Lista de Exercícios - Aula 2 - Gabarito e Resolução

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Matemática Aplicada aos Negócios 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS – CAPÍTULO 3 e 4 
 
Não vale nota – apenas para exercitar! 
 
Limites e Continuidade de Funções 
 
Q1) Calcule os seguintes limites: 
 
a) ⁡lim
𝑥→5
𝑥3−2𝑥2−3𝑥
𝑥2+𝑥
 
b) lim
𝑥→−
1
2
⁡
5𝑥2 −
3𝑥
2𝑥2+𝑥
 
c) lim
𝑥→⁡+∞
3𝑥
2𝑥2+𝑥
 
d) lim
𝑥→⁡−3
1
5𝑥+3
 
e) lim
𝑥→⁡+∞
1
5𝑥
 
 
R1: 
a) lim
𝑥→5
𝑥3−2𝑥2−3𝑥
𝑥2+𝑥
= lim
𝑥→5
𝑥(𝑥2−2𝑥−3)
𝑥(𝑥+1)
= lim
𝑥→5
𝑥2−2𝑥−3
𝑥+1
 
= lim
𝑥→5
(𝑥 + 1)(𝑥 − 3)
(𝑥 + 1)
= lim
𝑥→5
𝑥 − 3 = 5 − 3 = 2 
 
b) lim
𝑥→−
1
2
⁡
5𝑥2 −
3𝑥
2𝑥2+𝑥
= lim
𝑥→−
1
2
⁡
5𝑥2 −
3𝑥
𝑥(2𝑥+1)
= lim
𝑥→−
1
2
⁡
5𝑥2 −
3
2𝑥+1
 
 
= lim
𝑥→−
1
2⁡
5𝑥2 − lim
𝑥→−
1
2⁡
3
2𝑥 + 1
=
5
4
−∞ = −∞ 
 
c) lim
𝑥→⁡+∞
3𝑥
2𝑥2+𝑥
= lim
𝑥→⁡+∞
3𝑥
𝑥(2𝑥+1)
= lim
𝑥→⁡+∞
3
2𝑥+1
= 0 
 
d) lim
𝑥→⁡−3
1
5𝑥+3
=
1
5−3+3
=
1
50
= 1 
 
e) lim
𝑥→⁡+∞
1
5𝑥
= 0, pois lim
𝑥→⁡+∞
5𝑥 = +∞. 
 
 
Q2) Sabendo que 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) para todo 𝑥 no domínio das funções, onde 
 
𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 3𝑥 
ℎ(𝑥) = −8𝑥2 − 12𝑥 − 27. 
 
Determine o limite de 𝑔(𝑥) quando 𝑥 tende a −
3
4
. 
R2: 
Sabendo que 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) para todo 𝑥 no domínio das funções, onde 
 
𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 3𝑥 
ℎ(𝑥) = −8𝑥2 − 12𝑥 − 27. 
 
Determine o limite de 𝑔(𝑥) quando 𝑥 tende a −
3
4
. 
 
Observe que se mostrarmos que os limites de 𝑓(𝑥) e ℎ(𝑥) coincidem, quando 𝑥 tende a 
−
3
4
, então pelo Teorema do Confronto, teremos que o limite de 𝑔(𝑥) quando 𝑥 tende a −
3
4
 
será o mesmo. 
 
Note que, como ambas as funções são polinomiais, para calcularmos o limite, basta 
aplicarmos as funções no ponto 𝑥 = −
3
4
, e assim temos 
lim
𝑥→⁡−
3
4
𝑓(𝑥) = 𝑓 (−
3
4
) = −
9
8
 
lim
𝑥→⁡−
3
4
ℎ(𝑥) = ℎ (−
3
4
) = −
9
8
 
 
Portanto,⁡ lim
𝑥→⁡−
3
4
𝑔(𝑥) = −
9
8
. 
 
Q3) Verifique se a função 𝑓(𝑥) = 5𝑥 +
𝑥+1
𝑥
 é contínua no ponto 𝑥 = 0. 
 
R3: Verifique se a função 𝑓(𝑥) = 5𝑥 +
𝑥+1
𝑥
 é contínua no ponto 𝑥 = 0. 
Note que 
 lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0−
5𝑥 +
𝑥+1
𝑥
= lim
𝑥→0−
5𝑥 + 1 +
1
𝑥
= −∞ 
 
lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0+
5𝑥 +
𝑥 + 1
𝑥
= lim
𝑥→0+
5𝑥 + 1 +
1
𝑥
= +∞ 
 
Logo lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) ≠ lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) e, portanto, essa função não é contínua nesse ponto. 
 
 
Q4) Calcule os seguintes limites laterais: 
 
 
 
 
 
R4: Substituindo o x na função do limite podemos ver o que acontece com a função: 
 
 
 
 
 
Perceba que substituindo 6, teremos o resultado (mais ou menos infinito), pois não está 
definido de onde o x está tendendo a 6, se da esquerda (números menores) ou da direita 
(números maiores). Deste modo, se aplicarmos o conceito de limite lateral nas funções 
do limite do exercício, teremos: 
 
 
 
 
Assim, em (1) 6+ é ligeiramente maior que 6; da mesma forma, em (2) 6− é ligeiramente 
menor do que 6. Logo, (1) tenderá ao infinito para valores positivos e (2) tenderá ao 
infinito para valores negativos. 
 
Q5) Encontre a solução para o seguinte problema de continuidade de funções: 
Uma companhia ferroviária cobra R$10 por milha para transportar um vagão até 200 
milhas e R$8 por cada milha que exceda a 200. Além disso, a companhia ferroviária 
cobra uma taxa de serviço de R$1.000 por vagão. Encontre as funções da solução deste 
problema e faça um esboço do gráfico do custo para transportar um vagão a uma 
distância de 𝑥 milhas. 
R5: 
Se x é no máximo 200 milhas, então o custo C(x) é determinado por C(x)=1000+10x 
reais. O custo para 200 milhas é C(200)=1000+2000=3000 reais. Se x excede a 200 
milhas, então o custo total será de: 
C(x) = 3000 + 8(x-200)=1400+8x 
Então as funções que solucionam esse problema são: 
𝐶(𝑥) {
1000 + 10𝑥, 𝑝𝑎𝑟𝑎⁡0 < 𝑥 ≤ 200,
14400 + 8𝑥, 𝑝𝑎𝑟𝑎⁡𝑥 > 200.
 
O gráfico de C(x) é dado a seguir. Note que X(x) não é diferenciável em x=200. 
 
 
 
 
 
Derivadas 
 
Q1) A partir do seu conhecimento de derivadas, cite duas possíveis aplicações dessa 
ferramenta para facilitar análises matemática e análises gráficas. 
R1: Resposta esperada: 
1. A derivada de uma função num ponto A é o coeficiente angular da reta tangente a 
curva no ponto A. Isso possibilita análise da inclinação da função no gráfico. 
2. A derivada de uma função permite compreender a taxa de variação média de uma 
função, assim é possível prever como funções custo e funções lucro se 
comportarão no decorrer do tempo. 
3. As derivadas primeiras e segundas permitem identificar o comportamento 
crescente ou decrescente das funções, facilitando análises gráficas. 
4. As derivadas permitem encontrar os máximos e mínimos de uma função, de modo 
que seja possível encontrar pontos de lucro máximo ou custos mínimos para uma 
dada função de produção. 
 
Q2) Analise o gráfico e identifique a taxa de variação média de P, dado que x varia no 
intervalo [3,4]. 
 
R2: 
𝑃
𝑥
=
16−9
4−3
=
5
1
= 5. 
 
Q3) Classifique cada uma das operações de derivadas a seguir de acordo com a 
propriedade utilizada: derivada da soma, derivada do produto, regra da cadeia e derivada 
do quociente. Sugestão: resolva as derivadas! 
 
a) 𝑓(𝑥) = ⁡4𝑥2 ⁡+ ⁡7𝑥 − 1 ⇔ ⁡𝑓⁡’(𝑥) = 8𝑥⁡ + ⁡7 
b) 𝑓(𝑥) ⁡= ⁡𝑐𝑜𝑠⁡(𝑥3) ⁡⇔ ⁡𝑓⁡’(𝑥) = ⁡−⁡𝑠𝑒𝑛(𝑥3).3𝑥2 
c) 𝑓(𝑥) ⁡= ⁡𝑥. (𝑥2 + 4𝑥) ⁡⇔ ⁡𝑓⁡’(𝑥) = ⁡ (𝑥2 + 4𝑥) ⁡+⁡(2𝑥2 + 4𝑥) 
d) 𝑓(𝑥) ⁡= ⁡
4𝑥4−8
5𝑥
⇔ ⁡𝑓⁡’(𝑥) =
(16𝑥3).(5𝑥)−(4𝑥4−8).(5)
(5𝑥)2
 
e) 𝑓(𝑥) = [𝑥3 + ln(𝑥)] ⁡⇔ 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 + 1/𝑥 
f) 𝑓(𝑥) = (𝑥6. 𝑒𝑥) ⇔ 6𝑥5𝑒𝑥 + 𝑥6𝑒𝑥 
g) 𝑓(𝑥) = 𝑥4. 𝑥4 ⁡⇔ 8𝑥3𝑥4 
 
R3: Derivada da soma: a), e) / Derivada do produto: c), f), g) / Derivada do quociente: d) / 
Regra da cadeia: b) 
A derivada da soma pode ser descrita como: 
[𝑓 + 𝑔]′ = 𝑓′ + 𝑔′ 
Esta propriedade diz que para derivar uma soma, basta derivarmos as funções 
individualmente e somá-las. Isto é, a derivada da soma é a soma das derivadas. 
 
A derivada do produto pode ser descrita como: 
[𝑓 ⋅ 𝑔]′ = 𝑓′𝑔 + 𝑔′𝑓 
De modo que a derivada de um produto de funções resulta na derivada da primeira função 
multiplicada pela segunda mais a primeira função multiplicada pela derivada da segunda. 
 
A regra da cadeia pode ser descrita como uma fórmula para a derivada da função 
composta de duas funções. 
Sejam 𝑦 = ℎ(𝑢) e 𝑢 = 𝑔(𝑥) duas funções deriváveis, com 𝐼𝑚(𝑔) ⊂ 𝐷𝑜𝑚(ℎ), e 
consideremos a função composta 𝑦 = 𝑓(𝑥) = ℎ[𝑔(𝑥)]. Então 𝑓 é derivável e 𝑓′(𝑥) =
ℎ′(𝑔(𝑥)). 𝑔′(𝑥), para todo 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔). 
 
A derivada do quociente pode ser descrita como o comportamento sempre que a função 
é uma divisão de funções: 
[𝑓 ⋅ 𝑔]′ =
𝑓′𝑔 − 𝑔′𝑓
𝑔2
 
Dizemos que é a derivada da primeira função multiplicada pela segunda função menos a 
derivada da segunda função vezes a primeira, tudo isso divido pela segunda função ao 
quadrado. 
 
 
Q4) De acordo com o gráfico a seguir e utilizando seus conhecimentos sobre o 
comportamento da reta tangente, responda: Qual dos pontos apresenta a maior taxa de 
crescimento instantâneo? 
 
a) A 
b) B 
c) C 
d) Não há ponto instantâneo de crescimento definido. 
 
R4: Letra C. O ponto de crescimento mais elevado é aquele que apresenta um 
crescimento mais inclinado, ou exponencial. Não necessariamente o que está em um 
ponto mais alto. 
 
Q5) Calcule as seguintes derivadas. 
(𝑎)⁡𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 1 
(𝑏)⁡𝑓(𝑥)= 32 
(𝑐)⁡𝑓(𝑥) = 5𝑥3 − 2𝑥⁡ + ⁡3 
(𝑑)𝑓(𝑥) =
𝑥2
3
⁡− 3𝑥⁡ + ⁡5/2⁡⁡ 
(𝑒)𝑓(𝑥) = 3(𝑥 − 2) 
(𝑓)𝑓(𝑥) =
4𝑥
(𝑥 − 1)
 
(𝑔)⁡𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1)𝑠𝑒𝑛𝑥 
 
R5: 
(𝑎)⁡𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 1 
𝑓′(𝑥) = 3 
 
(𝑏)⁡𝑓(𝑥) = 32 
𝑓′(𝑥) = 0 
 
(𝑐)⁡𝑓(𝑥) = 5𝑥3 − 2𝑥⁡ + ⁡3 
𝑓′(𝑥) = 15𝑥2 − 2 
 
(𝑑)𝑓(𝑥) =
𝑥2
3
⁡− 3𝑥⁡ + ⁡5/2⁡⁡ 
𝑓(𝑥) =
1
3
. 𝑥2 ⁡− 3𝑥⁡ + ⁡5/2⁡⁡ 
𝑓′(𝑥) =
1
3
. 2. 𝑥1 ⁡− 3⁡⁡ 
𝑓′(𝑥) =
2
3
. 𝑥⁡ − 3⁡⁡ 
 
(𝑒)𝑓(𝑥) = 3(𝑥 − 2) 
𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 6 
𝑓′(𝑥) = 3 
 
(𝑓)𝑓(𝑥) =
4𝑥
(𝑥 − 1)
 
𝑓′(𝑥) = (4𝑥)′. (𝑥 − 1) + (4𝑥)(𝑥 − 1)′ 
𝑓′(𝑥) = 4. (𝑥 − 1) + (4𝑥)1 
𝑓′(𝑥) = 4𝑥 − 4 + 4𝑥 
𝑓′(𝑥) = 8𝑥 − 4 
 
(𝑔)𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1). 𝑠𝑒𝑛𝑥 
𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1). 𝑠𝑒𝑛𝑥 
𝑓′(𝑥) = (2𝑥 + 1)′. 𝑠𝑒𝑛𝑥 + (2𝑥 + 1). (𝑠𝑒𝑛𝑥)′ 
𝑓′(𝑥) = 2. 𝑠𝑒𝑛𝑥 + (2𝑥 + 1). 𝑐𝑜𝑠𝑥 ou 𝑓′(𝑥) = 2. 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 
 
 
Links com mais exercícios resolvidos: 
http://www.dicasdecalculo.com.br/limites-exercicios-resolvidos/ 
https://www.respondeai.com.br/resumos/17/capitulos/1/exercicios/903 (site pago, mas 
com breve assinatura gratuita) 
http://sabermatematica.com.br/exercicios-resolvidos-limites.html 
https://comocalcular.com.br/exercicios/limitesexerciciosresolvidos/