Aula 1-Conjuntos e Notações Importantes

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Alguns conjuntos e notações importantes
Definição 1. O conjunto dos números naturais é denotado por N e ele é o conjunto
N = {1, 2, 3, 4, 5, ....}
O conjunto dos números inteiros é denotado por Z e ele é o conjunto
Z = {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ....}
Alguns símbolos matemáticos são interessantes para tentar representar de forma mais con-
cisa certos resultados ou condições. Esses símbolos estão descritos na tabela abaixo.
Símbolo Significado
∈ pertence a
/∈ não pertence
/ tal que
∃ existe
@ não existe
∀ para todo
⇒ então, necessariamente,
→ implica que
⇔ se, e somente se,
↔
O termo se, e somente se, é utilizado quando queremos dizer que duas afirmações são
equivalentes. Por exemplo, se p e q são duas afirmações, então p↔ q significa: p→ q e q → p.
Em outras palavras, esse termo equivale a duas implicações.
p↔ q representa p→ q e q → p
Exemplo 1. A sentença
∃ x ∈ N / x < 2
pode ser lida como: "existe um elemento x pertencente ao conjunto dos números naturais tal
que x é estritamente menor do que 2". Em outras palavras, a sentença representa a afirmação:
existe um número natural menor do que 2.
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Exemplo 2. A sentença
@ x ∈ N / x ≤ −1
pode ser lida como: "não existe um elemento x pertencente ao conjunto dos números naturais
tal que x é menor ou igual a −1". Em outras palavras, a sentença representa a afirmação: não
existe nenhum número natural menor ou igual a −1.
Exemplo 3. Se A é o conjunto dos alunos da PUC-MG, então a sentença
∃ x ∈ A / x joga futebol aos domingos
pode ser lida como: "existe um elemento x pertencente ao conjunto A tal que x joga futebol
aos domingos". Em outras palavras, a sentença representa a afirmação: existe um aluno da
PUC-MG que joga futebol aos domingos.
Exemplo 4. A sentença
x ∈ N → x ∈ Z
pode ser lida como: "se um elemento x pertence ao conjunto dos números naturais, então ne-
cessariamente x pertence ao conjunto dos números inteiros". Em outras palavras, todo número
natural é um número inteiro.
Exemplo 5. A sentença √
x = 4 ↔ x = 16
pode ser lida como: "a raiz de um número x é 4 se, e somente se, o número x for igual a 16"e
ela composta de duas afirmações simultâneas: (1) Se
√
x = 4, então x = 16 e (2) Se x = 16,
então
√
x = 4.
Nós podemos representar um conjunto escrevendo entre chaves as propriedades que um
elemento deve satisfazer para pertencer à esse conjunto. Nesse caso utilizamos a notação
A = {x | x satisfaz as propriedades ... }
(que pode ser lido como: A é o conjunto de todos os elementos x que satisfazem as proprie-
dades requeridas). A barra vertical | que aparece na notação acima pode ser lida como "que
satisfazem"ou "para os quais". Muitas vezes explicitamos antes da barra vertical qual é o con-
junto maior nos quais o elemento x está sendo considerado (ou seja, se estamos considerando os
elementos x entre os números naturais, se estamos considerando os elementos x entre os alunos
de uma determinada escola, etc).
Exemplo 6. {x | x ∈ N e x ≤ 3} = {x ∈ N | x ≤ 3} = {1, 2, 3}
Exemplo 7. {x | x ∈ Z e − 3 ≤ x < 6} = {x ∈ Z | − 3 ≤ x < 6} = {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
Exemplo 8. {x ∈ Z | x < −3 ou x ≥ 6} = {...,−6,−5,−4, 6, 7, 8, 9, ...}
Exemplo 9. Se A é o conjunto de todos os alunos de uma escola, então
{x ∈ A | x participa da equipe de natação da escola }
é o conjunto de todos os alunos que participam da equipe de natação dessa escola.
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Definição 2. O conjunto dos números racionais é denotado por Q e ele é o conjunto de todos
os números que podem ser escritos como o quociente de dois números inteiros. Ou seja,
Q =
{
x | ∃ a, b ∈ Z tais que x = a
b
}
O conjunto dos números irracionais é denotado por I e ele é o conjunto de todos os números
que não podem ser escritos como o quociente de dois números inteiros. Ou seja,
I =
{
x | @ a, b ∈ Z tais que x = a
b
}
O conjunto dos números reais é denotado por R e ele é composto de todos os números racionais
e de todos os números irracionais. Ou seja,
R = {x | x ∈ Q ou x ∈ I}
Exemplo 10. A sentença
∀x ∈ N ∃ y ∈ Q / x · y = 1
pode ser lida como: "para todo elemento x pertencente ao conjunto dos números naturais existe
um número y pertencente ao conjunto dos números racionais tal que o produto x vezes y é 1".
Em outras palavras, a sentença representa a afirmação: para todo número natural x existe um
número racional y capaz de satisfazer x · y = 1.
Quando queremos considerar o conjunto composto apenas dos números não-negativos de
um dos conjuntos N,Z,Q, I e R, utilizamos a notação de tal conjunto com um sinal de + na
sua potência. Ou seja, se A é um conjunto, então
A+ = {x ∈ A|x ≥ 0}
Por exemplo,
Z+ = {x ∈ Z|x ≥ 0} = {0, 1, 2, 3, ...}
Q+ = {x ∈ Q|x ≥ 0}
I+ = {x ∈ I|x ≥ 0}
R+ = {x ∈ R|x ≥ 0}
De forma análoga, quando queremos considerar o conjunto composto apenas dos números
não-positivos de um destes conjuntos, utilizamos a notação do conjunto com um sinal de − na
sua potência. Ou seja, se A é um conjunto, então
A− = {x ∈ A|x ≤ 0}
Por exemplo,
Z− = {x ∈ Z|x ≤ 0} = {0, 1, 2, 3, ...}
Q− = {x ∈ Q|x ≤ 0}
I− = {x ∈ I|x ≤ 0}
R− = {x ∈ R|x ≤ 0}
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Quando queremos tirar o zero de algum conjunto, utilizamos a notação do conjunto com
um sinal de ∗ no seu subíndice. Ou seja, se A é um conjunto, então
A∗ = {x ∈ A|x 6= 0}
Por exemplo,
Z∗ = {x ∈ Z|x 6= 0} = {...,−3,−2,−1, 1, 2, 3, ...}
Q∗ = {x ∈ Q|x 6= 0}
I∗ = {x ∈ I|x 6= 0}
R∗ = {x ∈ R|x 6= 0}
Podemos usar as notações combinadas também. Ou seja, se A é um conjunto, então
A+∗ = {x ∈ A|x > 0}
A−∗ = {x ∈ A|x < 0}
Por exemplo,
Z+∗ = {x ∈ Z|x > 0} = {1, 2, 3, ...} = N
R−∗ = {x ∈ R|x < 0} = R+ \ {0}
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