Desenhos Geométricos Projeções cônicas e cilíndricas

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DESENHO 
GEOMÉTRICO
Mariana Comerlato Jardim
Projeções cônicas 
e cilíndricas
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Identificar as projeções cônicas e cilíndricas.
  Caracterizar as projeções cônicas e cilíndricas.
  Definir as aplicações das projeções cônicas em design de interiores.
Introdução
Neste capítulo, você vai estudar a parte da matemática destinada à repre-
sentação dos objetos tridimensionais, a geometria descritiva, bem como 
os tipos de projeções cônica e cilíndrica. Você vai verificar as características 
dessas projeções e como elas são aplicadas nas áreas de arquitetura e 
design de interiores.
A geometria descritiva e as projeções
As projeções são métodos de representação de um objeto tridimensional em um 
plano bidimensional; a área da matemática que trata desse tipo de representação 
é a geometria descritiva. Gaspard Monge, um político e desenhista francês, 
foi o criador da geometria descritiva e grande teórico da geometria analítica, 
no período entre o século XVIII e o início do século XIX. Além disso, foi um 
dos fundadores da Escola Politécnica Francesa e pode ser considerado o pai 
da geometria diferencial, que trata das curvas e superfícies do espaço. Monge 
defi niu a geometria descritiva como a parte da matemática responsável por 
representar as fi guras do espaço planifi cadas, em um espaço bidimensional, a 
fi m de resolver, com a geometria plana, todos os questionamentos das fi guras 
tridimensionais, conforme leciona Machado (1986).
Filho de Jacques Monge, mascate amolador de facas, Gaspard Monge era o gênio da 
família. Na escola em que estudava, de ordem religiosa, ganhava todos os prêmios que 
disputava. Hoje conhecido como o pai da geometria descritiva, é um dos responsáveis 
pela expansão industrial do século XIX. Sem esses avanços matemáticos — original-
mente empregados na engenharia militar —, a inovação da maquinaria desse período 
teria, provavelmente, sido impossível. Aos 14 anos, Monge construiu um carro de 
bombeiros e respondeu assim quando questionado como fez aquilo sem receber 
orientações: “Eu uso dois trunfos infalíveis: uma tenacidade invencível e mãos que 
traduzem meu pensamento com fidelidade geométrica” (MACHADO, 1986, p. 112).
Em meio a problemas de representação relacionados à projeção em um 
único plano, Monge desenvolveu um sistema duplo de projeção, que ficou 
conhecido pelo seu nome. No sistema mongeano, qualquer objeto, inde-
pendentemente da forma, posição ou dimensão, pode ser representado no 
plano bidimensional pelas projeções cilíndricas ortogonais, em razão de 
dois planos, um vertical e outro horizontal, se interceptarem no espaço, 
perpendiculares entre si. Essa interseção determina os quatro diedros em 
que ocorrerão as projeções (Figura 1) e delimita a linha de terra (LT), como 
explicam Cruz e Amaral (2012).
Projeções cônicas e cilíndricas2
Figura 1. Os quatro diedros propostos por Monge para facilitar o entendimento dos sólidos 
prismáticos.
Mas, enfim, para que serve a geometria descritiva? Segundo Montenegro 
(2005, p. 67):
A GD desenvolve a habilidade de imaginar objetos ou projetos no espaço, e 
não apenas a leitura ou interpretação de desenhos. Algumas profissões exigem 
a capacidade de pensar em 3 dimensões; sem este tipo de pensamento, mais 
a habilidade de transportá-lo para o desenho, é impraticável a criatividade, a 
inteligência para criar coisas novas.
Os conceitos da geometria descritiva servem como base para o desenho 
técnico, de onde se originam os desenhos arquitetônico, industrial, mecânico, 
e tantos outros.
A geometria é o ramo da matemática responsável por estudar as formas e 
dimensões das figuras da natureza. A geometria descritiva, mais especifica-
3Projeções cônicas e cilíndricas
mente, é a parte da matemática aplicada que estuda os prismas tridimensionais 
em razão das suas projeções nos planos. Nesse contexto, dois conceitos são 
fundamentais para um bom entendimento do assunto:
  forma — característica de um objeto;
  dimensão — grandeza que determina a medida do objeto.
Além disso, temos alguns elementos fundamentais dentro da geometria:
  Ponto — é o elemento mais simples, já que não possui forma nem 
dimensão. Porém, a partir dele, é possível construir qualquer forma 
geométrica e referenciá-la. Por exemplo, uma reta perpendicular ao 
plano de projeção é representada por um ponto. Ou, ainda: uma reta é 
definida por uma sequência de pontos no espaço que, unidos, conformam 
uma única forma.
  Reta — como enunciado acima, é composta por pontos unidos linear-
mente e possui apenas uma dimensão — o comprimento.
  Superfície — é o conjunto de posições de uma linha. Quando a super-
fície é feita de retas em deslocamento retilíneo e paralelas entre si, ela é 
considerada plana. Caso isso não aconteça, e a superfície seja o resultado 
da trajetória de uma reta curva no espaço, teremos um plano curvo.
Assim, a geometria descritiva é a ciência que estuda os métodos de re-
presentação gráfica das formas geométricas espaciais sobre um plano, por 
meio da construção de vistas, da construção em verdadeira grandeza de cada 
face do objeto pelos métodos descritivos, além da construção de protótipos 
do objeto a ser representado. Dessa forma, a técnica de representação em-
pregada primordialmente pelos egípcios foi aprimorada, já que eles apenas 
representavam a planta baixa, a elevação e a vista lateral (perfil), conforme 
explicam Cruz e Amaral (2012).
A geometria descritiva também pode ser resumida como o processo de 
representação de um objeto qualquer a partir das retas projetantes que passam 
por determinados pontos da forma e intersectam um plano de projeção, de 
forma a resumir as três dimensões a duas dimensões, contidas nos eixos x 
e y. Ou seja, dessa forma, a figura tridimensional se torna plana, em duas 
dimensões. As características do desenho resultante variam de acordo com 
o sistema de projeção adotado, conforme leciona Asensi (1990). Porém, pode 
ocorrer de uma única projeção não ser suficiente para representar o objeto, 
Projeções cônicas e cilíndricas4
como mostra a Figura 2. Por isso, os estudos subsequentes de Monge foram 
importantes para aprimorar a representação dos prismas.
Figura 2. Casos em que apenas uma projeção não é suficiente 
para diferenciar os três prismas, que possuem a mesma projeção 
frontal.
As projeções
A palavra projeção, do latim projectione, signifi ca o processo no qual os 
raios de um objeto incidem sobre um plano de projeção. Essa projeção nada 
mais é do que a representação gráfi ca desse objeto no papel, ou seja, a sua 
representação bidimensional, conforme leciona Asensi (1990). Na prática, 
esse conceito pode ser entendido como um fenômeno que acontece na natureza 
e que é reproduzido pelo ser humano. Uma dessas situações é a sombra de 
um objeto projetada em uma superfície qualquer. Outro exemplo ocorre no 
cinema: as imagens projetadas na tela são resultado da incidência do feixe de 
luz sobre as imagens contidas em uma película ou fi lme, conforme explicam 
Cruz e Amaral (2012).
Esses artifícios usados para transformar algo em três dimensões (3D) 
em um desenho plano envolvem alguns conceitos elementares, conforme 
lecionam Speck e Peixoto (1997):
  Plano de projeção — é onde as retas projetantes do objeto incidem e 
determinam o desenho planificado.
5Projeções cônicas e cilíndricas
  Objeto — é um sólido geométrico, um prisma, que existe nos três 
eixos geométricos e possui altura, largura e profundidade (y, x e z, 
respectivamente). Esse objeto, quando planificado, terá as arestas e 
as faces perpendiculares ao plano representadas por um ponto e uma 
reta, respectivamente.
  Raio projetante — é o segmento de reta que passa pelos pontos-limite 
do objeto e intersecta o planode projeção. Essa “chegada” no plano 
pode ser oblíqua ou ortogonal, conforme a direção adotada.
  Centro de projeção — é o ponto fixo de onde partem ou por onde passam 
os raios projetantes. É ele que determina o tipo de projeção do objeto, 
se esses raios serão perpendiculares ou inclinados ao plano.
Considerando A um ponto no objeto e O um ponto no plano de projeção, 
o segmento que passa por esses dois pontos é o raio projetante, sendo C a sua 
origem, que também é o centro de projeção, conforme mostra a Figura 3. A 
partir da posição ocupada por esse centro, é possível classificar os sistemas 
de projeções. Sendo finito ou infinito, o centro de projeção determina os 
sistemas cônico e cilíndrico.
Figura 3. Raios que partem do centro de projeção (C), passam pelo objeto (A) e se projetam 
no plano (O). O que varia entre eles é a inclinação em relação ao plano.
Projeções cônicas e cilíndricas6
Projeções cônicas
Considere um plano π e um ponto fi xo C não pertencente a esse plano. Deno-
mina-se projeção central, ou cônica, no plano π, a projeção de um ponto A, 
distinto de C, no ponto A’, produzido sobre o plano, formando a reta projetante do 
ponto A a partir do ponto C. Nessa situação e com base na Figura 4, temos que:
  π é denominado plano de projeção;
  C é o centro ou vértice, já que é desse ponto que partem as retas ou 
raios projetantes;
  A é um ponto no objeto, sendo A’ a sua projeção no plano.
O mesmo ocorre com os demais pontos do objeto (B e D).
Figura 4. Raios que partem do centro C, passam pelos pontos do objeto (A, D e B) e se 
projetam no plano. Na projeção cônica, todas as retas concorrem ao mesmo ponto C.
A projeção cônica ocorre quando os raios que incidem no objeto e no plano 
de projeção são todos concorrentes ao centro de projeção. Assim, podemos 
considerar esses raios como geratrizes de um cone, cujo vértice é o centro de 
projeção (Figura 5).
7Projeções cônicas e cilíndricas
Figura 5. A projeção cônica é um cone, cujo vértice é o centro de projeção e as retas são 
as geratrizes desse prisma.
Uma boa analogia é pensar em um objeto iluminado por uma lanterna. A 
sombra que ele projeta sobre uma superfície lisa é a projeção do objeto; os raios 
luminosos são equivalentes aos raios projetantes, ou geratrizes; a lanterna, que 
emite a luz, é o centro de projeção; e a superfície lisa, um muro ou calçada, é 
o plano de projeção, já que é ela que recebe os raios projetantes. Considerando 
essa situação, esses raios são finitos, já que conhecemos o ponto de partida, 
e todos eles partem desse local, ou seja, são convergentes.
Na projeção cônica, os pontos do objeto são projetados em um plano a partir 
de retas que passam pelo observador, o centro, para onde convergem todas 
elas. O resultado é uma adequação para a visão humana, como a diminuição 
de tamanho em relação à distância e a existência de pontos de fuga. Os pontos 
de fuga são origens de retas que tendem ao infinito, para onde convergem as 
retas de construção da imagem projetada, conforme leciona Asensi (1990).
Uma das características dessa projeção é a relação de escala da sombra 
em relação ao objeto, conforme a distância do mesmo em relação ao centro 
e ao plano de projeção. Ou seja, quanto mais perto do plano está o objeto, 
menor a diferença de escala entre a realidade e a projeção. Porém, se o centro 
de projeção, o ponto para onde todas as retas convergem, está muito distante 
do objeto, a projeção será proporcionalmente maior que as medidas reais 
Projeções cônicas e cilíndricas8
(Figura 6). Nota-se que, nesse tipo de projeção, nunca teremos as medidas em 
verdadeira grandeza, somente com proporção entre as dimensões do objeto, 
conforme explica Costa (2016).
Figura 6. Na figura da esquerda, por o objeto estar mais longe do plano de projeção do 
que na figura da direita, a projeção do objeto é ampliada, isto é, a diferença de escala entre 
a realidade e a projeção é maior.
Projeções cilíndricas
A projeção cilíndrica, também chamada de projeção paralela, tem raios proje-
tantes paralelos entre si incidindo no objeto e no plano de projeção. Ou seja, os 
raios projetantes atuam como geratrizes de um cilindro. Esse tipo de projeção 
pode ser ortogonal ou oblíqua — o que varia é o ponto do centro de projeção 
e como ele lança as retas projetantes em relação ao plano.
Caso as retas projetantes incidam perpendicularmente no plano, ou seja, 
formando um ângulo de 90º, trata-se de uma projeção cilíndrica ortogonal. 
Se as retas projetantes incidirem no objeto e no plano com qualquer outro 
ângulo diferente de 90º, trata-se de uma projeção cilíndrica oblíqua, conforme 
mostra a Figura 7.
9Projeções cônicas e cilíndricas
Figura 7. Em ambos os desenhos, as retas são paralelas entre si, como geratrizes de um 
cilindro. Na figura da esquerda, os raios são perpendiculares ao plano, formando um ângulo 
de 90º entre eles; assim, chamamos a projeção de cilíndrica ortogonal. Na figura da direita, 
os raios formam um ângulo diferente de 90º com o plano, ou seja, são inclinadas; assim, 
chamamos essa projeção de cilíndrica oblíqua.
Um bom exemplo desse tipo de projeção é o Sol projetando raios em um 
objeto. O local em que a sombra é projetada é o plano, os raios solares são 
as retas projetantes e o centro de projeção é o Sol. Porém, como ele está tão 
distante da superfície terrestre, podemos considerar que os raios são paralelos 
e que esse centro está a uma distância infinita do objeto. Vale ressaltar que, 
se considerarmos os raios paralelos, eles nunca serão convergentes, conforme 
leciona Asensi (1990).
As projeções cilíndricas possuem algumas propriedades, listadas abaixo 
e representadas na Figura 8, com base em Costa (2016):
1. A projeção de uma reta não paralela aos raios projetantes é representada 
por uma reta no plano de projeção. Uma reta paralela ao raio projetante 
é representada por um ponto.
2. Se duas retas r e s são paralelas, então suas projeções cilíndricas serão 
paralelas, coincidentes ou pontuais.
3. Qualquer figura que estiver contida em um plano paralelo às retas 
projetantes terá sua representação no plano de projeção como uma reta.
4. Se uma figura está contida em um plano paralelo ao plano de projeção, 
então sua projeção será idêntica à forma real, com todas as dimensões 
em verdadeira grandeza.
Projeções cônicas e cilíndricas10
5. Se o segmento de reta é oblíquo ao plano de projeção, então sua reta 
projetada é menor que o tamanho real, também chamado de verdadeira 
grandeza.
6. Se duas retas são perpendiculares ou ortogonais entre si, sendo uma delas 
paralela ao plano de projeção e a outra não perpendicular a esse plano, 
então as projeções ortogonais dessas retas são perpendiculares entre si.
Figura 8. Propriedades da projeção cilíndrica.
Uma forma muito utilizada na representação de objetos é a múltipla pro-
jeção ortogonal em três projeções; ou seja, representa-se o elemento em três 
perspectivas (ou até mais, dependendo do nível de detalhamento). Utilizar a 
projeção cilíndrica ortogonal na representação de prismas significa representar 
o objeto em verdadeira grandeza, o que permite tirar medidas desse objeto 
por essas projeções. Tudo isso porque as retas, paralelas entre si, incidem 
perpendicularmente no plano de projeção.
Outra forma de representação de objetos que utiliza a projeção cilíndrica 
é a perspectiva axonométrica (axon — eixo; metreo — medida). Esse tipo 
de projeção apresenta as figuras referenciadas a um sistema ortogonal de três 
eixos, que formam um diedro (Figura 9). Ela é bastante utilizada por ser de 
11Projeções cônicas e cilíndricas
fácil construção e também permitir que se tire medidas a partir do desenho. 
No entanto, o desenho resultante é distorcido em relação à visão humana, 
conforme lecionam Taton e Flocon (1979).
Figura 9. Esquema da perspectivaaxonométrica isométrica, que segue a projeção cilíndrica.
Fonte: Attaphong/Shutterstock.com.
Projeções aplicadas
Um dos campos que utiliza bastante a questão das projeções, tanto cônicas como 
cilíndricas, é a Geografi a. A maior parte da cartografi a se utiliza desse meio 
para representar, nos mapas, a visão do globo terrestre. Nomes como Mercator, 
Robinson e Peters foram de suma importância para o desenvolvimento da 
geometria no meio geográfi co. Porém, é na arquitetura e na engenharia que a 
aplicação das projeções é mais usada na prática profi ssional cotidiana. Para a 
representação de um edifício, do mobiliário ou de instalações complementares, 
as projeções aparecem como ferramenta indispensável de desenho.
Quando se trata de ambientes internos, as projeções são utilizadas na 
construção de vistas dos espaços, para melhor especificação de materiais, 
acabamentos e texturas, além da projeção de luz pelas luminárias. A vista 
superior, chamada de planta baixa, não é suficiente para expressar os detalhes 
necessários para a execução do projeto.
Na área de objetos e mobiliário, as projeções são essenciais para o entendi-
mento da peça por meio das chamadas vistas. A partir da peça tridimensional, 
podemos gerar as vistas anterior, lateral, posterior e inferior. Na Figura 10, a 
cadeira icônica desenhada por Charles Eames está representada em perspectiva. 
Porém, é na projeção dela que vemos os principais detalhes, como a curvatura 
do assento, a inclinação dos pés, entre outros.
Projeções cônicas e cilíndricas12
Figura 10. Projeção na representação de mobiliário.
Nos projetos luminotécnicos, as projeções de iluminação sobre mobiliário 
ou barreiras verticais (paredes) e horizontais (tetos e pisos) são importantes de 
serem calculadas, a fim de mostrar a intenção do profissional na montagem 
desse cenário. Existem softwares que auxiliam nesse cálculo, além da descrição 
das lâmpadas e luminárias existentes no mercado. O software DiaLux, por 
exemplo, foi desenvolvido para profissionais da área da construção/design, a 
fim de auxiliar nos cálculos de iluminação artificial dos espaços. Nele, além 
de muitas outras funções, é possível indicar a projeção da iluminação desejada 
nas paredes (em quadros ou revestimentos) e nos objetos (como em uma mesa, 
para não gerar sombra da pessoa sobre o prato de comida, por exemplo), como 
mostra a Figura 11.
13Projeções cônicas e cilíndricas
Figura 11. Imagens desenvolvidas no DiaLux para o cálculo da iluminação. Aqui, é possível 
calcular a projeção de luz no plano desejado.
Fonte: Imagens retiradas do software DiaLux®.
Como podemos observar, a teoria das projeções, a partir da geometria des-
critiva, auxilia na representação dos objetos. Seja com a intenção de ampliar um 
objeto ou de representá-lo em verdadeira grandeza para permitir a verificação 
de suas medidas reais, as projeções cônica e cilíndrica estão presentes na vida 
dos profissionais da geografia, da topografia, na construção civil, na arquitetura 
e no design. É importante compreender como cada projeção funciona, a fim 
de não gerar equívocos na representação. Além disso, é possível desenvolver 
relações entre as retas e os planos que facilitem o entendimento dos objetos.
No vídeo disponível no link abaixo ou código ao lado, 
é possível aprender mais sobre a relação da geometria 
descritiva com o desenho técnico e a aplicação da teoria 
das projeções na prática.
https://goo.gl/37bQsX
Projeções cônicas e cilíndricas14
ASENSI, F. I. Geometria descriptiva. Madrid: Editorial Dossat, 1990.
COSTA, D. M. B. Apostila de geometria descritiva. Curitiba: Universidade Federal do 
Paraná, 2016.
CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H. Apostila de geometria descritiva. Barreiras: Universidade 
Federal da Bahia, 2012.
MACHADO, A. Geometria descritiva. 26. ed. São Paulo: Projeto Editores Associados, 1986.
MONTENEGRO, G. A inteligência visual e o 3D: compreendendo conceitos básicos da 
geometria espacial. São Paulo: Edgar Blücher, 2005.
SPECK, J. H.; PEIXOTO, V. V. Manual básico de desenho técnico. Florianópolis: Editora da 
UFSC, 1997.
TATON, R.; FLOCON, A. A perspectiva. São Paulo: Difusão Européia do Livro, 1979.
Leituras recomendadas
KOPKE, R. C. M. Geometria e desenho: mais fragmentos para a escola? In: Encontro 
Regional de Expressão Gráfica, 4., 2006, Salvador. Anais... Bahia, 2006.
PDCA: a prática levando sua gestão à perfeição. Endeavor Brasil, 16 jul. 2016. Disponível 
em: <https://endeavor.org.br/pdca/>. Acesso em: 30 ago. 2018.
15Projeções cônicas e cilíndricas
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