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Lista de Exerc´ıcios 5 - GAAL
Gustavo Marra
April 5, 2017
Exerc´ıcio 0. Leia ativamente o conteu´do apresentado em sala. Refac¸a os ca´lculos a` parte.
Anote suas du´vidas e tire-as posteriormente.
Parte 1: Vetores
Exerc´ıcio 1. Considere o seguinte par de vetores, U e V :
U
V
Dado que ‖U‖ = 3 e ‖V ‖ = 2, represente graficamente os seguintes vetores:
(a) U − V ;
(b) V − U ;
(c) −V − 2U ;
(d) 2U − 3V ;
Exerc´ıcio 2. Sabendo que o aˆngulo entre dois vetores U e V e´ pi3 (60
◦), determine o aˆngulo
formado pelos seguintes vetores:
(a) U e −V ;
(b) −U e V ;
(c) −V e −U ;
(d) 2U e 3V ;
R: a) 2
3
pi b) 2
3
pi c) pi
3
d) pi
3
.
Exerc´ıcio 3. Encontre nu´meros a1 e a2 tais que
W = a1U + a2V,
onde U = (1, 2), V = (4,−2) e W = (−1, 8).
NOTA: No caso do exerc´ıcio 3, dizemos que W e´ combinac¸a˜o linear de U e V . Guarde este
termo para posteriormente.
R: a1 = 3, a2 = −1.
Exerc´ıcio 4. Dado os pontos A = (−1, 2), B = (3,−1), C = (−2, 4), determine as coordenadas
de um ponto D = (x, y) de tal forma que
−−→
CD =
1
2
−−→
AB.
R: x = 0, y = 5
2
.
1
Exerc´ıcio 5. Dados os pontos A = (0, 1,−1) e B = (1, 2,−1), e os vetores U = (−2,−1, 1),
V = (3, 0,−1) e W = (−2, 2, 2), verifique se existem nu´meros a1, a2, a3 tais que
W = a1
−−→
AB + a2U + a3V.
R: a1 = 3, a2 = 1, a3 = −1.
Exerc´ıcio 6. Dados os pontos P = (1, 2, 4), Q = (2, 3, 2), R = (2, 1,−1) no espac¸o, determine
as coordenadas de um ponto S de modo que P,Q,R, S sejam ve´rtices de um paralelogramo.
R: S = (1, 0, 1).
Exerc´ıcio 7. Determinar os valores de m e n para que sejam paralelos os vetores U =
(m+ 1, 3, 1) e V = (4, 2, 2n− 1).
R: m = 5, n = 5
6
.
Exerc´ıcio 8. Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor V = (2,−5)
sabendo que sua origem e´ A = (−1, 3).
R: (1,−2).
Exerc´ıcio 9. Dados U = (3,−1) e V = (−1, 2), determine o vetor W tal que
(a) 4(U − V ) + 13W = 2U −W . (b) 3W − (2V − U) = 2(W − 3U).
R: (a) W =
(
− 15
2
, 15
2
)
(b) W =
(
23
5
,− 11
5
)
.
Exerc´ıcio 10. Dados os pontos A = (−1, 3), B = (2, 5), C = (3,−1) e se O e´ a origem,
calcule:
(a)
−→
OA−−−→AB; (b) −−→OC −−−→BC; (c) 3−−→BA− 4−−→CB;
R: (a) (−4, 1) (b) (2, 5) (c) (−5,−30).
Exerc´ıcio 11. Dados os vetores U = (3,−4) e V = (− 94 , 3), verifique se existem nu´meros a e
b tais que U = aV e V = bU .
R: a = − 4
3
, b = − 3
4
Exerc´ıcio 12. Dados os vetores U = (2,−4), V = (−5, 1), W = (−12, 6), determine k1 e k2
tais que
w = k1U + k2V.
R: k1 = −1, k2 = 2
Exerc´ıcio 13. Dados os pontos A = (−1, 3), B = (1, 0) e C = (2,−1), determine o ponto D
tal que
−−→
DC =
−−→
BA.
R: D = (4,−4)
Exerc´ıcio 14. Dados os pontos A = (2,−3, 1) e B = (5, 4,−2), determine o ponto P tal que−→
AP =
−−→
PB.
R: P =
(
3, 1,− 1
2
)
Exerc´ıcio 15. Dados os pontos A = (−1, 2, 3) e B = (4,−2, 0), determine o ponto P tal que−→
AP = 3
−−→
AB.
2
R: (14,−10,−6)
Exerc´ıcio 16. Determine o vetor V sabendo que (3, 7, 1) + 2V = (6, 10, 4)− V .
R: V = (1, 1, 1)
Exerc´ıcio 17. Encontre nu´meros a1 e a2 tais que W = a1V1 + a2V2, sendo V1 = (1,−2, 1),
V2 = (2, 0,−4) e W = (−4,−4, 14).
R: a1 = 2, a2 = −3.
Exerc´ıcio 18. Determine a e b de modo que os vetores U = (4, 1,−3) e V = (6, a, b) sejam
paralelos.
R: a = 3
2
, b = − 9
2
.
Exerc´ıcio 19. Treˆs pontos A, B e C sa˜o colineares quando eles esta˜o sob a mesma reta.
Equivalentemente, eles sa˜o colineares quando
−−→
AB e
−→
AC sa˜o paralelos.
Verifique se sa˜o colineares os pontos:
(a) A = (−1,−5, 0), B = (2, 1, 3) e C = (−2,−7,−1).
(b) A = (2, 1,−1), B = (3,−1, 0) e C = (1, 0, 4).
R: (a) Sim (b) Na˜o
Exerc´ıcio 20. Calcule a e b de modo que os pontos A = (3, 1,−2), B = (1, 5, 1) e C = (a, b, 7)
sejam colineares.
R: a = −3, b = 13.
Exerc´ıcio 21. Mostre que os pontos A = (4, 0, 1), B = (5, 1, 3), C = (3, 2, 5) e D = (2, 1, 3)
sa˜o ve´rtices de um paralelogramo.
Exerc´ıcio 22. Determine o sime´trico do ponto P = (3, 1,−2) em relac¸a˜o ao ponto A =
(−1, 0,−3), isto e´, um ponto Q tal que A e´ o ponto me´dio do segmento PQ.
R: (−5,−1,−4)
Exerc´ıcio 23. Fac¸a os Exerc´ıcios Nume´ricos 3.1.1 ate´ o 3.1.12 do livro do Reginaldo Santos,
na pa´gina 84.
Exerc´ıcio 24. Fac¸a os Exerc´ıcios Teo´ricos 3.1.19, 3.1.20 e 3.1.21 do livro do Reginaldo Santos,
na pa´gina 86.
Parte 2: Norma, aˆngulos e produto interno
Nos exerc´ıcios abaixo, V ·W e´ o produto interno de V e W .
Exerc´ıcio 25. Dados os vetores U = (4, a,−1) e V = (a, 2, 3) e os pontos A = (4,−1, 2) e
B = (3, 2,−1), determine o valor de a de forma que U · (V +−−→BA) = 5.
R: a = 7
3
Exerc´ıcio 26. Sabendo que a distaˆncia entre os pontos A = (−1, 2, 3) e B = (1,−1,m) e´ 7,
calcule m.
R: m = 9 ou m = −3.
Exerc´ıcio 27. Determine α para que o vetor V =
(
α,− 12 , 14
)
seja unita´rio.
3
R: α = ±
√
11
4
Exerc´ıcio 28. Prove que, dados dois vetores V e W (no plano ou no espac¸o), valem as
seguintes igualdades:
(a) ‖V +W‖2 = ‖V ‖2 + 2V ·W + ‖W‖2.
(b) ‖V −W‖2 = ‖V ‖2 − 2V ·W + ‖W‖2.
(c) (V +W ) · (V −W ) = ‖V ‖2 − ‖W‖2.
Exerc´ıcio 29. Calcule o aˆngulo entre os vetores U = (1, 1, 4) e V = (−1, 2, 2).
R: θ = arccos
(√
(2)
2
)
= 45◦.
Exerc´ıcio 30. Sabendo que o vetor V = (2, 1,−1) forma um aˆngulo de pi3 = 60◦ com o vetor−−→
AB determinado pelos pontos A = (3, 1,−2) e B = (4, 0,m), calcule m.
R: m = −4.
Exerc´ıcio 31. Determine os aˆngulos internos do triaˆngulo ABC, sendo A = (3,−3, 3), B =
(2,−1, 2) e C = (1, 0, 2). Obs: Denote por ^A o aˆngulo formado no ve´rtice A do triaˆngulo.
R: ^A = arccos
(
9√
84
)
, ^B = arccos
(
−
√
3
2
)
, ^C = arccos
(
5√
28
)
.
Exerc´ıcio 32. Mostre que o triaˆngulo de ve´rtices A = (2, 3, 1), B = (2, 1,−1) e C = (2, 2,−2)
e´ um triaˆngulo retaˆngulo.
Exerc´ıcio 33. Determine um vetor que seja ortogonal tanto a V1 = (1,−1, 0) quanto a
V2 = (1, 0, 1).
R: Qualquer vetor paralelo a (1, 1,−1).
Exerc´ıcio 34. Determine a projec¸a˜o ortogonal de U = (2, 3, 4) sobre V = (1,−1, 0).
R: projV U =
(
− 1
2
, 1
2
, 0
)
.
Exerc´ıcio 34. Sejam os pontos A = (1, 2,−1), B = (−1, 0,−1) e C = (2, 1, 2).
(a) Mostre que o triaˆngulo ABC e´ retaˆngulo em A.
(b) Calcule o comprimento da projec¸a˜o do cateto AB sobre a hipotenusa BC.
(c) Determine o pe´ da altura do triaˆngulo relativa ao ve´rtice A (isto e´, o ponto H onde o
segmento da altura encontra o cateto oposto).
R: (b) 64
361
√
19 (c) H =
(
5
19
, 8
19
, 5
19
)
.
Exerc´ıcio 35. Fac¸a os Exerc´ıcios Nume´ricos 3.2.1 ate´ 3.2.8 do livro do Reginaldo Santos, na
pa´gina 102.
Exerc´ıcio 36. Fac¸a os Exerc´ıcios Teo´ricos 3.2.24 e 3.2.25 do livro do Reginaldo Santos, na
pa´gina 104.
4
Tabela de Senos, Cossenos e Tangentes
Graus Radianos Seno Cosseno Tangente
0◦ 0 0 1 0
15◦
pi
12
1
4
(
√
6−√2) 1
4
(
√
6 +
√
2) 2−√3
30◦
pi
6
1
2
√
3
2
√
3
3
45◦
pi
4
√
2
2
√
2
2
1
60◦
pi
3
√
3
2
1
2
√
3
75◦
5pi
12
1
4
(
√
6 +
√
2)
1
4
(
√
6−√2) 2 +√3
90◦
pi
2
1 0 −
105◦
7pi
12
1
4
(
√
6 +
√
2) −1
4
(
√
6−√2) −(2 +√3)
120◦
2pi
3
√
3
2
−1
2
−√3
135◦
3pi
4
√
2
2
−
√
2
2
−1
150◦
5pi
6
1
2
−
√
3
2
−
√
3
3
165◦
11pi
12
1
4
(
√
6−√2) −1
4
(
√
6 +
√
2) −(2−√3)
180◦ pi 0 −1 0
De onde sa´ıram estes exerc´ıcios?
(1) CAMARGO, Ivan de; BOULOS, Paulo. Geometria anal´ıtica: um tratamento vetorial.
2009. Prentice Hall.
(2) SANTOS, Reginaldo. Um curso de geometria anal´ıtica e a´lgebra linear. UFMG.
2012.
Onde encontro mais sobre trigonometria?
Procure pelo livro “Trigonometria e Nu´meros Complexos”, deManfredo Perdiga˜o do Carmo,
Augusto Ce´sar Morgado e Eduardo Wagner, Colec¸a˜o do Professor de Matema´tica, Sociedade
Brasileira de Matema´tica (SBM), 3a Edic¸a˜o (2005). E´ um livro pequeno (121 pa´ginas) mas rico
em detalhes, e para o conteu´do de trigonometria apenas os Cap´ıtulos 1 a 5 sa˜o suficientes.
5