CALC_NUM_01_SLD_Noções_básicas_sobre_erros

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CÁLCULO NUMÉRICO 
Aula 01: Noções básicas sobre erros 
Prof. Felipe Mota 
prof.felipem@hotmail.com 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
Visão Geral da Disciplina 
PORQUE ESTUDAR? 
Diminuição do tempo de resolução de um problema 
Resultados mais precisos 
Possibilidade de analisar grande quantidade de 
variáveis dependentes 
Número de casas decimais 
Automação: Eliminação do erro humano. 
Visão Geral da Disciplina 
O Cálculo Numérico é utilizado 
para analisar diversos problemas 
do dia a dia. 
O organograma 
ao lado 
apresenta a 
forma como é 
feita a 
modelagem 
dos problemas. 
Visão Geral da Disciplina 
PRÉ-REQUESITOS 
Quem não lembra muito 
bem ou precisa de 
reforço nessas 
disciplinas, não precisa 
se desesperar, dá tempo 
de revisar e será indicado 
sempre que necessária 
uma leitura mais 
completa. 
Cálculo 
Álgebra Linear 
Programação 
Estatística 
Visão Geral da Disciplina 
• RUGGIERO, Márcia A. G.; 
LOPES, Vera Lúcia R.; Cálculo 
Numérico, Aspectos Teóricos e 
Computacionais. 2ª Ed. Editora 
Pearson. 2000. 
LIVRO TEXTO 
O livro apresenta 8 capítulos, dos 
quais, apenas o capítulo 4 não 
será abordado. 
Visão Geral da Disciplina 
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 
 Noções básicas sobre Erros 
Noções básicas sobre erros 
• Vimos no início da aula o método de modelagem de 
problemas numéricos. No entanto, o método não pode 
garantir total precisão pois muitos dos erros presentes 
não podem ser eliminados. 
 
Os erros obtidos num processo numérico dependem 
diretamente: 
• Da precisão dos dados de entrada; 
• Da forma como os dados são representados no computador; 
• Das operações numéricas efetuadas. 
 
Noções básicas sobre erros 
Representação de Números 
Noções básicas sobre erros 
Representação de Números 
Noções básicas sobre erros 
Representação de Números 
• Os erros ocorridos nos dois exemplos dependem da 
representação dos números na máquina. 
• A representação de um número depende da BASE 
escolhida e da quantidade máxima de dígitos utilizados. 
 
 
Qualquer cálculo que envolva números que não podem ser 
representados através de um número finito de dígitos não 
fornecerá como resultado um valor exato. 
Noções básicas sobre erros 
Representação de Números 
• Para converter da base binária para o sistema decimal 
utilizamos um algoritmo derivado da transformação de 
um número em uma expressão polinomial. 
• Por exemplo: 
 
 
 
Números INTEIROS: 
Noções básicas sobre erros 
Representação de Números 
• Para converter o binário (10111)2 em decimal, 
representamos o número na forma polinomial: 
 
• Em seguida, colocamos a base 2 em evidência: 
 
 
Números INTEIROS: BINÁRIO DECIMAL 
Assim, (𝟏𝟎𝟏𝟏𝟏)𝟐 = (𝟐𝟑)𝟏𝟎 
Ou seja, na base decimal, tratamos com o número 23. 
Noções básicas sobre erros 
Representação de Números 
• O algoritmo ao lado resume o 
processo de conversão. 
 
 
 
Números INTEIROS: BINÁRIO DECIMAL 
Representação de Números 
Exercício 01 
• Realize a mudança de base dos 
números binários para decimal: 
a) 1001 
b) 1001010 
c) 11011110 
d) 1010101 
e) 100001 
Noções básicas sobre erros 
Representação de Números 
• O método utilizado para transformar para a base 2 
consiste em dividir o valor decimal por 2 e tomar o 
resto como os termos 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎2 que compõe o número 
na representação binária. 
• Por exemplo, para o número (417)10, temos: 
 
 
 
 
Números INTEIROS: DECIMAL BINÁRIO 
Adotamos o resto (1) como o último dígito 
do binário (𝒂𝟎) e continuamos o processo 
com o resultado inteiro da divisão: 208. 
Noções básicas sobre erros 
Representação de Números 
Números INTEIROS: DECIMAL BINÁRIO 
Continuando com 257: 
𝑎1 𝑎2 𝑎3 
𝑎4 𝑎5 𝑎6 
Noções básicas sobre erros 
Representação de Números 
Números INTEIROS: DECIMAL BINÁRIO 
Continuando com 3: 
Nesse ponto, obtemos o inteiro 1 como 
resposta, e não podemos mais dividir. 
O resultado 
inteiro é o 
primeiro dígito 
do binário 𝑎8. 
𝑎7 Dessa forma, o binário que representa o número decimal 
417 é: 
110100001 
Noções básicas sobre erros 
Representação de Números 
Números INTEIROS: DECIMAL BINÁRIO 
Representação de Números 
Exercício 02 
• Realize a mudança de base dos números 
decimais para binário: 
a) 515 
b) 714 
c) 177 
d) 311 
e) 961 
Noções básicas sobre erros 
Representação de Números 
Números 
FRACIONÁRIOS: 
DECIMAL BINÁRIO 
Para converter um número decimal fracionário, precisamos 
encontrar os dígitos binários que compõe o número na base 2. 
Noções básicas sobre erros 
Representação de Números 
• Para transformar um número decimal fracionário em 
binário, seguimos o seguinte procedimento: 
1. Multiplicamos o valor 𝑟 por 2, ou seja, Calculamos 2𝑟; 
2. Caso o valor obtido na multiplicação seja um valor entre 0 e 
1, adotamos o dígito binário 0; 
3. Caso o valor obtido seja maior ou igual a 1, adotamos o 
dígito binário 1; 
4. Continuamos esse processo até a multiplicação por 2 resultar 
em um número inteiro, ou seja, com a parte fracionária igual 
a zero; 
 
 
 
Números 
FRACIONÁRIOS: 
DECIMAL BINÁRIO 
Noções básicas sobre erros 
Representação de Números 
• O algoritmo ao lado é equivalente 
ao procedimento descrito 
 
 
Números 
FRACIONÁRIOS: 
DECIMAL BINÁRIO 
Para 𝑟 = 0,125 temos: 
0,125 x 2 = 0,250 ~~> 𝑑1 = 0 
0,250 x 2 = 0,5 ~~> 𝑑2 = 0 
0,5 x 2 = 1 ~~> 𝑑3 = 1 
Assim, (0,125)10= (0,001)2 
Noções básicas sobre erros 
Representação de Números 
 
• Para o exemplo 𝑟 = (0,125)10, obtemos um número inteiro 
na terceira multiplicação, e portanto, um resultado finito. 
• Quando não conseguimos obter um número inteiro, o 
resultado apresenta representação infinita. 
 
 
 
 
 
 
• Um computador que opera no sistema binário, irá armazenar uma 
aproximação de um número infinito, pois possui uma quantidade 
fixa de posições para guardar os dígitos. 
 
O fato de um número não ter representação finita no 
sistema binário pode acarretar a ocorrência de erros em 
cálculos efetuados em sistemas computacionais binários. 
E se o algoritmo não parar após um número finito de passos? 
Truncamento ou Arredondamento 
Noções básicas sobre erros 
Representação de Números 
Noções básicas sobre erros 
Representação de Números 
• Para converter um número fracionário binário em 
decimal, seguimos o seguinte procedimento: 
• Multiplicamos o número por (1010)2; 
• OBS.: a multiplicação deve ser realizada no sistema 
binário. 
• Convertemos a parte inteira para a base decimal; 
• Repetimos o procedimento até a multiplicação por 
(1010)2 resultar em um número inteiro. 
 
 
 
BINÁRIO DECIMAL 
Números 
FRACIONÁRIOS: 
Noções básicas sobre erros 
Representação de Números 
Multiplicando no sistema binário 
VOCÊ JÁ SABE COMO 
REALIZAR AS OPERAÇÕES 
BÁSICAS (+,-,*,/) NO 
SISTEMA DECIMAL. 
 
SUJESTÃO: 
Treinar as operações 
básicas (soma, subtração, 
multiplicação e divisão) 
no formato binário. 
Noções básicas sobre erros 
Representação de Números 
BINÁRIO DECIMAL 
Números 
FRACIONÁRIOS: 
• O algoritmo ao lado 
representa o passo a passo 
descrito anteriormente. 
 
Noções básicas sobre erros 
Representação de Números 
BINÁRIO DECIMAL 
(𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝟏)𝟐= (𝟎. 𝟏𝟎𝟗𝟑𝟕𝟓)𝟏𝟎 
Representação de Números 
Exercício 04 
• Realize a conversão para a base binária ou decimal, dos 
números abaixo: 
a) (1001011)2 
b) (198)10 
c) (101110)2 
d) (483)10e) (100010101)2 
 
Representação de Números 
Aritmética do Ponto Flutuante 
Um computador ou calculadora representa 
um número real no sistema denominado 
Aritmética de Ponto Flutuante. 
Nesse sistema, o número 𝑟 será 
representado da forma: 
± (0. 𝑑1𝑑2…𝑑𝑡) × 𝛽
𝑒 
MANTISSA 
Representação de Números 
Aritmética do Ponto Flutuante 
• O menor número representado nessa máquina é: 
• E o maior: 
E
X
E
M
P
L
O
 
Representação de Números 
Aritmética do Ponto Flutuante 
Representação de Números 
Aritmética do Ponto Flutuante 
Representação de Números 
Aritmética do Ponto Flutuante 
Representação de Números 
Exercício 04 
• Represente o número 345,6289 nas máquinas que 
operam nas seguintes condições: 
a) 𝐹(2,4, −1,1) 
b) 𝐹 10,3, −5,5 
c) 𝐹 10,5, −2,2 
d) 𝐹 2,2, −4,4 
e) 𝐹(10,2, −1,1) 
 
𝐹(𝛽, 𝑡, 𝑚,𝑀) 
Onde: 𝑚,𝑀 são os limites do 
intervalo de 𝑒 
 Erros Absolutos e Relativos 
Noções básicas sobre erros 
Erros Absolutos e Relativos 
• Geralmente, conhecemos apenas o valor de 𝑥 , e não 
é possível determinar o valor exato do erro absoluto. 
O que fazemos é obter uma estimativa para o 
módulo do erro absoluto. 
Definimos como erro absoluto a diferença entre o valor 
exato de um número x e de seu valor aproximado 𝑥 : 
𝐸𝐴𝑥 = 𝑥 − 𝑥 
Noções básicas sobre erros 
Erros Absolutos e Relativos 
• Se compararmos as duas situações: 
 
 
 
• Percebemos que o erro absoluto não é uma indicação 
tão confiável de erro. 
O erro absoluto nem sempre é a melhor opção  
Uma melhor indicação é feita através do Erro Relativo. 
Noções básicas sobre erros 
Erros Absolutos e Relativos 
Confirmando 
que o número x 
é representado 
com maior 
precisão que o 
número y. 
Erros de Arredondamento e 
Truncamento em um Sistema de 
Aritmética de Ponto Flutuante 
Ou seja, o número é representado por duas funções: 
1. 𝑓𝑥 representa a parte inteira; 2. 𝑔𝑥 representa a 
parte fracionária. 
Erros de Arredondamento e 
Truncamento em um Sistema de 
Aritmética de Ponto Flutuante 
 
OU SEJA: 
A parte inteira (𝑓𝑥) tá beleza! 
Mas o que fazer com a parte fracionária que 
possui uma infinidade de números em sua 
representação na máquina? 
Erros de Arredondamento e 
Truncamento em um Sistema de 
Aritmética de Ponto Flutuante 
 PODEMOS FAZER DUAS COISAS COM ESSA PARTE MAL 
COMPORTADA DA REPRESENTAÇÃO: 
Erros de Arredondamento e 
Truncamento em um Sistema de 
Aritmética de Ponto Flutuante 
 
Se |𝑔𝑥| < 1/2, 𝑔𝑥 é 
desprezado 
Se |𝑔𝑥| ≥ 1/2, somamos o 
número 1 ao último dígito 
de 𝑓𝑥. 
Exemplo: O número 0,42578293 arredondado até a 3ª casa decimal 
fica 0,426 e truncado até a 3ª casa decimal fica 0,425. 
Referências 
• RUGGIERO, Márcia A. G.; 
LOPES, Vera Lúcia R.; Cálculo 
Numérico, Aspectos Teóricos e 
Computacionais. 2ª Ed. Editora 
Pearson. 2000.