CAIPTULO 1 - PRINCIPIO DA INDUCAO FINITA

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Cálculo Diferencial e Integral I – Professor Mestre Aislan Totti Bernardo
Faculdade Católica Paulista – www.uca.edu.br – Material em construção
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1 PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITA
1.1 Introdução
Qual é a fórmula para a soma dos primeiros n inteiros ímpares positivos?
Observando os resultados para um n pequeno, encontra-se um resultado .
É necessário provar que essa suposição é verdadeira.
Indução matemática é uma ferramenta importante para provar assertivas como essa.
1.2 Definição
Seja uma proposição qualquer referente a um número inteiro, e seja um número inteiro fixo.
Assim o princípio da indução finita diz que, se for possível devemos provar que a proposição:
1) É verdadeira para .
2) É verdadeira para um valor , se também é verdadeira para .
Logo, a afirmação para todos os inteiros , é verdadeira.
Exemplo:
Prove por indução que:
, para .
Uma vez que  nosso valor inicial é igual a 1.
1) BASE: Para (Verdadeiro)
2) Vamos ter como HIPÓTESE * / 1 + 3 + 5 + ... (2k - 1) = k2
3) Nossa TESE é que 1 + 3 + 5 + ... +(2K - 1) + (2K + 1) = (k + 1)2
Partindo da hipótese vamos demonstrar que
1 + 3 + 5 + ... +(2K - 1) + (2K + 1) = k2 + 2k + 1
Assim
k2 + 2k + 1 = (k + 1)2 c.q.d.
Prove por indução que:
.
BASE: Para (verdadeiro)
HIPÓTESE: funciona para .
	.
TESE: Provar que:
	
DEMOSTRAÇÂO (PROVA):
	
	
	
	
	
	
	. c.q.d.
1.3 Exercícios:
, para .
1+3+5+...+(2n-1) = n2, para .
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1) = (n/3)(n+1)(n+2), para .
2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n = n.(n+1) , para .