Dada a equação diferencial de 2ª ordem, Y''+ 2Y+ Y=0. Determine a equação do segundo grau correspondente, utilizada para o processo de redução de o...

Para encontrar a equação do segundo grau correspondente, utilizada para o processo de redução de ordem, devemos primeiro encontrar a solução geral da equação diferencial dada. A equação característica correspondente é dada por: r² + 2r + 1 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, temos: r = -1 (raiz dupla) Portanto, a solução geral da equação diferencial é dada por: Y(x) = (c1 + c2*x)*e^(-x) Para o processo de redução de ordem, assumimos que a solução da equação diferencial é da forma Y(x) = v(x)*e^(-x), onde v(x) é uma função a ser determinada. Substituindo Y(x) na equação diferencial, temos: Y'' + 2Y' + Y = (v'' - 2v' + v)*e^(-x) + 2*(-v' + v)*e^(-x) + v*e^(-x) = 0 Simplificando, temos: v'' = 0 Integrando duas vezes, temos: v(x) = Ax + B Portanto, a solução geral da equação diferencial é dada por: Y(x) = (c1 + c2*x)*e^(-x) + (Ax + B)*e^(-x) Para encontrar a equação do segundo grau correspondente, utilizada para o processo de redução de ordem, devemos substituir Y(x) na equação Y(x) = v(x)*e^(-x) e derivar duas vezes em relação a x. Temos: v(x) = (c1 + c2*x) + (Ax + B) v'(x) = c2 + A - v(x) v''(x) = -c2 + v(x) - A Substituindo Y(x) = v(x)*e^(-x) nas equações acima, temos: Y(x) = (c1 + c2*x)*e^(-x) + (Ax + B)*e^(-x) Y'(x) = (-c1 - c2 + A)*e^(-x) + (-c2 - A*x - B)*e^(-x) Y''(x) = (c1 + 2*c2 - A)*e^(-x) + (2*A + B)*e^(-x) Substituindo Y(x), Y'(x) e Y''(x) na equação Y'' + 2Y' + Y = 0, temos: [(c1 + 2*c2 - A) + 2*(-c2 - A*x - B) + (c1 + c2*x + Ax + B)]*e^(-x) = 0 Simplificando, temos: (c1 + A - 2*B)*e^(-x) = 0 Portanto, c1 + A - 2*B = 0 Substituindo c1 + A = 2*B na equação v'' = 0, temos: v'' = 0 Integrando duas vezes, temos: v(x) = C1 + C2*x Substituindo v(x) na equação Y(x) = v(x)*e^(-x), temos: Y(x) = (C1 + C2*x)*e^(-x) Portanto, a equação do segundo grau correspondente, utilizada para o processo de redução de ordem, é dada por: a² - 2a + 1 = 0 Resposta: letra A.