Lista_de_exercicios_1

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Resistência dos Materiais – Primeira Lista de Exercícios 
 
Centro Universitário Augusto Motta 
Curso de Engenharia Civil 
Prof. Marcos Martins 
marcos.dmartins@souunisuam.com.br 
 
Conteúdo: 
 
Tensão Normal e Cisalhamento Direto. 
 
Referências: 
 
Timoshenko, S. P. e Gere, J. E. 
Mecânica dos Sólidos, vol. 1 e 2 
Livros Técnicos e Científicos 
Rio de Janeiro, 1983 
 
Hibbeler, R. C. 
Resistência dos Materiais, 7ª edição 
Pearson Prentice Hall 
São Paulo, 2010 
 
 
 
 
11/08/2019 
 
 
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1. Tensão Normal e Cisalhamento Direto. 
 
Exercício 1.1: A barra de aço A-36 mostrada na figura ao lado 
é composta por dois segmentos, AB e BD, com áreas de seção 
transversal AAB = 800 mm
2 e ABD = 1.400 mm
2, 
respectivamente. Determine os deslocamentos verticais 
absolutos dos pontos A, B e C, e os deslocamentos do ponto A 
relativo ao ponto B e do ponto B relativo ao ponto C. O 
módulo de elasticidade longitudinal do aço A-36 é 210 GPa. 
Considere a expressão para o cálculo do deslocamento axial 
em uma barra dada por 
AE
LP


=
, onde P é a carga axial 
solicitante, L é o comprimento da barra, E é o módulo de 
elasticidade longitudinal e A é a área da seção transversal. 
Figura 1.1: Barra de aço 
submetida a esforço axial. 
 
Solução: 
 
A tabela a seguir apresenta os valores calculados. A linha “Carga” corresponde ao valor de 
esforço axial, P, a que cada faixa é submetida. As linhas “Comprimento”, “Módulo de Young” e 
“Área da seção” apresentam o comprimento, L, o módulo de elasticidade, E, e a área da seção 
transversal, A, de cada faixa, respectivamente. A linha “Desloc. Relativo” apresenta a variação 
de comprimento de cada faixa, , de acordo com a expressão 
( ) ( )AELP ..=
. A linha “Desloc. 
Absoluto” calcula os deslocamentos em cada ponto A, B e C de acordo com as expressões: 
A = AB + BC + CD, B = BC + CD e C = CD. 
 
Carga: PAB 75000 N PBC 35000 N PCD -45000 N 
Comprimento: LAB 1000 mm LBC 750 mm LCD 500 mm 
Mód. Young: EAB 210000 MPa EBC 210000 MPa ECD 210000 MPa 
Área da seção: AAB 800 mm2 ABC 1400 mm2 ACD 1400 mm2 
 
Desloc. Relativo: AB 4,46×10-1 mm BC 8,93×10-2 mm CD -7,65×10-2 mm 
 
Desloc. Absoluto: A 4,59×10-1 mm 
 B 1,28×10-2 mm 
 C -7,65×10-2 mm 
 
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Exercício 1.2: Calcule os deslocamentos axiais em cada um dos pontos de aplicação de carga 
nas barras da Figura 1.2(a) e (b) e a função deslocamento para a barra da figura (c). 
 
 
(a) 
 
 
 
(b) 
 
 
 
(c) 
Figura 1.2: Barras carregadas axialmente com (a) várias cargas intermediárias, (b) com várias seções 
transversais diferentes e (c) com seção transversal e carregamento variando continuamente. 
 
Solução: 
 
(a) A tabela a seguir apresenta a solução por faixa e, em seguida, os deslocamentos totais. Os 
valores do módulo de elasticidade, E, e da seção transversal, A, foram admitidos iguais para os 
três trechos. Os deslocamentos relativos correspondem aos alongamentos de cada faixa, 
enquanto os deslocamentos absolutos correspondem aos deslocamentos pontuais. 
 
Carga: PAB P PBC -P PCD P 
Comprimento: LAB L/3 LBC L/3 LCD L/3 
 
Desloc. Relativo: AB ( ) ( )AELP ..3. BC ( ) ( )AELP ..3.− CD ( ) ( )AELP ..3. 
 
Desloc. Absoluto: A 0 
 B = AB = ( ) ( )AELP ..3. 
 C = AB + BC = ( ) ( )AELP ..3. + ( ) ( )AELP ..3.− = 0 
 D = AB + BC + CD = 0 + ( ) ( )AELP ..3. 
 
A 
B 
C 
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(b) A tabela a seguir apresenta a solução por faixa e, em seguida, os deslocamentos totais. Os 
valores do módulo de elasticidade e seção transversal dos trechos a e b são indicados por Ea, Eb, 
Aa e Ab, respectivamente. Os deslocamentos relativos correspondem aos alongamentos de cada 
faixa, enquanto os deslocamentos absolutos correspondem aos deslocamentos pontuais. 
 
Carga: PAB P1 PBC P1 + P2 
Comprimento: LAB a LBC b 
Mód. Young: EAB Ea EBC Eb 
Área da seção: AAB Aa ABC Ab 
 
Desloc. Relativo: AB -(P1.a)/(Ea.Aa) BC -[(P1 + P2).b]/(Eb.Ab) 
 
Desloc. Absoluto: A = AB + BC = -(P1.a)/(Ea.Aa) - [(P1 + P2).b]/(Eb.Ab) 
 B = BC = -[(P1 + P2).b]/(Eb.Ab) 
 C = 0 
 
(c) O alongamento produzido por cada trecho infinitesimal dx é calculado por: 
 
x
x
EA
dxP
d =
 
 
onde Px é a carga atuante no elemento infinitesimal e Ax a sua área da seção transversal. Assim, 
o cálculo da função deslocamento da barra é dado por: 
 
 ==
x
x
x
x
EA
dxP
d
00

 
 
onde 
x
 é um ponto qualquer em que se queira calcular o deslocamento total devido à carga 
distribuída. 
 
Exercício 1.3: [Hibbeler, pág. 23] A barra mostrada na Figura 1.3 tem área de seção transversal 
quadrada com 40 mm de profundidade e largura. Se uma força axial de 800 N for aplicada ao 
logo do eixo que passa pelo centróide da área da seção transversal da barra, determine a tensão 
normal média e a tensão de cisalhamento média que agem no material ao longo do plano a-a e 
do plano b-b. 
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Figura 1.3: Estado de tensão inclinado. 
 
Solução: 
 
 6 
 
 
 7 
 
 
 
 8 
Exercício 1.4: [Hibbeler, pág. 24] A escora de madeira mostrada na Figura 1.4 está suspensa 
por uma haste de aço de 10 mm de diâmetro que está presa na parede. Considerando que a 
escora suporta uma carga vertical de 5 kN, calcule a tensão de cisalhamento média na haste e ao 
longo dos dois planos sombreados da escora, um dos quais é indicado como abcd. 
 
Figura 1.4: Ação de escora de madeira sobre haste de aço. 
 
Solução: 
 
 9 
 
 
Exercício 1.5: [Hibbeler, pág. 25] O elemento inclinado na Figura 1.5 está submetido a uma 
força de compressão de 3.000 N. Determine a tensão de compressão média ao longo das áreas 
de contato lisas definidas por AB e BC e a tensão de cisalhamento média ao longo do plano 
horizontal definido por EDB. 
 
Figura 1.5: Compressão e cisalhamento em suporte de madeira. 
 
Solução: 
 
 10 
 
 
 
 11 
Exercício 1.6: [Hibbeler, pág. 35] Os dois elementos estão interligados por pinos em B 
conforme apresenta a Figura 1.6, que também apresenta vistas em detalhe dos apoios em A e B. 
Se a tensão admissível de cisalhamento para os pinos for adm = 90 MPa e a tensão de tração 
admissível para a haste CB for (t)adm = 115 MPa, determine, com aproximação de 1 mm, o 
menor diâmetro dos pinos A e B e o diâmetro da haste CB necessários para suportar a carga. 
 
Figura 1.6: Estrutura isostática triarticulada. 
 
Solução: 
 
 
 12 
 
 
 13 
 
 
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Exercício 1.7: [Hibbeler, pág. 36] O braço de controle está submetido ao carregamento 
mostrado na Figura 1.7. Determine, com aproximação de 5 mm, o diâmetro exigido para o pino 
de aço em C se a tensão de cisalhamento admissível para o aço for adm = 55 MPa. Observe, na 
figura, que o pino está sujeito a cisalhamento duplo, conforme a vista em detalhe. 
 
Figura 1.7: Pinos submetidos a cisalhamento duplo. 
 
Solução: 
 
 16 
 
 
Exercício 1.8: [Hibbeler, pág. 37] A haste suspensa está apoiada em sua extremidade por um 
disco circular fixo acoplado como mostra a Figura 1.8. Se a haste passar por um orifício de 
40 mm de diâmetro, determine o diâmetro mínimo exigido para a haste e a espessura mínima do 
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disco necessária para suportar a carga de 20 kN. A tensão normal admissível para a haste é 
adm = 60 MPa e a tensão admissível decisalhamento para o disco é adm = 35 MPa. 
 
Figura 1.8: Disco submetido a cisalhamento. 
 
Solução: 
 
 18 
 
 
Exercício 1.9: [Hibbeler, pág. 37] Uma carga axial sobre o eixo mostrado na Figura 1.9 sofre a 
resistência do colar em C, que está acoplado ao eixo e localizado no lado direito do mancal em 
B. Determine o maior valor de P para as duas forças axiais em E e F de modo que a tensão no 
colar não ultrapasse uma tensão de apoio admissível em C de (a)adm = 75 MPa e que a tensão 
normal média no eixo não exceda a tensão de tração admissível (t)adm = 55 MPa. 
 
Figura 1.9: Haste sob tração variável. 
 
Solução: 
 
 
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 20 
 
Exercício 1.10: [Hibbeler, pág. 38] A barra rígida mostrada na Figura 1.10 é sustentada por uma 
haste de aço AC de 20 mm de diâmetro e um bloco de alumínio com área de seção transversal de 
1.800 mm2. Os pinos de 18 mm de diâmetro em A e C estão submetidos a cisalhamento simples. 
Se as tensões de ruptura do aço e do alumínio forem (aço)rup = 680 MPa e (al)rup = 70 MPa, 
respectivamente, e a tensão de ruptura por cisalhamento para cada pino for rup =900 MPa, 
determine a maior carga P que pode ser aplicada à barra. Aplique um fator de segurança FS = 2. 
 
Figura 1.10: Estrutura isostática em aço e alumínio. 
 
Solução: 
 
 
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 22 
 
 
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2. Deformações Normais e Cisalhantes. 
 
3. Relação Tensão-Deformação. 
 
4. Energia de Deformação. 
 
5. Coeficiente de Poisson. 
 
6. Flexão Simples. 
 
7. Flexão Composta. 
 
8. Torção. 
 
9. Linha Elástica de Vigas. 
 
10. Flambagem de Colunas.