym) = 





 
2
yy
,
2
xx BABA
 
 
 
BBAARR II CC EE NNTT RR OO DDEE UUMM TTRR II ÂÂNN GG UULL OO 
Seja G o baricentro do triângulo ABC, podemos dizer que as coordenadas de G são as médias 
das coordenadas dos vértices do triangulo. 
 
 
 
 
 
 
 G= A + B + C 
 3 
 
 
EEqquuaaççããoo ddaa RReettaa 
Neste momento, iremos ver que uma reta do plano cartesiano pode sempre ser representada por 
uma equação do tipo ax + by + c = 0, onde a, b e c são constantes e as variáveis x e y são as 
coordenadas dos pontos P (x, y) da reta. 
Dados dois pontos: A (xA, yA) e B (xB, yB), temos que a equação da reta que os contem pode ser 
obtida da seguinte forma: 
 
Se um ponto P (x, y) pertence à reta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos pela semelhança dos triângulos RPB e TAB que: 
 
ba
ba
b
b
xx
yy
xx
yy





 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Obtenha a equação da reta determinada por A (2, 3) e B (3, 5). 
 
 



 tg
xx
yy
m
BA
BA
 
 
y - 5 = 2 (x -3)  2x - y + 1 = 0 
 
 
CCOO EE FF II CC II EE NNTT EE AANN GG UU LL AARR DDEE UUMM AA RREE TT AA 
Se A (xA,yA) e B (xB, yB) são dois pontos distintos do plano cartesiano e xA ≠ xB (isto é, a reta AB 
não é paralela a 0y), define-se o coeficiente angular m da reta AB, como: 
 
 



 tg
XX
YY
m
BA
BA
 
 
temos que o coeficiente angular é a tangente do ângulo de inclinação da reta em relação ao eixo 
x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação da Reta dados o Coeficiente Angular e um Ponto 
Se forem dados o coeficiente angular m= tg a, e um ponto A (xA,yA) da reta podemos obter sua 
equação fazendo: 
 
m
xx
yy
a
a 


 
donde 
 y – yA = m (x – xA) 
 y = mx +yA - mxA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática - Apostila 
 
Chamando yA–mxA=n teremos a Equação reduzida da reta 
 y = mx+ n 
 
Caracterizada por ter o y isolado no 1º membro da equação: 
 
 
PPRROOPPRRIIEEDDAADDEESS 
I) Coeficiente linear n. O ponto de interseção da reta com o eixo y é (0, n). 
 
II) Coeficiente angular m = tg  
 
III) Dado um ponto (x0,y0) e o coeficiente angular m, a equação da reta poderá ser obtida por: 
 y – y0 = m (x – x0) 
 
 
PPOOSS II ÇÇÃÃ OO RREE LL AATT II VV AA DDEE DDUU AASS RREE TT AASS 
 
• CCOONNCCOORRRREENNTTEESS 
Sabemos que s e r são concorrentes se tiverem um só ponto comum. Isto ocorre se o sistema 
formado pelas suas equações é satisfeito por um único par (x, y), isto é, se o sistema e possível e 
determinado. 
Caso particular: retas perpendiculares. 
 
•• PPAARRAALLEELLAASS 
No plano cartesiano, duas retas paralelas têm coeficientes angulares iguais ou são ambas 
verticais. 
Se forem r e s paralelas então não existe par ordenado (x, y) que satisfaz ao sistema formado 
pelas equações das retas (então um sistema impossível). 
Se r e s forem coincidentes (r = s), o sistema formado por suas equações é satisfeito por uma 
infinidade de pares (x, y). 
Neste caso, as equações de s e r são equações equivalentes, formam um sistema indeterminado. 
 
 
PPAARR AALLEE LL II SS MM OO 
Duas retas são paralelas se possuem o mesmo coeficiente angular (ou seja, tem a mesma 
inclinação em relação ao eixo x). 
 
 
 
 
 
 
Obter a equação da reta s que passa pelo ponto A (1, -2) e é paralela a reta r de equação x + y - 3 
= 0. 
 
 
 
 
 
 
 
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Resolução 
1º modo: 
A equação reduzida de r é y= - x + 3; então, o seu coeficiente angular é m = - 1. 
 
1
1x
2y



 
 y + 2 = - x +1 
 
equivalente a x + y + 1= 0 (equação geral) 
 
 2° modo: 
Como a equação reduzida de r é y=- x + 3, a equação reduzida de s, paralela a r, seja y = - x 
+ p. 
O ponto A (1,-2) pertence a s; substituindo x = 1 e y =-2 temos -2 = -1 + P e daí, p = -1. 
Então, a equação de s é y = -x -1 (equação reduzida) 
 
 
PPEE RR PP EE NN DDII CCUU LL AARRII SS MM OO 
Se duas retas r e s são perpendiculares, então mr . ms = -1. 
 
 
 
 
 
 
 
CC II RR CCUU NN FFEE RRÊÊ NNCC II AA 
É o conjunto dos pontos do plano que são equidistantes de um ponto fixo (a, b), chamado centro 
da circunferência. A distância comum é o raio r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
EEQQUUAAÇÇÃÃOO DDEE UUMMAA CCIIRRCCUUNNFFEERRÊÊNNCCIIAA 
Em geral, seja P (x, y) um ponto da circunferência de centro (a, b) e raio r. Temos que a distância 
entre P e C é d = r. Então, temos a equação em x e y: 
   22 byaxr 
 
da qual obtemos a equação reduzida da circunferência: 
 (x – a )2 + ( y – b )2 = r2 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática - Apostila 
 
EEQQUUAAÇÇÃÃOO GGEERRAALL 
Desenvolvendo-se a equação reduzida (os produtos notáveis) obtemos a equação geral da 
circunferência: 
 
 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 
 
Onde: 
D = - 2a 
E = - 2b 
F = a2+ b2- r2 
 
 
PPOOSS II ÇÇÃÃ OO RREE LL AATT II VV AA DDOO PPOONNTT OO EE CC II RR CCUU NN FFEE RRÊÊ NN CCII AA 
Com um ponto P (x, y) em relação a uma circunferência de centro C (a, b) e raio r, pode ocorrer 
uma das três situações que estudaremos a seguir: 
 
a) Ponto P pertencente à circunferência 
 
 
 
 
 
 
A distância entre P e C é igual ao raio: 
 dC,P = R 
 
Logo, satisfazem equação da circunferência 
 (x – a)2 + ( y – b)2 = r2 
 
 
b) O ponto P esta no interior do círculo definido pela circunferência, quando diremos que e interno 
a circunferência. 
 
 
 
 
 
 
A distância entre P e C é menor do que o raio: 
 dC,P < R 
 
Portanto, suas coordenadas satisfazem a inequação: 
 (x - a)2+ (y - b)2 < r2 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática - Apostila 
 
c) O ponto P está no exterior do círculo determinado pela circunferência quando diremos que P é 
externo a circunferência. 
 
 
 
 
 
A distância entre P e C é maior do que o raio: 
 dC;P > R 
 
Logo suas coordenadas satisfazem a inequação 
 ( x - a)2 + (y - b)2 > r2