Aula 1 - Estruturas de Concreto II

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Estruturas de Concreto II 
1 
Escadas 
Prof. M.Sc. Paulo Vitor Calmon N. da Gama 
Estruturas de Concreto II 
2 
𝑏 – largura da seção transversal; 
𝑑 – altura útil; 
ℎ - altura total da seção (altura utilizada no dimensionamento da laje) 
𝑥 – profundidade da linha neutra; 
𝑓𝑏𝑑 - resistência de cálculo de aderência; 
𝑓𝑐𝑑 - resistência de cálculo à compressão do concreto; 
𝑓𝑐𝑘 - resistência característica à compressão do concreto; 
𝑓𝑦𝑑 - tensão de escoamento de cálculo do aço da armadura longitudinal; 
𝑓𝑦𝑘 - tensão de escoamento característica do aço da armadura longitudinal; 
𝐴𝑠,𝜙 - a área de aço de uma determinada bitola (cm²); 
𝐴𝑠 - a área da armadura longitudinal, para vigas em cm² e para lajes em cm²/m; 
𝑀𝑑 - Momento fletor solicitante de cálculo (𝑀𝑑 = 𝛾𝑓𝑀𝑘 ⇒ 𝑀𝑑 = 1,4𝑀𝑘) 
𝑀𝑑,𝑙𝑖𝑚 - Momento fletor limite de cálculo (maior valor de momento com armadura simples) 
𝑉𝑠𝑑 - força cortante solicitante de cálculo (𝑉𝑠𝑑 = 𝛾𝑓𝑉𝑠𝑘 ⇒ 𝑉𝑠𝑑 = 1,4𝑉𝑠𝑘); 
𝛼 - ângulo 
𝛼𝑐 – parâmetro de redução da resistência do concreto na compressão; 
𝛾𝑐 - coeficiente de minoração da resistência do concreto; 
𝛾𝑓 - coeficiente de majoração das ações; 
𝛾𝑠 - coeficiente de minoração da resistência do aço; 
𝜀 – deformação específica; 
𝜆 – relação entre a profundidade y do diagrama retangular de compressão equivalente e a profundidade efetiva x da linha neutra; 
𝜌𝑚í𝑛 – taxa geométrica mínima de armadura longitudinal; 
Lista de Símbolos 
Estruturas de Concreto II 
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Escadas 
 Tipos; 
 Cargas atuantes; 
 Esforços em escadas e vigas inclinadas; 
 Dimensionamento; 
 Exemplos. 
Estruturas de Concreto II 
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Tipos de Escadas 
Estruturas de Concreto II 
Tipos de Escadas 
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 Variadas formas e dimensões; 
 Dependem do espaço disponível, tráfego de pessoas e aspectos 
arquitetônicos; 
 Possuem um ou mais lances retangulares ou podem ser curvas; 
 Normalmente são apoiadas em vigas, paredes de alvenaria ou paredes de 
concreto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estruturas de Concreto II 
Tipos de Escadas 
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- Dependendo da localização dos apoios, as escadas podem ser classificadas 
como armadas transversalmente, longitudinalmente ou escadas armada 
em cruz. Tais como as rampas, as escadas são armadas como lajes 
inclinadas. 
- Lajes de rampa, em geral, são armadas transversalmente e apoiadas nas 
vigas de rampa. 
- Larguras das escadas: 
- Escadas secundárias ou 
de serviço têm largura 
variando de 70 a 90 cm; 
 
- Escadas de edifícios 
residenciais e comerciais 
tem uma largura usual de 
120 cm. 
(Direção da armação) 
Estruturas de Concreto II 
Cargas Atuantes em Escadas 
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As cargas nas escadas são classificadas em: cargas permanentes e cargas 
acidentais. 
 
 
 
• Cargas permanentes: peso próprio da escada, o revestimento, peso dos 
parapeitos. Cargas permanentes distribuídas são definidas através da letra 𝑔. 
 
 
• Cargas acidentais: uniformemente distribuídas sobre a superfície da 
escada. Deve-se aplicar carga acidental ao longo do parapeito conforme 
(NBR 6120). Cargas acidentais são definidas através da letra 𝑞. 
Estruturas de Concreto II 
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Cargas Atuantes em Escadas 
 
A) Peso próprio: é avaliado por m² de projeção horizontal, ou seja, é uma 
carga vertical tanto para o patamar quanto para o trecho inclinado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Patamar 
Peso próprio: 
 
• Peso do patamar: 
 
𝒈𝒑 = 𝟐𝟓𝒉𝒑 , 𝒌𝑵/𝒎² 
 
• Peso do trecho inclinado: 
 
𝒈𝒊𝒏𝒄 = 𝟐𝟓𝒉𝒎 , 𝒌𝑵/𝒎² 
Onde ℎ𝑚 é a espessura média da laje junto com o degrau medido 
na vertical, dada por: 
𝒉𝒎 = 𝒉𝟏 +
𝒆
𝟐
=
𝒉
𝒄𝒐𝒔 𝜶
+
𝒆
𝟐
 
 
𝛼 – ângulo de inclinação da escada 
𝑒 – a altura do espelho 
 
Estruturas de Concreto II 
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Cargas Atuantes em Escadas 
 
B) Revestimento: Considerado como carga vertical por metro quadrado de 
projeção da escada. Depende dos materiais empregados e do peso 
específico. (NBR 6120:1980 – Cargas para o cálculo de Estruturas de 
Edificações). 
𝒈𝒓𝒆𝒗 = 𝜸𝒓𝒆𝒗𝒉𝒓𝒆𝒗 [𝒌𝑵 𝒎
2 ] 
 
Na falta de projeto detalhado do revestimento, pode-se adotar: 
𝒈𝒓𝒆𝒗 = 𝟏 𝒌𝑵/𝒎² 
Tabela 1 – Peso específico dos materiais de construção (NBR 6120) 
 
Estruturas de Concreto II 
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Cargas Atuantes em Escadas 
 
 
C) Parapeito: dependendo da concepção estrutural da escada, o parapeito 
pode se apoiar na própria estrutura da escada (escada em balanço). 
 
A carga de parapeito de alvenaria por metro linear é dado por: 
 
𝒈𝒑𝒂𝒓 = 𝜸𝒂𝑯𝒕 [𝒌𝑵 𝒎 ] 
 
𝛾𝑎 - Alvenaria de tijolo cerâmico furado (13 KN/m³), Alvenaria de tijolo cerâmico maciço 
(18 kN/m³). Ver NBR 6120. 
𝐻 – altura do parapeito [m] 𝑡 – largura da alvenaria [m] 
Tabela 1 – Peso específico dos materiais de construção (NBR 6120) 
 
Estruturas de Concreto II 
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Cargas Atuantes em Escadas 
 
D.1) Carga acidental nos parapeitos: de acordo com a NBR 6120, ao longo 
dos parapeitos e balcões devem ser consideradas aplicadas uma carga 
horizontal de 0,8 kN/m e uma carga vertical de 2 kN/m. 
 
 
 
 
 
 
D.2) Carga acidental em escadas de degraus isolados: De acordo com a 
NBR 6120 (1980), os degraus calculados como viga em balanço, devem ser 
calculado para suportar uma Carga Acidental Concentrada de 2,5 kN, 
aplicado na extremidade do balanço (posição mais desfavorável). 
 
 
 
 
Estruturas de Concreto II 
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Cargas Atuantes em Escadas 
 
E) Sobrecarga distribuída (Carga acidental NBR 6120): 
 
• Escadas sem acesso ao público: 
 
𝒒 = 𝟐, 𝟓 𝒌𝑵/𝒎² 
 
• Escadas com acesso ao público: 
 
𝒒 = 𝟑, 𝟎 𝒌𝑵/𝒎² 
Estruturas de Concreto II 
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Esforços nas escadas e vigas inclinadas 
 
Considere uma escada armada longitudinalmente sob a ação de uma carga 
vertical 𝑝, uniformemente distribuída. 
 
O modelo dessa escada é o de uma barra inclinada conforme indicado na 
figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
Estruturas de Concreto II 
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Esforços nas escadas e vigas inclinadas 
 
 
 
 
 
 
 
Em uma seção 𝑠, situada a uma distância 𝑥 do apoio inferior, atuam a força vertical 𝑄 𝑥 
e momento fletor 𝑀(𝑥): 
𝑄 𝑥 =
𝑝𝑙
2
− 𝑝𝑥 
𝑀 𝑥 =
𝑝𝑙
2
𝑥 −
𝑝𝑥2
2
 
Como a barra é inclinada, a força vertical 𝑄(𝑥) não representa o esforço cortante na 
seção. Decompondo 𝑄(𝑥) em uma componente normal, 𝑁(𝑥), e uma componente 
transversal ao eixo da barra, 𝑉 𝑥 . Assim, resultam as expressões de esforço cortante 
𝑉(𝑥) e do esforço normal 𝑁(𝑥): 
𝑉 𝑥 =
𝑝𝑙
2
− 𝑝𝑥 cos 𝛼 
𝑁 𝑥 =
𝑝𝑙
2
− 𝑝𝑥 sen𝛼 
Estruturas de Concreto II 
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Esforços nas escadas e vigas inclinadas 
 
Uma vez que a escada é inclinada, surgem esforços ao longo do comprimento 
da escada, como esforço normal (𝑁 𝑥 ), esforço cortante (𝑉 𝑥 ) e momento 
fletor ( 𝑀 𝑥 ). Logo, a escada fica submetida à flexo-tração e flexo-
compressão. 
Mas como em escadas usuais, os esforços normais são pequenos, o 
dimensionamento da escada pode ser feito para flexão simples com o 
momento máximo no meio do vão. Neste caso: 
𝑴𝒎á𝒙 =
𝒑𝒍𝟐
𝟖
 
Estruturas de Concreto II 
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Escada de um lance, armada longitudinalmente: planta de formas, corte e 
modelo de cálculo e detalhamento 
Estruturas de Concreto II 
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Escada apoiada em vigas laterais: planta de formas, corte e modelo de 
cálculo 
Estruturas de Concreto II 
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Escada embalanço, engastada em viga lateral: planta de formas, corte e 
detalhamento 
Estruturas de Concreto II 
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Escada em balanço com degraus isolados: planta de formas, corte e 
detalhamento 
Estruturas de Concreto II 
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Escada em balanço com degraus isolados: planta de formas, corte e 
detalhamento 
De acordo com a NBR 6120: 
 
Estruturas de Concreto II 
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Escada de dois lances com patamar intermediário: planta de formas, corte 
e detalhamento 
Estruturas de Concreto II 
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Escada de dois lances com patamar intermediário: planta de formas, corte 
e detalhamento 
Estruturas de Concreto II 
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Escada de dois lances em L: planta de formas e modelo de cálculo 
Onde 𝑅𝑜/𝐿 é a reação 
concentrada 𝑅𝑜 dividida pela 
largura do patamar L do 
Lance L1. Assim o lance 
inferior (Lance L2) suporta 
uma carga distribuída do 
lance superior (Lance L1). 
Estruturas de Concreto II 
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Escada de três lances: planta de formas e modelo de cálculo 
a) V3 é viga intermediária 
b) Modelo de cálculo do 2º Lance: 
Considera-se metade da carga para a 
escada no caso da viga V3 acompanhar 
o 2º Lance (mesma altura do desnível 
entre patamares). 
Senão considera-se a carga total no 2º 
Lance! 
Estruturas de Concreto II 
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Escada de três lances apoiada em todo o contorno externo: planta de 
formas e modelo de cálculo 
b) Cálculo da escada como lajes 
com um bordo livre 
a) VA, VB E VC apoiam a escada no contorno 
Estruturas de Concreto II 
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Escada com face inferior em degraus: detalhamento e modelo de cálculo 
(armada longitudinalmente) 
. 
a) Escada com face inferior em 
degraus 
b) Esforços na escada armada 
longitudinalmente (Este tipo de 
escada também pode ser armada 
transversalmente) 
Estruturas de Concreto II 
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Escadas curvas (helicoidais): as vigas helicoidais de apoio da escada estão 
submetidas à torção com flexão. 
b) No caso (b), os degraus 
estão engastados na viga 
central. 
a) No caso (a), a escada é calculada 
considerando os degraus 
simplesmente apoiados nas vigas 
curvas V1 e V2. 
Se não existir uma dessas vigas, 
consideram-se os degraus com uma 
extremidade em balanço e a outra 
extremidade engastada na viga lateral. 
Estruturas de Concreto II 
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Diferentes exemplos de escadas 
Estruturas de Concreto II 
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Diferentes exemplos de escadas 
Estruturas de Concreto II 
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Diferentes exemplos de escadas 
Escada autoportante 
Estruturas de Concreto II 
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Dimensionamento 
 
 
 O dimensionamento da laje da escada é o mesmo dimensionamento visto 
para uma seção retangular de laje (𝒃 = 𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒎 e altura 𝒉) de concreto 
armado com armadura simples, ou seja, apenas armadura de tração. 
 
 Isso é possível quando os esforços normais não são elevados, o que é o 
caso em geral da escada. 
 
 Não se usa armadura dupla em escada, isso significa que o momento 
solicitante de cálculo, 𝑀𝑠𝑑, tem que ser menor que o momento limite de 
cálculo, 𝑀𝑑,𝑙𝑖𝑚, para continuar tendo armadura simples, ou seja: 
Forma dimensional do momento 
Para ter Armadura Simples: 
 
𝑀𝑠𝑑 ≤ 𝑀𝑑,𝑙𝑖𝑚 
Forma adimensional do momento 
Para ter Armadura Simples: 
𝜇 ≤ 𝜇𝑙𝑖𝑚 
𝜇 =
𝑀𝑑
𝑏𝑑2𝜎𝑐𝑑
≤ 𝜇𝑙𝑖𝑚 = λ𝜉𝑙𝑖𝑚(1 − 0,5𝜆𝜉𝑙𝑖𝑚) 
 
Estruturas de Concreto II 
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Dimensionamento 
 
 
 Determinação do momento limite, 𝑴𝒅,𝒍𝒊𝒎, para seção retangular com 
armadura simples: 
 
 
 
A profundidade da linha neutra deve 
ser limitada para que a seção seja 
dimensionada nos domínios 2 e 3 
(peças subarmadas e 
normalmente armadas, 
respectivamente), onde a ruptura é 
dúctil, ou seja, com aviso prévio. 
 
A NBR 6118 (2014) recomenda que a profundidade da linha neutra, 𝑥, deva ainda 
ficar afastada do domínio 4 (sem escoamento do aço, logo, sem aviso 
prévio). Isso significa que a profundidade limite da linha neutra, 𝑥𝑙𝑖𝑚, para se ter 
armadura simples deve ser de (segundo recomendações do CEB/90): 
 
 𝑥𝑙𝑖𝑚 = 0,45. 𝑑, 𝑠𝑒 𝑓𝑐𝑘 ≤ 35 𝑀𝑃𝑎 
 𝑥𝑙𝑖𝑚 = 0,35. 𝑑, 𝑠𝑒 𝑓𝑐𝑘 > 35 𝑀𝑃𝑎 
Estruturas de Concreto II 
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Dimensionamento 
 
 
 Determinação do momento limite, 𝑴𝒅,𝒍𝒊𝒎, para seção retangular com 
armadura simples: 
Fazendo a profundidade da linha neutra 𝑥 = 𝑥𝑙𝑖𝑚 e através da 
equação de equilíbrio de momentos é possível determinar 
o momento fletor limite 𝑴𝒅,𝒍𝒊𝒎. 
 
Suponha a seção retangular ao lado. Na figura ao lado, são 
apresentadas as tensões de compressão e tração. Pode-se 
considerar: 
• Como o dimensionamento é feito nos domínios 2 ou 3, a 
deformação na armadura 𝜀𝑠 é sempre maior do que 𝜀𝑦𝑑, 
logo, a tensão na armadura é 𝒇𝒚𝒅 = 𝒇𝒚𝒌 𝜸𝒔 = 𝒇𝒚𝒌 𝟏, 𝟏𝟓 . 
 
• Considerando fck ≤ 50 MPa, tem-se: 
 
• Tensão de compressão na área comprimida: 
𝝈𝒄𝒅 = 𝛼𝑐𝑓𝑐𝑑 = 0,85𝑓𝑐𝑑= 0,85𝑓𝑐𝑘 𝛾𝑐 = 𝟎, 𝟖𝟓𝒇𝒄𝒌 𝟏, 𝟒 
• Altura da área comprimida: y = 𝝀𝑥𝑙𝑖𝑚 = 𝟎, 𝟖𝑥𝑙𝑖𝑚. 
Onde 𝝀 = 𝟎, 𝟖. 
y = 
Estruturas de Concreto II 
34 
Dimensionamento 
 
 
 Determinação do momento limite, 𝑴𝒅,𝒍𝒊𝒎, para seção retangular com 
armadura simples: 
Aplicando a equação de equilíbrio de 
momentos na seção, tem-se: 
𝑴𝒅𝒍𝒊𝒎 = 𝑹𝒄𝒄𝒍𝒊𝒎𝒁𝒍𝒊𝒎 
 
Resultantes de compressão e tração na 
situação limite 𝑥 = 𝑥𝑙𝑖𝑚: 
 𝑹𝒄𝒄𝒍𝒊𝒎 = 𝑨𝒄𝒄𝝈𝒄𝒅 = 𝝀𝒃𝒙𝒍𝒊𝒎𝝈𝒄𝒅 
 𝑹𝒔𝒅 = 𝑨𝒔𝒇𝒚𝒅 
O braço de alavanca na situação limite (𝑍𝑙𝑖𝑚) entre a resultante de compressão e de tração 
é dado por: 
𝒁𝒍𝒊𝒎 = 𝒅 − 𝟎, 𝟓𝝀𝒙𝒍𝒊𝒎 
 
Substituindo 𝒁𝒍𝒊𝒎 na eq. de equilíbrio de momentos, tem-se 𝑴𝒅 𝒍𝒊𝒎: 
𝑴𝒅 𝒍𝒊𝒎 = 𝝀𝒃𝒙𝒍𝒊𝒎𝝈𝒄𝒅 𝒅 − 𝟎, 𝟓𝝀𝒙𝒍𝒊𝒎 
 
𝑴𝒅 𝒍𝒊𝒎 = 𝟎, 𝟔𝟖𝒃𝒙𝒍𝒊𝒎𝒇𝒄𝒅 𝒅 − 𝟎, 𝟒. 𝒙𝒍𝒊𝒎 
Estruturas de Concreto II 
35 
Dimensionamento 
 
 
 Dimensionamento da seção transversal: 
Se 𝑴𝒅 ≤ 𝑴𝒅𝒍𝒊𝒎 ⇒ 𝑨𝒓𝒎𝒂𝒅𝒖𝒓𝒂 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒆𝒔! 
 
Calcula-se a profundidade da linha neutra 𝑥: 
 
𝒙 =
𝒅
𝝀
𝟏 − 𝟏 −
𝟐.𝑴𝒅
𝒃𝒅𝟐. 𝜶𝒄. 𝒇𝒄𝒅
 
 
Cuidado com as unidades! Use kN.cm e cm para obter 𝒙 em cm. 
 
Com a profundidade da linha neutra 𝑥, torna-se possível obter a área de aço 𝐴𝑠 em 
cm² no caso de vigas e cm²/m no caso de lajes (usando b=100 cm): 
 
𝑨𝒔 =
𝑴𝒅
𝒅 − 𝟎, 𝟓𝝀𝒙 𝒇𝒚𝒅
 
Ou também: 
𝑨𝒔 =
𝜶𝒄. 𝒇𝒄𝒅. 𝒃𝒇. 𝝀. 𝒙
𝒇𝒚𝒅
 
Estruturas de Concreto II 
Exemplo de Dimensionamento de Escada 
 
Dada a planta de formas e corte a seguir, dimensione a escada a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Pode-se admitir espessura mínima para escada armada longitudinalmente de 12 cm.
 
36 
Dados: 
Concreto C25 
Aço CA-50 
 
Carga de revestimento: 
𝑔𝑟𝑒𝑣 = 0,80 𝑘𝑁/𝑚² 
 
Parapeito de tijolo cerâmico 
furado: 
1 m de altura x 0,15 m de 
largura 
 
Cobrimento: 
c=2,5 cm (vigas) 
c=2,0 cm (laje) 
 
 
Parapeito 
Estruturas de Concreto II 
37 
Exemplo de Dimensionamento de Escada 
 
Cortes: 
Estruturas de Concreto II 
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Exemplo de Dimensionamento de Escada 
 
Resolução: 
 
Modelos de cálculo da escada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estruturas de Concreto II 
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Exemplo de Dimensionamento de Escada 
 
Cálculo das cargas: 
 
• Carga no patamar (𝒑𝟏): 
 
o Cargas permanentes: 
 - Peso próprio: 𝑔𝑝 = 25 . 0,12 = 3,00 𝑘𝑁/𝑚² 
 - Revestimento: 𝑔𝑟𝑒𝑣 = 0,80 𝑘𝑁/𝑚² 
 
Carga permanente: 𝑔 = 3,80 𝑘𝑁/𝑚² 
 
o Carga acidental: 
- Sem acesso ao público (NBR 6120):𝑞 = 2,5 𝑘𝑁/𝑚² 
 
 Carga total: 𝑝 = 𝑔 + 𝑞 = 3,80 + 2,50 = 6,30 𝑘𝑁/𝑚² 
 
 
Estruturas de Concreto II 
40 
Exemplo de Dimensionamento de Escada 
 
Cálculo das cargas: 
 
• Carga no trecho inclinado (𝒑𝟐): 
 
o Cargas permanentes 
 - Peso próprio: 𝑔𝑝 = 25 . ℎ𝑚 𝑘𝑁 𝑚
2 
 
Lembrando que 𝒉𝒎 é a espessura média da laje da escada e é 
calculada por: 
𝒉𝒎 = 𝒉𝟏 +
𝒆
𝟐
=
𝒉
𝒄𝒐𝒔 𝜶
+
𝒆
𝟐
 
Pode-se calcular 𝒄𝒐𝒔 𝜶 como: 
 
𝒄𝒐𝒔 𝜶 =
𝒂
𝒂2 + 𝒆2
=
𝟐𝟗
𝟐𝟗2 + 𝟏𝟕, 𝟓2
⇒ 𝒄𝒐𝒔 𝜶 = 𝟎, 𝟖𝟓𝟔 
 
Onde 𝑎 é a largura do piso, 𝑒 é a altura do espelho e ℎ é a espessura 
da laje sob o degrau. 
 
 
Estruturas de Concreto II 
41 
Exemplo de Dimensionamento de Escada 
 
• Carga no trecho inclinado (𝒑𝟐): 
o Cargas permanentes 
𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 0,856 
ℎ𝑚 = ℎ1 +
𝑒
2
=
ℎ
𝑐𝑜𝑠 𝛼
+
𝑒
2
=
12
0,856
+
17,5
2
= 14,02 + 8,75 = 22,8 𝑐𝑚 
 
- Peso próprio: 𝒈𝒑 = 𝟐𝟓 . 𝟎, 𝟐𝟐𝟖 = 𝟓, 𝟕𝟎 𝒌𝑵 𝒎
𝟐 
 
- Revestimento: 𝒈𝒓𝒆𝒗 = 𝟎, 𝟖𝟎 𝒌𝑵/𝒎² 
 
- Parapeito de tijolo cerâmico furado (1m de altura x 0,15 m de 
largura): 
• Peso linear do parapeito:13𝑥1𝑥0,15 = 1,95 kN/m 
• Peso distribuído do parapeito na largura da escada: 
 
𝒈𝒑𝒂𝒓 = 𝟏, 𝟗𝟓 𝟏, 𝟐𝟕 = 𝟏, 𝟓𝟒𝒌𝑵 𝒎
2 
 
 Carga permanente: 𝒈 = 𝟓, 𝟕𝟎 + 𝟎, 𝟖𝟎 + 𝟏, 𝟓𝟒 = 𝟖, 𝟎𝟒 𝒌𝑵/𝒎² 
Largura da escada 
Estruturas de Concreto II 
42 
Exemplo de Dimensionamento de Escada 
 
• Carga no trecho inclinado (𝒑𝟐): 
o Carga acidental uniformemente distribuída 
- Sem acesso ao público (NBR 6120): 
 
𝑞𝑠𝑜𝑏 = 2,5 𝑘𝑁/𝑚² 
 
o Carga acidental vertical linear sobre o parapeito de 2,00 kN/m: 
- Também utilizaremos uma carga distribuída equivalente por 
metro quadrado para essa carga linear, assim, divide-se a 
carga linear pela largura da escada: 
 
𝑞𝑝𝑎𝑟 =
2,00
1,27
= 1,57 𝑘𝑁/𝑚² 
 
Carga acidental: 𝒒 = 𝒒𝒔𝒐𝒃 + 𝒒𝒑𝒂𝒓 = 𝟐, 𝟓𝟎 + 𝟏, 𝟓𝟕 = 𝟒, 𝟎𝟕 𝒌𝑵/𝒎² 
 
Carga total: 𝒑𝟐 = 𝒈+ 𝒒 = 𝟖, 𝟎𝟒 + 𝟒, 𝟎𝟕 = 𝟏𝟐, 𝟏𝟏 𝒌𝑵/𝒎² 
Estruturas de Concreto II 
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Exemplo de Dimensionamento de Escada 
 
• Cálculo dos Esforços: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Carregamento (kN/m) 
Como o comprimento inclinado da escada é maior do que a carga vertical 
em projeção 𝒑𝟐 = 𝟏𝟐, 𝟏𝟏 𝒌𝑵/𝒎² é preciso transformá-la numa carga 
distribuída equivalente. Assim: 
 
𝒑𝟐,𝒆𝒒 =
𝟐,𝟎𝟗
𝟐,𝟓𝟐
 𝒑𝟐 = 𝟎, 𝟖𝟑. 𝟏𝟐, 𝟏𝟏
𝒌𝑵
𝒎2
= 𝟏𝟎, 𝟎𝟒 𝒌𝑵/𝒎² (para faixa de 1 m) 
Estruturas de Concreto II 
44 
Exemplo de Dimensionamento de Escada 
 
• Cálculo dos Esforços: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momento fletor (kN.m/m) 
Esforço Cortante (kN/m) 
Esforço Normal (kN/m) 
Estruturas de Concreto II 
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Exemplo de Dimensionamento de Escada 
 
• Cálculo dos Esforços: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momento fletor (kN.m/m) 
Esforço Cortante (kN/m) 
Esforço Normal (kN/m) 
Estruturas de Concreto II 
46 
Exemplo de Dimensionamento de Escada 
 
• Dimensionamento das armaduras: 
 
1) Armadura longitudinal: a escada é armada longitudinalmente (em 1 
direção), logo, a armadura principal de flexão é obtida através do 
dimensionamento de uma seção com largura 𝑏 = 100 𝑐𝑚 e altura ℎ = 12 𝑐𝑚. 
 
Para a altura útil, adota-se o valor de 𝑑 = ℎ − 2,5 = 9,5 𝑐𝑚, que é compatível 
com CAA I. 
 
O aço empregado será o CA-50. 
 
O concreto é de classe C25: 
 
𝑀𝑘 = 15,5 𝑘𝑁.𝑚 𝑚 → 𝐴𝑠 = 5,85 𝑐𝑚²/𝑚 
 
A armadura mínima é 𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 0,15.12 = 1,8 𝑐𝑚²/𝑚. Logo, devemos usar a 
área de 𝐴𝑠 = 5,85 𝑐𝑚²/𝑚. Isso resulta em 𝝓𝟏𝟎𝑪 𝟏𝟑𝒄𝒎 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estruturas de Concreto II 
Exemplo de Dimensionamento de Escada 
 
• Dimensionamento das armaduras: 
 
1) Armadura longitudinal: Momento fletor de serviço: 𝑀𝑘 = 15,5 𝑘𝑁.𝑚 𝑚 
 
Coeficiente de majoração das ações: 𝛾𝑓 = 1,4 
 
Momento fletor de cálculo: 
𝑴𝒅 = 𝜸𝒇𝑴𝒌 = 𝟏, 𝟒. 𝟏𝟓, 𝟓 = 𝟐𝟏, 𝟕 𝒌𝑵.𝒎 𝒎 = 𝟐𝟏𝟕𝟎 𝒌𝑵. 𝒄𝒎/𝒎 
 
Calculam-se os parâmetros relativos ao concreto (C25): 
𝒇𝒄𝒌 = 𝟐𝟓 𝑴𝑷𝒂 = 𝟐, 𝟓 𝒌𝑵/𝒄𝒎² 
 
𝜶𝒄 = 𝟎, 𝟖𝟓 (𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒇𝒄𝒌 ≤ 𝟓𝟎 𝑴𝑷𝒂) 
 
𝝀 = 𝟎, 𝟖 (𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒇𝒄𝒌 ≤ 𝟓𝟎 𝑴𝑷𝒂) 
𝒇𝒄𝒅 =
𝒇𝒄𝒌
𝜸𝒄
=
𝟐, 𝟓
𝟏, 𝟒
= 𝟏, 𝟕𝟖𝟔 𝒌𝑵/𝒄𝒎² 
𝝈𝒄𝒅 = 𝜶𝒄𝒇𝒄𝒅 = 𝟎, 𝟖𝟓. 𝟏, 𝟕𝟖𝟔 = 𝟏, 𝟓𝟏𝟖 𝒌𝑵/𝒄𝒎² 47 
Estruturas de Concreto II 
Exemplo de Dimensionamento de Escada 
 
• Dimensionamento das armaduras: 
 
1) Armadura longitudinal: Calculam-se os parâmetros relativos do aço (CA-
50): 
𝑓𝑦𝑘 = 50 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
 
𝒇𝒚𝒅 =
𝒇𝒚𝒌
𝜸𝒔
=
𝟓𝟎
𝟏, 𝟏𝟓
= 𝟒𝟑, 𝟒𝟖 𝒌𝑵/𝒄𝒎² 
 
Calcula-se a linha neutra limite 𝑥𝑙𝑖𝑚 o momento fletor limite 𝑀𝑑,𝑙𝑖𝑚: 
 
𝒙𝒍𝒊𝒎 = 𝟎, 𝟒𝟓. 𝒅 = 𝟎, 𝟒𝟓. 𝟗, 𝟓 = 𝟒, 𝟐𝟕𝟓 𝒄𝒎 
 
𝑀𝑑 𝑙𝑖𝑚 = 𝜆𝑏𝑥𝑙𝑖𝑚𝜎𝑐𝑑 𝑑 − 0,5𝜆𝑥𝑙𝑖𝑚 
 
𝑴𝒅 𝒍𝒊𝒎 = 𝟎, 𝟖. 𝟏𝟎𝟎. 𝟒, 𝟐𝟕𝟓. 𝟏, 𝟓𝟏𝟖. 𝟗, 𝟓 − 𝟎, 𝟓. 𝟎, 𝟖. 𝟒, 𝟐𝟕𝟓 = 𝟒𝟎𝟒𝟒, 𝟐 𝒌𝑵. 𝒄𝒎 𝒎 
 
Como: 𝑴𝒅 = 𝟐𝟏𝟕𝟎 ≤ 𝑴𝒅 𝒍𝒊𝒎 = 𝟒𝟎𝟒𝟒, 𝟐 → 𝑨𝒓𝒎𝒂𝒅𝒖𝒓𝒂 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒆𝒔! 48 
Estruturas de Concreto II 
Exemplo de Dimensionamento de Escada 
 
• Dimensionamento das armaduras: 
 
1) Armadura longitudinal: Calcula-se a linha neutra 𝑥: 
𝒙 =
𝒅
𝝀
𝟏 − 𝟏 −
𝟐.𝑴𝒅
𝒃𝒅𝟐. 𝜶𝒄. 𝒇𝒄𝒅
=
𝟗, 𝟓
𝟎, 𝟖
𝟏 − 𝟏 −
𝟐. 𝟐𝟏𝟕𝟎
𝟏𝟎𝟎 . 𝟗, 𝟓𝟐. 𝟎, 𝟖𝟓.
𝟐, 𝟓
𝟏, 𝟒
 
𝒙 = 𝟐, 𝟎𝟔 𝒄𝒎 
Calcula-se a área de aço 𝐴𝑠 (em cm²/m no caso de laje): 
 
𝑨𝒔 =
𝑴𝒅
𝒅 − 𝟎, 𝟓𝝀𝒙 𝒇𝒚𝒅
=
𝟐𝟏𝟕𝟎
𝟗, 𝟓 − 𝟎, 𝟓. 𝟎, 𝟖. 𝟐, 𝟎𝟔 . 𝟒𝟑, 𝟒𝟖
= 𝟓, 𝟕𝟓 𝒄𝒎²/𝒎 
 
A armadura mínima é 𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 0,15.12 = 1,8 𝑐𝑚²/𝑚. Logo, devemos usar a 
área de 𝐴𝑠 = 5,75 𝑐𝑚²/𝑚. 
Adotando bitola de 𝝓 = 𝟏𝟎 𝒎𝒎: Área de aço de 1 bitola: 𝐴𝑠,𝜙 = 0,785 𝑐𝑚² 
Espaçamento entre barras: s = 100.
𝐴𝑠,𝜙
𝐴𝑠
= 100.
0,785
5,75
= 13,6 𝑐𝑚 → 𝑠 = 13 𝑐𝑚 
Isso resulta em 𝝓𝟏𝟎𝑪 𝟏𝟑𝒄𝒎 . 
49 
Estruturas de Concreto II 
50 
Exemplo de Dimensionamento de Escada 
 
• Dimensionamento das armaduras: 
 
2) Armadura de distribuição: na direção transversal deve-se colocar 
armadura de distribuição com área 𝐴𝑠𝑦 dada pelo maior dos valores: 
 
𝐴𝑠𝑦 ≥ 
𝐴𝑠 5 
0,9 𝑐𝑚²/𝑚
0,5𝐴𝑠,𝑚í𝑛
 
 
- 𝐴𝑠 5 = 1,17 𝑐𝑚²/𝑚 
- 0,9 𝑐𝑚²/𝑚 
- 0,5𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 0,5. 𝜌𝑚í𝑛. 𝑏. ℎ = 0,5.1,8 = 0,9 𝑐𝑚²/𝑚 (pode-se usar conforme 
NBR 6118, pois a laje não sofre flexão transversal) 
 
Logo, a área de armadura de distribuição 𝐴𝑠𝑦 é igual a 1,17 cm²/m. Isso 
resulta em 𝝓𝟓𝑪 𝟏𝟕 𝒄𝒎. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estruturas de Concreto II 
51 
Exemplo de Dimensionamento de Escada 
 
• Dimensionamento das armaduras: 
 
3) Ancoragem nos apoios: 
 
Nos apoios de extremidade, deve-se fazer a ancoragem das armaduras 
longitudinais para a força: 
𝑅𝑠𝑑 =
𝑎𝑙
𝑑
𝑉𝑑 
Considerando lajes sem armadura de cisalhamento, então 𝒂𝒍 = 𝟏, 𝟓𝒅. Assim: 
 
𝑅𝑠𝑑 = 1,5𝑉𝑑 
 
E a área de aço que deve chegar no apoio, deve ser calculada por: 
 
𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙 =
𝑅𝑠𝑑
𝑓𝑦𝑑
=
1,5𝑉𝑑
𝑓𝑦𝑑
=
1,5.1,4.16,1
43,48
= 0,80 𝑐𝑚²/𝑚 
Estruturas de Concreto II 
52 
Exemplo de Dimensionamento de Escada 
 
• Dimensionamento das armaduras: 
 
3) Ancoragem nos apoios: No caso de escadas é usual fazer a ancoragem 
com gancho, assim: 
Estruturas de Concreto II 
53Exemplo de Dimensionamento de Escada 
 
• Dimensionamento das armaduras: 
 
3) Ancoragem nos apoios: No caso de escadas é usual fazer a ancoragem 
com gancho, assim: 
Comprimento básico de ancoragem com gancho: 
 
𝒍𝒃𝒆 = 𝜶. 𝒍𝒃 = 𝜶.
𝝓
𝟒
𝒇𝒚𝒅
𝒇𝒃𝒅
 
 
Onde 𝒇𝒃𝒅 é a resistência de cálculo de aderência. 
 
 Considerando: zona de boa aderência, ∅ = 10mm, C25, CA-50) 
 
𝒍𝒃𝒆 = 𝜶.
𝝓
𝟒
𝒇𝒚𝒅
𝒇𝒃𝒅
= 𝟎, 𝟕.
𝟏
𝟒
.
𝟒𝟑𝟒, 𝟖
𝟐, 𝟖𝟕
= 𝟐𝟔, 𝟓 ≅ 𝟐𝟔 𝒄𝒎 
Estruturas de Concreto II 
54 
Comprimento de ancoragem 
 Comprimento básico de ancoragem com gancho: 𝒍𝒃𝒆 = 𝟐𝟔 𝒄𝒎 (zona de boa aderência, 
∅ = 10mm, C25, CA-50) 
14/07/2018 
Estruturas de Concreto II 
55 
Exemplo de Dimensionamento de Escada 
 
• Dimensionamento das armaduras: 
 
3) Ancoragem nos apoios: 
 
Deve-se verificar o comprimento mínimo de ancoragem com gancho nos 
apoios de extremidade: 
 
𝒍𝒃,𝒎𝒊𝒏 ≥ 
𝑹 + 𝟓, 𝟓∅ = 𝟐, 𝟓 + 𝟓, 𝟓. 𝟏, 𝟎𝟎 = 𝟖 𝒄𝒎
𝟔 𝒄𝒎 
∴ 𝒍𝒃,𝒎𝒊𝒏 = 𝟖 𝒄𝒎 
 
Comprimento básico necessário: 
𝒍𝒃𝒆,𝒏𝒆𝒄 = 𝒍𝒃𝒆.
𝑨𝒔,𝒄𝒂𝒍
𝑨𝒔,𝒆
= 𝟐𝟔.
𝟎, 𝟖𝟎
𝟓, 𝟖𝟓
= 𝟑, 𝟓𝟔 𝒄𝒎 ≥ 𝒍𝒃,𝒎𝒊𝒏 = 𝟖 𝒄𝒎 
 
Como o comprimento básico necessário deve ser maior do que o mínimo, 
deve-se adotar: 
𝒍𝒃𝒆,𝒏𝒆𝒄 = 𝟖 𝒄𝒎 
Estruturas de Concreto II 
56 
Comprimento de ancoragem 
 Comprimento básico de ancoragem com gancho: 𝒍𝒃𝒆 = 𝟐𝟔 𝒄𝒎 (zona de boa aderência, 
∅ = 10mm, C25, CA-50) 
14/07/2018 
Estruturas de Concreto II 
57 
Exemplo de Dimensionamento de Escada 
 
• Dimensionamento das armaduras: 
 
3) Ancoragem nos apoios: 
 
Compara-se o comprimento necessário 𝒍𝒃𝒆,𝒏𝒆𝒄 com o comprimento disponível 
𝒍𝒃,𝒅𝒊𝒔𝒑, que é a largura total do apoio (viga) menos o cobrimento da viga: 
 
𝒍𝒃𝒆,𝒏𝒆𝒄 = 𝟖 𝒄𝒎 < 𝒍𝒃,𝒅𝒊𝒔𝒑 = 𝒃𝒗𝒊𝒈𝒂 − 𝒄𝒏𝒐𝒎 = 𝟏𝟐 − 𝟐, 𝟓 = 𝟗, 𝟓 𝒄𝒎 (Ok! É possível 
ancorar com gancho!) 
 
Logo: Usaremos todo o comprimento disponível para a ancoragem, 
𝒍𝒃,𝒅𝒊𝒔𝒑 = 𝟗, 𝟓 𝒄𝒎. 
Estruturas de Concreto II 
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Detalhamento das armaduras 
14/07/2018