apostila matemática financeira unip

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MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Juros 
 No estudo dos juros, devemos considerar os seguintes elementos: 
Juro (j) : é a remuneração do capital. 
Capital (C): é a quantia monetária de uma transação financeira, em relação a um 
empréstimo ou um investimento. 
Tempo (t): é o número de períodos da transação financeira. 
Taxa de Juros (i): é o valor produzido numa unidade de tempo, representada como 
porcentagem do capital. Tem-se : 
100
c
j
iou 
c
j
i ==
 
A taxa de juros pode se apresentar na forma percentual (ex. 11%) ou na forma unitária 
( ex. 0,11). 
Forma Percentual Transformação Forma Unitária 
20% a.m. 20/100 0,20 a.m. 
3% a.a. 3/100 0,03 a.a. 
13,5% a.m. 13,5/100 0,135 a.m. 
 
Regimes de Capitalização 
Regime de Juros Simples 
Regime de Juros Compostos 
 Por definição, Juros Simples é aquele pago unicamente sobre o capital inicial ou 
principal e é diretamente proporcional a este capital e ao número de períodos em que 
este é aplicado, sendo o coeficiente de proporcionalidade, a taxa de juros (i), por 
período. No regime de Juros Compostos, que tem grande importância financeira, o 
juro gerado em um período será incorporado ao principal, passando a participar da 
geração de juros no período seguinte, 
Exemplo Capital de R$ 1 000,00 taxa de juro i = 10% a.m. 
 
 
Períodos 
Juros Simples Juros Compostos 
Juro por 
Período 
Capital mais 
Juros 
Juro por 
Período 
Capital mais 
Juros 
1 1000 x 0,1 = 100 1100 1000 x 0,1 = 100 1100 
2 1000 x 0,1 = 100 1200 1100 x 0,1 = 110 1210 
3 1000 x 0,1 = 100 1300 1210 x 0,1 = 121 1331 
4 1000 x 0,1 = 100 1400 1331 x 0,1 = 133 1464 
5 1000 x 0,1 = 100 1500 1464 x 0,1 = 146 1610 
 
Juros Simples 
Em conformidade com a definição acima, os juros simples podem ser calculados por 
meio da fórmula: 
CinJ =
 
onde: j = juros simples 
 c = capital inicial 
 i = taxa de juros 
 n= número de períodos 
 
2 
 
2 
 
Exemplos: 1) Dado c = R$ 2 000,00, i = 20% a.a. e n= 4 anos, determine os juros 
obtidos. 
1600,0040,202000,00J
CinJ
==
=
 
2) Quanto rende um principal de R$ 15.000,00 aplicado durante 4 anos à taxa de 30%, 
ao semestre? 
 Neste exemplo, considera-se 1 período o prazo de 1 semestre, pois é a unidade 
de tempo expressa na taxa. 
c = R$ 15 000,00 
i = 0,30 a.s. 
n = 4 anos = 8 semestres 
36000,0080,3015000,00j ==
 
 
Montante 
Definição: 
JCM +=
 
onde: M = montante 
 C = capital inicial 
 J = são os juros produzidos, isto é: 
CinJ =
 
 
Como: 
CinCM
JCM
+=
+=
 então: 
( )in1CM +=
 
 O fator (1+in) é chamado de fator de acumulação de capital a juros simples. 
 
Exemplo: Qual é o montante obtido pelo capital de R$ 10 000,00, aplicado à taxa de 
juros de 25%a.a., durante 3 anos? 
M = ? 
C = R$ 10 000,00 
i = 25%a.a 
n = 3 anos 
( ) 1750030,25110000M =+=
 
 
Exercícios 
1. Um capital de R$ 80.000,00 ficou aplicado durante seis meses a 10% ao mês. 
Calcule o montante no fim de 6 meses. 
2. Quais os juros de um capital de R$ 185.000,00 aplicado a 6,5% ao mês durante 
12 meses? 
3. Qual o capital que aplicado à taxa de 15% ao semestre durante quatro 
semestres rendeu R$ 2.250,00 de juros? 
4. A que taxa um capital de R$ 980,00 aplicado durante cinco meses rendeu R$ 
249,90 de juros? 
5. Durante quanto tempo um capital de R$ 1.000,00 ficou aplicado a 25% ao 
trimestre para render R$ 1.750,00 de juros? 
Respostas:1) R$ 128000,00 (pelo regime de capitalização simples); 2)R$ 
144.300,00 3) R$ 3.750,00 
4) 5,1% ao mês 5) 7 trimestres 
 
 
3 
 
3 
 
Taxas Equivalentes 
 
 São aquelas que se referindo a períodos de tempos diferentes, aplicadas sobre 
o mesmo capital, durante o mesmo prazo, produzem juros iguais. 
 
Exemplo: Considerando o capital inicial de R$1 000,00 aplicado opcionalmente à taxa 
de 1% ao mês ou 12% ao ano, durante 3 anos, verificar a equivalência das taxas. 
 
Aplicação 1 
C = R$ 1 000,00 
i = 1% a.m. 
n = 3 anos = 36 meses 
J = Cin J = 1 000,00 x 0,01 x 36 = R$ 360,00 
 
Aplicação 2 
C = R$ 1 000,00 
i = 12% a.a. 
n = 3 anos = 36 meses 
J = Cin J = 1 000,00 x 0,12 x 3 = R$ 360,00 
Como os juros produzidos nos dois casos são iguais, verificamos que as taxas são 
equivalentes. Vale acrescentar que em capitalização simples as taxas equivalentes são 
também proporcionais. 
 
Taxa Efetiva 
 
A taxa de juros contratada numa operação financeira chama-se taxa nominal. Essa 
taxa nem sempre é igual à taxa efetiva, que é a taxa de rendimento que a operação 
financeira proporciona efetivamente. Isto acontece em razão de existirem obrigações, 
taxas, impostos ou comissões que comprometem os rendimentos ou oneram o 
pagamento de juros. 
 
Exemplo: Um capitalista depositou R$ 200 000,00 num banco, a prazo fixo, por dois 
meses, à taxa de 2% a.m. Sabendo que, sobre os juros, incide uma taxa de 30% de 
Imposto de Renda, determinar: 
a) o valor dos juros; 
b) o Imposto de Renda retido; 
c) o valor líquido de resgate; 
d) a taxa efetiva mensal do rendimento. 
 
efetivo) (Montante 2056002400-208000 :líquido Resgate 
2080008000200000 JCM :bruto Resgate c)
240080000,30IR b)
800020,02200000 Cin J a)
=
=+=+=
==
===
 
 
4 
 
4 ( )
( )
m. a. 1,4% rendimento de efetiva taxa014,0
2
0,028
 i 
2i 0,028 
21
200000
205600
 
2i1200000205600 
in1CM d)
==
=
=−
+=
+=
i
 
Tipos de Juros Simples 
 
Tendo em vista as transações financeiras operadas com prazos determinados por certo 
número de dias, então deparamos com os seguintes casos. 
Ano Civil: considerar 365 dias ou 366 dias para o ano bissexto. 
Ano Comercial: considerar 360 dias. 
Juro Simples Exato 
 
Neste tipo de convenção a determinação do tempo é pelo ano civil (365 dias). 
Exemplo: Calcular o juro simples exato de R$ 20 000,00 à taxa de 12 % ao ano de 5 de 
abril a 10 de setembro do mesmo ano. 
 
Cálculo do número de dias. 
a) pela contagem natural 
 abril 25 dias 
 maio 31 dias 
 junho 30 dias 
 julho 31 dias 
 agosto 31 dias 
 setembro 10 dias 
 Total 158 dias 
Juro Simples Ordinário ou Comercial 
 
 Neste tipo de convenção a regra adotada para a determinação do tempo é a do 
ano comercial (360 dias). Por convenção usa-se sempre juro comercial, a não ser 
quando é explicito o contrário. 
 
Exemplo: Calcular o juro simples comercial de R$ 20 000,00 à taxa de 12 % ao ano de 5 
de abril a 10 de setembro do mesmo ano. 
 
Cálculo do número de dias. 
 
 abril 25 dias 
 maio a agosto 120 dias 
 setembro 10 dias 
 Total 155 dias 
 
Logo: J = Cin 
33,1033155
360
12,0
200000 ==J
 J = R$ 1033,33 
 
 
 
5 
 
5 
Juros Simples pela Regra dos Banqueiros 
 
Neste tipo de juros simples devemos seguir a regra abaixo: 
 
-Convenção do ano comercial na aplicação da fórmula de juros simples (ano de 360 dias). 
-Convenção do ano civil para a contagem do número de dias (número exato de dias). 
 
Exemplo: Calcular o juro simples pela regra dos banqueiros de R$ 20000,00 à taxa de 
12% ao ano de 5 de abril a 10 de setembro do mesmo ano. 
 
J = Cin 
33,1053158
360
12
200000 ==J
 J = R$ 1053,33 
 
Exercícios 
6. Calcular o tempo exato e aproximado entre 12 de dezembro de 1997 e 20 de 
fevereiro de 1998. 
HP–12C: A data mais antiga será indicada com letra minúscula e a data mais 
recente com letra maiúscula. 
Tempo Exato: (D.MY) dd (•) mmaaaa (ENTER)DD(•)MMAAAA (DYS) 
Tempo Aproximado:(D.MY) dd (•) mmaaaa (ENTER)DD(•)MMAAAA (DYS) 
(xy) 
 
HP–12C: Determinação de uma data futura ou passada de n dias: 
Data Futura: (D.MY) dd (•) mmaaaa (ENTER) n (DATE)Data Passada: (D.MY) dd (•) mmaaaa (ENTER) n (CHS)(DATE) 
 
7. Calcular a taxa de juros trimestral proporcional às seguintes taxas: 
a) 24%a.a. b) 36% ao biênio c) 6% ao semestre 
8. Determinar a taxa de juros anual proporcional, dadas as seguintes taxas: 
a) 3% ao trimestre b) 27% ao quadrimestre c) 5% ao mês 
9. Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 5.000,00 a uma 
taxa de 31,8% ao ano por um prazo de 2 anos e 7 meses? 
10. Quanto tempo deve ficar aplicado um capital para que as hipóteses abaixo 
sejam verdadeiras? 
Capital Inicial Montante Taxa de Juros 
$ 800,00 $ 832,00 16% ao ano 
$ 1.200,00 $ 2.366,00 22% ao ano 
 
Respostas: 8) tempo exato = 70 dias tempo aproximado = 68 dias 7)a)6% ao 
trimestre b)4,5% ao trimestre c)3% ao trimestre 8)a)12% ao ano b)81% ao ano 
c)60% ao ano 9)9.107,50 10)a)3 meses b)4 anos e 5 meses 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
6 
Descontos 
 
Desconto Racional ou Desconto “por dentro”: é o desconto obtido pela diferença 
entre o valor nominal e o valor atual de um compromisso que seja saldado n períodos 
antes do seu vencimento. O desconto, neste caso,é calculado sobre o valor atual do 
título. 
 
( )
( )
in
Nin
d
Ninind
Nindind
dinNinin
Aind
+
=
=+
=+
−==
==
1
1
d-Nd
d-NA e 
 
 
onde d= desconto, N = valor nominal e A= valor atual, logo: 
 
 
 e 
 
 
Exemplo: Uma dívida de $12.000,00 será saldada 4 meses antes de seu vencimento. 
Que desconto racional será obtido, se a taxa de juros contratada for de 27% ao ano? 
Qual será o valor atual? 
 
17,11009$83,99012000
83,990$
4
12
27,0
1
4
12
27,0
12000
=−=
=
+

=
A
d 
 
Desconto Comercial ou Desconto “por fora”: é o desconto utilizado nas instituições 
comerciais e bancárias e é calculado sobre o valor nominal do título. 
 
 e 
 
Exemplo: Uma dívida de $12.000,00 será saldada 4 meses antes de seu vencimento. 
Que desconto comercial será obtido, se a taxa de juros contratada for de 27% ao ano? 
Qual será o valor atual? 
00,10920$4
12
27,0
112000
00,1080$4
12
27,0
12000
=





−=
==
A
D
 
 
 
 
 
 
in
Nin
d
+
=
1
 
in
N
A
+
=
1
 
NinD =
 
( )inNA −= 1
 
 
7 
 
7 
Exercícios 
 
1. Determinar o desconto racional em cada uma das hipóteses abaixo, adotando-
se ano comercial: 
Valor Nominal Taxa de juros Prazo de antecipação 
a) $15.000,00 25% ao ano 8 meses 
b) $3.000,00 20% ao ano 150 dias 
2. Um título de valor nominal $5.300,00 foi descontado à taxa de 18% ao ano. 
Sabendo-se que o desconto racional foi de $300,00, quanto tempo antes do 
vencimento efetuou-se o resgate? 
3. Uma nota promissória de valor nominal $8.856,00, com vencimento em 4 
meses, foi comprada por $8.200,00. Qual é a taxa de desconto racional exigida 
pelo comprador? 
4. Determinar o desconto comercial em cada uma das hipóteses abaixo: 
Valor Nominal Taxa de juros Prazo de antecipação 
a) $15.000,00 25% ao ano 8 meses 
b) $3.000,00 20% ao ano 150 dias 
Respostas: 1) a) $2.142,86 b)$230,76 2) 4 meses 3)24%a.a. 4)a)$2.500,00 
b)$250,00 
 
Juros Compostos 
 
 No regime de juros compostos ou capitalização composta, como já vimos 
anteriormente, apenas no fim do primeiro período os juros são calculados sobre o 
capital inicialmente aplicado; nos períodos seguintes, a partir do segundo, os juros 
incidem sobre o montante constituído no período anterior. Conforme exemplo abaixo. 
Exemplo Capital de R$ 1 000,00 taxa de juro i = 10% a.m. 
 
Períodos 
Juros Simples Juros Compostos 
Juro por 
Período 
Capital mais 
Juros 
Juro por 
Período 
Capital mais 
Juros 
1 1000 x 0,1 = 100 1100 1000 x 0,1 = 100 1100 
2 1000 x 0,1 = 100 1200 1100 x 0,1 = 110 1210 
3 1000 x 0,1 = 100 1300 1210 x 0,1 = 121 1331 
4 1000 x 0,1 = 100 1400 1331 x 0,1 = 133 1464 
5 1000 x 0,1 = 100 1500 1464 x 0,1 = 146 1610 
 
Em conformidade com a definição acima, os juros compostos podem ser calculados 
por meio da fórmula: 
( ) 1i1CJ n −+=
 
onde: J = juros compostos 
 C = capital inicial 
 i = taxa de juros 
 n = número de períodos 
 
 
 
 
 
8 
 
8 
Montante (M) 
( ) 
( )
( )n
n
n
i1CM
Ci1CCM
1i1CCM
JCM
+=
−++=
−++=
+=
 
 
Exemplo: Qual é o montante obtido pelo capital de R$ 250 000,00, aplicado à taxa de 
juros de 7,5%a.m., durante 1 ano e 2 meses? 
M = ? 
C = R$ 250 000,00 
i = 7,5%a.m 
n = 1 ano e 2 meses ( )
688111,01M
0,0751250000M
14
=
+=
 
HP-12C: PV = C e FV = M 
 
 PV 
 
 i 
 
 n 
 
 
 
 
 
Taxas Proporcionais e Equivalentes 
 
 Enquanto no regime de juros simples as taxas proporcionais e as taxas 
equivalentes se confundem, favorecendo muitas vezes até uma identidade entre esses 
dois conceitos, no regime de juros compostos a diferença entre esses dois conceitos é 
essencial, pois as taxas proporcionais não são equivalentes e fazem capitais iguais, em 
tempos iguais, produzirem montantes diferentes. Por exemplo: 
 Três investidores, A, B e C, tinham, cada um, R$10.000,00 para aplicar. A 
aplicou a 24% a.a., B aplicou a 12% a.s. e C aplicou a 2%a.m.. Quais os montantes de 
cada um desses três investidores depois de decorrido um ano? 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 2R$12.682,40,02110.000i1CM :C
0R$12.544,00,12110.000i1CM :B
0R$12.400,00,24110.000i1CM :A
12n
2n
1n
=+=+=
=+=+=
=+=+=
 
 Note que embora as taxas de 24% a.a., 12% a.s. e 2% a.m. sejam duas a duas 
proporcionais, quando foram aplicadas sobre capitais iguais, por prazos iguais, 
produziram montantes diferentes, sendo tanto maior o montante quanto maior o 
número de capitalizações ocorridas durante o ano. Sendo assim, o cálculo de taxas 
equivalentes, no regime de juro composto, não se restringe a uma simples proporção 
como ocorre no regime de juro simples. Sendo assim, se o capital C aplicado à taxa i1 
CHS PV 
i 
n 
FV 
 
9 
 
9 
durante n1 períodos produziu o montante M e se i2 é uma taxa equivalente a i1,ela 
produzirá no mesmo prazo de n2 períodos, o mesmo montante M. Tem-se: 
( ) ( ) 21 n2
n
1 i1CMe i1CM +=+=
 
donde: 
 
 
Exemplo: Qual é a taxa mensal equivalente a 24% ao ano? 
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
..%,,
ln,
ln
,ln
ln,ln
,
,
mai
ie
i
i
i1
i1
i1,241
12
12
121
808101810
1
101790
1
12
241
241
241
0
01790
==
+=
+=
+=
+=
+=
+=+
 
 
Exercícios 
1. Calcular o montante de uma aplicação de $10.000,00 sob as hipóteses a seguir: 
Taxa Prazo 
a) 20% ao ano 5 anos 
b) 5% ao semestre 3 anos e meio 
c) 2,5% ao mês 1 ano 
2. Dado C = R$1.000,00 i1 = 2% ao mês, i2 = 26,824% ao ano, n = 1 ano. Verifique 
se as taxas são equivalentes. 
3. Se eu quiser comprar um carro no valor de $ 60.000,00, quanto devo aplicar 
hoje para que daqui a 2 anos possua tal valor? Considerar as seguintes taxas de 
aplicação: 
Taxa 
a) 2,5% ao mês 
b) 10% ao semestre 
c) 20% ao ano 
4. Um investidor aplicou $320.000,00 em títulos que lhe proporcionarão um 
resgate de $397.535,00 após 90 dias de aplicação. A que taxa mensal de juros 
compostos está aplicado o seu capital? 
5. Dada a taxa de 9,2727% ao trimestre, determinar a taxa de juros compostos 
equivalente mensal. 
6. Qual é a taxa de juros mensal recebida por um investidor que aplica $1.000,00 
e resgata os montantes, segundo as hipóteses abaixo: 
a) $1.076,89 3 meses 
b) $1.125,51 4 meses 
c) $1.340,10 6 meses 
 
Respostas: 1)a)$24.883,20 b)$14.071,00 c)$13.448,89 2) R$ 1.268,24 taxas 
equivalentes 3) a) $33.172,52 b)$40.980,81 c)$41.666,67 4) 7,5% ao mês 
5)3% a.m6)a)2,5%a.m. b) 3%a.m. c) 5%a.m. 
( ) ( ) 21 n2
n
1 i1i1 +=+
 
 
10 
 
10 
Equivalência de Capitais 
 
Valor Atual de um Conjunto de Capitais 
O valor atual de um conjunto de capitais é a soma dos valores atuais de cada 
capital, à taxa i. 
 
 
 
 
 
 
Chamando de V o valor atual, teremos: 
( ) ( ) ( ) ( )
( )

= +
=
+
++
+
+
+
+
+
+=
n
0j
j
j
n
n
3
3
2
2
1
1
0
i1
y
V
i1
y
.....
i1
y
i1
y
i1
y
yV
 
Exemplo: Uma dívida deverá ser paga de seguinte forma: $200.000,00 daqui a 1 mês e 
$500.000,00 daqui a três meses. Quanto deverá ser aplicado hoje, a juro composto, à 
taxa de 1,5% ao mês, para se pagar esta dívida? 
 
 
 
 
 
 
83,202.675
015,1
000.500
015,1
000.200
V
3
=+=
 
 
Conjunto de Capitais Equivalentes 
Exemplo: Uma loja vende um aparelho de TV nas seguintes condições: entrada de 
$1.000,00 mais uma parcela de $1.200,00 após um mês. Um cliente propõe pagar uma 
entrada de $600,00, mais duas parcelas mensais e iguais, vencendo a primeira um mês 
após a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 3% ao mês, qual o valor de cada 
parcela, de maneira que as duas formas de pagamento sejam equivalentes? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 1 2 3 
200.000 500.000 
0 1 
1.000 1.200 
1a forma 
0 1 2 
600 y y 
2a forma 
0 1 2 n 
 y0 y1 y2.... yn 
 
11 
 
11 
 
91,817y
05,1565y942596,0y970874,0
03,1
y
03,1
y
600
03,1
1200
1000
VV
03,1
y
03,1
y
600V
03,1
1200
1000V
2
21
212
1
=
=+
++=+
=
++=
+=
 
Exercícios 
 
1. Uma nota promissória, cujo valor nominal é $50.000,00, vence daqui a um mês. O 
devedor propõe a troca por outra nota promissória, a vencer daqui a 3 meses. 
Qual deve ser o valor nominal da nova nota promissória para que os capitais sejam 
equivalentes, à taxa de 2% ao mês? 
2. Uma pessoa tem uma dívida de $60.000,00 para daqui a 2 meses e outra de 
$80.000,00 para daqui a 3 meses. Quanto deverá aplicar hoje à taxa de juros de 
2% ao mês para fazer frente a essas dívidas? 
3. Uma empresa prevê pagamentos de $250.000,00 daqui a 1, 2 e 3 meses. Quanto 
deve aplicar hoje, à taxa de 1,6% ao mês, para fazer frente a esses pagamentos? 
4. Um aparelho de som é vendido por $1500,00 ou por 20% de entrada, mais duas 
parcelas mensais e iguais. Sabendo-se que a taxa de juros vale 6% ao mês, qual o 
valor de cada parcela de modo que as duas formas de pagamento sejam 
equivalentes? 
5. Um eletrodoméstico é vendido por $3000,00 à vista ou então, com uma entrada e 
mais 3 parcelas mensais de $800,00 cada uma. Se a loja trabalha com uma taxa de 
juros compostos de 3,5% ao mês, qual o valor da entrada? 
 
 
Respostas: 1)$52.020,00 2)$133.055,91 3)$726.624,98 
 4)$654,52 5)$758,69 
 
 
Séries de Pagamentos 
 
As séries de pagamentos ou rendas podem ser definidas como uma sucessão de 
pagamentos ou recebimentos com vencimentos sucessivos. Aqui serão tratadas as 
séries com as seguintes características: 
 
 
 
 
 
12 
 
12 
Séries de Pagamentos iguais com termos vencidos (ou postecipados) 
 
Exemplo 1: Determinar o valor do montante, no final do 5o mês, de uma série de 
aplicações mensais, iguais e consecutivas, no valor de $100,00 cada uma, a uma taxa 
de 4% ao mês, sabendo-se que a primeira parcela é aplicada no final do primeiro mês, 
ou seja, a 30 dias da data tomada como base (“momento zero”), e que a última, no 
final do 5o mês, é coincidente com o momento em que é pedido o montante. 
Dados: PMT = 100,00, i = 4% n=5 FV? 
 
 
 
 
 
 
 
 
63,54104,110004,110004,110004,110004,1100 01234 =++++=FV
 
O cálculo do montante aqui realizado é muito trabalhoso e se ao invés de 5 parcelas 
tivéssemos 50 ou 100 parcelas. Para solucionar este tipo de problema podemos usar a 
fórmula abaixo. 
( )
i
i
PMTFV
n
11 −+
=
 
onde: FV = montante 
 PMT = parcelas 
Resolvendo o problema acima usando a fórmula, teremos: 
( )
63,541
04,0
104,01
100
5
=
−+
=FV
 
Fator de Acumulação de Capital (FAC) 
 FAC(i,n) = ( )
i
i
n
11 −+ = Fator de acumulação de capital ou sni
 
Portanto, a fórmula poderá ser dada como: 
( ) ,niFACPMTFV =
 
 
O fator de acumulação de capital FAC(i,n) pode ser lido diretamente em tabelas 
financeiras encontradas na literatura. No exemplo acima temos FAC(4%,5) = 5,41632 
substituindo na fórmula, teremos: 
63,54141632,5100 ==FV
 
Exemplo 2: Quanto terá, no final de 4 anos, uma pessoa que aplicar $500,00 por mês, 
durante esse prazo, em um “Fundo de Renda Fixa”, à taxa de 3% ao mês? 
Dados: PMT = 500,00 n = 4 anos = 48 meses, i = 3% ao mês 
20,204.52$4084,104500
03,0
103,1
500
48
==
−
=FV
 
 
Neste caso, se consultarmos uma tabela teremos: FAC(3%,48) = 104,40840 
 
0 1 2 3 4 5 
FV? 
100 100 100 100 100 
 
13 
 
13 
Fator de Formação de Capital (FFC) 
 
 O FFC é obtido a partir da fórmula do montante, veja: 
( )
( )
( )
( )niFFCFVPMT
i
i
FVPMT
i
i
FV
PMT
i
i
PMTFV
n
n
n
,
11
11
11
=
−+
=
−+
=
−+
=
 
Exemplo 3: Quanto uma pessoa terá de aplicar mensalmente num “Fundo de Renda 
Fixa”, durante 5 anos, para que possa resgatar $200.000,00 no final de 60 meses, 
sabendo que o fundo proporciona um rendimento de 2% ao mês? 
 
Dados FV = 200.000, n = 60 meses, i = 2% ao mês. 
( )
59,753.1$
102,01
02,0
000.200
60
=
−+
=PMT
 
 
Exemplo 4 quando n é a incógnita :Quantas prestações de $4.000,00 devo aplicar 
trimestralmente à taxa de 7% ao trimestre, para acumular um montante de $100.516, 
08 no final de certo prazo? E qual é este prazo? 
( )
( )
prestações 15
07,1ln
7590,2ln
07,17590,2
07,1107,01290,25
07,0
107,01
000.408,516.100
11
==
=
=+
−+
=
−+
=
n
i
i
PMTFV
n
n
n
n
 
 
Fator de Valor Atual (FVA) 
Exemplo 6: Qual o valor que, financiado à taxa de 4% ao mês, pode ser pago ou 
amortizado em 5 prestações mensais, iguais e sucessivas de $100,00 cada uma? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 1 2 3 4 5 
PV? 
100 100 100 100 100 
 
14 
 
14 
18,445$
04,1
100
04,1
100
04,1
100
04,1
100
04,1
100
54321
=++++=PV
 
 
O cálculo do valor atual, da mesma forma que o cálculo do montante realizado 
anteriormente, é muito trabalhoso e se ao invés de 5 parcelas tivéssemos 50 ou 100 
parcelas. Para solucionar este tipo de problema podemos usar a fórmula abaixo. 
( )
( )
( )ni,FVAPMTPVou 
1
11
=
+
−+
=
ii
i
PMTPV
n
n 
onde: PV = valor presente 
 PMT = parcelas 
Resolvendo o problema acima usando a fórmula, teremos: 
( )
( )
18,445$45182,4100
04,004,01
104,01
100
5
5
==
+
−+
=PV
 
Fator de Valor Atual (FVA) 
 FVA(i,n) = ( )
( ) ii
i
n
n
+
−+
1
11
= Fator de valor atual ou ani 
O fator de valor atual FVA(i,n) pode ser lido diretamente em tabelas financeiras 
encontradas na literatura. No exemplo acima temos FVA(4%,5) = 4,45182 substituindo 
na fórmula, teremos: 
18,445$45182,4100 ==PV
 
Exemplo 7: Calcular o valor atual de uma série de 24 prestações iguais, mensais e 
consecutivas de $3.500,00 cada uma, considerando uma taxa de 5% ao mês. 
Dados: n = 24, PMT=3.500, i=5% 
( )
( )
24,295.48$79864,13500.3
1613,0
2251,2
500.3
05,005,01
105,01
500.3
24
24
===
+
−+
=PV
 
Fator de Recuperação de Capital (FRC) 
( )
( )
( )
( )
( )niFRCPVPMT
i
ii
PVPMT
ii
i
PMTPV
n
n
n
n
,
11
1
1
11
=
−+
+
=
+
−+
=
 
Aqui novamente quando não se conhece n calculamos o logaritmo neperiano e quando 
não se conhece i vamos por tentativa e erro ou consultamos as tabelas financeiras 
para as duas situações. 
 
Exercícios 
1. Qual o montante, no final de 8 meses, referente a uma aplicação de $1.000,00 
por mês, à taxa de 3% ao mês? 
2. Quanto deverá ser aplicado, a cada dois meses, em um “Fundo de Renda Fixa”, 
à taxa de 5% ao bimestre, durante 3 anos e meio, para que se obtenha, no final 
desse prazo, um montante de $175.000,00? 
3. Qual o valor da aplicação trimestral necessária para obter um montante de 
$1.000.000,00 no final de 7 anos, à taxa de 6% ao trimestre? 
 
15 
 
15 
4. Parte do valor de um veículo é financiada por uma cia. de crédito, para ser paga 
em 20 prestações iguais de $1.500,00 cada uma. Sabendo-se que essa 
financeira cobra do mutuário uma taxa de 4% ao mês, calcular o valor 
financiado, isto é, o valor entregue ao cliente na data do contrato. 
5. Qual o valor de prestação que uma financeira receberá, trimestralmente, se 
financiar $100.000,00 para serem pagos em 10 trimestres, sabendo-se que a 
taxa é de 3,22801% ao mês e que as prestações são iguais e sucessivas? 
6. Uma loja revendedora de automóveis financiou 80% do valor de um veículo 
zero km (preço de tabela=$22.000,00), em 24 parcelas mensais iguais. O 
gerente da revendedora, assegurou ao comprador que a loja estava cobrando 
juros de 3% ao mês pelo financiamento. Calcule o valor das prestações. 
 
Respostas:1)$8.892,34 2)$4.899,32 3)$14.592,55 4)$20.385,49 
 5)$16.275,00 6)$1.039,23 
 
Séries de Pagamentos iguais com termos Antecipados 
 
 Nas séries com termos antecipados, os pagamentos ou recebimentos ocorrem 
no início de cada período unitário. Assim a primeira prestação é sempre paga ou 
recebida no momento” zero”, ou seja, na data do contrato do empréstimo ou do 
financiamento. 
 
 Problemas deste tipo poderão ser resolvidos a partir dos fatores definidos para 
a série de pagamentos com termos vencidos, bastando multiplicá-los ou dividi-los por 
(1+i). 
 
Exemplo 1: Determinar o valor do montante, no final do 5o mês, de uma série de 
aplicações mensais, iguais e consecutivas, no valor de $100,00 cada uma, a uma taxa 
de 4% ao mês, sabendo-se que a primeira aplicação é feita hoje (data do contrato). 
Dados: PMT = 100,00, i = 4% n=5 FV? 
 
 
 
 
 
 
30,56304,110004,110004,110004,110004,1100 12345 =++++=FV
 
O cálculo do montante aqui realizado é muito trabalhoso e se ao invés de 5 parcelas 
tivéssemos 50 ou 100 parcelas. Para solucionar este tipo de problema podemos usar a 
fórmula abaixo. 
( )
( )
i
i
iPMTFV
n
11
1
−+
+=
, onde: FV = montante e PMT = parcelas 
e FAC(i,n) = 
( )
i
i
n
11 −+
= Fator de acumulação de capital ou sni 
Resolvendo o problema acima usando a fórmula, teremos: 
( )( ) 30,563
04,0
104,01
04,01100
5
=
−+
+=FV
 
 
FV? 
100 100 100 100 
100 
0 1 2 3 
4 5 
 
16 
 
16 
Fator de Formação de Capital (FFC) 
 
 O FFC é obtido a partir da fórmula do montante, veja: 
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )niFFC
i
FVPMT
i
i
i
FV
PMT
i
i
iPMTFV
n
n
,
1
1
 
111
 
11
1 
+
=
−+

+
=
−+
+=
 
Exercícios 
1. Quanto terei de aplicar mensalmente, a partir de hoje, para acumular no final 
de 36 meses, um montante de $300.000,00, sabendo que o rendimento 
firmado é de 34,489% ao ano, e que as prestações são iguais e consecutivas, e 
em número de 36? 
2. Quantas aplicações mensais de $1.000,00 são necessárias para se obter um 
montante de $33.426,47, sabendo-se que a taxa é de 3%ao mês, e que a 
primeira aplicação é feita no ato da assinatura do contrato e a última 30 dias 
antes do resgate daquele valor? 
 
Respostas:1)$5.107,32 2) 23 
 
 
Fator de Valor Atual (FVA) 
 O cálculo do valor atual, da mesma forma que o cálculo do montante realizado 
anteriormente, é obtido multiplicando-se o fator (1+i). Para solucionar este tipo de 
problema podemos usar a fórmula abaixo. 
( )
( )
( )
( ) ( )ni,FVA1PMTPVou 
1
11
1 +=
+
−+
+= i
ii
i
iPMTPV
n
n
 , onde: PV = valor presente 
e PMT = parcelas 
Fator de Recuperação de Capital (FRC) 
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )niFRC
i
PVPMT
i
ii
i
PVPMT
ii
i
iPMTPV
n
n
n
n
,
1
1
 
11
1
1
1
 
1
11
1
+
=
−+
+

+
=
+
−+
+=
 
 
Exercícios 
3. Determinar qual o valor de um veículo financiado em 24 prestações iguais de $ 
5.054,03, sabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 3,5% ao mês e que a 
primeira parcela é paga no ato da assinatura do contrato. 
4. Um terreno é colocado à venda por $180.000,00 à vista ou em 10 prestações 
bimestrais, sendo a primeira prestação paga na data do contrato. Determinar o 
valor de cada parcela, sabendo-se que o proprietário está cobrando uma taxa 
de 34% ao ano pelo financiamento. 
 
Respostas: 3)$84.000,00 4)$22.200,00 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
17 
Sistemas de Amortização 
 
Sistema Francês de Amortização (Tabela Price) 
 
Considere o exemplo: 
Valor financiado $10.000,00 (PV) 
Prazo 12 meses (n) 
Taxa de juros 2 % ao mês (i) 
Valor da prestação mensal $945,60 (PMT) 
 
 Este é um caso clássico de série uniforme postecipada, portanto o método de 
calculo da PMT é o mesmo realizado na série. A seguir montaremos o demonstrativo 
da dívida. 
Período 
Saldo 
Devedor Amortização Juros Prestação 
0 10.000,00 
1 9.254,40 745,60 200,00 945,60 
2 8.493,89 760,51 185,09 945,60 
3 7.718,17 775,72 169,88 945,60 
4 6.926,93 791,24 154,36 945,60 
5 6.119,87 807,06 138,54 945,60 
6 5.296,67 823,20 122,40 945,60 
7 4.457,00 839,67 105,93 945,60 
8 3.600,54 856,46 89,14 945,60 
9 2.726,95 873,59 72,01 945,60 
10 1.835,89 891,06 54,54 945,60 
11 927,01 908,88 36,72 945,60 
12 0,00 927,01 18,59 945,60 
Totais 10.000,00 1.347,20 11.347,20 
 
Metodologia de cálculo 
 
1) valor dos juros da 1ª prestação = 10.000,00 x 2% = 200,00; 
2) valor da amortização da 1ª prestação = 945,60 – 200,00 = 745,60; 
3) saldo devedor após o pagamento da 1ª prestação = 10.000,00 – 745,60 = 9.254,40 
4) valor dos juros da 2ª prestação = 9.254,40 x 2% = 185,09; 
5) valor da amortização da 2ª prestação = 945,60 – 185,09 = 760,51; 
6) saldo devedor após o pagamento da 2ª prestação = 9.254,40 – 760,51 = 8.493,89 
 
Este cálculo se repete até o final das prestações. Note que neste sistema o valor da 
prestação é constante, os juros são decrescentes e as amortizações crescentes. 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
18 
 
 
Exercícios 
1. Um empréstimo de $600.000,00 tomado em novembro de 1987 foi pago em 
seis prestações mensais com juro de 1,5% a.m. Fazer o demonstrativo da 
dívida usando o Sistema Price. 
2. Uma TV pode ser adquirida pelo valor de $5.600,00 e paga em 4 prestações 
mensais com juro de 2,89% ao mês. Faça o demonstrativo da dívida. 
3. Uma moto pode ser adquirida pelo valor de $12.300,00 e paga em 6 prestações 
mensais com juro de 0,99% ao mês. Faça o demonstrativo da dívida. 
4. Uma lavadora de roupas pode ser adquirida pelo valor de $890,00 e paga em 4 
prestações mensais com juro de 1,38% ao mês. Faça o demonstrativo da dívida.Sistema de Amortização Constante (SAC) 
 
Considere o exemplo: 
Valor financiado $10.000,00 
Prazo 12 meses 
Taxa de juros 2 % ao mês 
Valor da prestação mensal ? 
 
 O cálculo da prestação somente é possível após o cálculo da amortização, o 
qual é obtido dividindo-se o total pelo número de prestações, ou seja, $10.000,00 / 12 
= $833,33. Sabendo-se que o juro do primeiro mês é $10.000,00 x 2% = 200,00 temos a 
1ª prestação que será $833,33+200,00 = 1033,33. A seguir montaremos o 
demonstrativo da dívida. 
Período 
Saldo 
Devedor Amortização Juros Prestação 
0 10.000,00 
1 9.166,67 833,33 200,00 1.033,33 
2 8.333,34 833,33 183,33 1.016,66 
3 7.500,01 833,33 166,67 1.000,00 
4 6.666,68 833,33 150,00 983,33 
5 5.833,35 833,33 133,33 966,66 
6 5.000,02 833,33 116,67 950,00 
7 4.166,69 833,33 100,00 933,33 
8 3.333,36 833,33 83,33 916,66 
9 2.500,03 833,33 66,67 900,00 
10 1.666,70 833,33 50,00 883,33 
11 833,37 833,33 33,33 866,66 
12 0,00 833,37 16,67 850,04 
Totais 10.000,00 1.300,00 11.300,00 
 
 Note que a amortização é constante ao longo do contrato, os juros a as 
prestações são decrescentes. Repita os exercícios anteriores agora usando o sistema 
SAC.