algebra linear e vetorial

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2016
Álgebra linear e Vetorial
Prof.ª Grazielle Jenske
Prof. Leonardo Garcia dos Santos
Prof. Luiz Carlos Pitzer
Copyright © UNIASSELVI 2016
Elaboração:
Prof.ª Grazielle Jenske
Prof. Leonardo Garcia dos Santos
Prof. Luiz Carlos Pitzer
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
512
J51a Jenske; Grazielle
 Álgebra Linear e Vetorial / Grazielle Jenske; Leonardo 
Garcia dos Santos; Luiz Carlos Pitzer : UNIASSELVI, 2016.
 
 245 p. : il.
 
 ISBN 978-85-7830-956-5
 
 1.Álgebra. 
 I. Centro Universitário Leonardo Da Vinci. 
Impresso por:
III
apresentação
Prezado(a) acadêmico(a)! Bem-vindo(a) à disciplina de Álgebra Linear 
e Vetorial. Este é um ramo da matemática que surgiu do estudo minimalista 
de sistemas de equações lineares. Conceitos, definições, propriedades e 
representações gráficas farão parte dos seus estudos nesta disciplina, que tem o 
intuito de aprimorar seus conhecimentos da matemática algébrica, relembrando 
e ampliando os tópicos já vistos em sua vida de estudante do Ensino Médio.
Este caderno de estudos está dividido em três unidades que 
contemplam partes importantes da Álgebra Linear e Vetorial, como: matrizes, 
determinantes, sistemas de equações lineares, vetores, espaços vetoriais, 
transformações lineares e a aplicação destes conteúdos.
Na Unidade 1, você terá acesso aos conceitos iniciais de Matrizes, onde 
estudará suas características, propriedades e operações. Aprenderá a representar 
e interpretar uma tabela de números como uma matriz e a resolver as operações 
possíveis. Irá exercitar técnicas para o cálculo do determinante de uma matriz, 
compreendendo seu significado. Também estudará os modelos de resolução de 
sistemas lineares, sabendo interpretar dados e sugerindo soluções. 
Na unidade seguinte, você terá as primeiras noções de vetores. Estas 
noções servirão como base para o estudo mais aprofundado no decorrer desta 
unidade e da unidade subsequente. Entre as noções que serão apresentadas 
estão as operações de vetores: soma, subtração e multiplicação por escalar. 
Após este conhecimento, veremos as operações entre vetores e suas 
aplicações na resolução de problemas geométricos que envolve o produto 
escalar, vetorial e misto. Por fim, na última parte desta unidade, você estará 
estudando sobre os espaços vetores, seus subespaços, base, dimensão, ou 
seja, compreendendo todo o universo onde os vetores estão contidos. 
Por fim, na Unidade 3, iremos adentrar no universo da Álgebra Linear 
e Vetorial aplicada. Você irá conhecer o estudo das transformações lineares, 
que servem como referencial teórico para a aplicação das tecnologias gráficas e 
computacionais. Através deste conceito, iremos juntos relacionar o estudo das 
transformações com sua representação matricial, que irá trazer uma praticidade 
maior para o processo de cálculo e que nos permitirá a troca de referencial 
de um problema, facilitando sua resolução. Em seguida, discutiremos a 
aplicabilidade dos autovalores e autovetores, onde, além de suas aplicações no 
estudo das matrizes, você irá descobrir uma forma de relacionar um modelo 
analítico com sua caraterização, a partir de sua equação geral.
Queremos lembrar, que este material traz um curso introdutório da 
Álgebra Linear e Vetorial. Você deve se sentir curioso e instigado a pesquisar 
outros materiais para ampliar e completar seu aprendizado. Durante o texto, 
deixamos algumas sugestões e outras podem ser verificadas nas referências 
bibliográficas.
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto 
para você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
Você, aluno da Educação a Distância, deve saber que, além da 
curiosidade, existem outros fatores importantes para um bom desempenho: a 
disciplina, a organização e um horário de estudos predefinido são essenciais 
para que se obtenha sucesso nesta trajetória. 
Esperamos que, ao término deste estudo, você consiga notar a evolução 
da sua matemática, nos seus conceitos e definições, pois a melhoria constante 
deve ser o objetivo de todo(a) acadêmico(a). Desta forma, esta disciplina 
pretende oportunizar a compreensão da construção dos conhecimentos aqui 
trabalhados e servir de subsídio para as próximas disciplinas.
Bons estudos!
Profª Grazielle Jenske
Prof. Leonardo Garcia dos Santos
Prof. Luiz Carlos Pitzer
NOTA
V
Olá acadêmico! Para melhorar a qualidade dos 
materiais ofertados a você e dinamizar ainda 
mais os seus estudos, a Uniasselvi disponibiliza 
materiais que possuem o código QR Code, que 
é um código que permite que você acesse um 
conteúdo interativo relacionado ao tema que 
você está estudando. Para utilizar essa ferramenta, 
acesse as lojas de aplicativos e baixe um leitor 
de QR Code. Depois, é só aproveitar mais essa 
facilidade para aprimorar seus estudos!
UNI
VI
VII
UNIDADE 1 – MATRIZES E SISTEMAS LINEARES .................................................................. 1
TÓPICO 1 – MATRIZES ..................................................................................................................... 3
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 3
2 DEFINIÇÃO ....................................................................................................................................... 4
3 MONTAGEM DE UMA MATRIZ ................................................................................................. 5
3.1 REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA MATRIZ ............................................................. 5
3.2 ELEMENTOS CORRESPONDENTES ...................................................................................... 7
3.3 IGUALDADE DE MATRIZES .................................................................................................... 8
4 TIPOLOGIA DAS MATRIZES ...................................................................................................... 8
5 PROBLEMAS QUE ENVOLVEM A DEFINIÇÃO DE MATRIZES E SUAS 
 TIPOLOGIAS ....................................................................................................................................14
6 OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES ................................................................................................ 19
6.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES ............................................................................... 19
6.2 MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO REAL .................................... 23
6.3 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES .......................................................................................... 25
6.4 MATRIZ INVERSA ...................................................................................................................... 27
6.5 OUTROS EXEMPLOS QUE ENVOLVEM OPERAÇÕES COM MATRIZES ...................... 35
RESUMO DO TÓPICO 1 .................................................................................................................... 42
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 43
TÓPICO 2 – DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES .............................................. 47
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 47
2 O CÁLCULO DO DETERMINANTE ........................................................................................... 48
2.1 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE PRIMEIRA ORDEM .......................................... 48
2.2 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM ......................................... 48
2.3 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE TERCEIRA ORDEM – REGRA DE SARRUS . 49
2.4 COFATOR ..................................................................................................................................... 52
2.5 DETERMINANTE DE ORDEM N > 3 ....................................................................................... 53
2.6 CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA UTILIZANDO DETERMINANTE ............................. 55
2.7 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES ............................................................................ 57
2.8 MATRIZ SINGULAR ................................................................................................................... 60
3 ESCALONAMENTO DE MATRIZES ........................................................................................... 61
3.1 FORMA ESCALONADA DE UMA MATRIZ ......................................................................... 61
3.2 MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS ............................................................................... 62
3.3 O ESCALONAMENTO NO CÁLCULO DO DETERMINANTE ......................................... 67
3.4 O ESCALONAMENTO NO CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA ....................................... 69
RESUMO DO TÓPICO 2 .................................................................................................................... 72
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 73
TÓPICO 3 – SISTEMAS LINEARES E SEU ENSINO .................................................................. 75
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 75
2 EQUAÇÃO LINEAR ......................................................................................................................... 75
sumÁrio
VIII
2.1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES .................................................................................. 76
2.2 FORMA MATRICIAL .................................................................................................................. 77
2.3 MATRIZES ASSOCIADAS A UM SISTEMA LINEAR ........................................................... 77
2.4 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR ....................................................................... 78
3 RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR ................................................................................. 81
3.1 REGRA DE CRAMER ................................................................................................................. 80
3.2 SISTEMAS EQUIVALENTES ..................................................................................................... 84
3.2.1 Propriedades dos sistemas equivalentes ......................................................................... 84
3.3 SISTEMAS ESCALONADOS – MÉTODO DE GAUSS .......................................................... 85
4 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR ................................................................................... 91
5 APLICAÇÕES DE SISTEMAS LINEARES .................................................................................. 94
LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................................... 96
RESUMO DO TÓPICO 3 .................................................................................................................... 99
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 100
UNIDADE 2 – ESPAÇOS VETORIAIS ........................................................................................... 105
TÓPICO 1 – VETORES ....................................................................................................................... 107
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 107
2 DEFINIÇÃO DE VETOR ................................................................................................................. 107
2.1 VETOR POR SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS .......................................... 109
2.2 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA EM R2 E R3 .................................................................. 109
2.3 VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS ................................................................................ 112
2.4 VETORES NA FORMA MATRICIAL ....................................................................................... 114
2.5 IGUALDADE DE VETORES ...................................................................................................... 114
2.6 MÓDULO OU NORMA DO VETOR ........................................................................................ 115
2.7 VETOR UNITÁRIO E NORMALIZAÇÃO .............................................................................. 116
3 OPERAÇÕES ENTRE VETORES .................................................................................................. 118
3.1 ADIÇÃO ........................................................................................................................................ 118
3.2 SUBTRAÇÃO DE VETORES ...................................................................................................... 121
3.3 MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR ................................................................................. 122
RESUMO DO TÓPICO 1 .................................................................................................................... 125
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 126
TÓPICO 2 – OPERAÇÕES VETORIAIS ......................................................................................... 127
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 127
2 PRODUTO ESCALAR ..................................................................................................................... 127
2.1 ÂNGULO ENTRE VETORES .....................................................................................................128
3 PRODUTO VETORIAL ................................................................................................................... 132
3.1 CÁLCULO DE ÁREA .................................................................................................................. 136
4 PRODUTO MISTO .......................................................................................................................... 142
4.1 CÁLCULO DE VOLUMES ......................................................................................................... 143
5 PARALELISMO DE DOIS VETORES .......................................................................................... 146
RESUMO DO TÓPICO 2 .................................................................................................................... 149
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 151
TÓPICO 3 – ESPAÇOS VETORIAIS ............................................................................................... 153
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 153
2 DEFINIÇÃO ....................................................................................................................................... 153
3 SUBESPAÇOS VETORIAIS ........................................................................................................... 158
IX
4 COMBINAÇÕES LINEARES ......................................................................................................... 161
5 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR ....................................................................... 165
6 SUBESPAÇOS GERADOS .............................................................................................................. 168
7 DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL ................................................................................ 172
8 BASE .................................................................................................................................................... 173
8.1 BASE ORTOGONAL ................................................................................................................... 174
8.2 BASE ORTONORMAL ............................................................................................................... 175
8.3 PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM-SCHMIDT ......................................... 176
LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................................... 180
RESUMO DO TÓPICO 3 .................................................................................................................... 182
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 184
UNIDADE 3 – OPERADORES DE TRANSFORMAÇÃO ........................................................... 187
TÓPICO 1 – TRANSFORMAÇÕES LINEARES ............................................................................ 189
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 189
2 DEFINIÇÃO ....................................................................................................................................... 189
3 LEI DE FORMAÇÃO DE UMA TRANSFORMAÇÃO ............................................................. 191
4 IMAGEM E NÚCLEO DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR ........................................... 193
5 TEOREMA DO NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO .............................. 197
RESUMO DO TÓPICO 1 .................................................................................................................... 201
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 202
TÓPICO 2 – MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR ............................................... 203
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 203
2 FORMA MATRICIAL DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR ........................................... 203
3 MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR ................................................................... 205
4 TRANSFORMAÇÕES PLANAS ESPECIAIS ............................................................................. 207
4.1 TRANSFORMAÇÃO DE REFLEXÃO ...................................................................................... 207
4.1.1 Em torno do eixo X ............................................................................................................. 207
4.1.2 Em torno do eixo Y ............................................................................................................. 208
4.2 TRANSFORMAÇÃO DE PROJEÇÃO ...................................................................................... 209
4.2.1 Projeção sobre o eixo X ...................................................................................................... 209
4.2.2 Projeção sobre o eixo Y ...................................................................................................... 210
4.3 TRANSFORMAÇÕES DE DILATAÇÃO OU CONTRAÇÃO ............................................... 211
4.3.1 Na direção do vetor ( )α ∈ ........................................................................................... 212
4.3.2 Na direção do eixo X (horizontal) .................................................................................... 213
4.3.3 Na direção do eixo Y (vertical) ......................................................................................... 214
4.4 TRANSFORMAÇÕES DE ROTAÇÃO (DE UM ÂNGULO a NO SENTIDO ANTI- 
HORÁRIO) .................................................................................................................................... 216
5 MATRIZ DE MUDANÇA DE BASE ............................................................................................. 218
RESUMO DO TÓPICO 2 .................................................................................................................... 221
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 222
TÓPICO 3 – AUTOVALORES E AUTOVETORES ....................................................................... 225
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 225
2 DEFINIÇÃO ....................................................................................................................................... 225
3 AUTOVALORES E AUTOVETORES DE UMA MATRIZ ........................................................ 227
4 MULTIPLICIDADE DOS AUTOVETORES DE UMA TRANSFORMAÇÃO ..................... 232
X
5 MATRIZES SEMELHANTES E DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES ........................ 233
5.1 MATRIZES SEMELHANTES ..................................................................................................... 233
5.2 DIAGONALIZAÇÃO .................................................................................................................. 233
LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................................... 236
RESUMO DO TÓPICO 3 .................................................................................................................... 242
AUTOATIVIDADE............................................................................................................................. 243
REFERÊNCIAS ..................................................................................................................................... 245
1
UNIDADE 1
MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir desta unidade, você será capaz de:
• conceituar, operacionar e interpretar matrizes; 
• calcular o determinante de uma matriz; 
• utilizar a linguagem matricial e as operações com matrizes como instru-
mento para interpretar dados e soluções; 
• utilizar o cálculo de determinantes, a regra de Cramer e o escalonamento 
para a resolução e discussão de sistemas lineares;
• entender vetores;
• visualizar as aplicações de vetores;
• compreender a real importância de autovalores e autovetores;
• formalizar o estudo de transformações lineares.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No final de cada um deles você 
encontrará atividades que reforçarão seu aprendizado.
TÓPICO 1 – MATRIZES
 
TÓPICO 2 – DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES
 
TÓPICO 3 – SISTEMAS LINEARES E SEU ENSINO
Assista ao vídeo 
desta unidade.
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
MATRIZES
1 INTRODUÇÃO
A história da matemática retrata que os estudos das matrizes tiveram seu 
início por volta do século II a.C., presentes em textos chineses sobre aplicação de 
sistemas lineares. O livro chinês intitulado “Nove capítulos da arte matemática” 
apresenta, em seu capítulo VII, 19 problemas que apresentam o método de 
matrizes para resolver equações lineares. 
Ainda nas obras matemáticas de autoria chinesa é possível observar o uso 
de diagramas de formato quadrado. Eles também detêm o primeiro registro de 
um quadrado mágico. Um quadrado mágico é uma tabela quadrada de n lados, 
onde a soma dos números das linhas, das colunas e das diagonais é constante, 
sendo que nenhum destes números se repete. Este tipo de quadrado é também 
conhecido como Sudoko.
 Porém, o nome matriz veio somente no século XIII, com James 
Joseph Sylvester. E foi apenas no século XIX que o matemático inglês Arthur Cayley 
sistematizou a teoria das matrizes a partir da Teoria das Formas Quadráticas. 
Hoje, contudo, o estudo das formas quadráticas é um mero capítulo da Teoria 
das Matrizes.
Assim, foi somente há pouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram 
sua relevância reconhecida. Atualmente, consideramos imprescindível estudar 
essas formas através da notação e metodologia matricial e não as encontramos 
apenas no estudo da matemática, mas também na engenharia, na informática, em 
tabelas financeiras etc. 
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
4
 Arthur Cayley nasceu em 16 de agosto de 1821, em 
Richmond, na Inglaterra. Vindo de uma família de comerciantes, 
seu pai desejava que continuasse os negócios da família, porém, 
em 1835 ele ingressou no Kings College School, onde sua 
aptidão para a matemática se tornou mais aparente. Assim, seu 
pai resolveu enviá-lo para Cambridge.
Em 1838 ele começou seus estudos no Trinity College, em 
Cambridge, onde se graduou em 1842.
Em 1843 trabalhou fundamentalmente em álgebra, mas 
também trabalhou em geometrias não euclideanas e geometria 
n-dimensional, usando determinantes como elemento essencial.
A partir de 1849 trabalhou durante 14 anos como advogado, e 
desistiu da docência, pois continuar nela implicaria em tomar 
hábitos religiosos. Embora muito hábil nessa carreira, a considerava apenas como uma 
forma de sustento para prosseguir com a matemática. Durante esses 14 anos publicou 
aproximadamente 250 trabalhos matemáticos, a maioria sobre a teoria dos invariantes 
algébricos.
FONTE: Disponível em: <http://www.matematica.br/historia/cayley.html>. Acesso em: 30 
jan. 2016.
IMPORTANT
E
É importante destacar que o objetivo deste tópico é dar uma visão geral 
do conteúdo de matrizes, ou seja, pretende-se definir o que é uma matriz, alguns 
tipos de matrizes, suas operações aritméticas, como também estabelecer algumas 
de suas propriedades algébricas.
2 DEFINIÇÃO
Segundo Paiva (2013, p. 95), denomina-se "matriz do tipo m x n (lê-se m 
por n) toda tabela de números dispostos em m linhas e n colunas. Tal tabela deve 
ser representada entre parênteses ( ) ou colchetes [ ]". 
A matriz é representada por uma letra maiúscula do alfabeto e cada item 
da matriz é denominado de elemento. Os elementos de uma matriz podem ser 
números reais ou complexos ou até mesmo expressões algébricas, e são chamados 
de entradas da matriz. Vejamos alguns exemplos: 
( ) ( )
( ) ( )
1 5 - i7 - 5 9 cos x sen x 8 3
A= B= C= D= 4i 1
- sen x cos x 5 4 6 3 0 - 2 - 5i
 
      
            
 
TÓPICO 1 | MATRIZES
5
Uma matriz é real se os seus elementos são números reais ou expressões 
que assumem valores reais.
3 MONTAGEM DE UMA MATRIZ
Acompanhe a seguir uma situação de montagem de uma matriz. 
Um professor de matemática que trabalha de segunda a sexta fez o 
seguinte número de aulas por dia em três semanas de trabalho: 
• Semana 1 - 5, 2, 7, 8, 6.
• Semana 2 - 10, 7, 6, 8, 9.
• Semana 3 - 4, 7, 3, 8, 6.
Imagine uma matriz que represente nas linhas as semanas de trabalho 
e nas colunas as aulas dadas, nos cinco dias da semana em ordem cronológica. 
Como são três semanas de trabalho, teremos uma matriz com apenas três linhas. 
Já os dias trabalhados são cinco, portanto, o número de colunas será de cinco. 
Para tanto, a matriz resultante do fato acima ficará assim: 
3x5
5 2 7 8 6
A= 10 7 6 8 9
6
 
4 7 3 8
 
 
 
 
 
Concluindo, a matriz acima será 3x5, pois tem três linhas e cinco colunas. 
É importante lembrar que sempre escrevemos primeiro o número de linhas e 
depois o número de colunas.
3.1 REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA MATRIZ 
Os números que aparecem na matriz são chamados de elementos da 
matriz. Vejamos, por exemplo, a matriz que criamos anteriormente: 
3x5
5 2 7 8 6
A= 10 7 6 8 9
4 7 3 8 6
 
 
 
 
 
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
6
Nela, podemos observar que: 
• O elemento 5 está na primeira linha e na primeira coluna. Indicamos por a11 e 
lemos “o elemento a um um é igual a 5”. 
• O elemento 10 está na segunda linha e na primeira coluna. Indicamos por a21 e 
lemos “o elemento a dois um é igual a 10”. 
• O elemento 4 está na terceira linha e na primeira coluna. Indicamos por a31 e 
lemos “o elemento a três um é igual a 4”. 
• O elemento 2 está na primeira linha e na segunda coluna. Indicamos por a12 e 
lemos “o elemento a um dois é igual a 2”. 
• O elemento 3 está na terceira linha e na terceira coluna. Indicamos por a33 e 
lemos “o elemento a três três é igual a 3”. 
Assim, devemos considerar: 
• Para representar o elemento de uma matriz usamos uma letra com dois índices: o 
primeiro indica em que linha o elemento se encontra, e o segundo, em que coluna. 
Por exemplo: a23 é o elemento que está na segunda linha e na terceira coluna.
• O elemento genérico de uma matriz A será indicado por aij, em que i representa 
a linha e j representa a coluna na qual o elemento se encontra; ele é chamado de 
ij-ésimo elemento da matriz.
A matriz A, do tipo mxn, será escrita, genericamente, do seguinte modo: 
Os m elementos correspondentes às linhas serão localizados pelo índice i e 
os n elementos correspondentes às colunas serão localizados pelo índice j.
ATENCAO
( Lemos: matriz A, dos ( )ij mxnA a , com 1 i m, 1 j n e i, j IN= ≤ ≤ ≤ ≤ ∈
elementos aij do tipo m por n, com i assumindo valores de 1 até m e j assumindo 
valores de 1 até n sendo i e j pertencentes ao conjunto dos números naturais). 
1 2 3
 11 12 13 1n
 
 21 22 23 2n
m m m mn mxn
a a a a
a a a aA =a a a a 
 
 
 
 
 
 
 


   
TÓPICO 1 | MATRIZES
7
Podemos classificar as matrizes quanto ao seu tipo, ou melhor 
dizendo, sua ordem. Generalizando, podemos escrever o tipo, ou ordem, 
da matriz por: m x n. Observe a classificação das matrizes utilizadas nos 
exemplos do item 2: 
( )
 8 3
A= matriz de ordem 2x2 dois por dois .
 5 4
 
 
 
( )
7 - 5 9
B= matriz de ordem 2x3 dois por três .
6 3 0
 
 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
cos x sen x
C= matriz de ordem 2x2 dois por dois .
- sen x cos x
 
 
 
( )
1 5 - i
D= matriz de ordem 3x2 três por dois .4i 1
- 2 - 5i
 
 
 
 
 
3.2 ELEMENTOS CORRESPONDENTES
Dadas duas matrizes de mesma ordem (ou tipo), A e B, 
11 12 13 1n 11 12 13 1n
21 22 23 2n 21 22 23 2n
m1 m2 m3 mn m1 m2 m3 mnmxn mxn
a a a a b b b b
 a a a a b b b b 
 e B 
a a a a b b b b
   
   
   =
   … … … … … … … …
   
   
dizemos que os elementos 
de mesmo índice (linha e coluna) são correspondentes. 
Assim:
a11 e b11 são correspondentes.
a12 e b12 são correspondentes.
a13 e b13 são correspondentes.
amn e bmn são correspondentes.
 
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
8
3.3 IGUALDADE DE MATRIZES
Duas matrizes A e B de mesma ordem mxn são iguais quando todos os 
seus elementos correspondentes são iguais, isto é, sendo A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, 
temos A = B quando aij = bij para todo i (i = 1, 2, 3, ..., m) e todo j (j = 1, 2, 3, ..., n).
Por exemplo, para que as matrizes
a 5 - 1 d
A= e B=
3 b c 4
   
   
   
sejam iguais, 
devemos ter: 
4 TIPOLOGIA DAS MATRIZES 
Nas representações de matrizes, temos nomenclaturas específicas para 
cada tipo de matriz, conforme apresentadas a seguir. 
Matriz Coluna
Dizemos que A é uma matriz coluna quando A for de ordem m x 1, ou 
seja, quando o n = 1.
 
Por exemplo: 
5
a) 2 é uma matriz coluna de ordem 3x1.
- 1
 
 
 
 
 
 
 3
 2 
b) - 5 é uma matriz coluna de ordem 5x1.
 4
- 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esse tipo de matriz é importante para o estudo da Álgebra Linear, pois é 
comumente utilizada para representar vetores.
IMPORTANT
E
a = - 1
b = 4
 .
c = 3
d = 5






TÓPICO 1 | MATRIZES
9
Matriz Linha
Dizemos que A é uma matriz linha quando A for de ordem 1 x n, ou seja, 
quando o m = 1. Por exemplo: 
a) [1 3 -2] é uma matriz linha de ordem 1 x 3. 
b) [cos x 1 0 sen x] é uma matriz linha de ordem 1 x 4. 
Matriz Nula
No conjunto das matrizes, a matriz que tem todos os elementos iguais a 
zero é denominada de matriz nula. São exemplos da matriz nula:
( )
0 0 0 0 0
0 0
A 0 0 B C 0 0 0 D 0 0 0 0
0 0
0 0 0 0 0
   
    = = = =        
   
Matriz Transposta
Dada uma matriz A = (aij)mxn, denominamos transposta de A (e indicamos 
At) a matriz At = (a’ji)nxm, tal que a’ji = aij. Em outras palavras, a matriz At é obtida 
trocando-se as linhas pelas colunas da matriz A. Exemplos:
t2 4 2 8a) A transposta de A é a A .
8 6 4 6
   
= =   
   
Observe que:
a11 = 2 = a’11
a21 = 8 = a’12
a12 = 4 = a’21
a22 = 6 = a’22
t
1 4
1 2 3
b) A transposta de B é B 2 5 .
4 5 6
3 6
 
   = =       
t
a b c a d g
c) A transposta de C d e f é C b e h .
g h i c f i
   
   = =   
   
   
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
10
Acadêmico(a), note que, se A= (a
ij
) é de ordem mxn, então At = (a’
ij
) é de 
ordem nxm.
IMPORTANT
E
Matriz Oposta
Dada uma matriz A = (aij)mxn, a sua matriz oposta será definida por – A 
= (– aij)mxn. Isso significa que a matriz oposta da matriz A é aquela que possui 
elementos opostos correspondentes ao da matriz A. Vejamos os exemplos:
2 - 4 - 2 4
a) A matriz oposta de A= é - A= .
8 6 - 8 - 6
   
   
   
Observe que:
a11 = 2 e é oposto de (-a11) = - 2
a21 = 8 e é oposto de (-a21) = - 8
a12 = - 4 e é oposto de (-a12) = 4
a22 = 6 e é oposto de (-a22) = - 6
1 - 2 3 - 1 2 - 3
b) A matriz oposta de B = é - B = .
4 5 - 6 - 4 - 5 6
   
   
   
a b c - a - d - g
c) A matriz oposta de C = d e f é - C = - b - e - h .
g h i - c - f - i
   
   
   
   
   
Matriz Quadrada 
Quando m = n, ou seja, o número de linhas for igual ao número de colunas, 
dizemos que a matriz é quadrada de ordem nxn ou simplesmente de ordem n. 
Nesse caso, teremos ordem do tipo 1x1, 2x2, 3x3, 4x4, e assim por diante. Como já 
sabemos que o número de linhas é igual ao número de colunas, basta informar a 
ordem, ou seja, uma matriz 1x1 pode ser simplesmente classificada como matriz 
de ordem 1, uma matriz 2x2 de matriz de ordem 2, uma matriz 3x3 de matriz de 
ordem 3, uma matriz 4x4 de matriz de ordem 4 e assim sucessivamente. Exemplos: 
TÓPICO 1 | MATRIZES
11
3 5
A 
2 6
 
=  
 
é uma matriz quadrada de ordem 2 ( m = n = 2) 
5 3 10 
B = - 1 - 4 6 
12 0 - 
2
 
 
 
 
 
 
 
é uma matriz quadrada de ordem 3 ( m = n = 3) 
Numa matriz quadrada de ordem n, os elementos a
11
, a
22
, a
33
, ... a
nn
 formam a 
diagonal principal da matriz, isto é, onde os elementos a
ij
 possuem i = j. 
IMPORTANT
E
A outra diagonal da matriz quadrada é denominada diagonal secundária, que é composta 
pelos elementos a
ij
 com i + j = n + 1. 
diagonal principal
 3 2 
A= 
- 1 6
 
 
 
diagonal principal
 1 3 10 
B= - 3 0 8
 5 - 1 6
 
 
 
 
 
diagonal secundária
 3 2 
C = 
- 1 6 
 
 
 
diagonal secundária
 1 3 10 
D = - 3 0 8
 5 - 1 6
 
 
 
 
 
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
12
Acadêmico(a), as classificações a seguir são utilizadas somente para 
matrizes quadradas, ou seja, matrizes de ordem n.
Matriz Triangular
Em uma matriz quadrada, quando os elementos acima ou abaixo 
da diagonal principal são todos nulos (iguais a zero), dizemos que a matriz é 
triangular. Exemplos:
 7 0 0
A = 8 1 0
 2 9 - 5 
 
 
 
 
 
todos os elementos acima da diagonal principal da matriz A 
são nulos.
1 4 76
 
0 3 85
B
0 0 03
 
0 0 04
 
 
 =
 
 
 
todos os elementos abaixo da diagonal principal da matriz B 
são nulos.
Em uma matriz triangular, temos a
ij
 = 0 para i > j ou a
ij
 = 0 para i < j.
ATENCAO
Matriz Diagonal
Em uma matriz quadrada de ordem n, quando todos os elementos 
posicionados acima e abaixo da diagonal principal são nulos, denominamos de 
matriz diagonal. Exemplos:
1 0 0 0
 2 0 0
0 5 0 0 6 0 
A = B = 0 1 0 C = 
0 0 9 0 0 - 3 
 0 0 8
0 0 0 2
 
                
 
TÓPICO 1 | MATRIZES
13
Em uma matriz diagonal, temos a
ij
 = 0 para i ≠ j.
ATENCAO
Matriz Identidade 
Em uma matriz quadrada de ordem n, quando todos os elementos 
da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a zero, 
denominamos de matriz identidade e seu símbolo é In (onde n representa a ordem 
da matriz). Exemplos: 
5 3 2
1 0 00
 1 0 0
0 1 00 1 0 
I I 0 1 0 I 
0 0 10 0 1 
 0 0 1
0 0 0 1
 
      = = =          
 
Em uma matriz identidade, temos a
ij
 = 1 para i = j e a
ij
= 0 para i ≠ j.
ATENCAO
Matriz Simétrica
Em uma matriz quadrada, quando tiver o elemento aij igual ao elemento 
aji, a matriz é denominada de simétrica. Exemplos:
1 2 69
 1 4 5
2 3 72 
 A B 4 2 6 C 
6 7 71 
 5 6 3
9 2 14
a c
c b
       = = =          
 
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
14
Acadêmico(a), perceba que os termos abaixo da diagonal principal são uma 
reflexão dos termos acima da diagonal principal.
ATENCAO
5 PROBLEMAS QUE ENVOLVEM A DEFINIÇÃO DE MATRIZES 
E SUAS TIPOLOGIAS
Acadêmico(a), neste item vamos resolver algumas situações que envolvem 
os conceitos e definições estudadas até aqui.
Exemplo 1: Dada a seguinte matriz quadrada de ordem 2, escreva a matriz 
A, com aij assumindo os seguintes valores: 
ij
ij
a 2 , 
A .
a 0, 
i j parai j
parai j
= + ≥
=  = <
Resolução: Como a matriz é 2x2, ela deverá ter quatro elementos, conforme 
a matriz genérica:
11 12
21 22 2 2
a a
A
a a x
 
=  
 
Desta forma, os elementos em que, na sua posição, o número de linhas (i) 
for maior ou igual ao número de colunas (j), serão determinados pela fórmula “i + 
2j”, que é o que afirma a primeira condição, Assim,ija i 2 j, para i j.= + ≥
a11 = 3 (sendo i = 1 e j = 1, então: i + 2j = 1 + 2·1 = 3) 
a21 = 4 (sendo i = 2 e j = 1, então: i + 2j = 2 + 2·1 = 4) 
a22 = 5 (sendo i = 1 e j = 2, então: i + 2j = 1 + 2·2 = 5)
Já os elementos em que na sua posição o número de linhas (i) for menor 
que o número de colunas (j), serão determinados pela fórmula 
Neste caso, apenas o elemento de posição a12 obedece este critério, assim: a12 = 0 
(neste caso em que i = 1 e j = 2 (i < j), o valor deste elemento é 0). 
ij"a 0, para i j"= <
TÓPICO 1 | MATRIZES
15
Portanto, a matriz A será igual a: 
2 2
3 0
A
4 5
 
=  
  x
Exemplo 2: Construa a matriz quadrada de ordem 3, 
Resolução: Tomemos, inicialmente, a matriz genérica de ordem 3.
2 2, .i iC c j sendoc j i j= = +
11 12 13
21 22 23
31 32 33 3x3
c c c
C c c c
c c c
 
 =  
 
 
Agora, basta aplicar a fórmula para definir o valor de cada 
elemento, levando em consideração sua posição na matriz. Lembre-se de que o i 
representa a posição do elemento em relação à linha e o j representa a posição do 
elemento em relação à coluna.
2 2
ijc i j= +
2 2
ijc i j= +
2 2
11c 1 1 1 1 2= + = + =
2 2
21c 2 1 4 1 5= + = + =
2 2
31c 3 1 9 1 10= + = + =
2 2
12c 1 2 1 4 5= + = + =
2 2
22c 2 2 4 4 8= + = + =
2 2
32c 3 2 9 4 13= + = + =
2 2
13c 1 3 1 9 10= + = + =
2 2
23c 2 3 4 9 13= + = + =
2 2
33c 3 3 9 9 18= + = + =
Assim, a matriz C será igual a: 
3x3
2 5 10
C 5 8 13
10 13 18
 
 =  
 
 
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
16
Acadêmico(a), observe que temos aqui uma matriz simétrica.
ATENCAO
1 2 3
2 1
A x y z
z
 
 =  
  
 Exemplo 3: A matriz admite a transposta
1 2
2 1 .
3 6
t
x
A x y
y y z
 
 = − 
 − 
 Nestas condições, calcule x, y e z.
Resolução: Denominamos de matriz transposta de A a matriz At = (a’ji)
nxm, tal que a’ji = aij. Em outras palavras, a matriz A
t é obtida trocando-se as linhas 
pelas colunas da matriz A. Assim, podemos estabelecer a seguinte relação para a 
matriz genérica de A:
11 12 13
21 22 23
31 32 33 3x3
a a a
A a a a
a a a
 
 =  
 
 
11 11a a'=
21 12a a'=
31 13a a'=
12 21a a'=
22 22a a'=
32 23a a'=
13 31a a'=
23 32a a'=
23 33a = a'
TÓPICO 1 | MATRIZES
17
O elemento a
ij
 corresponde à matriz A e o elemento a’
ij
 corresponde à matriz At 
(transposta de A). Acadêmico(a), note também que os elementos da diagonal principal não 
se alteram, visto que i = j.
ATENCAO
Considerando a matriz A e sua transposta At, podemos estabelecer:
11 11a a' 1 1= ⇔ =
21 12a a' x x= ⇔ =
31 13a a' 2 2= ⇔ =
12 21a a' 2 x 2 x 4= ⇔ = − ⇔ =
22 22a a' y y= ⇔ =
32 23a a' 1 1= ⇔ =
13 31a a' 3 3y y 1= ⇔ = ⇔ =
23 32a a' z 6 y Como sabemos que y 1, então : z 6 1 z 5= ⇔ = − = = − ⇔ =
33 33a a' z z= ⇔ =
Portanto, x = 4, y = 1 e z = 5.
Exemplo 4: Dadas as matrizes ( )ij ij2x2
2 1
A a ,a 3i j e B ,
x x y
 
= = − =  + determine x e y sabendo que A = B.
Resolução: Vamos iniciar, determinando os elementos da matriz A.
11 12
21 22 2 2
a a
A
a a x
 
=  
 
ija 3i j= −
11a 3 1 1 2= ⋅ − =
21a 3 2 1 5= ⋅ − =
12a 3 1 2 1= ⋅ − =
22a 3 2 2 4= ⋅ − =
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
18
Assim, a matriz A é: 
2 2
2 1
A
5 4 x
 
=  
 
Sabemos que A = B, para isso, seus elementos também devem ser iguais. 
Desta forma, temos que:
11 11a b 2 2= ⇔ =
21 21a b 5 x= ⇔ =
12 12a b 1 1= ⇔ =
22 22a b 4 x y Como x 5, então : 4 5 y y 1= ⇔ = + = = + ⇔ = −
Exemplo 5: Uma matriz A é simétrica se, e somente se, A = At. Determine
 o valor de a para que A = seja simétrica.
21 A
 2
a
a
 
=  
 
A condição de Resolução: A matriz transposta de A é: 2
1 
A
 2
t a
a
 
=  
 
simetria nos garante que A = At e, como vimos no exemplo 3,
11 11a a'=
21 12a a'=
12 21a a'=
22 22a a'=
Neste caso:
11 11a a' 1 1= ⇔ =
2
21 12a a' a a= ⇔ =
2
12 21a a' a a= ⇔ =
22 22a a' 2 2= ⇔ =
TÓPICO 1 | MATRIZES
19
Para descobrirmos o valor de a, basta calcular a equação a = a2.
a2 – a = 0 (é uma equação do segundo grau incompleta, pois falta o termo c)
a ( a – 1) = 0
Desta forma a’ = 0 e,
a” – 1 = 0
a” = 1
Portanto, para que as matrizes sejam simétricas, o valor de a deve ser 0 ou 1.
6 OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES
No desenvolvimento do cálculo com matrizes realizamos operações 
matemáticas seguindo regras específicas. Veremos, a seguir, estas regras, que são 
aplicadas na adição, subtração e multiplicação.
6.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
Inicialmente, consideremos duas matrizes A e B do tipo 2x3: 
 3 5 - 2 
A =
 4 7 - 6 
 
 
 
 1 - 4 - 1 
 B =
 6 3 2
 
 
 
Agora vamos determinar uma matriz C, tal que seus elementos sejam 
resultantes da soma dos elementos de A com os elementos de B, da seguinte 
forma: cij = aij + bij. Portanto, os seis elementos de C (2x3 = 6) serão calculados a 
partir da mesma posição dos elementos em A e B. Vejamos como ficará a adição 
dessas duas matrizes. 
( )12 12 12 5 – 4 5 – 4 1c a b= + = + = =
22 22 22 7 3 10c a b= + = + =
( ) ( )13 13 13 – 2 – 1 – 2 – 1 – 3c a b= + = + = =
( )23 23 23 – 6 2 – 4c a b= + = + =
11 11 11 3 1 4c a b= + = + =
21 21 21 4 6 10c a b= + = + =
É simples, mas precisamos 
ter atenção, principalmente 
nos sinais! 
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
20
Portanto: A + B = C e podemos operacionalizar da seguinte maneira:
Note, acadêmico(a), que somente é possível somar matrizes que possuem a 
mesma ordem, isto é, o mesmo número de linhas e colunas.
IMPORTANT
E
Assim podemos concluir: 
• Denominamos de matriz C a soma da matriz A com a matriz B ou a soma das 
matrizes A e B. 
• Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo mxn, a soma da matriz A com a 
matriz B, que representamos por A + B, é a matriz C do tipo mxn que é obtida 
adicionando cada elemento correspondente de A e B. 
Definição: Sejam duas matrizes A = (aij) e B = (bjj) de ordem mxn, a soma 
A + B é a matriz C = (cij) de ordem mxn, tal que: cij = aij + bij , para i = 1, 2, 3, ..., m e 
j = 1, 2, 3, ..., n.
( ) ( ) ( )
( )
 3+1 5+ - 4 - 2 + - 13 5 - 2 1 - 4 - 1 4 1 - 3 
+ = =
 4+6 7+3 - 6 +24 7 - 6 6 3 2 10 10 - 4 
      
      
      
Para a subtração de matrizes utilizaremos a ideia de soma com a matriz 
oposta. Assim, sendo A e B duas matrizes do tipo mxn, denominamos diferença entre A e B 
(representada por A - B) a soma da matriz A com a matriz oposta de B, isto é, A - B = A + (-B).
ATENCAO
Vejamos,também, um exemplo de subtração de matrizes. Dadas as matrizes 
A e B anteriores e vamos determinar a matriz D resultante da subtração A – B.
 3 5 - 2 1 - 4 - 1 
A = B =
 4 7 - 6 6 3 2
   
   
   
TÓPICO 1 | MATRIZES
21
( ) ( ) ij ij ijD A B A B d a b= − = + − ⇔ = + −
( ) ( )11 11 11 3 – 1 3 – 1 2d a b= + − = + = =
( ) ( )21 21 21 4 – 6 4 – 6 – 2d a b= + − = + = =
( ) ( )12 12 12 5 4 5 4 9d a b= + − = + + = + =
( ) ( )22 22 22 7 – 3 7 – 3 4d a b= + − = + = =
( ) ( ) ( )13 13 13 – 2 1 – 2 1 – 1a bd = + − = + + = + =
( ) ( ) ( )23 23 23 – 6 – 2 – 6 – 2 – 8d a b= + − = + = =
Portanto: D = A + (– B) e podemos operacionalizar da seguinte maneira:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
 3 + - 1 5 + + 4 - 2 + + 13 5 - 2 - 1 + 4 + 1 
D = + = =
 4 + - 6 7 + - 3 - 6 + - 24 7 - 6 - 6 - 3 - 2
    
    
     
Propriedade da Adição de Matrizes 
Assim como os números, as matrizes possuem propriedades operatórias. 
Com a definição dada para adição de matrizes é possível verificar que essas 
propriedades, utilizadas para a soma de números reais, também são válidas para 
a adição de matrizes. Estas propriedades poderão auxiliar nas operações entre 
matrizes, pois nos possibilitam resolvê -las mais rapidamente. 
Propriedade Associativa: Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesma 
ordem mxn, vale a igualdade:
(A + B) + C = A + (B + C)
Prova: [A + (B + C)]ij = aij + (B + C)ij = aij + (bij + cij) = (aij + bij) + cij = (A + B)ij + cij =
= [(A + B) + C]ij
Propriedade Comutativa: Para quaisquer matrizes A e B, de mesma 
ordem mxn, vale a igualdade:
3 - 1 5 + 4 - 2 +1 2 9 - 1 
 ÛD = 
4 - 6 7 - 3 - 6 -2 - 2 4 - 8 
   
   
   
⇔
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
22
A + B = B + A
Prova: (A + B)ij = aij + bij = bij + aij = (B + A)ij
Propriedade do Elemento neutro: Existe uma matriz nula 0 que somada 
com qualquer outra matriz A de mesma ordem fornecerá a própria matriz A, isto é:
0 + A = A
Prova: Consideremos que A + U = A, para qualquer matriz A, mxn. 
Comparando os elementos correspondentes, temos que aij + uij = aij, ou seja, uij = 
0, para i = 1, 2, 3, ..., m e j = 1, 2, 3, ..., n. Portanto, a única matriz que satisfaz 
à equação acima é a matriz em que todos os seus elementos são iguais a zero. 
Denotamos esta matriz por: matriz nula e representamos por 0.
Propriedade do Elemento oposto: Para cada matriz A existe uma matriz 
-A, denominada a oposta de A, cuja soma entre ambas fornecerá a matriz nula de 
mesma ordem, isto é:
A + (-A) = 0
Prova: Dada uma matriz A de ordem mxn e seja B uma matriz de ordem 
mxn, tal que: A + B = 0.
Comparando os elementos correspondentes, temos que: aij + bij = 0, ou 
seja, bij = - aij, para i = 1, 2, 3, ..., m e j = 1, 2, 3, ..., n. Portanto, a única matriz que 
satisfaz a equação anterior é a matriz em que todos os seus elementos são iguais 
aos opostos dos elementos de A. Denotamos esta matriz por -A.
Acadêmico(a), crie matrizes A, B e C de mesma ordem e verifique estas quatro 
importantes propriedades.
DICAS
TÓPICO 1 | MATRIZES
23
6.2 MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO 
REAL
Dada a matriz 
 5 8 - 1 
A = 
- 4 3 6
 
 
 
vamos determinar A + A.
( ) ( )
( ) ( )
5 + 5 8 + 8 - 1 + - 1 5 8 - 1 5 8 - 1 
A + A = + = 
- 4 + - 4 3 + 3 6 + 6- 4 3 6 - 4 3 6
    
    
     
 10 16 - 2 
A + A = .
- 8 6 12 
 
 
 
Considerando que A + A = 2·A, temos: 
( )
( )
2 . 5 2 · 8 2 · - 15 8 - 1 10 16 - 2 
2 · A = 2 · = = 
 2 · - 4 2 · 3 2 · 6- 4 3 6 - 8 6 12
    
    
    
Observamos, então, que o produto de um número real pela matriz A é 
uma matriz que se obtém multiplicando-se o número real pelos elementos de A. 
Definição: Seja a matriz A = (aij)mxn e k um número real. O produto de K 
pela matriz A (indica-se: K·A) é a matriz B = (bij)mxn, em que bij = k·aij, para todo 
i (i = 1, 2, 3, ..., m) e para todo j (j = 1, 2, 3, ..., n).
Observe os exemplos a seguir:
( ) ( )1) Se A = 2 5 8 , então 3 · A = 6 15 24 .
 2 4 4 8 12) Se B = , então · A = .55 10 2 5
2
          
( )
 3 - 2 3 - 6 4 - 2 3
3) Se C = - 1 5 7 , então -2 · C = 2 - 10 - 14 .
 4 1 0 - 8 - 2 0
   
   
   
   
   
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
24
Propriedades da Multiplicação de uma Matriz por um Número Real
Sendo A e B matrizes de mesma ordem mxn e x e y números reais 
quaisquer, valem as seguintes propriedades:
 
Propriedade Associativa: ( ) ( )x · yA = xy · A
Demonstração: sejam   ij A= a  =  ijB b ∈ .k
( )             ij ij ijx . y . A = x . y . (a ) = x . y. a = x . y . a
e Então, e
Propriedade distributiva de um número real em relação à adição de 
matrizes: 
x·(A + B) = x·A + x·B
∈.x ( )
)            ]
ij ij
ij ij ij ij ij ij
x . A+B = x . (a + b ) =
x . (a + b = x . a + k . b = x . a + . b x
   ⇒ + = +   . . . .ij ijx a x b x A x B
Demonstração: sejam   ij A= a  =  ijB be , e Então
( )
)            ]
ij ij
ij ij ij ij ij ij
x . A+B = x . (a + b ) =
x . (a + b = x . a + k . b = x . a + . b x( )
)            ]
ij ij
ij ij ij ij ij ij
x . A+B = x . (a + b ) =
x . (a + b = x . a + k . b = x . a + . b x
( )
)            ]
ij ij
ij ij ij ij ij ij
x . A+B = x . (a + b ) =
x . (a + b = x . a + k . b = x . a + . b x
Onde foi utilizada a distributividade da multiplicação com relação à 
adição dos números reais. c.q.d.
Propriedade distributiva de uma matriz em relação à adição de dois 
números reais: 
(x + y) · A = x·A + y·A
∈, .k q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )               ij ij ij ij ijx + y . A = x + y . a = x + y . a = x + y . a = x . a + y . aDemonstração: sejam   ij A= a e Então
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )               ij ij ij ij ijx + y . A = x + y . a = x + y . a = x + y . a = x . a + y . a
( ) ( )       ⇒       ij ij ij ijx . a + y . a = x . a + y . a = x . A + y . A
c.q.d.
TÓPICO 1 | MATRIZES
25
Propriedade do elemento neutro: x·A = A, para x = 1, ou seja, 1 · A = A
1 . A = A
   .ijA = a ( ) ( )         ij ij ij1 . A = 1 . a = 1 . a = a = ASeja Então,
c.q.d.
Acadêmico(a), verifique as demonstrações das propriedades da adição de 
matrizes e busque demonstrar estas quatro propriedades. A demonstração é um processo 
importante da matemática. Vá treinando, você usará muito durante a sua graduação!
UNI
6.3 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Acadêmico(a), a multiplicação de matrizes não é uma operação tão simples como 
as outras já estudadas até aqui, pois não basta multiplicar os elementos correspondentes. 
Fique atento à explicação!
ATENCAO
Vamos iniciar este conceito com uma situação-problema. Observe a tabela 
a seguir, ela apresenta as notas obtidas na disciplina de Álgebra Linear e Vetorial 
pelos acadêmicos Cristiane, Leonardo e Luiz nas quatro avaliações propostas.
Avaliação 1 Avaliação 2 Avaliação 3 Avaliação 4
Cristiane 7 6 7 8
Leonardo 4 5 5 7
Luiz 8 7 9 10
Para calcular a média final da disciplina, o professor deve fazer uma média 
ponderada, onde a avaliação 1 tem peso 1, a avaliação 2 tem peso 1, a avaliação 
3 tem peso 4,8 e a avaliação 4 tem peso 3,2. Assim, a média de cada aluno será 
determinada pela fórmula: 
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
26
o que equivale a escrever:( ) ( ) ( ) ( ) Avaliação 1×1 + Avaliação 2×1 + Avaliação 3×4,8 + Avaliação 4×3,2 
1 + 1 + 4,8 + 3,2( ) ( ) ( ) ( ) Avaliação 1×0,10 + Avaliação 2×0,10 + Avaliação 3×0,48 + Avaliação 4×0,32 .
A tabela de notas pode ser representada pela matriz:
3 4
7 6 7 8
4 5 5 7
8 7 9 10
 
 =  
 
 
A
x
E os pesos das avaliações, pela matriz:
0 10
0 10
0 48
0 32
 
 
 
 
  
 4x1
,
,
B = 
,
,
Agora vamos calcular as médias dos alunos nesta disciplina:
( ) ( ) ( ) ( )Cristiane: 7×0,10 + 6×0,10 + 7×0,48 + 8×0,32 = 7,22
( ) ( ) ( ) ( )Leonardo: 4×0,10 + 5×0,10 + 5×0,48 + 7×0,32 = 5,54
( ) ( ) ( ) ( )Luiz: 8×0,10 + 7×0,10 + 9×0,48 + 10×0,32 = 9,02
Essas médias podem ser registradas em uma matriz C, que é o produto
 da matriz A (notas) pela matriz B (pesos):
3 1
7 22
5 54
9 02
 
 =  
 
  x
,
C ,
,
A ideia utilizada para obter a matriz C será usada agora para definirmos 
matematicamente a multiplicação de matrizes.
Definição: Dada uma matriz A = (ajj) do tipo mxn e uma matriz B = (bjj) 
do tipo nxp, o produto da matriz A pela matriz B é a matriz C = (cij) do tipo 
mxp, tal que o elemento cij é calculado multiplicando-se ordenadamente os 
elementos da linha i, da matriz A, pelos elementos da coluna j, da matriz B, e 
somando-se os produtos obtidos. Para dizer que a matriz C é o produto de A 
por B, vamos indicá-la por AB.
TÓPICO 1 | MATRIZES
27
Observe que só definimos o produto AB de duas matrizes quando o número 
de colunas de A for igual ao número de linhas de B; além disso, notamos que o produto AB 
possui o número de linhas de A e o número de colunas de B: A
mxn
 . B
nxp
 = AB
mxp
.
ATENCAO
Acompanhe a multiplicação das matrizes A de ordem 3x2 e B de ordem 2x4: 
 1 2
 1 1 2 2 
A = 2 3 e B = 
 2 3 3 2
 3 4
 
  
  
   
O primeiro fato a observar é que só podemos multiplicar matrizes quando 
o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda 
matriz. Note que na definição A tem n colunas e B tem n linhas. Essa igualdade 
tem que ocorrer para que a multiplicação possa ser calculada. Como A possui 
duas colunas e B possui duas linhas, podemos calcular C = A·B
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
1 2 c c c c
1 1 2 2
C = A B = 2 3 = c c c c
2 3 3 2
3 4 c c c c
   
    ⋅ ⋅     
       
Sabemos que a matriz C terá ordem 3x4 devido à definição, pois a ordem 
da matriz é resultado da multiplicação de duas matrizes, onde herda o número 
de linhas da primeira e o número de colunas da segunda. Observe:
3x2 2x4 3x4A B = C⋅
Agora, precisamos definir os elementos cij da matriz resultante C e para 
isso é necessário saber que:
• c11 é o resultado da multiplicação dos elementos da 1ª linha da matriz A com os 
elementos da 1ª coluna da matriz B.
• c12 é o resultado da multiplicação dos elementos da 1ª linha da matriz A com os 
elementos da 2ª coluna da matriz B.
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
28
• c13 é o resultado da multiplicação dos elementos da 1ª linha da matriz A com os 
elementos da 3ª coluna da matriz B.
• c14 é o resultado da multiplicação dos elementos da 1ª linha da matriz A com os 
elementos da 4ª coluna da matriz B.
• c21 é o resultado da multiplicação dos elementos da 2ª linha da matriz A com os 
elementos da 1ª coluna da matriz B.
• c22 é o resultado da multiplicação dos elementos da 2ª linha da matriz A com os 
elementos da 2ª coluna da matriz B.
• c23 é o resultado da multiplicação dos elementos da 2ª linha da matriz A com os 
elementos da 3ª coluna da matriz B.
• c24 é o resultado da multiplicação dos elementos da 2ª linha da matriz A com os 
elementos da 4ª coluna da matriz B.
• E assim por diante.
Observe o cálculo de cada elemento da matriz resultante C:

11
1ª Linha A
1ª Coluna B
12
1
c = 1 2 = 1 1 + 2 2 = 1 + 4 = 5
2
1
c = 1 2 = 1 1 + 2 3 = 1 + 6 = 7
3
 
  ⋅ ⋅ ⋅  
 
 
  ⋅ ⋅ ⋅  
 

13
14
2
c = 1 2 = 1 2 + 2 3 = 2 + 6 = 8
3
2
c = 1 2 = 1 2 + 2 2 = 2 + 4 = 6
2
 
  ⋅ ⋅ ⋅  
 
 
  ⋅ ⋅ ⋅  
 
21
22
1
c = 2 3 = 2 1 + 3 2 = 2 + 6 = 8
2
1
c = 2 3 = 2 1 + 3 3 = 2 + 9 = 11
3
 
  ⋅ ⋅ ⋅  
 
 
  ⋅ ⋅ ⋅  
 
TÓPICO 1 | MATRIZES
29
23
24
2
c = 2 3 = 2 2 + 3 3 = 4 + 9 = 13
3
2
c = 2 3 = 2 2 + 3 2 = 4 + 6 = 10
2
 
  ⋅ ⋅ ⋅  
 
 
  ⋅ ⋅ ⋅  
 
31
32
1
c = 3 4 = 3 1 + 4 2 = 3 + 8 =11
2
1
c = 3 4 = 3 1 + 4 3 = 3 + 12 = 15
3
 
  ⋅ ⋅ ⋅  
 
 
  ⋅ ⋅ ⋅  
 
33
34
2
c = 3 4 = 3 2 + 4 3 = 6 + 12 = 18
3
2
c = 3 4 = 3 2 + 4 2 = 6 + 8 = 14
2
 
  ⋅ ⋅ ⋅  
 
 
  ⋅ ⋅ ⋅  
 
Com isso, finalmente, teremos:
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
1 2 c c c c 5 7 8 6
1 1 2 2
C= A × B = 2 3 × = c c c c = 8 11 13 10
2 3 3 2
3 4 c c c c 11 15 18 14
     
      
      
           
Nunca esqueça: todos os elementos das linhas da primeira matriz multiplicam 
todos os elementos das colunas da segunda matriz.
IMPORTANT
E
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
30
6.4 MATRIZ INVERSA
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz, tal que AX 
= In e XA = In, onde In é a matriz identidade de ordem n, então X é denominada 
matriz inversa de A, sendo simbolizada por 1A−
Analisando a definição, é possível perceber que a matriz inversa nem sempre existe. 
Quando existir a matriz inversa de A, dizemos que A é uma matriz invertível ou não singular.
ATENCAO
Acadêmico(a), observe que a matriz é invertível e sua matriz 
inversa é: 
 1 - 1 
A = 
 2 0
 
 
 
- 1 0 1/2 1 - 1 0 1/2 1 0 0 1/2 1 - 1 1 0 A = , pois: . = e . = . 
- 1 1/2 2 0 - 1 1/2 0 1 - 1 1/2 2 0 0 1 
 
             
             
             
Acadêmico(a), observe que a matriz A multiplicada pela inversa nos dá a 
matriz identidade.
IMPORTANT
E
Exemplo 1: Sendo a matriz ,vamos determinar a matriz 
inversa de A, se existir.
Resolução: Existindo, a matriz inversa é de mesma ordem de A. Como, 
para que exista inversa, é necessário que A·A-1= A-1·A = , vamos trabalhar em 
duas etapas:
Inicialmente, fixamos a condição de que A·A-1 = e determinamos A-1:
 2 x 2
 1 2 
 - 2 1 
A = 
 
 
 
nI
nI
n
 2 x 2 2 x 2 2 x
-
 
 
2
1 1 2 a b 1 0 I = A A =
 - 2 1 c d 0 1
 
 
     
⇒ ⋅ ⇒     
   
⋅
 
TÓPICO 1 | MATRIZES
31
 2 x 2 2 x 2
 2 x 2 2 x 2
 1 . a + 2 . c 1 . b + 2 . d 1 0 
 = 
- 2 . a + 1 . c - 2 . b + 1 . d 0 1 
 a + 2 c b + 2 d 1 0 
 = 
 - 2 a + c - 2 b + d 0 1 
   
⇒ ⇒   
   
   
⇒    
   
A partir da igualdade de matrizes, resolvemos o sistema acima pelo 
método da adição:
__________________
 
 2 a + 4 c = 2
 a + 2 c = 1 ( -2 )
 - 2 a + c = 0
- 2 a + c = 0 
2 5 c = 2 c = 
5
 



 ⇒ 
↵⊕ 

 ⇒

 
 - 2 a + c = 0
2 1 - 2 a + = 0 a = 
5 5
⇒
__________________
 
 2 b + 4 d = 0
 b + 2 d = 0 ( - 2 )
 - 2 b + d = 1
 - 2 b + d = 1 
1 5 d = 1 d = 
5
 



 ⇒ 
↵⊕ 

 ⇒
- 2 b + d = 1
1 2 - 2 b + = 1 b = - 
5 5
⇒
Assim temos:
 2 x 2
 2 x 
 - 
2
1
1 2- a b 5 5 = 
 c d 2 1 5
A = 
5 
           
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
32
É importante verificarmos se A·A-1 = : 2I
 - 1 
 2 x 2
 2 x 2
 1 2- 1 2 5 5 
 2 1 - 2 1 5 5
A
 
 A = 
     ⋅       
⋅
( ) ( ) ( )
( )
 2 x 2 2 x 2
 2 x 2
 1 4 2 2 + -5 5 5 5 = = =
 2 2 4 1 - + 5 5 5 5 
 5 0 15 = = 
5 0 5 
1 2 1 2 . 1 + - . - 2 . 2 + - . . 1 5 5 5 5 
2 1 2 1 . 1 + . - 2 . 2 + . 15 5 5 5
   
   
   
     
 
 
 
  
2
0 
 = I
 0 1 
 
 
 
Logo, A-1 é inversa de A e pode ser representada por:
- 1
 2 x 2
 1 2 -5 5 A = 
 2 1 5 5 
 
 
 
  
Exemplo 2: Verifique se existe e, em caso afirmativo, determine a matriz
 inversa de 
5 8
A = .
2 3
 
 
 
Resolução: Seja X a matriz quadrada de ordem 2 procurada, isto é: a bX = .
c d
 
 
 
Pela definição, inicialmente devemos ter: 
 5 8 a b 1 0 5 a + 8 c 5 b + 8 d 1 0
 . = = 
 2 3 c d 0 1 2 a + 3 c 2 b + 3 d 0 1 
         
⇒         
         
 5 8 a b 1 0 5 a + 8 c 5 b + 8 d 1 0
 . = = 
 2 3 c d 0 1 2 a + 3 c 2 b + 3 d 0 1 
         
⇒         
         
Pela igualdade de matrizes, temos os sistemas:
( ) 5 a + 8 c = 1I 2 a + 3 c = 0



que resolvido nos dá a = -3 e c = 2. 
TÓPICO 1 | MATRIZES
33
( ) 5 b + 8 d = 0II 2 b + 3 d = 1



que resolvido nos dá b = 8 e d = - 5. 
Embora teremos um tópico sobre sistemas lineares, acreditamos que todos 
tenham tido contato com esses sistemas pequenos tanto no Ensino Fundamental quanto 
no Médio, como também na disciplina de Introdução ao Cálculo. Caso você não entenda a 
resolução deste sistema, é importante que retome o material da disciplina de Introdução ao 
Cálculo e faça um estudo sobre os sistemas lineares de ordem 2.
DICAS
Temos para a qual AX = I2 
A seguir, verificamos se XA = Então,
 
podemos dizer que é a matriz inversa de ou seja:
2
 - 3 8 5 8 1 0 
 I : . = .
 2 - 5 2 3 0
 
1 
     
     
     
- 3 8 
 2 - 5 
 
 
 
5 8
2 3
 
 
 
- 1 - 3 8 A = .
 
 
 2 - 5 
 
 
 
DICAS
Assim, se você quiser ter certeza de que calculou a matriz inversa 
corretamente, basta efetuar a multiplicação . Se essa multiplicação resultar na
identidade , você terá calculado corretamente, caso contrário, refaça os cálculos.
- 1A
- 1A A⋅
1 0
0 1
I
 
=  
 
Propriedades da Multiplicação de matrizes
Como o produto de matrizes é definido de forma diferente do produto de 
uma matriz por um número real, as propriedades satisfeitas pela multiplicação 
de números reais em geral não valem para a multiplicação de matrizes. 
Vamos supor que as matrizes A, B e C sejam de ordens tais que as 
operações a seguir sejam possíveis. Assim, são válidas as seguintes propriedades 
para a multiplicação de matrizes:
Propriedade Associativa: (A·B) · C = A · (B·C)
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
34
Demonstração: Suponhamos que as matrizes A, B e C tenham ordens 
respectivamente: n r r se s m, × × ×
Temos que: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
s s r
kj il lk kjikij
k k l
A B . C A B c = a b . c. . .
= = =
 
=  
 
∑ ∑ ∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1 1
r s r
il ik kj il lj ij
l k l
a . b c = a . B C = A . B C . .
= = =
 
⇒  
 
∑ ∑ ∑
c.q.d.
Propriedade Distributiva à direta em relação à adição: (A + B) ·C = A·C + B·C
Demonstração: Suponhamos que as matrizes A, B e C tenham ordens 
respectivamente: n r r se s m, × × ×
Temos que: ( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1
n n
ik ik kj kj ik ik
k k
A B . C = b c . c = c a b
= =
+ + +∑ ∑
( )
1 1 1
n n n
kj ik kj ik kj ik kj ik ij ij
k k k
c a c b = c a c b A C B C = . .
= = =
   ⇒ + + +   ∑ ∑ ∑
ij
A.C B C = A C B C . . . ⇒ + + 
c.q.d.
Propriedade Distributiva à esquerda em relação à adição: A·(B + C) = A·B + A·C
Demonstração: Suponhamos que as matrizes A, B e C tenham ordens 
respectivamente: n r r se s m, × × ×
Temos que: ( ) ( ) ( )( )
1 1
n n
ik ik kj kjkj
k k
A . B C = a B C = a b c 
= =
 + + + ∑ ∑
( )
1 1 1
n n n
ik kj ik kj ik kj ik kj ij ij
k k k
a b a c = a b a c A B A C = . .
= = =
   ⇒ + + +   ∑ ∑ ∑
ij
A B A C = A B A C . . . . ⇒ + + 
c.q.d.
Importante:
• Em geral, A·B ≠ B·A, para A e B duas matrizes quaisquer, isto é, não é válida a 
propriedade comutativa da multiplicação para matrizes.
TÓPICO 1 | MATRIZES
35
• A·I = I·A = A, onde I é a matriz identidade de ordem apropriada e A é uma 
matriz qualquer.
• (A·B)T = BT·AT , para A e B matrizes.
• 0·A = 0 e A·0 = 0, para toda matriz A (onde 0 é a matriz nula de ordem 
apropriada).
É possível A·B = 0, sem termos A = 0 ou B = 0.
IMPORTANT
E
Para exemplificar o que o UNI acabou de informar, considere as matrizes:
2 0
0 5
A
 
=  
 
e note que A ≠ 0 e B ≠ 0 (onde 0 é a matriz nula de
 0 - 3
B = 
 1 0 
 
 
 
 ordem apropriada).
Com isso teremos
2 0 0 - 3 0 0
A B = = 
0 5 1 0 0 0
     
⋅ ⋅     
     
6.5 OUTROS EXEMPLOS QUE ENVOLVEM OPERAÇÕES 
COM MATRIZES
A seguir veremos mais alguns exemplos de situações que envolvem 
matrizes e suas operações.
Exemplo 1: Dadas as matrizes: 
 1 2 3 - 2 0 1 
A = , B = e D = 2 - 1 
 2 1 - 1 3 0 1 
   
      
   
Calcule D . (2A + 3B). 
Resolução: Primeiramente, vamos calcular a prioridade da expressão que 
é definida pelos parênteses.
 1 2 3 - 2 0 1 
2A + 3B = 2 + 3 
 2 1 - 1 3 0 1 
 2 4 6 - 6 0 3 2-6 4+0 6+3 - 4 4 9 
2A + 3B = + = = 
 4 2 - 2 9 0 3 4+9 2+0 - 2+3 13 2 1 
   
⋅ ⋅   
   
       
       
       
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
36
Agora, resolveremos a multiplicação:
( ) 11 12 13 1x2 1x3
 2x3
 - 4 4 9 
D n 2A + 3B = 2 - 1 n = d d d
 13 2 1
 
 
 
       
 
Lembre-se de que é necessário verificar se a multiplicação é possível, ou 
seja, se o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da 
segunda matriz.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 1x3
D 2A + 3B = 2 - 4 + - 1 13 2 4 + - 1 2 2 9 + - 1 1  ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 
( ) 1x3D 2A + 3B = - 8 - 13 8 - 2 18 - 1  ⋅  
( ) 1x3D 2A + 3B = - 21 6 17  ⋅  
Exemplo 2: Sejam as matrizes A = (aij)2x2, com aij = 2i - j2 e B = (bij)2x2, com bij 
= aij - 1, encontre a matriz X de modo que: X - 2A + B = 0.
Resolução: Vamos iniciar construindo as matrizes A e B.
Matriz A
Como é uma matriz 2x2, sua genérica é: 11 12
21 22
a a
A
a a
 
=  
 
Conforme orienta o enunciado, cada elemento aij será determinado por aij 
= 2i – j2.
Matriz B
Como é uma matriz 2x2, sua genérica é: 11 12
21 22
b b
B = 
b b
 
 
 
 2 
 11 a = 2 1 - 1 = 2 - 1 = 1⋅
 2
 21a = 2 2 - 1 = 4 - 1 3 = ⋅
 2
 12 a = 2 1 - 2 = 2 - 4 2 = - ⋅
 2
 22a = 2 2 - 2 = 4 - 4 0 = ⋅
 1 - 2 
A = 
 3 0
 
 
 
 2
 ija = 2i - j
TÓPICO 1 | MATRIZES
37
Conforme orienta o enunciado, cada elemento bij será determinado por 
bij = aij - 1.
 ij ijb =a - 1
 11b = 1 - 1 = 0
 21b = 3 - 1 = 2
 12 b = - 2 - 1 = - 3
 22b = 0 - 1 = - 1
Este valor (aij) você irá buscar na 
matriz A.
 0 - 3 
B = 
 2 - 1 
 
 
 
Determinadas as matrizes A e B, vamos resolver a equação X – 2A + B = 0.
Assim como em uma equação do primeiro grau, sugerimos isolar a matriz X 
antes de substituir as matrizes.
DICAS
( )
2 + 0 - 4 + 3 
X = 
6 + - 2 0 + 1
 
 
  
 2 - 1 
X = 
 4 1
 
 
 
2X A B – =
 1 - 2 0 - 3 
X = 2 - 
 3 0 2 - 1 
   
⋅    
   
( )2 1 2 - 2 0 - 3 X = - 
 2 - 1 2 3 2 0
 ⋅ ⋅  
   
⋅ ⋅    
 2 - 4 0 - 3 
X = - 
 6 0 2 - 1 
   
   
   
 2 - 4 0 3 
X = + 
 6 0 - 2 1 
   
   
   
2 0X A B – + =
Lembre-se: resolvemos 
a subtração de matrizes 
somando a matriz oposta!
Essa é a matriz X.
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
38
Exemplo 3: Seja A = (aij) a matriz 2x2 real definida por aij = 1 se i ≤ j e aij = 
-1 se i > j. Calcule A2. 
Resolução: Vamos iniciar construindo a matriz A.
11 12
21 22
a a
A
a a
 
=  
 
Como é uma matriz 2x2, sua genérica é: 
Conforme orienta o enunciado, cada elemento aij será determinado por aij 
= 1 se i ≤ j e aij = -1 se i > j.
 11
 21
 12
 22
a = 1
a = - 1
a
 
= 1
a = 1
 1 1 
A = 
- 1 1 
 
 
 
Agora, basta calcularmos A2.
ATENCAO
Calcular A2 não é elevar cada um de seus elementos ao quadrado, mas sim
multiplicar a matriz por ela mesma, ou seja, A2 = A · A . 2
 1 1 1 1 
A = A A = 
- 1 1 - 1 1
 
 
   
⋅ ⋅   
   
Para resolver esta multiplicação é necessário verificar se o número de 
linhas da primeira matriz é igual ao número de colunas da segunda matriz.
2
 2x2 2x2 2x2A A = A ⋅
( )
( ) ( ) ( )
2 1 1 + 1 - 1 1 1 + 1 1 1 1 1 1 A = = 
- 1 1 - 1 1 - 1 1 + 1 - 1 - 1 
 
 1 + 1 1 
 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅   
⋅      ⋅ ⋅ ⋅ ⋅      
2 1 - 1 1 + 1 0 2 A = = 
- 1 - 1 - 1 + 1 - 2 0 
 
   
   
   
TÓPICO 1 | MATRIZES
39
Exemplo 4: (UFRJ) Uma confecção vai fabricar três tipos de roupas 
utilizando três materiais diferentes. Considere a matriz A abaixo, onde cada 
elemento aij representa quantas unidades de material j serão empregados para 
fabricação de roupas do tipo i. 
5 0 2
A = 0 1 3
4 2 1
 
 
 
  
a) Quantas unidades de material 3 serão empregados na confecção de uma roupa 
tipo 2?
b) Calcule o total de unidades do material 1 que será empregado para fabricar 
cinco roupas do tipo 1, quatro roupas do tipo 2 e duas roupas do tipo 3.
Resolução: De acordo com o enunciado, temos a tabela:
Material 1 Material 2 Material 3
Roupa tipo 1 5 0 2
Roupa tipo 2 0 1 3
Roupa tipo 3 4 2 1
a) O número de unidades de material j = 3 na confecção de uma roupa tipo i = 2 
é o elemento a23 da matriz A, ou melhor, é o elemento da segunda linha com a 
terceira coluna a23 = 3 unidades.
b) O valor procurado é 5a11 + 4a21 + 2a31 = 5×5 + 4×0 + 2×4 = 25 + 0 + 8 = 33 unidades.
Exemplo 5: (PUC) Um batalhão do exército resolveu codificar suas 
mensagens através da multiplicação de matrizes. Primeiramente, associa as letras 
do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo considerada:
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
40
Desta forma, supondo que o batalhão em questão deseja enviar a
 mensagem "PAZ", pode-se tomar uma matriz 2x2, da forma: a qual, 
usando-se da tabela acima, será dada por:
P A
Z -
 
 
 15 1
25 0
 
 
 
Tomando-se a matriz-chave C para o código, isto é: transmite-se a
 mensagem "PAZ" através da multiplicação das matrizes M e C, ou seja:
2 3
1 2
 
 
 
15 1 2 3 31 47
M C = = .
25 0 1 2 50 75
     
⋅ ⋅     
     
Ou através da cadeia de números 31 47 50 75. Desta forma, utilizando-
se a mesma matriz-chave C, a decodificação da mensagem 51 81 9 14 será 
compreendida pelo batalhão como a transmissão da palavra:
a) LUTE
b) FOGO
c) AMOR
d) VIDA
e) FUGA
Resolução: Para construir a Matriz D vamos usar o fato de que D é a matriz 
inversa de C se, e somente se, C×D = D×C = I, onde I é matriz identidade. Depois, 
basta resolvermos os sistemas de equações resultantes.
IMPORTANT
E
Como já falamos, só existe a inversa de matrizes quadradas. E mais do que 
isso, a inversa terá sempre a mesma ordem da matriz além disso, a identidade 
também terá essa mesma ordem.
- 1A A I 
TÓPICO 1 | MATRIZES
41
 - 1a b 2 3D = , C = e D = C
c d 1 2
2 3 a b 2 a + 3 c 2 b + 3 d 1 0
 . = = 
1 2 c d a + 2 c b + 2 d 0 1
 2 a + 3 c = 1 2 b +
 e 
a + 2 c = 0
   
⇒   
   
       
       
       

⇒ 

 3 d = 0
b + 2 d = 1
 a = 2 ; b = - 3 ; c = - 1 ; d = 2



⇒
Acadêmico(a), veja que a matriz C codificou a mensagem multiplicando a 
matriz M pela direita, assim, temos que decifrar a mensagem também pela direita 
multiplicando por D = C-1 , pois a propriedade comutativa no produto de matrizes 
não é válida. Decodificando a mensagem 51 81 9 14, encontramos:
 51 81 2 -3 102 - 81 - 153 + 162 
 . = =
 9 14 -1 2 18 - 14 - 27 + 28
 21 9 
= 
 4 1
     
     
     
 
 
 
Logo, a mensagem 51 81 9 14 será compreendida como 21 9 4 1, 
correspondendo à palavra VIDA, e a alternativa (D) é a opção correta.
42
Neste tópico você viu:
• Uma matriz é uma organização de dados em linhas e colunas e que cada 
ente da matriz é denominado elemento. Uma matriz é representada por uma 
letra maiúscula e os elementos podem estar dispostos entre parênteses ou 
colchetes. A ordem de uma matriz é a informação da quantidade de linhas 
(m) e colunas (n).
• Alguns tipos de matrizes: quadrada, nula, coluna, linha, oposta, diagonal, 
identidade, triangular, transposta e simétrica.
• Algumas operações: soma de matrizes, multiplicação por um número real e 
multiplicação de matrizes. Aqui vale destacar:
o Só podemos somar matrizes de mesma ordem.
 
o Para multiplicar matrizes o número de colunas da primeira matriz tem que ser 
igual ao número de linhas da segunda. Já a matriz resultante (produto) terá o 
número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz.
	
o	Na multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa, isto é, 
podemos ter para duas matrizes quaisquer A e B.
RESUMO DO TÓPICO 1
A B B A⋅ ≠ ⋅
43
Acadêmico(a), um dos princípios da UNIASSELVI é “Não basta 
saber, é preciso saber fazer”. Agora chegou a sua vez de colocar em prática os 
conceitos sobre matrizes estudados neste tópico.
1 Sendo dadas as matrizes:
AUTOATIVIDADE
 8 3 1 4 - 1 8 
A = 2 4 , B = 5 3 , C = - 2 - 4 
1 5 8 5 - 3 - 5 
     
     
     
     
     
Calcule:
a) A + B d) A + B + C
b) A + C e) A - B - C
c) B + C f) A + C - B
2 Dadas as matrizes: 
 2 - 3 0 1 - 2 8
A = , B = e C = 
 4 - 1 2 3 1 - 3 
     
     
     
Calcule:
a) 5A + 3B c) A + 5B - 2C
b) 6A - 4B d) 2B - C
3 Calcule os produtos indicados:
( )
2
a) 1 - 3 4 . 1
5
 
 
 
 
 
 - 1 2 3 8 3 
b) . 
 3 - 4 1 2 4 
   
   
   
 2 - 3 1 3 4 5 
c) . 
 0 3 - 3 2 1 4 
   
   
   
 1 0 2 3 
d) . 
 0 1 7 0 
   
   
   
44
4 Dada a matrizmostrada adiante:
 1 2 3 
A = 0 1 2
 - 1 1 - 1 
 
 
 
 
 
Determine:
 t b) A . A t c) 2A . 3A 2a) A
5 Sejam as matrizes A = (aij)2x2, com aij = i – j
2 e B = (bij)2x2, com bij = aij + 1, 
encontre a matriz X de modo que: X – At + 2Bt = 0.
6 Dados determine x e y sabendo 
que A = B. 
( )ij ij 2x2
 2 1
A = a , a = 3i - j e B = 
 x x + y
 
 
 
 
7 Dadas as matrizes
ij
0, se i j
a = .
 i + j, se i = j
 
 ≠


10 Determine x, y, z e t sabendo que:
Calcule:
 3 33 A + I e 2 A - I .
x 3 10
a y - - 1 = 2
z 5
) 
 5
     
     
     
     
     
 t t t
 0 3 
 6 - 5 4 
A = e B = 7 10 , calcule ( A . B ) e B . A .
 - 3 2 - 1 
 8
 
11 
 
   
   
   
 
calcule
8 A e B são suas matrizes quadradas de ordem 2, cujos elementos são dados 
por 
9 Seja A uma matriz quadrada de ordem 3 cujos elementos são dados por
( ) 2 ij ij ij a = 3i - 2j e b = a . Calcule A - B.Calcule
45
 x y x 3 10 - 1 
b) + = 
 3 2 z t z 4 18 
     
     
     
 x - 5 1 - 1 1 - 6 
 y - 1 + - 3 2 = 2 1
 z 0 - 4 - 5 - 5 - 5 
c) 
 
     
     
     
     
     
11 (FUNIVERSA) Duas empresas, 1 e 2, são investigadas em três crimes 
fiscais, I, II e III. As evidências que relacionam as duas empresas aos 
crimes são tais que:
A evidência Relaciona a(s) empresa(s) Ao(s) crime(s)
A 1 I e III
B 1 e 2 I e II
C 2 II e III
D 1 I e II
E 1 e 2 I, II e III
F 2 III
G 1 I e II
H 1 e 2 II e III
I 2 I e III
Para tratar as informações necessárias à investigação desses crimes, 
um perito montou uma matriz M na qual cada elemento aij corresponde à 
quantidade de evidências que relacionam a empresa i ao crime j.
 
 Com base nessas informações, a matriz M é:
5 3 3 5 3 5
5 5 3 3 4 5
a) 5 4 b) c) d) 4 5 e) 5 4
3 4 5 5 5 3
3 5 5 3 5 3
     
        
        
        
     
12 (UFMT) Sejam as matrizes A = (aij)2x3 tal que aij = j – 3i; B = (bij)3x2 tal que 
bij = 2i + j2; e C = (cij)2x2 tal que cij = ij. O elemento de maior módulo dentre 
os que formam a diagonal principal da matriz P, em que P = AB + 20C, é: 
 
a) 20 d) -12
b) 9 e) 0
c) -16
Assista ao vídeo de
resolução da questão 12
46
13 Leia atentamente as sentenças a seguir:
I- O produto das matrizes A, de ordem 4x2, e B, de ordem 2x2, é uma matriz 
de ordem 4 x 2.
II- O produto das matrizes A de ordem 5x4 e B de ordem 5x2 é uma matriz 
de ordem 5x2.
III- O produto das matrizes A de ordem 2x3 e B de ordem 3x4 é uma matriz 
quadrada.
As sentenças verdadeiras são:
a) ( ) I e III 
b) ( ) Apenas I
c) ( ) Apenas III
d) ( ) Apenas II 
e) ( ) I e II
14 (UEL-PR) Dadas as matrizes A = , definida por , 
definida por , definida por C = A . B, é correto afirmar que o 
elemento é:
a) ( ) Igual ao elemento 
b) ( ) Igual ao produto de 
c) ( ) O inverso do elemento 
d) ( ) Igual à soma de 
e) ( ) Igual ao produto de 
( ) ij 3x2a ij ij 2x3a = i - j ; B = ( b ) 
 ij ijb = j, C = (c )
 23c
 12c .
 23 23a por b .
 32c .
 12 11a com b .
 21 13a por b .
por
com
por
15 Prove que a matriz é inversa de A =- 1
2 2 1- 
3 3 3
1 2 1 - 
3 3 3
1 1 1- 
A
3
 
3
=
3
 
 
 
 
 
 
 
  
1 1 0
0 1 1
1 0 2
 
 
 
  
16 Determine a matriz inversa da A = .
1 1 0
0 1 1
1 0 2
 
 
 
  
17 Considere a matriz A = (aij)4x4 definida por aij = 1 se i ≥ j e aij = i + j se i < j. 
Calcule a soma dos elementos da diagonal secundária.
47
TÓPICO 2
DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Na história da matemática, a ideia de determinante aparece em soluções 
de sistemas lineares pelo menos um século antes do matemático inglês Arthur 
Cayley criar as teorias das matrizes. Apesar de hoje estudarmos primeiro matrizes, 
depois determinantes e, em seguida, sistemas lineares, a ordem histórica foi: 
sistemas lineares, determinantes e, somente mais tarde, as matrizes. 
Presume-se que a primeira ideia de determinante surgiu na China antiga, 
onde os coeficientes de equações lineares eram representados com varetas de 
bambu. O qual foi aperfeiçoado pelo matemático japonês Seki Shinsuke Kowa, no 
século XVI, e se assemelha ao processo usado hoje para o cálculo de determinantes.
Ainda no século XVI, o matemático alemão Göttfried Wilhelm Leibniz 
criou a teoria dos determinantes enquanto buscava soluções para sistemas lineares. 
E, no século seguinte, o matemático suíço Gabriel Cramer, por desconhecer os 
trabalhos já realizados, reinventou os determinantes ao estabelecer e publicar 
uma regra que leva seu nome (a qual estudaremos neste tópico), também na 
busca de resoluções de sistemas lineares.
Em 1812, Cauchy sistematizou o estudo dos determinantes em uma 
publicação de 84 páginas e, a partir daí, a teoria dos determinantes tornou-se um 
ramo da Álgebra, passando, então, a ser largamente utilizada.
NOTA
Até 1858, quando o conceito de matriz aparece pela primeira vez, não se falava 
em determinante de uma matriz , mas sim em determinante de um sistema
a b
c d
 
 
 
ax + by = e
 .
cx + dy = f



UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
48
2 O CÁLCULO DO DETERMINANTE
O determinante é um número real associado a uma matriz quadrada. É 
importante destacar que cada matriz possui um único determinante.
O determinante de uma matriz A será denotado por “det A” ou por DA.
2.1 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE PRIMEIRA ORDEM
O determinante de uma matriz de primeira ordem, A = (a11), é definido 
pelo valor do seu elemento único a11, ou seja: 
Exemplos:
1) Se M = (6), então det M = 6.
2) Se Z = então det Z = 
11 11det A a a . = = 
- 2 ,   - 2 .
2.2 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
A matriz quadrada de segunda ordem tem como 
determinante o número real obtido pela expressão 
Indicamos por:
11 12
21 22
a a
A = 
a a
 
 
 
 11 22 12 21a a - .a a ⋅ ⋅
 11 12
 11 22 12 21
 21 22
a a
det A = = a a - a a
a
 .
a
 
⋅ ⋅ 
 
Portanto, o determinante de uma matriz de segunda ordem é dado pela 
diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos 
elementos da diagonal secundária. 
Dada a matriz indicaremos o seu determinante
 por
11 12 13 1
21 22 23 2
1 2 3
n
n
m m m mn mxn
a a a a
 a a a a 
A 
a a a a
 
 
 =  … … … …
  
 


   
11 12 13 1
21 22 23 2
1 2 3
n
n
m m m mn mxn.
a a a a
 a a a a 
det A 
a a a a
 
 
 =  … … … …
  
 


   
TÓPICO 2 | DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES
49
Veja os exemplos a seguir:
Exemplo 1: Calcular o determinante da matriz 
2 7
B = .
4 8
 
 
 
Resolução: det B = 2·8 - 7·4 ↔ det B = 16 – 28 ↔ det B = -12.
Exemplo 2: (GIOVANNI; BONJORNO; GIOVANNI JR., 2002, p. 314) 
Calcule o determinante da matriz A do tipo 2x2, cujos elementos são: 
 ij
 2
 ij
a = i + 2j, se i j
a = i - j, se i < j
 
 
 ≥


Resolução: Partimos da matrizgenérica para determinar 
os elementos da matriz.
Matriz A
11 12
21 22
a a
A = 
a a
 
 
 
ija = i + 2j, se i j≥
 11a = 1 + 2 · 1 = 1 + 2 = 3
 21a = 2 + 2 · 1 = 2 + 2 = 4
 22a = 2 + 2 · 2 = 2 + 4 = 6
 2
 ija = i - j, se i < j
 2
 12a = 1 – 2 = 1 – 2 = – 1 .
Logo, 
 3 - 1 
A = .
 4 6
 
 
 
Portanto, det A = 3 · 6 - 4 · (-1) ↔ det A = 18 + 4 ↔	det A = 22.
2.3 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE TERCEIRA ORDEM 
– REGRA DE SARRUS
O cálculo do determinante de terceira ordem pode ser feito por meio de 
um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus.
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
50
Seja a matriz .
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A = a a a
a a a
 
 
 
  
1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira coluna: 
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
a a a a a
a a a a a
a a a a a
 
 
 
  
2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com 
os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa 
diagonal:
 11 12 13 11 12 
 21 22 23 21 22 11 22 33 12 23 33 13 21 32
 31 32 31 32 33
 a a a a a
 a a a a a = ( a a a + a a a + a a a )
 a a a a a
paralelas
diagonal principal
 11 12 13 11 12 
 21 22 23 21 22 13 22 31 11 23 32 12 21 33
 31 32 31 32 33
 a a a a a
 a a a a a = ( a a a + a a a + a a a )
 a a a a a
paralelas
diagonal secundária
3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal 
secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das 
paralelas a essa diagonal:
4º passo: Por fim, devemos operar: a soma do produto da diagonal 
principal com suas paralelas, menos a soma do produto da diagonal secundária 
com suas paralelas. Desta forma:
 11 22 33 12 23 32 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33det A = ( a a a + a a a + a a a ) - ( a a a + a a a + a a a )
TÓPICO 2 | DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES
51
Sempre que tivermos uma matriz dentro de barras simples, estaremos tratando
de cálculo de determinante. Por exemplo, estamos indicando que o determinante 
da matriz é 19.
ATENCAO
 3 1 
 = 19
 5 8 
3 4 2 3 4
2 1 5 2 1
0 7 4 0 7
 
 
 
  
Resolução: Iniciamos repetindo as duas primeiras colunas após a terceira. 
Exemplo 1: Calcule o determinante da matriz .
3 4 2
B = 2 1 5
0 7 4
 
 
 
  
Det B = (3 · 1 · 4 + 4 · 5 · 0 + 2 · 2 · 7) - ( 2 · 1 · 0 + 3 · 5 · 7 + 4 · 2 · 4)
Det B = (12 + 0 + 28) - (0 + 105 + 32)
Det B = 40 - 137
Det B = - 97
Exemplo 2: Resolver a equação: 
 2 3 - 2 
 0 1 x = 2
 2 x - 3 
 
 
 
  
Resolução: A representação indica que o determinante desta matriz é 2. 
Assim, vamos calcular o determinante e igualar a 2.
 2 3 - 2 2 3
 0 1 x 0 1 = 2
 2 x - 3 2 x
 
 
 
 
  
Assim:
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
52
( ) ( ) ( ) ( ) 2 · 1 · – 3 + 3 · x · 2 + – 2 · 0 · x – – 2 · 1 · 2 + 2 · x · x + 3 · 0 · – 3 = 2       
( ) ( ) 2 – 6 + 6 x + 0 – – 4 + 2 x + 0 = 2
 2– 6 + 6 x + 4 – 2 x = 2
 2– 2 x + 6 x – 4 = 0
Não se esqueça de realizar 
a propriedade distributiva, 
devido ao sinal de negativo.
Para simplificarmos a equação, vamos dividir ambos os lados da igualdade 
por (-2). x2 – 3x + 2 = 0
Aplicando a fórmula de Bháskara, determinamos os valores para x que 
tornam o determinante da matriz igual a 2. Assim, x’ = 1 e x” = 2.
2.4 COFATOR
Dada uma matriz A=[aij], quadrada de ordem , denominamos 
cofator de aij o produto de (-1)
i j+ pelo determinante da matriz (Dij) que se obtém 
de A, suprimindo a linha de ordem i e a coluna de ordem j. Notação: cij.
2 *n e n≥ ∈
( ) i+j ij ijC = - 1 D ⋅
Assim, se considerarmos a matriz quadrada de terceira 
ordem, temos:
 11 12 13
 21 22 23
 31 32 33
a a a
A = a a a
a a a
 
 
 
  
( ) ( ) 1+1 1+1 22 23 11 11
 32 33
a a
C = - 1 D = - 1 
a
 
a
 ⋅ ⋅
Neste caso, eliminamos a linha 1 e a coluna 1.
( ) ( ) 2+3 2+3 11 12 23 23
 31 32
a a
C = - 1 D = - 1 
a
 
a
 ⋅ ⋅
Neste caso, eliminamos a linha 2 e a coluna 3.
TÓPICO 2 | DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES
53
Exemplos:
2 3
1) A = 
- 1 5 
 
 
 
 1+1
 11
 1+2
 12
c = ( - 1 ) . 5 = 5
c = ( -1) . - 1 = 1
 2+1
 21
 2+2
 22
c = ( - 1 ) . 3 = - 3
c = ( - 1 ) . 2 = 2
 3+2
 32
1 3 4
1 4
2) A = - 2 0 5 c = ( - 1 ) . = - 1 . ( 5 + 8 ) = - 13
- 2 5 
7 6 8
 
 
 
  
2.5 DETERMINANTE DE ORDEM N > 3
Para calcularmos o determinante de matrizes de ordem superior a 3, 
usaremos o Teorema de Laplace. Este teorema pode ser utilizado para matrizes de 
ordem 2 ou superior, porém, julgamos que os métodos ensinados anteriormente 
apresentam resolução mais rápida.
Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada de ordem é a soma dos 
produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.
n 2≥
A resolução se torna mais rápida quando consideramos a fila que contém o 
maior número de zeros, pois neste caso não é necessário calcular o determinante.
ATENCAO
Exemplos:
 12 22 32
 1+2
 12
det A = 3 . C + 0 . 
1 3 4
1) A = - 2 0 5 
7 6 8
- 2 5
c = (
C + 6 . C
 - 1 ) . = - 1 . ( - 51 ) = 51
7 8
 
 
 
  
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
54
( )
 3+2
 32
1 4
c = ( - 1 ) . = - 1 . ( 5 + 8 ) = - 
det A = 3 . 51 + 6 . -13 = 153 - 78 
13
- 
 =
2 5
 75
 41 42 43 44
 4+4
 44
2 3 1 0
0 2 0 3
2) = 0 . c + 0 . c + 0 . c + 6 . c = 6 . 6 = 36
5 - 1 4 0
0 0 0 6
2 3 1
C = ( - 1 ) . 0 2 0 = 1 . 6 = 6
5 - 1 4
Pierre Simon Marquis de Laplace nasceu 
na França, em Beaumont-en-Auge, no dia 23 de março 
de 1749, tendo falecido na cidade de Paris, a 5 de março 
de 1827. Destacou-se nas áreas da Física, da Astronomia 
e da Matemática. Organizou a astronomia matemática, 
sumariando e ampliando o trabalho de seus predecessores 
nos cinco volumes do seu Mécanique Céleste (Mecânica 
Celeste) (1799-1825). Esta obra-prima traduziu o estudo 
geométrico da mecânica clássica usada por Isaac Newton 
para um estudo baseado em cálculo, conhecido como 
mecânica física.
Ele também formulou a equação de Laplace. A transformada 
de Laplace aparece em todos os ramos da física matemática, 
campo em que teve um papel principal na formação. O 
operador diferencial de Laplace, do qual depende muito a 
matemática aplicada, também recebe seu nome.
Pierre Laplace era filho de um pequeno trabalhador rural ou talvez um empregado de fazenda 
e ficou a dever a sua educação ao interesse de alguns vizinhos abastados, graças às suas 
habilidades e presença atrativa. Parece que, de pupilo, se tornou professor-assistente na escola 
em Beaumont; mas, tendo procurado uma carta de apresentação a Jean le Rond d’Alembert, 
foi a Paris tentar sua sorte. Um artigo sobre os princípios da mecânica instigou o interesse de 
d’Alembert e, sob sua recomendação, foi oferecido um lugar na escola militar a Laplace.
Seguro das suas competências, Laplace dedicou-se, então, a pesquisas originais e, nos 17 
anos seguintes, entre 1771 e 1787, produziu uma boa parte dos seus trabalhos originais em 
astronomia.Tudo começou com uma memória, lida perante a Academia Francesa em 1773, 
em que mostrava que os movimentos planetários eram estáveis, levando a prova até ao 
IMPORTANT
E
TÓPICO 2 | DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES
55
ponto dos cubos das excentricidades e das inclinações. Isso foi seguido por vários artigos 
sobre tópicos em cálculo integral, diferenças finitas, equações diferenciais e astronomia.
Laplace tinha um amplo conhecimento de todas as ciências e dominava todas as discussões 
na Académie. De forma razoavelmente única para um prodígio do seu nível, Laplace via 
os matemáticos apenas como uma ferramenta para ser utilizada na investigação de uma 
averiguação prática ou científica.
Laplace passou a maior parte de sua vida trabalhando na astronomia matemática, que 
culminou na sua obra-prima sobre a prova da estabilidade dinâmica do sistema solar, com a 
suposição de que ele consistia num conjunto de corpos rígidos movendo-se no vácuo. Ele 
formulou independentemente a hipótese nebular e foi um dos primeiros cientistas a postular 
a existência de buracos negros e a noção do colapso gravitacional.
Ele é, nos dias de hoje, lembrado como um dos maiores cientistas de todos os tempos (às 
vezes, chamado de Newton francês ou Newton da França), com uma fenomenal capacidade 
matemática natural sem par entre os seus contemporâneos. Parece que Laplace não era 
modesto sobre as suas capacidades e realizações e ele provavelmente não conseguia 
reconhecer o efeito de sua atitude sobre seus colegas. Anders Johan Lexell visitou a Académie 
des Sciences em Paris, em 1780-81 e relatou que Laplace deixava claro que se considerava o 
melhor matemático da França. O efeito sobre os seus colegas só seria relativamente atenuado 
pelo fato de que Laplace muito provavelmente estaria correto.
FONTE: Disponível em: <http://www.explicatorium.com/biografias/pierre-laplace.html>. 
Acesso em: 22 fev. 2016.
2.6 CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA UTILIZANDO 
DETERMINANTE
No tópico anterior vimos como calcular a matriz inversa de uma matriz 
de ordem 2 utilizando a definição e resolvendo o sistema linear. Agora, veremos 
como utilizar o determinante da matriz para determinar sua inversa.
Definição: Seja uma matriz onde a, b, c e d são números reais 
tais que det (A) ≠ 0. Então a inversa de A será dada por
a b
A = 
c d
 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
 - 1
d - b
det A det A
A = 
- c a
det A det
 
A
 
 
 
 
  
 
Exemplo 1: Calcule a inversa de .
- 2 4 
A = 
 5 - 1 
 
 
 
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
56
Resolução: Pela definição, temos:
( ) ( )
( ) ( )
 - 1
d - b
det A det A
A = 
- c a
det A det
 
A
 
 
 
 
  
 
Assim, precisamos calcular ou seja:( )det A ,
( ) ( ) ( )
( )
( )
det A = - 2 - 1 - 5 4
det A = 2 - 20
det A = - 18
 ⋅ ⋅ 
Substituindo os valores de a, b, c, d e do det (A) na definição:
 - 1
- 1
- 1 - 4
- 18 - 18A = 
- 5 - 2
- 18 - 18
1 4
18 18 A = 
5 2
18 1
 
8
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Veja como é rápido efetuar essa inversa, porém a generalização é difícil. Portanto, 
é importante aprender os outros métodos.
ATENCAO
Exemplo 2: Calcule a inversa da matriz
- 2 9 
A = 
 1 3 
 
 
 
Resolução: Novamente, pela definição, temos: 
( ) ( )
( ) ( )
 - 1
d - b
det A det A
A = 
- c a
det A det
 
A
 
 
 
 
  
 
TÓPICO 2 | DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES
57
Assim, precisamos calcular ou seja:( )det A ,
( ) ( )
( )
( )
det A = - 2 3 - 1 9
det A = - 6 - 9
det A = - 15
 ⋅ ⋅ 
Então, da matriz A, sabemos que a = - 2, b = 9, c = 1 e d = 3. Usando a 
definição da inversa, basta efetuar as devidas substituições.
( ) ( )
( ) ( )
- 1
- 1
- 1
d - b
det A det A
A = 
- c a
det A det A
3 - 9
- 15 - 15 A = 
- 1 - 2
- 15 - 15
3 9- 
15 15 A = 
1 2
15
 
 
15
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.7 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
Acadêmico(a), assim como vimos no estudo das propriedades das matrizes, 
as propriedades dos determinantes facilitam certos cálculos, sendo possível fazer 
com que economizemos tempo na resolução desses cálculos. Vejamos, a seguir, 
quais são estas propriedades:
P1: Se os elementos de uma linha (ou uma coluna) de uma matriz quadrada 
forem todos iguais a zero, seu determinante será zero.
Exemplos:
4 9 - 8 7 3 0 15 
0 0 0 01) = 0 2) 2 0 - 3 = 0
3 2 - 1 3 - 1 0 7
 18 12 9 3
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
58
P2: Se os elementos de duas linhas ou colunas de uma matriz forem iguais, 
seu determinante será nulo.
Exemplo:
1 3
 2 5 3 5 
 4 2 9 8 
1) = 0 pois, 
 2 1 3 5 
 9
 L =
7 3 
 L
4
P3: Se uma matriz possui duas linhas (ou colunas) proporcionais, então 
seu determinante será nulo.
Exemplo:
 3 1
 1 4 2 
1) 2 1 4 = 0 pois C a
 3 2 6
= 2C
 
P4: Se trocarmos de posição, entre si, duas linhas (ou colunas) de uma 
matriz quadrada, o determinante da nova matriz é o anterior com o sinal trocado.
Exemplo:
 1 2 3 
 2 1 - 1 = - 4
 3 2 1
Trocando as posições de L1 e L2, por exemplo, temos:
 2 1 - 1 
 1 2 3 = + 4
 3 2 1
P5: Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou coluna) por 
um número real , então o determinante da nova matriz é o anterior multiplicado 
pelo número .
Exemplos:
α
α
TÓPICO 2 | DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES
59
( ) 1Multiplicando C por 2, t
 1 2 3 2 2 3
1) 2 1 - 1 = - 4 4 1 - 1 = 2 - 4 = - 8
 3 2 1 6 2 1
emos: ⋅
1
5 1
 5 - 10 0 
2) 3 7 4 = Multiplicando - L145 
 
por 
2 0 - 1
, te
 
mos:
( )
 1 - 2 0 
1 3 7 4 = - 145 = - 29
5
 2 0 - 1 
⋅
P6: O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de 
sua transposta AT.
Exemplo:
t
 1 2 3 1 2 2 
 2 1 2 = 9 Det 2 1 4 = 9
 2 4 3 3 2 3
A = Det A = 
 
P7: Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando 
somamos aos elementos de uma linha (ou coluna) uma combinação linear dos 
elementos correspondentes de linhas ou colunas paralelas.
Exemplo:
 1 2 3 
1) 2 1 2 = 9
 2 4 3 
Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 
2ª, temos:
 C1 + 2C2 
 1+2×2 2 3 5 2 3 
 2+1×2 1 2 = 4 1 2 = 9
 2+4×2 4 3 10 4 3 

UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
60
P8: O determinante associado a uma matriz triangular é igual ao produto 
da diagonal principal.
Exemplos:
 a 0 0 x g h 
1) d b 0 = a b c 2) 0 y i = x y z
 e f c 0 0 z 
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
P9: Teorema de Binet: se A e B são matrizes quadradas, então Det (AB) = 
Det A·Det B
Exemplo:
( )
 
5 2
10
 2 1 1 0 4 2 
, ,Se A = B = e A B = e det AB = det A det B
 
nt
3 4 2 2 
ão: 
 11 8 
 ⋅⋅

P10: Matriz inversa: seja M uma matriz inversível de ordem n, temos: 
 - 1 1Det M = 
Det M
Exemplo:
- 1 5 8 - 3 8 1Seja: A = = - 1, então A = = = - 1 .
 2 3 2 - 5 - 1
 
Crie outras matrizes e verifique passo a passo a validade de cada uma destas 
propriedades.
DICAS
2.8 MATRIZ SINGULAR
Uma matriz é denominada singular quando o seu determinante é nulo. 
Por exemplo, se uma matriz quadrada tiver pelo menos uma linha ou coluna 
nula, terá determinante zero (0), o que caracteriza uma matriz singular.TÓPICO 2 | DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES
61
Existem nove matrizes singulares com dimensão 2x2 compostas dos 
números 0 e 1:
 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1
 , , , , , , , , , 
 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 
                   
                   
                   
Descubra quantas matrizes singulares existem de dimensão 3x3.
DICAS
3 ESCALONAMENTO DE MATRIZES
O escalonamento de matrizes nos auxilia no cálculo de determinantes 
de qualquer ordem, no cálculo da inversa de uma matriz de qualquer ordem e 
também na resolução de sistemas lineares (tema do próximo tópico). Preste muita 
atenção em cada etapa, pois usaremos muito este método!
3.1 FORMA ESCALONADA DE UMA MATRIZ
Uma matriz é denominada de forma escalonada quando o número de zeros 
no lado esquerdo do primeiro elemento não nulo da linha aumenta a cada linha.
Exemplo 1: A matriz é uma matriz escalonada.
 1 5 6 4
 0 2 0 1
 0 0 1 0
 0 0 0 3 
 
 
 
 
 
  
Exemplo 2: A matriz não é uma matriz escalonada. 
 1 5 6 4 
 0 0 2 1
 0 1 1 0
 0 0 0 3
 
 
 
 
 
  
Exemplo 3: No caso de uma linha se tornar nula, todas as linhas seguintes 
devem ser linhas nulas para manter a qualidade de matriz escalonada.
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
62
A matriz é uma matriz escalonada.
 1 5 6 4 
 0 2 0 1
 0 0 0 0
 0 0 0 0
 
 
 
 
 
  
3.2 MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS
O método de eliminação de Gauss, também conhecido como escalonamento, 
é utilizado para converter uma matriz qualquer na forma de matriz escalonada, 
aplicando uma sequência de operações, denominadas operações elementares.
As operações elementares se constituem de três operações básicas:
• Multiplicar: podemos multiplicar uma linha inteira por uma constante não 
nula. Simbolizamos por: 
• Trocar ou permutar: podemos trocar duas linhas inteiras entre si. Simbolizamos 
por: 
• Somar ou subtrair: um múltiplo de uma linha a outra linha. Simbolizamos por: 
*
 i iL = a . L ( a ) .∈ 
. i KL = L
*
 i kL = L i + a . L ( a ).∈ 
Preste bem atenção nas operações permitidas, pois não é qualquer operação 
que não altera os conjuntos relacionados às matrizes.
ATENCAO
Acadêmico(a), todo o escalonamento é efetuado em etapas, escolhendo 
as linhas de cima para baixo, ou seja, na primeira etapa inicia-se pela linha 1, na 
segunda etapa escolhe-se a linha 2 e assim por diante. 
Após determinarmos a linha, teremos o olhar voltado para um elemento 
especial denominado pivô. O pivô, na primeira linha é o elemento a11, na segunda 
linha é o elemento a22, na terceira linha é o elemento a33 e assim sucessivamente. 
Ele deverá ter seu valor transformado em 1 e tem a função de nos auxiliar a 
anular os elementos abaixo dele, isto é, transformá-los em zero utilizando as três 
operações básicas entre linhas de matrizes.
A melhor forma de compreender o processo de eliminação de Gauss é 
através de exemplos. Vamos a eles:
TÓPICO 2 | DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES
63
Acadêmico(a), observe que para anular o elemento de uma linha, só poderemos 
usar ele e o múltiplo da linha pivô.
ATENCAO
Exemplo 1: Escalonar a seguinte matriz.
 1 2 2 3 
A = 3 7 5 1 
 2 4 4 4 
 
 
 
  
O primeiro pivô será o elemento a11 que, no nosso exemplo, já é 1. Desta 
forma, vamos para o próximo passo, que é zerar os elementos abaixo de a11=1, ou 
seja, a21=3 e a31=2.
Como o pivô está na linha 1, esta linha será usada de base e, nesta primeira 
etapa, usaremos ela para zerar os elementos abaixo do pivô.
Lembre-se de que somente podemos fazer as operações permitidas. 
Assim, é possível somar a linha 2 (que contém o elemento 3 que queremos zerar) 
com a linha 1 (do pivô) multiplicada por algum número não nulo k. Vejam que 
esta é a terceira operação entre linhas de matrizes.
Todo o esforço se reduz a determinar qual o número k que, multiplicado 
com a linha do pivô (no caso a linha 1) e somado com a linha do elemento a zerar 
(no caso, a linha dois), consegue zerar o elemento efetivamente.
Para determinar esse escalar k basta dividir o elemento que se deseja zerar
 pelo oposto do pivô. Ou seja:
( )
3k = = - 3
 - 1
Note que dividimos o 3 (elemento que queremos zerar) pelo (-1), que é o oposto 
de 1. Essa “troca” de sinal é o que caracteriza o oposto do pivô, e sempre terá que ocorrer para 
determinar o escalar c.
IMPORTANT
E
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
64
Definido o escalar k, a “nova” linha 2 será a soma entre a “atual” linha 2 
com a linha do pivô multiplicado por K (ou seja, com a linha 1 multiplicado por -3).
Teremos então:
( ) 2 2 1L L + - 3 × L
 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3
3 7 5 1 ~ 3 - 3 1 7 - 3 2 5 - 3 2 1 - 3 3 ~ 0 1 - 1 - 8 
2 4 4 4 2 4 4 4 2 4 4 4
→
     
     ⋅ ⋅ ⋅ ⋅     
          

Conseguimos zerar o elemento 3 da linha 2. Agora, repetiremos o processo 
para zerar o elemento . Ainda usaremos como base a linha 1, pois o pivô 
pertence a esta linha.
Determinando o c:
 31a = 2
( )
2k = = - 2
 - 1
Continuando o processo:
( ) 3 3 1L L + - 2 × L
 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3
0 1 - 1 - 8 ~ 0 1 - 1 - 8 ~ 0 1 - 1 - 8 
2 4 4 4 2 - 2 1 4 - 2 × 2 4 - 2 2 4 - 2 3 0 0 0 - 2 
→
     
     
     
     ⋅ ⋅ ⋅     

Assim, já obtemos a matriz na forma escalonada. 
Exemplo 2: Escalonar a matriz A, determinada a seguir: 
 2 5 1 
A = - 5 1 6 
 2 2 0 
 
 
 
  
Como, para determinar o escalar k devemos dividir o elemento que 
queremos zerar pelo pivô, se o pivô for igual a 1, o trabalho será reduzido. Com 
isso, sempre que possível, fazemos o pivô “virar” 1 multiplicando a linha por um 
número (segunda operação).
Nesse caso, ficaria ainda mais fácil se nós permutarmos a linha 3 com a 
linha 1, antes de nos preocuparmos em transformar o pivô em valor 1. Isso porque 
todos os elementos da linha 3 são pares, enquanto o mesmo não ocorre com os 
elementos da linha 1. Logo,
TÓPICO 2 | DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES
65
 1 3
 1 1
L L 1L L
2
 2 5 1 2 2 0 1 1 0 
A = - 5 1 6 ~ - 5 1 6 ~ - 5 1 6 
 2 2 0 2 5 1 2 5 1 
↔  
→ ⋅ 
 
     
     
     
          
 
Observe que trocamos a linha 1 
pela linha 3 (L1↔L3) e, após isso, 
multiplicamos a linha 1 por ½.
Nosso primeiro pivô então será o elemento a11=1, e teremos que zerar os 
elementos a21= -5 e a31= 2. 
Para zerar a21= -5, determinamos o k:
( )
( )
 - 5 
k = = 5
 - 1 
Então:
 2 2 1L L + 5 L
 1 1 0 1 1 0 1 1 0 
A ~ - 5 1 6 ~ - 5 + 5 1 1 + 5 1 6 + 5 0 ~ 0 6 6 
 2 5 1 2 5 1 2 5 1 
→ ⋅
     
     ⋅ ⋅ ⋅     
          

Para zerar a31= 2, determinamos o k: ( )
2k = = - 2
 - 1
Então:
( ) 3 3 1L L + - 2 L
 1 1 0 1 1 0 1 1 0 
A ~ 0 6 6 ~ 0 6 6 ~ 0 6 6 
 2 5 1 2 - 2 1 5 - 2 1 1 - 2 0 0 3 1 
→ ⋅
     
     
     
     ⋅ ⋅ ⋅     

A matriz ainda não está escalonada, pois abaixo do pivô a22 = 6 temos um 
elemento diferente de zero. Temos que zerá-lo, mas antes podemos fazer nosso 
pivô se transformar em 1. Essa transformação é feita no intuito de facilitar os 
próximos cálculos. Logo,
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
66
 2 2
1L L
6
 1 1 0 1 1 0 
A ~ 0 6 6 ~ 0 1 1 
 0 3 1 0 3 1 
 
→ ⋅ 
 
   
  
   
      

Temos agora o pivô a22 = 1. Portanto, o escalar k necessário para zerar o
 elemento a32=3 será dado por: ( )
3k = = - 3
 - 1 
Então,
( ) 3 3 2L L + - 3 L
 1 1 0 1 1 0 1 1 0
A ~ 0 1 1 ~ 0 1 1 ~ 0 1 1
 0 3 1 0 - 3 0 3 - 3 1 1 - 3 1 0 0 - 2 
→ ⋅
     
     
     
     ⋅ ⋅ ⋅     

Note que a linha base nesta última etapa é a segunda. Isso ocorre porque o pivô 
está nesta linha. Note também que não utilizamos o sinal de = entre as matrizes, simplesmente 
porque as matrizes não são iguais, apenas conservam propriedades importantes entre si.
IMPORTANT
E
Exemplo 3: Seja a matriz escreva na forma 
escalonada.
,
 1 - 1 2 0 1 
A = 2 2 5 4 0 
 1 1 3 2 2 
 
 
 
  
Neste exemplo só colocaremos os cálculos. Veja se você consegue 
acompanhá-lo. Para isso, preste atenção na representação das operações que 
estamos fazendo abaixo da matriz.
TÓPICO 2 | DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES
67
( )
( )
 2 2 1L L + - 2 L
1 - 1 2 0 1 1 - 1 2 0 1 
A = 2 2 5 4 0 ~ 2 - 2 1 2 - 2 - 1 5 - 2 2 4 - 2 0 0 - 2 1 ~
1 1 3 2 2 1 1 3 2 2 
 1 - 1 2 0 1
~ 0 4 1 4
→ ⋅
  
   ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅  
     

( )
( )
 3 3 1L L + - 1 L
 1 - 1 2 0 1 
- 2 ~ 0 4 1 4 - 2 ~
 1 1 3 2 2 1 - 1 1 1 - 1 - 1 3 - 1 2 2 - 1 0 2 - 1 1
1 - 1 2 0 1
~ 0 4 1 4 - 2 
0 2 1 2 1
→ ⋅
  
  
  
   ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅   



( ) 2 3 3 3 2L L L L + - 2 L
 1 - 1 2 0 1 
 ~ 0 2 1 2 1 ~
 0 4 1 4 - 2 
 1 - 1 2 0 1 
~ 0 2 1 2 1 
 0 4 - 2 2 1 - 2 1 4 - 2 2 - 2 
↔ → ⋅
  
   
   
     
⋅ ⋅ ⋅
 
 1 - 1 2 0 1 
 ~ 0 2 1 2 1 
- 2 1 0 0 - 1 0 - 4 
   
   
   
   ⋅   
Pronto, a matriz está escalonada.
3.3 O ESCALONAMENTO NO CÁLCULO DO DETERMINANTE
A propriedade oito dos determinantes afirma que “O determinante 
associado a uma matriz triangular é igual ao produto da diagonal principal”. 
Assim, quando temos uma matriz em sua forma escalonada, basta multiplicarmos 
os elementos da diagonal principal para obtermos seu determinante.
É necessário lembrar que, para escalonar uma matriz, usamos três 
operações:
• Multiplicar: podemos multiplicar uma linha inteira por uma constante não nula. 
• Trocar ou permutar: podemos trocar duas linhas inteiras entre si. 
• Somar ou subtrair: um múltiplo de uma linha a outra linha. 
Confrontando estas operações com as propriedades quatro, cinco e sete, 
dos determinantes, podemos concluir que ao multiplicarmos uma linha por uma 
constante não nula, o determinante da nova matriz é o anterior multiplicado pela 
constante. Quando trocamos a posição de uma linha, o determinante da nova 
matriz é o anterior com o sinal trocado. E, ao somarmos o múltiplo de uma linha 
a outra, o determinante de uma matriz não se altera. 
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
68
Pelas afirmações e propriedades citadas, note que devemos tomar 
cuidados e lembrar de fazermos as devidas correções ao final do cálculo, para 
assim reduzir o determinante a um produto dos termos da diagonal principal. 
Vejamos como calcular o determinante por meio do escalonamento.
Exemplo 1: Dada a matriz , calcular o determinante.
 1 1 2 
A = - 2 5 1 
 2 2 1 
( ) 2 2 1 3 3 1L L + 2 L L L + - 2 L
 1 1 2 1 1 2 1 1 2 
 - 2 5 1 0 7 5 0 7 5 
 2 2 1 2 2 1 0 0 - 3 
→ ⋅ → ⋅
 
 
Chegamos em uma matriz triangular, assim, para calcular o determinante, 
basta multiplicarmos os termos da diagonal principal: 1·7·(-3) = -21. Portanto, o 
determinante da matriz é igual a -21.
Veja que, nesse caso, não foi necessário fazer nenhuma correção sobre o 
valor encontrado, pois não multiplicamos nenhuma linha por uma constante e 
nem permutamos duas linhas.
Exemplo 2: Por escalonamento, calcule o determinante da matriz 
 1 2 3 
B = 2 2 3 .
 - 2 5 0 
 
 
 
  
( )
( )
 3 3 1 2 2 1
 2 2
3
2 
L L + 2 LL L + - 2 L 1L - × L
2
 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 
A = 2 2 3 ~ 0 - 2 - 3 ~ 0 - 2 - 3 ~ - 2 . 0 1
 - 2 5 0 - 2 5 0 0 9 6 
→ ⋅→ ⋅  
→ 
 
  
( )
( )
 3 3 2
3
2 
- 15
2 
L L + - 9 L
 1 2 3 
 ~ - 2 . 0 1
 0 9 6 0 0
→ ⋅

Da última matriz, temos que: 3 2
- 15
2 
 1 2 3
15 15 0 1 = 1 1 - = - 
2 2
 0 0
 
⋅ ⋅  
 
TÓPICO 2 | DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES
69
Porém, para chegarmos à última matriz, multiplicamos a linha dois 
por -½. Assim, o determinante da última matriz deve ser multiplicado por (-2):
( ) ( ) 15det A = - 2 - = 15
2
 
⋅  
 
3.4 O ESCALONAMENTO NO CÁLCULO DA MATRIZ 
INVERSA
No tópico anterior aprendemos a calcular a matriz inversa de matrizes 
de segunda ordem. Porém, para matrizes de ordem maiores, os sistemas se 
tornam mais complexos, por isso estudaremos o método de escalonamento para 
o cálculo da matriz inversa. Esse método é de fácil generalização, portanto vale a 
pena aprender a fazê-lo de maneira correta, para utilizar quando for necessário 
determinar matrizes de ordem grande.
Iniciaremos com exemplos de matrizes de ordem 2, depois faremos um de 
ordem 3 para que você perceba que o processo é o mesmo.
Exemplo 1: Determine a inversa da matriz,
1 4
A = .
3 11
 
 
 
Resolução: O primeiro passo será escalonar A. Para isso, vamos escrever
 a matriz estendida de A da seguinte maneira
1 4 1 0
3 11 0 1
| 
 
 
 
Veja que essa matriz estendida possui a matriz A do lado esquerdo do 
traço vertical e a matriz identidade do lado direito do traço vertical.
O objetivo agora é fazer operações sobre as linhas da matriz (as mesmas 
utilizadas no escalonamento) para transformar a matriz A que aparece no lado 
esquerdo do traço vertical em uma matriz identidade.
 2 2 1
 2 2
 1 1
3L L + L
- 1
L - 1 L L
 
 L
 
1 4 1 0 1 4 1 0
| ~ | ~
3 11 0 1 - 3 + 3 - 12 + 11 - 3 + 0 0 + 1 
1 4 1 0 1 4 1 0
~ | ~ | 
0 - 1 - 3 1 0 1 3 - 1 
 
 
 
→ ⋅ 
 
→ ⋅
→
   
   
   
   
   
   

 

 2
4+ L
- 1
 
 0 + 1 - 4 + 4 - 12 + 1 4 + 0 
~ | ~
 0 1 3 - 1 
 1 0 -11 4
 
 
 ~ | 
 0 1 3 - 1 
 
⋅ 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
70
 2 2 1
 2 2
 1 1
3L L + L
- 1
L - 1 L L
 
 L
 
1 4 1 0 1 4 1 0
| ~ | ~
3 11 0 1 - 3 + 3 - 12 + 11 - 3 + 0 0 + 1 
1 4 1 0 1 4 1 0
~ | ~ | 
0 - 1 - 3 1 0 1 3 - 1 
 
 
 
→ ⋅ 
 
→ ⋅
→
   
   
   
   
   
   

 

 2
4+ L
- 1
 
 0 + 1 - 4 + 4 - 12 + 1 4 + 0 
~ | ~
 0 1 3 - 1 
 1 0 -11 4
 
 
 ~ | 
 0 1 3 - 1 
 
⋅ 
 
 
 
 
 
 
 
No lado esquerdo do traço está a matriz identidade. Nesse momento, a 
matriz inversa de A aparece do lado direito do traço direito, ou seja,
- 1 - 11 4A = .
 
 
3 - 1 
 
 
 
Viu como não é difícil? Basta utilizar operações sobre linhas dematrizes para 
chegar na matriz inversa.
UNI
Exemplo 2: Dada a matriz A, determine a sua inversa.
 1 2 2
A = 3 7 4
 1 5 - 3 
 
 
 
 
 
Resolução: Iniciamos escrevendo a matriz expandida: 
 1 2 2 1 0 0 
 3 7 4 | 0 1 0 
 1 5 - 3 0
 
 0 1 
 
 
 
 
 
Agora, vamos utilizar as operações sobre linhas de matrizes para chegar à 
matriz identidade do lado esquerdo do traço vertical da matriz expandida:
TÓPICO 2 | DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES
71
 2 2 1
 3 3 1
3L L + L
- 1
1L L + L 
- 
 
1
1 2 2 1 0 0 1 2 2 1 0 0
3 7 4 | 0 1 0 ~ - 3 + 3 - 6 + 7 - 6 + 4 | - 3 + 0 0 + 1 0 + 0
1 5 - 3 0 0 1 - 1 + 1 - 2 + 5 - 2 - 3 - 1 + 0 0 + 0 0
 
 + 1
 
 
→ ⋅ 
 
 
→ ⋅ 
 
  
 
 
 
 

 1 1 2
 3 3 2
2L L + L
- 1
3L L
 
+ L
- 1
 
 ~
1 2 2 1 0 0 0 + 1 - 2 + 2 4 + 2 6 + 1 - 2 + 0 0 + 0 
~ 0 1 - 2 | - 3 1 0 ~ 0 1 - 2 | - 
0 3 - 5 - 1 0 1 0 + 0 - 3 + 3 6 - 
 
5
 
 
→ ⋅ 
 
 
→ ⋅ 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

 1 1 3
 2 2 3
6L L + L
- 1
- 2L L + 
-
 
 
 
L
1
3 1 0
9 - 1 - 3 + 0 0 + 1
 1 0 6 7 -2 0 0 + 1 0 + 0 - 6 + 6 
~ 0 1 - 2 | - 3 1 0 ~ 0 + 0 0 + 1 2
 0 0 1 8 -3 1 
 
 
→ ⋅ 
 
 
→ ⋅ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

- 48 + 7 18 - 2 - 6 + 0 
 - 2 | 16 - 3 - 6 + 1 2 + 0 
 0 0 1 8 - 3 1 
 1 0 0 - 41 16 - 6 
 ~ 0 1 0 | 13 - 5 2
 0 0 1 8 - 
 
3 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pronto, chegamos à matriz inversa do lado direito do traço vertical da 
matriz expandida.
- 1
- 41 16 - 6 
A = 13 - 5 2
 8 - 3
 
1
 
 
 
 
 
Refaça os cálculos do escalonamento num rascunho para entender bem 
o procedimento. É muito importante que você não continue sem ter certeza de que 
compreendeu o processo.
IMPORTANT
E
72
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico você aprendeu que:
• Toda matriz quadrada A tem um número relacionado a ela denominado 
determinante de A.
• O determinante da matriz de ordem 1 é igual ao elemento da matriz.
• Para calcular o determinante da matriz de ordem 2, fazemos o produto dos 
elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal 
secundária.
• A regra de Sarrus é utilizada para calcular o determinante de matrizes de 
ordem 3.
• Ao escalonar uma matriz, mantemos propriedades importantes e facilitamos 
alguns cálculos, como o cálculo do determinante e da matriz inversa.
• As operações elementares entre linhas de matrizes se constituem de três 
operações básicas:
 o Multiplicar: podemos multiplicar uma linha inteira por uma constante não 
nula. Simbolizamos por: 
 o Trocar ou permutar: podemos trocar duas linhas inteiras entre si. 
Simbolizamos por: Li = Lk.
 o Somar ou subtrair: um múltiplo de uma linha a outra linha. Simbolizamos 
por: 
• A matriz inversa da matriz pode ser obtida utilizando 
determinante. Assim, 
*
 i iL = . L ( ) .α α ∈ 
*
i kL = Li + . L ( ) .α α ∈
 a b 
A = 
 c d 
 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
- 1
d - b
det A det A
A = 
- c a
det A det
 
A
 
 
 
 
  
 
.
73
Prezado(a) acadêmico(a), chegou a hora de você testar seus 
conhecimentos sobre o cálculo dos determinantes e suas propriedades. Lápis e 
borracha em mãos e boa atividade!
1 Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i - j então podemos 
afirmar que o seu determinante é igual a:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) - 4
AUTOATIVIDADE
2 Encontre a solução da equação
 2 1 3
 4 - 1 n - 1 = 12 .
 n 0 n
3 (UFBA-90) Calcule o determinante da matriz: 
 1 0 2 - 1 
 2 1 3 - 2
A = 
 0 0 2 3
 1 -1 0 2
 
 
 
 
  
 
4 Dadas as matrizes:
( ) ij ij 3 x 4
 1, se i + j 4
A = a , com a = 
 -1, se i + j = 4
 
 
 ≠


( ) ij ij 4 x 3
 1, se i + j 4
B = b , com b = 
- 1, se i + 
e 
j = 4
 ≠


Calcule o determinante de AB.
5 Aplicando a regra da Sarrus, calcule os determinantes:
 3 2 - 1 
a) 5 0 4
 2 - 3 1
 
 
 
 
 
 2 1 - 2 
b) 3 -1 0 
 4 1 - 3 
 
 
 
 
 
6 Resolva a equação 
 2 3 - 2
 0 1 x = 2 .
 2 x - 3 
 
 
 
 
 
7 Seja a matriz quadrada Calcule x de modo que det 
 A = 0
 x + 1 3 x 
A = 3 x 1 
 x 2 x - 1 
 
 
 
 
 
Assista ao vídeo de
resolução da questão 7
74
10 O valor de um determinante é 42. Se dividirmos a primeira linha por 7 e 
multiplicarmos a primeira coluna por 3, qual será o valor do novo determinante?
11 Calcule os determinantes, utilizando o Teorema de Laplace.
 Obs.: Se aplicar as propriedades dos determinantes, justifique a resposta.
 6 3 - 9 4 1 1 3 1 
 6 5 - 9 2 2 6 6 4
a) b) 
 6 2 - 9 -1 2 5 3 3
 6 0 - 9 3 1 1 1 1
   
   
   
   
      
   
12 Sejam as matrizes: 
 1 1 0 3 1 0 0 0 
 0 - 2 1 - 2 - 1 - 2 0 0
A = e B = 
 0 0 1 0 2 1 1 0
 0 0 0 3 - 3 5 4 3 
   
   
   
   
      
   
13 Resolva as equações:
 4 6 x 
a) 5 2 - x = - 128
 7 4 2 x 
 3 5 7
b) 2 x x 3 x = 39
 4 6 7
2
 5 1 3 
c) 3 x 0 1 = 100
 7 x 2 1
 x + 3 x + 1 x + 4 
d) 4 5 3 = - 7
 9 10 7
 2 0 0
e) 0 x -1 0 = 0
 0 0 5 x + 1 
2
 5 1 3 
c) 3 x 0 1 = 100
 7 x 2 1
 x + 3 x + 1 x + 4 
d) 4 5 3 = - 7
 9 10 7
 2 0 0
e) 0 x -1 0 = 0
 0 0 5 x + 1 
Então, calcule o det (A B).
8 (Esam-RN) Assinale a proposição verdadeira:
a) ( ) Se M e N são matrizes quadradas de mesma ordem, então det(M·N)= det 
M·det N.
b) ( ) Se A é uma matriz quadrada de segunda ordem e k , então det (kA) 
= k·det A.
c) ( ) Se det A = 0, então a matriz A é nula.
d) ( ) Se det A = 0, então qualquer que seja a matriz X, de mesma ordem que A, 
tem-se AX = 0.
e) ( ) O determinante da matriz resultante da soma de duas matrizes de mesma 
ordem é igual à soma dos determinantes dessas matrizes.
9 Dadas as matrizes e 
*∈
1 2
A = 
1 0
 
 
 
 3 - 1 
B = 
 0 1
 
 
 
det A + det B e det (,calcu A le + B ).
75
TÓPICO 3
SISTEMAS LINEARES E SEU ENSINO
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Você já iniciou os estudos sobre sistemas lineares no Ensino Fundamental 
e no Ensino Médio. Reviu estes conceitos na disciplina de Introdução ao Cálculo 
e agora vamos ampliá-los, buscando resolvê-los através do escalonamento e dos 
determinantes. Saiba que a solução de equações lineares é o problema central da 
álgebra linear.
Em todas as disciplinas específicas do seu curso, os autores buscaram 
apresentar problemas práticos no intuito de mostrar a aplicabilidade dos conceitos. 
Desta forma, se pensarmos na matemática como uma ciência a ser aplicada em 
problemas práticos, os sistemas lineares são a chave paraas soluções desses 
problemas. Então, todos os problemas são resolvidos por um sistema linear? 
Claro que não, mas boa parte deles sim. Assim, sua importância é gigantesca. 
2 EQUAÇÃO LINEAR
É toda equação da forma: bxaxaxa nn =+++ 2211 , onde naaa ,,, 21  
são números reais que recebem o nome de coeficientes das incógnitas nxxx ,, 21 
e b é um número real chamado termo independente.
Quando b = 0, a equação recebe o nome de linear homogênea.
IMPORTANT
E
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
76
São exemplos de equações lineares:
( )
1) 5 x - 2 y + 8 z = 9 
2) x + y - 3 z - 2t = 0 equação linear homogênea
3) 3 x + 2 z = 5 t - y + 6 
 2
1) x y + 2 z - t = 4 
2) x - 2 y = 4 t - 5
3) x - 2 z = y 
 
+ 7 
São exemplos de equações não lineares:
2.1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Um sistema de equações lineares pode ser definido como um conjunto de 
n equações com n variáreis independentes entre si, na forma genérica como:
11 1 12 2 13 3 1n n 1
21 1 22 2 33 3 2n n 2
31 1 32 2 33 3 3n n 3
a x + a x + a x + ... + a x = b
a x + a x + a x + ... + a x = b
a x + a x + a x + ... + a x = b
     
n1 1 n2 2 n3 3 nn n na x + a x + a x + ... + a x = b
na qual aij (i, j = 1, 2, 3, 4, ..., n) são os coeficientes do sistema de equações xi (i = 1, 
2, 3, 4, ..., n) são as n incógnitas de bi (i = 1, 2, 3, 4, ..., n) os termos independentes.
Dois sistemas de equações são equivalentes se, e somente se, toda a solução de 
qualquer um dos sistemas também é solução do outro.
IMPORTANT
E
Uma solução de um sistema é uma sequência de 
números que satisfaz as equações simultaneamente.
( )1 2 3 n, , , … , α α α α
TÓPICO 3 | SISTEMAS LINEARES E SEU ENSINO
77
2.2 FORMA MATRICIAL
As equações lineares podem ser descritas na forma matricial como A·X = 
B, na qual: 
 1 1 11 12 13 1n
 21 22 23 2n 2 2
 m1 m2 m3 mn n n
X ba a a a
 a a a a X b
A = , X = e B = para o qual:
… … … …
a a a a X b
    
    
    
    
         
     
 
 1 111 12 13 1n
 21 22 23 2n 2 2
 m1 m2 m3 mn n n
X ba a a a
 a a a a X b
 = 
… … … … … …
 a a a a X b
    
    
     ⋅     
         
     
Matriz dos coeficientes. Matriz das incógnitas.
Matriz dos resultados ou 
dos termos independentes.
2.3 MATRIZES ASSOCIADAS A UM SISTEMA LINEAR
 A um sistema linear podemos associar as seguintes matrizes:
Matriz incompleta: é a matriz formada apenas pelos coeficientes das 
incógnitas do sistema. Em relação ao sistema:
 2 3 -1
a matriz incompleta é: A
 2 x + 3 y - z = 0
 4 x + y + z = 7 
 -
 = 4 1 1
- 2 x + y + 2 1 1 z = 4
 
 







  
Matriz completa: é a matriz que se obtém acrescentando à matriz 
incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações 
do sistema. Assim, para o mesmo sistema acima, a matriz completa é:
 2 3 - 1 0 
B = 4 1 1 7
 - 2 1 1 4
 
 
 
  
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
78
2.4 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Acadêmico(a), ao longo de sua jornada você já estudou por diversas vezes 
a classificação de um sistema linear, mas vale lembrar que um sistema linear 
pode ser classificado como sendo de possível ou impossível solução. No caso 
de ser um sistema linear de possível solução, ele ainda pode ser: determinado 
ou solução única ou então, indeterminado ou de infinitas soluções. E, no caso de 
ser um sistema linear impossível, ele não terá solução. Assim, temos três tipos de 
sistemas lineares:
Sistemas Possíveis e Determinados (SPD)
Quando só há uma possibilidade de resposta para x1, x2, x3,…, xn de modo 
a satisfazer o sistema. Por esse motivo, dizemos que é determinado: há uma única 
solução.
Um sistema apresentar uma única solução significa que as equações que o 
compõem são retas concorrentes cujo ponto de intersecção é a solução do sistema.
 11 1 12 2 1 a x + a x = b 
 21 1 22 2 2a x + a x = b 
( ) 1 2Solução x , x 
 11 1 12 2 1
 21 1 22 2 2
 a x + a x = b
 a x + a x = b
 ⇒

Sistemas Possíveis e Indeterminados (SPI)
Nesse tipo de sistemas há infinitas possibilidades de combinações para x1, 
x2, x3,…, xn que satisfazem o sistema linear. Logo, este sistema é possível, mas é 
indeterminado, pois não há uma única e determinada solução, mas infinitas.
As equações que compõem o sistema representam duas retas coincidentes, 
ou seja, estão uma “em cima” da outra. Como todos os pontos de uma também 
são pontos da outra, isso acarreta em todos os pontos de uma das retas (que são 
infinitos) serem soluções do sistema.
TÓPICO 3 | SISTEMAS LINEARES E SEU ENSINO
79
Qualquer ponto 
da reta é solução 
do sistema
 11 1 12 2 1
 21 1 22 2 2
 a x + a x = b
 a x + a x = b
 ⇒

 21 1 22 2 2 a x + a x = b
 11 1 12 2 1 a x + a x = b 
Sistemas Impossíveis (SI)
Como o próprio nome diz, são os sistemas que não têm soluções, ou 
seja, não há combinação possível para x1, x2, x3,…, xn de modo a satisfazer, 
simultaneamente, todas as m equações do sistema.
As retas que compõem o sistema são paralelas entre si, ou seja, não há 
ponto em comum entre elas. Logo, não há solução possível.
 11 1 12 2 1
 21 1 22 2 2
 a x + a x = b
 a x + a x = b
 ⇒

 11 1 12 2 1 a x + a x = b 
 21 1 22 2 2a x + a x = b 
Não há solução
Exemplo 1: O sistema tem solução única: o par ordenado (3,5).
 Portanto, o sistema linear é possível e determinado.
 x + y = 8
 2 x - y = 1



UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
80
Exemplo 2: O sistema tem infinitas soluções. Algumas são
dadas pelos pares ordenados: (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3),.... Portanto, o 
sistema é possível e indeterminado.
Exemplo 3: O sistema não tem um par ordenado que satisfaz
 simultaneamente as equações. Portanto, o sistema é impossível.
 x + y = 8
2 x + 2 y = 16



 x + y = 10
 - x - y = 10



3 RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
As técnicas de adição e substituição não serão abordadas aqui, pois já 
foram estudadas detalhadamente na disciplina de Introdução ao Cálculo. Caso 
restem dúvidas, retome esse material.
Neste momento ampliaremos esse estudo, conhecendo a Regra de Cramer 
e o Método de Gauss-Jordan para resolver sistemas lineares.
3.1 REGRA DE CRAMER
A Regra de Cramer afirma que todo sistema normal tem uma única
 solução dada por: em que i∈{ 1,2,3,...,n}, D = det A é o determinante
da matriz incompleta associada ao sistema, e Dxi é o determinante obtido pela 
substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos 
independentes.
Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1: Resolver, com o auxílio da Regra de Cramer, o sistema:
xi
i
 D
X = 
D
2 x + y = 7
2 x - 3 y = 3



Resolução: Iniciamos calculando o determinante da matriz D, que é 
formada pelos coeficientes das incógnitas. 
 2 1 
D = = - 6 - 2 = - 8 0 
 2 - 3 
≠
TÓPICO 3 | SISTEMAS LINEARES E SEU ENSINO
81
Agora, para determinarmos o valor da incógnita x, devemos 
primeiramente calcular o determinante da matriz Dx, que é a matriz D com a 
coluna dos coeficientes da incógnita x substituídos pelos termos independentes 
(coluna dos resultados). x
 7 1 
D = = - 21 - 3 = - 24
 3 - 3 
Obtemos o valor da incógnita x dividindo Dx por
x D - 24 D . x = = = 3
D - 8
Para determinarmoso valor da incógnita y, o processo é igual. Começamos 
calculando o determinante yy
 2 7 
D = = 6 - 14 = - 8
 2 3 
D . 
E agora, obtemos o valor da incógnita y dividindo Dy por
y D - 8 D . y = = = 1
D - 8 
Desta forma, o sistema linear tem como solução {(3, 1)}, sendo um sistema 
possível determinado (SPD) e tem como representação geométrica duas retas 
concorrentes.
Exemplo 2: Resolver o sistema utilizando a regra de Cramer:
Resolução: 
 2 x + 3 y = 5
 3 x - 2 y = 1



 x
 y
x
y 
 2 3
D = = ( - 4 ) - ( 9 ) = -13
 3 - 2 
 5 3
D = = ( - 10 ) - ( 3 ) = - 13
 1 - 2 
 2 5 
D = = ( 2 ) - ( 15 ) = -13
 3 1 
 D - 13x = = = 1
D - 13 
D - 13 y = = = 1
D - 13 
82
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Desta forma, o sistema linear tem como solução {(1, 1)}, sendo um sistema 
possível determinado (SPD) e tem como representação geométrica duas retas 
concorrentes.
Exemplo 3: Resolver o sistema , utilizando a regra de Cramer:
 x - y = 3
3 x - 3 y = 6



Resolução:
 x
 y
 x
 y
 1 - 1 
D = = ( - 3 ) - ( - 3 ) = 0
 3 - 3 
 3 - 1 
D = = ( - 9 ) - ( - 6 ) = - 3 
 6 - 3 
 1 3 
D = = ( 6 ) - ( 9 ) = - 3
 3 6 
 D - 3 x = = SI
 D 0
 D - 3 y = = SI
D 0
→
→
Desta forma, o sistema linear não tem solução, sendo um sistema 
impossível (SI) e tem como representação geométrica duas retas paralelas.
Exemplo 4: Calcular os valores de x, y e z, no sistema 
 x + 2 y - z = 2
 2 x - y + 3 z = 9 .
 3 x + 3 y - 2 z = 3





Resolução: O processo é igual ao sistema 2x2, o que aumenta é a dificuldade 
para calcular o determinante, que agora será 3x3. Vamos iniciar calculando 
o determinante da matriz D, depois Dx, Dy e Dz e os respectivos valores das 
incógnitas.
TÓPICO 3 | SISTEMAS LINEARES E SEU ENSINO
83
( ) ( )
( ) ( ) x
 1 2 - 1 1 2
D = 2 - 1 3 2 - 1 = 2 + 18 - 6 - 3 + 9 - 8 = 14 - 4 = 10
 3 3 - 2 3 3
 2 2 - 1 2 2
D = 9 - 1 3 9 - 1 = 4 + 18 - 27 - 3 + 18 - 36 = - 5 + 15 = 
 3 3 - 2 3 
 
 3
 
 
( ) ( )
 x
 y
 y
10
 D 10x = = = 1
D 10 
 1 2 - 1 1 2
D = 2 9 3 2 9 = - 18 + 18 - 6 - - 27 + 9 - 8 = - 6 + 26 = 20
 3 3 - 2 3 3
 D 20y = = = 2
D 10 
 
( ) ( ) z
 z
 1 2 2 1 2
D = 2 - 1 9 2 - 1 = - 3 + 54 + 12 - - 6 + 27 + 12 = 63 - 33 = 30
 3 3 3 3 3
 D 30z = = = 3
D 10 
 
Desta forma, a solução deste sistema é {(1, 2, 3)}.
A representação em R3 será abordada na próxima unidade.
ESTUDOS FU
TUROS
84
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
3.2 SISTEMAS EQUIVALENTES
Dois sistemas são ditos equivalentes quando possuem o mesmo conjunto 
solução. Exemplo: Sendo e o par ordenado (x,
y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, são equivalentes: 
 1
 x + y = 3
S = 
2 x + 3 y = 8



 2
 x + y = 3
S = 
x + 2 y = 5



1 2S S e 1 2S S ~ .
3.2.1 Propriedades dos sistemas equivalentes
A seguir, apresentamos as propriedades que irão nos auxiliar a trabalhar 
com sistemas equivalentes.
Propriedade 1: Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos 
um outro sistema equivalente.
Exemplo: Sendo, 1 2
 x + y + 2 z = 1 (I) x - z = 3 (II)
S = x - z = 3 (II) e S = y + z = 2 (III)
 y + z = 2 (III) x + y + 2 z = 1 (I) 
 
 
 
 
 
temos, 1 2S ~ S .
Propriedade 2: Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por 
um número real não nulo k, obtemos um sistema equivalente ao anterior.
Exemplo: Dado , multiplicando a equação (II) por 
3, obtemos:
( )
( ) 1
 x + 2 y = 3 I
S = 
 x - y = 0 II



 2 2
 x + 2 y = 3 x + 2 y = 3 
S = S = 
 ( x - y = 0 ) 3 3 x - 3 y = 0
 
⇒ 
⋅ 
Propriedade 3: Adicionando a uma das equações de um sistema o produto 
de outra equação desse mesmo sistema por um número real não nulo k, obtemos 
um sistema equivalente ao anterior.
Exemplo: Dado substituindo neste sistema a 
equação (II) pela soma da equação (I), multiplicada por (-1), com a equação (II), 
obtemos:
( )
( ) 1
 x + 2 y = 4 I
S = 
 x - y = 1 II



TÓPICO 3 | SISTEMAS LINEARES E SEU ENSINO
85
' '
 1 1 2
 - x - 2 y = - 4
( x + 2 y = 4) (-1) x + 2 y = 4
S = S = x - y = 1 . Logo: S = 
 x - y = 1 - 3 y = - 3
 - 3 y = - 3
 

 ⋅ ⇒  
 

Assim, S1 ~ S2, pois (x, y) = (2, 1) é solução de ambos os sistemas.
3.3 SISTEMAS ESCALONADOS – MÉTODO DE GAUSS
Você deve ter percebido que a Regra de Cramer não nos permite 
determinar soluções para sistemas que não tenham o mesmo número de equações 
e incógnitas. Para estes casos e quando queremos resolver sistemas lineares cujo 
número de equações (e de incógnitas) excede três, é indicado que utilizemos o 
Método de Gauss, que utiliza o escalonamento de matrizes na sua resolução. 
Para escalonar o sistema, vamos utilizar as três operações sobre linhas de 
matrizes já conhecidas, visto que verificamos, com as Propriedades de Sistemas 
Equivalentes, que ao realizar estas operações obtemos sistemas equivalentes. 
Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1: Dê a solução do sistema linear a seguir, utilizando o 
escalonamento de matrizes.
4 x - 8 y + z = - 5 
x - y + 2 z = - 2 
 2 x - 3 y + 3 z = - 4





Resolução: Escrevendo a matriz completa relacionada ao sistema, temos: 
 4 - 8 1 - 5 
 1 - 1 2 | - 2 
 2 - 3 3 - 4 
 
 
 
 
 
A seguir, vamos escalonar a matriz utilizando as operações sobre linhas 
da matriz para deixá-la escrita sob forma de escada:
 1 2L L
 4 - 8 1 - 5 1 - 1 2 -
 
 2 
 1 - 1 2 | - 2 ~ 4 - 8 1 | - 5 
 2 - 3 3 - 4 2 - 3 3 -
 
 4 
↔
   
   
   
   
   

86
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Utilizando o elemento como pivô para zerar os elementos abaixo 
dele.
 11a = 1
( )
( )
 2 2 1
 3 3 1
L L + - 4 L
L L + 
 
 - 2 L
 1 - 1 2 - 2 1 - 1 2 - 2 
 4 - 8 1 | - 5 ~ 0 - 4 - 7 | 3 
 2 - 3 3 - 4 0 - 1 - 1
 
0 
 
 
→ ⋅
→ ⋅
   
   
   
   
   

2 3L L
 1 - 1 2 - 2 1 - 1 2 - 2
 0 - 4 - 7 | 3 ~ 0 - 1 - 1 | 0
 0 - 1 - 1 0 0
 
 - 4 - 7 3
↔
   
   
   
   
   

Permutando as linhas 2 e 3:
Agora, usaremos o elemento como pivô para zerar o elemento 
abaixo dele.
 22a = - 1
 31a
( ) 3 3 2L L + - 4 L
 1 - 1 2 - 2 1 - 1 2 - 2 
 0 - 1 - 1 | 0 ~ 0 - 1 - 1 | 0
 0 - 4 - 7 3 0 
 
0 - 
 
3
 
3
→ ⋅
   
   
   
   
   

Por fim, façamos a leitura das linhas das matrizes, iniciando pela última linha:
3ª linha:
- 3 z = 3
 3z = 
- 3
z = - 1
2ª linha:
z = - 1
- y - z = 0
( )- y - - 1 = 0
- y + 1 = 0 -y = - 1
y = 1
TÓPICO 3 | SISTEMAS LINEARES E SEU ENSINO
87
1ª linha:
x - y + 2 z = - 2
( ) ( )x - 1 + 2 - 1 = - 2⋅
x = - 2 + 1 + 2
x = 1
x - 1 - 2 = - 2
Portanto, a solução do sistema linear dado é ( ){ }S = 1 , 1 , - 1 
Veja que, quando representamos a solução do sistema linear, respeitamos a 
ordem das incógnitas, x, y, z (em ordem alfabética). Essa ordem é importante e não pode ser 
mudada ao escrevermosa solução nessa representação.
ATENCAO
Exemplo 2: Resolva o sistema: 
 1 2 3
 1 2 3
 1 2 3
 3 x - 2 x + 5 x = 10
x + x + 2 x = 12 
 
 
 
 
 - 4 x - 3 x + x = - 34 





Resolução: Escrevendo a matriz completa do sistema, temos: 
 
 
 
 
 
3 - 2 5 10
 1 1 2 | 12
 - 4 - 3 1 - 34 
 
 
 
 
 
Para escalonar essa matriz, podemos utilizar todas as operações sobre 
linhas de matriz. Como é sempre útil deixar o pivô valer 1, vamos permutar 
(trocar) a linha 1 pela linha 2:
 1 2L L
 3 - 2 5
 
10 1 1 2 12
 1 1 2 | 12 3 - 2 5 | 10
 - 4 - 3 1 - 34 - 4 - 3 1 - 34 
 
↔
   
   
   
   
   


88
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Usando o elemento a11 = 1 como pivô para zerar os elementos a21 = 3 e a31 
= -4, teremos:
 2 2 1
 3 3 1
 1 1 2 12 1 1 2 12
 3 - 2 5 | 10 ~ 3 - 3 - 2 - 3 5 - 6 | 10 - 36
- 4 - 3 1 - 34 - 4 + 4 - 3 +
 
 
 4 1 + 8 - 34 + 48
3L L + L
- 1
- 4L L + L
- 
 
1
 
   
   
   
   
   
 
→ ⋅ 
 
 
→ ⋅ 
 

 1 1 2 12
Logo, 0 - 5 - 1 | - 26 
 0 1 9
 
14
 
 
 
 
 
Permutando a linha 2 com a linha 3, para ficarmos com o pivô a22 = 1, 
teremos: 
Utilizando o pivô a22 = 1 para zerar o elemento a32 = -5:
 3 3 2
- 5L L + L
- 1
 
1 1 2 12 1 1 2 12
0 1 9 | 14 ~ 0 1 9 | 14
0 - 5 - 1 - 26 0 + 0 - 5 + 5 - 1 + 45 - 26 + 70
 
 
→ ⋅ 
 
   
   
   
   
   

Efetuando as operações chegamos à matriz escalonada: 
 1 1 2 12
 0 1 9 | 14
 0 0 44 44
 
 
 
 
 
 
 2 3L L
 1 1 2 12 1 1 2 12
 0 - 5 - 1 | - 26 ~ 0 1 9 | 14
 0 1 9 14 0 - 5 - 1 - 26
 
 
 
 
↔
   
   
   
   
   

.
TÓPICO 3 | SISTEMAS LINEARES E SEU ENSINO
89
Lendo as linhas da matriz escalonada:
3ª Linha:
1 y + 9 z = 14
( )1 y + 9 1 = 14⋅
1 y + 9 = 14
y = 14 - 9
y = 5
1 y + 9 z = 14
( )1 y + 9 1 = 14⋅
1 y + 9 = 14
y = 14 - 9
y = 5
2ª Linha:
1ª Linha:
( ) ( )x + 5 + 2 1 = 12⋅
x + 5 + 2 = 12
x + 7 = 12
x = 12 - 7
x = 5
x + y + 2 z = 12
Portanto, a solução do sistema é ( ){ }S = 5 , 5 , 1 
Exemplo 3: Resolver o sistema 
3 x - y + z = - 1
x + 2 z = 0



90
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Resolução: Acadêmico(a), perceba que essa matriz tem duas equações e três 
incógnitas, logo, a matriz A será de ordem 2x3. Como a matriz completa tem uma 
coluna a mais (a coluna dos resultados), teremos uma matriz 2x4 como ampliada.
 3 x - y + z = - 1 3 - 1 1 - 1 
 
 1 0 2 0 x + 2 z = 0
  
⇒  
 
Note que na segunda linha não aparece incógnita y. Como a segunda 
coluna representa os coeficientes da incógnita y e ela não aparece na segunda 
linha, basta acrescentar o coeficiente zero como elemento correspondente.
Escalonando a matriz:
( ) 1 2 2 2 1L L L L + - 3 L
 3 - 1 1 - 1 1 0 2 0 1 0 2 0
 ~ ~ ~
 1 0 2 0 3 - 1 1 - 1 3 - 3 1 - 1 - 3 0 1 - 3 2 - 1 - 3 0
 
↔ → ⋅
     
     ⋅ ⋅ ⋅ ⋅     
 
 1 0 2 0
 ~ 
 0 - 1 - 5 - 1 
 
 
 
Notem que esta matriz já está escalonada e lendo as linhas dessa matriz 
teremos duas equações:
 1 0 2 0 x + 2 z = 0
 
 0 - 1 - 5 - 1 - y - 5 z = - 1
 
⇒  
  
Isolando x na primeira equação e y na segunda, obteremos o resultado 
de x e y em função de z, ou seja,
 x + 2 z = 0 x = - 2 z
 
y = 1 - 5 z - y - 5 z = - 1

⇒

Portanto, existem infinitas soluções para esse sistema: para cada valor de 
z que considerarmos, teremos valores x e y diferentes associados a ele, a solução 
geral é representada por um ponto de três coordenadas (-2z, 1-5z, z) ou por um 
vetor 
- 2 z
 1 - 5 z .
 z
 
 
 
  
Como, por exemplo:
TÓPICO 3 | SISTEMAS LINEARES E SEU ENSINO
91
( )
( )
0
1
 0 , 1 , 0 
 - 2 , - 4 , 1
para z teremos
para z teremos
=
=
Os valores de x e y foram obtidos usando os resultados do sistema acima. 
Dizemos então que z é a variável independente do sistema.
Exemplo 4: Resolver o sistema
 3 x + y = 2
 x - y = 4 .
 2 x - 3 y = 6





Resolução: Iniciamos escrevendo a matriz ampliada e escalonando.
( )
( )
 1 2 2 2 1
 3 3 1
L L L L + - 3 L
L L + - 2 L
 3 1 2 1 - 1 4 1 - 1 4
 1 - 1 4 ~ 3 1 2 ~ 3 - 3 1 1 - 3 ( - 1 ) 2 - 3 4 
 2 - 3 6 2 - 3 6 2 - 2 1 - 3 
↔ → ⋅
→ ⋅
   
    ⋅ ⋅ ⋅   
    ⋅   
 
2 3
 3 3 2
L L
L L + 4 L
 1 - 1 4 
 ~ 0 4 10 ~
- 2 ( - 1 ) 6 - 2 4 0 - 1 - 2 
1 - 1 4 1 - 1 4
~ 0 - 1 - 2 ~ 0 - 1 - 2 
0 4 10 0 4 + 4 ( - 1 ) 10 + 
↔
→ ⋅
   
   
   
   ⋅ ⋅   
 
 
 
  ⋅ 


 1 - 1 4
 ~ 0 - 1 - 2 
4 ( - 2 ) 0 0 2
   
   
   
   ⋅   
Pronto! A matriz já está escalonada. Lendo a última linha da matriz 
escalonada, temos a seguinte equação: 0x + 0y = 2, ou seja, estamos procurando 
valores de x e valores de y que a soma de seus produtos por 0 resulta em 2.
Isto é impossível, porque todo número x e todo número y multiplicados 
por 0 será igual a 0, então teremos sempre, para qualquer x e y, 0 + 0 no lado 
esquerdo da igualdade. E 0 + 0 é sempre igual a 0, nunca igual a 2. Portanto, esse 
sistema é impossível, ou seja, não há x e y que solucione o sistema. Nesse caso, 
representamos a solução como { }S = .
4 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Para discutir um sistema linear de n equações e n incógnitas, calculamos o 
determinante D da matriz incompleta. Assim, se:
92
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
• O sistema é possível e determinado (SPD), ou seja, tem solução única.
• O sistema pode ser possível e indeterminado (SPI) (ter infinitas 
soluções) ou impossível (SI) (não ter solução).
0D ≠ ⇒
0D ≠ ⇒
No caso de , o sistema poderá ser SPI ou SI. Para identificarmos se ele 
é SPI ou SI teremos que encontrar todos os ’s para saber se o sistema é possível 
e indeterminado ou impossível. De que forma?
Se todos os forem iguais a 0, teremos um SPI.
Se pelo menos um diferente de zero, teremos um SI.iD
iD
iD
'iD s
Exemplo 1: Discutir o sistema: 
 x - y + z = 3
 2 x + y - 3 z = 4 .
 3 x - y + 2 z = 6





Resolução: O primeiro passo é sempre calcular o determinante D.
 1 - 1 1 
D = 2 1 - 1 = 3 0 
 3 - 1 2 
≠
Logo, o sistema é possível e determinado, apresentando solução única.
Exemplo 2: Discutir o sistema:
 x + 2 y + z = 1
 2 x + y - 3 z = 4 .
 3 x + 3 y -2 z = 0





Resolução: Calcular D.
1 2 1 
D = 2 1 - 3 = 0
3 3 - 2 
Como o valor foi nulo, precisamos verificar se o sistema é SPI ou SI e para 
isso devemos calcular os demais determinantes. Lembrando que, se algum for 
diferente de zero, teremos um sistema impossível.
TÓPICO 3 | SISTEMAS LINEARES E SEU ENSINO
93
 x
1 2 1 
D = 4 1 - 3 = 35 0
0 3 - 2 
≠
Sendo D = 0 e , o sistema é impossível, não apresentando solução.0xD ≠
Exemplo 3: Discutir o sistema: 
 x + 3 y + 2 z = 1
 - 2 x + y + z = - 2
 - x + 4 y + 3 z = - 1





Resolução: 
 1 3 2 
D = - 2 1 1 = 0
- 1 4 3 
Novamente, o valor foi nulo e precisamos verificar se o sistema é SPI ou SI 
e para isso devemos calcular os demais determinantes.x
 y
 z
 1 3 2 
D = - 2 1 1 = 0
- 1 4 3 
 1 1 2 
D = - 2 - 2 1 = 0
- 1 - 1 3 
 1 3 1 
D = - 2 1 - 2 = 0
- 1 4 - 1 
Logo, temos, Portanto, o sistema é possível 
e indeterminado, apresentando infinitas soluções.
Exemplo 4: Determinar , de modo que o sistema tenha 
solução.
Solução: Condição: det A ≠ 0:
 x y zD = 0 , D = 0 , D = 0 , D = 0 .
k R∈
k x + y = 3
x + k y = 5 



 2 k 1 = k - 1 0 k ± 1 . 
 1 k 
≠ ⇒ ≠
94
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
5 APLICAÇÕES DE SISTEMAS LINEARES
Conforme conversamos na introdução deste tópico, os sistemas lineares 
são a chave para resolver diversos problemas nas mais variadas áreas. Desta 
forma, trazemos a resolução de algumas aplicações.
Exemplo 1: (FGV-2005) Um motorista abasteceu seu carro Flex num posto 
com 10 litros de álcool e 30 litros de gasolina pagando R$ 90,00. Na semana 
seguinte, no mesmo posto, abasteceu com 30 litros de álcool e 20 litros de gasolina 
pagando R$ 102,00. Se não houve alteração nos preços, calcule o preço do álcool 
nesse posto.
Resolução: Utilizando as variáveis “x” e “y” para preços, respectivamente 
do álcool e da gasolina, montamos o sistema com as informações:
 10 x + 30 y = 90
 30 x + 20 y = 102



Escalonando o sistema, encontra-se a variável “y” e em seguida “x”.
 1 23 L - L
 10 x + 30 y = 90 10 x + 30 y = 90
 
 30 x + 20 y =102 70 y = 168
 
 
 

Resposta: O preço do álcool vale R$ 1,80.
Exemplo 2: Em uma pastelaria, dois pastéis mais três caldos de cana 
custam R$ 5,40. Cinco pastéis mais dois caldos custam R$ 9,10. Qual o preço de 
quatro pastéis e quatro caldos?
Resolução: Utilizando as variáveis “x” e “y” para preços, respectivamente 
do pastel e do caldo, montamos o sistema com as informações:
 2 x + 3 y = 5,40
 5 x + 2 y = 9,10



Assim, Substituindo na 1ª equação, temos:
168y = = 2,4
70
90 - 30 ( 2,4 ) 18x = = = 1,8
10 10 .
TÓPICO 3 | SISTEMAS LINEARES E SEU ENSINO
95
Escalonando o sistema, temos:
 1 25 L - 2 L
 2 x + 3 y = 5,40 2 x + 3 y =5,40
 
 5 x + 2 y = 9,10 11 y = 8,80
8,80 5,40 - 3 (0,80) 3,00Logo, y = = 0,80 e x = = = 1.50 .
11 2 2
 
 
 

Calculando quatro pastéis e quatro caldos: 4 . ( 0,80 ) + 4 ( 1,50 ) = 3,20 + 6,00 = R$9,20 .
4 . ( 0,80 ) + 4 ( 1,50 ) = 3,20 + 6,00 = R$9,20 .
Resposta: O preço pedido é R$ 9,20.
Exemplo 3: (UERJ-2004) Um comerciante deseja totalizar a quantia de R$ 
500,00 utilizando cédulas de um, cinco e dez reais, num total de 92 cédulas, de 
modo que as quantidades de cédulas de um e de dez reais sejam iguais. Neste 
caso, qual a quantidade de cédulas de cinco reais o comerciante precisará?
Resolução: Considerando “x”, “y” e “z”, respectivamente as quantidades 
de moedas e cédulas de R$ 1,00, R$ 5,00 e R$ 10,00, lembrando que x = z, montamos 
o sistema:
 x + y + z = 92 2 x + y = 92
 
 x + 5 y + 10 z = 500 11 x + 5 y = 500
 
⇒ 
 
Escalonando, temos: 
 1 211 . L - 2 . L
 2 x + y = 92 2 x + y = 92
 
 11 x + 5 y = 500 y = 12
 
 
 

Resposta: Logo, são necessárias 12 cédulas de R$ 5,00.
Exemplo 4: (UNIUBE-MG) Ao descontar um cheque, recebi somente notas 
de R$ 10,00 e R$ 50,00 em um total de 14 notas. Quando fui conferir, descobri que 
o caixa havia se enganado, pois recebi tantas notas de R$ 50,00 quanto as de R$ 
10,00 que deveria ter recebido e vice-versa. Percebido o erro, verifiquei que, se 
gastasse R$ 240,00 da importância recebida, ainda ficaria com o valor do meu 
cheque. Qual era o valor do cheque?
96
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Resolução: Considerando “x” as notas de R$ 10,00 e “y” as de R$ 50,00, o 
sistema, de acordo com as informações, é: 
 
Escalonando o sistema:
 1 240 . L - L
 x + y = 14 x + y = 14
 x = 1
 40 x - 40 y = 240 80 y = 320 y = 4
 
⇒ 
⇒ 

Resposta: Logo, o valor do cheque era (10). (R$ 10,00) + (4). (R$ 50,00) = R$ 
300,00. 
LEITURA COMPLEMENTAR
MATRIZES E CRIPTOGRAFIA
Uma forma bastante interessante de ensinar matrizes inversas e 
multiplicação de matrizes é utilizando a criptografia. Vamos utilizar um método 
bastante simples que envolve matrizes inversas. Sejam A e B, tal que B é a matriz 
inversa de A.
Logo, podemos verificar que AB = BA = 1.
A criptografia é o estudo dos princípios e técnicas pelas quais a informação 
pode ser transformada da sua forma original para outra ilegível, de forma que 
possa ser conhecida apenas por seu destinatário. Vamos utilizar essas duas 
matrizes como ‘chaves’ para codificar e decodificar a mensagem. O remetente vai 
usar a matriz A para codificar a mensagem e o destinatário vai usar a matriz B 
para decodificar a mensagem.
Para codificar uma mensagem o primeiro passo é convertê-la da forma 
alfabética para uma forma numérica. Então, vamos utilizar a tabela abaixo:
   
   
   
      
 3 1 1 - 1 
A = B = 
 2 1 - 2 3
A B C D E F G H I J
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
TÓPICO 3 | SISTEMAS LINEARES E SEU ENSINO
97
K L M N O P Q R S T
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
U V W X Y Z . ! #
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
O remetente e o destinatário devem conhecer essa tabela alfanumérica e 
também podem fazê-la usando outras correspondências entre números e letras. 
Vamos codificar a seguinte mensagem: EU ACREDITO NA EDUCAÇÃO. Vamos 
fazer a correspondência entre as letras e os números usando a tabela dada.
E U # A C R E D I T O # N A # E D U C A C A O .
5 21 29 1 3 18 5 4 9 20 15 29 14 1 29 5 4 21 3 1 3 1 15 27
Usamos o símbolo # entre as palavras para não causarmos confusão.
Como temos a matriz decodificadora A de ordem 2 (2x2), vamos colocar a 
sequência de números dispostos em uma matriz de duas linhas. Se o número de 
elementos da mensagem for ímpar, podemos acrescentar um caractere vazio, não 
vai alterar a mensagem. No caso o número 30.
 
 
 
  
 5 21 29 1 3 18 5 4 9 20 15 29
M = 
14 1 29 5 4 21 3 1 3 1 15 27
Para codificar a mensagem, multiplicamos a matriz A por M, tal que N = 
A·M.
   
   
   
      
 3 1 5 21 29 1 3 18 5 4 9 20 15 29 
N = . 
 2 1 14 1 29 5 4 21 3 1 3 1 15 27 
 
 
 
  
 29 64 116 8 13 75 18 13 30 61 60 114 
N = 
 24 43 87 7 10 57 13 9 21 41 45 85 
Assim; 
98
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Os elementos de N constituem a mensagem codificada: 29, 64, 116, 8, 13, 
75, 18, 13, 30, 61, 60, 114, 24, 43, 87, 7, 10, 57, 13, 9, 21, 41, 45, 85.
Quando a mensagem codificada chegar ao destinatário, ele usará a matriz 
B decodificadora para ler a mensagem. Sabendo que B·N= B·A·M = I·M·M, temos:
Multiplicamos a matriz B por N.
 
 
 
  
 5 21 29 1 3 18 5 4 9 20 15 29 
BN = 
 14 1 29 5 4 21 3 1 3 1 15 27 
   
   
   
      
 1 -1 29 64 116 8 13 75 18 13 30 61 60 114 
BN = . 
- 2 3 24 43 87 7 10 57 13 9 21 41 45 85 
5 21 29 1 3 18 5 4 9 20 15 29 14 1 29 5 4 21 3 1 3 1 15 27
E U # A C R E D I T O # N A # E D U C A C A O .
Note que na mensagem inicial revertida em números há várias repetições 
de números, enquanto que a mensagem codificada não repete números,tornando-a mais difícil de ser desvendada. O que precisa ser escondido são 
apenas as matrizes A e B.
FONTE: Disponível em: <http://educacaomatematica2010.blogspot.com.br/2011/01/matrizes-e-
criptografia.html>. Acesso em: 16 jan. 2016.
Finalmente, temos a matriz M=BN do remetente que é a mensagem original.
Agora é só reverter os números utilizando novamente a tabela alfanumérica.
99
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico você estudou que:
• Um sistema de equações lineares pode ser definido como um conjunto de n 
equações com n variáreis independentes entre si. E que todo sistema pode ser 
escrito sob forma matricial A·X = B.
• Um sistema pode ser classificado em: sistema possível determinado (SPD), 
sistema possível indeterminado (SPI) e sistema impossível (SI).
• Um sistema linear pode ser resolvido através da regra de Cramer, a qual afirma 
que todo sistema normal tem uma única solução dada por:
 xi
 i
 D
X = 
D
• O método de Gauss, que consiste em escalonar a matriz utilizando as 
operações elementares sobre linhas de matrizes.
100
Acadêmico(a), o processo de resolução de sistemas lineares pode 
parecer complicado no começo. Porém, não desista! É normal escolhermos 
caminhos que não nos levem à resposta esperada nas primeiras tentativas, 
mas o importante é reconhecer que a escolha foi errada e recomeçar outra vez. 
Lápis, borracha e mãos à obra! 
AUTOATIVIDADE
1 Seja o sistema
1 2 3
1 1 2 3
1 2 3
 2x + 3x - x = 0
S : x - 2x + x = 5
 - x + x + x = - 2





a) Verifique se (2, -1, 1) é solução de S.
b) Verifique se (0,0,0) é solução de S.
2 Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer.
a)
 x + 2y = 5
 2x - 3y = - 4



b)
 3x - 4y = 1
 x + 3y = 9



3 Se tivermos o sistema abaixo, então x + y + z + t é igual a:
 x + y + z = - 1
 x + z + t = 5
 y + z + t = 7
 x + y + t = 4






4 (UFBA) Dado o sistema , qual o valor de x + y + z? 
2 x - y + z = 1
x + 2 y - z = - 3
3 x + 4 y + 2 z = - 5





5 (ACAFE) Considerando o sistema , qual o valor da 
 incógnita z? 
a + y + z = 7
2 x + y - z = 9
x - 2 y + 2 z = 2





101
6 O sistema linear
a) Admite solução única.
b) Admite infinitas soluções.
c) Admite menos de cinco soluções.
d) Não admite soluções.
7 Resolva o seguinte sistema de equações: 
x - y + 2 z = 2
2 x + 3 y + 4 z = 9
x + 4 y + 2 z = 7





 2 x + y + z + w = 1
 x + 2 y + z + w = 2
 x + y + 2 z + w = 3
 x + y + z + 2 w = 4






8 Discuta o sistema 
 3 x + my = 2
 x - y = 1



9 Determine m, de modo que o sistema seja impossível. 
 x - y = 2
 x + my + z = 0
 - x + y - z = 4





10 Verifique se o sistema é determinado ou indeterminado. 
 3 x - 2 y = 0
 x + y = 0



11 Determine m para que o sistema tenha única solução.
 2 x - y + 3 z = 0
 x + 4 y - 5 z = 0
 3 x + my + 2 z = 0





12 Escalone e resolva os sistemas lineares a seguir:
a)
 2 x + 3 y + z = 1
 3 x - 3 y + z = 8
 2 y + z = 0





b)
 x + y + z = 6
 4 x + 2 y - z = 5
 x + 3 y + 2 z = 13





c)
 x + 2 y + z = 7
 2 x + 7 y + z = 21
 - 3 x - 5 y + 2 z = - 8





Assista ao vídeo de
resolução da questão 11
102
13 (UERJ) Observe a tabela de compras realizadas por Mariana.
Sabendo que ela adquiriu a mesma quantidade de canetas e cadernos, 
além do maior número possível de lapiseiras, o número de corretores 
comprados foi igual a:
a) 11 c) 13 
b) 12 d) 14
14 (UERJ) No sistema mostrado, x e y são números reais: 
 2
 2 x ( x - 1 ) + y ( x - 1 ) = 4 ( x - 1 )
 x + y = 7



A soma de todos os valores de x que satisfazem a esse sistema é igual a:
a) 1
b) 2 
15 (UERJ) Jorge quer distribuir entre seus filhos os ingressos ganhos para um 
show. Se cada um de seus filhos ganhar 4 ingressos, sobrarão 5 ingressos; se 
cada um ganhar 6 ingressos, ficarão faltando 5 ingressos. Podemos concluir 
que Jorge ganhou o número total de ingressos correspondente a:
a) 15 
b) 25 
16 (UERJ) Um comerciante deseja totalizar a quantia de R$ 500,00 utilizando 
moedas e cédulas de R$ 1,00, R$ 5,00 e R$ 10,00 num total de 92 cédulas, 
de modo que as quantidades de moedas de um e cédulas de dez reais 
sejam iguais. Neste caso, a quantidade de cédulas de cinco reais de que o 
comerciante precisará será igual a:
a) 12 b) 28 c) 40 d) 92
c) 3 
d) 4
c) 29 
d) 34
103
17 (UERJ) Numa granja há patos, marrecos e galinhas num total de 50 aves. Os 
patos são vendidos a R$ 12,00 a unidade, as galinhas a R$ 5,00 e os marrecos 
a R$ 15,00. Considere um comerciante que tenha gastado R$ 440,00 na 
compra de aves desses três tipos e que tenha comprado mais patos do que 
marrecos. O número de patos que esse comerciante comprou foi igual a: 
a) 25 
b) 20 
18 (UERJ) Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupadas. Algumas, por 4 
pessoas; outras, por apenas 2 pessoas, num total de 38 fregueses. O número 
de mesas ocupadas por apenas 2 pessoas é:
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7
19 (UERJ) Observe os quadros I, II e III, anunciados em uma livraria.
c) 12 
d) 10
I- Considere os quadros I e II. Supondo que todos os livros A foram vendidos 
ao preço regular e todos os livros B foram vendidos ao preço de oferta, a 
quantia total arrecadada pela livraria na venda desses livros foi:
a) R$ 1658,00 
b) R$ 1568,00 
II- Considere agora o Quadro III, que indica a quantia arrecadada na venda 
de certa quantidade dos livros A e B (valores em reais). Utilizando esses 
dados e os apresentados no Quadro II, a quantidade vendida do livro A (ao 
preço regular, edição de luxo) e a quantidade vendida do livro B (ao preço 
de oferta, edição de bolso) foram, respectivamente.
a) 100 e 200 
b) 45 e 100 
20 (UFF – 2000) As ligações entre as cidades A, B e C figuram num mapa 
rodoviário conforme ilustrado. Seguindo esse mapa, uma pessoa que se 
deslocar de A para C, passando por B, percorrerá 450km. Caso a pessoa 
se desloque de A para B, passando por C, o percurso será de 600km. Para 
se deslocar de B para C, passando por A, a pessoa vai percorrer 800km. 
Determine quantos quilômetros esta pessoa percorrerá ao se deslocar de 
A para B, sem passar por C. 
c) R$ 2340,00 
d) R$ 1348,00
c) 50 e 160 
d) 40 e 160 
104
105
UNIDADE 2
ESPAÇOS VETORIAIS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir desta unidade você estará apto a:
• entender a definição de vetor em suas variadas formas;
• identificar a igualdade de vetores;
• determinar o comprimento de cada vetor;
• desenvolver as operações entre vetores;
• compreender a utilização dos produtos vetoriais;
• determinar ângulo, área e volume com o auxílio de vetores;
• compreender a definição de Espaço Vetorial e como verificar;
• identificar um subespaço vetorial e sua definição;
• verificar combinações lineares;
• identificar a dependência e independência linear;
• determinar subespaços gerados;
• compreender a definição de base e sua dimensão;
• desenvolver o cálculo para a ortogonalização de Espaço Vetorial pelo pro-
cesso de Gram-Schmidt.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No final de cada um deles você 
encontrará atividades que reforçarão seu aprendizado.
TÓPICO 1 – VETORES
 
TÓPICO 2 – OPERAÇÕES VETORIAIS
 
TÓPICO 3 – ESPAÇO VETORIAL
Assista ao vídeo 
desta unidade.
106107
TÓPICO 1
VETORES
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Caro(a) acadêmico(a), até o momento você desenvolveu conhecimentos 
que serão de grande serventia para o nosso estudo de vetores. Por esse motivo, 
quando houver necessidade, retorne aos estudos do tópico anterior.
O estudo de vetores neste tópico tratará, nos primeiros instantes, de 
defini-los em suas mais variadas formas, bem como demonstrar cálculos de como 
verificar sua igualdade, descobrir seu comprimento e modificar seu tamanho, 
quando necessário.
As operações entre vetores, como adição, subtração e multiplicação 
por um escalar, estão apresentadas logo após, para o fechamento deste tópico, 
serviram de base para o aprofundamento futuro dos conhecimentos que neste 
caderno serão abordados.
2 DEFINIÇÃO DE VETOR
Geometricamente, vetores são representados por segmentos de retas 
orientados no plano ou no espaço. A ponta da seta do segmento orientado é 
chamada ponto final ou extremidade (B) e o outro ponto extremo é chamado de 
ponto inicial ou origem (A) do segmento orientado. O seu comprimento indica a 
magnitude do vetor e sua seta orienta a direção e o sentido. 
UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
108
FIGURA 1 - VETOR
FONTE: O autor
Ao referenciar um vetor, devemos representá-lo:
• Utilizando uma letra minúscula do nosso alfabeto.
• Quando for tratado de dois pontos em um plano denotamos por 
IMPORTANT
E
( ) v
AB

Um exemplo do uso de vetores na física, onde muitas grandezas físicas 
podem ser quantificadas por único valor numérico acompanhadas pela sua 
respectiva unidade de medida, como massa e temperatura, a elas chamamos de 
Grandezas Escalares. Outras grandezas, como força, deslocamento e velocidade, 
necessitam, além do valor numérico e sua unidade de medida, outros pontos 
adicionais, como direção e sentido para o qual acontecerá o movimento. Para 
essas grandezas chamamos Grandezas Vetoriais.
Vendo de forma algébrica, um vetor é uma lista de números reais 
ordenados de elementos que podem ser relacionados com os sistemas de eixos 
cartesianos do plano e espaço. A denotação de um vetor pode ser dada por: 
( )1 2 n v = v ,v , L , v
n
A quantidade de elementos indica a quantidade de dimensões em que o vetor 
está contido.
IMPORTANT
E
TÓPICO 1 | VETORES
109
O número de elementos pode ser compreendido com a quantidade de 
dimensões onde o vetor está contido. Exemplo: para um vetor 
este, por conter três elementos em sua lista, trata-se de um vetor contido num 
plano de três dimensões, ou seja, em R³.
( )1 2 3v = v , v , v 
2.1 VETOR POR SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
Quando, no subtópico anterior, comentamos que um vetor pode ser 
relacionado com sistemas de eixos cartesianos, referíamos a vetores em e . 
São vetores contidos do plano e no espaço que obedecerão às coordenadas dos 
eixos x, y e z nos seus respectivos elementos. As representações destes vetores 
devem ser apresentadas por:
Dado um vetor: 
Na representação acima temos um vetor em R³ que apresenta sempre na 
mesma ordem as coordenadas dos eixos x, y e z. O mesmo acontece para um 
vetor em R² que apresentará coordenadas nos eixos x e y. 
Logo a seguir veremos como deve ser feita a representação geométrica no 
plano e espaço destes vetores. 
2 3
( )1 2 3 1 2 3v = v , v , v v = v x + v y + v z ⇒
2.2 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA EM E 2 3
2 3
Vimos em definição de vetor que os mesmos podem ser demonstrados 
a partir de uma lista de números e que a quantidade de elementos desta lista 
indicava a quantidade de dimensões em que o vetor estará contido. Os vetores 
que analisaremos geometricamente serão os em duas e três dimensões, já que 
acima disso ficaria complexo imaginarmos. A representação cartesiana no plano 
( ) e espaço ( ) está apresentada a seguir.
FIGURA 2 – REPRESENTAÇÃO CARTESIANA NO PLANO E ESPAÇO
FONTE:O autor
UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
110
Para nos orientarmos, devemos graduar ambos os planos e nos basear no 
seguinte:
• Nos casos em , os vetores serão apresentados na forma , c o m o 
os valores de e as respectivas coordenadas escalares nos eixos x e y, 
respectivamente representados no plano.
• Para um vetor em teremos ,com e as respectivas 
coordenadas escalares nos eixos x, y e z, respectivamente representados no 
espaço.
A seguir temos exemplos da demonstração e construção de um vetor em 
e outro em com o passo a passo necessário para representá-lo. Uma 
observação importante é que, como não há um ponto de início para o vetor no 
plano, podemos arbitrariamente nos basearmos que um vetor iniciará na origem 
do plano.
Exemplo 1: Demonstre geometricamente o vetor 
Resolução: Primeiramente devemos desenhar o plano graduado e encontrar 
os valores para x = 2 e y = 3 ligando-os por linhas tracejadas e perpendiculares aos 
eixos do plano.
x y v = v + v ,
xv yv
 x y zv v v v= + +
( ) z = 2, 3 .
3
3
3
2
x y zv , v vx y zv , v v
↑
↑
0
1
1 32
y
x
3
2
Ligue o ponto inicial com a intersecção do ponto do vetor com uma reta e 
uma seta na intersecção. 
Com isso, finalizamos a demonstração de um vetor em R².
Exemplo 2: Demonstre geometricamente o vetor ( )v = 1, 2, 3 .
TÓPICO 1 | VETORES
111
↑
↑ ↑
0
1
1 32
y
x
z
3
2
Resolução: Primeiramente, devemos desenhar o plano graduado e 
encontrar os valores para x = 1, y = 2 e z = 3 ligando-os por linhas tracejadas e 
perpendiculares aos eixos do plano.
y
↑
↑
↑
1
1
2
32
1
x
z
3
2
Agora que a ligação dos pontos dados foi encontrada e podemos observar 
os três retângulos formados, basta desenhar o restante de um paralelepípedo que 
se forma com linhas tracejadas.
UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
112
y
↑
↑
↑
1
1
2
32
1
x
z
3
2
Por fim, com o paralelepípedo formado, o vetor já pode ser desenhado 
a partir da origem do plano até o vértice oposto do paralelepípedo. Com isso, 
finalizamos a demonstração de um vetor em R³.
y
↑
↑
↑
↑
1
1
2
32
1
x
z
3
2
υ
2.3 VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS
Dados dois pontos distintos no plano ou espaço pelo sistema de 
coordenadas cartesianas, podemos definir um vetor para este intervalo. Observe 
a ilustração:
TÓPICO 1 | VETORES
113
FIGURA 3 – VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS
↑
↑
0
1
1 32
y
A
B
x
3
2 ↑
FONTE: O autor
Temos dois pontos na ilustração acima, o ponto A(1, 1) e B(3, 2). Ao 
ligarmos estes pontos temos um segmento de reta, no qual podemos indicar 
como o vetor funciona e representar ele por . Esta representação nos 
informa que o vetor tem sua origem no ponto A e extremidade em B. Se 
denotássemos este indicaria um vetor inverso do representado acima.
Como já estudamos anteriormente, há infinitos representantes de vetores 
iguais a este, possuindo mesmo módulo, sentido e direção. Podemos escrever o 
vetor como a diferença entre as coordenadas da extremidade pela sua origem: 
. Essa diferença é feita subtraindo coordenada por coordenada de cada 
elemento. Esta representação de vetor definido por dois pontos está atribuída a 
Hermann Grassmann (alemão, 1809/1877), a qual muitos chamam de “A notação 
de Grassmann para os vetores”.
Exemplo 3: Dados os pontos a seguir, que representam um triângulo num 
plano cartesiano, represente eles por meio de vetores: 
Resolução:
AB

AB

BA ,

AB = B - A 

( ) ( ) ( )A 1,2 , B 3, 1 e C 2, 5
( )
( )
 
 
 
AC = C - A
AC = C - A 
AC = 2 - 1 , 5 - 2 
AC = 1 , 3 




( )
( )
 
 
 
AC = C - A
AC= C - A 
AC = 2 - 1 , 5 - 2 
AC = 1 , 3 




( )
( )
 
 
 
AC = C - A
AC = C - A 
AC = 2 - 1 , 5 - 2 
AC = 1 , 3 




( )
( )
 
 
 
AC = C - A
AC = C - A 
AC = 2 - 1 , 5 - 2 
AC = 1 , 3 




( ) ( )
( )
( )
BC = C - B
BC = 2 , 5 - 3 , 1 
BC = 2 - 3 , 5 - 1 
BC = - 1 
 
 
 
 , 4




( ) ( )
( )
( )
BC = C - B
BC = 2 , 5 - 3 , 1 
BC = 2 - 3 , 5 - 1 
BC = - 1 
 
 
 
 , 4




( ) ( )
( )
( )
BC = C - B
BC = 2 , 5 - 3 , 1 
BC = 2 - 3 , 5 - 1 
BC = - 1 
 
 
 
 , 4




( ) ( )
( )
( )
BC = C - B
BC = 2 , 5 - 3 , 1 
BC = 2 - 3 , 5 - 1 
BC = - 1 
 
 
 
 , 4




( ) ( )
( )
( )
AB = B - A 
AB = 3 , 1 - 1 , 2 
AB = 3 - 1 , 1 - 2 
AB
 
 
 
= 2 , - 1 




( ) ( )
( )
( )
AB = B - A 
AB = 3 , 1 - 1 , 2 
AB = 3 - 1 , 1 - 2 
AB
 
 
 
= 2 , - 1 




( ) ( )
( )
( )
AB = B - A 
AB = 3 , 1 - 1 , 2 
AB = 3 - 1 , 1 - 2 
AB
 
 
 
= 2 , - 1 




( ) ( )
( )
( )
AB = B - A 
AB = 3 , 1 - 1 , 2 
AB = 3 - 1 , 1 - 2 
AB
 
 
 
= 2 , - 1 




UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
114
2.4 VETORES NA FORMA MATRICIAL
Uma outra forma de representar um vetor é por meio da notação matricial 
no formato , ou seja, uma matriz coluna com elementos em sua coluna.1n× n
( )
1
2
1 2, , ,
 
 
 = ⇒ =
 
 
  


n
n
v
v
v v v v v
v
Podemos constatar, com tudo o que já foi visto, que as principais características 
que definem os vetores são: orientação por meio de uma seta, que indicará sua 
direção e sentido; comprimento, que mostrará a amplitude de sua magnitude; e 
demonstração por meio algébrico, uma matriz ou, ainda, de forma geométrica.
2.5 IGUALDADE DE VETORES
Já vimos que um vetor precisa ter magnitude (comprimento), sentido 
e direção; se estes três quesitos forem iguais, teremos vetores equivalentes 
ou equipolentes. Observe os exemplos e posteriormente a constatação da 
equivalência ou não dos vetores.
FIGURA 4 - VETORES EQUIVALENTES OU EQUIPOLENTES
FONTE: O autor
• Exemplo 1: podemos notar que os vetores não são iguais, pois possuem mesmo 
comprimento, mesma direção, mas em sentidos opostos.
• Exemplo 2: os vetores também não são equivalentes, pois apresentam mesma 
direção e mesmo sentido, mas ao verificarmos seu comprimento notamos que 
são diferentes.
• Exemplo 3: foge de quase todos os três quesitos que deveriam ser comtemplados. 
A única igualdade está em seu comprimento, direção e sentido são diferentes. 
Não são iguais.
EXEMPLO 1 EXEMPLO 2 EXEMPLO 3 EXEMPLO 4
TÓPICO 1 | VETORES
115
• Exemplo 4: temos dois vetores equivalentes, possuem mesmo comprimento, 
mesma direção e sentido iguais. Note que para os vetores terem mesmo sentido, 
devem ser paralelos ou colineares (estar presente na mesma reta), ou seja, 
vetores equivalentes devem ser paralelos ou colineares, obrigatoriamente.
2.6 MÓDULO OU NORMA DO VETOR
O módulo ou norma de um vetor nada mais é do que o seu comprimento 
e é calculado com base nas coordenadas do vetor. 
2 2 2
1 2= + + + nv v v v
A dedução desta fórmula se dá através da utilização do Teorema de 
Pitágoras, onde, para cada elemento do veto, este indica o comprimento de um 
dos lados do triângulo. No caso de um vetor possuir apenas dois elementos, os 
mesmos são o comprimento dos catetos, bastando descobrir a hipotenusa. Para 
vetores com três elementos, o Teorema de Pitágoras deve ser aplicado duas vezes, 
verificando uma simplificação e retornando à fórmula apresentada acima. O 
mesmo se aplica para vetores em qualquer dimensão.
Chamamos de vetor nulo o vetor que apresenta apenas coeficientes zero, e 
representamos este vetor por 

0 . Um ponto no espaço é um vetor nulo.
IMPORTANT
E
Propriedade da norma:
v 0≥
De fato, por se tratar de comprimento não teremos valores negativos
0 0v somente se v ,= =

Intuitivamente ocomprimentodeumvetor sóserá zerose ele não possuir comprimento, .
 v = v α α⋅ ⋅
 2 . v = ( . v ) ( . v ) = ( v . v ) = ( v . v ) = . v .α α α α α α
(ou não existe comprimento, ou ele será maior que zero).
(só terá comprimento 0 se o vetor for nulo).
(multiplicação de um vetor (v) por um número real (α)
(ou não
existe comprimento, ou ele será maior que zero).
UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
116
Exemplo 4: Determine a norma para os vetores ( ) ( ) ( )v = 4, 3 , z = 1, 4 e w = 1, 3, 5 .
( ) ( ) ( )v = 4, 3 , z = 1, 4 e w = 1, 3, 5 .
Resolução:
2
2
2
 2
 2
 2 2
v = 4 + 3 = 5
z = 1 + 4 = 10
w = 1 + 3 + 5 = 35
2.7 VETOR UNITÁRIO E NORMALIZAÇÃO
São chamados de Vetores Unitários aqueles que apresentam seu 
comprimento igual a 1. Três importantes vetores unitários que utilizaremos no 
decorrer dos estudos são os presentes sobre os eixos do plano cartesiano,
 denotados por vetores com base canônica , veja a demonstração.I J k, ,
→ → → 
 
 
↑ ↑
↑ y
↑
↑
↑
x
i
k
j
z
Todos com procedência na origem do plano, o vetor i sobre o eixo x 
(abscissa), o vetor j sobre o eixo y (ordenadas) e o vetor k sobre o eixo z (cotas). O 
sentido das setas indica o positivo de cada eixo. Possuem as seguintes coordenadas:
TÓPICO 1 | VETORES
117
( )
( )
( )
1 00
0 1 0
0 0 1
i
j
k
, ,
, ,
, ,
=
=
=
Há casos em que há a necessidade de transformar um vetor (v) em unitário
 (u). Para isso basta aplicar a seguinte fórmula: (exceto o nulo).
1
= ⋅u v
v
( )v = - 4 , 3 .
Exemplo 5: Determine um vetor unitário que esteja na direção de 
Resolução: A primeira coisa a ser feita é descobrir seu comprimento.
( ) 2 ²v = - 4 + 3 = 5
Como ele não é unitário, aplicaremos a fórmula: 
 1 u = v
v 
⋅
Trocando os dados: ( )1u = - 4 , 3 
5
⋅
Aplicando a distributiva:
( )
( )
1u = - 4 , 3 
5
1 1u = - 4 , 3
5 5
⋅
 
⋅ ⋅ 
 
Fazendo as multiplicações: 
4 3u = - , 
5 5
 
 
 
Este novo vetor terá mesma direção e sentido com seu comprimento igual 
a 1 u.c. 
UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
118
3 OPERAÇÕES ENTRE VETORES
3.1 ADIÇÃO
Ao fazer a soma de vetores podemos observar geometricamente de duas 
formas o que acontece.
FIGURA 5 - SOMA DE VETORES
FONTE: O autor
Temos acima os dois vetores z e υ que serão somados. Ao juntarmos os dois 
vetores (z + υ) o resultado encontrado é um outro vetor, chamado vetor resultante 
(z + υ). Podemos notar que na forma Poligonal os vetores são ligados um em 
seguida do outro. O vetor resultante terá sua procedência na origem do primeiro 
e sua extremidade na extremidade do segundo. Na regra do Paralelogramo os 
vetores estão ligados a partir da mesma origem e traçados outros dois vetores iguais 
paralelamente para formar o paralelogramo. A diagonal deste paralelogramo é o 
vetor resultante. 
Essa foi a visão geométrica da soma, quando queremos realizar a soma 
algébrica de dois vetores e encontrar o vetor resultante devemos proceder da 
seguinte forma:
Sendo os vetores:
( )
( )
1 2
1 2
, , ,
, , ,
= …
= …
n
n
z z z z
v v v v
( ) ( ) ( )1 1 2 2, , ,+ = + + … +n nz v z v z v z vEntão:
Propriedades da soma de vetores:
( )z + v = v + z comutativaI .
Verifique sua validadeno exemplo a seguir:
TÓPICO 1 | VETORES
119
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 3 1 5
2 3 1 5 1 5 2 3
2 1 3 5 1 2 5 3
3 8 3 8
Seja z e v
 z + v = v + z
, , 
, , , , 
( , , 
 , , 
= =
+ = +
+ + = + +
=
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 3 1 5
2 3 1 5 1 5 2 3
2 1 3 5 1 2 5 3
3 8 3 8
Seja z e v
 z + v = v + z
, , 
, , , , 
( , , 
 , , 
= =
+ = +
+ + = + +
=
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
0
0 0 0 0 0
z + v t = z v + t associativa
 + v = v elementoneutro
Dado v - v v - v = = elementooposto
 
 
 , | , , , , 
+ +
∃ + …

 
II .
III .
IV .
As propriedades II, III e IV ficam a cargo do leitor verificar.
A leitura da quarta propriedade é: dado o vetor v existe um vetor −v � tal que 
o vetor v somado pelo vetor −v � resulta no vetor nulo.
IMPORTANT
E
Exemplo 6: Dados os vetores z = ( 3 , 2 ) , υ = ( 1 , 5 ) e t =( -2 , 3 ) , determine:
a) z + t
Resolução:
( ) ( )
( )( )
( )
z + t = 3, 2 + - 2, 3 
 = 3 + - 2 , 2 + 3 
= 
 
1 , 5 z 
+ 
t
z 
 t
Visão geométrica 
da soma pela 
regra do 
Paralelogramo
UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
120
b) z + υ + t
( ) ( ) ( )
( )( )
( )
3 2 1 5 2 3
3 1 2 2 5 3
2 10
z + v + t = - 
 - 
 
 , , ,
 ,
 ,
+ +
= + + + +
=
z 
+ 
υ 
+ 
t
 t
 υ 
z 
Visão 
geométrica 
da soma pela 
regra do 
Poligonal
Exemplo 7: Sendo os vetores z = ( -2 , 2 ) e υ = ( 1 , 3 ), verifique se
 z + v = z + v ::
Resolução: Faremos separadamente cada lado da igualdade, começando 
com o lado esquerdo:
 z + v ⇒Temos que calcular a norma separadamente de cada uma por 
primeiro:
( )22 2 8 2 2
1 3 10
z - 
 v
²
² ²
= + = =
= + =
Somando ambos os resultados:
2 2 10
 z + v =
 + 
Agora que encontramos o resultado do lado esquerdo, iremos verificar se 
o lado direito condiz:
 z + v ⇒ temos que primeiramente somar os vetores
TÓPICO 1 | VETORES
121
( ) ( )
( )
2 2 1 3
1 5
 - + 
 - + 
, , =
Calculando a norma da soma dos vetores
( ) ( )21 5 1 5 26 - + = - + = ²
Concluímos que pois . z + v z + v ≠ 2 2 10 26 + ≠
3.2 SUBTRAÇÃO DE VETORES
A subtração acontece analogamente como adição de vetor no que diz 
respeito à parte algébrica. Representamos a diferença de vetores de dois vetores 
por d = z - υ. Esta definição pode ser representada pela soma do primeiro pelo 
oposto do segundo, denotado por z + ( - υ )Acompanhe a definição abaixo:
( )
( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
1 2
1 1 2 2
1 1 2 2
n
n
n n
n n
 z = z z z
 v = v v v
z + - v = z + - v z + - v z + - v
z + - v = z - v z - v v
 
 z -
, , , ,
, , ,
 , , ,
 , , ,
…
…
…
…
Na visão geométrica da subtração temos:
Ao fazer a diferença dos dois vetores, o resultado encontrado é um outro 
vetor z - υ ou z +(-υ) . Podemos notar que na forma Poligonal os vetores ligam-se 
um em seguida do outro, de forma que o segundo vetor terá seu sentido invertido. 
O vetor resultante por esta definição terá sua procedência na origem do primeiro 
e sua extremidade na extremidade do segundo, como na adição.
UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
122
Já na forma do Paralelogramo, os vetores estão ligados a partir da mesma 
origem e traçados outros dois vetores iguais paralelamente para formar o 
paralelogramo. A diagonal das extremidades dos vetores será o vetor resultante.
Exemplo 9: Sendo os vetores e determine a 
subtração entre eles.
Resolução:
( )z = 3, 2 ( )t = - 2 , 3 ,
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
( ) ( )
1 1 2 2z + - v = z - v , z - v
z + - v = 3 - - 2 , ( 2 - 3 
z + - v = 5 
 
, - 1 z - t
z 
 t
3.3 MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR
A multiplicação por um escalar nada mais é que a multiplicação de um 
vetor por um número real. Na visão algébrica utilizaremos α (alfa) para representar 
um número real e υ como um vetor. Acompanhe o processo da multiplicação.
Seja: e α um escalar( )1 2, , ,= … nv v v v 
( )α α⋅ ⋅ 1 2 n v = v , v ,…,v
Fazendo a distributiva em todos os coeficientes do vetor
( )α α α α⋅ ⋅ ⋅ ⋅1 2 n v = v , v ,…, v 
Algumas propriedades sendo α e β escalares e z e υ vetores:
( ) ( ) v = v α β α β⋅ ⋅ ⋅ ⋅I . ( associativa )
Verifique sua validade no exemplo a seguir:
TÓPICO 1 | VETORES
123
( )
( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
 Seja = 2, = - 3 e v = 1, 2 
 v = v
 2 - 3 1, 2 = 2 - 3 1, 2 
 - 6 1, 2 = 2 - 3 , - 6 
 
α β
α β α β⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
( ) ( )- 6 , - 12 = - 6, - 12 
 II. α . ( z + v) = α. z + α. v (primeira distributiva - escalar nos vetores).
 III. ( α + β ) . v = α . v + β . v (segunda distributiva - vetor nos escalares).
 IV. 1 . v = v (identidade multiplicativa).
As propriedades II, III e IV ficam a cargo do leitor verificar ou provar.
Podemos notar que para cada coeficiente do vetor, todos os mesmos serão 
multiplicados pelo escalar (número real) e, como resultado, um vetor que sempre 
apresentará as características geométricas abaixo:
• Sempre terá mesma direção (exceto quando multiplicado por 0, pois teremos 
um vetor nulo).
• Pode mudar seu sentido quando multiplicado por um número negativo.
• Será alterado seu comprimento quando multiplicado por um número diferente 
de 1 ou -1.
Exemplo 10: Dado o vetor determine:( ) ( )2 4 1 2z - v, e , ,= =
a) 3 . z ₌
UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
124
Resposta:
( )
( )( )
( )
 = 3 - 2 , 4
= 3 - 2 , 3 4 
 = - 6 , 12 
⋅
⋅ ⋅
b) ( z + υ ) . 2 ₌
Resposta:
( ) ( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )
= - 2 , 4 + 1, 2 2
= - 2 + 1 , 4 + 2 2
 = - 1 , 6 2
 = - 1 2 , 6 2 
 = - 2 , 12 
⋅
⋅
⋅
⋅ ⋅
( ) - 2 z + v z =⋅ ⋅c)
Resposta: Já vimos na questão “b” que , portanto sua 
norma será:
( )1 6z + v = - , 
z + v = 37
( )- 2 37 - 2 , 4 ⋅
( ) ( )2 - 1 , 6 = - 1 + 6² = 37
( ) - 2 z + v z ⋅ ⋅
( )= - 2 37 z⋅ ⋅ 
( ) ( ) ( )( )= - 2 37 - 2 , - 2 37 4 ⋅ ⋅
( )( )= 4 37 , - 8 37 
Então
125
RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico vimos que:
• Vetores podem ser definidos nas seguintes formas:
 o Geometricamente: dado que seu comprimento indica a magnitude do vetor 
e sua seta orienta a direção e o sentido.
 o Por coordenadas cartesianas: seus elementos dão as coordenadas de 
localização no plano ou espaço.
 o Definido por dois pontos: quando houver a necessidade de converter pontos 
em vetores do plano ou espaço pela definição .AB = B - A

 o Na forma matricial: um vetor pode ser demonstrado por meio de uma 
 
 matriz coluna 
1
2
 
 
 =
 
 
  

n
v
v
v
v
 o Igualdade de vetores: desde que os vetores possuam mesmo comprimento, 
mesmo sentido e mesma direção, serão equipolentes. Concluindo que há 
infinitos vetores iguais.
	 o Para calcular o comprimento do vetor, o qual chamamos de módulo ou 
norma do vetor: 2 2 21 2 = + + +  nv v v v
	 o A normalização é pegar um vetor não unitário (que possui comprimento 
diferentede uma unidade de comprimento) e transformá-lo em unitário 
sem alterar seu sentido e direção. 1u = v
v
⋅
	 o A adição ou subtração pode ser vista geometricamente (regra paralelogramo 
ou regra poligonal) ou algebricamente e definidas por:
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
1 1 2 2
1 1 2 2 - - - - 
, , ,
, , ,
+ = + + … +
+ = + + … +
n n
n n
z v z v z v z v
z v z v z v z v
	 o Na multiplicação por um escalar, que nada mais é que pegar todos os 
elementos de um vetor e multiplicado por um número real.
( )1 2 n v = v , v ,…, vα α α α⋅ ⋅ ⋅ ⋅
126
AUTOATIVIDADE
1 Represente os vetores abaixo na forma geométrica, obedecendo ao sistema 
de coordenadas cartesianas:
a)
b)
( )v = 2 , - 1 
( )t = 1 , 2 , 2 d)
c) ( )w = 3, 2
( )z = 2 , 1 , 1 
2 Dados os pontos e 
determine os vetores formados pelos segmentos:
( ) ( ) ( ) ( )2 3 1 2 4 2 1 1A B - C - D - , , , , , , , 
( )2 1E - - , 
CB =

a)
DB =

b) AC =

d)
EA =

c)
3 Para os vetores encontrados na questão anterior, determine a norma de 
cada um, e, caso não forem unitários, transforme-os.
4 Com e determine: ( ) ( )1 2 2 0 1 3v = - t = , , , , , ( )2 2 1z = - - , , , 
a) 2 3z + t =
b) z - v =
c) z - v + t =
d) - t - v =
e) 3 t - 2 v =
5 Dado , determine o valor de para quê:( ) ( )1 2 2 1 3v = - t = m , , e , , m
a) 5 v + t = 
b) 6 t = 
Assista ao vídeo de
resolução da questão 5
127
TÓPICO 2
OPERAÇÕES VETORIAIS
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Com os conceitos estudados no tópico anterior, começamos agora o 
estudo de outras operações envolvendo vetores. Estas operações nos ajudarão 
a dar entendimento do comportamento dos vetores no que se refere às suas 
relativas posições. 
Poderemos notar que para cada operação, a mesma estará ligada a pelo 
menos uma aplicação na resolução de problemas, como: o ângulo formado entre 
os vetores, se os vetores são paralelos, para o cálculo de área de triângulos e 
paralelogramos e o cálculo do volume de tetraedros e paralelepípedos.
2 PRODUTO ESCALAR
O produto escalar (ou produto interno) é a multiplicação entre dois 
vetores cujo resultado é um escalar (um número real), podendo ser denotado por: 
Sendo:
z v ou z , v ⋅
( )
( )
1 2
1 2
n
n
1 1 2 2 n n
 z = z z z
 v = 
 
 
 
v v v
z v = z v + z v + … + z v
, , ,
, , ,
…
…
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Algumas propriedades do produto escalar, sendo α escala e u, υ e t vetores:
( )z v = v z comutativa ⋅ ⋅I . 
UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
128
Verifique sua validade no exemplo a seguir:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Sejaosvetores z = 2 , - 1 e v = 1 , 3 
 z v = v z 
 2 , - 1 1 , 3 = 1 , 3 2 , - 1 
 2 1 + - 1 3 = 1 2 + 3 - 1 
 2 -
 
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
 3 = 2 - 3
 - 1 = - 1
( ) ( )z v + t = z v + z t distributiva ⋅ ⋅ ⋅II .
( ) ( ) ( ) ( ) z v = z v = z v associativacomescalar α α α⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅III .
As propriedades II e III ficam a cargo do leitor verificar ou provar.
Se um vetor υ não for nulo, então temos que: 
Uma propriedade que não está presente no produto escalar é associativa 
entre vetores. 
Seja: ( ) ( )z v t = z v t⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Não faz nenhum sentido multiplicar dois vetores para ter um escalar, o 
resultado seria um outro vetor.
Exemplo 11: Dado o vetor determine ( ) ( )1 2 2 3z = v = - , e , z v : ⋅
Resposta:
( )z v = 1 - 2 + 2 3
 z v = - 2 + 6 = 4
⋅ ⋅ ⋅
⋅
2.1 ÂNGULO ENTRE VETORES
A utilização do produto escalar está ligada à parte geométrica dos vetores, 
mais precisamente ao cálculo do ângulo formado entre eles.
θ⋅ ⋅ ⋅z v = z v cos 
TÓPICO 2 | OPERAÇÕES VETORIAIS
129
Para a demonstração da equação acima imaginemos dois vetores não 
colineares, representados a seguir:
FIGURA 6 - VETORES NÃO COLINEARES
 z - v
 v
 z 
θ
FONTE: O autor
A figura formada com a inclusão do vetor resultante da subtração dos 
vetores é um triângulo. Aplicando a lei do cosseno temos: 
θ⋅ ⋅ ⋅
 2 2 2
 z - v = z + v - 2 z v cos 
A utilização da norma se dá pelo motivo de que queremos o comprimento 
do vetor. Acompanhe o desenvolvimento imaginando que estamos trabalhando 
com dois vetores em R².
Determinando a norma dos vetores:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2 1 1 2 2
2 2
1 1 2 2
2 2
1 2
, , ,
 
 
 
z - v = z z - v v = z - v z - v
 z - v = z - v + z - v
 
 
 z = u + u
 v 
 
 
 
= v 2 21 2
 
 + v 
Trocando, na expressão, os valores das normas com exceção da parte 
ligada ao cosseno:
Eliminando os quadrados com a raiz quadrada:
( ) ( )2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2- + - = + + + - 2 z v co s θ⋅ ⋅ ⋅ z v z v z z v v
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 22 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
 
 - + - = + + + - 2 z v cos θ
  ⋅ ⋅ ⋅ 
 
z v z v z z v v
UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
130
Desenvolvendo os quadrados:
 2 2 2 2 2 2 2 2
 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2z - 2 z v + v + z - 2 z v + v = z + z + v + v - 2 z v cos θ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Eliminando as partes iguais nos dois lados:
1 1 2 2- 2 z v - 2 z v = - 2 z v cos θ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Colocando o - 2 do em evidência: ( )21 1 2- 2 z v + z v = - 2 z v cos θ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Podemos eliminar o - 2 em ambos os lados e simplificar 1 1 2 2z v + z v⋅ ⋅
por produto vetorial :z v⋅
 
z v = z v cos θ⋅ ⋅ ⋅
O produto escalar entre vetores pode nos trazer algumas visões 
geométricas do seu resultado, analogamente se:
FIGURA 7 - PRODUTO ESCALAR ENTRE VETORES
FONTE: O autor
O ângulo formado entre os vetores sempre será representado pelo menor 
ângulo entre eles, sendo compreendido . Para um eventual cálculo 
de ângulo podemos isolar o cosseno tendo a expressão: 
0 180θ° ≤ ≤ ° z vcos = 
 z v 
θ
⋅
⋅
Exemplo 12: Calcule o ângulo formado pelos vetores 
TÓPICO 2 | OPERAÇÕES VETORIAIS
131
( ) ( )
( ) ( )
( )2 2 2
z v cos = 
 z v 
 1, 1, 2 2, - 1, 1 
 cos = 
 1, 1, 2 2, - 1, 1 
2 - 1 + 2 cos = 
 1 + 1 + 2² 2 + - 1 ² + 1²
3 cos = 
 6
 
 6
 
θ
θ
θ
θ
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
3 cos = 
6
1 cos = = 60°
2
θ
θ θ⇒
Exemplo 13: Verifique se os vetores são
 perpendiculares.
Para que dois vetores sejam perpendiculares, basta que o produto escalar 
entre eles seja zero.
Resposta:
( ) ( )2 3 1 2 1 1z = - v = - - , , e , , 
( ) ( )z v = 2 , - 3 , 1 - 2 , - 1 , 1 ⋅ ⋅
( ) ( ) ( )z v = 2 - 2 + - 3 - 1 + 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
z v = - 4 + 3 + 1 = 0⋅
Portanto, os vetores são perpendiculares.
Exemplo 14: Qual o valor que x pode assumir para que o ângulo entre 
os vetores ( ) ( )1 2 4z = - v = x , e , seja agudo? 
UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
132
Resposta:
( ) ( )z v = - 1 , 2 n 3 , x ⋅
( )z v = - 1 2 + 2 x ⋅ ⋅ ⋅
Para formar um ângulo agudo, basta que o produto escalar seja maior 
que zero.
( ) -1 4 + 2 x > 0
 - 4 + 2 x > 0
 2 x > 4
4 x > = 2
2
⋅ ⋅
⋅
⋅
Para que os vetores tenham um ângulo agudo, basta que x > 2 .
3 PRODUTO VETORIAL
O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o 
comportamento no eletromagnetismo, mecânica de corpos rígidos e dos fluidos. 
Na matemática, o produto vetorial aplica-se a vetores em R³ resolvendo problemas 
na geometria, onde o produto entre dois vetores tem como solução um novo 
vetor, simultaneamente ortogonal aos outros dois. A representação do produto 
vetorial entre dois vetores é denotada por veja a ilustração:z × u ,
z × u
z × u
z × u
Você pode estar se perguntando por que o produto vetorial entre os 
vetores acima resultou em um vetor apontando para cima e não para baixo (estas 
seriam as únicas duas soluções possíveis, já que o vetor resultante é ortogonal). 
Bem, esta analogia está correta, a resposta para ela é que o vetor resultante no 
produto vetorial segue a regra da mão direita.
TÓPICO 2 | OPERAÇÕES VETORIAIS
133
A regra da mão direita é muito importante para determinar o sentido do 
vetor resultante e onde ele está localizado geometricamente. Há duas formas de 
demonstrar esta técnica, utilizaremos a que tem como base a ilustração a seguir:
Deixe o polegar (“dedão”) formando um ângulo reto em relação aos 
demais dedos que devem estar juntos. Aponte os dedos para o primeiro vetor 
do produto de modo que ao fechar a mão o sentido deve seguir o segundo vetor. 
Para onde o polegar estiver apontando será a direção e sentido do vetor resultante 
do produto vetorial.
Utilizando a regra da mão direita teremos o seguinte:
× =i j k × =i k - j × =j k i
× =j i - k × =k i j × =

k j - i
0× = × = × =i i j j k k 
Isto acontece porque vetores iguais são colineares.
Observe o macete que pode ser utilizado para decorar os produtos entre 
os vetores.
UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
134
Colocando as letras e e repetindo-as novamente, formamos vários 
pares de letras que devem estar grudados. O sentido da ligação dos vetores indica 
se ele será positivo ou negativo. 
Exemplo 15: Para o produto entre temos que o vetor resultante 
apontará para:
i , j k
k j ×
Resposta: Note que estão ligados da direita para esquerda, sentido 
negativo, portanto, a resposta é o vetor .
 
Outra definição importante do produto vetorial é que a norma do produto 
vetorial entre vetores é dada por:
k j ×
– i
 z × v = z v sen θ⋅ ⋅
Nesta definição, um fato muito importante a ser observado é que 
podemos encontrar o ângulo formado por dois vetores com a ajuda do produto 
vetorial. 
z × v
sen = 
z v
θ
⋅
Agora que já definimos como deve ser o produto vetorial, basta vermos 
como se calcula este produto. Uma das formas é por coordenadas cartesianas.
Dados os vetores a seguir, podemos encontrar o valor do produto vetorial 
por meio do determinante de uma matriz que terá na primeira linha os vetores 
unitários e nas linhas seguintes os vetores. 
Dados dois vetores:
i , j k
( )
( )
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
w = w , w ,w
 v = v , v ,v
i j k
w v = det w w w
v v v
 
 ×  
  
Observe que as coordenadas de x, y e 
z foram trocadas pelos vetores unitários (i,j e 
k) apresentados na regra da mão direita que 
seguem respectivamente os eixos.
TÓPICO 2 | OPERAÇÕES VETORIAIS
135
i , j k
Podendo ser definido por (aplicando o Teorema de Laplace):
2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
w w w w w w
w v = det - det det 
v v v v v v
, ,
      
×             
Podendo ser definido também por (aplicando Sarrus):
( ) ( ) ( )
1 2 3 1 2
1 2 3 1 2
2 1 3 2 1 3 2 3 3 1 1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
 
 
i j k i j
 w w w w w
v v v v v
 - kw v - iw v - jw v + iw v + jw v + kw v
w v i w v - w v + j w v - w v k w v v - w× = +
A prova do uso do determinante pode ser demonstrada da seguinte forma:
Dados dois vetores na forma de coordenadas cartesianas:
( )
( )
1 2 3
1 2 3
w = w i + w j + w k
 v = v i + v j + v k
 
 
 
( ) ( )1 2 3 1 2 3w v = w i + w j + w k × v i + v j + v k
 
 ×Então:
Deve-se fazer a distributiva em todos os elementos de w com todos os 
elementos de :v
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
 
 
= w v i × i + w v i × j + w v i × k +
 w v j × i + w v j × j + w v j × k +
 w v k × i + w v k × j + w
 
 v k × k 
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
Observando a tabela da regra da mão direita para a simplificação dos 
produtos de e
UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
136
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 3
2 1 2 3
3 1 3 2
= 0 + w v k + w v - j +
 w v - k + 0 + w v i + 
 w v j + w v - i + 
 
 
 0
 
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
Juntando os mesmos valores de ei , j k
( ) ( ) ( )2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1w × v = w v - w v i - w v - w v j + w v - w k v⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
A seguir, algumas propriedades do produto vetorial:
I . ( )z v = - v z anticomutativa × ×
Verifique sua validade no exemplo a seguir:
( ) ( )2 0 1 3 2 2
2 0 1
3 2 2
 Seja z = e v = 
 z v = - v z
i j k
 det = - det 
 , , , , 
× ×
 
 
 
  
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2 2
2 0 1
0 2 4 3 4 0 2 0 3 4 0 4
2 4 2 4
i j k
 - i - - j + - k = - - i - - j + - k
 - i - j + k = - i + j - k
 
 
 
 
  
  
  
2 4 2 4 - i - j + k = - i - j + k
( ) ( )z v + w = z v + z w distributiva × × ×
( ) ( ) ( ) ( ) z × v = z × v = z × v associativa por escalar α α α⋅ ⋅ ⋅
( )z × v = 0 somente quando z e v foremmúltiplo escalar umdooutro 

II .
IV .
III .
As propriedades II, III e IV ficam a cargo do leitor verificar ou provar.
Exemplo 16: Sejam os vetores determine o 
produto vetorial entre eles.
( ) ( )1 0 2 3 1 2z = - v = - , , e , , ,
TÓPICO 2 | OPERAÇÕES VETORIAIS
137
1 2 3
1 2 3
i j k
 z × v = det z z z
v v v
 i j k
 
 
 z × v = det - 1 0 2
 3 1 - 2 
0 2 -
 z × v = det , - det 
1 -
 
 2
 
 
 
  
 
 
 
  
 
 
 
( )
 1 2 - 1 0
 , det 
 3 - 2 3 1
 z × v = - 2 , 4 , - 
 
1
    
         
Resolvendo por Sarrus:
 i j k i j
z × v = det - 1 0 2 - 1 0
 3 1 - 2 
 
 3 1
 
 
 
  
Fazendo as multiplicações das diagonais:
( ) ( ) ( ) ( )( )z × v = - 2 0 i + 3 2 j + 1 - 1 k - 3 0 k + 1 2 i + - 2 - 1 j ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Fazendo as multiplicações: ( )z × v = 0 + 6 j - k - 0 + 2 i + 2 j 
 z × v = 6 j - k - 2 i - 2 j
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
Juntando os termos:
( )
z × v = - 2 i + 4 j - k
 z × v = - 2 , 4 , - 1 
⋅ ⋅
Podemos notar que as duas formas estão corretas.
UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
138
3.1 CÁLCULO DE ÁREA
Uma aplicação do produto vetorial é o cálculo de área de triângulos e 
de paralelogramos. A norma do produto vetorial é exatamente a área de um 
paralelogramo que tem como medida o comprimento dos vetores. Para o cálculo 
da área do triângulo,bastaria apenas dividir o resultado por dois, já que o 
paralelogramo tem o dobro da área do triângulo. Observe a imagem:
 z z z 
 v v 
 z . sen θ
θθ
A explicação é que uma das formas de se calcular a área de um triângulo 
é multiplicando sua base pela sua altura e dividindo por dois. Por outro lado, a 
do paralelogramo é simplesmente sua base multiplicada por sua altura. Note que 
na imagem acima, a altura do suposto triângulo ou paralelogramo é definida com 
a utilização do seno pelo ângulo formado entre os vetores. Com isso podemos 
definir o seguinte:
Área do Triângulo Área do paralelogramo
 z v sen 
A = 
2
θ⋅ ⋅
 z × v 
A = 
2
A = z v sen θ⋅ ⋅
A = z × v 
ou ou
Exemplo 17: Calcule a área do paralelogramo definida pelos vetores 
Resposta: A área do paralelogramo é definida: 
Primeiramente, calculamos o produto vetorial e em seguida a norma.
( ) ( )1 1 2 2 1 2z = v = - , , e , , .
A = z × v 
TÓPICO 2 | OPERAÇÕES VETORIAIS
139
 i j k
 z × v = det 1 1 2
- 2 1 2
1 2 1 2 1 1
z × v = det , - det , det 
1 2 - 2 2 - 2 1
 z × v = 0, - 6
 
 
,
 
 3
 
 
 
 
  
      
             
( )
( )22 2
 
 z × v = 0 + - 6 + 3
 z × v = 45
 A = 45 u 
 
. c .
Exemplo 18: Para um triângulo com lados medidos em centímetros pelos 
vetores e , determine a sua área e a altura relativa ao 
lado 
Resposta: Para melhor compreender o que está acontecendo, desenhamos 
o triângulo com os vértices.
( )4 5 0z = - , , ( )0 4 3v = - , , 
v.
h
v
z
A área do triângulo pode ser encontrada a partir de:
2
4 5 0
0 4 3
5 0 4 0
4 3 0 3
 z v 
 A = 
 i j k 
 z v = det - 
 - 
- 
z v = det - det det 
 - 
 
 - 
, ,
×
 
 ×  
  
   
×    
   
( )
2 2
4 5
0 4
15 12 16
15 12 16 2 
- 
 
 
 z v = 
 z v = + + 
, , 
  
     
×
×
UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
140
2
4 5 0
0 4 3
5 0 4 0
4 3 0 3
 z v 
 A = 
 i j k 
 z v = det - 
 - 
- 
z v = det - det det 
 - 
 
 - 
, ,
×
 
 ×  
  
   
×    
   
( )
2 2
4 5
0 4
15 12 16
15 12 16 2 
- 
 
 
 z v = 
 z v = + + 
, , 
  
     
×
×
2
25
2
12 5
 A = 
A = cm, 
Então:
Para sua altura podemos desenvolver o cálculo da seguinte forma:
Sabemos que: 
2
b hA = ⋅
Note que temos três incógnitas na fórmula acima: área, base e altura. A 
área do triângulo sabemos, a base é possível encontrar a partir do vetor e 
posteriormente encontramos a sua altura. Calculando a norma do vetor 
 v
 v .
( ) 22 20 4 3
16 9
5
 
 v + + - 
 v = + 
 v = 
 
cm 
=
Pela fórmula da área do triângulo: 
12 5
2
5
5
5
b h A = 
2
5 h = 
12,5 2 = h
12,5 2 = h
 h = cm
,
 
⋅
⋅
⋅
⋅
12 5
2
5
5
5
b h A = 
2
5 h = 
12,5 2 = h
12,5 2 = h
 h = cm
,
 
⋅
⋅
⋅
⋅
12 5
2
5
5
5
b h A = 
2
5 h = 
12,5 2 = h
12,5 2 = h
 h = cm
,
 
⋅
⋅
⋅
⋅
12 5
2
5
5
5
b h A = 
2
5 h = 
12,5 2 = h
12,5 2 = h
 h = cm
,
 
⋅
⋅
⋅
⋅
TÓPICO 2 | OPERAÇÕES VETORIAIS
141
Exemplo 19: Calcular a área do triângulo de vértices ( ) ( ) ( )2 1 4 1 3 3 1 2 1A - B - - e C - , , , , , , , .
( ) ( ) ( )2 1 4 1 3 3 1 2 1A - B - - e C - , , , , , , , .
Imaginemos a figura apresentada para visualizar o triângulo:
A
B
C
Para desenvolver o cálculo da área por produto vetorial devemos optar por 
dois segmentos que têm o mesmo vértice em comum para transformá-los em vetor.
( ) ( )
( )
1 3 3 2 1 4
3 2 1
AB = B - A
AB = 
 
 - - - - 
AB = -
 
 - - 
, , , , 
, , 



( ) ( )
( )
1 1 2 1 4
1 1 3
AC = C - A
= - 2 -
 
 C 
 
 - 
AC = - - - 
, , , , 
, , 


2
3 2 1
1 1 3
2 1
1 3
AB AC
 A = 
 i j k
AB AC = det - - - 
- - 
 
 
-
 
 
- - 
AB AC = det - det 
- -
,
×
 
 ×  
  
 
×  
 
 
 
 
( )
( ) 22 2
3 1 3 2
1 3 1 1
5 8 1
5 8 1
 
 
 
- - - - 
 det 
 - -
 
 
 
 - - 
AB AC = - 
AB AC = + - + 
,
, ,
    
         
×
×
 
 
90
3 10
3 10
2 2
 
 
AB AC = 
AB AC = 
AB AC
 A = = 
 
 a 
 
 
 
u
 
 . .
×
×
×
 
 
 
UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
142
2
3 2 1
1 1 3
2 1
1 3
AB AC
 A = 
 i j k
AB AC = det - - - 
- - 
 
 
-
 
 
- - 
AB AC = det - det 
- -
,
×
 
 ×  
  
 
×  
 
 
 
 
( )
( ) 22 2
3 1 3 2
1 3 1 1
5 8 1
5 8 1
 
 
 
- - - - 
 det 
 - -
 
 
 
 - - 
AB AC = - 
AB AC = + - + 
,
, ,
    
         
×
×
 
 
90
3 10
3 10
2 2
 
 
AB AC = 
AB AC = 
AB AC
 A = = 
 
 a 
 
 
 
u
 
 . .
×
×
×
 
 
 
Então:
4 PRODUTO MISTO
O produto misto tem este nome por envolver duas operações entre 
vetores ao mesmo tempo, o escalar e o vetorial. O resultado obtido sempre será 
um número real e a denotação é feita por: ou 
Já sabemos que:
( )z w × v⋅ z w v( , , ).
2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
w w w w w w
w v = det - det det 
v v v v v v
, ,
      
×             
Então:
( ) ( ) 2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
1 2 3
1 2 3
w w w w w w
z w × v = z , z ,z det - det det 
v v v v v v
w w w w w w
 = det z - det z + det z
v v v v v
 
v
 
 
, ,
      
⋅ ⋅             
     
⋅ ⋅ ⋅     
    
Com isso definimos que: ( )
1 2 3
1 2 3
1 2 3
z z z
z w × v = det w w w
v v v
 
 
 ⋅  
  
Exemplo 20: Determine o produto misto formado pelos vetores 
( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 1 0 2 1z = w = - v = - , , , , , , , e
Resposta:
TÓPICO 2 | OPERAÇÕES VETORIAIS
143
Aplicando Sarrus temos:
4.1 CÁLCULO DE VOLUMES
Com o auxílio do módulo do produto misto devetores é possível calcular 
o volume de paralelepípedos que terá suas arestas definidas pelos vetores Um 
tetraedro definido pelos mesmos vetores também será possível calcular, j á 
que o paralelepípedo é equivalente a dois prismas triangulares iguais e estes 
equivalem a três tetraedros.
Seguem as definições dos cálculos dos volumes:
z w v , e .
( )
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 1
0 2 1
z z z
z w × v = det w w w
v v v
 = det - 
- 
 
 ⋅  
  
 
 
 
  
-
( )
( )
1 2 3 1 2
2 3 1 2 3
0 2 1 0 2
3 0 12 0 2 4
 
=det - 
- - 
 = + - - + + 
 z w × v = -15
 
 
 
 
 
 
 
⋅ - 15
ou ou
1 2 3
1 2 3
1 2 3
z z z
A = det w w w 
v v v
 
 
 
 
  
( )A = z w × v ⋅
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
6
z z z
A = det w w w 
v v v
 
 
 ⋅  
  
( )1
6
A = z w v ⋅ ⋅ ×
Paralelepípedo Tetraedro
UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
144
Algumas propriedades do produto misto:
I. (Se um vetor for nulo, se dois deles são colineares, ou se os três 
vetores são coplanares).
De fato: 1º - se o vetor z for nulo, teremos:
( )z w × v = 0⋅
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0 
z z z
det w w w
v v v
 
  = 
  
z e w
2º - se os vetores z e w forem colineares é porque são múltiplos um do 
outro, então:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0
 z = aw
 então
 aw = az
aw aw aw
det w w w = 
v v v
:
 
 
 
  
3º - se os vetores z, w e v forem coplanares, o vetor 3º - se os vetores z, w e 
v forem coplanares, o vetor w x v, por ser ortogonal aos vetores w e v , é ortogonal 
ao vetor z . 
Se z e w x v são ortogonais, o produto escalar z . ( w x v ) é nulo. É fácil 
verificar que, reciprocamente, se nenhum dos vetores z, w e z é nulo e se dois 
quaisquer deles não são colineares, anulamento de ( z . ( w x v)) significa que z, 
w e v são coplanares. 
II . (Independe da ordem circular dos 
vetores).
III .
IV. 
(Multiplicação por escalar).
As propriedades II, III e IV ficam a cargo do leitor verificar ou provar.
Exemplo 21: Determine o valor que x deve assumir para que um 
paralelepípedo tenha volume de 24 u.v. (unidades de volume). Suas arestas estão 
definidas pelos vetores .
( ) ( ) ( )z w × v = w v × z = v z × w⋅ ⋅ ⋅
( ) ( ) ( ) ( )z w × v = z w × v = z w × v = z w × v α α α α  ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 
( ) ( ) ( )z = x , 5 , 0 , w = 1 , 1 , - 1 e v = 3 , - 2 , 1 
( ) ( ) ( )z w × v + s = z w × v + z w × s ⋅ ⋅ ⋅ .
TÓPICO 2 | OPERAÇÕES VETORIAIS
145
Resposta:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
5 0
24 1 1 1
3 2 1
24 20
z z z
A det w w w
v v v
x
det
x
 = 
 
 
 = - 
- 
 = - - 
 
 
 
 
  
 
 
 
  
Pela definição de módula, admite-se duas hipóteses:
20 24
44
20 24
4
44 4
x
x
x
x
x ou x
 - - = 
 = - 
 - - = - 
 = 
 = - = 
ou:
Portanto:
Exemplo 22: Calcular o volume de um tetraedro cujos vértices estão 
nos pontos: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 7 4 3 4 6 2 4 3 4A B C D , , , , , , , , e , , .
Resposta: Para poder transformar os pontos em três vetores, devemos 
sempre escolher um dos pontos como fixo. Para o desenvolvimento desta 
optaremos por A.
( ) ( )
( )
7 4 3 1 2 1
6 2 2
 - 
, , 
 
 - ,
 
 
 , 
, , 
AB B A
AB
AB
=
=
=



( ) ( )
( )
4 6 2 1 2 1
3 4 1
 - 
, , 
 
 
 
 
- , , 
, , 
AC C A
AC
AC
=
=
=



( ) ( )
( )
4 3 4 1 2 1
3 1 3
 - 
, , 
 
 
 -
 
 , , 
, , 
AD D A
AD
AD
=
=
=



UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
146
( )
( )
1
6
6 2 2
3 4 1 36
3 1 3
 = 
 = = 
A z w v
z w v det
⋅ ⋅ ×
 
 ⋅ ×  
  
Portanto, temos que o volume é:
1 36 6
6
= = . .A u v⋅
5 PARALELISMO DE DOIS VETORES
Dois vetores serão paralelos (ou colineares) quando existir um número k 
tal que , ou seja: = v k w⋅
( )
( )
1 2 3
1 2 3
 = , ,
 = , ,
v v v v
w w w w
Então:
( ) ( )
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
 = 
 , , = , ,
, , = , , 
v k w
v v v k w w w
w w w k w k w k w
⋅
⋅
⋅ ⋅ ⋅
Pela definição de igualdade:
1 1
2 2
3 3
= 
= 
= 
 
 
 
v k w
v k w
v k w
⋅
⋅
⋅
31 2
1 2 3
 = = = 
vv v
k
w w w
ou temos ainda que:
Quando suas coordenadas forem proporcionais, teremos a condição de 
paralelismo, que podemos denotar por .v w
TÓPICO 2 | OPERAÇÕES VETORIAIS
147
Exemplo 23: Verifique se os vetores 
são paralelos.
Resposta:
( )2 3 4 = , - , v ( )4 6 8 = , - , we
e
31 2
1 2 3
 = = = 
vv v
k
w w w
2 3 4 1
4 6 8 2
- = = = = 
- 
k k⇒
Ou seja:
1
2
 = v w⋅
1n 2n
ee
eExemplo 24: Dados os pontos e os vetores verifique 
se existem os números tais que 
Resposta: Primeiramente encontraremos o vetor 
( )1 1 , - A ( )2 3 , - B
( )1 1 = - , v ( )2 1= , w 1n 2n 1 2 = + w n AB n v⋅ ⋅

AB:

( ) ( ) ( )2 1 1 3 1 2= - = , - - , - = , AB B A

Trocando os vetores na expressão dada: 
( ) ( ) ( )
1 2
1 22 1 1 2 1 1
 = + 
, = , 
 
 - 
 
 , 
 w n AB n v
n n
⋅ ⋅
⋅ + ⋅

( ) ( ) ( )1 1 2 22 1 2, = , + - , n n n n⋅
Fazendo as multiplicações pelos escalares .
( ) ( )1 2 1 22 1 2, = - , + n n n n⋅Aplicando a soma do lado direito:
1 2
1 2
2
2 1
 - = 
 + =
 
 
 
 
n n
n n

 ⋅
Pela igualdade de vetores, teremos o sistema: 
e1 1 = n 2 1= - nResolvendo o sistema obtemos a solução .
UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
148
Logo, temos:
1 2 = + 
 = - 
 
 
w n AB n v
w AB v
⋅ ⋅


Exemplo 25: Determine os valores de a e b para que sejam paralelos os 
vetores e ( )1 4 4 = - , , - v a ( )3 5 2 2= - , , + w b
Resposta:
1 4 4
3 3 2 2
 - - = = 
- + 
a
b
Como sabemos, a razão na proporção acima pela coluna do meio podemos 
dividir o problema da seguinte forma:
1 4
3 3
 - = 
- 
a
e
4 4
3 2 2
- = 
 + b
53
2
 = - = a e b
Resolvendo as equações, temos que a solução:
149
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico vimos que:
• O produto escalar entre vetores possui este nome, pois após esta operação o 
resultado é um escalar, denotado e definido por: 1 1 2 2 n n z v = z v + z v + … + z v⋅ ⋅ ⋅ ⋅
• O resultado do produto escalar pode ser interpretado como:
	 o (vetores perpendiculares).
	 o (vetores formando um ângulo agudo).
	 o (vetores formando um ângulo obtuso).
0z v⋅ =
0z v⋅ ≥
0z v⋅ ≤
• Com o produto escalar é possível encontrar o ângulo entre dois vetores por:
 z vcos 
 z v 
θ
⋅
=
⋅ .
• O produto vetorial possui este nome devido a que o resultado após a operação 
é um vetor, ortogonal aos outros dois vetores. É denotação e definido por: 
.2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
w w w w w w
w × v = det , - det , det 
v v v v v v
      
            
• O sentido e a direção do vetor resultante do produto vetorial são descobertos 
pela regra da mão direita.
• Com o auxílio do produto vetoriale entendimento de geometria, podemos 
definir que a norma do vetor resultante do produto vetorial é a área de um 
paralelogramo, sendo assim, a metade da área de um triângulo.
• Caso o produto vetorial seja igual a zero, então os vetores são colineares.
O produto misto tem este nome, pois envolve as duas operações já 
citadas: o produto escalar e o vetorial. É definido e denotado por:
( )
1 2 3
1 2 3
1 2 3
z z z
z w × v = det w w w
v v v
 
 ⋅  
  
150
• A norma do produto misto é o volume de um paralelepípedo definido pelos 
vetores do produto. Um sexto deste valor é o volume do tetraedro definido 
pelos mesmos.
• Para identificar o paralelismo de dois vetores basta aplicar a definição e verificar se 
o resultado encontrado em ambas as razões é uma constante 31 2
1 2 3
vv v
 = = = k .
w w w
151
AUTOATIVIDADE
( )5 4, , v m= AB

( )A 1, 2, - 3 ( )B 3, 4 , - 5 
( ) ( ) ( )2 1 1 1 0 1 2 1 4, , , , , , , u - v - t - = = =( ) ( ) ( )2 1 1 1 0 1 2 1 4, , , , , , , u - v - t - = = =
a) Verifique dois a dois quais vetores são ortogonais.
b) Calcule o ângulo, dois a dois, formado pelos vetores.
c) Sejam estes vetores vértices de um tetraedro, determine o volume do 
mesmo.
2 Calcule o valor de m para que o vetor seja ortogonal ao vetor , 
 onde e .
u = ( m + 1 , 3, 1)
( )v = 10, 4 n - 2 , 2 .
3 Calcule os valores de m e n para que sejam paralelos os vetores: 
e
4 Determine se o ângulo formado entre os vetores abaixo é agudo, obtuso ou 
se eles são ortogonais:
( )u = 4 i + j + 6 k ( )v = - 3 j + 2 k a) e
1
1
1
 u
 
 =  
 
 
1
0
0
- 
u 
 
 
 =  
 
 
b) e
7
3
5
 u
 
 =  
 
 
8
4
2
- 
u 
 
 
 =  
 
 
c) e
( ) ( )1 2 2 3 , , ,A B – ( )0 5, , C 5 No triângulo ABC, com os vértices determine:
a) Sua área, colocando como ponto fixo o ponto B .
b) O comprimento dos lados.
c) A altura relativa ao segmento . BA

e
( )2 0 0, , A ( )0 2 0, , B ( )0 0, , C z6 Determine z sabendo que , e são vértices de um 
triângulo de área 6.
7 Verifique se os vetores e 
são coplanares. (Observe a propriedade I do produto misto).
1 Considere os vetores , determine:( ) ( ) ( )v = 1, 2, 3 , t = - 5, 1, 1 w = 0, 0, 1e
152
( ) ( ) ( ) u = 0 , - 1 , 2 , v = - 4 , 2, - 1 t = 3, s, - 2 ( ) ( ) ( ) u = 0 , - 1 , 2 , v = - 4 , 2, - 1 t = 3, s, - 2 
9 Calcule o valor de s para que o volume de um tetraedro determinado pelos 
vetores seja 11/2.e
10 Determine um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos A , B e C :
( ) ( ) ( )A 3, 0, 0 , B 0, 3, 0 e C 0, 0, 2a)
( ) ( ) ( )A 2, 3, 0 , B 0, 2, 1 e C 2, 0, 2b)
( )v = - 1, - 1 , - 2 
( )A 0, 3, 4 ( )B m, - 1, 2 
11 O vetor forma um ângulo de 60º com o vetor , 
onde . . Calcular o valor de m.
AB

e
8 Determine o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores 
( ) ( ) ( )3 1 4 2 0 1 2 1 5 , , , , , , , u - v w - = = =e .
Assista ao vídeo de
resolução da questão 11
153
TÓPICO 3
ESPAÇOS VETORIAIS
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Neste último tópico da Unidade 2 estudaremos os Espaços e Subespaços 
Vetoriais e as bases. Um exemplo simples é o plano em ao traçarmos uma reta 
que passa pela origem do plano, esta reta pode ser vista como um Subespaço 
Vetorial do . Para verificar se um conjunto de vetores é um Espaço 
ou Subespaço Vetorial, iremos recorrer a duas operações: a adição de vetores e a 
multiplicação por escalar.
A Base de um Espaço Vetorial é um conjunto de vetores que podem 
formar qualquer outro vetor contido neste espaço. Para identificar se um conjunto 
de vetores é uma base de um Espaço Vetorial, há a necessidade de identificar e 
conhecer se os vetores presentes em um conjunto são formados por combinação 
linear uns dos outros, concluindo assim se os vetores são independentes ou 
dependentes uns dos outros e conhecendo a dimensão deste espaço.
2

2

2 DEFINIÇÃO
2

Espaços como estão bem definidos e podemos facilmente 
entender sua dimensão em operações que realizamos. Estas operações, como 
igualdade, soma, multiplicação por escalar, se aplicarão também para espaços em 
dimensões em .
Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas duas operações: 
adição e multiplicação por escalar, isto é: (Para todo vetor 
u e v pertencente ao conjunto V, a soma dos vetores u e v deve pertencer ao 
conjunto V). 
 (Para todo escalar pertencente aos números reais, 
para todo vetor u pertencente ao conjunto V, o escalar multiplicado pelo vetor 
deve pertencer ao conjunto V).
Para os conjuntos que obedecerem a estas duas operações e seus axiomas, 
chamaremos de Espaço Vetorial Real.
3
e
n

, , u v V u v V∀ ∈ + ∈
 , ,u V u Vα α∀ ∈ ∀ ∈ ∈ 
154
UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
Axiomas são verdades inquestionáveis universalmente válidas, muitas vezes 
utilizadas como princípios na construção de uma teoria ou como base para uma argumentação.
UNI
( ) ( )
( )
( )
M ) Em relação à multiplicação por escalar:
M 1) u = u
M 2) + u = u + â u
M 3) u + v = u + v
M 4) 1 u = u
Para u, v V e , 
α β α β
α β α
α α α
α β
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅
∀ ∈ ∀ ∈
M 2)
Para verificar se um conjunto é um Espaço Vetorial, deve-se aplicar todos 
os oito axiomas acima mencionados. Um exemplo simples de tentar provar um 
Espaço Vetorial é o seguinte: dado o conjunto dos números naturais ( 1, 2, 3,...), ao 
aplicarmos M1 com um escalar negativo, a resposta será um número negativo, o 
qual não está contido nos números naturais. Como encontramos um número real 
que contradiz um dos oito axiomas, este basta para identificarmos que o conjunto 
dos números naturais não é Espaço Vetorial.
O fato relatado acima foi provado a partir de observações numéricas, 
o qual não utilizaremos em nossas demonstrações, pois há a necessidade de 
generalizar cada prova para todos os valores possíveis.
Todos os elementos de um Espaço Vetorial serão chamados de vetores, 
independentemente se forem polinômios, matrizes ou números. Todos estes estão 
relacionados, pois um Espaço Vetorial é um conjunto que possui restrições para 
sua definição. Quando falado de números há os complexos, e se usássemos estes 
o nome ficaria Espaço Vetorial Complexo. Salvo esta exceção, todos os demais 
serão simplesmente chamados de Espaço Vetorial.
( ) ( )
( ) ( )
1
2
3 0 0
4 0
A) Em relação à adição :
A ) u v w u v w, u, v ,w V
A ) u v v u, u, v V
A ) V, u V ,u u
A ) u V, - u V,u - u
+ + = + + ∀ ∈
+ = + ∀ ∈
∃ ∈ ∀ ∈ + =
∀ ∈ ∃ ∈ + =
A 1)
A 2)
A 3)
A 4)
A )
TÓPICO 3 | ESPAÇOS VETORIAIS
155
Exemplo 26: O conjunto é um Espaço Vetorial 
com as operações de adição e multiplicação por um número real assim definidas:
• 
• 
Prove que V é um Espaço Vetorial, caso contrário, diga qual dos axiomas 
não está compreendido.
Resposta: Note que pela primeira definição do problema, sempre que 
somarmos o primeiro elemento do vetor com o primeiro do segundo, o resultado 
é a soma dos dois. Isso é também verificado com a adição do segundo elemento. 
Então, sempre que tiver que realizar o teste nos axiomas da adição, para esta 
questão deve-se seguir a regra descrita.
( ){ }2 , / ,V x y x y= = ∈ 
( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2, , ,x y x y x x y y+ = + +
( ) ( ), , x y x yα α α=
( ) ( )1) A u v w u v w+ + = + +
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
1 12 2 3 3 1 1 2 2 3 3
1 1 2 3 2 3 1 2 1 2 3 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
 
 , , , , , ,
 , ,
 , ,
 
u v w u v w
x y x y x y x y x y x y
x y x x y y x x y y x y
x x x y y y x x x y y y
+ + = + +
+ + = + +
+ + + + = + + + +
+ + + + = + + + +
1 A verificado
2) A u v v u+ = +
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2 2 2 1 1
1 2 1 2 2 1 2 1
2
 
 , , , ,
 
u v v u
x y x y x y x y
x x y y x x y y
+ = +
+ = +
+ + + = + + +
A verificado
3 0) A u u+ =
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1
1 1 1 1
0
0 0
3
 
, , ,
 , ,
 
u u
x y x y
x y x y
+ =
+ =
=
A verificado
156
UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
( )4 0) - A u u+ =
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1
1 1 1 1
0
0 0
0 0
0 0 0 0
4
 - 
, - ,- , 
 - , - , 
 , , 
 
u u
x y x y
x x y y
+ =
+ =
=
=
A verificado
Pela segunda definição do problema, na multiplicação por escalar a regra 
também está bem definida. Quando um escalar multiplicar um vetor, este deve 
multiplicar ambos os elementos deste vetor.
( ) ( )M1) u = uαβ α β⋅ ⋅ ⋅
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
 u = u
 x , y = x , y
 x , y = x , y
 x , y = x , y
 
 
 
 
 
 
α β α β
α β α β
α β α β α β β
α β α β α β α β
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅
M verificado
( )M2) + u = u + u α β α β⋅ ⋅ ⋅
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
 + u = u + u
 + x , y = x , y + x , y
 + x , + y = x , y + x , y
 x + x , y + y = x + x ,
 
 
 y 
α β α β
α β α β
α β α β α α β β
α β α β α β α
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
( )
2
1+ y
 
β
M verificado
( )M3) u + v = u + vα α α⋅ ⋅ ⋅
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
1 1 2 2 1 1 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
1 1 2 2
 u + v = u + v
 x , y + x , y = x , y 
 
+ x , y 
 x + x + y + y = x , y + x , y
 x + y , x + y = 
α α α
α α α
α α α α α
α
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅
⋅ ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
 x + x , y + y
 x + x , y + y = x + x , y + y
 
 
 
 
 
α α α α
α α α α α α α α
M verificado
TÓPICO 3 | ESPAÇOS VETORIAIS
157
M4) 1 u = u⋅
( ) ( )
( ) ( )
4
1 1 1 1
1 1 1 1
 1 u = u
1 x , y = x , y
 x , y = 
 
 x ,y
 
 
 
⋅
⋅
M verificado
Logo, V é Espaço Vetorial
Exemplo 27: O conjunto é um Espaço Vetorial 
com as operações de adição e multiplicação por um número real, assim definidas:
( ){ }2 , / ,V a b a b= = ∈ 
( ) ( ) ( ), , ,a b + c d = a + c b + d•
( ) ( ), , a b = a bβ β•
Prove que V é um Espaço Vetorial, caso contrário diga qual dos axiomas 
não está compreendido.
Resolução: Note que a operação de adição é analogamente igual à do 
exercício anterior com a mesma regra, por esse motivo não há a necessidade de 
provar novamente. 
Na multiplicação por escalar não temos a mesma percepção que na 
questão anterior. Note que quando um escalar multiplica um vetor, somente 
o primeiro elemento é que será multiplicado, o segundo elemento acaba não 
sofrendo nenhuma alteração, apenas é copiado novamente.
( ) ( )M1) u = uα β α β⋅ ⋅ ⋅
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
1
 u = u
 a , b = a , b
 a , b = a , b
 a , b = a , b
 
α β α β
α β α β
α β α β
α β α β
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅
M verificado
158
UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
( )M2) + u = u + uα β α β⋅ ⋅ ⋅
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )
2
 + u = u + u 
 + a , b = a , b + a , b
 + a , b = a , b + a , b
 a + a , b = a + a , b + b
 
α β α β
α β α β
α β α β
α β α β
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
M não verificado
( )M3) u + v = u + vα α α⋅ ⋅ ⋅
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
 u + v = u + v
 a , b + c , d = a , b + c , d
 a + c , b + d = a , b + c , d
 a + c , b + d = a + c , b + d
 a + c , b + d = a + c , b +
α α α
α α α
α α α
α α α
α α α α
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅
⋅
( )
3
 d
 M verificado
M4) 1 u = u⋅
( ) ( )
( ) ( )
4
 1 u = u
1 a , b = a , b
 a , b = a , b
 
⋅
⋅
M verificado
Logo, V não é Espaço Vetorial pelo axioma M2. 
3 SUBESPAÇOS VETORIAIS
Podemos pensar nos subespaços vetoriais como os subconjuntos. Os 
subconjuntos possuem elementos que estão contidos num determinado conjunto; 
por outro lado, subespaços vetoriais são espaços contidos num determinado 
espaço. Por esse motivo, os subespaços devem seguir a regra dos oito axiomas 
para serem definidos como espaços vetoriais, mas sendo eles Subespaços, haverá 
a necessidade de verificar apenas as condições:
TÓPICO 3 | ESPAÇOS VETORIAIS
159
( )
 :Na adição
u v S+ ∈
I .
 : Namultiplicação por escalar
u S
α
α
∀ ∈
∈
I I.
De fato: Seja u um vetor qualquer em S . Pela condição II, 
para todo Fazendo vem ou seja, (axioma 
Fazendo s e g u e (axioma ). Os demais axiomas 
de espaço vetorial são verificados em S pelo fato de ser 
S um subconjunto não vazio de V .
Exemplo 28: Seja , isto é, S é o conjunto de 
vetores do plano que tem a segunda componente igual a: o dobro da primeira.
Resolução:
u Sα ∈
α ∈ 0,α = 0 ,u S∈ 0 S∈ 3 A
1, = - α ( )1 - u = - u S∈ 4 A
( ){ }2 2 , |V eS x x x= = ∈ 
. ) .
1 2 1 2 3 4, , , , A A M M M e M
( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )( )
1 1 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2
2 2
2
, ,
,
,
 u + v
 x x + x x
 
 
x + x x + x
 x + x x + x
I verificado a segunda é o dobro da p( )rimeira
( )
 :Na adição
u v S+ ∈( )
 :Na adição
u v S+ ∈
I .
 : Na multiplicação por escalar
u S
α
α
∀ ∈
∈

( )
( )
( )
1 1
1 1
2
2
,
,
 u
 x x
 x x
α
α
α α
II verificado a segunda é o dobro da primeira
 : Na multiplicação por escalar
u S
α
α
∀ ∈
∈
II .
( ){ }2 2 2 2V e S x, y |y x - = = ∈ = 
Logo, S é Subespaço Vetorial de V.
Exemplo 29: Seja i s t o é , S é o
conjunto de vetores do plano que tem a segunda componente igual a: duas 
unidades menos o dobro da primeira.
160
UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
Resolução:
( )
 :Na adição
u v S+ ∈
( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )( )
1 1 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2 2
2 2 2 2
4 2
, ,
,
,
 u v
 x - x x - x
 x x - x - x
 x x - x x
+
+
+ +
+ +
I nã ( )4 o verificado a segunda é menos o dobro da primeira
 : Namultiplicação por escalar
u S
α
α
∀ ∈
∈

( )
( )
1 1
1 1
2 2
2 2
,
,
u
x x
x x
α
α
α α α
 
 - 
 - 
II não verificado a segu( )2αnda é menos o dobro da primeira
( )
 :Na adição
u v S+ ∈
I .
( )
 :Na adição
u v S+ ∈
I .
 : Na multiplicação por escalar
u S
α
α
∀ ∈
∈
II .
( )2 2 0 0, ; , , , ; ,
a b a b
V M a b c d e S a b 
c d
         = = ∈ = ∈      
         
  
Logo, S não é Subespaço Vetorial de V.
Exemplo 30: Seja 
isto é, S é uma matriz quadrada de ordem 2, onde os elementos da segunda linha 
são nulos.
Resolução:
( )
( )
1 1 2 2
1 2 1 2
0 0 0 0
0 0
 u v
a b a b
 
a a b b
 
+
   
+   
   
 + +
 
 
I verificado a segunda linha permanece nula
( )
 :Na adição
u v S+ ∈
TÓPICO 3 | ESPAÇOS VETORIAIS
161
 : Na multiplicação por escalar
u S
α
α
∀ ∈
∈
II .
 : Na multiplicação por escalar
u S
α
β
∀ ∈
∈

( )
1 1
1 1
0 0
0 0
 u
a b
 
 a b
 
β
β
β β
 
 
 
 
 
 
II verificado a segunda linha permanece nula
Logo, S é Subespaço Vetorial de V.
Algumas observações importantes:
Todo Espaço Vetorial admite pelo menos dois subespaços vetoriais: 
1. O conjunto {0}, Subespaço nulo.
2. E o próprio Espaço Vetorial 
Alguns Subespaços vetoriais:
•	 Qualquer reta do que passa pela origem é um Subespaço Vetorial do .
•	 Qualquer reta do que passa pela origem é um Subespaço Vetorial do .
•	 Qualquer plano do que passa pela origem é um Subespaço Vetorial do . 
2

2

3

3

3

3

4 COMBINAÇÕES LINEARES
Determinar novos vetores a partir de vetores dados é uma das características 
mais importantes de um Espaço Vetorial. Para isso, dizemos que um vetor ( v ) é 
a combinação linear de outros vetores de um Espaço Vetorial V , se 
existem os números reais tais que: 
Exemplo 31: Escrever o vetor v V como combinação 
linear (CL) dos vetores 
Resolução:
( )1 2, , , nv v v
( )1 2 , , , na a a 1 1 2 2 n n v = a v + a v + a v
( )4 18 7, , v - - =
( )1 1 3 2, , v = - ( )2 2 4 1, , .v = - e
162
UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
1 1 2 2v = a v a v+
( ) ( ) ( )1 24 18 7 1 3 2 2 4 1, , , , , , - - = a - + a - 
( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 24 18 7 3 2 2 4, , , , , , - - = a - a a + a a - a
1
2
2
3
 a
a - 
=
=
1 2
1 2
1 2
4 2
18 3 4
7 2
- = a + a
- = - a + a
 = a -
 
 a
 




Pela igualdade de dois vetores temos o seguinte sistema: 
Resolvendo o sistema acima encontramos uma solução:
1 22 3 v = v - vPortanto:
Esta solução pode ser encontrada com o auxílio de matrizes, pois fica bem clara 
a verificação da existência ou não da combinação linear.
IMPORTANT
E
Exemplo 32: Mostre que o vetor não é combinação linear 
(CL) dos vetores
Resolução:
( )4 1 2, , v - =
( ) ( )1 22 1 5 1 2 1, - , e , - , - .v v= =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 2 2
1 2
1 1 1 2 2 2
4 1 2 2 1 5 1 2 1
4 1 2 2 5 2
, , , , , , 
, , , , , , 
 v = a v + a v
 - = a - + a - - 
 - = a - a a + a - a 
 
- a
 
1 2
1 2
1 2
4 2
1 2
2 5
 = a + a
 = - a - 
 
 
 
a
- = a - a





Pela igualdade de dois vetores temos o seguinte sistema: 
TÓPICO 3 | ESPAÇOS VETORIAIS
163
2
2
1
2
2
7 11 26
5 3 2
2 5 8
v = x + x - 
v = x - x + 
v = - x
 
 
+ x - 
 
( ) ( )
1 1 2 2
2 2 2
1 2
2 2 2
1 1 1 2 2 2
7 11 26 5 3 2 2 5 8
7 11 26 5 3 2 2 5 8
 v= a v + a v
x + x - = a x - x + 
 
 
 
 + a 
 
- x + x - 
x + x - = x a - xa + a - x a + xa - a 
1 2
1 2
1 2
7 5 2
11 3 5
26 2 8
 
 
 = a - a
 = - a + a
- = + a - a 





1
2
3
4
a
a
=
=
2
2
1
2
2
7 11 26
5 3 2
2 5 8
v = x + x - 
v = x - x + 
v = - x
 
 
+ x - 
 
Observe que este sistema não admite solução, portanto v não pode ser 
escrito como combinação linear de vetores.
Exemplo 33: Verifique se um Espaço Vetorial dos polinômios de grau 
maior ou igual a 2, o polinômio é combinação linear dos 
polinômios:
2P
Resolução:
2 2 2
1 2
1 2
1 2
7 5 2
11 3 5
26 2 8
x = x a - x a
x = - xa + xa
- = + a -
 
 
 a 





Pela igualdade de dois vetores temos o seguinte sistema: 
Eliminando os coeficientes: 
Resolvendo o sistema acima encontramos uma solução:
1 23 4 v = v + vPortanto: 
5 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
Um Espaço Vetorial em (por exemplo) pode ser gerado por três, 
quatro, cinco ou mais vetores. Para este exemplo o número mínimo de vetores 
geradores do seria três, os demais vetores seriam combinações vetoriais 
dos outros. É de grande serventia para nossos estudos identificar a quantidade 
mínima de geradores. O estudo da dependência ou independência linear nos 
ajudará a determinar o menor conjunto gerador de um Espaço Vetorial verificando 
a dependência de vetores.
3

3

164
UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
Na imagem a seguir está sendo representada de forma geométrica a 
dependência linear de dois ou três vetores no 3
z
x
y
{ }1 2,v v é LD
1 2( v e v estão representados na 
mesma reta que passa pela origem ) 
1v
2v
z
x
y
{ }1 2 3, ,v v v é LD
1 2 3v( , v e v estão representados no 
mesma plano que passa pela origem ) 
1v
2v 3v
3

Aqui está sendo representada de forma geométrica a independência linear 
de dois ou três vetores no .
z
x
y
1v
2v
3v
{ }1 2 3 v , v , v é LI
z
x
y
1v
2v
{ }1 2 v , v é LI
Definição: Sejam V um Espaço Vetorial e 
Considere a equação 
{ }1 2, , , nA v v v V= ⊂
1 1 2 2 0n na v a v a v + + + =
TÓPICO 3 | ESPAÇOS VETORIAIS
165
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 34 3 0
4 1 0 2 3 2 2 3 2 6 1 0 0 0, , , , , , , , 
 v - v - v = 
 n - - - n - - - - = 
 
 
Sabemos que essa equação admite pelo menos uma solução: 
chamada solução trivial. (Única resposta possível é zero)
• O conjunto A diz-se linearmente independente ( LI ) , ou os vetores 
são LI caso a equação admita apenas a solução trivial.
• Se existirem soluções , diz-se que o conjunto A é linearmente dependente 
( LD ), ou que os vetores são LD .
Exemplo 34: No Espaço Vetorial , os vetores
 - mostre que é um conjunto linearmente 
dependente.
Resolução: 
Como já aprendemos em combinação linear, verificamos que há uma 
solução além da trivial:
1 20 0 0, , , na = a = a = 
1 2, , , nv v v
0na ≠
1 2, , , nv v v
3V = 
( ) ( )1 21 0 2 2 1 3, , , , ,v = - - v = - - 
( ) ( )1 21 0 2 2 1 3, , , , ,v = - - v = - - 
( )3 4 6 2, , v - =
1 1 2 2 0n na v a v a v =+ + +
e
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 2 2
1 2
1 1 2
1 2
1
0
1 2 2 0 0 0
2 2 0 0 0
2 0
2 0
, , , 
, , , 
n na v a v a v
a - + a = 
 - a a + a = 
 - a + a = 
 
 
 
 
= a
+ + + =




Portanto, os vetores são LD.
Exemplo 35: No Espaço Vetorial 
formam um conjunto LI ou LD .
Resolução:
2V =  ( ) ( )1 21 2 2 0, e , v = - = v , os vetores 
166
UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
Como este sistema admite apenas a solução trivial: 
Portanto, os vetores são LI .
Exemplo 36: No Espaço Vetorial M ( 2, 2 ) , verifique se os vetores são LI 
ou LD .
1 20 0 a = e a = 
1 - 1 2 0 0 1
A = , , 
2 - 3 1
 
- 1 - 
 
1 2
       
      
       
1 1 2 2 n n
1 2 3
31 1 2
3 31 1 2 2
 a v a v a v = 0
1 - 1 2 0 0 1 0 0
a + a + a = 
2 - 3 1 - 1 - 1 2 0 0
0 aa - a 2a 0 0 0
 + + = 
- a 2a2a - 3a a - a 0 0
 
 
 
 
 
+ + +
       
       
       
      
      
      

1 2 1 3
1 2 3 1 2 3 
1 2
1 3
1 2 3
1 2 3
a + 2a - a + a 0 0
 = 
2a + a - a - 3a - a + 2a 0 0
a + 2a = 0
- a + a = 0
 
2a + a - a = 0
- 3a
 
 
 
 
 
 - a + 2a = 0 
   
   
  






Resolução:
A única solução possível é a trivial: 
Portanto, é LI .
Exemplo 37: No Espaço Vetorial M ( 2, 2 ) , verifique se os vetores são LI 
ou LD .
1 2 3 0 a a a = = =
1 1 0 1 2 4
3 0 3 1 0 2
 
 
- - 
A = 
- - 
 , ,
       
      
       
TÓPICO 3 | ESPAÇOS VETORIAIS
167
Resolução:
1 1 2 2 n n
1 2 3
3 3 1 1 2
31 2 2
 a v a v a v = 0
1 1 0 1 - 2 - 4 0 0
 a + a + a = 
3 0 - 3 1 0 - 2 0 0
- 2a - 4aa a 0 a 0 0
 + + = 
0 - 2a3a 0 - 3a a 0 0
 
 
 
 
 
 
 
+ + +
       
       
       
      
      
      

1 3 1 2 3
1 2 2 3
1 3
1 2 3
1 2
2 3
a - 2a a + a - 4a 0 0
 = 
3a - 3a a - 2a 0 0
a - 2a = 0
a + a - 4a = 0
 
3a
 
 
- 3a = 0
a
 
 
 
 
 
- 2a = 0 
   
   
  






A única solução possível não é apenas a trivial, admitindo outras respostas: 
e 
Portanto, é LD.
Uma outra forma de verificar a dependência ou não dos vetores é pelo 
determinante de uma matriz constituída das coordenadas dos vetores. Esta forma 
só é válida para um conjunto de vetores, onde o número de vetores é igual à 
dimensão em que ele está contido, ou ainda, só é válido para matrizes quadradas. 
Quando o determinante da matriz for zero, temos que os vetores serão LD , caso 
possua valor diferente de zero os vetores serão LI.
1 32a a= 2 32a a=
0
0
det LD
det LI
= ⇒
≠ ⇒
3
Você pode estar pensando: por que isso funciona? Imagine três vetores no 
, ao calcular o volume do paralelepípedo produzido pelos vetores e obtendo 
como resposta zero, é porque há um vetor que é: ou múltiplo escalar do outro ou 
está contido no mesmo plano.
Exemplo 38: No Espaço Vetorial , os vetores 
formam um conjunto LI ou LD .
( ) ( ) ( )1 2 31 2 3 2 0 2 1 1 1v - v = - v = - , , , , , e , ,=
( ) ( ) ( )1 2 31 2 3 2 0 2 1 1 1v - v = - v = - , , , , , e , ,=
3V = 
168
UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
Resposta:
1 2 3
2 0 2 10
1 1 1
- 
det - = 
 - 
 
 
 
  
Portanto LI 
Exemplo 39: No Espaço Vetorial , os vetores 
formam um conjunto LI ou LD.
Resposta:
2V =  ( ) ( )1 22 3 6 9v = - v = - , e , 
( ) ( )1 22 3 6 9v = - v = - , e , 
2 3
0
6 9
 - 
det = 
- 
 
 
 
Portanto: LD.
6 SUBESPAÇOS GERADOS
Definição: Seja V um Espaço Vetorial e um subconjunto 
O conjunto S de todos os elementos de V que são combinação linear 
dos vetores de A é um Subespaço Vetorial de V .
{ }1 2 0nA = v v v V A, , , ,⊂ ≠
{ }1 2 0nA = v v v V A, , , ,⊂ ≠
Todos os vetores que podem ser escritos como combinação linear dos 
vetores formam também um Espaço Vetorial que é chamado 
Subespaço gerado. Os vetores são chamados geradores do 
Subespaço de S , enquanto A é o conjunto gerador de S .
Dois vetores quaisquer de S podem ser escritos por:
1 2 nv v v, , , ,
1 2 nv v v, , ,
{ }1 2 1 1 2 2 1 2n n n nv v v = a v a v a v a a a , , , ; , ,  + + + ∈ 

 
 
 
Geradores Subespaço gerado
( )
1 1 1 2 2 2
1 1 2 2
n n n
n n
w + v = a + b v + a + b v + + a + b v
 w = a v
 
+ a v + + 
 
a v
( ) ( ) ( )
( ) ( )α α α α
    
 




TÓPICO 3 | ESPAÇOS VETORIAIS
169
O subespaço S diz-se gerado pelos vetores , ou gerado pelo 
conjunto A , e representa-se por: 
Exemplo 40: Determine um conjunto de geradores para o Subespaço 
Vetorial: 
Resolução: 
Há a necessidade de tentar escrever os vetores na menor quantidade de letras:
1 2 nv v v, , ,
( )1 2 nS = v v v ou S = G A, , ,   
( ){ }3 3 0W = x y x de x - z = , , ;
( ) 3 0x y x W x - z = , , ∈ ⇔
3 0
3
x - z = 
 x = z
( ) ( )3x y x = z y z, , , , 
Portanto temos:
Pode-se perceber que o vetor de W possui duas letras. Por esse motivo 
escreveremos ele como sendo a soma de dois vetores, uma em função de z e a 
outra em função de y .
( ) ( ) ( )3 3 0 0 0z y z = z z + y, , , , , , 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 3 0 1 0 1 0
3 0 1 0 1 0
z y z = z + y 
 W = 
, , , , , , 
, , , , ,   
Em função de z Em função de y
Conjunto da combinação linear dos vetores que origina W
( ) ( ){ }3 0 1 0 1 0 , , , , , Portanto, o conjunto dos vetores geradores 
Note a diferença entre escrever os vetores com chaves { } ou com colchetes [ ].
ATENCAO
170
UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
Exemplo 41: Determine um conjunto de geradores para o Subespaço 
Vetorial 
Resolução: 
Há a necessidade de tentar escrever os vetores na menor quantidade de 
letras isolando uma delas. Uma dica importante é isolar a letra que aparece igual 
em ambos os lados neste caso:
( ){ }3 2 0W = x y x de x = z e x - y = , , ; 
( ) 2 0x y x W x = z e x - y = , , ∈ ⇔
0x - y = 
 x = y
0x - y = 
 x = y
2x = z
2y = z
( ) ( )2 2x y x = z z z, , , , 
( ) ( )
( )
2 2 2 2 1
2 2 1
z z z = z 
 W = 
, , , ,
, ,  
como:
e , temos:
Portanto temos:
Pode-se perceber que o vetor de W possui apenas uma letra. Por esse 
motivo escreveremos como sendo multiplicação de um escalar por vetor. 
Conjunto da combinação linear do vetore que origina W
Portanto, o conjunto do vetor gerador é 
Exemplo 42: Determine o Subespaço de gerado pelo conjunto ou vetor 
a seguir.
a) 
Resolução:
Temos que:
( ){ }2 2 1, , 
3
( )1 2 4v , , =
( ) ( )1 2 4x y z a, , , , =
TÓPICO 3 | ESPAÇOS VETORIAIS
171
Exemplo 43: Seja e o subconjunto: 
Determine o Subespaço G ( A ) 
Resposta:
Você notará que a única forma do sistema apresentar uma solução será 
quando (Exercite para a verificação).
Logo: 
2
4
x a
y a
z a
=
=
=
2
4
y x
z x
=
=
( ){ }
( ){ }3
2 4
2 4
 v x x x x
 ou
v x y z x y x e z x
, , ;
, , ; 
  = ∈ 
  = ∈ = = 

 
( ) ( ) ( )1 21 2 1 2 1 1x y z a - - + a , , , , , , =
1 2
1 2
1 2
2
2
a + a = x
- a + a = y
- a + a = 
 
 
 z





3 5 0x + y - z = .
( ){ }3 3 5 0v x y z x x + y - z, , ;  = ∈ =   
( )2 2V M , = 1 2 3 1
2 3 1 1
- - 
A 
- 
,
     =     
     
Com isso:
Donde:
Logo:
( ) ( ){ }1 2 1 2 1 1A - - , , , , , =b)
Resolução:Da igualdade apresentada acima temos: 
1 2
1 2 3 1
2 3 1 1
x y - - 
 = a + a
z t - 
 
     
     
     
172
UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
Da igualdade apresentada acima temos: 
1 2
1 2
1 2
1 2
3
2
2
3
- a + a = x
a - a = y
- a + a = z
a + a = t
 
 
 
 
 






Terá solução: ( ) 2- y + t yG A y e t- y t ; 
   = ∈  
   

Você deve notar que não há uma única solução possível, pois poderíamos isolar 
outras incógnitas que também gerariam o Subespaço.
IMPORTANT
E
7 DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL
0dim V = 
dimV = ∞
Seja V um Espaço Vetorial:
• Se V possui uma base com n vetores, então V tem dimensão n e anota-se 
• Se V não possui base, 
• Se V tem base com infinitos vetores, então a dimensão de V é infinita e anota-se 
Exemplo 44: Determine a quantidade de dimensões para cada item:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
2 22dim , pois toda base de tem dois vetores= 
ndim n=
( ) ( )2 2 4 dim M , matrizes=
( ) ( ) dim M m, n m n matrizes= ×
( )3 4dim P polinômios=
( )1 ndim P n polinômios= +
{ }0 0dim =
dimV n .=
TÓPICO 3 | ESPAÇOS VETORIAIS
173
Exemplo 45: Verifique se é base de 
Resposta: Testando as condições:
8 BASE
Um conjunto é uma base do Espaço Vetorial V se:
 I . (linearmente independentes)
 II. 
Para então verificar se um conjunto de vetores é base de um Espaço Vetorial, 
basta fazer as duas condições apresentadas acima. Um conjunto importante de 
vetores que constituem uma base como a apresentada a seguir é chamado de base 
canônica:
{ }1 2 nB v v v V, , , = ⊂
B é LI 
B geraV 
( ) ( ){ }1 1 1 0B - , , , = 2
( ) ( ) ( )1 1 1 0 0 0a + b - = , , , 
( ) ( ) ( )1 1 1 0x y a + b - , , , =
{ }1 é uma base canônica de •
( ) ( ){ }1 0 0 1, , , é uma base canônica de ²•
( ) ( ) ( ){ } 31 0 0 0 1 0 0 0 1, , , , , , , , é uma base canônica de •
( )1 0 0 1 0 0 0 0 2 20 0 0 0 1 0 0 1 , , , é uma base canônica de M , 
         
        
         
•
0
0
a - b = 
a = 



Pela igualdade: 
( )0a b= =Como a única solução possível é a trivial então: B é LI 
2B gera ?II .
I . B é LI?
174
UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
Como os vetores são múltiplos escalares, temos que: B é LD (Linearmente 
Dependentes)
Portanto, concluímos que B não é base de 
Portanto, concluímos que B é base de 
Exemplo 46: Verifique se é base de 
Resposta: Testando as condições:
a - b x
a y
 =

=
a y e b x - y = =
( ) ( ) ( )1 1 1 0x y = a + b - , , , 
( ) ( ) ( )( )1 1 1 0x y = y + x - y - , , , 
2B gera 
2
2
2
( ) ( ){ }1 2 2 4B , , , =
Pela igualdade: , onde temos:
Portanto:
Isto é: 
( ) ( ) ( )1 2 2 4 0 0a + b , , , =
I . B é LI?
2 0
2 4 0
a + b
a + b
 =

=
Pela igualdade: 
8.1 BASE ORTOGONAL
Diz-se que uma base de V é ortogonal se os seus vetores são 
dois a dois ortogonais.
Exemplo 47: No , o conjunto {( 1, 2, - 3 ) , ( 3, 0, 1) , ( 1, - 5 , - 3 )} é uma 
base. Verifique se é uma base ortogonal.
Resposta:
{ }1 2 nv v v, , , 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2 3 3 0 1 0
1 2 3 1 5 3 0
1 2 3 1 5 3 0
 - 
 - - - 
 - - - 
, , , , 
, , , , 
, , , , 
⋅ =
⋅ =
⋅ =
3
TÓPICO 3 | ESPAÇOS VETORIAIS
175
Uma base de um Espaço Vetorial euclidiano V é 
ortonormal se B é ortogonal e todos os seus vetores são unitários, isto é:
I. Um vetor multiplicado por outro é sempre igual a zero.
II. Um vetor multiplicado por ele mesmo é um.
O nome ortonormal vem da simples combinação de ortogonal com 
normalização, duas operações que já foram aprendidas no primeiro e no segundo 
tópico desta unidade. Uma base canônica sempre será uma base ortonormal.
Exemplo 48: Dada uma base: 
3
Como todos os vetores são ortogonais uns com os outros, é uma base 
ortogonal de .
8.2 BASE ORTONORMAL
{ }1 2 nB v v v, , ,= 
3 1 1 3
2 2 2 2
B - , , ,
     =             
3 1 1 3 0
2 2 2 2
 - , ,
   
⋅ =      
   
2 2
1
22
2
3 1 3 1 1
2 2 4 4
1 3 1 3 1
2 2 4 4
v + + 
v - + + 
   
= = =       
  
= = =       
Verifique se é uma base ortonormal.
Resposta: Pelo produto interno podemos ver que são ortogonais: 
Verificando também que os vetores são unitários:
Com isso, temos uma base que é ortonormal.
176
UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
8.3 PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM-SCHMIDT
( )2 1 1
2 1 1 1
2 1
1 1
0
0
v - w w
v w - w w
v w
 
 
 
 
 
w w 
 
 
α
α
α
⋅ =
⋅ ⋅ =
⋅
=
⋅
2 1
2 2 1
1 1
v w
w v - w
w 
 
 w
 
 ⋅
= ⋅ 
⋅ 
( )
( )
( )
( )
3 2 2 1 1 1
3 2 2 1 1 2
3 1 2 2 1 1 1 1
3 2 2 2 2 1 1 2
0
0
0
0
 
 
 
v - a w - ca w w
 
v - a w - a w w
v w - a w w - a w w
 v w - a w w
 
 - a w w
 
 
 ( )
 ( )
 ⋅ =

⋅ =
 ⋅ ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ =
Dado um Espaço Vetorial euclidiano V e uma base qualquer desse 
espaço, é possível, a partir dessa base, determinar uma base 
ortogonal de V.
De fato, supondo que não são ortogonais, considere-se e 
determine-se o valor de α de modo que o vetor s e j a 
ortogonal a :
{ }1 2 nB v v v, , ,= 
1 2 nv v v, , ,
1 1w v= 2 2 1w v - w α=
1w
Isto é: 
Assim, os vetores e são ortogonais.
Considere-se o vetor: e determina-se os valores de 
e de maneira que o vetor seja ortogonal aos vetores e 
2w
3 3 2 2 1 1w = v - a w - a w 2a
1a 3w 2w
1w
1w :
( )
3 1 1 1 1
1 2
3 2 2 2 2
0
0
0
 v w - a w w
w w temos 
 v
 
 w w w - a 
( )
, :
 
 ⋅ ⋅ =⋅ =  ⋅ ⋅ =
Como
3 1 3 2
1 2
1 1 2 2
v w v w
a 
 
 
a 
w w w w
; 
⋅ ⋅
= =
⋅ ⋅
Então: 
Ficando assim:
TÓPICO 3 | ESPAÇOS VETORIAIS
177
Exemplo 49: Seja uma base , onde 
e formam uma base não ortogonal. Usando o processo de Gram-
Schmitd, determine uma base ortogonal de .
Resposta:
3 3 2 2 1 1
3 2 3 1
3 3 2 1
2 2 1 1
 w = v - a w - a w
v
 
 
 
 w v w
w v - w - w
w w w w
 
 
   ⋅ ⋅
=    
⋅ ⋅   
1 1
2 1
2 2 1
1 1
3 2 3 1
3 3 2 1
2 2 1 1
 w v
v w
 w v - w
w w
v w v w
w v - w - w
 
 
 
 
w w
 
 w w
 
 
 
=
 ⋅
= ⋅ 
⋅ 
   ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅   
⋅ ⋅   
{ }1 2 3B v v v, ,= ( ) ( )1 20 1 1 1 1 1v v, , , , , = =
( )3 0 0 1v , , =
Assim, os vetores são ortogonais.
Os vetores ficaram definidos por:
1 2w w, 3w e
3
( )
1 1
1
 w = v
 w = 0, 1, 1
 w
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
2 1
2 2 1
1 1
2
2
v w
= v - w
w w
1, 1, 1 0, 1, 1
 w = 1, 1, 1 - 0, 1, 1
0, 1, 1 0, 1, 1
0 + 1 + 1 w = 1, 1, 1
 
- 
0
 
 
  ⋅
⋅ 
⋅ 
 ⋅
⋅  ⋅ 
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
 0, 1, 1
 + 1 + 1
 w = 1, 1, 1 - 1 0, 1, 1
 w = 1, 1, 1 + 0, - 1 , - 1
 
 
⋅ 
 
⋅
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
3 2 3 1
3 3 2 1
2 2 1 1
3w = 1, 0, 0
v w v w
 w = v - w - w
w w w w
0, 0, 1 1, 0, 0
 w = 0, 0
 
, 1 - 
1, 0, 0 1, 0, 0
   ⋅ ⋅
⋅ ⋅   
⋅ ⋅   
 ⋅
 ⋅ 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )3
0, 0, 1 0, 1, 1
 1, 0, 0 - 0, 1, 1
0, 1, 1 0, 1, 1
0 + 0 + 0 0 + 0 + 1 w = 0, 0, 1 - 1, 0, 0 - 0, 1, 1
1 + 0 + 0 0 + 1 + 1
 
 ⋅
⋅ ⋅    ⋅ 
   
⋅ ⋅   
   
( ) ( ) ( )
( )
3
3
3
1 w = 0, 0, 1 - 0 1, 0, 0 - 0, 1, 1
2
1 1 w = 0, 0, 1 + 0, - , - 
2 2
1 1 w = 0, - , 
2 2
⋅ ⋅
 
 
 
 
 
 
178
UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
2 2 2
1
2 2 2
2
2 2
2
3
0 1 1 2
1 0 0 1
1 1 1 10
2 2 2 2
 v
 v
 v - 
 
 
 
= + + =
= + + =
   
= + + = =   
   
( )
1 1
1
 w = v
 w = 0, 1, 1
 w
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
2 1
2 2 1
1 1
2
2
v w
= v - w
w w
1, 1, 1 0, 1, 1
 w = 1, 1, 1 - 0, 1, 1
0, 1, 1 0, 1, 1
0 + 1 + 1 w = 1, 1, 1
 
- 
0
 
 
  ⋅
⋅ 
⋅ 
 ⋅
⋅  ⋅ 
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
 0, 1, 1
 + 1 + 1
 w = 1, 1, 1 - 1 0, 1, 1
 w = 1, 1, 1 + 0, - 1 , - 1
 
 
⋅ 
 
⋅
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
3 2 3 1
3 3 2 1
2 2 1 1
3
 
 
 
 w = 1, 0, 0
v w v w
 w = v - w - w
w w w w
0, 0, 1 1, 0, 0
 w = 0, 0
 
, 1 - 
1, 0, 0 1, 0, 0
   ⋅ ⋅
⋅ ⋅   
⋅ ⋅   
 ⋅
 ⋅ 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )3
0, 0, 1 0, 1, 1
 1, 0, 0 - 0, 1, 1
0, 1, 1 0, 1, 1
0 + 0 + 0 0 + 0 + 1 w = 0, 0, 1 - 1, 0, 0 - 0, 1, 1
1 + 0 + 0 0 + 1 + 1
 
 ⋅
⋅ ⋅    ⋅ 
   
⋅ ⋅   
   
( ) ( ) ( )
( )
3
3
3
1 w = 0, 0, 1 - 0 1, 0, 0 - 0, 1, 1
2
1 1 w = 0, 0, 1 + 0, - , - 
2 2
1 1 w = 0, - , 
2 2
⋅ ⋅
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) 1 10 1 1 1 0 0 0
2 2
B - ' , , , , , , , , 
  
=   
  
Com isso nossa base ortogonal ficará:
( ) ( ) 1 10 1 1 1 0 0 0
2 2
B - ' , , , , , , , , 
  
=   
  
Caso necessitemos que uma base, além de ser ortogonal, seja ortonormal, 
basta pegar os vetores encontrados no processo de ortogonalização de Gram-
Schmidt e normalizar.
Exemplo 50: Com a base ortogonal encontrada no exercício 49, normalize 
para formar uma base ortonormal.
Resposta: 
Verificando o comprimento de cada vetor:
TÓPICO 3 | ESPAÇOS VETORIAIS
179
3 3
3
3
1
1 1 10
1 2 2
2
 u v
 v
u - 
 
, , 
= ⋅
 
= ⋅  
 
3
3
1 12 0
2 2
2 20
2 2
u - 
 u - 
, , 
, , 
 
= ⋅  
 
 
=   
 
( )1 1 2 20 1 0 0 0
2 22 2
B' , , , , , , , , 
    = −         
Normalizando os vetores:
( )
1 1
1
1
1
1
1 0 1 1
2
1 10
2 2
u = v
 v
u =
 
 
 
 
 
u =
, , 
, , 
⋅
⋅
 
 
 
Como já é unitário, não há a necessidade de normalizar2v
Com isso nossa base ortonormal ficará:
180
UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS
LEITURA COMPLEMENTAR
A QUARTA DIMENSÃO QUE NINGUÉM ENXERGA
Nos últimos 100 anos, o conceito de dimensão desenvolveu-se de tal 
forma que atualmente é comum aos matemáticos falarem de mundos de infinitas 
dimensões e até de objetos com número fracionário de dimensões. É bem verdade 
que, há mais de 2.000 anos, os gregos, com base nos sentidos e nos princípios 
da Geometria de Euclides, o mais famoso matemático da Antiguidade greco-
romana (século III a.C), viviam num mundo tridimensional. Eles observavam, 
como nós hoje, um mundo repleto de objetos com comprimento, largura e 
altura – tridimensionais. Natural, portanto, que considerassem o Universo 
que contém esses objetos também em três dimensões. Para Euclides, esses 
atributos – comprimento, largura e altura – correspondiam ao que chamamos 
matematicamente de dimensão. Assim, a linha passa a ser o modelo de objeto 
com apenas uma dimensão, pois tem só o comprimento.
Os objetos planos têm comprimentos e largura e, então, o plano 
passa a ser o modelo das coisas de duas dimensões. Já os sólidos, além de 
comprimento e largura, também têm altura e são os exemplos acabados de 
objetos tridimensionais. Dessa maneira, os matemáticos da época de Euclides 
concordavam com o senso comum de que o Universo é 3-D (tridimensional). 
Essa visão perdurou por séculos e a História registra algumas objeções 
célebres à ideia de uma quarta dimensão. Uma delas é atribuída ao astrônomo 
Alexandrino Ptolomeu, que ponderava: se é possível desenharmos no espaço 
três eixos perpendiculares entre si, não podemos ainda afirmar que o plano do 
Universo seja perpendicular aos outros três.
É curioso, mas nem sempre quem especula com ideias consideradas 
bizarras, que anos depois acabam se incorporando à ciência, são os cientistas. 
Um exemplo dessa visão premonitória aparece no livro Pontes para o infinito, 
de Michael Guillem, quando trata do tema dimensões. Ele relata que o 
filósofo inglês Henry More (1614-1687) insistia na existência de fantasmas 
que habitariam a quarta dimensão, suas ideias foram repelidas nos centros 
científicos.
Um caso exemplar desse preconceito é o do matemático e filósofo René 
Descartes: expandindo a linguagem da Geometria euclidiana, ele viu surgir a 
possibilidade de uma quarta dimensão e prontamente a rejeitou, por julgá-la 
irrealista. Na Geometria analítica inventada por Descartes, as dimensões de um 
objeto correspondem ao número de coordenadas necessárias para descrever com 
clareza seus pontos, o que fica bem determinado pela longitude e latitude. O 
plano é bidimensional, isto é, dois números ordenados segundo uma convenção, 
determinam um ponto desse plano. Da mesma forma, um sólido é tridimensional 
– três números ordenados localizam cada um dos seus pontos. Como destacou 
TÓPICO 3 | ESPAÇOS VETORIAIS
181
Guillem, tratavam-se de dois enfoques diferentes: o de Euclides era qualitativo, 
assentado nas qualidades da forma – comprimento, largura e altura; o de 
Descartes, quantitativo, importava o número das coordenadas para descrever 
bem o objeto. Um interpretou nossas experiências sensoriais; o outro, nossa 
compreensão lógica.
Pode parecer pouco, mas tal mudança na visão do conceito de dimensão 
ocorreu quando os homens ainda estavam presos ao pensamento euclidiano. 
E não foi fácil perceber que um objeto da quarta dimensão não passa de uma 
entidade matemática que tem necessidade de quatro coordenadas para ser 
descrito adequadamente. Isso pode parecer óbvio ao estudante moderno, mas foi 
insuficiente para vencer a resistência dos matemáticos da geração de Descartes e 
dos que se seguiram, em aceitar a possibilidade da existência lógica de algo que 
não podiam visualizar.
Há menos de um século e meio, no entanto, Bernhard Riemann, jovem 
matemático alemão, ao estender a Geometria de Euclides e de Descartes, 
desenvolveu em detalhes a ideiade uma Geometria quadridimensional. Mais 
que isso: provou que a Geometria euclidiana é uma das muitas igualmente 
lógicas e consistentes geometrias que se referem a espaços de quaisquer números 
de dimensão, do zero ao infinito. Da semente plantada por Riemann, em 1854, 
nasceu um fruto colhido por Albert Einstein, em 1915. Ele mostrou que, embora 
nosso universo pareça uma variedade 3-D, é, de fato, 4-D. Ao alargar a noção de 
dimensão ele dava o primeiro passo para se perceber a variedade espaçotemporal 
que é o Universo. [...] Mas Ptolomeu não estava inteiramente errado: a régua que 
mede comprimento, largura e altura não é a mesma que mede o tempo.
Luiz Barco é professor da Escola de Comunicações e Artes da Universidade 
de São Paulo.
FONTE: Disponível em: <http://super.abril.com.br/ciencia/a-quarta-dimensao-que-ninguem-
enxerga>. Acesso em: 15 fev. 2016.
182
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico vimos que:
• Será Espaço Vetorial se verificarmos os oito axiomas:
	
	 o Quatro em relação à adição.
	
	 o Quatro em relação à multiplicação por escalar. 
• Todo Subespaço Vetorial deve manter:
	
	 o Na adição: 
	 o Na multiplicação por escalar 
• Um vetor será combinação linear de outros se houver números reais tais que: 
• Sobre dependência e independência linear 
	
	 o O conjunto A diz-se linearmente independente ( LI ) , ou os 
vetores são LI caso a equação admita apenas a solução trivial.
	
	 o Se existirem soluções , diz-se que o conjunto A é linearmente 
dependente ( LD ) , ou que os vetores são LD .
• Subespaços Gerados a partir de um conjunto de vetores ou por uma condição 
imposta.
• Uma base deve atender a dois critérios:
	
	 o 
	
	 o 
• Representamos dim por a dimensão de um Espaço Vetorial. São exemplos:
( )u v S+ ∈
 u S : α α∀ ∈ ∈
1 1 2 2 n nv = a v + a v + + a v
1 1 2 2 0 n na v + a v + + a v = 
1 2 nv v v, , ,
0na ≠
1 2 nv v v, , ,
{ }1 2 1 1 2 2 1 2n n n n v v v = a v + a v + + a v a a a , , , ; , ,  ∈ 
  
   
Bé LI 
B geraV 
ndim n=
( ) ( )
( )1
n
n
 dim n
dim M m n = m n matrizes
 dim P = n + polinômios 
, 
 
=
×

183
• Uma base ortogonal possui todos os vetores ortogonais entre si.
• Uma base ortonormal possui os vetores ortogonais e unitários.
• O processo de Gram-Schmidt ortogonaliza os vetores de uma base.
1 1
2 1
2 2 1
1 1
3 2 3 1
3 3 2 1
2 2 1 1
 w v
v w
 w v - w
w w
v w v w
w v
 
 
 
 
 
 
- w - w
w w w w
 
 
=
 ⋅
= ⋅ 
⋅ 
   ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅   
⋅ ⋅   
184
1 Verifique quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços 
vetoriais, cite os axiomas que não verificam.
a) 
b) com as operações usuais
c) 
d) 
2 Verifique quais conjuntos abaixo são subespaço vetorial.
a) no 
b) no 
c) no 
d) no 
e) 
3 Classifique os seguintes subconjuntos do em LI ou LD
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
AUTOATIVIDADE
3
( ) ( ) ( ) x , y , z + a , b , c = x + a , y + b , z + c 
( ) ( )0 0 0k x y z = , , , , 
( ){ }2 3x x x x, , ; ∈
2
2
2
2
( ) ( ) a , b = a , b β β β
( ) ( ) ( ) x , y + z , w = x + z , y + w 
( ){ }S x y y - x , / = =
( ){ }2S = x x x, ; ∈
( ){ }2S = x y z z = x - y, , / 
( ){ }2 0S = x y z y = x e z = , , / +
0
a b
S = c = a + be d = 
c d
; 
   
  
   
3
3
3
( ){ }2 1 3- , , 
( ) ( ){ }1 1 1 1 1 1 - - - , , , , , 
( ) ( ) ( ){ }2 1 0 1 3 0 3 50 - - , , , , , , , 
( ) ( ) ( ){ }1 2 1 2 4 2 1 3 0 - - , , , , , , , , 
( ) ( ) ( ){ }1 1 2 2 1 1 1 0 3 - - - , , , , , , , , 
( ) ( )0 x , y = x ,β β
( ) ( ) ( ) x , y + z , w = x + z , y + w 
185
4 Seja o Espaço Vetorial e os vetores e . Escreva o vetor w 
como combinação linear dos vetores e .
5 Determine o valor de r para que seja LI o conjunto: 
6 Verifique quais dos conjuntos abaixo formam uma base de ou 
a)
 
b) 
c) 
d) 
e)
f) 
 
7 Considere o conjunto , onde e 
.
a) Verifique se B é uma base de .
b) Usando o processo de Gram-Schmidt, determine uma base ortogonal a 
partir de B .
c) Seja o conjunto formado pelos vetores e de B substituindo-se o 
vetor pelo vetor . Verifique se o conjunto é LI ou LD .
d) Mostre que é combinação linear dos vetores e de B .
e) Determine o espaço gerado pelos vetores e de B .
1 2 3 v v v ,
1 2 3 v v v ,
1 2 3 v v v ,
1 2 3 v v v ,
1 2 3 v v v ,
( )2 2M , 
1 2 3 v v v ,
1 2 3 v v v ,
1 2 3
1 0 1 2 0 1 1 8
1 1 0 1 2 1 0 5
- - 
v = v = e v w = 
 
, 
       
=       
       
( ) ( ) ( ){ }1 0 2 1 1 1 2 0- r - , , , , , , , , 
( ) ( ){ }0 0 2 3, , , 
( ) ( ) ( ){ }1 1 1 2 1 0 3 2 0 - - , , , , , , , , 
( ) ( ){ }1 2 1 3 - , , , 
( ) ( ) ( ){ }1 0 1 0 1 2 2 1 4 - - - , , , , , , , , 
( ) ( ) ( ){ }2 1 1 1 0 1 0 0 1 - - , , , , , , , , 
( ) ( ){ }3 6 4 8 - - , , , 
{ }1 2 3B = v v v, , ( ) ( )1 21 2 3 5 1 1v v - , , , , , = =
( )3 0 0 1v , , =
( )3 7 3 5v' , , =
( )3 7 3 5v' , , =
2 3
3
B′
Assista ao vídeo de
resolução da questão 5
186
187
UNIDADE 3
OPERADORES DE 
TRANSFORMAÇÃO
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir desta unidade você será capaz de:
• compreender o conceito de Transformação Linear;
• determinar a lei de formação de Transformações Lineares;
• definir o núcleo e imagem de uma transformação e suas bases;
• entender o Teorema da Dimensão;
• utilizar transformações lineares com o auxílio de matrizes;
• utilizar transformações lineares para o tratamento gráfico de vetores;
• mudar a base de um espaço vetorial;
• compreender e calcular autovalores e autovetores;
• diferenciar multiplicidade algébrica e geométrica;
• diagonalizar Operadores Lineares.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No final de cada um deles você 
encontrará atividades que reforçarão seu aprendizado.
TÓPICO 1 – TRANSFORMAÇÕES LINEARES
 
TÓPICO 2 – MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
 
TÓPICO 3 – AUTOVALORES E AUTOVETORES
Assista ao vídeo 
desta unidade.
188
189
TÓPICO 1
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Vimos até então, neste estudo acerca da Álgebra Linear e Vetorial, uma 
série de conceitos básicos que culminaram nas ideias de Espaços e Subespaços 
Vetoriais. Nestes conceitos podemos perceber que, a partir de conjuntos LI 
(linearmente independentes) temos a chance de reescrevê-los de modo mais 
elementar a partir de geradores: as bases!
Sendo assim, com estes conceitos bem fixados e com formas diferentes 
para representá-los, nosso próximo passo é desenvolver funções que possuem 
domínio em um espaço vetorial, e imagem em outro espaço vetorial. 
Você já deve estar imaginando que ao invés de números, estas funções irão 
ter como valores de entrada e saída, vetores. Elas também devem manter as mesmas 
propriedades das funções escalares, ou seja, conservam as operações de soma e de 
produto por um escalar, para poderem ser ditas como Transformações Lineares.
2 DEFINIÇÃO
Definição 1: Sejam U e V espaços vetoriais. Definimos a função 
como sendo uma transformação linear, se, e somente se, forem verdade as 
seguintes condições:
 
a) 
b) 
Exemplo 1: Dada a Transformação , definida por 
, informe se ela é classicada como linear.
Inicialmente, temos que compreender o universo que esta transformação 
abrange. Percebemos que ela pega vetores de , ou seja, que possuem duas 
coordenadas e os transforma em vetores de (três coordenadas). 
T U V: →
( ) ( ) ( )Tu v T u T v u v U, , ;+ = + ∀ ∈
( ) ( )T k u k T u k u U, , .⋅ = ⋅ ∀ ∈ ∀ ∈ 
T : ² ³→ 
( ) ( )2 0T x y x x y, , ,= +
2
3
UNIDADE 3 | OPERADORES DE TRANSFORMAÇÃO
190
onde a segunda condição também é satisfeita. Assim sendo, podemos 
afirmar que é linear.
Exemplo 2: Verifique se a transformação , definida por 
 é linear.
Neste exemplo, você já deve estar percebendo que trata-se de um caso 
não linear. Ora, verificamos pela estrutura encontrada que a transformação é 
associada por um modelo quadrático, certo? Porém, devemos mostrar que isto 
é verdade. Primeiramente, devemos mostrar que a transformação, dados os 
Logo a primeira condição é satisfeita. Porém, ainda temos que verificar a 
segunda:
b) 
E pela lei de formação, segue:
Resta agora, verificar se a transformação é de fato linear. Para isto, 
utilizaremos a Definição 1, lembrando que para verificar matematicamente, não 
são aceitos exemplos numéricos, então:
a) Sejam dois vetores de (vetores do domínio) . 
Temos:
, que utilizando a lei de 
formação indicada no
Exemplo 1, segue:
( ) ( )u a b e v c d de, , , ²= = 
( ) ( ) ( )( ) ( )T u v T a b c d T a c b d, , ,+ = + = + +
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
2 0
2 2 0
2 0 2 0
 a c a c b d
 a c a b c d
 a a b c c d
 T a b T c d
 T u T v 
, ,
, ,
, , , ,
, ,
.
⋅ + + + + =
+ + + + =
+ + + =
+ =
+
( ) ( )( ) ( )T k u = T k a , b = T k a , k b ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
( )( )
( )
( )
2 0
2 0
 k a k a k b 
 k a a b 
 k T u
, ,
, ,
⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =
⋅ ⋅ + =
⋅
( )T x y,
T : →  ( )T x = u²
TÓPICO 1 | TRANSFORMAÇÕES LINEARES
191
vetores , a transformação conserva a operação de soma: 
pela definição. Sabemos também que: , 
e portanto, . 
Conceitos importantes:
( )u a b,= ( )v c d,=
( ) 2 2T u v u uv v²+ = + + ( ) ( ) 2T u T v u v²+ = +
( ) ( ) ( )T u v T u T v+ ≠ +
e
• A Transformação Linear , é dita 
Transformação Nula.
• Seja uma Transformação Linear . Se , então T é dito um 
Operador Linear.
• O Operador Linear é dito um Operador 
Identidade.
Observação 1: Uma outra forma de detectar que uma transformação não é 
linear trata-se de analisar a definição e perceber que dada uma transformação linear 
, o vetor nulo do domínio, implicará no vetor nulo do contradomínio, 
ou seja, se E assim sendo, caso , a transformação 
não é linear.
( ) 0T U V talque dadou U T u V: , → ∈ ⋅ = ∈

T U V: → U V=
( )uI U U talque dadou U I u u: , → ∈ ⋅ =
T U V: →
( )0 0 0U T V .∈ ⋅ = ∈
   ( )0 0T ≠
 
Cuidado! Para provar que uma transformação é linear não basta verificar que , 
deve-se realizar o procedimento tal qual o Exemplo 1. Tente com a transformação ( )0 0T =
 
( ) ( )3 2 4T talqualT x y x y z: , , , , .→ = + 
Ao falar de Transformações Lineares, uma de suas características é 
que elas são ou podem ser encontradas apenas analisando seus coeficientes, 
referenciando-se a elementos de uma base.
Teorema 1: Sejam dois espaços vetoriais , e uma base não nula e finita 
de . Tomemos elementos quaisquer do domínio V . Sendo assim, 
existe uma transformação linear . E ainda 
se , podemos escrever:
U e V 
{ }1 nU u u, , ,
T U V talque: , → ( ) ( )1 1 n nT u v T u v, ,= =
1 1 n nu a u a u= ⋅ + + ⋅
NOTA
3 LEI DE FORMAÇÃO DE UMA TRANSFORMAÇÃO
UNIDADE 3 | OPERADORES DE TRANSFORMAÇÃO
192
Que resulta em: . (Lei de formação da 
transformação).
( ) ( ) ( )1 1
1 1
n n
n n
T u a T u a T u
 a
 
 v a v
= ⋅ + + ⋅ =
⋅ + + ⋅


Demonstração: Como podemos escrever 
temos que: , e utilizando a Definição 1, segue que:
1 1 n nu a u a u= ⋅ + + ⋅
( ) 1 1 n nT u T a u a u (= ⋅ + + ⋅
( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 1
1 1
1 1
n n
n n
n n
n n
 T a u a u
T a u T a u
 a T u a T u
 a v a
 
 
 
 v
⋅ + + ⋅ =
⋅ + + ⋅ =
⋅ + + ⋅ =
⋅ + + ⋅




( ) ( ( ) ( )
( )( ) ( ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 0 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 1 1 1 1
 T x y z T x z 
T x T y T z 
 x T y T z T 
 x y z - 
, , , , , ,
, , , , , ,
, , , , , ,
, , ,
 = ⋅ + ⋅ 
⋅ + ⋅ + ⋅ =
⋅ + ⋅ + ⋅ =
⋅ + ⋅ + ⋅
( ) ( )T x y z = x + y + z y - z, , ,
Como queríamos demonstrar.
Exemplo 3: Obtenha a lei de formação de uma Transformação Linear, 
sabendo que: 
Você deve reparar que os vetores de entrada, na transformação, 
formam uma base do espaço (a base canônica, 
diga-se de passagem). Logo, para resolver este exemplo, podemos nos basear no 
Teorema 1.
Vamos, inicialmente, tomar um vetor genérico do domínio 
. Seja ele Agora, vamos escrevê-lo como 
combinação linear dos vetores da base indicada: 
Logo, temos que: 
Agora, como já provamos que existe um vetor que é combinação linear 
dos vetores da base, podemos escrever:
T : ³ ²→  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1T = T = e T = - , , , , , , , , , ,
( ) ( ) ( ){ }1 0 0 0 1 0 0 0 1, , , , , , , ,
( )³ ( )u x y z, ,=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0x y z = a b c = a + b + c = a b c, , , , , , , , , , , , , , , ,⋅ + ⋅ + ⋅
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0x y z = a b c = a + b + c = a b c, , , , , , , , , , , , , , , ,⋅ + ⋅ + ⋅
3
x = a ; y = b ; z = c .
TÓPICO 1 | TRANSFORMAÇÕES LINEARES
193
4 IMAGEM E NÚCLEO DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
O termo “imagem”, apesar de já utilizado ao longo dos conceitos, por já 
conhecê-lo do estudo das funções, onde é o valor resultado encontrado a partir da 
utilização da função, ainda não foi formalizado. Sabemos que as Transformações 
Lineares possuem Espaços Vetoriais como Domínio e Contradomínio, e a partir 
disto, a imagem de uma transformação são os vetores do contradomínio que são 
resultados da aplicação dos vetores do domínio na Transformação. A seguir, 
vamos defini-lo formalmente:
Definição 2: Considerando a transformação linear 
A imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores do 
contradomínio V que são resultados da aplicação de pelo menos um vetor .
Simbolicamente: 
Exemplo 4: Seja a transformação dada por: 
determine a imagem dos vetores , quando 
aplicados na transformação indicada.
Perceba que estamos trabalhando com uma transformação que possui 
domínio em e contradomínio em , ou seja, toma vetores de duas 
coordenadas e os transforma em vetores de três coordenadas. Vamos verificar:
u U∈
( ) ( ){ }Im T v V talqueT u v paraalgumu U , , = ∈ = ∈
2 3T : →  ( ) ( )2T x y x x y x - y, , , = +
( ) ( )1 2 0 3u - v, , ,= = ( )1 1w - ,=
T U V: → .
.
,
e
32
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 3T u T - - - - - , , , , ,= = ⋅ + =•
( ) ( ) ( ) ( )0 3 2 0 0 3 0 3 0 3 3T v T - - , , , , ,= = ⋅ + =•
( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2T w = T - = - - - - = - - , , , , ,⋅ +•
A ideia por detrás do cálculo acima pode ser analisada no diagrama a seguir:
FIGURA 8 - REPRESENTAÇÃO DA INTERAÇÃO ENTRE OS ELEMENTOS 
DA TRANSFORMAÇÃO
2 3
( )1 2 - ,
( )0 3,
( )1 1 - ,
( )2 1 3 - , ,
( )0 3 3 - , ,
( )2 1 2 - - , ,
FONTE: O autor.
UNIDADE3 | OPERADORES DE TRANSFORMAÇÃO
194
Exemplo 5: Seja a transformação linear , dada por 
( ) ( )2 2T x y z x y y - z x z, , , ,= + + , encontre uma base para a imagem desta 
transformação.
Uma das principais aplicações dos conceitos da imagem de uma transformação 
é encontrar uma base que gera todos os seus elementos. Isto quer dizer que, a partir 
deste subespaço gerado, podemos escrever todos os vetores que pertencem à imagem 
através de combinações lineares dos vetores que compõem a base.
T : ³ ³→ 
Vejamos: e este conjunto pode 
ser reescrito da seguinte forma: 
.
Porém, note que o vetor . Logo, como ele é 
combinação linear dos outros componentes, podemos excluí-lo e aferir a seguinte 
base geradora para a imagem da transformação: .
Isto significa que todos os vetores da imagem podem ser gerados pela 
base acima.
( ) ( ){ }2 2Im T = x y y - z x z x y z, , , , , ,+ + ∈
( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 0 0 1 1 1 0 2Im T x y - z x y z, , , , , , , , ,= ⋅ + ⋅ + ⋅ ∈
( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 0 0 1 1 1 0 2Im T x y - z x y z, , , , , , , , ,= ⋅ + ⋅ + ⋅ ∈
( ) ( ) ( )1 2 0 1 0 2 2 0 1 1 = + - , , , , , ,⋅
( ) ( )1 0 2 0 1 1 - , , , , ,  
• Dada a transformação linear , a transformação é dita injetora quando 
para quaisquer 
• Dada a transformação linear , a transformação é dita sobrejetora 
quando o contradomínio é igual ao conjunto imagem, ou seja, 
• Uma transformação é dita bijetora, quando ela é injetora e sobrejetora.
T U V: →
T U V: →
( )Im T V .=
( ) ( )u v U se u v T u T v , , .∈ ≠ ⇒ ≠
Quando a tranformação , é bijetora, temos um caso de 
isomorfismo, ou seja, os Espaços Vetoriais U e V , são ditos isomorfos.
NOTA
T U V: →
Exemplo 6: Seja a transformação linear dada por 
verifique se existe algum vetor do 
domínio que possui como imagem o vetor nulo.
Como já sabemos, o vetor nulo é aquele que possui suas coordenadas 
nulas. Sendo assim, para verificar qual o vetor , irá gerar imagem tal que 
, basta resolver o sistema linear homogêneo a 
seguir:
T : ³ ²→ 
( )x y z, ,
( ) ( )2 3 2 4 6 0 0x y - z - x - y z, ,+ + =
( ) ( )2 3 2 4 6T x y z x + y - z - x - y + z, , ,= ,
TÓPICO 1 | TRANSFORMAÇÕES LINEARES
195
2 3 0
2 4 6 0
x y - z
 - x - y z
 + =

+ =
FIGURA 9 - REPRESENTAÇÃO DE ELEMENTOS DO NÚCLEO DE UMA 
TRANSFORMAÇÃO
T U V: →
U
u
w
v
V
0

FONTE: O autor
Exemplo 7: Determine o núcleo da tranformação , dada por T : ² ³→ 
( ) ( )0 0T x y x y, , ,= + .
2 3x = - y + z ( ){ }2 3S - y z y z y z, , , ,= + ∀ ∈
1 2y = e z = 
Agora, conforme visto na Unidade 1, os sitemas homogêneos possuem, 
pelo menos, uma solução, e que damos a ela o nome de solução trivial, ou seja, 
neste caso, temos o vetor (0,0,0) do domínio que implica na imagem nula. Resta 
saber se existem mais vetores que também possuem a mesma característica. 
Ora, veja que o sistema acima possui duas linhas de sua matriz aumentada 
proporcionais, logo, possuímos um caso de um sistema com infinitas soluções, 
vejamos, isolando x na primeira equação (poderia ser a segunda equação): ou 
seja, o conjunto é solução para o 
sistema. E assim temos, por exemplo, fazendo , o vetor (4,1,2) que 
também implicará na imagem nula. 
Para este conjunto de vetores, que quando aplicados em uma transformação, 
geram o vetor nulo na imagem, damos o nome de Núcleo da Transformação.
Definição 3: O núcleo de uma tranformação linear 
ser indicado por , é o conjunto formado por todos os vetores de 
U que tem como imagem o vetor nulo de V , ou seja,
( ) ( )N T ou T ker
T U V: →
( ) ( ){ }0N T u U talqueT u, = ∈ =
, que pode
.
UNIDADE 3 | OPERADORES DE TRANSFORMAÇÃO
196
Como definido, sabemos que o Núcleo da Transformação são os vetores 
( )x y, , tal que ( ) ( )0 0 0 0 0x y, , , , .+ = Ora, neste caso, basta resolver: 
 .
Assim sendo, o núcleo da transformação é dado por: 
. Este conjunto também pode ser expresso pelo subespaço gerado pela base 
( )1 1 - ,   .
Observação 2: Note que . Ou seja, existe pelo menos um vetor 
do domínio da transformação que possui imagem nula. Pois ( )0U N T∈

 
já que .
0x y x - y+ = ⇔ =
0x y x - y+ = ⇔ =
( ) ( ){ }N T - y y y, ,= ∀ ∈
( ) ( ){ }N T - y y y, ,= ∀ ∈
( )N T ≠ ∅
T U V: →
( )0 0U VT =
 
,
Por favor, se a Observação 2 não lhe foi clara, reveja a Observação 1.
NOTA
Exemplo 8: Determine o Núcleo e a Imagem da Transformação Linear 
, tal que .
Como já sabemos, por definição, o núcleo da transformação é o conjunto 
. Para tanto, devemos ter que: 
o que recai no sistema linear homogêneo a seguir:
Agora, isolando y na segunda equação e fazendo , segue que: 
, e assim sendo, o núcleo é dado por: 
. 
Para finalizar, sabemos que o núcleo de uma transformação é um 
subespaço vetorial do domínio. Portanto, reescrevendo-o na forma de combinação 
linear temos a forma o que nos permite encontrar uma base para este 
subespaço, sendo ela dada por 
Resta realizar o processo para encontrar o conjunto imagem desta 
transformação. Para isto, vamos partir da lei de formação, que é dada 
 Verificamos que podemos escrevê-la, também, 
na forma de combinação linear: 
T : ³ ²→  ( ) ( )2 3 2T x y z x - y z x y - z, , ,= + +
( ) ( ) ( )3 0 0N T u T u{ , ,= ∈ = ( ) ( ) ( )2 3 2 0 0T x y z x - y z x y - z, , , , ,= + + =
( ) ( ) ( )2 3 2 0 0T x y z x - y z x y - z, , , , ,= + + =
2 0
3 2 0
x - y z
x y z
 + =

+ − =
5z x=
3 2 3 2 5 7y - x z y - x x y x= + ⇒ = + ⋅ ⇒ =
( ) ( ){ }7 5N T x x x x, , ,= ∀ ∈
( )1 7 5x , ,⋅
( )1 7 5, , .  
( ) ( )2 3 2T x y z x - y z x y - z, , ,= + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 2 3 2 2 3 1 1 1 2x - y z x y - z x x - y y z - z x y - z - , , , , , , ,+ + = + + = ⋅ + ⋅ + ⋅
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 2 3 2 2 3 1 1 1 2x - y z x y - z x x - y y z - z x y - z - , , , , , , ,+ + = + + = ⋅ + ⋅ + ⋅
por 
.
.
TÓPICO 1 | TRANSFORMAÇÕES LINEARES
197
Desta forma, podemos escrever a imagem da transformação como o 
conjunto formado a partir desta combinação linear encontrada. Ou seja: 
 . 
Observação 3: Note que o contradomínio deste exemplo é o espaço 
que possui dimensão 2. Portanto, para determinar uma base para a imagem, esta 
não pode ser , pois veja que este conjunto é formado por 
três vetores, logo, de dimensão 3. Porém, note que o vetor é LD com os 
outros dois vetores do conjunto, e, por este fato, podemos descartá-lo e gerar a 
base para a imagem tal como: 
( ) ( ) ( ) ( ){ }2 3 1 1 1 2Im T x y - z - x y z, , , , , ,= ⋅ + ⋅ + ⋅ ∀ ∈
2
( ) ( ) ( )2 3 1 1 1 2 - - , , , , ,   ( )1 2 - ,
( ) ( )2 3 1 1- , , , .  
,
5 TEOREMA DO NÚCLEO E IMAGEM DE UMA 
TRANSFORMAÇÃO
Os conceitos de Núcleo e Imagem de uma transformação possuem uma 
forte ligação. A partir dele, podemos identificar um teorema que possui uma 
grande aplicação dentro da Álgebra Linear e Vetorial. Este teorema se baseia na 
análise da dimensão de cada um dos espaços vetoriais gerados por estes conjuntos. 
Para entendê-lo melhor, vamos, inicialmente, rever o conceito de dimensão.
Definição 4: Seja U um espaço vetorial com uma base finita de elementos. 
Se ,dizemos que a base deste espaço é 0. Se ,dizemos que a 
dimensão deste espaço é igual à quantidade de elementos de uma base qualquerde U .
Exemplo 8: Determine a dimensão do Núcleo e da Imagem do Exemplo 7. 
Como visto anteriormente, os conjuntos do Núcleo e da Imagem são 
subespaços vetoriais do domínio e do contradomínio da transformação. No 
Exemplo 7 eles podem ser gerados pelas respectivas bases [( 1 , 7 , 5 )] (para o 
núcleo) e [( 2 , 3 ) , ( - 1 , 1 )] (para a imagem). Note que estas bases possuem um 
e dois elementos, nesta ordem. Assim sendo, podemos aferir que a dimensão do 
núcleo é 1, e a dimensão da imagem é 2.
Simbolicamente: 
{ }0U =

{ }0U =

( ) ( )1 2N T Im T dim e dim .= =
Outros exemplos:
• A dimensão do conjunto dos números reais é 1.
• A dimensão do conjunto formado por todos os elementos de é 2.
• A dimensão do conjunto formado por todos os pontos de é 3.
• O espaço vetorial formado pelos polinômios de grau n , possuem dimensão n .
• O espaço vetorial formado pelas matrizes de ordem n , tem dimenão n .
2
3
UNIDADE 3 | OPERADORES DE TRANSFORMAÇÃO
198
Agora que você já entendeu qual o conceito de dimensão de um espaço 
vetorial, iremos enunciar e demonstrar o Teorema do Núcleo e Imagem. Com 
certeza, você necessitará de alguns momentos de raciocínio para compreender 
esta demonstração, porém, na prática, seu entendimento é bastante simples, o 
veremos na sequência.
Teorema 2: (Teorema de Núcleo e Imagem) Seja uma transformação linear 
, onde U tem dimensão finita. Então: T U V: → ( ) ( )U N T Im Tdim dim dim= +
Demonstração: Seja ( )n N Tdim= . Se 1n ≥ , vamos escrever uma base 
1B de ( )N T formada pelos vetores { }1 2 nu u u, , , . Como ( )N T U⊂ , podemos 
completar 1B , com os vetores { }1 2 nu u u, , , , de modo que { }1 2 1 2n mu u u v v v, , , , , , ,  
, forme uma base de U . Visto isto, temos que U n mdim = + . Resta mostrar que 
( )T U mdim = e, para isto, mostraremos que ( ) ( ){ }1 mT v T v, , formam uma base 
de ( )T U .
Na prática, este teorema nos diz que, a soma das dimensões do 
núcleo e da imagem de uma transformação é igual à dimensão de seu 
domínio. No Exemplo 7 tínhamos uma transformação T : ³ ²→  , onde 
concluímos que ( ) 1N Tdim = e ( ) 2Im Tdim = . Ora, basta perceber que 
o teorema é válido para o caso, pois, ( ) ( )3 N T Im Tdim dim dim= + 
3 = 2 + 1 .
( ) ( )1 1 0n mT v T vα α+ + = ( )1 1 0m mT v vα α+ + =
1 m, ,β β ∈  1 1 1 1m m n nv v u uα α β β+ + = + + 
1 1 1 1m m n nv v u uα α β β+ + = + +  { }1 2 1 2n mu u u v v v, , , , , , , 
1 1 0m nα α β β= = = = = =  ( ) ( )1 mT v T v, ,
( ) ( ){ }1 mT v T v, , ( )T U ( )v T U∈
u U∈ ( )T u v.= { }1 2 1 2n mu u u v v v, , , , , , , 
1 1n m, , , , ,α α β β ∈   1 1 1n n m n mu u u v uα α β β= + + + + + 
1 1 1n n m n mu u u v uα α β β= + + + + +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1n n m n m n n m n m m n mv T u T u u v u T u T u T v T u T v T uα α β β α α β β β β= = + + + + + = + + + + + = + +    
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1n n m n m n n m n m m n mv T u T u u v u T u T u T v T u T v T uα α β β α α β β β β= = + + + + + = + + + + + = + +     ( )1 2 nu u u N T, , , .∈
( )1 2 nu u u N T, , , .∈
1 1 m mv vα α+ +
então . Isto é
Desta forma, existem , tais que 
 isto é, como formam uma base de U,
segue que e, portanto, são linearmente
independentes.
Se
Mostremos agora que geram . Seja .
Logo existe ,tal que Como 
, tais que,
formam
uma base de U, existem 
 e daí, 
,já que
 Como queríamos demonstrar.
Exemplo 9: Determinar uma transformação linear 
 
Podemos, a partir do enunciado, afirmar que o conjunto {(1,1,2,1) , 
(2,1,0,1)} forma uma base de ( )Im T , e como já visto, temos que ( ) 2Im Tdim = . 
Agora, utilizando o Teorema 2 (Teorema do Núcleo e Imagem), segue que:
4T : ³ → 
( ) ( ) ( )1 1 2 1 2 1 0 1Im T , , , , , , , =  
, tal que
.
TÓPICO 1 | TRANSFORMAÇÕES LINEARES
199
( ) ( )
( )
( )
3
3 2
1
N T Im T
 N T
 N T
dim dim dim
dim
dim
= +
= +
=

Escolhendo agora uma base para (note que escolhemos o 
primeiro termo da base canônica, por termos de facilidade), podemos completá-
la a fim de atingir uma base de 3  , como sendo {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} (base 
canônica). 
( ) ( ){ }1 0 0N T , ,=
Descartando-se o elemento do núcleo, percebemos que 
formam uma base de Im ( T ) , e como já vimos, podemos desta forma escrever:
• T (1,0,0) = (0,0,0,0),pelo fato de pertencer ao núcleo.
• T (0,1,0) = (1,1,2,1)
• T (0,0,1) = (2,1,0,1)
Agora, conforme visto no Exemplo 3, podemos escrever:
( ) ( ){ }0 1 0 0 0 1T T, , , , ,
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 0 1 1 2 1 2 1 0 1
0 0 0 0 2 2 0
2 2
T x y z x T y T z T 
T x y z x y z 
T x y z y y y y z z z 
T x y z y z y z y y z
, , , , , , , ,
, , , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , ,
, , , , ,
= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒
= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒
= + + ⇒
= + + +
Exemplo 10: Seja .
a) Indique o núcleo de T, uma base e sua dimensão.
b) Determine a dimensão da imagem da transformação.
a) Para determinar o núcleo da transformação, devemos verificar que teremos 
. A partir daí, segue que 0z = e 0x - y x y= ⇒ = 
Portanto, o conjunto do núcleo é dado por ( ) ( ){ }0N T x x x, , , .= ∀ ∈ Note 
agora, que podemos escrever ( ){ }1 1 0x x, , ,⋅ ∀ ∈ , ou seja, o conjunto LI 
[( 1,1,0 )] é uma base para ( )N T , e assim ( ) 1N Tdim .= 
b) Utilizando o Teorema 2, que diz que: ( ) ( )U N T Im Tdim dim dim , = + podemos 
assumir:
( ) ( )T T x y z z x y z: ³ ³ , dada por , , , ,→ = − 
( ) ( ) ( )0 0 0T x y z z x y z, , , , , ,= − = .
UNIDADE 3 | OPERADORES DE TRANSFORMAÇÃO
200
( ) ( )
( )
( )
3
3 1
2
N T Im T
 Im T
 Im T
dim dim dim
dim
dim .
= +
= +
=

( ) ( )
( )
( )
3
3 1
2
N T Im T
 Im T
 Im T
dim dim dim
dim
dim .
= +
= +
=

Resultados Importantes:
1) Se uma Transformação T, possui N(T) = { }0

 , T é injetiva.
2) Se uma Tranformação é tal que , temos que T é 
injetiva e sobrejetiva.
T U V: → U Vdim dim=
Lembrando que se uma transformação é injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo, 
dizemos que ela é bijetiva.
NOTA
201
RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico vimos que:
• Para uma transformação ser dita linear, ela necessita conservar as operações de 
adição e multiplicação por escalar, tais que:
a) 
b) 
• A Transformação Linear , é dita 
Transformação Nula.
• Seja uma Transformação Linear , T então é dito um 
Operador Linear.
• O Operador Linear é dito um 
Operador Identidade.
• A imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores do 
contradomínio V que são resultados da aplicação de pelo menos um vetor 
 .
• O núcleo de uma tranformação linear , que pode ser indicado por 
( ) ( )N T ou T ker , é o conjunto formado por todos os vetores de U que tem como 
imagem o vetor nulo de V , ou seja, .
• A soma das dimensões do núcleo e da imagem de uma transformação é igual à 
dimensão de seu domínio, ou seja: .
( ) ( ) ( )T u v T u T v u v U, , ;+ = + ∀ ∈
( ) ( )T k u k T u k u U, , .⋅ = ⋅ ∀ ∈ ∀ ∈ 
( ) 0T U V talque dadou U T u V: , → ∈ ⇒ = ∈

T U V U V: . Se → =
( )uI U U talque dadou U I u u: , → ∈ ⇒ =
u U∈
T U V: →
( ) ( ){ }0N T u U talqueT u, = ∈ =

( ) ( )U N T Im Tdim dim dim= +
202
AUTOATIVIDADE
1 Verifique quais das transformações a seguir são lineares:
a) T(x,y) = (x – 3y, 2x + 5y)
b) T(x,y) = (x², y²)
c) T(x,y) = (x + 1, y)
d) T(x,y) = (2x + y, 4x + 2y)
2 Seja uma transformação linear tal que T(1,1) = (1,-2) e T(-1,1) = (2,3). 
Detemine a lei de formação desta transformação.
3 Determine a transformaçãolinear T: R3→R3 tal que T(1,0,-1) = (1,-1,0) e 
T(1,1,1) = (-1,1,0) T(0,1,2) = (2,1,0).
4 Seja a transformação linear T: R2→R2 definida por T(x,y) =(x,0).
a) (0,2) pertence ao N(T)?
b) (2,2) pertence ao N(T)?
5 Determine a imagem dos seguintes vetores, através da transformação 
 .
a) u = (-1, 2)
b) v = (-3, 2)
c) w = (-2, -1)
6 Seja a transformação linear T: R2→R3 definida por T (x,y) = (x + y, x - y, 2x + y). 
Encontre uma base para a Im(T).
7 Seja a transformação linear T : ³ ³→  , definida por 
a) Determine o núcleo e a imagem de T.
b) Determine bases para o núcleo e para a imagem.
c) Verifique o teorema da dimensão.
8 Determine uma transformação linear 3T : ² →  , tal que 
.
( ) ( )2 3 2T x y x - y x y x, , , = +
( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 0Im T , , , , , =  
( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 0Im T , , , , , =  
( ) ( )2 2 2 3T x , y , z = x - y - z - x + y + z , x - z , .
( ) ( )2 2 2 3T x , y , z = x - y - z - x + y + z , x - z , .
Assista ao vídeo de
resolução da questão 6
203
TÓPICO 2
MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Uma alternativa muito importante de se representar uma transformação 
linear é a forma matricial. Através dela teremos mais facilidade em compreender 
algumas transformações especiais. Iremos verificar que toda matriz e s t á 
associada a uma transformação . A seguir, iremos perceber que boa 
parte do estudo das transformações lineares podem ser reduzidos ao estudo das 
matrizes, estabelecendo o recíproco da primeira parte, onde fixando bases α e 
β , dos espaços vetoriais U e V , respectivamente, a toda transformação linear 
T U V: → , estará associada uma única matriz.
m nT : → 
m n×
2 FORMA MATRICIAL DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Inicialmente, vamos mostrar como uma matriz está associada a uma 
transformação linear a partir da Proposição 1. Para tanto, iremos imaginar uma 
tranformação dada pela multiplicação por uma matriz .
Proposição 1: Seja A uma matriz 
,onde é o produto da matriz pelo vetor coluna 
é linear.
Demonstração: Utilizando a Definição 1 (definição de uma tranformação 
linear), iremos provar que T ( u ) conserva as operações de soma e de multiplicação 
por escalar.
I) Sejam , temos que:
m n×
m n×
n mT : → 
n mT : → 
( )T u A u= ⋅ A u⋅ m nA × 1nu × ( )T u
nu v, ∈
e definida por
204
UNIDADE 3 | OPERADORES DE TRANSFORMAÇÃO
( ) ( )
( ) ( )
T u v A u v
 A u A v
 T u T v
+ = ⋅ + =
⋅ + ⋅ =
+
( ) ( )
( )
( )
T u = A u 
 = A u 
 = T u 
α α
α
α
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅
n u e α∈ ∈ II) Sejam , temos que:
Logo, T ( u ) é linear. E sendo assim, está provado que toda matriz 
pode ser utilizada para definir uma transformação , onde a imagem 
é o produto da matriz , pelo vetor coluna .
Exemplo 11: Escreva as transformações 
lineares respectivamente, pelas matrizes:
 m nA ×
 m nA ×
n mT : → 
( )AT u 1nu ×
A B C DT T T T, , , , determinadas,
2 1 1
2 3
3 1 1 2 3 0 0
4 1
2 0 5
- 
A B C = - D = 
- 
-
 
 
 
 
 
 
, , , 
   
     = =       
       
Resolução: A matriz A é de ordem 3 x 2, logo, ela está associada a uma 
transformação , onde temos que ela é definida pela multiplicação da 
matriz A pelo vetor genérico do domínio , na forma coluna.
T : ² ³→ 
( )x y,
( )
2 1
3 1 2 3 2
2 0
A 
- 
x
T = x - y x y x
y
, ,
 
  = ⋅ +  
   
( )2 3 2 3 44 1B
x
T = x y x - y
- y
 ,
   
= ⋅ +   
   
Já por sua vez, a matriz B é de ordem 2 x 2, e está associada à transformação 
tal que:T : ² ³→ 
TÓPICO 2 | MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
205
x y z ., , , ( ) ( )2 3 0 5C DT x y - z e T x - z , ,= + =
Analogamente, note que as transformações resultantes são dadas pela 
quantidade de colunas da matriz, que representa o número de componentes da 
transformação e onde o valor indicado em cada coluna representa o coeficiente de 
cada incógnita Assim sendo: .
3 MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Nosso próximo estágio é definir a recíproca do item anterior, ou seja, 
mostrar que dada uma transformação linear , está associada uma única 
matriz. Para tanto, devemos fixar uma base α para U e para V . Sem perda de 
generalidade, utilizaremos .
• Sabemos também, que um vetor pode ser escrito conforme 
 como combinação linear dos vetores da base α , ou seja: .
 
 
• Definimos também T ( u ) , que é um vetor de V , por: 
 
 como: 
 
• E, a partir disso, definimos a matriz de uma transformação linear como sendo a 
matriz que multiplicada por , resulta em e que será representada 
por .
Simbolicamente: 
T U V: →
β
2 3U Vdim e dim= =
1 1 2 2u x u x u= +
1
2
 
x
u
xα
 
  =   
 
( ) 1 2 2 3 3T u yv y v y v= + +
( )
1
2
3
 
y
T u y
y
β
 
   =   
  
 
u
α
   ( ) T u β   
 
T
α
β
  
( ) T u u T
α
β αβ
     = ⋅    
u U∈ ,
,
 .
Observações:
• A matriz é um operador linear que transforma (coordenadas de 
u na base α em , coordenadas da imagem de u na base ).
• Sendo , com , temos com ordem 
.
• As colunas de são, respectivamente, o vetor das coordenadas das 
imagens de T dos vetores da base α em relação a .
• Fixada a dupla de bases α e , a matriz de transformação é única.
 
 
T
α
β
  
 
 
T
α
β
  
 
 
T
α
β
  
 
u
α
  
( )
 
T u
β
  
β
β
β
T U V: → U n V mdim e dim= =
m n×
206
UNIDADE 3 | OPERADORES DE TRANSFORMAÇÃO
É importante destacar que em muitos casos procura-se por uma matriz 
que represente uma transformação linear T de uma forma simples, tipo diagonal ou triangular. 
Com escolhas adequadas das bases α e β isso, em muitos casos, é possível, como veremos 
no estudo de diagonalização de operadores, mais adiante.
Exemplo 12: Encontre a matriz da tranformação linear T : ³ ²→  , dada 
p o r , com relação às bases canônicas de e 
respectivamente.
Resolução: As bases canônicas de 3 e 2 são ( ) ( ) ( ){ }1 0 0 0 1 0 0 0 1, , , , , , , ,α = 
e ( ) ( ){ }1 0 0 1, , ,β = , respectivamente. Sendo assim, temos que:
ou seja, conforme definido anteriormente, estamos escrevendo a imagem dos 
vetores da base de 3 , como combinação linear dos vetores da base de 2 . 
Observe que o resultado será:
 
 
T
α
β
  
( ) ( )T x y z x y x - z, , ,= + 3 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 0 0 1 1 1 0 0 1
0 1 0 1 0 1 0 0 1
0 0 1 0 1 1 0 0 1
 T a b 
 T c d 
T - e f 
, , , , ,
, , , , ,
, , , , ,
= = ⋅ + ⋅
= = ⋅ + ⋅
= = ⋅ + ⋅
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 0 0 1 1 1 1 1
1 0 1 0 0 1 1 0 1 0
0 1 1 0 0 1 0 1 0 1
 a b a b a e b 
 c d c d c e d 
 - e f - e f e e f - 
, , , , , .
, , , , , .
, , , , , .
= ⋅ + ⇒ ⇒ = ⇒ = =
= ⋅ + ⇒ ⇒ = ⇒ = =
= ⋅ + ⇒ ⇒ = ⇒ = =
• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 0 0 1 1 1 1 1
1 0 1 0 0 1 1 0 1 0
0 1 1 0 0 1 0 1 0 1
 a b a b a e b 
 c d c d c e d 
 - e f - e f e e f - 
, , , , , .
, , , , , .
, , , , , .
= ⋅ + ⇒ ⇒ = ⇒ = =
= ⋅ + ⇒ ⇒ = ⇒ = =
= ⋅ + ⇒ ⇒ = ⇒ = =
•
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 0 0 1 1 1 1 1
1 0 1 0 0 1 1 0 10
0 1 1 0 0 1 0 1 0 1
 a b a b a e b 
 c d c d c e d 
 - e f - e f e e f - 
, , , , , .
, , , , , .
, , , , , .
= ⋅ + ⇒ ⇒ = ⇒ = =
= ⋅ + ⇒ ⇒ = ⇒ = =
= ⋅ + ⇒ ⇒ = ⇒ = =•
1 1 0
1 0 1
 
 
 
T
 - 
 
α
β
 
  =   
 
Assim sendo, 
Exemplo 13: Utilizando a matriz do exemplo anterior, se 
calcule .
Resolução: Como já visto, sabemos que ( ) T u = T u
α
β αβ
     ⋅     , ou 
seja: onde, realizando a multiplicação das 
matrizes chegamos em 
( )2 1 3u - ,=
( )
 
T u
β
  
( )
2
1 1 0
2 1 3 1
1 0 1
3
 
 
T - = 
 
 
- 
- 
, ,
β
 
     ⋅    
    
( ) 32 1 3 4 T - , , β
 
  =   
 
,
NOTA
TÓPICO 2 | MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
207
4 TRANSFORMAÇÕES PLANAS ESPECIAIS
Neste momento do nosso estudo, vamos verificar como as representações 
matriciais das transformações lineares, vistas no subtópico anterior podem nos 
auxiliar no estudo das tranformações planas de vetores. Este estudo irá visualisar 
transformações que possuem várias aplicações na computação gráfica 
e no desenho gráfico, que são fortemente utilizados nos cursos de Engenharia, 
Computação, Design, entre outros.
2 2T : → 
4.1 TRANSFORMAÇÃO DE REFLEXÃO
4.1.1 Em torno do eixo X
Expressão: ( ) ( )T x y x - y, ,= 
Forma matricial (matriz A): Podemos escrever 
Representação Geométrica: 
( ) ( ) ( ) 1 01 0 0 1 0 1x - y x y - A - , , ,
 
= ⋅ + ⋅ ⇒ =  
 
( ) ( ) ( ) 1 01 0 0 1 0 1x - y x y - A - , , ,
 
= ⋅ + ⋅ ⇒ =  
 
( x , - y )
( x , y )
 x
y
f
0
Exemplo 14: Faça a reflexão em torno do eixo X, do vetor ( )1 2u ,= .
Resolução: Para gerar a reflexão solicitada, basta multiplicar o vetor dado 
pela matriz 1 0 1 1
0 1 2 2
A = 
- - 
 
 
:
     
⋅     
     
 , ou seja, obtemos o vetor ( )1 2u - , , ′ =
que é a reflexão em torno do 
eixo X, com relação à u .
.
208
UNIDADE 3 | OPERADORES DE TRANSFORMAÇÃO
Geometricamente:
x
y
2
2
u'
u
4.1.2 Em torno do eixo Y 
Expressão: ( ) ( )T x y - x y, ,=
Forma matricial (matriz A): Podemos escrever 
Representação Geométrica: 
( ) ( ) ( ) 1 01 0 0 1 0 1 - x y x - y A = , , ,
 
= ⋅ + ⋅ ⇒  
 
( ) ( ) ( ) 1 01 0 0 1 0 1 - x y x - y A = , , ,
 
= ⋅ + ⋅ ⇒  
 
( x , y )( - x , y )
 x
y
f
0
.
TÓPICO 2 | MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
209
Exemplo 15: Faça a reflexão em torno do eixo Y, do vetor ( )2 3u - ,= . 
Resolução: Para gerar a reflexão solicitada, basta multiplicar o vetor dado 
pela matriz 
1 0 2 2
0 1 3 3
- - 
A = :
     
⋅     
     
 , ou seja, obtemos o vetor ( )2 3u , , ′ = que 
é a reflexão em torno do eixo X, com relação à u .
Geometricamente:
x
y
- 2 2
u'u
3
4.2 TRANSFORMAÇÃO DE PROJEÇÃO
4.2.1 Projeção sobre o eixo X 
Expressão: 
Forma matricial (matriz A): Podemos escrever 
Representação Geométrica: 
( ) ( ) ( ) 1 00 1 0 0 0 0 0x x + y A ., , ,
 
= ⋅ ⋅ ⇒ =  
 
( ) ( ) ( ) 1 00 1 0 0 0 0 0x x + y A ., , ,
 
= ⋅ ⋅ ⇒ =  
 
( ) ( )0T x y x, ,=
210
UNIDADE 3 | OPERADORES DE TRANSFORMAÇÃO
x
y
0 f ( v ) = ( x , 0 ) 
 v = ( x , y ) 
Exemplo 16: Faça a projeção sobre o eixo X, do vetor ( )2 4u ,= .
Resolução: Para gerar a reflexão solicitada, basta multiplicar o vetor dado 
pela matriz 
1 0 2 2
0 0 4 0
A = :
     
⋅     
     
 , ou seja, obtemos o vetor ( )2 0u , , ′ = que é
 a projeção sobre o eixo X, com relação à u .
Geometricamente:
x
y
u
u'
4
2
4.2.2 Projeção sobre o eixo Y
Expressão: ( ) ( )0T x y y, ,= 
Forma matricial (matriz A): Podemos escrever ( ) ( ) ( ) 0 00 0 0 0 1 0 1y = x y A = , , ,
 
⋅ + ⋅ ⇒  
 
( ) ( ) ( ) 0 00 0 0 0 1 0 1y = x y A = , , ,
 
⋅ + ⋅ ⇒  
 
.
TÓPICO 2 | MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
211
x
y
uu'
- 4
3
x
y
0
f ( v ) = ( 0 , y ) v = ( x , y ) 
Exemplo 17: Faça a projeção em sobre o eixo Y, do vetor ( )3 4u - ,= .
Resolução: Para gerar a reflexão solicitada, basta multiplicar o vetor dado 
pela matriz A: 0 0 3 0
0 1 4 4
 
 = 
- - 
     
⋅     
     
 , ou seja, obtemos o vetor ( )0 4u - , , ′ = 
que é a projeção sobre o eixo Y, com relação à u .
Geometricamente:
Representação Geométrica: 
4.3 TRANSFORMAÇÕES DE DILATAÇÃO OU CONTRAÇÃO 
212
UNIDADE 3 | OPERADORES DE TRANSFORMAÇÃO
4.3.1 Na direção do vetor ( )( )α ∈
Expressão: ( ) ( )T x y x y, ,α α= ⋅ ⋅ 
Forma matricial (matriz A): Podemos escrever 
Representação Geométrica: 
( ) ( ) ( ) 00 0 0 x y x y A, , , .
α
α α α α
α
 
⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ =  
 
( ) ( ) ( ) 00 0 0 x y x y A, , , .
α
α α α α
α
 
⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ =  
 
x
y
f ( v )
0
v
Exemplo 18: Faça a ampliação do vetor ( )1 2u ,= utilizando 3α = . Ou 
seja, triplicar o seu módulo.
Resolução: Para gerar a reflexão solicitada, basta multiplicar o vetor dado 
pela matriz A:
3 0 1 3
0 3 2 6
 
     
⋅ =     
     
, ou seja, obtemos o vetor ( )3 6u , , ′ = que é a 
dilatação em três vezes com relação à u .
Geometricamente:
TÓPICO 2 | MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
213
x
y
u
u'
1 3
6
2
Observações: 
a) Quando temos 0 1α< < , ocorre uma contração no vetor.
b) Quando temos 0α < , ocorre uma “inversão” no sentido do vetor.
4.3.2 Na direção do eixo X (horizontal)
Expressão: ( ) ( )T x y x y, ,α= ⋅
Forma matricial (matriz A): Podemos escrever 
Representação Geométrica: (para os casos 12
2
 e α α= = )
( ) ( ) ( ) 00 0 1 0 1 x y x y A ., , ,
α
α α
 
⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ =  
 
( ) ( ) ( ) 00 0 1 0 1 x y x y A ., , ,
α
α α
 
⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ =  
 
x
y
0
 
 
 
1 x , y 
2 ( ) x , y ( ) 2x , y 
1 x
2
 x 2x
214
UNIDADE 3 | OPERADORES DE TRANSFORMAÇÃO
Exemplo 19: Faça a ampliação do vetor ( )2 2u ,= na direção do eixo X 
utilizando 2α = e 1
2
α = .
Resolução: Para gerar a reflexão solicitada, basta multiplicar o vetor dado 
pela matriz A:
Para 
2 0 2 4
2
0 1 2 2
 :α
     
= ⋅ =     
     
 , ou seja, obtemos o vetor ( )4 2u , , ′ = que é 
a dilatação em 2 vezes com relação à u , na direção do eixo X.
Para 
1 2 101
2 2 22 0 1
 :α
      = ⋅ =          
 , ou seja, obtemos o vetor ( )1 2u , , ′ =′ 
que é a contração em 2 vezes com relação à u , na direção do eixo X.
Geometricamente:
x
y
0
u u'u'
4
2
21
4.3.3 Na direção do eixo Y (vertical)
Expressão: ( ) ( )T x y = x y, , .α
Forma matricial (matriz A): Podemos escrever 
Representação Geométrica: 
12
2
 para os casos e α α = = 
 
( ) ( ) ( ) 1 01 0 0 0x y = x + y A = , , ,α α α
 
⋅ ⋅ ⋅ ⇒  
 
( ) ( ) ( ) 1 01 0 0 0x y = x + y A = , , ,α α α
 
⋅ ⋅ ⋅ ⇒  
 
TÓPICO 2 | MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
215
x
y
y
0
y1
2
2 y
1
2( x , y )
( x , y )
( x , 2 y )
Exemplo 20: Faça a ampliação do vetor ( )1 3u ,= na direção do eixo Y 
utilizando 
Resolução: Para gerar a reflexão solicitada, basta multiplicar o vetor dado 
pela matriz 
1 0 1 1
0 2 3 6
A= = 
     
⋅     
     
 , ou seja, obtemos o vetor ( )1 6u , , ′ = que é a 
dilatação em 2 vezes com relação à u , na direção do eixo X.
Geometricamente:
2α =
x
y
u
u'
1
3
6
216
UNIDADE 3 | OPERADORES DE TRANSFORMAÇÃO
4.4 TRANSFORMAÇÕES DE ROTAÇÃO (DE UM ÂNGULO 
α NO SENTIDO ANTI-HORÁRIO)
Neste caso, iremos partir da representação geométrica para conseguirmos 
deduzir a matriz de transformação de rotação. É importante frisar que teremos 
que utilizar alguns conceitos importantes de trigonometria, e, por este fato, se 
necessário, busque apoio em outras literaturas se os conceitos, aqui, somente 
apresentados, não lhe foram claros.
Representação Geométrica:
Rθ
R v( )θ
θ
x'
y
x
α
y'
y
x
α
v
Observando a representação geométrica, percebemos que os vetores v e 
sua rotação ( ) R vθ possuem mesmo módulo. Ou seja: ( ) v = R v θ .
Agora, vamos lembrar algumas identidades trigonométricas que nos 
auxiliarão nas deduções:
a) ( )sen + = sen cos + sen cosα θ α θ θ α⋅ ⋅
b) ( )cos + = cos cos - sen senα θ α θ α θ⋅ ⋅
c)
ysen
 v 
α =
d)
xcos
 v 
α =
TÓPICO 2 | MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
217
( ) y y sen + = sen cos + sen cos = 
 v v 
y yx cos + sen = 
 v v v 
 
 y = y cos + x sen
I) α θ α θ θ α
θ θ
θ θ
⋅ ⋅ ⋅
⇒ ⋅
⇒ ⋅ ⋅
′ ′
′
′
( ) x x cos + = cos cos - sen sen = 
 v v 
x x x cos + sen = 
 v v v 
 x = x cos + y sen
II) α θ α θ α θ
θ θ
θ θ
⋅ ⋅ ⋅
⇒ ⋅
⇒ ⋅ ⋅
′ ′
′
′
E assim sendo, temos que, ao rotacionar o vetor θ unidades, seguem as 
seguintes relações:
Como o vetor ( ) ( ) R v x y,θ ′ ′= , podemos escrevê-lo tal que:
( ) ( ) R v = x cos + y sen , y cos + x sen θ θ θ θ θ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , e assim, colocando os fatores 
x e y em evidência, chegamos à matriz de rotação: 
Exemplo 21: Tome o vetor do plano ( )3 4u ,= e faça nele uma rotação de 
30º no sentido anti-horário.
Resolução: Para gerar a rotação solicitada, basta multiplicar o vetor dado 
pela matriz A dada por 
cos - sen
A = 
sen cos
:
θ θ
θ θ
 
 
 
 
 ou seja, 
obtemos o vetor ( )0 6 5u , ; , =′ que é o vetor u , após uma rotação de 30º.
3 1 3 3-4- cos30° - sen30° 3 3 0,62 2 2 
sen30° co
 
s30° 4 4 51 3 4 3+3
2 2 2
   
             ⋅ ⇒ ⋅ ⇒ ≈                 
   
   
218
UNIDADE 3 | OPERADORES DE TRANSFORMAÇÃO
5 MATRIZ DE MUDANÇA DE BASE
Muitas vezes um problema complicado pode se tornar mais simples se 
pudermos utilizar um novo sistema referencial para verificá-lo. Este fato será 
chamado de mudança de base. 
Por exemplo, ao trabalhar com Geometria Analítica, e, mais 
especificadamente ao estudar a trajetória de um corpo que descreve um contorno 
elíptico, é muito mais simples descrevê-lo se, ao invés de utilizar o sistema de 
coordenadas usual, trabalharmos num sistema onde a base são os próprios eixos 
da elipse. Imagine esta trajetória sendo descrita por 2 2x + xy + y - 3 , no sistema 
cartesiano (x,y). Ela seria descrita após a mudança de base, agora, de forma mais 
simples por 2 23u + 2v = 6 . Veja a figura:
FIGURA 10 - REPRESENTAÇÃO DE UMA MUDANÇA DE BASE DE EIXOS DE COORDENADAS
v
x
y
u
FONTE: O autor
No problema da mudança de base, o que deve ser descrito é a transformação 
dos componentes de um vetor de uma base α , para uma outra base, β . Em 
outras palavras, temos que se α e β são bases conhecidas, podemos calcular 
 
u
α
   quando conhecido u β   , e vice-versa. Esta matriz será indicada por 
 
 
I
α
β
   
e será dada por:
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
 
 
a a a
a a a
 
a a a
I
α
β

 
 
 =  
 
  
 


   

TÓPICO 2 | MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
219
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 1 1 11 0 2 1 1 1
0 3 3
2 0 1 20 1 2 1 1 1
1 3 3
a - b
 a b - a e b - 
a + b
c - d
 c d - c e d
c d
, , , 
, , , 
 =
= ⋅ + ⋅ ⇒ ⇒ = =
=
 =
= ⋅ + ⋅ ⇒ ⇒ = =
+ =
onde cada elemento ija de 
 
 
I
α
β
   é coordenada de β em relação à α . E, a partir daí, 
podemos realizar a transformação mencionada, utilizando: 
 
 
u = I u 
α
β β α
     ⋅      
ou ainda, 
 
 
u = I u 
β
α α β
     ⋅     
Exemplo 22: Sejam ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }2 1 1 1 1 0 0 1 - , , , e , , ,β α= = (base cannônica 
do 2 ).
a) Determine a matriz de mudança de base 
 
 
I
β
α
   .
b) Transforme o vetor ( )1 3u ,= , da base β para a base α .
 
Resolução: 
a) Inicialmente, como queremos tranformar no sentido de β α→ , devemos 
escrever os vetores da base α como combinação linear dos vetores da base β .
Os valores de a, b, c e d encontrados são, respectivamente os valores dos 
elementos 11 21 12 22a a a e a, , da matriz 
 
 
I
β
α
   Logo: 
1 1
3 3
1 2
3 3
 
 
-
I .
 
 
β
α
 
 
  =   
 
  
b) Para realizar a transformação, basta utilizar a relação, 
 
 
u I u
β
α α β
     = ⋅      
e utilizar o vetor 
 
u
β
   na forma matricial, logo: 
1 1
13 3
1 2 3
3 3
 
- 
 u
 
α
 
   
  = ⋅    
   
  
 
2
3
7
3
 
 
- 
u
 
α
 
 
  =   
 
  
 , ou ainda 
2 7
3 3 
u - .,
α
 
  =   
 
Exemplo 23: Considere 3 com as operações usuais. Tomemos duas de 
suas bases, são elas: ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }1 0 1 1 2 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 , , , , , , , , e , , ; , , , , ,α β= = .
220
UNIDADE 3 | OPERADORES DE TRANSFORMAÇÃO
a) Obtenha a matriz de mudança de base de α para β .
b) Calcule as coordenadas do vetor ( )2 3 1u , ,= na base β .
Resolução: 
a) Lembrando que como queremos transformar um vetor no sentido α β→ , 
devemos escrever os vetores de β como combinação dos de α . Assim, temos:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
a + b = 1
1 11,1,1 = a 1,0,1 + b 1,2,1 + c 0,0,1 2b = 1 a = , b = e c = 0
2 2
a + b + c = 1
d + e = 1
1,0,1 = d 1,0,1 + e 1,2,1 + f 0,0,1 2 e = 0 d = 1, e = 0
d + e + f = 1

⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒



⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒


( ) ( ) ( ) ( )
 e f = 0
g + h = 1
1 11,1,0 = g 1,0,1 + h 1,2,1 + i 0,0,1 2h = 1 g = , h = e i = - 1
2 2
g + h + i = 0

⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒


e sendo assim, temos que 
1 1 0
2 2
1 0 0
1 1 1
2 2
 
 
I
- 
 
 
α
β
 
 
 
  =   
 
 
 
b) Utilizando 
 
 
u I u
α
β β α
     = ⋅      , segue que 
1 1 50 22 2 2
1 0 0 3 2
1 1 1 31
2 2 2
 
u = .
- 
 
β
   
    
      = ⋅      
        
   
 
O que significa que, 5 32
2 2 
u ., ,
β
 
  =   
 
Caro(a) acadêmico(a), essa agora é com você!
A partir do Exemplo 15, obtenha a matriz de mudança de base de β para α e faça a 
transformação do vetor u = (1,2,-2).
NOTA
221
Neste tópico vimos que:
• Toda matriz m×nA poder ser utilizada para definir uma transformação 
n mT : →  , onde a imagem ( )AT u é o produto da matriz m×nA , pelo vetor 
coluna 1nu × .
• Dada uma transformação linear TU V: → , está associada uma única 
matriz. Onde para transformar um vetor a partir desta matriz, basta utilizar: 
( ) T u = T u
α
β αβ
     ⋅    
• As transformações n nT : →  possuem várias aplicações na computação 
gráfica e no desenho gráfico, que são fortemente utilizados nos cursos de 
Engenharia, Computação, Design, entre outros. São algumas delas:
	
	 o Transformações de Reflexão.
	 o Transformações de Projeção.
	 o Transformações de Dilatação ou Contração.
	 o Transformação de Rotação.
• Se α e β são bases conhecidas, podemos calcular ,
 
u
α
   quando conhecido 
 
u
β
   , e vice-versa. Esta matriz será indicada por 
 
 
u
α
β
   ou 
 
 
I 
β
α
   e será dada 
por: 
 
 
u = I u 
α
β β α
     ⋅      ou ainda, 
 
 
u = I u 
β
α α β
     ⋅     
RESUMO DO TÓPICO 2
222
AUTOATIVIDADE
1 Escreva as transformações lineares , determinadas, respectiv-
 amente, pelas matrizes:
A B C DT T T T, , , 
1 0
3 1
0 1
- 
A - - 
 
 
 =  
  
a)
1 3 2
2 0 1
0 1 1
 
- 
B - 
- 
 
 =  
  
b)
0 2 3 1C -  =  c)
2
1
1
D
- 
 
 
 =  
  
d)
2 Considere a transformação linear T : ² ²→  definida por 
( ) ( )2 2T x y x y x y, , = + + . Determine a matriz de transformação linear com 
relação à base canônica de 2 .
3 Com relação ao exercício anterior, transforme os vetores, por meio da 
matriz encontrada.
4 Considere a transformação linear T : ³ ³→  definida por 
( ) ( )T x y z x y x z y z , , , , .= + + + Determine a matriz de transformação linear 
com relação à base canônica de 3 .
( )1 2 1v - ,=a)
( )2 0 3v - ,=b)
( )3 1 2v - - ,=c)
Assista ao vídeo de
resolução da questão 4
223
5 Com relação ao exercício anterior, transforme os vetores, por meio da 
matriz encontrada.
( )1 2 1 0v - - , ,=a)
( )2 1 1 4v - , ,=b)
( )3 1 2 1v - - , ,=c)
6 Seja 3 2T : →  definida por ( ) ( )T x y z x y x y - z, , , = + + .
a) Calcule a matriz que representa T na base canônica.
b) Calcule o núcleo da transformação. T é injetiva?
c) Calcule a imagem da transformação. T é sobrejetiva?
d) T é bijetiva?
7 Esboce a imagem do vetor v = (2,1), através de:
a) Reflexão em torno do eixo x. 
b) Reflexão em torno do eixo y.
8 Esboce a projecão do vetor v = (2,4)
a) Sobre o eixo X:
b) Sobre o eixo Y:
9 Esboce a imagem do vetor v = (6,3), através de:
a) Contração de fator 1/2 na direção x.
b) Dilatação de fator 2 na direção x.
c) Contração de fator 1/3 na direção y.
d) Dilatação de fator 3 na direção y.
 
10 Esboce a imagem do retângulo de vértices A(0,0) , B(6,0) , C(6,3) e D(0,3) , 
através de:
a) Contração de fator 1/3 na direção x. 
b) Dilatação de fator 2 na direção x.
c) Contração de fator 1/2 na direção y.
d) Dilatação de fator 3 na direção y.
224
11 Determine a matriz que gera um ponto do plano em torno da origem um 
ângulo de:
a) 450 
b) - 600
12 Esboce a imagem do vetor:
a) v = (2,4) através de uma rotação de 900.
b) v = (3, 3 ) através de uma rotação de - 30
0.
13 Sejam ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }4 2 2 2 1 0 0 1- , , , e , , ,β α= = (base cannônica do 2 ).
a) Determine a matriz de mudança de base 
 
 
I
β
α
  
b) Transforme o vetor ( )1 3u - ,= , da base β para a base α .
14 Considere 3 com as operações usuais. Tomemos duas de suas bases, são 
elas: ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }3 0 3 3 6 3 0 0 3 1 1 1 1 0 1 1 1 0 , , , , , , , , e , , ; , , , , ,α β= =
a) Obtenha a matriz de mudança de base de α para β .
b) Calcule as coordenadas do vetor ( )2 1 0u - , ,= na base β .
15 Sabendo que A = {(1,2),(- 3,- 5)} e B = {(1,1),(1,0)} são base do 2 , determine:
a) Bν , sabendo que 1 1A = - ( , )ν 
b) Aν , sabendo que 2 1B = - ( , )ν
225
TÓPICO 3
AUTOVALORES E AUTOVETORES
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Em muitos problemas, principalmente os encontrados nas áreas de 
Mecânica Quântica, Processamento de Imagens, Análise de Vibrações, Mecânica 
dos Sólidos e Estatística, onde são apresentados operadores lineares T V V: → , 
para os quais a equação ( )T u uλ= ⋅ , possuem soluções não nulas. O uso dos 
autovalores e autovetores é muito importante, por se tratar de uma possibilidade 
de encontrar mudanças de referencial que possibilitam identificar a relação entre 
figuras geométricas e suas equações no plano e no espaço.
Além disso, as aplicações dos autovalores e autovetores se ampliam para 
o estudo das matrizes. Em particular, sabemos que uma das aplicações deste 
estudo viabiliza a inversão e a diagonalização de matrizes.
2 DEFINIÇÃO
Seja T V V: → , uma transformação linear (operador linear). Se existirem 
0v V com v e , λ∈ ≠ ∈

  , tais que ( )T u uλ= ⋅ , então λ é um autovalor e v é 
um autovetor de T associados à λ .
Observação: Note que λ pode ser o número 0, porém v não pode ser o 
vetor nulo.
Sendo assim, de acordo com Boldrini (1984, p. 87), no conceito de autovalor 
e autovetor estamos interessados em saber que vetores não nulos são levados a 
um múltiplo de si mesmo através de uma transformação. Neste caso, teremos 
( )T v será um vetor na mesma direção de v .
UNIDADE 3 | OPERADORES DE TRANSFORMAÇÃO
226
( )T v
v
( )T v = vλ ⋅
Na prática:
I) Seja 2 2T : →  dado por ( ) ( )2 2T x y x y, ,= . Podemos escrevê-lo como 
( ) ( )2T x y = x y, ,⋅ . Ou seja, neste caso 2λ = é um autovalor de T e qualquer 
vetor ( ) 0x y, ≠

 é um autovetor associado à 2λ = .
II) Seja 2 2T : →  dado por ( ) ( )T x y x - y, ,= . Este caso possui dois autovalores:
a) Note que se ( ) ( ) ( )0 0 1 0T y = - y = - y, , ,⋅ . Portanto, 1 1 - λ = é um autovalor 
de T e todo vetor ( )0 y, com 0y ≠ é um autovetor de T.
b) Veja que se ( ) ( ) ( )0 0 1 0T x = x = x, , ,⋅ . Portanto, 2 1 λ = é um autovalor de T 
e todo vetor ( )0x, com 0x ≠ é um autovetor de T.
Interpretação Geométrica:
T(v)
T(u)
u
v
u é autovetor de T, pois ( ) R / T u = u .λ λ∃ ∈ 
v não é autovetor de T, pois não ( ) R / T v = λ∃ ∈
TÓPICO 3 | AUTOVALORES E AUTOVETORES
227
Exercício: Quais são as matrizes associadas às transformações lineares dos Itens 
I e II acima?
NOTA
3 AUTOVALORES E AUTOVETORES DE UMA MATRIZ
Inicialmente, devemos lembrar que toda transformação linear T V V: → 
está associada a uma matriz quadrada de mesma dimensão de V em relação à base 
canônica. Sendo assim, representando a matriz identidade como I , temos que:
( )
( )
0
0
0
T v v A v 
 A v - v
 A v - I v
 A - I v
 
 
 
λ λ
λ
λ
λ
= ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅
⇔ ⋅ ⋅ =
⇔ ⋅ ⋅ ⋅ =
⇔ ⋅ ⋅ =
λ
A partir daí, sabe-se que o sistema homogêneo acima só admitirá várias 
soluções, se: ( ) 0A Idet λ− ⋅ = 
Esta equação é denominada Polinômio Característico da Transformação. 
As raízes desta equação são os autovalores associados à transformação e às 
soluções da equação: ( ) 0A - I v λ ⋅ ⋅ = são os autovetores associados à . 
Exemplo 24: Encontre os autovalores e autovetores do operador linear: 
( ) ( )2 2 3 4 2T dada por T x y = - x y - x y: , , ,→ + +  .
Resolução: Utilizando o polinômio característico, vamos encontrar os 
autovalores associados à transformação:
( )
( ) ( )
2
0
3 4 1 0
0
1 2 0 1
3 4 0
0
1 2 0
3 4
0
1 2
3 2 4
2 0
 A - I 
- 
 - 
- 
- - 
 - 
- - 
- -
 
- -
- - - 
 - polinômio caracterís
det 
det 
det 
det
 
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ λ
λ λ
⋅ = ⇒
    
⋅ = ⇒         
    
= ⇒         
  
= ⇒    
⋅ + ⇒
+ = ⇒ tico de T .
UNIDADE 3 | OPERADORES DE TRANSFORMAÇÃO
228
Cujas raízes (e portanto, os autovalores) são 1 12 1 - e λ λ= =
 
Agora, para cada um dos autovalores encontrados, existe(m) autovetor(es) 
associado(s). Sabemos também que a expressão ( ) 0A - I v = λ ⋅ ⋅ calcula os 
autovetores de uma transformação, então, pelo que foi resolvido antes temos que:
3 4 0
1 2 0
- - x
 = 
- - y
.
λ
λ
     
⋅     
      
a) Substituindo 1 2 - λ = na expressão acima, temos que: 
ou seja, um sistema possível e indeterminado (infinitas soluções), o que nos faz 
concluir que os autovetores associados à 1 λ tem a forma: ( )4 0v y y com y, , = ≠ , 
ou ainda 0
4
xv = x com x, ,   ≠ 
 
 .
( )
( )
3 2 4 0 1 4 0 4 0
4
0 1 4 0 4 01 2 2
- - - x - x - x y
 = = x y
y - y - x y- 
 
 - - 
 
             + =
⋅ ⇒ ⋅ ⇒ ⇒ =            + =             
( )
( )
3 2 4 0 1 4 0 4 0
4
0 1 4 0 4 01 2 2
- - - x - x - x y
 = = x y
y - y - x y- 
 
 - - 
 
             + =
⋅ ⇒ ⋅ ⇒ ⇒ =            + =             
3 1 4 0 4 4 0 4 4 0
1 2 1 0 1 1 0 0
- - x - x - x + y
 = = x = y
- - y - y - x + y
 
             =
⋅ ⇒ ⋅ ⇒ ⇒            =            
( ) ( )0 0v = y y com y v x x com x, , ou , , .≠ = ≠
( ) ( )3 3 3 5 3T T x y z = x - y z - x y z x - y z: , , , , ,→ + + + + 
3 1 1
1 5 1
1 1 3
- 
A = - 
- 
 
 
 
 
  
b) Substituindo 2 1 λ = na expressão acima, temos que:
que também é um sistema possível e indeterminado, o que novamente nos faz 
concluir que os autovetores associados à 2 λ tem a forma: 
Exemplo 25: Determinar os autovalores e autovetores do operador linear:
( ) ( )0 0v = y y com y v x x com x, , ou , , .≠ = ≠
Resolução: Este exemplo é um operador em 3 , e exigirá um pouco 
mais de trabalho do que o exemplo anterior. Inicialmente, vamos representar o 
operador (transformação) na forma matricial.
O próximo passo, como já visto, é encontrar o polinômio característico e 
encontrar suas raízes (autovalores do operador):
TÓPICO 3 | AUTOVALORES E AUTOVETORES
229
( )
3 1 1 1 0 0
0 1 5 1 0 1 0 0
1 1 3 0 0 1
3 1 1 0 0
1 5 1 0 0
1 1 3 0 0
- 
 A - I = - - = 
- 
- - 
 - - 
- - 
 
 
 
det det
det
λ λ
λ
λ
λ
    
    ⋅ ⇒ ⋅    
        
   
   ⇒ +   
     
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2
0
3 1 1
1 5 1 0
1 1 3
3 5 3 5 3 3 0
11 36
 = 
 - - 
 - - = 
- - 
 - - - - - - - + - = 
 - - 
det
. .
λ
λ
λ
λ λ λ λ λ λ
λ λ λ
 
 
 
  
 
 ⇒  
  
⇒
⇒ + + 36 0 = 
Perceba que encontramos uma equação de 3º grau. Para resolvê-la, iremos 
pelo método da tentativa encontrar a primeira raiz:
Assim sendo, colocando 2 - ( )λ em evidência: 
Logo, os autovalores são: 1 2 32 3 6 = e , λ λ λ= = . Agora, para encontrar 
os autovetores basta substituí-los na expressão ( ) 0A - I v = . λ ⋅ ⋅
( ) ( )2 2 32 9 18 0 3 6 - - + = = e = . λ λ λ λ λ⇒
( ) ( )2 2 32 9 18 0 3 6 - - + = = e = . λ λ λ λ λ⇒
a) Para 1
1 1 1 0 0
2 1 3 1 0 3 0
1 1 1 0 0
 
- x x - y z = 
- y = - x y z = 
- z x - y z = 
 : , λ
       +
     = ⋅ ⇒ + +     
      +      
 onde, desta 
vez, resolvendo por escalonamento recorre que:
1 1 1 1 1 1 1 0 1
1 3 1 0 2 0 0 1 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0 0
- - 
- z - x e y = 
- 
 
 
 
 
~ ~ 
     
      ⇒ =     
          1 1 1 1 1 1 1 0 1
1 3 1 0 2 0 0 1 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0 0
- - 
- z - x e y = 
- 
 
 
 
 
~ ~ 
     
      ⇒ =     
          
I) Aplicando λ = 0 na equação chegamos em: - 36 = 0. Logo λ1 > 0
II) Aplicando λ = 1 na equação chegamos em: -10 = 0. Logo λ1 > 1 
III) Aplicando λ = 2 na equação chegamos em: 0 = 0. Logo λ1 = 2.
.
UNIDADE 3 | OPERADORES DE TRANSFORMAÇÃO
230
Logo, quaisquer vetor que possuir a forma ( )1 0v = x - x, , é um autovetor de 
1 2 λ = . Isto quer dizer que, qualquer vetor múltiplo de (1,0,-1) é um autovetor 
associado ao autovalor 2.
0 1 1 0 0 0
1 2 1 1 0 1
1 1 0 0 1 1
- 
- - - z = x e x = y Logo x = y = z 
- - 
 
 
~ . .
   
    ⇒   
      0 1 1 0 0 0
1 2 1 1 0 1
1 1 0 0 1 1
- 
- - - z = x e x = y Logo x = y = z 
- - 
 
 
~ . .
   
    ⇒   
      
b) Para 1
1 1 1 0 0
2 1 3 1 0 3 0
1 1 1 0 0
 
- x x - y z = 
- y = - x y z = 
- z x - y z = 
 : , λ
       +
     = ⋅ ⇒ + +     
      +      
 onde, 
 
 resolvendo por escalonamento recorre que:
Logo, quaisquer vetor que possuir a forma ( )1v x x x, ,= é um autovetor 
de 2 3 λ = . Isto quer dizer que, qualquer vetor múltiplo de (1,1,1) é um autovetor 
associado ao autovalor 3.
c) Para 3
3 1 1 0 3 0
6 1 1 1 0 0
1 1 3 0 3 0
x x y z
y x y z
z x y z
 
- - - - 
 : - - - = - - - , 
 - - - - 
λ
       + =
     = ⋅ ⇒ =     
      =      
 onde, desta vez, 
resolvendo por escalonamento recorre que:
3 1 1 0 0 0
1 1 1 0 1 2 2
1 1 3 1 0 1
z x e y z
- - 
- - - ~ - = - . 
 - - - 
 
 
   
    ⇒ =   
      3 1 1 0 0 0
1 1 1 0 1 2 2
1 1 3 1 0 1
z x e y z
- - 
- - - ~ - = - . 
 - - - 
 
 
   
    ⇒ =   
      
Logo, quaisquer vetor que possuir a forma ( )1 2v z z z, - ,= é um autovetor 
de 3 6 λ = . Isto quer dizer que, qualquer vetor múltiplo de (1, - 2,1) é um autovetor 
associado ao autovalor 6.
Exemplo 26: Se ( ) 51 1 1
2
u v- , e , = =  
 
 são autovetores de T, com relação 
aos autovalores 1 21 6e = - =λ λ respectivamente. Determine T(x,y) e a imagem 
do vetor v = (1,4) nesta transformação.
TÓPICO 3 | AUTOVALORES E AUTOVETORES
231
( ) 1 0 1 01 0 1 1 0
1 0 1 0
0 1 1 0
1 1 0
1 1 0
1
1
a b
c d
a b
c d
a b
c d
a b
c d
- 
 - - . . = 
- - 
 - . = 
 - 
- 
 . = 
- - 
 
- 
        
⇒                 
        
⇒                 
      +
⇒       +      
 +
 + + 
0 1
1 1
0 1
a b
b a e d c
c d
- 
= = = - 
- -
 
   + =
⇒ ⇒ +  + =  
( )
51 0 0
6 20 1 01
56 0 0
20 6 01
56 0
26 01
5 15
2
5 6
2
a b
c d
a b
c d
a b
c d
a b
c d
 - . . 
 - . = 
 - 
 . = 
 - 
 - 
 - 
         = ⇒                  
         ⇒                  
       ⇒              

+

 +

5 150 5 52 15 6
0 5 2 26
2
a b a cb e d
c d
 
 = 
 = = - = - 
 = 
 
+   ⇒ ⇒ + +  
    +   
Resolução: Inicialmente, neste exemplo, devemos construir a 
transformação linear que gera estes resultados citados. Para tanto, iremos 
descobrir os coeficientes dos componentes da transformação, e pelo fato de que 
trata-se de T(x,y), podemos associá-la comuma matriz 2x2, chamando seus 
elementos de a, b, c e d, respectivamente.
Sabemos que ( ) 0A I v - = λ ⋅ ⋅ , logo:
Para ( )1 1 1 1u = - e = - , , temos :λ
Para 2
56 1
2
u e ,λ
 
= =  
 
 , temos:
UNIDADE 3 | OPERADORES DE TRANSFORMAÇÃO
232
5 71 15 14 4
2 2
5 71 6 7 2
2 2
a aa a
c cc c
 = - = 
 - = - = = 
+ + ⇒ = ⇒
+ ⇒ ⇒
Daí segue que das relações assumidas vêm:
Como a = 4 e c = 2, resta calcular que b = 5 e d = 1. Assim sendo, a matriz 
da transformação é dada por 
4 5
2 1
A
 
=  
 
, e por consequência a transformação é 
( ) ( )4 5 2T x y x y x y, = ,+ + .
Por fim, para calcular a imagem do vetor (1,4) nesta transformação, basta substituí-
lo na fórmula encontrada, ou multiplicá-lo pela matriz correspondente. Vamos utilizar 
o segundo processo: ( )4 5 1 24 24 62 1 4 6 . = . O vetor transformado é v’ = , .
     
     
     
4 MULTIPLICIDADE DOS AUTOVETORES DE UMA 
TRANSFORMAÇÃO
Após entender como se dá o cálculo dos autovalores e autovetores 
associados a uma transformação, vamos aproveitar para apresentar dois 
conceitos muito importantes: o de multiplicidade algébrica e o de multiplicidade 
geométrica.
a) Chamamos de multiplicidade algébrica de um autovalor a quantidade de vezes 
que ele aparece como raiz do polinômio característico. 
Por exemplo, na transformação ( ) ( )3 3 2 2 2T T x y z x y y z z: , , , , ,→ = + +  
recaímos no polinômio característico ( )32 0 - λ = , que gera em três raízes iguais 
(caro(a) acadêmico(a), por favor, verifique!), sendo ela 1 2 3 2 λ λ λ= = = onde 
podemos dizer que 2λ = é um autovalor com multiplicidade algébrica igual a 3.
b) Chamamos de multiplicidade geométrica de um autovalor λ , a dimensão do 
subespaço gerado pelos autovetores associados à λ .
Por exemplo, na transformação do Exemplo 25, para 1 2 λ = , encontramos 
os autovetores da forma ( ) ( )1 0 1 0 1v x x x= , ,- . , ,-= que pode ser escrito na forma 
de uma base [(1,0,-1)], que possui dimensão 1. E, desta forma, dizemos que o 
autovalor 
1 2 λ = possui multiplicidade geométrica igual a 1.
TÓPICO 3 | AUTOVALORES E AUTOVETORES
233
5 MATRIZES SEMELHANTES E DIAGONALIZAÇÃO 
DE OPERADORES
As matrizes triangulares e matrizes diagonais são interessantes, pois 
seus autovalores são determinados diretamente. Portanto, seria agradável se 
pudéssemos relacionar uma matriz à outra matriz triangular ou diagonal de forma 
que ambas tivessem os mesmos autovalores. Sendo assim, vamos ao seu estudo.
5.1 MATRIZES SEMELHANTES
Definição: Sejam A e B, matrizes n n× . Dizemos que A é semelhante a B, 
e simbolizamos por A B~ , se existir P, uma matriz quadrada n n× , que admite 
inversa, tal que A P P B . = . 
Exemplo 26: Verifique se as matrizes 1 2 1 0
0 1 2 1
A B
 
 = e = 
- - 
 
 - 
   
   
   
 
são semelhantes. (Dica: utilize a matriz 
1 1
1 1
P
- 
 = 
 
 
 
 
 para realizar a verificação).
Resolução: Vamos verificar o que foi solicitado, utlizando a definição, que 
diz que inicialmente a matriz P deve possuir inversa. Vamos verificar pelo cálculo 
de seu determinante.
1 1
1 1 2 0
1 1
P
- 
det = det = = 
 
+ > 
 
 logo, a matriz P possui inversa.
Agora, vamos verificar o fato que 
 
Como os resultados foram iguais, constatamos que as matrizes A e B são 
semelhantes.
1 2 1 1 1 1 1 0
0 1 1 1 1 1 2 1
A P P B
 - - 
 . = . : . = 
 - - -
 
 
       
⋅       
       
1 2 1 1 1 1 1 0
0 1 1 1 1 1 2 1
A P P B
 - - 
 . = . : . = 
 - - -
 
 
       
⋅       
       
3 1 3 1
1 1 1 1
 - - 
 = 
- - - - 
 
   
   
   
5.2 DIAGONALIZAÇÃO
Para trabalhar com conceitos e aplicações de operadores lineares temos 
a melhor situação possível quando uma matriz quadrada é semelhante a uma 
matriz diagonal. Para uma matriz ser diagonalizável, como veremos logo a seguir, 
a possibilidade de isso ocorrer está fortemente relacionada com a semelhança de 
matrizes, bem como com os autovalores e autovetores da matriz.
UNIDADE 3 | OPERADORES DE TRANSFORMAÇÃO
234
Definição: Uma matriz A é diagonalizável se exite uma matriz diagonal D 
tal que A D~ , ou seja, existe P, uma matriz quadrada n n× , que admite inversa, 
tal que A P P D . = . 
Exemplo 27: (Caro(a) acadêmico(a), este exemplo é para você verificar!) A 
matriz 
1 3
2 2
A
 
=  
 
 é diagonalizável, pois existe 
1 3
1 2
P
 
 = 
- 
 
 
 
 invertível 
(verifique que 0Pdet ≠ ) e uma matriz diagonal 
4 0
0 1
D
- 
 
 
=  
 
 , tal que 
4 3
4 2
A P P D
- 
 . = . = 
 
 
 
 (faça as multiplicações e comprove).
Lembre-se: O entendimento de todos os exemplos deste caderno exigem uma 
verificação dos cálculos por parte do(a) acadêmico(a), mesmo os que já estão resolvidos.
NOTA
No exemplo anterior, dizemos que P é a matriz que diagonaliza A, e a 
matriz D é sua forma diagonal. Vamos agora, apresentar um teorema que nos 
permite compreender como podemos encontrar as matrizes citadas.
Teorema: A matriz A n n× é diagonalizável, se, e somente se, a matriz A 
tiver n vetores LI. 
Para explicar este teorema, temos que imaginar que A só será diagonalizável 
se as colunas da matriz P forem compostas por n autovetores linearmente 
independentes de A, e os elementos da diagonal de D forem os autovalores 
correspondentes aos autovetores.
Exemplo 28: Se possível, encontre a matriz P que diagonaliza os operadores 
lineares a seguir, bem como a sua forma diagonal.
a) ( ) ( )3 3 2 5 4T T x y z y z x y z: , , , = , , - → + 
b) ( ) ( )3 3 3 3T T x y z x z x z x z: , , , = - , - , - → + 
Resolução: 
a) Primeiramente, vamos verificar se é possível realizar o processo de 
diagonalização, a partir do cálculo dos autovalores:
TÓPICO 3 | AUTOVALORES E AUTOVETORES
235
Vamos, agora, determinar os autovetores, utilizando a relação
( ) 0A I v - = λ ⋅ ⋅ .
Para 
o que implica em autovetores da forma ( ) ( )1 1 1x x x x, , . , ,= Ou seja, 
vetores múltiplos de (1,1,1).
Para 
o que implica em autovetores da forma ( ) ( )2 4 1 2 4x x x x, , = . , , . Ou seja, vetores 
múltiplos de (1,2,4).
Ora, verificamos que não é possível existirem nestas condições três vetores 
LI para formarem a matriz P. E pelo teorema anterior, A não é diagonalizável.
0 1 0
0 0 1
2 5 4
A
- 
 
 =  
  
( )
0 1 0 1 0 0
0 0 0 1 0 1 0 0
2 5 4 0 0 1
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0
2 5 4 0 0
A Idet - = det - = 
- 
- 
 det - = 
- - 
 
λ λ
λ
λ
λ
    
    ⋅ ⇒ ⋅    
        
    
    ⇒ +    
        
( ) ( ) ( )
3 2
1 2 3
0 1 0
0 0 1 0
2 5 4
4 2 5 0
4 5 2 0
1 2e 
 - 
 det - = 
- - 
 - . - . - - = 
 - - + = 
 = = = 
λ
λ
λ
λ λ λ λ
λ λ λ
λ λ λ
 
 ⇒  
  
⇒ +
⇒ +
⇒
1 2
1 1 0 0 0
1 0 1 1 0 0
2 5 3 0 2 5 3 0
x x y
y y z x y z
z x y z
 
- - = 
: - = - = 
 - - =
 
 
λ λ
       +
     = = ⋅ ⇒ + ⇒ = =     
      +      
3
2 1 0 0 2 0
2 0 2 1 0 2 0 2 4
2 5 2 0 2 5 2 0
x x y
y y z y x e z x
z x y z
 
- - 
= : - = - 
 - - 
λ
       + =
     ⋅ ⇒ + = ⇒ = =     
      + =      
Representando o operador na forma matricial, segue:
Apóseste processo, vamos determinar e resolver o polinômio característico:
UNIDADE 3 | OPERADORES DE TRANSFORMAÇÃO
236
Observação: 1 2 1 λ λ= = tem multiplicidade algébrica igual a 2 e 3 2 λ = 
tem multiplicidade algébrica igual a 1. Cada autovalor gera somente um autovetor, 
portanto, a multiplicidade geométrica é 1, para qualquer autovalor. 
a) Vamos calcular os autovalores:
Representando o operador na forma matricial: 
1 0 1
3 0 3
1 0 1
A
- 
 - 
 - 
 
 =  
  
Após este processo, vamos determinar e resolver o polinômio característico:
( )
1 0 1 1 0 0
0 3 0 3 0 1 0 0
1 0 1 0 0 1
1 0 1 0 0
3 0 3 0 0
1 0 1 0 0
A I
- 
det - = det - - = 
 - 
- - 
 det - - 
 - - 
λ λ
λ
λ
λ
    
    ⋅ ⇒ ⋅    
        
   
   ⇒ +   
      
( ) ( ) ( )
3 2
0
1 0 1
3 0 3 0
1 0 1
1 1 0
2 0
 = 
- - 
 det - - = 
- - 
 - . - . - - = 
 
 
λ
λ
λ
λ λ λ λ
λ λ
 
 
 
 
 
 
 ⇒  
  
⇒ +
⇒ + =
1 2 30 2e - λ λ λ⇒ = = =
Determinando os autovetores, utilizando a relação ( ) 0A I v - = λ ⋅ ⋅
1 2
1 0 1 0 0
0 3 0 3 0 3 3 0
1 0 1 0 0
x x z
y x z x z e y y
z x z
 
- - 
: - = - = . 
- - 
λ λ
       + =
     = = ⋅ ⇒ = ⇒ =     
      =      
3
1 0 1 0 0
2 3 2 3 0 3 2 3 0 3
1 0 1 0 0
x x z
y x y z x z e y z
z x z
 
 
 - : - = - - - 
 
λ
       + =
     = ⋅ ⇒ + = ⇒ = =     
      + =      
Para 
o que implica em autovetores da forma ( ) ( ) ( )1 0 1 0 1 0x y x x y, , . , , . , ,= + . Ou seja, 
vetores de combinação de (1,1,1,) e (0,1,0).
Para
TÓPICO 3 | AUTOVALORES E AUTOVETORES
237
o que implica em autovetores da forma ( ) ( )3 1 3 1z z z z- , - , = . - , - , . Ou seja, 
vetores múltiplos de ( - 1 , - 3 , 1 ).
De fato, percebe-se que encontramos três vetores LI. E assim 
sendo, podemos formar a matriz P que diagonaliza A. Basta utilizar os 
autovetores encontrados como colunas de P. Os vetores encontrados foram 
( ) ( ) ( )1 2 31 01 0 1 0 1 3 1v v e v, , , , - , - ,= = = e assim sendo:
1 0 1
0 1 3
1 0 1
P
 - 
 - 
 
 
 
 =  
  
 , onde P é a matriz que diagonaliza A. Agora, a forma diagonal 
D, como colocado anteriormente, é formada pelos autovalores em sua diagonal. 
Como 1 2 30 2e λ λ λ= = = , segue que: 
0 0 0
0 0 0
0 0 2
D
 
 
 - 
 
 
 =  
  
Observação: 1 2 0 λ λ= = tem multiplicidade algébrica igual a 2 e tem 
multiplicidade algébrica igual a 1. Temos que, 1 2 0 λ λ= = gera dois autovetores 
LI, portanto, possui multiplicidade geométrica igual a 2, enquanto que 3 2 - λ = 
que gera apenas um autovetor, tem multiplicidade geométrica 1.
Um resultado importante, que o item b, do exemplo acima nos traz, é 
o Teorema da Diagonalização, que formaliza os resultados nele encontrados. 
Por favor, caro(a) acadêmico(a), verifique se os itens (a), (b) e (c) do teorema a 
seguir condizem com o apresentado neste item b.
Teorema da Diagonalização 
Seja A(nxn) com n autovalores distintos (não necessariamente distintos 
entre si). São equivalentes os enunciados: 
a) A é diagonalizável. 
b) A união de todos os autovetores gerados pelos autovalores contém n vetores 
LI. 
c) A multiplicidade algébrica de cada autovalor é igual a sua multiplicidade 
geométrica.
UNIDADE 3 | OPERADORES DE TRANSFORMAÇÃO
238
LEITURA COMPLEMENTAR
Um pouco da história da Álgebra Linear – Contribuição dos grandes 
matemáticos
A teoria axiomática dos espaços vetoriais é um desenvolvimento recente na 
matemática e teve uma de suas origens na resolução de sistemas lineares. Giuseppe 
Peano (1858-1952) deu a primeira definição axiomática de espaço vetorial em 1888, 
mas, a teoria de espaços vetoriais não foi desenvolvida antes de 1920. Até a metade 
do século XVIII nada de substancial ocorreu com a álgebra linear.
Um assunto relevante cujas questões levaram ao desenvolvimento da 
teoria de sistemas lineares que por sua vez levaram ao desenvolvimento da teoria 
de espaços vetoriais é o estudo das curvas algébricas. Duas proposições referentes 
às curvas algébricas eram bem conhecidas, embora tenham sido provadas somente 
parcialmente até o começo do século XVIII:
I) “Duas curvas algébricas distintas de ordens m e n, respectivamente, têm mn 
pontos em comum”.
Sabe-se que estes pontos podem ser múltiplos, complexos ou infinitos, 
mas, os matemáticos da época também conheciam exemplos em que estes pontos 
eram todos simples e reais.
II) “Para determinar uma curva de ordem n são necessários e suficientes n(n + 
3)/2 pontos”.
Esta segunda proposição leva a um paradoxo, pois quando n é maior 
que 2, n(n + 3)/2 ≤ n², então parece que duas curvas algébricas podem ter mais 
pontos em comum do que é suficiente para determinar cada uma delas. Colin 
Mclaurin (1698-1746) em 1720 foi o primeiro a identificar este paradoxo e Cramer 
o reformulou em 1750.
O ano de 1750 foi a data de publicação de dois dos trabalhos mais 
importantes na história do conceito de espaços vetoriais. Gabriel Cramer (1704-
1752), escreveu o primeiro deles, intitulado “Introduction à l’analyse des courbes 
algébriques”, onde ele preparou a estrutura para a teoria de determinantes e 
Leonhard Euler (1707-1783) escreveu o segundo intitulado “Sur une contradiction 
apparente dans la doctrine des lignes curbes”, que tem relação com o paradoxo de 
Cramer e também está relacionado com as curvas algébricas. Neste trabalho, Euler 
identificou a natureza do problema. Depois de uma análise cuidadosa da situação, 
ele explicou que em alguns casos, a proposição (2) pode não ser verdadeira, 
quando n equações não são suficientes para determinar n incógnitas. Ele deu 
exemplos do que hoje é conhecido como sistemas indeterminados de equações 
lineares, ou seja, deu exemplos de sistemas de equações de curvas algébricas que 
não possuem solução, pois uma ou mais equações são dependentes das outras.
TÓPICO 3 | AUTOVALORES E AUTOVETORES
239
Euler foi um dos primeiros a evidenciar a importância da dependência 
linear, embora seu objetivo fosse dar soluções de sistemas lineares através do 
processo de substituição e eliminação, que ele ilustrou com exemplos, o que é 
diferente da definição moderna de dependência linear. Apesar das ideias de Euler 
constituirem as bases para abordar as noções de dependência e posto, porém, 
estas foram obscurecidas pelo trabalho de Cramer.
O conceito de dependência de equações num sistema linear foi 
rapidamente relacionado à anulação do determinante de um sistema, e foi a 
partir daí que se desenvolveu a ideia de “menor” (subdeterminante) e o fato de 
que o tamanho de um menor não nulo maximal determina o número Máximo 
de soluções independentes. Henry J. S. Smith (1826-1883), em um artigo de 1861, 
foi o primeiro a tratar esta ideia e com seu enfoque teórico marcou uma sutil, 
mas decisiva mudança, pois ele não queria dar modos de solucionar sistemas de 
equações; ele queria estudar as bases teóricas do problema.
Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917), em um trabalho de 1875 intitulado 
“Über das Pfaffsche Problem” deu uma definição de independência para equações 
e n-uplas sem o uso de determinantes que é usada até hoje. Frobemenius também 
preparou a base para as noções de dualidade e invariância quandoconsiderou 
n-uplas e equações como objetos similares, que podem ser vistos de dois ângulos 
diferentes. Dentro da teoria de determinantes, foi com Frobenius que o conceito de 
posto alcançou a maturidade (foi ele quem usou o nome posto pela primeira vez).
ÁLGEBRA LINEAR, TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES
Leonhard Euler (1707-1783) publicou, em 1770, um tratado intitulado 
“Problem Algebricum ob Affectiones Prorsus Singulares Memorabile” onde estudava 
quadrados de números que similares aos quadrados mágicos. Ele escreveu:
“Sejam A, B, C, D, E, F, G, H, I, que verificam as seguintes condições:
1) A2²+ B² + C² = 1 
2) D² + E² + F² = 1 
3) G² + H² + I² = 1 
4) AB + DE + GH = 0 
5) AC + DF + GI = 0
6) AB + DE + GH =0 
7) A2 + D2 +G2 = 1 
8) B2 + E2 + H2 = 1
9) C2 + F2 + I2 = 1
10) AD + BE + CF = 0
11) AG + BH + CI = 0
12) DG + EH + FI = 0
UNIDADE 3 | OPERADORES DE TRANSFORMAÇÃO
240
Ele então percebeu que estas 12 condições são equivalentes a seguinte 
transformação ortogonal: X = Ax + By + Cz;
Y = Dx + Ey + Fz;
Z = Gx + Hy + Iz;
o que é equivalente à afirmação: X² + Y² + Z² = x² + y² + z²
Então, mostrou que as seis primeiras relações implicam nas seis últimas. 
Euler não se preocupou com a questão da independência destas equações, pois seu 
raciocínio era intuitivo, mas mostrou que n² coeficientes têm n(n + 1)/2 condições 
e que essa transformação ortogonal irá depender de n(n - 1)/2 parâmetros. Assim 
sendo, Euler caracterizou as transformações ortogonais para n = 2 e 3, mas, a 
principal contribuição de Euler para o avanço deste conceito foi que ele não se 
limitou a n = 3. Seu raciocínio puramente algébrico permitiu que ele obtivesse 
soluções para n = 4 e 5 e generalizasse para todo valor de n. Isto não ocorria 
na geometria, pois resolver essas equações para n maior que três significava se 
aventurar por espaços de dimensão maior que três.
Joseph Louis Lagrange (1736-1813) entre 1773 e 1775, em seu “Recherche 
d’Arithmétique” enquanto estudava as propriedades dos números, que são a soma 
de dois quadrados, foi levado a estudar o efeito de transformações lineares com 
coeficientes inteiros numa forma quadrática de duas variáveis. Ele estabeleceu 
o fato de que o discriminante da nova forma quadrática é o produto do antigo 
discriminante pelo quadrado de uma quantidade que era conhecida como o 
determinante da transformação linear.
Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) publicou, em 1798, “Disquisitiones 
Arithmeticae”, estudou a mesma questão com duas e três variáveis. Ele apresentou 
uma notação similar a da matriz que caracteriza a transformação linear. Além 
disso, estabeleceu a fórmula e uma notação simbólica para a composição de 
duas transformações lineares e também para o produto, o que marca um passo 
fundamental em direção ao conceito de matriz.
Ferdinand Gotthold Max Eisenstein (1823-1852), em 1844, fez uma das 
mudanças mais importantes no tratamento de operações com matrizes, que foi 
usar uma letra para se referir a matrizes e para descrever suas relações algébricas. 
Além disso, ele assinalou a não comutatividade do produto, que era conhecida, 
mas era tratada como um processo local não como uma operação algébrica. O que 
permitiu essa mudança foi a conexão das matrizes com vários objetos e também 
descobertas recentes como os quatérnios que alargaram o campo da álgebra.
TÓPICO 3 | AUTOVALORES E AUTOVETORES
241
Arthur Cayley (1821-1895), em 1858, publicou um tratado famoso intitulado 
“Memoir on the Theory of Matrices”, muitos autores atribuem a este trabalho de 
Cayley a definição de matriz, mas segundo Jean-Luc Dorier [2], neste trabalho, 
Cayley detalha e cuidadosamente reúne todos os resultados descobertos nas duas 
décadas anteriores, fazendo assim o estudo das operações algébricas com matrizes 
alcançarem o primeiro estágio de amadurecimento. Em 1846, Cayley publicou 
um outro tratado, intitulado “Sur Quelques Résultats de Géometrié de Position” onde 
ele deu um passo decisivo na direção de generalizar os espaços de dimensão 
maior que três, pois neste trabalho ele mostrou que se podem obter resultados 
em geometria tridimensional trabalhando-se com espaços de dimensão maior 
que três. Esse resultado poderia ter sido obtido por Möbius, mas ele adotou uma 
postura comum à sua época e descartou essa possibilidade.
FONTE: Universidade do Estado do Rio de Janeiro, A história da álgebra Linear. Disponível em: 
<http://www.fat.uerj.br/intranet/disciplinas/Algebra%20Linear>. Acesso em: 6 fev. 2016.
242
Neste tópico vimos que:
• No conceito de autovalor e autovetor estamos interessados em saber que 
vetores não nulos são levados a um múltiplo de si mesmos através de uma 
transformação.
• A equação ( ) 0A Idet - = λ ⋅ , é denominada Polinômio Característico 
da Transformação. As raízes desta equação são os autovalores associados à 
transformação.
• As soluções da equação ( ) 0A I v - = , λ ⋅ ⋅ são os autovetores associados à λ.
• Chamamos de multiplicidade algébrica de um autovalor a quantidade de vezes 
que ele aparece como raiz do polinômio característico. 
• Chamamos de multiplicidade geométrica de um autovalor λ , a dimensão do 
subespaço gerado pelos autovetores associados à λ.
• Dizemos que A é semelhante a B, e simbolizamos por A B~ se existir P, uma 
matriz quadrada n n× que admite inversa, tal que A P P B . = . .
• Uma matriz A é diagonalizável se exite uma matriz diagonal D tal que A D~ 
ou seja, existe P, uma matriz quadrada n n× , que admite inversa, tal que 
A P P D . . = .
RESUMO DO TÓPICO 3
243
AUTOATIVIDADE
1 Determine, se existirem, os autovalores e autovetores das seguintes 
transformações lineares:
a) T: R2 → R2, T(x,y) = (x + 2y, -x + 4y)
b) T: R2 → R2, T(x,y) = (2x + 2y, x + 3y)
c) T: R2 → R2, T(x,y) = (5x - y, -x + 3y)
d) T: R2 → R2, T(x,y) = (y, -x)
2 Indique as multiplicidades algébrica e geométrica dos itens da questão 1.
3 Dada a matriz a seguir, ache os autovalores, os autovetores, a multiplicidade 
algébrica e geométrica, e verifique se ela pode ser diagonalizável. 
1 3 3
3 5 3
6 6 4
A
 - 
 - 
 - 
 
 =  
  
4 Demonstre como uma matriz A e sua transposta AT possuem os mesmos 
autovalores.
5 , são autovetores de T, com relação aos 
autovalores 1 21 0e = - =λ λ Determine T(x,y).
6 Os vetores v1 = (1,1) e v2 = (2,-1) são vetores próprios de um operador linear 
T: R2 → R2, associados a 1 = 5 λ e 2 1 - λ = , respectivamente. Determinar a 
imagem do vetor v = (4,1) por esse operador.
7 (ENADE) Uma transformação linear 2 2T : →  faz uma reflexão em torno 
do eixo X, conforme a figura, podemos afirmar que a transformação T:
( ) ( )2 5 3 7u v, - e - ,= =Se
Assista ao vídeo de
resolução da questão 4
244
T(u)
u
y
x
2
2
- 2
- 2 4
a) ( ) É dada por ( ) ( )T x y x y, - ,=
b) ( ) Tem autovetor (0,-1) com autovalor associado igual a 2.
c) ( ) Tem autovetor (2,0) com autovalor associado igual a 1.
d) ( ) Tem autovetor de multiplicidade 1.
e) ( ) Não é inversível.
8 Determine os autovalores e autovetores, se existirem, do operador linear 
( )T x y, obtido quando se faz uma reflexão em torno do eixo X, e em seguida 
uma dilatação de 2 vezes.
9 Verifique se as matrizes a seguir são diagonalizáveis. Caso forem, determine 
a matriz que a diagonaliza e a forma diagonal.
a) 
2 1
0 1
A
 
=  
 
b) 
1 0 0
7 1 0
4 3 1
B
 
- 
- 
 
 
 =  
  
10 Determine uma matriz P invertível, que diagonaliza o operador linear 
( ) ( )7 2 2 6 2 2 5T x y z x y x y z y z, , - , - - , - = + + bem como determine sua 
forma diagonalizada.
11 Considere a matriz 
0 1
1
A
m m
- 
 = 
 
 + 
, uma representação de um operador 
 linear T, onde m é um númeroreal.
 
a) Determine a equação que gera o polinômio característico de A.
b) Calcule através deste polinômio característico os autovalores associados.
c) Para quais valores de m, o operador é diagonalizável.
245
REFERÊNCIAS
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Porto Alegre: Bookman, 2001.
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linear. São Paulo: Harbra, 1980. 
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DANTE, Luiz Roberto. Matemática: volume único: contexto & aplicações: 
Ensino Médio. 3. ed. São Paulo: Ática, 2005. 
FACCHINI, Walter. Matemática para a escola de hoje: volume único. São Paulo: 
FTD, 2006.
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Ruy. 
Matemática Fundamental: uma nova abordagem. São Paulo: FTD, 2002.
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LIPSCHUTZ, Seymour. Álgebra Linear, 3. ed. São Paulo: Makron Books, 1994.
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STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. 2. ed. São 
Paulo: Pearson Makron Books, 1987.
STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. 2. ed. São 
Paulo: McGraw-Hill, 1987.
STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica I. 2. ed. 
São Paulo: Pearson Makron Books, 1987.