Teste Decomposição em Valores Singulares II - Álgebra Linear II

Prévia do material em texto

INSTITUTO DE MATEMÁTICA -UFRJ
Álgebra Linear II - 2017.2 - Professor Felipe Acker
Teste 9 -Decomposição em Valores Singulares
1. Se, na base canônica, w, v1 e v2 são dados por
w =
[
3
−1
]
, v1 =
[
3
2
]
, v2 =
[ −1
4
]
,
então o vetor coluna formado pelas coordena-
das de w na base α = {v1, v2} (nessa ordem)
é
(a)
[
3 −1
2 4
] [
3
−1
]
(b)
[
10
2
]
(c)
[
3 −1
2 4
]−1 [ 3
−1
]
(d) 114
[
4 1
−2 3
] [
3
−1
]
2. Se, na base canônica, w, v1 e v2 são dados por
w =
[
3
−1
]
, v1 =
[
0, 6
0, 8
]
, v2 =
[ −0, 8
0, 6
]
,
então o vetor coluna formado pelas coordena-
das de w na base α = {v1, v2} (nessa ordem)
é
(a)
[
0, 6 −0, 8
0, 8 0, 6
]−1 [ 3
−1
]
(b)
[
0, 6 −0, 8
0, 8 0, 6
]T [ 3
−1
]
(c)
[
0, 6 0, 8
−0, 8 0, 6
] [
3
−1
]
(d)
[
1
−3
]
3. Se, na base canônica, v1, v2, u1 e u2 são dados por
v1 =
[ √
2/2√
2/2
]
, v2 =
[ −√2/2√
2/2
]
, u1 =
[
0, 6
0, 8
]
, u2 =
[ −0, 8
0, 6
]
,
e T : IR2 → IR2 é linear, com Tv1 = −3u1, Tv2 = 5u2, então a matriz de T na base canônica é
(a)
[
0, 6 −0, 8
0, 8 0, 6
] [ −3 0
0 5
] [ √
2/2
√
2/2
−√2/2 √2/2
]
(b)
[
0, 6 −0, 8
0, 8 0, 6
] [ −3 0
0 5
] [ √
2/2 −√2/2√
2/2
√
2/2
]
(c)
[
0, 6 0, 8
−0, 8 0, 6
] [ −3 0
0 5
] [ √
2/2
√
2/2
−√2/2 √2/2
]
(d)
[
0, 6 0, 8
−0, 8 0, 6
] [ −3 0
0 5
] [ √
2/2 −√2/2√
2/2
√
2/2
]
1
4. Se, na base canônica, v1, v2, u1 e u2 são dados por
v1 =
[ √
2/2√
2/2
]
, v2 =
[ −√2/2√
2/2
]
, u1 =
[
0, 6
0, 8
]
, u2 =
[ −0, 8
0, 6
]
,
T : IR2 → IR2 é linear, com Tv1 = −5u1, Tv2 = 3u2, e [A] é a matriz de T na base canônica, então a
decomposição em valores singulares de [A] é
(a)
[ −0, 6 −0, 8
−0, 8 0, 6
] [
5 0
0 3
] [ √
2/2
√
2/2
−√2/2 √2/2
]
(b)
[
0, 6 −0, 8
0, 8 0, 6
] [ −5 0
0 3
] [ √
2/2
√
2/2
−√2/2 √2/2
]
(c)
[ −0, 6 0, 8
−0, 8 −0, 6
] [
5 0
0 3
] [ √
2/2
√
2/2√
2/2 −√2/2
]
(d)
[
0, 6 0, 8
0, 8 −0, 6
] [
5 0
0 3
] [ −√2/2 −√2/2√
2/2 −√2/2
]
5. Suponha que A é matriz 2× 2 e que sua decomposição em valores singulares é
A = U
[
4 0
0 2
] [
0, 6 0, 8
0, 8 −0, 6
]
.
Então
(a) |A
[
0, 6
0, 8
]
| = 4
(b) |A
[
0, 8
−0, 6
]
| = 2
(c) Existem u1 e u2 em IR2, unitários e ortogonais, tais que
A
[
0, 6
0, 8
]
= −4u1 e A
[
0, 8
−0, 6
]
= −2u2
(d) U = A
[
0, 15 0, 4
0, 2 −0, 3
]
NOME
1. 2. 3. 4. 5.
(a) ♥ ♥ ♥ ♥ ♥
(b) ♥ ♥ ♥ ♥ ♥
(c) ♥ ♥ ♥ ♥ ♥
(d) ♥ ♥ ♥ ♥ ♥
2