Modos de Enunciar e Demonstrar Proposições em Matemática

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Diversos modos de se enunciar e demonstrar proposic¸o˜es em
Matema´tica
Raimundo do Nascimento Velozo Neto1
Esclarec¸amos um pouco a linguagem usada na formulac¸a˜o de sentenc¸as matema´ticas e, tambe´m, a relac¸a˜o
desta linguagem com a lo´gica subjacente.
Existem, em Matema´tica, dois tipos ba´sicos de afirmac¸o˜es ou proposic¸o˜es:
“Se P, enta˜o Q.”
“Se P, enta˜o Q e reciprocamente.”
Examinemos, pois, cada uma delas.
Quando dizemos “se m e n forem inteiros pares, enta˜o mn sera´ par”, temos uma proposic¸a˜o do tipo
“se P, enta˜o Q”. Esta proposic¸a˜o pode ser formulada de muitas maneiras, como se veˆ na lista abaixo:
• Se P for verdadeiro, enta˜o Q sera´ verdadeiro.
• P implica (ou acarreta) Q, e escrevemos P ⇒ Q.
• P e´ uma condic¸a˜o suficiente para Q.
• Q e´ uma condic¸a˜o necessa´ria para P.
• P somente se Q.
Assim, podemos dizer: “m e n serem inteiros pares implica mn ser par”, “m e n serem inteiros pares e´
condic¸a˜o suficiente para mn ser par” ou, finalmente, “mn ser par e´ condic¸a˜o necessa´ria para m e n serem
inteiros pares”.
A implicac¸a˜o Q⇒ P chama-se a rec´ıproca de P ⇒ Q. Evidentemente, a rec´ıproca de uma proposic¸a˜o
verdadeira pode ser falsa. No exemplo acima, a rec´ıproca e´ falsa: o fato de o produto de dois inteiros ser
um inteiro par na˜o acarreta o fato de os dois fatores serem ambos pares (como sabemos, basta que um
deles o seja).
Quando sa˜o verdadeiras ambas as implicac¸o˜es P ⇒ Q e Q ⇒ P , escreve-se P ⇔ Q e leˆ-se “P se, e
somente se, Q”, “P e´ equivalente a Q” ou “P e´ condic¸a˜o necessa´ria e suficiente par Q”. Isto significa que
o conjunto dos elementos que gozam da propriedade P coincide com o conjunto dos elementos que gozam
de Q.
Por exemplo, sejam P a propriedade de um triaˆngulo, cujos lados medem a > b ≥ c, ser retaˆngulo e
Q a propriedade de valer
a2 = b2 + c2.
Enta˜o P ⇔ Q.
Dado um conjunto A (de um determinado conjunto-universo U ), chama-se complementar de A (em
relac¸a˜o ao universo do discurso) ao conjunto A{ formado pelos objetos de U que na˜o pertencem a A.
1Mestre em Matema´tica (UFMA). Licenciado em Matema´tica (UFSC). Professor Assistente I da UEMA, campus Bacabal.
2
O fato de que, para todo x ∈ U , na˜o existe uma outra alternativa ale´m de x ∈ A ou x /∈ A, e´ conhecido
em Lo´gica como o princ´ıpio do terceiro exclu´ıdo, e o de que as opc¸o˜es x ∈ A e x /∈ A na˜o podem ser
verdadeiras ao mesmo tempo chama-se o princ´ıpio da na˜o-contradic¸a˜o.
Ale´m disso, decorre destes dois princ´ıpios lo´gicos a seguinte equivaleˆncia:
A ⊂ B ⇔ B{ ⊂ A{.
Sendo P e Q as propriedades que definem os conjuntos A e B, respectivamente, enta˜o as propriedades
que definem os conjuntos A{ e B{ sa˜o P ′, a negac¸a˜o de P , e Q′, a negac¸a˜o de Q, respectivamente.
Com esta convenc¸a˜o, a relac¸a˜o A ⊂ B ⇔ B{ ⊂ A{ se leˆ do seguinte modo:
P ⇒ Q se, e somente se, Q′ ⇒ P ′.
Noutras palavras, dizer que P implica Q e´ o mesmo que dizer que Q′ implica P ′.
A implicac¸a˜o Q′ ⇒ P ′ e´ chamada a contrapositiva da implicac¸a˜o P ⇒ Q.
E´ de muita utilidade, a quem se ocupa de Matema´tica, ter em mente que uma implicac¸a˜o e sua forma
contrapositiva dizem exatamente a mesma coisa, a fim de tornar mais maneja´vel uma afirmac¸a˜o que na˜o
o e´ a priori.
A equivaleˆncia entre uma implicac¸a˜o e sua contrapositiva e´ a base das demonstrac¸o˜es por reduc¸a˜o ao
absurdo2.
Refereˆncias
[1] LIMA, E. L., et al. A Matema´tica do Ensino Me´dio, Vol. 1. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira
de Matema´tica, 2012. (Colec¸a˜o do Professor de Matema´tica.)
[2] NIVEN, I. Nu´meros Racionais e Irracionais. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matema´tica,
1984. (Colec¸a˜o Fundamentos da Matema´tica Elementar.)
[3] IEZZI, G.; DOMINGUES, H. H. A´lgebra Moderna. 4a edic¸a˜o. Sa˜o Paulo: Editora Atual, 2006.
(NETO, R. do N. V.) Departamento de Cieˆncias Exatas e Naturais, Universidade Estadual do Maranha˜o,
Bacabal, Maranha˜o, Brasil
E-mail address: rnvneto@bol.com.br
2Euclides de Alexandria, em seu Os Elementos, usou este me´todo, alguns se´culos antes de Cristo, para provar que ha´
infinitos nu´meros primos.