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2ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE G.A. 1)Determine a equação do plano que passa pelo ponto A = (3, 5, 0) e é ortogonal aos planos 𝛼: 𝑥 + 𝑦 + 2𝑥 − 2 = 0 e 𝜋: 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 3 = 0 2)Em relação a um sistema ortogonal de coordenadas, sejam r : x = (1, 1, 2) + t(0, 1, 1) S: x + 2 = y + z = z + 1 T { 𝑥 + 𝑧 − 3 = 0 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 1 = 0 Mostre que existe um único ponto comum a essas três retas e calcule o volume do tetraedro determinado por elas e pelo plano 𝜋: x + y – 3z = 0. 3)Sejam o ponto P = (2, -1, 1) e a reta r: 𝑥−1 2 = 𝑦+1 0 = 𝑧 1 , obtenha: a) A reta t que passa por P e intercepta ortogonalmente a reta r; b) O ponto de interseção de r e t; c) A distância do ponto P à reta r. 4)Sendo r1:{ 𝑥 + 𝑧 − 2 = 0 𝑦 − 1 = 0 e r2:{ 𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0 𝑧 − 1 = 0 calcular: a) A distância entre as retas r1 e r2; b) Os pés da normal comum; c) A normal comum às retas r1 e r2. 5)Obter a equação do plano que contém a reta: R:{ 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 3 = 0 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 5 = 0 e seja paralelo ao eixo das abscissas. 6)Obter as equações simétricas das retas que passem pelo ponto A= ( 0, 0, 1), distem √2 2 da origem do sistema cartesiano e sejam paralelas ao plano x – y + 2 = 0 7)Calcular a distância do ponto A = (1, 2, 0) à reta r: { 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 2 = 0 𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 − 2 = 0 8)Qual é o simétrico do ponto P = (3, 7, 0) em relação ao plano x + 2y – z = 5? 9)Achar a equação do plano que passa pela reta r: { 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 3 = 0 2𝑥 + 𝑦 + 1 = 0 e é paralelo à reta S: 𝑥+1 1 = 𝑦 2 = 𝑧+2 7 10)Achar as equações simétricas da reta que passe pelo ponto A = (1, 0, 2), seja paralela ao plano 𝛼: x – z + 2 = 0 e forme um ângulo de 𝜋 6 rad. com o plano 𝛽: x + y – z + 4 = 0. 11)Duas partículas realizam movimentos descritos pelas equações x = (0, 0, 0) + t(1, 2, 4) e X = (1, 0, -2) + t(-1, -1, -1), t ∈ 𝑅. As trajetórias são concorrentes? Pode haver colisão das partículas em algum instante? Em relação a um sistema ortogonal de coordenadas, sejam r : x = (1, 1, 2) + t(0, 1, 1) S: x + 2 = y + z = z + 1 T { 𝑥 + 𝑧 − 3 = 0 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 1 = 0 Mostre que existe um único ponto comum a essas três retas e calcule o volume do tetraedro determinado por elas e pelo plano 𝜋: x + y – 3z = 0. 12) Sabendo-se os pontos A = (0,1, 2), B = (1, 1, 3) e C=(1, 3, 4), calcule: a) A área da projeção de ortogonal do triângulo ABC sobre o plano orientado por �⃗� = 𝑖 + 𝑗 ; b) A área da projeção de ABC sobre o mesmo plano, porém segundo a direção do vetor 𝑣 = 2𝑖⃗⃗ ⃗ + �⃗� ; 13)Escrever as equações dos planos que contém a reta r { 𝑥 − 𝑧 = 0 𝑦 − 2 = 0 e que formam com o plano 𝛼: x + y + z -1 = 0 um ângulo de 60º. 14)Determinar as equações simétricas da reta r sabendo-se que passa pelo ponto P=(3, 5, 2) e é concomitante ortogonal ao eixo e à reta s: 𝑥−1 0 = 𝑦−3 −2 = 𝑧+1 1 . 15) Sendo r1:{ 𝑥 + 𝑧 − 2 = 0 𝑦 − 1 = 0 e r2:{ 𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0 𝑧 − 1 = 0 calcular: d) A distância entre as retas r1 e r2; e) Os pés da normal comum; f) A normal comum às retas r1 e r2. 16)Obter as equações da reta r tais que: passe por P =(- 2, - 3, 5); seja paralela ao plano : 2x-z+3=0; intercepta a reta S:{ 𝑥 = 𝑧 − 2 𝑦 = 3 Determinar a equação do plano que passa pela reta , r: { 3𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 + 6 = 0 𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 + 4 = 0 é paralelo à reta s: 𝑥−1 3 = 𝑦−5 3 = 𝑧+1 −3 17)Dada a figura abaixo, onde o plano 𝛼 é paralelo ao eixo z e o plano 𝛽 é paralelo ao plano xy, A reta é a interseção de 𝛼 e 𝛽. Pede- se: a) equações simétricas de r; b) equação do planos 𝛽 18)Dadas as retas 𝛼 : { 𝑥 1 = 𝑦−1 0 = 𝑧−1 1 e 𝛽: 𝑥−1 1 = 𝑦−2 1 = 𝑧−1 2 , calcule: a) a distância entre as retas 𝛼 e 𝛽; b) a reta r, perpendicular comum às retas 𝛼 e 𝛽 19) Considere as retas r e s dadas por: r: x=0, y =2 + t e z = 1 + t l: x-2 = z +1 e y =3. a) Mostre que r e l são reversas; b) Encontre os planos 𝜋 𝑒 𝛼 tais que r C 𝜋 , l C 𝛼 e 𝜋 é paralelo a 𝛼. c) Encontre a distância entre os planos 𝜋 𝑒 𝛼. d) Encontre P em r e Q em l tais que a reta que passa por P e Q seja perpendicular a r e l. 20)Determinar a distância d do plano 3x − 12y + 4z − 3 = 0 ao ponto A =(3,−1, 2) pelo seguinte processo: Encontrar o ponto B , pé da perpendicular desde A até o plano. Então determinar d como o comprimento do segmento AB. 21)Decomponha o vetor v = (1, 2, 4) em duas parcelas, sendo uma delas paralela ao plano X = (1, 1, 0) + X(1, 0, 1) + p(0, 1, -1) e outra paralela a reta X = (0, 0, 0) + v (2, 1,0). 22)Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto P0 = (1, 2, 1) e é paralelo aos vetores 𝑎 = 2𝑖 + 𝑗 − �⃗� . e �⃗� = 𝑖 + 𝑗 − 2�⃗� . 23)Estude a posição relativa da reta r : { 𝑥 = 2𝑡 − 2 𝑦 = 3𝑡 + 5 𝑧 = −2𝑡 + 1 com o plano 𝛼: 3 x – 2 y + 8 z + 40 = 0. 24) Dados o plano 𝜋 : x + 2 y – 3 z + 3 = 0 e a reta : { 𝑥 = 𝑡 𝑦 = 5 − 3𝑡 𝑧 = 1 a) Determine a interseção da reta com o plano. b) Determine a projeção ortogonal do ponto A = (0, 5, 1) sobre o plano. c) Determine as equações normais da reta r’, simétrica de r em relação ao plano. 25)Encontrar a projeção ortogonal da reta r: x = y -1 = z -2 sobre o plano coordenado xy. 26) Sejam o ponto P = (2, -1, 1) e a reta r: 𝑥−1 2 = 𝑦+1 0 = 𝑧 1 , obtenha: a) A reta t que passa por P e intercepta ortogonalmente a reta r; b) O ponto de interseção de r e t; c) A distância do ponto P à reta r. 27)Escrever as equações dos planos que contém a reta r { 𝑥 − 𝑧 = 0 𝑦 − 2 = 0 e que formam com o plano 𝛼: x + y + z -1 = 0 um ângulo de 60º.