CÁLCULO DIFERENCIAL 02

Prévia do material em texto

Cálculo Diferencial
Limites 2
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Dra. Ana Lúcia Manrique 
Revisão Textual:
Profa. Ms. Selma Aparecida Cesarin 
5
Estamos iniciando nossos estudos sobre Cálculo Diferencial. A proposta desta Unidade é o 
estudo de Limite de uma função real de uma variável envolvendo o infinito. 
Com relação aos conteúdos, dividimos em:
 » Limites infinitos e no infinito;
 » Assíntotas;
 » Propriedades de limites infinitos;
 » Limites fundamentais.
Ao término deste estudo, desejamos que você seja capaz de interpretar e determinar o limite 
de uma função real de uma variável quando sua variável independente tende ao infinito, 
pela análise do gráfico da função e utilizando métodos específicos, além de reconhecer 
alguns limites fundamentais.
Para ajudar, realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos resolvidos, 
além de treinar com as atividades práticas disponíveis e suas resoluções ao final do conteúdo. 
Finalmente, e o mais importante, fique atento às atividades propostas e ao prazo para sua realização. 
Nesta Unidade, a discussão é sobre o Limite de uma função de uma variável 
envolvendo o infinito. 
Nessa discussão, daremos ênfase ao estudo do gráfico da função, buscando 
estudar o comportamento da função quando sua variável independente 
tende ao infinito e quando sua variável dependente tende ao infinito.
Ainda, nessa Unidade, abordaremos o conceito de taxa de variação média e 
instantânea, conceito muito importante para as demais unidades desta Disciplina. 
Limites 2
 · Introdução
 · Limites Infinitos e no Infinito
 · Assíntotas
 · Propriedades de Limites Infinitos
 · Limites Fundamentais
6
Unidade: Limites 2
Contextualização
No estudo do Cálculo Diferencial, o estudo de taxas de variação instantânea é fundamental. 
Uma das taxas de variação instantânea importante é o coeficiente angular da reta tangente a 
uma curva em um determinado ponto.
Entretanto, a palavra tangente tem diferentes significados na Matemática, embora relacionados. 
Primeiramente, na geometria, a reta tangente é aquela que passa por uma curva em um 
único ponto, sem cortá-la, como podemos ver nas figuras a seguir.
tangente
tangenteraio
F F’
a a
Já na trigonometria, a tangente é uma razão entre a medida do cateto oposto e a do cateto 
adjacente de um dos ângulos de um triângulo retângulo. 
No triângulo retângulo a seguir, os catetos são os lados AC e AB e a hipotenusa é o lado BC 
do triângulo.
Hipotenusa
Ca
te
to
CatetoA B
C
α
β
Por exemplo, seja o ângulo α formado entre os lados AB e BC. Neste caso, a tangente será:
tg 
 
med AC
med AB
α =
E, se considerarmos o ângulo β formado pelos lados AC e BC, a tangente será:
tg 
 
med AB
med AC
β =
7
Além disso, podemos estudar a função tangente na trigonometria. Segue o gráfico da função 
f(x)= tg x.
-3pi
2
-pi
2
3pi
2
x
y
pi
2
0
E, ainda considerando a geometria analítica, podemos pensar na reta tangente ao gráfico de 
uma função f em um determinado ponto. 
Neste caso, estamos queremos estudar o coeficiente angular da reta tangente.
y
y0+∆y0
x0+∆x0
∆x0
∆y0
P
S
Q
r
y = f(x)
α
y0
x0 x0
β
Considerando o gráfico da função y = f(x) e o ponto P, temos que a reta r é tangente a curva no 
ponto P. E o coeficiente angular desta reta tangente é tg β . E o coeficiente angular da reta secante que 
passa pelos pontos P e Q é tg 0
0
y
x
α ∆=
∆
8
Unidade: Limites 2
É importante notar que uma reta que seja tangente a uma curva em um determinado ponto 
pode cruzar a curva em outros pontos.
y
x
P0
0
y = f(x)
O ponto P0 é considerado
o ponto de tangência, mas a
reta tangente intercepta o
grá�co noutro ponto.
9
Introdução
Na unidade anterior, determinamos o valor do limite de uma função, quando o valor da variável 
independente se aproxima de um número real, sendo esse valor do limite um número real. 
Vamos estudar, nesta Unidade, o que são os limites infinitos e os limites no infinito, bem 
como assíntotas horizontais e verticais. 
Limites Infinitos e no Infinito
Consideremos o gráfico da função 1( )f x
x
=
O que podemos dizer do valor de f(x) quando x se aproxima de 0?
Vamos calcular alguns valores de f(x) para alguns valores de x e colocá-los em uma tabela 
para podermos, considerando o gráfico da função, responder à questão proposta. 
Primeiramente, vamos escolher alguns valores maiores que 0, mas se aproximando de 0.
x
1( )f x
x
=
10
Unidade: Limites 2
1 1
0,5 2
0,1 10
0,01 100
0,001 1000
0,0001 10000
↓ ↓
0 +∞
Podemos observar, ao analisarmos os dados da tabela e o gráfico da função f, que os valores 
da função f(x) estão aumentando à medida que os valores de x estão se aproximando de 0. 
E quando temos uma situação como essa, dizemos que os valores de f(x) tendem ao infinito, 
representado pelo símbolo ∞. E como os valores que tendem ao infinito são positivos, dizemos 
que os valores tendem a +∞.
E escrevemos: 0 ( )xlim f x+→ = +∞
Vale salientar que +∞ não é um número. Além disso, embora tenhamos indicado que 
0 ( )xlim f x+→ = +∞ , esta notação é uma maneira particular de expressar que este limite não 
existe e que os valores de f(x) crescem sem limitação superior.
Vamos, agora, escolher alguns valores menores que 0, mas se aproximando de 0. Calculemos 
alguns valores de f(x) para alguns valores de x e coloquemos estes valores em uma tabela.
x
1( )f x
x
=
-1 -1
-0,5 -2
-0,1 -10
-0,01 -100
-0,001 -1000
-0,0001 -10000
↓ ↓
0 -∞
Podemos observar, ao analisarmos os dados da tabela e o gráfico da função f, que os valores 
da função f(x) estão aumentandoem valor absoluto à medida que os valores de x estão se 
aproximando de 0. E quando temos uma situação como essa, dizemos que os valores de f(x) 
tendem ao infinito, representado pelo símbolo ∞. E como os valores def(x) que tendem ao 
infinito são negativos, dizemos que os valores tendem a -∞.
11
E escrevemos: 0 ( )xlim f x−→ = −∞ .
 Vale salientar que -∞ não é um número. Além disso, embora tenhamos indicado que 
0 ( )xlim f x−→ = −∞ esta notação é uma maneira particular de expressar que este limite não existe 
e que os valores de f(x) decrescem sem limitação.
E, como estes limites laterais são diferentes, escrevemos que não existe ( )
0
l m 0i x
x
x f x
→
→ .
Vamos, então, apresentar a definição formal de um limite infinito.
Definição
Seja f uma função definida em um intervalo aberto, contendo o número a, podendo a função 
não ser definida para o valor a. Então, escrevemos que ( )xlim f xα→ = +∞ , quando para todo 
número positivo M existe um número positivo δ tal que, se |x – a| <δ então f(x) >M. 
Analogamente, escrevemos que ( )xlim f xα→ = −∞ , quando para todo número negativo N 
existe um número positivo δ tal que, se |x – a| <δ então f(x) <N.
Vamos analisar o gráfico desta função novamente. 
12
Unidade: Limites 2
Mas, vamos considerar, agora, os valores de x cada vez maiores. O que será que acontece 
com o valor de f(x)?
Calculemos alguns valores de x e de f(x) e montemos uma tabela com estes valores.
x
1( )f x
x
=
1 1
10 0,1
100 0,01
1000 0,001
1000 0,0001
10000 0,00001
↓ ↓
+∞ 0
Podemos observar, ao analisarmos os dados da tabela e o gráfico da função f, que os valores 
da função f(x) estão se aproximando de 0 à medida que os valores de x estão crescendo, 
tendendo a +∞. E quando temos uma situação como essa, dizemos que os valores de f(x) 
tendem a 0, quando os valores de x tendem a +∞. 
E escrevemos: ( ) 0xlim f x→ +∞ = .
Vamos, agora, analisar o gráfico desta função novamente, mas vamos considerar os valores 
de x cada vez menores, tendendo a -∞. Oque será que acontece com o valor de f(x)?
 Calculemos alguns valores de x e de f(x) e montemos uma tabela com estes valores.
x
1( )f x
x
=
-1 -1
-10 -0,1
-100 -0,01
-1000 -0,001
-10000 -0,0001
-100000 -0,00001
↓ ↓
-∞ 0
Podemos observar, ao analisarmos os dados da tabela e o gráfico da função f, que os valores 
da função f(x) estão se aproximando de 0 à medida que os valores de x estão diminuindo, 
tendendo a -∞. E quando temos uma situação como essa, dizemos que os valores de f(x) 
tendem a 0, quando os valores de x tendem a -∞. 
13
E escrevemos: ( ) 0xlim f x→ −∞ = .
Vamos definir formalmente um limite no infinito.
Definição
Seja f uma função definida em um intervalo aberto]a,+∞[. Então, escrevemos que 
( )xlim f x L→ +∞ = quando os valores de f(x) podem ficar arbitrariamente próximos de L se 
tomarmos x suficientemente grande.
Analogamente, seja f uma função definida em um intervalo aberto ]-∞,a[. Escrevemos que 
( )lim
x
f x L
→−∞
= quando os valores de f(x) podem ficar arbitrariamente próximos de L se tomarmos 
x suficientemente grande em valor absoluto, mas negativo.
 
Assíntotas 
Analisemos novamente o gráfico da função 
1( )f x
x
= .
Podemos, ainda, observar, ao analisarmos o gráfico da função, que o eixo y (x = 0) serve de 
suporte para o gráfico da função f, quando x se aproxima de 0. Neste caso, dizemos que a reta 
x = 0 é um assíntota vertical.
14
Unidade: Limites 2
Definimos como assíntota vertical de uma curva y = f(x) a reta x = a se um dos limites ocorrer:
( ) ( ) ( )lim lim lim
x ax a x a
f x f x f x
+ − →→ →
= ∞ = ∞ = +∞
( ) ( ) ( )lim lim lim
x ax a x a
f x f x f x
+ − →→ →
= −∞ = −∞ = −∞
Além disso, podemos observar, ao analisarmos o gráfico da função, que o eixo x (y = 0) 
serve de suporte para o gráfico da função f quando x tende a +∞ ou -∞. Neste caso, dizemos 
que a reta y = 0 é um assíntota horizontal.
Definimos como assíntota horizontal de uma curva y = f(x) a reta y = L se um dos limites ocorrer:
Vejamos outro exemplo. 
Analisemos o gráfico da seguinte função 
2
2f(x) = 1
 2x x
x
+
−
.
Podemos verificar que esta função possui duas assíntotas verticais x = 1 e x = -1 e uma 
assíntota horizontal y = 1.
Exemplos
1. Para a função g cujo gráfico é dado a seguir, determine. 
a. limx→0- g(x)
b. limx→0
+ g(x)
c. limx→0 g(x)
( )xlim f x L→ −∞ =( )xlim f x L→ +∞ =
15
d. limx→2- g(x)
e. limx→2
+g(x)
f. limx→2 g(x)
g. limx→ –2- g(x)
h. limx→ –2+ g(x)
i. limx→ –2 g(x)
Resolução
a. limx→0- g(x) = -∞
b. limx→0
+ g(x) = +∞
c. limx→0 g(x) não existe
d. limx→2- g(x) = -∞
e. limx→2
+ g(x) = +∞
f. limx→2 g(x) não existe
g. limx→–2- g(x) = -∞
h. limx→–2+ g(x) = -∞
i. limx→–2 g(x) = -∞
16
Unidade: Limites 2
2. Determine as assíntotas horizontais e verticais da função h(x) dada pelo gráfico a seguir.
 
Resolução
A assíntota horizontal é x = 0 e as assíntotas verticais são y = 0, y = –2 e y = 3.
3. Para a função f cujo gráfico é dado a seguir, determine:
a. limx→ –9- f(x)
b. limx→ –9+ f(x)
c. limx→ –9 f(x)
d. limx→ –3- f(x)
e. limx→ –3+ f(x)
f. limx→ –3 f(x)
g. limx→3- f(x)
h. limx→3+ f(x)
i. limx→3 f(x)
 
17
Resolução
a. limx→ –9- f(x)= -∞
b. limx→ –9
+ f(x) = +∞
c. limx→ –9 f(x) não existe
d. limx→ –3- f(x) = -∞
e. limx→ –3
+ f(x) = -∞
f. limx→ –3 f(x) = -∞
g. limx→3- f(x) = +∞
h. limx→3
+ f(x) = +∞
i. limx→3 f(x) = +∞
Limites Infinitos no Infinito
Vamos estudar agora alguns limites do tipo ( )xlim f x→ ∞ = ∞ .
Consideremos a função f(x) = x2 e calculemos os limites 2 xlim x→ +∞ e 2 xlim x→ −∞ .
Vejamos, inicialmente, o gráfico da função f(x) = x2.
18
Unidade: Limites 2
Ao analisarmos o gráfico desta função, percebemos que, quando os valores de x tendem a 
+∞, os valores de f(x) tendem também a +∞. E quando os valores de x tendem a -∞, os valores 
de f(x) tendem a +∞. 
Montemos, também, uma tabela com os valores de x tendendo a +∞.
x f(x) = x2
10 100
1.000 1.000.000
100.000 10.000.000.000
↓ ↓
+∞ +∞
Assim, percebemos que 2xlim x→ +∞ = +∞ .
Montemos, agora, uma tabela com os valores de x tendendo a -∞.
x f(x) = x2
-10 100
-1.000 1.000.000
-100.000 10.000.000.000
↓ ↓
-∞ +∞
Assim, percebemos que 2xlim x→ −∞ = +∞ .
Vejamos outro exemplo. Vamos calcular os limites no infinito para a seguinte função f(x) = x2 – 2x + 2.
19
Para o 2 2 2 2 )(xlim xx x→ −∞ +∞ − + , não podemos aplicar a Lei 1 e 2 e separar nos limites 
2
 lim 2 lim 2x
x x
lim x x→ +∞
→+∞ →+∞
− + , pois não podemos definir ∞-∞ por ∞ não ser um número real. 
Mas, ao analisarmos o gráfico da função, percebemos que:
Consideremos, agora, a função 
2
( )
1
2xf x
x
−
=
+
 e estudemos seu gráfico.
Ao analisarmos este gráfico, percebemos que 
2 2lim
1x
x
x→+∞
−
= +∞
+
 e que 
2 2lim
1x
x
x→−∞
−
= −∞
+
. Mas, como 
podemos determinar estes limites sem fazer uso do gráfico da função?
2
 2 2) (xlim x x→ +∞ − + = +∞ 2 2 2) (xlim x x→ −∞ − + = +∞
20
Unidade: Limites 2
Para calcularmos este tipo de limite, limite no infinito de uma função racional, utilizaremos os 
resultados dos limites da função ( ) 1f x
x
= e, por isso, vamos dividir o numerador e o denominador 
por x, pois, como o maior expoente de x do numerador é 2 (x2 – 2) e o maior expoente do 
denominador é 1 (x + 1), escolhemos o menor expoente entre esses dois, ou seja, dividimos por 
x tanto o numerador quanto o denominador. 
Vejamos, primeiramente, quando x→+∞.
1lim 0
x
Como
x→+∞
=
Agora, vejamos o que acontece com o limite da função 
2
( )
1
2xf x
x
−
=
+
, quando x→ -∞. 
Adotemos o mesmo procedimento, dividindo o numerador e o denominador por x.
1lim 0
x
Como
x→−∞
=
Uma segunda situação de limite infinito no infinito pode ser estudada para a seguinte função 
3
3 2
2 3 5( )
7 5 3
x xf x
x x
+ −
=
− +
Neste caso, como os maiores expoentes de x do denominador e do numerador são iguais, 
então iremos dividir as expressões do numerador e do denominador por x elevado a este 
expoente comum, ou seja, dividir por x3.
0
0
2
2
2
2lim lim lim11 1x x x
x
x xx x
xx
x x
→+∞ →+∞ →+∞
−−
= = = +∞
+ +
0
02
2
2
2lim lim lim11 1x x x
x
x xx x
xx
x x
→−∞ →−∞ →−∞
−−
= = = −∞
+ +
21
E estudemos um último caso, quando os maiores expoentes do denominador e do numerador 
são diferentes e o maior expoente está no denominador. 
Vamos calcular o seguinte limite e dividir o denominador e o numerador por x4, ou seja, o 
menor dos expoentes do numerador e do denominador.
4 2
4 2 4 4 4 4 2 3 4
5 25 2
2 44 4 4
3 2 7 2 1 733 2 7 3lim lim lim lim 03 196 3 196 3 19 66
x x x x
x x x
x x x x x x x x x x
x xx x xx
x xx x x
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
+ − + + − ++ − +
= = = =
+ − + −+ −
Desta forma, podemos concluir que, quando temos um limite no infinito de uma função 
racional para calcular, dividimos o numerador e o denominador pelo menor dos expoentes dos 
polinômios do denominador e do numerador. E, principalmente, se os maiores expoentes forem 
iguais, o valor do limite será a razão entre os coeficientes destes maiores expoentes. 
Se o maior expoente estiver no numerador, o limite será infinito, podendo ser +∞ ou -∞, que 
deverá ser calculado. E, finalmente, se o maior expoente estiver no polinômio do denominador, 
o limite no infinito será zero.
 Estudemos mais um caso. 
Vamos calcular o limite no infinito da função ( ) 2 1f x x x= + − . 
Vamos multiplicar e dividir esta expressão pelo conjugado, ou seja, ( ) 1f x x x= − . 
00
003
3 3 3 3 2 3
3 23 2
33 3 3
2 3 5 3 522 3 5 2 2lim lim lim lim 5 375 37 5 3 7 77
x x x x
x x
x x x x x x x
x xx x
x xx x x
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
+ − + −+ −
= = = =
− + − +− +
1lim 0
x
Como
x→+∞
=
00 0
0 0
1lim 0
x
Como
x→+∞
=
22
Unidade: Limites 2
( ) ( )
2
2 2
2 2
2 2 2
1 1 1lim 1 ) lim . 1 lim lim
1 1 1
(
x x x x
x x x xx x x x
x x x x x x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
+ − + −
+ − = + + = =
+ + + + + +
Agora, dividimos o denominador e o numerador por x= 2x .
2 2
22 2
1 1
1 0lim lim lim lim 0
1 1 0 11 1 1 1
x x x x
x x
x x x x
xx x x
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
= = = =
+ ++ + + ++ +
Propriedades de Limites Infinitos
Sejam c e L números reais e f e g funções reais de uma variável, tais que limx→c f(x) = +∞, 
limx→c h(x) = -∞ e limx→c g(x) = L.
a. lim
x→c
 [f(x)+g(x)] = +∞
b. lim
x→c
 [f(x)-g(x)] = +∞
c. lim
x→c
 [h(x)+g(x)] = -∞
d. lim
x→c 
[h(x) -g(x)] = -∞
e. lim
x→c
 [f(x).g(x)] = +∞, se L > 0.
f. lim
x→c
 [f(x).g(x)] = -∞, se L < 0.
g. lim
x→c
 [h(x).g(x)] = -∞, se L > 0.
h. lim
x→c
 [h(x).g(x)] = +∞, se L < 0.
i. ( )
( )
lim 0
x c
g x
f x→
=
j. ( )
( )
lim 0
x c
g x
h x→
=
0
0
1lim 0
x
Como
x→−∞
=
23
Limites Fundamentais
Abordaremos dois limites fundamentais: 
a. 
0
 lim 1
x
sen x
x→
=
Não tínhamos, ainda, abordado nenhum limite envolvendo uma das funções trigonométricas 
e não iremos apresentar a demonstração deste limite, que pode ser encontrada em diversos 
livros didáticos. Mas, vamos apresentar uma aplicação.
Calculemos o limite 
0
1 coslim 1
x
x
x→
−
= multiplicando o numerador e o denominador pelo 
conjugado (1 + cos x).
b. 1lim 1 
x
x x
e
→∞
 + 

=

Não tínhamos, ainda, abordado nenhum limite envolvendo uma função exponencial e nem 
o número real e = 2,71828182…. Vale ressaltar que este limite é verdadeiro para x tendendo 
a +∞ e -∞. E não iremos apresentar a demonstração deste limite, que pode ser encontrada em 
diversos livros didáticos. Mas, vamos apresentar uma aplicação.
Calculemos o limite 
0
1lim
x
x
a
x→
− . Vamos utilizar uma estratégia para resolver este limite, 
fazendo uma troca de variáveis:
u = ax - 1
ax = u + 1
lnax = ln (u + 1)
x.lna = ln (u + 1)
( )ln 1
ln
u
a
x
+
= 
1lim 0
x
Como
x→−∞
=
( )
2
0 0 0
0 0 0 0
1 cos 1 cos 1 coslim lim . lim
1 cos . 1 cos
 0 0lim . lim .lim 1.lim 0
1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 0 1 1
x x x
x x x x
x x x sen x
x x x x x
sen x sen x sen x sen x sen x sen
x x x x x
→ → →
→ → → →
− − +
= = =
+ +
= = = = =
+ + + + +
Apliquemos o logaritmo nos dois 
membros da equação e lembremos que 
lne = 1.
2 2e 1- cos x sen x=
24
Unidade: Limites 2
Além disso, como x tende a 0, então u tende a 0, pois a0 - 1 = 1 – 1 = 0. Fazendo estas trocas 
no limite apresentado, temos que:
( ) ( ) ( )
10 0 0 0
1 ln lnlim lim lim lim1ln 1 .ln 1 ln 1
ln
x
x u u u
u
a u a a
ux u u
ua
→ → → →
−
= = =
+ + +
Agora, façamos outra troca de variáveis: 
1 1 ou 
u
t u
t
= = . Neste caso, como u tende a 0, temos 
que t tende a ∞. 
Assim, realizando estas trocas na última expressão de limite.
( )
10
ln ln lnlim lim lim ln , pois ln 1
ln1ln 1 ln 1
tu t t
u
a a a a e
eu
t
→ →∞ →∞
= = = =
 + + 
 
 
Como
1lim 1 
t
t t
e
→∞
 + 

=

Portanto, 
0
1lim ln
x
x
a a
x→
−
= , com a uma constante positiva. E quando tomamos a = e, este limite 
pode ser escrito como: 
0
1lim ln 1
x
x
e e
x→
−
= = .
25
Material Complementar
Para pesquisar e aprofundar seus estudos sobre Limites consulte o site e as referências a seguir. 
Sites
 » http://www.somatematica.com.br/superior/limites/limites4.php
 » https://pt.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/secant-line-
slope-tangent/v/slope-of-a-line-secant-to-a-curve
 » http://www.omatematico.com/Novo/NIVELSUPERIOR/Limites/limites.html
26
Unidade: Limites 2
Referências
STEWART, J. Cálculo. v I. 4.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2001.
LARSON, R.; HOSTETLER, R. P.; EDWARDS, B. H. Cálculo. v.1. São Paulo: McGraw-Hill, 2006.
27
Anotações