Matemática para Concursos Públicos

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Autor: Wilton Júpiter 
 
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Apostila de Matemática 
Wilton Júpter De Castro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Autor: Wilton Júpiter 
 
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Esse livro foi dedicado a temas da matemática muito requerido em concursos públicos! 
 Vamos aprender 
Operações com números naturais e fracionários: adição, subtração, multiplicação e divisão. 
Sistemas de medidas: tempo, comprimento, capacidade, massa, quantidade. 
Números inteiros: operações e propriedades. 
Números racionais, representação fracionária e decimal: operações e propriedades. 
Mínimo múltiplo comum. Razão e proporção. Porcentagem. 
Regra de três simples. Média aritmética simples e ponderada. 
Equação do 1º grau. Sistema de equações do 1º grau. 
Sistema métrico: medidas de tempo, comprimento, superfície e capacidade. Relação entre grandezas: 
tabelas e gráficos. 
Noções de geometria: forma, perímetro, área, volume, teorema de Pitágoras. 
Operações com números reais. 
Máximo divisor comum. 
Regra de três composta. 
 Juros simples 
Sistemas de medidas usuais. Resolução de situações-problema. 
 
 
 
 
 
 
 Autor: Wilton Júpiter 
 
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Operações com números naturais e fracionários: adição, subtração, multiplicação e divisão. Sistemas de medidas: 
tempo, comprimento, capacidade, massa, quantidade. Resolução de situações-problema. 
Números inteiros: operações e propriedades. Números racionais, representação fracionária e decimal: operações e 
propriedades. Mínimo múltiplo comum. Razão e proporção. Porcentagem. Regra de três simples. Média aritmética 
simples. Equação do 1º grau. Sistema de equações do 1º grau. Sistema métrico: medidas de tempo, comprimento, 
superfície e capacidade. Relação entre grandezas: tabelas e gráficos. Noções de geometria: forma, perímetro, área, 
volume, teorema de Pitágoras. Resolução de situações-problema 
Operações com números reais. Mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum. Razão e proporção. 
Porcentagem. Regra de três simples e composta. Média aritmética simples e ponderada. Juros simples. Equação do 
1º e 2º graus. Sistema de equações do 1º grau. Relação entre grandezas: tabelas e gráficos. Sistemas de medidas 
usuais. Noções de geometria: forma, perímetro, área, volume, ângulo, teorema de Pitágoras. Resolução de 
situações-problema. 
Operações com números reais. Mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum. Razão e proporção. 
Porcentagem. Regra de três simples e composta. Média aritmética simples e ponderada. Juros simples. Equação do 
1º e 2º graus. Sistema de equações do 1º grau. Relação entre grandezas: tabelas e gráficos. Sistemas de medidas 
usuais. Noções de geometria: forma, perímetro, área, volume, ângulo, teorema de Pitágoras. Resolução de 
situações-problema. 
 
 
 Autor: Wilton Júpiter 
 
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números naturais 
Pertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos, incluindo o zero. Esse conjunto 
é representado pela letra N maiúscula. Os elementos dos conjuntos devem estar sempre entre 
chaves. 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,… } 
Os números naturais são aqueles que usamos diariamente para contar objetos, números. Por 
exemplo: 1, 2, 55, 325 e assim por diante. Com os números naturais é possível realizar diversas 
operações matemáticas: adição, subtração, multiplicação e divisão. Veja: 
ADIÇÃO 
24 + 50 = 74 
Você iguala as casas das dezenas e faz a conta, adicionando números. A ordem dos números na 
adição não influencia no resultado. 
SUBTRAÇÃO 
89 – 70 = 19 
Na subtração, é preciso retirar de um número para o outro. Pode ser que dê negativo também, 
entretanto, na maioria das vezes é preciso verificar se deve “emprestar” do número esquerdo 
para realizar a operação corretamente. A ordem dos números influencia o resultado em uma 
expressão maior. 
MULTIPLICAÇÃO 
5 x 100 = 500 
A multiplicação dos números naturais envolve adicionar novos números, dobrando, triplicando o 
valor. Logo, 5 vezes o número 100 é a mesma coisa que 100 + 100 + 100 + 100 + 100. A ordem 
não influencia o resultado. O número um é um elemento neutro, não alterando o resultado. 
30 / 2 = 15 
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Percebe-se que na divisão é possível descobrir qual o valor multiplicado leva ao primeiro número. 
Veja: 15 x 2 = 30. Essa divisão é exata. Há divisões que sobram o “resto” e há vírgulas, com 
números decimais também. 
NÚMEROS FRACIONÁRIOS 
Os números fracionários são aqueles representados por frações. No momento de realizar as 
operações, é preciso rever algumas dicas práticas. 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
Se as frações tiverem o mesmo denominador, basta somar os numeradores. Exemplo: 2/5 + 10/5 
= 12/5. O mesmo vale para a subtração de denominadores iguais. Porém, se tiver o denominador 
diferente, é necessário descobrir o denominador comum. Veja: 
2/5+ 5/10 + 9/2 
Faça o MMC (mínimo múltiplo comum) com os denominadores e veja com quantos números é 
possível chegar a um denominador comum. 
2, 5, 10 | 2 
1, 5, 5 | 5 
1, 1, 1 – 2 x 5 = 10 é o denominador comum. 
Em seguida divida o denominador comum pelos denominadores 
10/5 = 2; 10/10 = 1; 10/2 = 5 
Agora basta multiplicar o quociente em cada divisão pelo numerador e encontrar o resultado (vale 
também para subtração): 
2×2/10 + 1×5/10 + 5×9/10 = 54/10 
MULTIPLICAÇÃO 
Na multiplicação dos números fracionários, basta multiplicar denominador com denominador e 
numerador com numerador. Exemplo: 
5/8 x 9/15 = 45/120 
 
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DIVISÃO 
Na divisão é preciso multiplicar a primeira fração pela inversão da outra. Por exemplo: 
8/9 : 3/24 = 8/9 x 24/3 = 72/18 
Com os números fracionários, você pode reduzi-los até uma fração mais simples, se ambos 
numerador e denominador conseguirem ser divididos pelo mesmo número. A fração 72/18 pode 
ser dividida por 2: 36/9. Agora pode ser dividida por 3, ambos os números: 6/3 e então o número 
pode ficar inteiro, dando o resultado de 2 (continuar dividindo). 
Problemas de cálculo de área e perímetro são trabalhados durante o Ensino Fundamental em três áreas da 
Matemática: na geometria, no campo multiplicativo (nas atividades de organização retangular) e também em 
grandezas e medidas (com metros quadrados etc.). 
 
Tabelas de conversão 
 
Tabela mm, cm, m, km 
 Tabela de transformação 
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O conjunto dos números inteiros é formado pelos algarismos inteiros positivos e 
negativos e o zero. Eles são importantes para o cotidiano, principalmente nas situações 
envolvendo valores negativos, como escalas de temperatura, saldos bancários, 
indicações de altitude em relação ao nível do mar, entre outras situações. As adições e 
subtrações envolvendo estes números requerem a utilização de regras matemáticas 
envolvendo os sinais positivos (+) e negativos (–). 
Pertencem ao conjunto dosnúmeros inteiros, os números negativos e também o 
Conjunto dos Números Naturais. 
 
Os números positivos são opostos aos números negativos e os negativos opostos aos 
positivos. 
Sua representação é feita pela letra Z maiúscula. 
 
 
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,...} 
Pertence ao conjunto dos números racionais, qualquer número que possa ser escrito na 
forma de fração, onde o numerador e o denominador são números inteiros. 
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MMC significa mínimo múltiplo comum. Minimização, que é a operação e o menor múltiplo 
comum é o resultado dessa operação. O mmc de dois ou mais números inteiros é o menor 
número que é múltiplos dos dois ao mesmo tempo. Com exceção com zero. 
 
 
RAZÃO 
O conceito de razão é a forma mais comum e prática de fazer a comparação relativa entre duas grandezas. 
Ao dividir uma grandeza por outra, estamos comparando a primeira com a segunda, que passa a ser a base 
da comparação. Por exemplo, se a área de um retângulo mede 300 cm² e a área de um outro retângulo 
mede 210 cm², ao fazermos a razão das áreas, temos: 
210/300=7/10=0,7 
Estamos calculando o quanto a área menor representa da maior. Em outras palavras, a área menor 
representa 0,7, ou 70%, da área maior. Isso é uma comparação muito significativa e fácil de ser feita. 
RAZÃO. Dados dois números reais a e b, com b diferente de zero, chamamos de razão entre a e b ao 
quociente a/b=k 
Observe que k é um número real. O numerador a chamamos de antecedente, e o 
denominador b chamamos de consequente dessa razão (lê-se “a está para b”). A razão k indica o valor do 
número a quando comparado ao número b, tomando-o como unidade. 
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Exemplo: Uma escola tem 1200 m² de área construída e 3000 m² de área livre. A razão da área construída 
para a área livre é: 
A) 6/5 
B) 3/5 
C) 4/5 
D) 1/10 
E) 2/5 
Solução: razão = área construída/área livre=1200/3000=2/5(letra E) 
Isso significa que a área construída representa 2/5=0,4,ou 40%, da área livre. 
 
PROPORÇÃO 
Chamamos de proporção a igualdade de duas razões. 
a1b1=a2b2=k (também escrito por a1:b1 :: a2:b2), 
onde a1, a2, b1, b2 são números reais com b1 e b2 diferentes de zero. O número k é o que chamamos 
de constante da proporção (Lê-se “a1 está para b1 assim como a2está para b2). 
O antecedente da primeira razão (a1) e o consequente da segunda (b2) são chamados 
de extremos, enquanto o consequente da primeira razão (b1) e o antecedente da segunda 
razão (a2) são chamados de meios. Os nomes são sugestivos quando consideramos a segunda 
forma de expressar a proporção (a1:b1 :: a2:b2) 
 
 
Propriedade fundamental da proporção 
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos. O que denotamos por: 
ab=cd⟺bc=ad 
Pela comutatividade do produto, podemos escrever a mesma proporção de várias maneiras distintas: 
ab=cd⟺dc=ba⟺db=ca⟺ac=bd , entre outras. 
(Enem 2012) Há, em virtude da demanda crescente de economia de água, equipamentos e utensílios 
como, por exemplo, as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 6 litros de água por descarga em vez dos 
15 litros utilizados por bacias sanitárias não ecológicas, conforme dados da Associação Brasileira de 
Normas Técnicas (ABNT). 
Qual será a economia diária de água obtida por meio da substituição de uma bacia sanitária não ecológica, 
que gasta cerca de 60 litros por dia com a descarga, por uma bacia sanitária ecológica? 
a) 24 litros b) 36 litros c) 40 litros d) 42 litros e) 50 litros 
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Solução 
Chamamos de x o número de litros de água despejados pela bacia ecológica. Daí, 
15/60=6/x→15x=360→x=24litros 
Assim, a economia será de: 60−24=36litros 
Resposta: letra B 
 
A porcentagem é uma das áreas da matemática mais conhecidas. Praticamente é 
utilizada em todas as áreas, quando queremos comparar grandezas, estimar o 
crescimento de algo, expressar uma quantidade de aumento ou desconto do preço de 
alguma mercadoria. Vemos porcentagem a todo momento e, mesmo quando não 
percebemos, estamos fazendo uso dela. 
A porcentagem é uma razão cujo o denominador é igual a 100. 
k/100 
Porcentagens são chamadas, também de razão centesimal ou de percentual. 
As porcentagens costumam ser indicadas pelo símbolo “%”, lê-se “por cento”. 
Podemos representar uma fração na forma fracionária, decimal, ou acompanhada do 
símbolo %. Veja: 
4%=4/100=0,04 
As porcentagens podem ser utilizadas quando queremos expressar que uma 
quantidade é uma parte de outra, por exemplo, imagine que um produto que custava 
R$ 80,00 foi vendido a vista, com 5% de desconto. Esse desconto de 5% de R$ 80,00 
significa 5 partes das 100 em que 80 foi dividido, ou seja, R$ 80,00 será dividido em 
100 partes, e o desconto será igual a 5 partes dessa divisão. Assim, 
5% de R$ 80,00 = 5⋅80/100=5⋅0,8=4 
Portanto, 5% de R$ 80,00 será R$ 4,00. E esse será o valor a ser descontado. 
Poderíamos, também, calcular de outra forma: 
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5% de R$ 80,00 = 5⋅80/100=5/100⋅80=0,05⋅80=4 
Daí, concluímos que calcular a% de x, corresponde a fazer: 
a/100⋅x 
Exemplo 
(ENEM 2013). Para aumentar as vendas no início do ano, uma loja de departamentos 
remarcou os preços de seus produtos 20% abaixo do preço original. Quando chegam 
ao caixa, os clientes que possuem o cartão fidelidade da loja têm direito a um 
desconto adicional de 10% sobre o valor total de suas compras. 
Um cliente deseja comprar um produto que custava R$50,00 antes da remarcação de 
preços. Ele não possui o cartão fidelidade da loja. Caso esse cliente possuísse o 
cartão fidelidade da loja, a economia adicional que obteria ao efetuar a compra, em 
reais, seria de 
a. 15,00 
b. 14,00 
c. 10,00 
d. 5,00 
e. 4,00 
O primeiro desconto será de 20% sobre o produto que custa R$ 50,00. 
20% de R$ 50 = 20/100⋅50 = 0,2⋅50 = R$10 
Assim, o cliente terá um desconto de R$ 10,00. O cliente pagará, então R$ 
40,00. 
Se o cliente tivesse o cartão fidelidade, ainda receberia um desconto adicional 
de 10% sobre o valor de R$ 40,00 (após o desconto de 20%). 
O desconto será 10% de 40 = 10/100⋅40=0,1⋅40=R$4. Ou seja, o desconto seria 
de R$ 4,00. O cliente pagaria, então R$ 36,00. 
A economia adicional será a diferença entre os preços pagos com o cartão 
fidelidade e sem ele, ou seja, R$ 40,00 – R$ 36,00 = R$ 4,00. 
Alternativa "e" 
A regra de três simples é muito utilizada em situações cotidianas que envolvam 
proporções entre grandezas, sendo também muito utilizada em situações que envolvam 
cálculos financeiros, misturas químicas, conversões de grandezas na Física. 
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Observe os exemplos a seguir: 
 
Exemplo 1 
Em dois litros de água foram misturados 150 gramas de certa substância para se obter 
uma mistura homogênea. Calcule quantos gramas deverão ser adicionadas em 1,2 litros 
de água para que a mistura continue no padrão homogênea. 
Litros de Água Substância (g) 
2 150 
1,2 x 
Grandezasdiretamente proporcionais 
 
Média Aritmética Simples 
Esse tipo de média funciona de forma mais adequada quando os valores são relativamente uniformes. 
Por ser sensível aos dados, nem sempre fornece os resultados mais adequados. 
Isso porque todos os dados possuem a mesma importância (peso). 
Fórmula 
 
Onde, 
Ms: média aritmética simples 
x1, x2, x3,...,xn: valores dos dados 
n: número de dados 
 
 
Exemplo: 
 
Sabendo que as notas de um aluno foram: 8,2; 7,8; 10,0; 9,5; 6,7, qual a média que ele obteve no curso? 
 
 Autor: Wilton Júpiter 
 
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Média Aritmética Ponderada 
A média aritmética ponderada é calculada multiplicando cada valor do conjunto de dados pelo seu peso. 
Depois, encontra-se a soma desses valores que será dividida pela soma dos pesos. 
Fórmula 
 
Onde, 
Mp: Média aritmética ponderada 
p1, p2,..., pn: pesos 
x1, x2,...,xn: valores dos dados 
Exemplo: 
Considerando as notas e os respectivos pesos de cada uma delas, indique qual a média que o aluno obteve no 
curso. 
Disciplina Nota Peso 
Biologia 8,2 3 
Filosofia 10,0 2 
Física 9,5 4 
Geografia 7,8 2 
História 10,0 2 
Língua Portuguesa 9,5 3 
Matemática 6,7 4 
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Exercícios do Enem Comentados 
1. (ENEM-2012) A tabela a seguir mostra a evolução da receita bruta anual nos três últimos anos de cinco 
microempresas (ME) que se encontram à venda. 
ME 2009 
(em milhares de reais) 
2010 
(em milhares de reais) 
2011 
(em milhares de reais) 
Alfinetes V 200 220 240 
Balas W 200 230 200 
Chocolates X 250 210 215 
Pizzaria Y 230 230 230 
Tecelagem Z 160 210 245 
Um investidor deseja comprar duas das empresas listadas na tabela. Para tal, ele calcula a média da receita 
bruta anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e escolhe as duas empresas de maior média anual. 
As empresas que este investidor escolhe comprar são: 
a) Balas W e Pizzaria Y. 
b) Chocolates X e Tecelagem Z. 
c) Pizzaria Y e Alfinetes V. 
d) Pizzaria Y e Chocolates X. 
e) Tecelagem Z e Alfinetes V. 
VER RESPOSTA 
Média de Alfinetes V = (200 + 220 + 240) / 3 = 220 
Média de Balas W = (200 + 230 + 200) / 3 = 210 
 Autor: Wilton Júpiter 
 
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Média de Chocolates X = (250 + 210 + 215) / 3 = 225 
Média de Pizzaria Y = (230 + 230 + 230) / 3 = 230 
Média de P Tecelagem Z = (160 + 210 + 245) / 3 = 205 
As duas empresas que apresentam as maiores médias da receita bruta anual são Pizzaria Y e Chocolates X, 
com 230 e 225 respectivamente. 
Alternativa d: Pizzaria Y e Chocolates X. 
Equação do 1º Grau 
DEFINIÇÃO 
Equação do 1º Grau, é toda sentença aberta reduzida na forma ax + b = 0 com a diferente de 0. 
a ⇒ coeficiente da variável 
b ⇒ termo independente 
x ⇒ valor desconhecido que muitas vezes, pagamos muito caro para descobrirmos, mas que nos traz uma 
sensação de dever cumprido inigualável quando encontramos. Então como encontrar esse tal x que está 
presente no texto acima. 
 O primeiro passo é entender que uma equação do 1º grau é uma balança com dois pratos em equil íbrio 
em que cada prato representa um membro da mesma, portanto, tudo o que fazemos de lado da equação 
devemos fazer do outro para não alterar tal equilíbrio. 
EXEMPLOS 
1 - Descubra o valor desconhecido em cada um dos breves enigmas. 
 
a) Três números consecutivos somam 369. Determine esses números. 
Solução: Como não sabemos que números são esses, vamos escrever de modo genérico tais números. 
Chamaremos de x, x+1 e x+2. 
De acordo com a condição do problema temos x+x+1+x+2=369. Precisamos achar o x, não esquecendo que 
estamos numa balança em equilíbrio. Daí temos: 
x+x+1+x+2=369. 
3x+3=369 
3x=369-3 
3x=366 
x=366/3 
X=122, agora conhecido. Portanto os números são: 122,123 e 124. 
 
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2 - (Unicamp-SP) Roberto disse a Amanda: “Pense em um número, dobre esse número, some 12 ao 
resultado, divida o novo resultado por 2. Quanto deu?” Amanda disse: “15”. Roberto imediatamente revelou 
o número original em que Amanda havia pensado. Calcule esse número. 
Solução: 
2x+12 = 2.15 
2x = 18 
x = 9 
Unidades de Medidas 
As unidades de medida são modelos estabelecidos para medir diferentes grandezas, tais como comprimento, 
capacidade, massa, tempo e volume. 
O Sistema Internacional de Unidades (SI) define a unidade padrão de cada grandeza. Baseado no sistema 
métrico decimal, o SI surgiu da necessidade de uniformizar as unidades que são utilizadas na maior parte 
dos países. 
 
Medidas de Comprimento 
Existem várias medidas de comprimento, como por exemplo a jarda, a polegada e o pé. 
No SI a unidade padrão de comprimento é o metro (m). Atualmente ele é definido como o comprimento da 
distância percorrida pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299.792.458 de um segundo. 
Os múltiplos e submúltiplos do metro são: quilômetro (km), hectômetro (hm), decâmetro (dam), decímetro 
(dm), centímetro (cm) e milímetro (mm). 
 
Medidas de Capacidade 
A unidade de medida de capacidade mais utilizada é o litro (l). São ainda usadas o galão, o barril, o quarto, 
entre outras. 
Os múltiplos e submúltiplos do litro são: quilolitro (kl), hectolitro (hl), decalitro (dal), decilitro (dl), 
centilitro (cl), mililitro (ml). 
 
Medidas de Massa 
No Sistema Internacional de unidades a medida de massa é o quilograma (kg). Um cilindro de platina e 
irídio é usado como o padrão universal do quilograma. 
As unidades de massa são: quilograma (kg), hectograma (hg), decagrama (dag), grama (g), decigrama (dg), 
centigrama (cg) e miligrama (mg). 
São ainda exemplos de medidas de massa a arroba, a libra, a onça e a tonelada. Sendo 1 tonelada equivalente 
a 1000 kg. 
 
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Medidas de Tempo 
Horas, Minutos e Segundos 
Muitas vezes necessitamos transformar uma informação que está, por exemplo, em minuto para segundos, 
ou em segundos para hora. 
Para tal, devemos sempre lembrar que 1 hora tem 60 minutos e que 1 minuto equivale a 60 segundos. Desta 
forma, 1 hora corresponde a 3600 segundos. 
Assim, para mudar de hora para minuto devemos multiplicar por 60. Por exemplo, 3 horas equivalem a 180 
minutos (3 . 60 = 180). 
É a criação de uma relação entre duas variáveis de proporção, podendo ter uma relação direta ou 
inversamente proporcional e fazer estes cálculos através de gráficos e tabelas. Grandeza é tudo que pode 
ser medido ou contado como o tempo, velocidade, preço, idade entre outras.
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Perímetro 
Perímetro é a soma das medidas dos lados de um polígono. Notoriamente, tal conceito é muito 
simples, basta verificar se todos os lados estão representados pelas mesmas unidades de 
comprimento e somá-los. Alguns casos valem ser ressaltados: 
 
Retângulo 
No retângulo, a medida de suas duas bases (b) sãoiguais, assim como a medida de suas duas 
alturas (h). Como perímetro é a soma de todos os lados, portanto seu perímetro é: 
P = 2 x b + 2 x h 
 Polígonos Regulares 
Nos polígonos regulares, tem-se uma particularidade: a medida de todos os lados é semelhante. 
Assim, o perímetro desses polígonos será o produto do número de lados (n) pela medida do lado 
(l), ou seja: P = n x l 
 
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Área 
Área é a região plana interna delimitada pelos lados de um polígono. Tal conceito é amplamente 
usado no dia-a-dia, como na medição de um terreno, na delimitação de um espaço, entre outros. 
O valor da área de um polígono varia de acordo com seu formato. 
Cada polígono tem uma forma peculiar para calcular sua área. Exemplificaremos alguns 
conhecidos, tais como: retângulo, quadrado, paralelogramo, triângulo, trapézio, losango e círculo. 
 
Retângulo 
 
 
Já sabemos que o retângulo possui dois lados iguais chamados de base e outros dois lados 
iguais chamados de altura. Para sabermos o valor da área de um retângulo (A), devemos 
multiplicar a medida da base (b) pela medida da altura (h). 
A = b x h 
 
Quadrado 
 
No quadrado, podemos aplicar o mesmo raciocínio usado para calcular a área do retângulo, 
multiplicando a medida da base pela medida da altura, mas, como no quadrado a medida de 
todos os lados é igual (l): A = l x l ou A = l² 
 Autor: Wilton Júpiter 
 
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 Paralelogramo 
 
Se observarmos a figura ao lado, podemos notar que o paralelogramo é semelhante a um 
retângulo com os lados inclinados. Se tirarmos uma das partes inclinadas do paralelogramo e a 
enxertarmos no outro lado, formaremos um retângulo. Assim, a área do paralelogramo é 
calculado da mesma forma da área do retângulo, ou seja, multiplica-se o valor da base (b) pelo 
valor da altura (h). 
A = b x h 
 
Triângulo 
 
No caso do triângulo, pode-se notar que ele é exatamente metade de um retângulo, portanto, 
num retângulo cabem dois triângulos, ambos de mesma área. Por conseguinte, a área do 
triângulo é metade da área do retângulo, ou seja: 
A = b x h / 2 
 
 
 
 
 Autor: Wilton Júpiter 
 
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Losango 
 
Ao traçar as diagonais, maior (D) e menor (d) do losango, o dividimos em quatro triângulos de 
áreas iguais, onde cada um tem a oitava parte da área do retângulo de base igual ao valor da 
diagonal menor do losango e de alura igual ao valor da diagonal maior. Logo, a área do losango é 
igual a quatro vezes a área de um dos quatro triânglos, resultando na metade da área desse 
retângulo. Portanto: 
A = D x d / 2 
 
Trapézio 
 
Dado um trapézio, como o da figura ao lado, contendo a base menor (b), a base maior (B) e a 
altura (h). Se ao lado desse trapézio colocarmos um segundo trapézio, idêntico ao primeiro, mas 
invertido, ou seja, sua base menor voltada para cima e sua base menor voltada para baixo, 
formaremos um paralelogramo de base igual à soma das bases do trapézio e de mesma altura do 
trapézio. Assim, encontramos a área desse paralelogramo multiplicando sua base pela altura. 
Note que o valor achado é igual a área dos dois trapézios idênticos. Portanto, para calcular a área 
do trapézio, basta dividir o valor encontrado para a área do paralelogramo. A = [(B + b) x h] / 2 
 Autor: Wilton Júpiter 
 
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 Círculo 
 
Considere um círculo de raio r. Divida-o em várias partes iguais, corte-o de forma que os pedaços 
sejam de formato triangular e abra a figura, formando um retângulo de base igual a 2x(pi)x r e 
altura igual ao próprio raio r do círculo. Portanto a área desse retângulo é achada multiplicando 
sua base pela altura. Deve-se notar que a área desse retângulo é o dobro da área do círculo, 
sendo assim, acha-se a área do círculo dividindo a área do retângulo por 2. 
A = (pi) x r² 
 Volume 
Volume de um sólido é a quantidade de espaço que esse sólido ocupa. Nesse cálculo, temos que 
ressaltar as três dimensões do sólido, observando o seu formato. O entendimento de volume é 
usado, mesmo que intuitivamente, em nossas ações no dia-a-dia, por exemplo: antes de 
estacionar um carro, calculamos mentalmente o espaço do carro e verificamos se tal espaço é 
compatível com as dimensões do carro, ao instalar uma TV em um móvel, conferimos, primeiro, 
se o espaço disponível pode comportar a TV, entre outros exemplos. 
Alguns sólidos geométricos são formados por polígonos e esses polígonos recebem o nome de 
faces do polígono. Já o segmento que une duas faces do polígono recebe o nome de aresta do 
sólido. Assim como no cálculo da área, o cálculo do volume de um sólido depende do formato do 
sólido. Mas, de forma geral, o volume de um sólido geométrico é calculado a partir do produto de 
sua base por sua altura. Por enquanto, calcularemos o volume de alguns sólidos, como: o 
paralelepípedo retângulo, o cubo e o cilindro. 
 
 
 
 
 
 Autor: Wilton Júpiter 
 
 23 
Paralelepípedo Retângulo 
 
O paralelepípedo retângulo é um sólido cujas seis faces são retângulos. Para calcular o volume 
do paralelepípedo retângulo é necessário fazer o produto da área de sua base pela altura. Mas, 
como a base do paralelepípedo retângulo tem o formato retangular, exprimimos o valor de sua 
área por b x c. Portanto, se multiplicarmos o valor da área da base pela altura (a) do 
paralelepípedo retângulo, acharemos o valor do volume (V) desse sólido: 
V = a x b x c 
Cubo 
 
O cubo é um sólido geométrico cujas seis faces são quadrados de mesmo lado. Para calcular o 
volume do cubo é necessário fazer o produto da área de sua base pela altura. Mas, como a base 
do cubo é um quadrado de lado a, o valor de sua área é, então, definido pelo lado ao quadrado 
(a²). Sendo assim, se multiplicarmos o valor da área da base pela altura (a) do cubo, acharemos o 
valor do volume (V) desse sólido: 
V = a x a x a ou V = a³ 
 
 Autor: Wilton Júpiter 
 
 24 
 Cilindro 
 
Cilindro é um sólido geométrico que pode ser entendido como um círculo prolongado até uma 
altura h. O cilindro possui duas faces iguais e de formato circular. Para calcular o volume do 
cilindro, deve-se fazer o produto da área de sua base pela altura. No caso do cilindro, sua base é 
um círculo, portanto a área de sua base é igual a (pi) x r². Multiplicando esse valor pela altura (h) 
do cilindro, achamos o seu volume (V): 
V = (pi) x r² x h 
 TEOREMA DE PITÁGORAS 
O Teorema de Pitágoras é um dos assuntos mais conhecidos da Matemática. Ele é uma das 
primeiras coisas que lembramos quando falamos sobre geometria ou trigonometria. Sua 
descoberta foi importante para a época, pois impulsionou inúmeros outros estudos, os quais 
fizeram com que a matemática avançasse até os dias atuais. Seu enunciado é simples, assim 
como os cálculos envolvidos. 
Esse teorema só pode ser aplicado em um triângulo retângulo, que é aquele onde há um ângulo 
igual a 90°, que chamamos de ângulo reto.Daí o nome, triângulo retângulo. Para compreender, 
veja, abaixo, uma figura. 
 
 Autor: Wilton Júpiter 
 
 25 
 Em um triângulo retângulo, o lado maior, CB, recebe o nome de Hipotenusa. Este lado sempre 
estará oposto ao ângulo reto. Os outros dois lados, AC e AB recebem o nome de Cateto. 
O enunciado do Teorema diz o seguinte: 
“O quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma do quadrado das medidas dos 
catetos” 
Observando a figura acima, podemos resumir, matematicamente, o enunciado em: 
CB²=AB²+AC² 
A²=b²2+c² 
 
Números reais 
 
Os números reais são elementos de um conjunto, que é formado pela reunião dos termos numéricos descrito 
abaixo: 
 Números naturais → conjunto dos números naturais (N) 
 Números inteiros → conjunto dos números inteiros (Z) 
 Números racionais → conjunto dos números racionais (Q) 
 Números irracionais → conjunto dos números irracionais (I) 
Da união desses conjuntos obtemos o conjunto dos números reais, que pode ser representado pela seguinte 
relação: 
R=N∪Z∪Q∪I 
Lê-se: Conjunto dos reais = (conjunto dos naturais) união (conjunto dos inteiros) união (conjunto dos 
racionais) união (conjunto dos irracionais) 
OU 
R=Q∪I 
Lê-se: Conjunto dos reais = (conjunto dos racionais) união (conjunto dos irracionais) 
 Autor: Wilton Júpiter 
 
 26 
Para compreender melhor, quais são os termos numéricos que fazem parte do conjunto dos números reais, 
acompanhe os exemplos a seguir: 
Conjunto dos números naturais: Esse conjunto é formado somente por números que são iguais ou maiores 
que o zero. Exemplo: 
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ...} 
 
Conjunto dos números inteiros: Os elementos desse conjunto são os números inteiros positivos e 
negativos. Exemplo: 
Z = {... -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5 ...} 
 
Conjunto dos números racionais: Todo o número racional e do tipo ab, com a e b inteiros, sendo b ≠ 0. 
Fazem parte desse conjunto os números: naturais, inteiros positivos/negativos, decimais, fração e dízima 
periódica. Exemplo: 
Q = {... -3; -2,5; -1, 0, +12; +1; +1,8; +2 ...} 
 
Conjunto dos números irracionais: Os números irracionais não podem ser representados por uma fração. 
Possuem infinitas casas decimais, por esse motivo não apresenta período. Os números irracionais são 
considerados uma dízima não periódica. Exemplo: 
I = { -2,345...; -1,452...; 1,679...} 
Diagrama de inclusão 
O conjunto dos números reais pode ser representado pelo diagrama de inclusão abaixo: 
 
 Autor: Wilton Júpiter 
 
 27 
I⊂R 
Lê-se: (Conjunto dos irracionais) está contido (Conjunto dos reais) 
N⊂Z⊂Q⊂R 
Lê-se: (Conjunto dos naturais) está contido (Conjunto dos inteiros) está contido (Conjunto dos racionais) 
está contido (Conjunto do reais) 
Máximo divisor comum (M.D.C.) 
Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 
18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 
12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6. 
O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses 
números. Usamos a abreviação m.d.c. 
Alguns exemplos: 
mdc (6,12) = 6 
mdc (12,20) = 4 
mdc (20,24) = 4 
mdc (12,20,24) = 4 
mdc (6,12,15) = 3 
Cálculo do M.D.C. 
Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses 
números em fatores primos. 
1) decompomos os números em fatores primos; 
2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns. 
Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90: 
36 = 2 x 2 x 3 x 3 
90 = 2 x 3 x 3 x 5 
O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3 
Portanto m.d.c.(36,90) = 18. 
Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos: 
36 = 22 x 32 
 Autor: Wilton Júpiter 
 
 28 
90 = 2 x 32 x5 
Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18. 
O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um 
elevado ao menor expoente. 
Cálculo do M.D.C. pelo processo das divisões sucessivas 
Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta 
divisão é o m.d.c. Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30). 
Regra prática: 
1º) dividimos o número maior pelo número menor; 
48 / 30 = 1 (com resto 18) 
2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão 
anterior, e assim sucessivamente; 
30 / 18 = 1 (com resto 12) 
18 / 12 = 1 (com resto 6) 
12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata) 
3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6. 
Regra de três composta 
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou 
inversamente proporcionais. 
 
Exemplos 
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões 
serão necessários para descarregar 125m3? 
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em 
cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem: 
 Autor: Wilton Júpiter 
 
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Horas Caminhões Volume 
8 20 160 
5 x 125 
Identificação dos tipos de relação: 
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). 
 
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que, 
aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. 
Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). 
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto, a 
relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que 
contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. 
Montando a proporção e resolvendo a equação, temos: 
 
 
Logo, serão necessários 25 caminhões. 
 
2) Em uma fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos 
serão montados por 4 homens em 16 dias? 
Solução: montando a tabela: 
Homens Carrinhos Dias 
8 20 5 
4 x 16 
 Autor: Wilton Júpiter 
 
 30 
Observe que, aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a 
relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). 
Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também 
é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que 
contém o termo x com o produto das outras razões. 
Montando a proporção e resolvendo a equação, temos: 
 
Logo, serão montados 32 carrinhos. 
 
3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros 
e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro? 
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se 
flechasconcordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e 
discordantes para as inversamente proporcionais, como mostrado abaixo: 
 
Montando a proporção e resolvendo a equação, temos: 
 
Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias. 
 
Exercícios complementares 
Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios: 
 Autor: Wilton Júpiter 
 
 31 
1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para 
encher 2 piscinas? 
Resposta: 6 horas. 
2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for 
aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de 
carvão? Resposta: 35 dias. 
3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. 
Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um 
muro de 225m? 
Resposta: 15 dias. 
4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade 
média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, 
a uma velocidade média de 60 km/h? 
Resposta: 10 horas por dia. 
5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura 
em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam 
produzidos em 25 minutos? 
Resposta: 2025 metros. 
Juros simples 
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor 
principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor principal ou 
simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. 
Transformando em fórmula, temos: 
J = P . i . n 
Onde: 
J = juros 
P = principal (capital) 
i = taxa de juros 
n = número de períodos 
 
 Autor: Wilton Júpiter 
 
 32 
Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo 
regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão: 
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160 
Ao somarmos os juros ao valor principal, temos o montante. 
Montante = Principal + Juros 
Montante = Principal + (Principal x Taxa de juros x Número de períodos) 
M = P . ( 1 + ( i . n ) ) 
Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. 
durante 145 dias. 
SOLUÇÃO: 
M = P . ( 1 + (i.n) ) 
M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42 
Observe que expressamos a taxa i e o período n na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí 
ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial 
possui 360 dias. 
Exercícios sobre juros simples: 
1) Calcular os juros simples de R$ 1.200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. 
Se a taxa é 13% (ou seja, 0,13) ao trimestre, vamos dividi-la por 6 para encontrar a taxa a cada 
15 dias (visto que um trimestre tem 6 períodos de 15 dias): 
0.13 / 6 = 0.02167 
Logo, para 4 meses e 15 dias, a taxa é 0.02167 x 9 = 0.195. Portanto: 
J = 1200 x 0.195 = R$ 234,00 
2) Calcular os juros simples produzidos por R$ 40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., 
durante 125 dias. 
Temos: J = P.i.n 
A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d. 
Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, 
poderemos calcular diretamente: 
J = 40000.0,001.125 = R$ 5.000,00 
 
 
 Autor: Wilton Júpiter 
 
 33 
QUESTÕES 
 
Em uma caixa, há 32 lápis e várias canetas. Considerando que o número de lápis corresponde a 8/13 do número 
total de itens da caixa, o número de canetas dessa caixa é? 
(A) 16. (B) 18. (C) 20. (D) 22. (E) 24. 
 
Ao longo de um determinado trecho de uma avenida, há 3 semáforos, A, B e C, que acendem a luz vermelha 
exatamente no mesmo momento, às 7 horas da manhã. O semáforo A acende a luz vermelha a cada 30 segundos; o 
B, a cada 40 segundos; e o C, a cada 25 segundos. O próximo horário, após as 7 horas, no qual os 3 semáforos 
acenderão novamente a luz vermelha ao mesmo tempo, será às 
 (A) 7 horas e 10 minutos. (B) 7 horas e 25 minutos. (C) 7 horas e 40 minutos. (D) 8 horas e 02 minutos. 
(E) 8 horas e 08 minutos. 
 Uma padaria serve café com leite na seguinte proporção: 150 mL de café para 90 mL de leite. Se em determinado 
dia foram preparados 32 litros de café com leite, o número de litros de leite utilizados foi 
(A) 30. (B) 24. (C) 18. (D) 12. (E) 8. 
 
 
 Em uma banca de jornais, há 225 revistas sobre saúde, separadas por divisórias, cada uma delas com o mesmo 
número de revistas. Sabendo-se que o número de revistas de cada divisória é 9 vezes o número de divisórias, então 
o número de revistas de uma divisória é 
 (A) 25. (B) 30. (C) 35. (D) 40. (E) 45. 
 
 Autor: Wilton Júpiter 
 
 34 
 A figura mostra um recipiente na forma de um prisma reto de base retangular com as seguintes medidas internas: 
18 cm de comprimento, 14 cm de largura e altura h, que tem capacidade máxima para 6,3 litros. 
 
A altura h, em cm, é 
 (A) 19. (B) 22. (C) 25. (D) 27. (E) 30. 
 
 Uma sala quadrada A, com 8 m de lado, tem o perímetro igual ao de uma sala retangular B, cujas medidas, em 
metros, estão indicadas na figura. O perímetro de uma sala C, quadrada, cujo lado tem a mesma medida do maior 
lado da sala B, é 
 
(A) 42 m. (B) 44 m. (C) 46 m. (D) 48 m. (E) 50 m. 
 
 Um escritório comprou várias pastas coloridas, sendo 5 2 delas na cor azul, 3 2 das restantes na cor amarela e 4 na 
cor verde. O número de pastas azuis compradas foi 
(A) 6. (B) 8. (C) 10. (D) 12. (E) 14. 
 
 Com 30 litros de combustível, um carro percorre 240 km. Se o litro do combustível custa R$ 3,90, o valor gasto 
para percorrer 320 km será 
(A) R$ 124,00. (B) R$ 132,00. (C) R$ 140,00. (D) R$ 148,00. (E) R$ 156,00 
 Autor: Wilton Júpiter 
 
 35 
 
 Para uma sessão de cinema, foram vendidas, entre meia- entrada e entrada inteira, um total de 300 unidades. 
Sabendo-se que a razão entre o número de entradas inteiras e o número de meias-entradas vendidas foi de 3 2 e 
que o valor de uma entrada inteira é R$ 30,00, é correto dizer que o valor total arrecadado nessa sessão foi 
(A) R$ 7.000,00. (B) R$ 6.800,00. (C) R$ 6.500,00. (D) R$ 6.300,00. (E) R$ 6.000,00. 
 
 
 Em uma lata, há 60 bombons embalados com papéis coloridos. O número de bombons embalados com papel 
azul corresponde a 40% do número total de bombons. Dos demais bombons da lata, 25% foram embalados com 
papel amarelo, e o restante, com papel vermelho. Em relação ao número total de bombons dessa lata, os que estão 
embalados com papel vermelho representam 
(A) 50%. (B) 45%. (C) 40%. (D) 35%. (E) 30%.Um terreno quadrado ABCD, com 400 m2 de área, foi dividido em duas partes conforme mostra a figura. Sabe-
se que a área da parte I corresponde a 60% da área total. Então, o perímetro da parte II, em metros, é 
 
(A) 56. (B) 48. (C) 40. (D) 34. (E) 26. 
 
 Um capital de R$ 2.000,00 aplicado a juros simples durante 5 meses rendeu R$ 75,00 de juros. A taxa anual de 
juros dessa aplicação era 
(A) 10,5%. (B) 10,0%. (C) 9,5%. (D) 9,0%. (E) 8,5%. 
 
 Autor: Wilton Júpiter 
 
 36 
 A tabela mostra o número de frutas de cada tipo compradas em uma feira e o respectivo valor pago. Quantidade 
Valor Mamão 4 R$ 7,00 Pera 5 R$ 12,00 Maçã 7 ? Considerando-se o número total de frutas compradas, cada fruta 
saiu, na média, por R$ 1,75. O valor pago pelas 7 maçãs foi 
 
(A) R$ 7,00. (B) R$ 8,00. (C) R$ 9,00. (D) R$ 10,00. (E) R$ 11,00. 
 
 Ao longo de um determinado trecho de uma estrada, há 2 postos de combustíveis, A e B. Um carro saiu do posto 
A em direção ao posto B e, após percorrer 64% da distância até o posto B, parou no acostamento. Ao voltar para a 
estrada e percorrer mais 9 8 do caminho restante, sua distância até o posto B era de 2 km. Então, a distância entre 
os postos A e B, em km, é 
 (A) 25. (B) 30. (C) 40. (D) 45. (E) 50. 
 
 Uma indústria recebeu um pedido para produzir 2400 embalagens. No primeiro dia, produziu do número total 
de embalagens do pedido e, no segundo dia, produziu 100 embalagens a mais do que no dia anterior. Em relação ao 
número total de embalagens desse pedido, a fração que representa as embalagens que ainda não foram produzidas 
é 
(A)11/12 (B)7/12 (C)5/12 (D)11/48 (E)13/48 
 
 
 
 Uma pessoa colocou dois relógios, A e B, para despertarem simultaneamente às 7 horas. Depois do toque de 
despertar, o relógio A emite um sinal sonoro a cada 8 minutos e o relógio B emite um sinal sonoro a cada 10 
minutos. Após as 7 horas, a primeira vez que os dois relógios irão emitir simultaneamente um sinal sonoro será às 
 (A) 7 horas e 18 minutos. (B) 7 horas e 36 minutos. (C) 7 horas e 40 minutos. (D) 7 horas e 48 minutos. 
(E) 8 horas e 10 minutos. 
 
 Autor: Wilton Júpiter 
 
 37 
 Em uma papelaria, há uma caixa com 80 lápis pretos e 55 lápis vermelhos. Para facilitar as vendas, foram feitos 
pacotinhos, todos com o mesmo número de lápis e na maior quantidade possível, de modo que cada pacotinho 
contenha lápis de uma só cor. Sabendo que não restou nenhum lápis na caixa e que cada pacotinho de lápis preto 
custa R$ 5,00 e cada pacotinho de lápis vermelho custa R$ 6,00, então o valor a ser arrecadado com a venda de 
todos os pacotinhos será 
(A) R$ 146,00. (B) R$ 148,00. (C) R$ 150,00. (D) R$ 152,00. (E) R$ 154,00 
 No arquivo de um escritório, a razão entre o número de R a s c unho gavetas vazias e o número de gavetas 
contendo documentos era . Após duas gavetas vazias serem ocupadas com documentos, a razão entre o número de 
gavetas vazias e o número de gavetas contendo documentos passou a ser . O número total de gavetas vazias que 
restou no arquivo foi 
(A) 15. (B) 13. (C) 10. (D) 8. (E) 5. 
 
 Uma empresa destinou uma verba para ser utilizada pelo setor administrativo. Desse valor, 60% foi utilizado na 
compra de móveis e 45% do valor restante foi utilizado na compra de materiais diversos, restando ainda R$ 770,00. 
O valor total da verba destinada ao setor administrativo foi 
(A) R$ 4.600,00. (B) R$ 4.200,00. (C) R$ 4.000,00. (D) R$ 3.800,00. (E) R$ 3.500,00. 
 
 Para organizar o estoque de uma fábrica, 8 funcionários, todos trabalhando com a mesma produtividade, 
demoram 10 dias, trabalhando 6 horas por dia. O número de funcionários, com a mesma produtividade dos demais, 
que precisam ser contratados a mais para que esse estoque fique organizado em 6 dias, com todos eles trabalhando 
8 horas por dia, é 
 (A) 5. (B) 4. (C) 3. (D) 2. (E) 1. 
 
 A tabela a seguir mostra os sabores de sorvetes do tipo R a s c unho picolé comprados por uma pessoa, a 
quantidade comprada e o respectivo preço unitário. Sabor Quantidade Preço unitário Frutas 8 R$ 2,30 Chocolate 5 
R$ 3,20 Iogurte 3 x Considerando-se o número total de picolés comprados, na média, cada picolé saiu por R$ 3,05. O 
preço unitário do picolé de iogurte é 
 Autor: Wilton Júpiter 
 
 38 
 
(A) R$ 4,90. (B) R$ 4,80. (C) R$ 4,50. (D) R$ 4,30. (E) R$ 4,10. 
 
 Um capital de R$ 2.000,00 foi colocado em uma aplicação A, a juros simples, com taxa de 0,70% ao mês. Se esse 
mesmo capital fosse aplicado a juro simples, com taxa de 0,75% ao mês, por 2 meses a mais do que o tempo da 
aplicação A, renderia R$ 37,00 a mais de juros do que o juros da aplicação A. O número de meses da aplicação A foi 
(A) 7. (B) 6. (C) 5. (D) 4. (E) 3. 
 
 Uma pessoa possui determinada quantia em dinheiro para comprar um produto. Se ela comprar 400 g desse 
produto sobrarão R$ 4,00, mas para comprar 700 g ficarão faltando R$ 2,00. O número de gramas desse produto que 
essa pessoa poderá comprar utilizando o total de dinheiro que possui é 
(A) 450. (B) 500. (C) 550. (D) 600. (E) 650. 
 
 Em uma padaria, o preço de dois doces é igual ao preço R a s c unho de três cafés. Sabendo que o preço de um 
salgado é R$ 0,50 menor que o preço de um doce e R$ 1,00 mais caro que o preço de um café, então o preço de um 
salgado, mais um doce e um café, juntos, é 
(A) R$ 10,50. (B) R$ 11,00. (C) R$ 11,50. (D) R$ 12,00. (E) R$ 12,50. 
 
 Duas salas, A e B, ambas retangulares, têm dimensões, em metros, conforme mostram as figuras. Sabendo que 
as duas salas têm o mesmo perímetro, o perímetro da sala A, em metros, é 
 
 Autor: Wilton Júpiter 
 
 39 
(A) 8,2. (B) 10,4. (C) 12,6. (D) 14,8. (E) 16,4. 
 
 A área, em m2 , de um terreno quadrado A é quatro vezes maior que a área, em m2 , de um terreno retangular 
B, que possui 6 m de largura e comprimento igual a da medida do lado do terreno A, conforme mostram as figuras. A 
diferença entre as áreas dos terrenos A e B, em m2 , é 
 
 
 (A) 48. (B) 36. (C) 24. (D) 20. (E) 16. 
 
 A figura mostra um friso decorativo colocado em uma pa- R a s c unho rede, ligando os pontos A e B. O 
comprimento desse friso, em metros, é 
 
 
 (A) 4,0. (B) 3,8. (C) 3,6. (D) 3,4. (E) 3,2. 
 
 Para encher completamente um recipiente, na forma de um prisma reto de base quadrada com 8 cm de aresta, 
que estava completamente vazio, conforme mostra a figura, foram necessárias 12 xícaras cheias de água, cada uma 
delas contendo 80 cm3 . A altura desse recipiente, em centímetros, éAutor: Wilton Júpiter 
 
 40 
 
 (A) 16. (B) 15. (C) 14. (D) 13. (E) 12. 
 
 Determinado tipo de detergente é vendido em galões e, para utilizá-lo, é necessário fazer uma mistura com a 
seguinte proporção: 250 mL de detergente para 950 mL de água. Para preparar 6 litros dessa mistura (detergente + 
água), a quantia necessária de detergente, em litros, é 
 (A) 2,25. (B) 2,00. (C) 1,75. (D) 1,50. (E) 1,25. 
 
 
 
 Para preparar 8 porções de merenda escolar, a Sra. Rosa utilizou 1 kg de arroz, 1/2kg de feijão, 800 g de 
batata,1/4 kg de abobrinha e 200 g de tomate. Mantendo-se constante a quantidade em cada porção, e sabendo-se 
que 1kg equivale a 1 000 g, para fazer 40 porções serão necessários 
(A) 5 kg de arroz, 2,5 kg de feijão, 4 kg de batata, 1,25 kg de abobrinha e 1 kg de tomate. 
(B) 5 kg de arroz, 2,5 kg de feijão, 4 kg de batata, 1,25 kg de abobrinha e 800 g de tomate. 
 (C) 5 kg de arroz, 2,5 kg de feijão, 4 kg de batata, 1 kg de abobrinha e 1 kg de tomate. 
 (D) 5 kg de arroz, 2 kg de feijão, 4,5 kg de batata, 1 kg de abobrinha e 800 g de tomate. 
(E) 6 kg de arroz, 2 kg de feijão, 4,5 kg de batata, 1,25 kg de abobrinha e 1 kg de tomate. 
 
 Paguei R$ 2,40 por uma dúzia de bananas, R$ 1,80 por meia dúzia de laranjas e R$ 3,60 por duas maçãs. 
Conclui-se que o preço de cada 
(A) banana é igual ao preço de cada laranja. 
(B) maçã é igual ao preço de uma dúzia de laranjas. 
 Autor: Wilton Júpiter 
 
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(C) laranja é igual ao preço de três bananas. 
(D) banana é igual ao preço de meia laranja. 
(E) maçã é igual ao preço de seis laranjas. 
 
 No dia em que João completou 23 anos, nasceu Artur, seu filho. No dia em que Artur completou 26 anos, 
nasceu Filomena, sua filha. Hoje, Filomena tem 10 anos de idade e seu avô paterno, João, tem 
(A) 49 anos. (B) 59 anos. (C) 63 anos. (D) 69 anos. (E) 73 anos. 
 
 Um viajante percorreu 80 km em três etapas. Na 1.ª etapa, percorreu 70% dos 80 km, na 2.ª etapa percorreu 18 
000 m e na 3.ª etapa, concluiu o percurso, percorrendo 
(A) 4 000 m. (B) 5 000 m. (C) 6 000 m. (D) 7 000 m. (E) 8 000 m. 
 
 
 Para pintar um muro de 6 m2 de área, um pintor demora 3 horas. Para pintar um muro com 27 m2, no mesmo 
ritmo, ele demorará 
(A) 12 horas. (B) 12 horas e 30 minutos. (C) 13 horas e 30 minutos. (D) 13 horas e 50 minutos. (E) 14 horas. 
 
 Uma panela tem 20 litros de capacidade e está inicialmente vazia. Coloca-se, em seu interior, legumes picados e 
12 litros de água, restando, para completar a capacidade da panela, um volume de 3 litros. Os legumes ocupam, 
nessa panela, uma fração de sua capacidade igual a 
(A) 0,45. (B) 0,40. (C) 0,35. (D) 0,30. (E) 0,25. 
 
 Numa brincadeira de tiro ao alvo, cada acerto vale 2 pontos e cada erro vale –1 ponto. Em cinco tentativas, 
Jonas estava com um total de –2 pontos. Isso significa que ele 
 (A) errou duas vezes. (B) errou quatro vezes. (C) errou três vezes. (D) acertou duas vezes. (E) acertou quatro vezes. 
 
 Autor: Wilton Júpiter 
 
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 Iniciando seu treinamento, dois ciclistas partem simultaneamente de um mesmo ponto de uma pista. 
Mantendo velocidades constantes, Lucas demora 18 minutos para completar cada volta, enquanto Daniel completa 
cada volta em 15 minutos. Sabe-se que às 9 h 10 min eles passaram juntos pelo ponto de partida pela primeira vez, 
desde o início do treinamento. Desse modo, é correto afirmar que às 8 h 25 min, Daniel já havia completado um 
número de voltas igual a 
(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5 (E) 7. 
 
 Os dois terrenos representados pelos retângulos têm perímetros iguais e as medidas de seus lados estão 
apresentadas em metros 
 
 (Figura sem escala) Pode-se concluir que o perímetro de cada um desses terrenos mede, em metros, 
(A) 280. (B) 200. (C) 400. (D) 240. (E) 420. 
 
 
 
 
 Dois reservatórios de água têm a mesma capacidade. O primeiro tem a forma de um cubo, cujas arestas 
internas medem 2,0 metros, e o segundo tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo cujas dimensões 
internas, em metros, são: 4,0 de comprimento; 2,0 de largura e x de altura. A medida x, em metros, é 
(A) 1,00. (B) 1,25. (C) 0,75. (D) 1,50. (E) 2,50. 
 
 
 
 
Um terreno foi dividido em 4 lotes, com o objetivo de se realizar uma construção no lote 1, de fazer um jardim 
nos lotes 2 e 3 e, no lote 4, fazer um espaço de estudo e biblioteca. O lote 1 tem o formato de um triângulo 
retângulo e os lotes 2, 3 e 4 são quadrados. O lote 2 tem uma área de 40000 m2 e o lote 3 tem 62500 m2 de área. 
 Autor: Wilton Júpiter 
 
 43 
 
 
De acordo com os dados, o lado do lote 4 mede, em metros, 
(A) 1000. (B) 225. (C) 150. (D) 105. (E) 125. 
 
 Na figura a seguir, os pontos A, B e C formam um triângulo e os pontos A, B e D estão alinhados. Desse modo, a 
medida do ângulo x é 
 
 
(A) 45º (B) 50º (C) 40º (D) 55º (E) 60º 
 
 
 
 
GABARITO 26 – C 27 - A 28 – C 29 - C 
	RAZÃO
	PROPORÇÃO
	Média Aritmética Simples
	Fórmula
	Média Aritmética Ponderada
	Fórmula
	Exercícios do Enem Comentados
	Equação do 1º Grau
	DEFINIÇÃO
	EXEMPLOS
	Unidades de Medidas
	Medidas de Comprimento
	Medidas de Capacidade
	Medidas de Massa
	Medidas de Tempo
	Horas, Minutos e Segundos
	Números reais
	Diagrama de inclusão
	O conjunto dos números reais pode ser representado pelo diagrama de inclusão abaixo:
	Máximo divisor comum (M.D.C.)
	Cálculo do M.D.C.
	Cálculo do M.D.C. pelo processo das divisões sucessivas
	Regra de três composta
	Exemplos
	Exercícios complementares
	Juros simples
	Exercícios sobre juros simples: