FT 03 - ÁLGEBRA TENSORIAL

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FENÔMENOS DE TRANSPORTE I
Transferência de momentum
Parte 03
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DE FENÔMENOS DE TRANSPORTE I
1 – Dimensões e Unidades
• Dimensões fundamentais e derivadas 
• Sistemas CGS e MKS e britânico 
• Princípios de homogeneidade dimensional 
• Conversão de unidades 
2 – Caracterização dos fluidos 
• Hipótese do contínuo 
• Comportamento de fluidos submetidos a força de compressão e cisalhamento 
• Transporte molecular de quantidade de movimento, energia e massa 
• Classificação dos fluidos
• Campos escalares, vetoriais e tensoriais
• Álgebra Tensorial 
3 – Estática dos fluidos 
• Equilíbrio estático 
• Equação da estática dos fluidos 
• Manometria
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DE FENÔMENOS DE TRANSPORTE I
4 – Equação conservativa para sistemas fluidos isotérmicos 
• O volume de controle e o volume material 
• Equação da continuidade 
• Cinemática dos fluidos 
• Equação do movimento 
• Perfil de velocidades em escoamento laminar 
5 – Equação de Bernoulli 
• Equação do movimento para fluidos ideais 
• Equação de Bernoulli
• Aplicações da equação de Bernoulli 
6 – Análise dimensional e similaridade 
• Teorema π de Buckingham
• Número de adimensionais importantes na mecânica dos fluidos 
• Similaridade 
Mecânica dos Fluidos: 
“Ciência que estuda o comportamento físico dos fluidos e das leis que regem 
esse comportamento”.
Aplicações:
• Ação de fluidos sobre superfícies submersas  barragens.
• Equilíbrio de corpos flutuantes  embarcações.
• Ação do vento sobre construções civis.
• Estudos de lubrificação.
• Transporte pneumático/hidráulico de sólidos elevadores hidráulicos.
• Cálculo de instalações hidráulicas  instalação de recalque.
• Cálculo de máquinas hidráulicas  bombas e turbinas.
• Instalações de vapor  caldeiras.
• Ação de fluidos sobre veículos (Aerodinâmica)
4
Grandezas Escalares, Vetoriais e Tensoriais
Grandezas escalares: podem ser caracterizadas apenas pela intensidade
(valor numérico único ou módulo). Ex.: , , T, P, V, capacidade
calorífica, turbidez, condutividade elétrica, condutividade térmica,
tensão superficial etc.
Grandezas vetoriais: são completamente especificados pela intensidade e
3 direções. Ex.: v, F, a, g, peso etc
5
ii
i
ii
evv
evv
evevevv





3
1
332211
e1, e2, e3 são vetores unitários mutuamente
ortogonais entre si ou vetores ortonormais.
v
2
1
3
e2
e1 e3
Notação indicial de
Einstein.
6
Grandezas Escalares, Vetoriais e Tensoriais
Grandezas Tensoriais: são caracterizadas pela intensidade e 9 direções.
Ex.: tensões presentes no escoamento de um fluido.
2
1
3
e2
e1
e3
τ33
τ32
τ31
τ23
τ22
τ21
τ13
τ12
τ11
A2
A1
A3
ij –Tensor
i – direção normal à superfície
j – direção da força
Ai – área da respectiva superfície
Se i = j Tensão normal
Se i ≠ j Direção da Força
7
Representação Indicial de Tensor
jiij
i j
jiij
ee
ee
eeeeee
eeeeeeeeeeee









 
3
1
3
1
333323321331
322322221221311321121111
8
Outra representação de tensor:
Um tensor tem 3n componentes, onde n é a ordem do tensor (número de direções).











333231
232221
131211


























3
3
33
3
2
32
3
1
31
2
3
23
2
2
22
2
1
21
1
3
13
1
2
12
1
1
11
A
F
A
F
A
F
A
F
A
F
A
F
A
F
A
F
A
F




9
z
x
y
ez
ex
ey
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
Exercício
Faça a representação dos tensores em relação ex, ey, ez. Mostre como fica
a representação matricial.
10
z
x
y
ez
ex
ey
τyy
τyz
τyx
τzy
τzz
τzx
τxy
τxz
τxx
Exercício
Faça a representação dos tensores em relação ex, ey, ez. Mostre como fica
a representação matricial.
11






















z
z
zz
z
y
zy
z
x
zx
y
z
yz
y
y
yy
y
x
yx
x
z
xz
x
y
xy
x
x
xx
A
F
A
F
A
F
A
F
A
F
A
F
A
F
A
F
A
F




Exercício
Faça a representação dos tensores em relação ex, ey, ez. Mostre como fica
a representação matricial.
z
x
y
ez
ex
ey
τyy
τyz
τyx
τzy
τzz
τzx
τxy
τxz
τxx
12
Todas as grandezas são tensoriais
Considerando que um Tensor tem 3n componentes.
n = 0 tensor de ordem zero..... 30 = 1 ESCALAR
n = 1 tensor de ordem um....... 31 = 3 VETOR
n = 2 tensor de ordem dois..... 32 = 9 TENSOR
Ex.:
Temperatura ordem zero.
Velocidade ordem um.
Tensão ordem dois.
13
Campos Escalar, Vetorial e Tensorial
Campos: Distribuição contínua de uma grandeza no espaço e no tempo.
Campo de temperaturas T = T(x,y,z,t) Escalar.
Campo de velocidades v = vxex + vyey + vzez Vetor
vx = vx(x,y,z,t)
vy = vy(x,y,z,t)
vz = vz(x,y,z,t)
Campos Escalares
14
Campos Escalar, Vetorial e Tensorial
Tensor de ordem 2:
zzzzyzzyxzzx
zyyzyyyyxyyxzxxzyxxyxxxx
eeeeee
eeeeeeeeeeee




τxx = τxx(x,y,z,t)
τxy = τxy(x,y,z,t)
τxz = τxz(x,y,z,t)
τyx = τyx(x,y,z,t)
τyy = τyy(x,y,z,t)
τyz = τyz(x,y,z,t)
τzx = τzx(x,y,z,t)
τzy = τzy(x,y,z,t)
τzz = τzy(x,y,z,t)
Campos Escalares
1515
Campos
Campos Transiente: componentes dependem do tempo.
Campos Permanente: componentes não dependem do tempo.
Campos Uniforme: componentes não dependem da posição.
Campos Uni, Bi ou Tridimensionais: campos em uma, duas ou três dimensões.
16
Introdução à Álgebra Tensorial
ii
i
ii
evv
evv
evevevv





3
1
332211
e1, e2, e3 são chamados de vetores unitários
mutuamente ortogonais entre si, versores ou
vetores ortonormais.
v
2
1
3
e2
e1 e3
Notação indicial de
Einstein.
Ordem de um Tensor  3N
N = 0  Escalar (Tensor de ordem 0)
N = 1  Vetor (Tensor de ordem 1)
N = 2  Tensor de ordem 2
Operações com Vetores (Tensor de ordem 1)
  iiiiiii evueveuvu 
ii evcvc .. 
1 – Soma e Subtração de vetores:
2 – Multiplicação de um vetor por um escalar:
  )cos( jijijijijijjii eeeevueevueveuvu 
cos(eiej) = 1 se i = j
cos(eiej) = 0 se i ≠ j
1ji ee
ijjivuvu 
Operações com Vetores (Tensor de ordem 1)
3 – Produto escalar de dois vetores:
Delta de Kroenecker
δij = 1 se i = j
δij = 0 se i ≠ j
332211 vuvuvuvuvuvu jjii 
ESCALAR
vvvvvv zyxv
2222
3
2
2
2
1

3.1 – Produto escalar de dois vetores - Propriedades 
uvvu 
   wvuwvu 
     wuvuwvu 
Comutativa:
Não associativa:
Distributiva:
3.2 – Produto escalar de dois vetores – Significado Físico 
O produto escalar de u e v é a projeção de u em v multiplicada pelo
módulo de v e vice-versa.
áreavu 
v
u
2
uuu 
O produto escalar de um vetor por ele mesmo é o quadrado
da sua magnitude.
4 – Produto vetorial de dois vetores 
      kjijijijijijjii eeeseneevueevueveuvu )(
ijk = sen(eiej) = 0 se i = j=k
ijk = sen(eiej) = + 1 se eiej =/2  ijk = 123, 231, 312
ijk = sen(eiej) = - 1 se eiej = -/2  ijk = 321, 213, 132
1ji ee
kijkji evuvu 
ijk
Tensor Permutador
1
23
1
23
+ -
4 – Produto vetorial de dois vetores 
][]
[
]
[
333333233233133133
332323232223132123331313231213
131113323332223232123132322322
222222122122321312221212121112
313331213231113131312321212221
112121311311211211111111
evuevuevu
evuevuevuevuevu
evuevuevuevuevu
evuevuevuevuevu
evuevuevuevuevu
evuevuevuevuvu
evuvu kijkji














1
23
1
23
+ -
]
[
132123231213
123132321312213231312321
evuevu
evuevuevuevuvu




312212313121312332
321312123212132313121313212323132
)()()(
)()()(
evuvuevuvuevuvuvu
evuvuevuvuevuvu
vu





4 – Produto vetorial de dois vetores 
1
23
1
23
+ -
Descartando os termos com tensores permutadores
nulos e reorganizando têm-se a seguinte expressão:
Observe na seqüência como obter esse produto
de maneira prática.
4.3 – Representação de um Produto vetorial de dois vetores:
kijkji evuvu 
1
23
1
23
+ -
)(
)(
213231321312132123
231213123132312321
evuevuevu
evuevuevuvu




)()( 231312123213132321 evuevuevuevuevuevuvu 
312212311312332 )()()( evuvuevuvuevuvuvu 
4.3 – Representação de um Produto vetorial de dois vetores:
kijkji evuvu 
312212311312332 )()()( evuvuevuvuevuvuvu 
333
222
111
321
321
321
detdet
vue
vue
vue
vvv
uuu
eee
vu 
4.1 – Produto vetorial de dois vetores - Propriedades 
 uvvu 
0uu
    wvuwvu 
     wvwuwvu 
4.2 – Produto vetorial de dois vetores – Significado físico 
 vu
v
u
A área do paralelogramo define o
comprimento do vetor formado pelo produto
vetorial de u por v.
5 – Produto Triplo ou Misto entre três vetores:
      kjikjikkjjii eeewvueweveuwvu 
       isjkssijkssjksikji eeeeeee  
  jkikji eee 
 
321
321
321
det
www
vvv
uuu
wvuwvu jkikji  
O produto triplo ou misto entre três vetores u, v e w gera um escalar 
e indica o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.
5.1 – Significado do Produto Triplo entre três vetores:
u
v
w
6 – Produto Diádico ou Tensorial entre dois vetores:
jiji eeuveveuvuvu 
eiej  Díada unitária que define duas direções ao mesmo tempo e a posição do
elemento na matriz (linha i ,coluna j).
332313
322212
312111
vuvuvu
vuvuvu
vuvuvu
eeuveveuvu jiji 
Pode ser encontrado em alguns livros com essa notação.
3
1
2
21ee
Tensor de ordem 2.
3
1
2
32 ee
3
1
2
31ee
RESUMO – Operações Fundamentais:
ijji ee 
kijkji eee 
jkikji eeee  )(
kijkji eeee  )(
kijkji eeee  )(
sijkskji eeeeee  )()(
isjksikjskji eeeeeeee  ))(()(:)(
7 – Operações com Tensores:
Suponha os tensores T e S.
333231
232221
131211
TTT
TTT
TTT
eeTT jiij 
333231
232221
131211
SSS
SSS
SSS
eeSS srrs 
7.1 – Soma de Tensores:
  TensoreeSTST jiijij 
7.2 – Multiplicação por um escalar:
  TensoreecTTc jiij 
7.3 – Duplo produto escalar de dois Tensores:  
  
   
 
jiij
isjrrsij
sirjrsij
srjirsij
srrsjiij
STST
STST
eeeeSTST
eeeeSTST
eeSeeTST





:
:
:
::
::

333231
232221
131211
TTT
TTT
TTT
eeTT jiij 
333231
232221
131211
SSS
SSS
SSS
eeSS srrs 
     333323321331322322221221311321121111
:
STSTSTSTSTSTSTSTST
EscalarSTST jiij


7.4 – Produto escalar de dois Tensores:
  
  
   
  
  TensoreeSTST
eeSTST
eeeeSTST
eeeeSTST
eeSeeTST
sijsij
sijrrsij
sirjrsij
srjirsij
srrsjiij






7.5 – Produto escalar entre Tensor e Vetor:
  
  
  
 
VetorevTvT
evTvT
eeevTvT
eeevTvT
eveeTvT
ijij
jkikij
kjikij
kjikij
kkjiij






7.6 – Ordem das Operações:
Operação Ordem do Tensor
Nenhuma 
Produto vetorial (x)  – 1 
Produto escalar (.)  – 2
Duplo produto escalar (:)  – 4
   
   
    EscalarwTvu
wTvu
wTvu
EscalarST
VetorTv
TensorTs






02)1()1()()(
)1()1()()(
)212()111()()(
0)422(:
1)221(
2)20(
Exemplos:
Exercícios:
  vuTvuTa :)
1) Mostre que:
uTTub )
uvvuc )