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Unidade II
3 FUNÇÕES POLINOMIAIS DE 1º GRAU
Estudaremos agora algumas funções polinomiais importantes.
3.1 Função de 1° grau
3.1.1 Função de 1° grau (ou função afim)
É toda função f: IR → IR, dada por:
f(x) = a x + b, com a ∈ IR, a ≠ 0 e b ∈ IR.
Os valores de a e b são chamados de coeficientes da função:
 a: coeficiente angular 
 b: coeficiente linear 
Quando b = 0, a função de 1° grau f(x) = ax é chamada função linear.
Quando b = 0 e a = 1, a função de 1° grau f(x) = x é chamada função identidade.
Exemplos:
Determinar se as funções a seguir são lineares ou afins, e identificar os coeficientes angular e 
linear:
1) A função f(x) = 4x + 5 é uma função afim:
a = 4, coefiente angular
b = 5, coeficiente linear
2) A função y = –3x é uma função linear:
a = –3, coeficiente angular
b = 0, coeficiente linear
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CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL
3) A função y = – x – 3 é uma função afim:
a = –1, coeficiente angular
b = –3, coeficiente linear
3.1.2 Gráfico
O gráfico de uma função de 1° grau é sempre uma reta.
 Lembrete
Bastam 2 pontos para determinar uma reta, assim, você deve encontrar 
dois pontos da função, representar no plano cartesiano e unir os pontos.
Exemplos:
1) Traçar o gráfico das funções lineares:
a) y = –2x
Você deve escolher pelo menos dois valores para x e calcular f(x), nesse caso, escolhemos x = 0 e x = 1:
x y = - 2x (x,y)
0 y = - 2 . 0 = 0 (0,0)
1 y = - 2 . 1 = -2 (1,-2)
y
10
-2
x
y = -2x
b) y = 3x
x y = 3x (x,y)
0 y = 3 . 0 = 0 (0,0)
1 y = 3 . 1 = 3 (1,3)
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y
10
3
x
y = 3x
c) y = x
Nesse exemplo, vamos escolher outros valores para x, assim, você não vai concluir que só podemos 
colocar para x valores iguais a 0 e 1:
x y = x (x,y)
-1 y = -1 (-1,-1)
1 y = 1 (1,1)
y
10 x
y = x
–1
–1
 Observação
A reta que representa a função linear sempre passa na origem, isto é, 
no ponto (0, 0).
2) Traçar o gráfico das funções de 1° grau:
a) y = 2x + 4
Ao invés de escolhermos dois valores quaisquer de x, vamos calcular os cortes da reta com os eixos, 
isto é:
x = 0 ⇒ y = 2. 0 + 4 = 4
y = 0 ⇒ 0 = 2x + 4 ⇒ 2x = –4 ⇒ x = –2
Logo, a reta corta o eixo x em x = –2 e o eixo y em y = 4.
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CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL
Graficamente, temos:
corte em y
corte em x
y = 2x + 4
x
y
-2 0 
4
b) y = –3x + 6
x = 0 ⇒ y = –3 . 0 + 6 = 6
y = 0 ⇒ 0 = 3 – x + 6 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2
Graficamente, temos:
corte em y
corte em x
y = 3x + 6
x
y
6
 2
3.1.3 Crescimento da função de 1° grau
O coeficiente angular da função de 1°grau indica se nossa função é crescente ou decrescente.
decrescente (a < 0) e crescente (a > 0)
Exemplos:
a) y = –4x + 5 é uma função decrescente, pois a = –4 < 0.
b) y = 3x – 6 é uma função crescente, pois a = 3 > 0.
c) y = 2x é uma função crescente, pois a = 2 > 0.
d) Graficamente, para verificar se uma função de 1º grau é crescente ou decrescente utilizando o seu 
gráfico, devemos observar a sua inclinação, assim:
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y
x
y
x
decrescente
(inclinação à esquerda)
crescente
(inclinação à direita)
00
3.1.4 Sinais da função
Muitas vezes, queremos saber o intervalo no qual a função y = a x + b é positiva e no qual é negativa. 
Para isso, devemos determinar x0 raiz da equação ax + b = 0 e observar a inclinação da reta.
Temos:
+ -
X0 x
- +
X0 x
a < 0 - inclinação à 
esquerda; decrescente
a > 0 - inclinação à 
direita; crescente
Resumindo
X0 x
sinal contrário à a sinal de a
Exemplos:
Determinar os sinais das funções:
a) y = –4x + 12
Determinando a raiz da função, temos:
–4x+12=0 ⇒ x=3
Como a = –4 < 0, a reta tem inclinação para a esquerda, assim:
ƒ(x) > 0 se x < 3
ƒ(x) < 0 se x > 3
ƒ(x) = 0 se x = 3
+ -
3 x
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CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL
b) y = 3x – 15
Determinando a raiz da função, temos:
3x–15=0 ⇒ x=5
Como a = 3 > 0, a reta tem inclinação para a direita, assim:
ƒ(x) > 0 se x > 5
ƒ(x) < 0 se x < 5
ƒ(x) = 0 se x = 5
 
- +
5 x
3.2 Função constante
Toda função dada por f(x) = c, no qual c é uma constante, é chamada função constante. Seu gráfico 
será uma reta paralela ao eixo x, passando pelo ponto (0, c).
Exemplos:
Esboçar o gráfico das funções:
a) f(x) = 2 (ou y = 2)
Vamos montar uma tabela com alguns valores de x, assim:
x y = 2 (x,y)
0 y = 2 (0,2)
1 y = 2 (1,2)
2 y = 2 (2,2)
3 y = 2 (3,2)
Quando colocados esses valores no sistema cartesiano, obtemos a reta paralela ao eixo x passando 
pelo ponto (0, 2):
y = 2
x
y
1 2 30
2
corte em y
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b) f(x) = –3 (ou y = –3)
Notemos que não é necessária a construção da tabela de pontos, basta traçar uma reta paralela ao 
eixo x passando pelo ponto (0, –3):
x
y
0
-3
y = -3
 Saiba mais
Para ver uma aplicação de função do 1º grau em economia, assista ao 
vídeo
<http://www.youtube.com/watch?v=NsOLoXAIo7g>.
4 FUNÇÃO QUADRÁTICA (OU DE 2° GRAU)
Se jogamos para o alto um objeto a partir do chão e observamos a sua trajetória, notamos que o 
objeto sobe até um determinado ponto e depois começa a cair até retornar ao chão. Representando a 
sua trajetória graficamente, temos:
S
t
O gráfico fornece várias informações sobre o movimento do objeto, por exemplo: a altura máxima 
atingida, tempo para retornar ao solo, o tempo necessário para atingir a altura máxima.
Esse gráfico, uma parábola, é o gráfico de uma função do 2º grau.
Vamos agora estudar as funções quadráticas, ou de 2º grau, isto é, uma função dada pela relação:
y = ax2 + bx + c, com a, b, c números reais e a ≠ 0
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11CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL
Exemplos:
a) f(x) = 3x2 + 2x + 1 é uma função quadrática completa, com a = 3, b = 2 e c = 1.
b) y = –5x2 + 10x é uma função quadrática incompleta, pois tem a = –5, b = 10 e c = 0.
c) f(x) = 10x2 é uma função quadrática incompleta, pois tem a = 10, b = 0 e c = 0.
d) y = 2x2 – 6 é uma função quadrática incompleta, com a = 2, b = 0, c = –6.
4.1 Gráfico
O gráfico de uma função do 2° grau é sempre uma parábola que pode ser obtida por uma tabela de 
pontos ou por meio dos cortes nos eixos coordenados e de seu vértice.
Para determinarmos os cortes, devemos:
• No eixo x: ⇒ encontrar as raízes da equação de 2° grau correspondente.
• No eixo y: ⇒ determinar o valor de y, quando x = 0.
Para as coordenadas do vértice, usaremos a fórmula: x
b
 a
y
 av v




2 4. .
e

4.2 Concavidade
A parábola terá concavidade para cima ou para baixo, dependendo do sinal de a. Assim:
a > 0 ⇔ concavidade para cima
a < 0 ⇔ concavidade para baixo 
a > 0 a < 0
Exemplos:
Esboçar o gráfico das funções de 2°grau:
a) y = –x2 + 2x + 3
Inicialmente, vamos destacar os valores de a, b e c, assim:
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a = –1 < 0 (concavidade para baixo), b = 2 e c = 3.
Utilizando a tabela de pontos, vamos determinar valores do gráfico de y, como é uma parábola, não 
bastam 2 pontos para a construção, serão necessários mais valores, assim, escolhemos 4 valores de x:
x y = –x2 + 2x + 3 (x, y)
–1 y = – (–1)2 + 2(–1) + 3 (–1, 1)
0 y = –(0)2 + 2(0) + 3 (0, 3)
1 y = –(1)2 + 2(1) + 3 (1, 4)
2 y = –(2)2 + 2(2) + 3 (2, 3)
Colocando esses pontos nos eixos coordenados, temos:
y
1
x
-1
-1-2-3
2
4
(0,3)
1 2 3 4
(2,3)
(1,4)
(1,0)
 Lembrete
Você pode escolher outros valores para x e também pode fazer a tabela 
com mais pontos e mais valores, melhor qualidade do gráfico.
b) y = x2 + 2x + 1
Agora, vamos esboçar o gráfico da função sem a utilização de tabela de pontos.
Inicialmente, devemos identificar os valores de a, b e c:
a = 1 > 0 (concavidade para cima), b = 2 e c = 1.
Calculemos agora os cortes nos eixos:
Eixo x: ⇒ devemos resolver a equação x2 + 2 x + 1 = 0:
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CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL



 
    

 

 
 
b ac
x
b
a
2
2
4
2 4 1 1 4 4 0
2
2 0
2 1
1
. .
. .
. .
Corta o eixo no ponto (–1, 0).
Eixo y: ⇒ para x = 0, temos y = 02 + 2. 0 + 1 = 1.
Corta o eixo no ponto (0, 1).
Coordenadas do vértice ⇒ x
b
 av




 
2
2
2
1
.
 y
 av






4
0
4
0
.
V = (–1, 0).
Colocando todos os dados no sistema cartesiano, temos:
y
-2 -1 1
1
2
x
3
2-3
c) y = x2 – 4
Inicialmente, devemos identificar os valores de a, b e c:
a = 1 > 0 (concavidade para cima), b = 0 e c = –4
Calculemos agora os cortes nos eixos:
Eixo x: ⇒ devemos resolver a equação x2 – 4 = 0:



 
   

 

 


 
b ac
x
b
a
2
2
4
0 4 1 4 16
2
0 16
2 1
4
2
2
. .
. .( )
. .
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Corta o eixo nos pontos (–2, 0) e (2, 0).
Eixo y ⇒ para x = 0, temos y = 02 – 4 = –4.
Corta o eixo no ponto (0, –4).
Coordenadas do vértice ⇒ x
b
 av


 
2
0
2
0
.
 y
 av




 

4
16
4
4
.
V = (0, –4).
Substituindo todos os pontos no plano cartesiano, temos:
y
-2 -1 1
1
2
x
2-3 3
-1
-2
-3
-4
d) y = x2 + 3x
Identificando os valores de a, b e c, temos:
a = 1 > 0 (concavidade para cima), b = 3 e c = 0
Calculemos agora os cortes nos eixos:
Eixo x: ⇒ devemos resolver a equação x2 + 3 x = 0:



 
  

 

 

 


 

b ac
x
b
a
x
2
2
1
4
3 4 1 0 9
2
3 9
2 1
3 3
2
3 3
2
0
. .
. .( )
. .
xx1
3 3
2
3
 
 







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CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL
Corta o eixo nos pontos (0, 0) e (–3, 0).
Eixo y: ⇒ para x = 0, temos y = 02 + 3. 0 = 0.
Corta o eixo no ponto (0, 0).
Coordenadas do vértice ⇒ x
b
 av




 
2
3
2
1 5
.
.
 y av




 

4
9
4
2 25
.
.
V = (1.5, 2.25).
y
-2 -1 1
1
x
-3
-1
-2
-1,5
-2,25
-4
 Saiba mais
Para saber mais sobre Baskara, acesse:
<http : / /www.pucrs .b r /ed ipucrs /erematsu l /comunicacoes /
26KAMILACELESTINO.pdf>.
4.3 Sinais da função
Queremos saber o intervalo no qual a função y = ax2 + bx + c é positiva e negativa.
Inicialmente, resolvemos a equação a x2 + b x + c = 0 e determinamos as suas raízes:
∆ < 0 ⇒ não existe raiz real
mesmo sinal de a
x
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∆ > 0 ⇒ duas raízes reais
mesmo sinal de a contrário de a mesmo sinal de a
x1 x2
∆ = 0 ⇒ existe 1 raiz real
mesmo sinal de a mesmo sinal de a
x1
Exemplos:
Determinar o sinal das funções:
a) y = x2 – 2x + 1
A equação tem uma raiz real x 1 = 1, pois ∆=0.
Como a = 1 > 0, temos:
+ +
1
Logo, 
f x x
f x x
( )
( )
  
  



0 1
0 1
b) y = x2 – x – 2
A equação tem duas raizes reais x1 = –1 e x2= 2, pois ∆=9>0.
Como a = 1 > 0, temos:
 + — +
—1 2 x
Logo, 
f x x
f x x
f x
( )
( )
( )
   
    
   
0 2
0 1
0 1
 ou x -1
 ou x 2
 x 2





c) y = –x2 + 2 x – 2
A equação não tem raiz real, pois ∆= –4<0.
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CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL
Como a = –1 < 0, temos:
— —
x
Logo, f(x) < 0 para todo x.
4.4 Ampliando seu leque de exemplos
1) Dada a função f(x) = 3x + 5, determine os zeros da função e seu crescimento:
Resolução:
Para determinar os zeros da função, devemos determinar o valor de x, tal que f(x) = 0.
Assim:
3x + 5 = 0 ⇒ 3x = –5 ⇒ x = –5/3. O zero da função será x = –5/3.
Segundo a teoria para verificar o crescimento da função, devemos ver o sinal de a, coeficiente de x, 
nesse caso, a = 3 > 0, logo, a função é crescente.2) Seja f: IR → IR, tal que f(x) = –x 2 + mx + n, se o gráfico de f passa pelos pontos (0, 2) e (1, 3), 
determinar os valores de m e n:
Resolução:
Sabemos que se o gráfico da função passa por um ponto, podemos substituir os valores na expressão 
de f(x) e o resultado será verdadeiro, isto é:
Ponto (0, 2) significa que para x = 0, temos f(0) = 2.
Ponto (1, 3) significa que quando x = 1, temos f(1) = 3, substituindo esses valores na expressão de 
f(x), encontramos o sistema:
   
   







   
0
1
2
1 3
2
2
m
m
n
m n
 . 0 n 2
 . 1 n 3
 



Resolvendo o sistema, temos n = 2 e m = 2.
54
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 A
na
 L
ui
za
 / 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
17
/0
6/
11
 /
/ 
2ª
 R
ev
isã
o:
 A
na
 L
ui
za
 / 
Co
rr
eç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
06
/0
7/
11
 Observação
A expressão –x2 indica que somente o valor de x será elevado ao 
quadrado, o sinal de menos permanece.
3) Considere a função y = x 2 – 8x + 15, determine o intervalo no qual y < 0:
Resolução:
Para determinar os sinais da função, devemos inicialmente encontrar os zeros de f, para isso, vamos 
igualar a expressão a zero.
Resolvendo a equação x 2 – 8x + 15 = 0, temos:
∆=b2 –4 . a . c = (–8)2 –4 . 1 . 15 = 64 – 60 = 4
Calculando as raízes:
x
b
a

 

  


2
8 2
2
8 2
2
( )
Teremos: x e x1 2
8 2
2
10
2
5
8 2
2
6
2
3

  

 
Vamos agora colocar esses valores na reta e estudar os sinais de f conforme o sinal de a. Nesse caso, 
a = 1 > 0:
 + — +
m/m a contrário de a m/m a
3 5
Assim, teremos y < 0 para valores de x entre as raízes (zeros da função), isto é, no intervalo aberto 
]3, 5[.
 Lembrete
O intervalo deve ser aberto, pois nos pontos x = 3 e x = 5, temos y = 0.
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Co
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: M
ár
ci
o 
- 
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/0
7/
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CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL
 Resumo
Nesta unidade aprendemos as funções de 1º e 2º grau, além das 
coordenadas do vértice.
Função de 1° grau (ou função afim):
f(x)=ax + b, com a ∈ IR, a ≠ 0 e b ∈ IR
função linear: f(x) = a x
função identidade: f(x) = x
Função de 2° grau:
y = a x2 + b x + c
O seu gráfico é uma parábola com concavidade para cima, se a > 0 e 
para baixo e a < 0 –
fórmula de Baskara:
∆ = b2 –4.a.c x
b
a

  
2.
 
Coordenadas do vértice: x
 . a
 e y
 . a
 
v v


b
2 4

 
 Exercícios
Questão 1. No ano de 2005, uma empresa lançou um novo produto no mercado, com produção 
inicial de 2000 unidades. A quantidade P de unidades produzidas a partir de 2005 segue a função 
P(t)=2000.(0,95)t, sendo que t representa o tempo em anos. Considerando-se que log(0,5)=–0,30 e 
log(0,95)=–0,02, assinale a alternativa que apresenta corretamente o ano em que a produção será de 
1000 unidades.
A) 2010.
B) 2015.
C) 2020.
D) 2025.
E) 2030.
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Resposta correta: alternativa C.
Resolução da questão
Considerando-se que o ano de 2005 é t=0, fazemos:
0P(0) 2000.(0,95) 2000.1 2000= = =
O P(0) representa a quantidade de unidades do produto produzida no ano de 2005.
Para sabermos em que ano a quantidade de unidades produzidas será de 1000, fazemos:
t t t t1000P(t) 2000.(0,95) 1000 2000.(0,95) (0,95) 0,5 (0,95)
2000
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
Podemos aplicar a definição de logaritmo em ambos os lados da equação (utilizar dica do 
enunciado). Logo,
t t0,5 (0,95) log(0,5) log(0,95) log(0,5) t.log(0,95) 0,30 0,02t= ⇒ = ⇒ = ⇒ − = −
0,30
t t 15
0,02
−
= ⇒ =
−
Então, em 15 anos, a quantidade de unidades produzidas será de 1000. Sendo assim, como o 
ano inicial é 2005, fazemos: 2005+15 = 2020. Logo, a produção será de 1000 unidades no ano 
de 2020.
Questão 2. (Enade 2008, adaptada) Em um jogo de futebol, um jogador irá bater uma falta 
diretamente para o gol. A falta é batida do ponto P, localizado a 12 metros da barreira. Suponha que a 
trajetória da bola seja uma parábola, com ponto de máximo em Q, exatamente acima da barreira, a 3 
metros do chão, como ilustra a figura a seguir.
R
Gol
Barreira
Parábola
y
Q
x
P
3
8 12
0
Posição de falta
Figura
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CÁLCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIÁVEL
Sabendo-se que o gol está a 8 metros da barreira, a que altura está a bola ao atingir o gol?
A) 3/2 m.
B) 4/3 m.
C) 1 m.
D) 2 m.
E) 5/3 m.
Resolução desta questão na plataforma.