Determinando pi experimentalmente

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Atividade 1:
Determinando Experimentalmente a constante pi
Tratamento de Dados Utilizando o MMQ para Ajustes de Curvas
24 de agosto de 2019
1 Introdução
A obtenção de constantes conhecidas, a partir de dados experimentais, é uma excelente
maneira de verificar se o processo de coleta de dados vem sendo feita de forma criteriosa e ainda
se o estudante consegue aplicar os métodos de tratamento de dados discutidos em sala. Nesta
atividade, em particular, objetivamos familiarizar os estudantes com os tipos de tratamento de
dados, que serão utilizados nos experimentos da componente GCET099P.
Partindo de um conjunto de dados obtidos para a medida do raio, circunferência e área
de diferentes discos, os estudantes serão guiados, utilizando o Método dos Mínimos Quadrados
(MMQ) no tratamento dos dados, a obter o valor experimental da constante pi: (i) a partir
da relação entre a medida da circunferência e do raio; (ii) a partir da relação entre a área e o
quadrado do raio; e (iii) a partir da linearização, utilizando o método logaritmo, na relação entre
a área e o raio.
2 Descrição do Experimento
2.1 Apresentando o Problema
Um grupo de estudantes, deseja obter experimentalmente o valor da constante pi, tendo
disponível papel milimetrado, instrumentos de medidas milimetrados (fita métrica, por ex.) e
um conjunto contendo sete discos, com diâmetros distintos.
2.2 Coleta de Dados
Então os estudantes, sabendo da existência dos possíveis erros experimentais, na tentativa
de minimiza-los, seguem os seguintes passos para a obtenção os dados:
1. Identificam os discos, do menor para o maior, utilizando os números de 1 a 7;
2. Utilizando a fita métrica, realiza-se a medida do raio (R) e do comprimento (C) da circun-
ferências do disco (perímetro), 10 vezes;
3. Calcula os valores médios de R e C, com uma casa decimal, e anota na tabela (abaixo);
4. Realizar-se os passos 2 e 3 para os outros 6 discos;
5. Para a obtenção das áreas, desenhar-se o contorno dos sete discos no papel milimetrado;
6. Realiza-se a contagem dos quadradinho (cuja área mede 1 mm2), determinando assim, sua
área;
7. Este processo de contagem foi feito 5 vezes para cada disco, calculado o valor médio e
transformado a unidade de medida para cm2; estes valores foram anotados na tabela abaixo.
1
N
o
Disco Raio (cm) Perímetro (cm) Área(cm2)
1 2,0 12,8 12,5
2 3,0 18,9 28,5
3 4,0 25,8 49,9
4 5,0 30,7 75,7
5 6,0 38,0 114,0
6 7,0 43,5 155,2
7 8,0 51,4 200,1
3 Tratamento de Dados
3.1 Determinando pi utilizando a relação entre C e R:
A relação teórica, conhecida para relação entre o perímetro de uma circunferência e seu raio
é:
C = 2piR, (1)
ou seja, existe uma dependência linear entre o perímetro e o raio de uma circunferência qualquer.
Sabendo que um relação linear pode se representada por:
f(x) = ax+ b, (2)
em que a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear. Podemos interpretar que coeficiente
angular na equação (1) é 2pi e o coeficiente linear é nulo, pois para o caso em que R→ 0 temos
que C → 0.
Desta forma, para determinarmos o valor da constante pi utilizando nossos dados, devemos
determinar o coeficiente angular da reta que descreve a relação entre as medidas obtidas para e
C e R.
N
o
Disco Raio (cm) Perímetro (cm)
1 2,0 12,8
2 3,0 18,9
3 4,0 25,8
4 5,0 30,7
5 6,0 38,0
6 7,0 43,5
7 8,0 51,4
Para isto, proceda da seguinte forma:
1. Identifique quem devem ser as variáveis independente e dependente em seus dados;
2. Utilizando os dados para R e C, construa o gráfico, utilizando uma escala linear, papel
milimetrado comum (Obs.: Variável independente no eixo x e a varável dependente no eixo
y);
3. Observe e descreva o comportamento do gráfico: Possui uma tendência crescente ou de-
crescente? a dependência entre as variáveis aparenta ser linear? Os pontos no gráfico estão
exatamente sobre uma mesma reta?
4. Sabendo que a dependência teórica é linear, utilize o método dos MMQ para ajustar os
dados e obter a melhor reta que descreve a dependência experimental;
5. Trace no gráfico (juntamente com os dados experimentais) a reta de ajuste;
2
6. Interprete os valores dos coeficientes Angular e Linear da reta de ajuste obtida com o MMQ
7. Comparando os coeficientes Angulares da equação (1) e da reta de Ajuste, determine o
valor experimental de piExp
8. Para verificar a validade do método aplicado, calcule a discrepância entre o valor medido
e o valor teórico conhecido (pi = 3, 1415):
∆ =
|pi − piExp|
pi
× 100% (3)
9. Avalie o resultado obtido.
3.2 Determinando pi utilizando a relação entre A e R:
A dependência teórica conhecida para a relação entre a área e o raio é:
A = piR2, (4)
ou seja existe uma dependência quadrática (ou relação do tipo potência, de segunda ordem) entre
a área e o raio de uma circunferência. Podemos representar essa dependência na forma:
y = axn (5)
em que n = 2. Podemos observar que, o coeficiente que multiplica x2 é justamente a constante
pi que queremos determinar experimentalmente. Entretanto, esbarramos em um problema: O
método apresentado para ajuste de dados (o MMQ) foi deduzido para uma relação linear.
Temos então dois possíveis caminhos para contornar este problema: (i) Deduzir uma expressão
de ajuste para uma função quadrática ou (ii) tentar transformar a dependência entre as grandezas
envolvidas em uma dependência linear.
Apesar de ser possível utilizar o caminho (i), não o utilizaremos por ser algebricamente
inviável, a medida que o grau da potencia aumenta (ou para casos de potências fracionadas).
Para o caso (ii), podemos apresentar duas formas de se realizar a linearização, e que podem
ser aplicadas de forma geral, independente do grau da potência. Apresentaremos, a seguir, a
linearização por substituição de variável e a linearização pelo método do logaritmo.
3.2.1 Linearização por substituição de variável
Como o nome do método já sugere, o objetivo aqui é encontrar uma relação linear, realizando
uma mudança de variável. por exemplo, se na equação (5) fizermos a mudança de variável t = xn,
teríamos a relação linear:
y = at (6)
e, assim, podemos aplicar o método do MMQ que já aprendemos.
Desta forma, para determinarmos o valor da constante pi utilizando nossos dados, devemos
determinar o coeficiente angular da reta que descreve a relação entre as medidas obtidas para e
A e t = R2. Para isto, proceda da seguinte forma:
1. Calcule os valores R2 e complete a tabela abaixo:
N
o
Disco Raio (cm) t = R2 (cm2) Área(cm2)
1 2,0 12,5
2 3,0 28,5
3 4,0 49,9
4 5,0 75,7
5 6,0 114,0
6 7,0 155,2
7 8,0 200,1
3
2. Identifique quem devem ser as variáveis independente e dependente em seus dados;
3. Utilizando os dados para A e R, construa o gráfico, utilizando uma escala linear, papel
milimetrado comum (Obs.: Variável independente no eixo x e a varável dependente no eixo
y);
4. Observe e descreva o comportamento do gráfico: Possui uma tendência crescente ou de-
crescente? a dependência entre as variáveis aparenta ser linear? Os pontos no gráfico estão
exatamente sobre uma mesma reta?
5. Utilizando os dados para A e t, construa o gráfico, utilizando uma escala linear, papel
milimetrado comum;
6. Observe e descreva o comportamento do gráfico: Possui uma tendência crescente ou de-
crescente? a dependência entre as variáveis aparenta ser linear? Os pontos no gráfico estão
exatamente sobre uma mesma reta?
7. Sabendo que, para este segunda caso a dependência é linear, utilize o método dos MMQ
para ajustar os dados e obter a melhor reta que descreve a dependência experimental;
8. Trace no gráfico, juntamente com os dados experimentais, a reta de ajuste;
9. Interprete os valores dos coeficientes angular e linear da reta de ajuste obtida com o MMQ;
10. Comparando o coeficienteangular da eq(4) e com o da reta de ajuste, determine o valor
experimental de piExp;
11. Para verificar a validade do método aplicado, calcule a discrepância entre o valor medido
e o valor teórico conhecido (pi = 3, 1415):
∆ =
|pi − piExp|
pi
× 100% (7)
12. Avalie o resultado obtido.
3.2.2 Linearização pelo método do logaritmo
Este método de linearização que apresentaremos agora para a dependência do tipo potência
y = axn, pode ser utilizado para linearizar dependência do tipo exponencial y = abx (fica como
exercício!!).
Considere nossa função do tipo potência dada na forma:
y = axn. (8)
Podemos aplicar o logaritmo (em qualquer base) nos dois lados da equação (8), obtendo:
log(y) = log(axn). (9)
Utilizando as seguintes propriedades conhecidas para as operações envolvendo logaritmos:
i. Em qualquer base, o logaritmo do produto de dois ou mais números positivos é igual à
soma dos logaritmos de cada um desses números.
ii. Em qualquer base, o logaritmo de uma potência de base real e positiva é igual ao produto
do expoente pelo logaritmo da base da potência.
4
Aplicando a propriedade i na equação (9), teremos:
log(y) = log(a) + log(xn), (10)
e, ao aplicar a propriedade ii, chegaremos ao seguinte resultado:
log(y) = log(a) + nlog(x), (11)
redefinindo as variáveis y′ = log(y) e x′ = log(x), obteremos:
y′ = a′ + nx′, (12)
que é uma relação linear. Ou seja, a equação (12) é a equação (8) linearizada pelo método do
logaritmo.
Como sabemos que a dependência teórica entre a área e o raio da circunferência é do tipo
potência, podemos escrever a equação linearizada pelo método logaritmo da eq (4) como:
A′ = a′ + nR′, (13)
sendo A′ = log(A) e R′ = log(R).
Desta forma, para determinarmos o valor da constante pi utilizando nossos dados, devemos
determinar os coeficientes angular e linear da reta que descreve a relação entre as medidas
obtidas para e A′ e R′. Neste caso, observe que o coeficiente angular das equações (12) e (13)
estão relacionados com o expoente n da função (ordem da potência) e os coeficientes lineares
a′ = log(a) estão relacionados com a constante a que multiplica o xn, que pode ser escrita como:
a = 10a
′
(14)
Para isto, proceda da seguinte forma:
1. Calcule os valores de R′ e A′ e complete a tabela abaixo:
N
o
Disco Raio (cm) R'=log(R) Área(cm2) A′ = log(A)
1 2,0 12,5
2 3,0 28,5
3 4,0 49,9
4 5,0 75,7
5 6,0 114,0
6 7,0 155,2
7 8,0 200,1
2. Identifique quem devem ser as variáveis independente e dependente em seus dados;
3. Utilizando os dados para A′ e R′, construa o gráfico, utilizando uma escala linear, papel
milimetrado comum (Obs.: Variável independente no eixo x e a varável dependente no eixo
y);
4. Observe e descreva o comportamento do gráfico. Possui uma tendência crescente ou de-
crescente? a dependência entre as variáveis aparenta ser linear? Os pontos no gráfico estão
exatamente sobre uma mesma reta?
5. Sabendo que a dependência entre A′ e R′, linear, utilize o método dos MMQ para ajustar
os dados e obter a melhor reta que descreve a dependência experimental;
6. Trace no gráfico, juntamente com os dados experimentais, a reta de ajuste;
5
7. Interprete os valores dos coeficientes angular e linear da reta de ajuste obtida com o MMQ
8. Comparando os coeficientes angular e linear da eq(13) com os coeficientes da reta de ajuste,
determine o valor experimental de piExp e o valor experimental do expoente nExp
9. Para verificar a validade do método aplicado, calcule a discrepância entre o valor medido
(piExp) e o valor teórico conhecido (pi = 3, 1415):
∆ =
|pi − piExp|
pi
× 100% (15)
10. Calcule a discrepância entre o valor medido nExp e o valor teórico conhecido (n = 2):
∆ =
|n− nExp|
n
× 100% (16)
11. Avalie o resultado obtido.
4 Observações
• Discuta aqui suas impressões sobre os métodos aplicados, comparação entre os métodos,
qualidade e precisão dos resultados.
• Observem que os passos feitos nesta atividade, devem ser aplicados nas análises de dados
dos experimentos a serem realizados, neste semestre, toda vez que for solicitado informações
através de análises gráficas.
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