ÁLGEBRA MATRICIAL, Matrizes e Determinantes

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ÁLGEBRA MATRICIAL
MATRIZES E DETERMINANTES
* Matrizes
Matriz de ordem (m,n) é um quadro de números dispostos em m linhas e n coluna Abreviadamente onde i indica a linha e j indica a coluna de
cada elemento da matriz. ().
* Características da matriz
1. com , a matriz é rectangular.		 com , a matriz é quadrada.
2. - É matriz-coluna ou vector-coluna.		- É matriz-linha ou vector-linha.
3. Numa matriz quadrada, os elementos com , formam a Diagonal principal.
4. Numa matriz quadrada, os elementos com , formam a Diagonal secundária.
5. Duas matrizes e , da mesma ordem, são iguais se e somente se os seus elementos correspondentes forem iguais. =
* Operações sobre matrizes
1. Adição
Se e , então , se e somente se e forem da mesma ordem.
Exe: 
2. Multiplicação por escalar
Se e , então 
Exemplo: 
3. Multiplicação de matrizes
Se e , então 
NB: o produto entre matrizes só é possível se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. Obtem-se a matriz produto pela ponderação de cada linha de primeira matriz por cada coluna da segunda matriz.
Exemplo 1: 
Exemplo 2: 
4. Matriz Transposta
Se , então é matriz transposta da matriz dada.	
Exemplo: 
• Se , logo, é matriz Simétrica.	Exemplo: 	
• Se , logo, é matriz Anti-simétrica.		
Exemplo: 
5. Determinante de uma matriz
Seja , matriz quadrada, diz-se determinante da matriz A e denota-se , ao valor absoluto da matriz dada.
• Se , 				Exemplo: 
• Se , 	Exemplo: 
• Se : se obtém aplicando vários métodos, tais como:
Método das diagonais ou método de Sarrus.
Exemplo: 
Método dos cofactores ou método de Laplace
O cofactor de ou complemento algébrico de , denotado por , é definido pela expressão: 
Exemplo: 
• Propriedades de Determinantes
Método da diagonalização ou escalonização 
Consiste na aplicação das transformações de equivalência, de modo tornar a matriz como uma matriz triangular; (isto é, os elementos situados acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero). Neste caso, o determinante da matriz é o produto dos elementos da diagonal principal.
Determinantes de uma matriz e sua transposta são iguais. .
Ex: 
Se uma matriz B é obtida de uma matriz A, trocando duas linhas (colunas) então 		Ex: 
Se duas linhas (colunas) de A são iguais então .
Ex: 
Se uma linha (coluna) de A é nula então . 
 Ex: 
6. Se uma matriz B é obtida multiplicando uma linha (coluna) de A por escalar então .
Ex: 
7. Se uma matriz B é obtida adicionando n vezes os elementos correspondentes de duas linhas
(colunas) de A então .
Ex: 
8. O determinante do produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes. .
Ex: 
9. Se o determinante de uma matriz é igual a zero, diz se matriz Singular. Se o determinante de uma matriz é diferente de zero, diz se matriz Não Singular.
Ex: 
		Ex: 
6. Matriz Inversa
a) Matriz Identidade
Uma matriz quadrada de ordem n cujos elementos da diagonal principal são iguais a unidade , os outros são nulos , chama-se Matriz Identidade ou Matriz Unidade.
b) Matriz Inversa
Se A e B são matrizes quadradas tais que AB=BA=I, diz se que B é a inversa A e escreve-se B=A-1. Matriz A também é a inversa de B e escreve-se A=B-1.
» Toda matriz singular é não invertivel e toda matriz não singular é invertivel.
Métodos de detrminação da matriz inversa
Método da matriz adjunta ou dos cofactores
Seja matriz quadrada de ordem n. A matriz onde é complemento algébrico do elemento aij, chama-se matriz adjunta da matriz A. A matriz inversa obtém-se por sendo e .
Método de Jordan/Gauss
Consiste na aplicação das transformações elementares de equivalência, operações elementares com matrizes que que não alteram nem a sua ordem, nem a sua caracteristica.
Exemplos
A permutação de duas linhas de mesma matriz.
A multiplicação de cada elemento de uma linha da matriz por um escalar não nulo.
A adiçãoaos elementos de uma linha de k vezes os elementos correspondentes de outra linha da mesma matriz.
Jordan/Gauss consiste na formação de matrizes de blocos e reduzirmos por meio de operaões elementares à forma .
EX: Acha a inversa da matriz 
Logo a matriz inversa da A é 
Sistemas de Equações Lineares
Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações na forma
A» Matriz do sistema. 	X» Matriz das variaveis	B» Matriz dos termos independentes 
EX1: Considere o sistema linear seguinte
 
Métodos de resolução de sistemas de equações lineares
a) Método de Kramer
Consiste na determinação dos determinantes da matriz do sistema e das matrizes em ordem das variáveis. 
Ex: Dada a matriaz do exemplo Ex1
b) Método de Gauss ou diagonalização
Consiste na aplicação das transformações elementares de equivalência para transformar a matriz em blocos para obter a matriz em blocos
Ex: Dada a matriaz do exemplo Ex1
Método da matriz inversa
Consiste na multiplicação de matrizes da forma: 
Onde 
 Ex: Dada a matriaz do exemplo Ex1
Resolução de problemas envolvendo sistemas de Equações
Ex2: Uma industria produz três produtos X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B. Para a manufactura de cada kg de X são utilizados 1 grama de A e 2 gramas de B; para cada kg de Y,1 grama de A e 1 grama de B e, para cada kg de Z, 1 grama de A e 4gramas de B. O preço de venda de cada um dos produtos é 2, 3 e 5 meticais respectivamente. Com a venda de toda produção manufacturada com 1kgde A e 2kg de B, essaindustia arrecadou 2500 meticais. Quantos kg de cada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos?
Esquematização
Equacionamento do sistema
Resolução do sistema
EM181 	[Data]
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