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Exercícios de Equilíbrio Geral - Profa. Eveline Carvalho-UFC 
 
 
Para cada questão indique, falso ou verdadeiro e prove, argumente: 
Considere a Caixa de Edgeworth abaixo para as questões de 1 a 3 
1)Karen (K) tem mais unidades de y e menos unidades de x do que James (J) em E. ( F ) 
 
O gráfico mostra o contrário. Y está no eixo das ordenadas e x das abcissas 
2)É possível afirmar que o ponto E não é Pareto eficiente porque é socialmente injusto. 
( F ) 
Não por isso e sim porque as curvas de indiferença não são tangentes umas as outras o que 
indica que há chace para trocas muamente benéficas. 
3) Não só B mas qualquer ponto da Curva de Contrato (Contract Curve) é Pareto Eficiente.(V) 
A curva de contrato mostra todas as combinações de tangência onde as taxas marginais de 
substituição são iguais e portanto Pareto Eficiente. 
 
4) As preferência de Ana e Breno por whisky e churrasco são dadas pelas funções utilidade 
UA=wc e UB = wc. Suponha que Ana tem inicialmente 5 garrafas de whisky e 1 kg de carne e 
Breno tem 4 kg de carne e 2 garrafas de whisky. Se Ana der 4 garrafas de whisky e em troca 
receber 2 kg de carne, o nível de utilidade de Ana melhoraria e o de Bob pioraria. ( F ) 
É o contrário. O nível de utilidade de Ana pioraria e o de Bob melhoraria pois antes das trocas 
o nível de utilidade de Ana era UA = 5.1=5 e após as trocas passa a ser UA=1.2=2, já o nível de 
utilidade de Bob que era UB=2.4=8 passa a ser UB=12. 
 
5) Considerando as funções utilidades, dotação inicial e a troca realizada na questão 4, pode-
se afirmar que não existe outra alocação que preferida por Ana e Breno. ( F ) 
Para afirmar isso é preciso que a TMSA=TMSB. Como TMSA=c/w=1/2 e TMSB=c/w=6/2=3 de e 
haver outra alocação preferida por ambos. 
 
6) Agora considere as seguintes funções utilidade para os consumidores A e B, os bens x e y e 
os preços p1 e p2 para x e y, respectivamente: UA = xy e UB = xy2. Pode-se afirmar que há um 
equilíbrio Walrasiano, considerando as seguintes dotações iniciais: eA = (2, 4) e eB = (3,2). ( V ) 
Exercícios de Equilíbrio Geral - Profa. Eveline Carvalho-UFC 
 
A: 
Max UA = xy sujeito a p1x+p2y=2p1+4p2 
= xy - ( p1x+p2y-2p1-4p2) 

x
= 𝑦 − p1 = 0 () 
 

y
= 𝑥 − p2 = 0 () 
 


= 𝑝1𝑥 + 𝑝2𝑦 = 2𝑝1 + 4𝑝2 () 
 
De (1) e (2): y= 
𝑥𝑝1
𝑝2
 (4) 
Substituindo (4) em (3): 
 
𝑝1𝑥 + 𝑝2(
𝑥𝑝1
𝑝2
) = 2𝑝1 + 4𝑝2, então: xA* = 
2𝑝1+4𝑝2
2𝑝1
 e yA*= 
2𝑝1+4𝑝2
2𝑝2
 
 
B: 
 
Max UB = xy2 sujeito a p1x+p2y=3p1+2p2 
= x y2 - ( p1x+p2y-3p1-2p2) 

x
= 𝑦2 − p1 = 0 () 
 

y
= 2𝑥𝑦 − p2 = 0 () 
 


= 𝑝1𝑥 + 𝑝2𝑦 = 3𝑝1 + 2𝑝2 () 
 
De (1) e (2): y= 
2𝑥𝑝1
𝑝2
 (4) 
Substituindo (4) em (3): 
 
𝑝1𝑥 + 𝑝2(
2𝑥𝑝1
𝑝2
) = 3𝑝1 + 2𝑝2, então: xB* = 
3𝑝1+2𝑝2
3𝑝1
 e yB*= 
6𝑝1+4𝑝2
3𝑝2
 
 
xA*+ xB*= 5 
 
2𝑝1+4𝑝2
2𝑝1
 + 
3𝑝1+2𝑝2
3𝑝1
 = 5, 
6𝑝1+12𝑝2+6𝑝1+4𝑝2 
6𝑝1
 =5, P2 = 
9
8
 𝑃1 
 
xA* = 
2𝑝1+4(
9
8
 𝑃1)
2𝑝1
 = 
13
4
 e xB* = 
3𝑝1+2(
9
8
 𝑃1)
3𝑝1
 = 
7
4
 , confirma: xA* + xB* = 
13
4
 + 
7
4
 = 5 
 
yA*= 
2𝑝1+4(
9
8
 𝑃1)
2(
9
8
 𝑃1)
 = 
26
9
 e yB*= 
6𝑝1+4(
9
8
 𝑃1)
3(
9
8
 𝑃1)
 = 
28
9
, confirma: yA* + yB* = 
26
9
 + 
28
9
 = 6 
 
Para saber se é pareto eficiente: 
 
TMSA = TMSB = 
𝑝1
𝑝2
 
 
TMSA = 
UA
x
UA
y
 = 
𝑦
𝑥
 = 
26
9
13
4
 = 
104
117
 = 0,89 
Exercícios de Equilíbrio Geral - Profa. Eveline Carvalho-UFC 
 
 
TMSB = 
UB
x
UB
y
 = 
𝑦
2𝑥
 = 
28
9
14
4
 = 
112
126
 = 0,89 
 
𝑝1
𝑝2
 = 
8
9
 = 0,89 
 
7)Considerando os dados da questão 6, pode-se afirmar que melhorou o nível de 
utilidade de A e piorou o de B ( F ) 
 
Níveis de Utilidade: 
Antes: UA = 8, após: UA = 
13
4
.
26
9
= 9,38 
 
Antes: UB = 12, após= UB = 
7
4
.
28
9
= 16,94 
 
Melhorou o nível de utilidade para A e B 
 
8) A respeito de alocação de recursos existe sempre uma única visão do que é 
considerado equitativo ou socialmente justo. ( F ) 
Falso. Existem pelo menos 4 visões: Igualitária (todos os membros da sociedade 
recebem iguais quantidades), Rawsiana (maximina a utilidade da pessoa menos rica 
da sociedade), Utilitária (maximiza a utilidade total de todos os membros da 
sociedade) e orientado pelo mercado 
 
9)O Primeiro teorema do bem-estar afirma que todos os equilíbrios de mercado são 
Pareto Eficiente. Se isso não for verdade então é porque existe outra alocação factível 
(zA + zB = eA + eB e tA + tB = wA + wB) que é preferível (zA, tA) > (xA, yA) e (zB, tB) > (xB, 
yB). ( V ) 
 
Acontece que no equilíbrio de mercado cada agente adquire a melhor cesta que pode 
pagar, então as cestas (zA, tA) e (zB, tB) devem custar mais caro do que A e B podem 
pagar, isto é p1zA + p2tA > p1eA + p2wA e p1zB + p2tB > p1eB + p2wB. Somando: p1(zA + zB) 
+ p2(tA + tB) > p1(eA + eB) + p2(wA + wB), prova-se que isso é uma contradição já que 
substituindo o lado esquerdo da equação tem-se: p1(eA + eB) + p2(wA + wB) > p1(eA + 
eB) + p2(wA + wB). 
 
10)Uma sociedade que quer alcançar uma distribuição de recursos mais equitativa 
deve necessariamente operar de maneira economicamente ineficiente. ( F ) 
O segundo teorema do bem-estar diz que a redistribuição não necessita entrar em 
conflito com a eficiência econômica: “Se as preferências individuais são convexas, 
então cada alocação eficiente (cada ponto da curva de contrato) é um equilíbrio 
competitivo para alguma alocação inicial de recursos.” Ou seja, qualquer equilíbrio 
considerado equitativo pode ser alcançado por uma distribuição de recursos entre os 
indivíduas e tal distribuição não gerará necessariamente ineficiências. 
 
11) Os insumos trabalho (L) e capital (K), utilizados na produção de vinho(W) e 
queijo(C) são inicialmente: ew = (1,6) e ec=(9,2). Após a maximização da produção 
sujeito aos custos em ambos os mercados, sendo s o preço de L e r o preço de K, a 
alocação resultante é eficiente. (V) 
 
Vinho (w): 
Max Yw = LK sujeito a sL+rK=s+6r 
= LK - ( sL+rK-s-6r) 
Exercícios de Equilíbrio Geral - Profa. Eveline Carvalho-UFC 
 

L
= 𝐾 − s = 0 () 
 

K
= 𝐿 − r = 0 () 
 


= 𝑠𝐿 + 𝑟𝐾 = 𝑠 + 6𝑟 () 
 
De (1) e (2): K= 
𝐿𝑠
𝑟
 (4) 
Substituindo (4) em (3): 
 
𝑠𝐿 + 𝑟
𝐿𝑠
𝑟
= 𝑠 + 6𝑟, então: Lw* = 
6𝑟+𝑠
2𝑠
 e Kw*= 
6𝑟+𝑠
2𝑟
 
 
Queijo (C): 
 
Max Yc = LK sujeito a sL+rK=9s+2r 
= LK - (sL+rK-9s-2r) 

L
= 𝐾 − s = 0 () 
 

K
= 𝐿 − r = 0 () 
 


= 𝑠𝐿 + 𝑟𝐾 = 9𝑠 + 2𝑟 () 
 
De (1) e (2): K= 
𝐿𝑠
𝑟
 (4) 
Substituindo (4) em (3): 
 
𝑠𝐿 + 𝑟
𝐿𝑠
𝑟
= 9𝑠 + 2𝑟, então: Lc* = 
9𝑠+2𝑟
2𝑠
 e Kc*= 
9𝑠+2𝑟
2𝑟
 
 
Lw*+ Lc*= 10 
6𝑟+𝑠
2𝑠
 + 
9𝑠+2𝑟
2𝑠
 = 10 
 
8r + 10s = 20s, r = 
5𝑠
4
 
 
Então: 
 
Lw* = 
6
5𝑠
4
+𝑠
2𝑠
 = 
17
4
 
 
Kw*= 
6
5𝑠
4
+𝑠
2
5𝑠
4
 = 
17
5
 
 
Lc* = 
9𝑠+2
5𝑠
4
2𝑠
 = 
23
4
 
 
Kc*= 
9𝑠+2
5𝑠
4
2
5𝑠
4
 = 
23
5
 
 
Testando Lw*+ Lc*= 10, 
17
4
 + 
23
4
 = 10 e Kw*+ Kc*= 8, 
17
5
 + 
23
5
 = 8 
 
Exercícios de Equilíbrio Geral - Profa. Eveline Carvalho-UFC 
 
 
Para saber se é pareto eficiente: 
 
TMSTw = TMSTc = 
𝑠
𝑟
 
 
TMSTw = 
Yw
L
Yw
K
 = 
𝐾
𝐿
 = 
17
5
17
4
 = 
4
5
 
 
TMSTc = 
Yc
L
Yc
K
 = 
𝐾𝐿
 = 
23
5
23
4
 = 
4
5
 
 
𝑠
𝑟
= 
4
5
 
 
12)Considerando os dados da questão 6, pode-se afirmar que aumentou o nível de 
produção de vinho(w) e de queijo. ( V ) 
 
Níveis de Utilidade: 
Antes: Yw = 1.6 = 6, após: Yw = 
17
4
.
17
5
= 14,45 
 
Antes: Yc = 9.2 = 18, após= Yc = 
23
4
.
23
5
= 26,45 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de Equilíbrio Geral - Profa. Eveline Carvalho-UFC 
 
 
 
Exercícios de Equilíbrio Geral - Profa. Eveline Carvalho-UFC 
 
Se UA = xy e UB = xy2, verifique se é um equilíbrio Walrasiano, considerando as seguintes 
dotações iniciais: eA = (2, 4) e eB = (3,2). 
A: 
Max UA = xy sujeito a p1x+p2y=2p1+4p2 
= xy - ( p1x+p2y-2p1-4p2) 

x
= 𝑦 − p1 = 0 () 
 

y
= 𝑥 − p2 = 0 () 
 


= 𝑝1𝑥 + 𝑝2𝑦 = 2𝑝1 + 4𝑝2 () 
 
De (1) e (2): y= 
𝑥𝑝1
𝑝2
 (4) 
Substituindo (4) em (3): 
 
𝑝1𝑥 + 𝑝2(
𝑥𝑝1
𝑝2
) = 2𝑝1 + 4𝑝2, então: xA* = 
2𝑝1+4𝑝2
2𝑝1
 e yA*= 
2𝑝1+4𝑝2
2𝑝2
 
 
B: 
 
Max UB = xy2 sujeito a p1x+p2y=3p1+2p2 
= x y2 - ( p1x+p2y-3p1-2p2) 

x
= 𝑦2 − p1 = 0 () 
 

y
= 2𝑥𝑦 − p2 = 0 () 
 


= 𝑝1𝑥 + 𝑝2𝑦 = 3𝑝1 + 2𝑝2 () 
 
De (1) e (2): y= 
2𝑥𝑝1
𝑝2
 (4) 
Substituindo (4) em (3): 
 
𝑝1𝑥 + 𝑝2(
2𝑥𝑝1
𝑝2
) = 3𝑝1 + 2𝑝2, então: xB* = 
3𝑝1+2𝑝2
3𝑝1
 e yB*= 
6𝑝1+4𝑝2
3𝑝2
 
 
xA*+ xB*= 5 
 
2𝑝1+4𝑝2
2𝑝1
 + 
3𝑝1+2𝑝2
3𝑝1
 = 5, 
6𝑝1+12𝑝2+6𝑝1+4𝑝2 
6𝑝1
 =5, P2 = 
9
8
 𝑃1 
 
xA* = 
2𝑝1+4(
9
8
 𝑃1)
2𝑝1
 = 
13
4
 e xB* = 
3𝑝1+2(
9
8
 𝑃1)
3𝑝1
 = 
7
4
 , confirma: xA* + xB* = 
13
4
 + 
7
4
 = 5 
 
yA*= 
2𝑝1+4(
9
8
 𝑃1)
2(
9
8
 𝑃1)
 = 
26
9
 e yB*= 
6𝑝1+4(
9
8
 𝑃1)
3(
9
8
 𝑃1)
 = 
28
9
, confirma: yA* + yB* = 
26
9
 + 
28
9
 = 6 
 
Para saber se é pareto eficiente: 
 
TMSA = TMSB = 
𝑝1
𝑝2
 
Exercícios de Equilíbrio Geral - Profa. Eveline Carvalho-UFC 
 
 
TMSA = 
UA
x
UA
y
 = 
𝑦
𝑥
 = 
26
9
13
4
 = 
104
117
 = 0,89 
 
TMSB = 
UB
x
UB
y
 = 
𝑦
2𝑥
 = 
28
9
14
4
 = 
112
126
 = 0,89 
 
𝑝1
𝑝2
 = 
8
9
 = 0,89 
 
Níveis de Utilidade: 
Antes: UA = 8, após: UA = 
13
4
.
26
9
= 9,38 
 
Após: UB = 6, após= UB = 
7
4
.
28
9
= 5,44 
 
Melhorou o nível de utilidade para A mas piorou para B