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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Profº Alan Gusmão
CONTEÚDO DESTA AULA
MATEMÁTICA FINANCEIRA
- Os diversos conceitos de taxa de juros: 
1ª; 2ª e 3ª Partes
- Operações de Desconto
- Séries de Pagamento
- Planos de Amortização de Dívidas
- Princípios e critérios de avaliação de 
investimentos 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Juros Simples X Juros Compostos;
Taxa de Juros Proporcional ( Simples) X Taxa de Juros Equivalente (Composto);
 Taxa de Juros Efetiva X Taxa de Juros Nominal;
Coincide período de
capitalização e prazo da
taxa.
Ex: 3% a.m. capitalizados
mensalmente
Não há coincidência entre
unidade de referência da
taxa com a unidade de
tempo dos períodos de
capitalização.
Ex: 12% a.a. capitalizados
mensalmente. Isso significa
uma taxa efetiva de 1% a.m.
- Os diversos conceitos de taxa de 
juros: 1ª; 2ª e 3ª Partes
MATEMÁTICA FINANCEIRA
- Os diversos conceitos de taxa de 
juros: 1ª; 2ª e 3ª Partes
Taxas Equivalentes: Tomemos ,então, o exemplo da tabela a seguir:
Observe que a aplicação por três meses, à taxa de 10% a.m., proporciona um
rendimento igual a 33,1% a.t. – aplicada por um trimestre.
Em outros termos, um mesmo montante pode ser obtido a partir de um capital inicial
e de taxas distintas com períodos-base diferentes.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
- Os diversos conceitos de taxa de 
juros: 1ª; 2ª e 3ª Partes
Exercício de taxa equivalente:
a) Uma taxa de 10% ao mês equivale a que percentagem ao quadrimestre (a.q.)? 
b) Uma taxa de 50% ao semestre equivale a que percentagem ao mês (a.m.)? 
Resposta: 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
- Os diversos conceitos de taxa de 
juros: 1ª; 2ª e 3ª Partes
O uso da expressão taxa nominal é aplicável no regime de juros compostos.
Algumas taxas nominais: 
• 36% ao ano com capitalização mensal; 
• 14% ao quadrimestre com capitalização trimestral; 
• 25% ao ano com capitalização semestral. 
Esse é o caso dos rendimentos da caderneta de poupança. Costuma-se informar que
a poupança rende 6% a.a. mas também é usual ouvir que rende 0,5% a.m. Portanto,
podemos expressar a taxa da caderneta de poupança em termos anuais da seguinte
forma: 6% a.a. com capitalização mensal.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
- Os diversos conceitos de taxa de 
juros: 1ª; 2ª e 3ª Partes
Taxa nominal - Exercício:
Um exemplo seria calcular o custo efetivo anual de uma taxa nominal de 36% a.a. com
capitalização mensal.
I - Com esse período de capitalização, precisamos dividir a taxa anual por 12, a fim de 
calcular quanto ela representa em termos mensais. Sendo assim, temos: 
36% / 12 = 3% a.m. 
II - Logo, podemos obter o custo efetivo anual por meio do cálculo da taxa equivalente, 
ou seja: 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
A chamada operação de desconto normalmente é realizada quando se conhece o
valor futuro de um título (valor nominal, valor de face ou valor de resgate) e se quer
determinar o seu valor atual.
O desconto deve ser entendido como a diferença entre o valor de resgate de um
título e o seu valor presente na data da operação, ou seja: D = VF – VP.
em que D representa o valor monetário do desconto, VF o seu valor futuro (valor
assumido pelo título na data do seu vencimento) e VP o valor creditado ou pago ao
seu titular.
 Assim como no caso dos juros, o valor do desconto também está associado a
uma taxa e a determinado período de tempo.
- Operações de Desconto
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Desconto Por Dentro e Desconto Por Fora
O desconto é dividido em:
No regime de juros compostos, como
os juros de cada período, quando não são
pagos no final do período, devem ser
somados ao capital e passam a render
juros, a taxa de desconto por dentro incide
diretamente sobre o valor presente e pode
ser obtida pela conhecida expressão dos
juros compostos explicitando-se i:
A) Desconto Por Dentro
a) Desconto Racional (por dentro).
b) Desconto Comercial (por fora).
- Operações de Desconto
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A) Desconto Por Dentro: Exemplo prático
- Operações de Desconto
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B) Desconto Por Fora:
os descontos de cada período são obtidos pela aplicação da taxa de desconto d
sempre incidindo diretamente sobre o valor futuro VF (ou montante).
Considerando o desconto por fora, no regime de juros compostos, os descontos
de cada período são obtidos pela aplicação da taxa de desconto d por período,
sobre o capital existente no início do período de desconto (VP). Assim, a
seguinte expressão pode ser obtida:
- Operações de Desconto
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B) Desconto Por Fora: Exemplo prático
- Operações de Desconto
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- Operações de Desconto
B) Desconto Por Fora: Exemplo prático
Para um título com o valor de $100.000,00, com 90 dias para seu vencimento, que é
descontado no regime de juros compostos, com uma taxa de desconto por fora igual
a 1,4% ao mês, o que devemos fazer para determinar o valor presente e o valor deste
desconto?
Dados
VF = $100.000,00
n = 90 dias = 3 meses
d = 1,4% ao mês
Equação
VP = VF x (1-d)n = 100.000 x (1-0,014)3 = $95.858,53
Desconto por fora
Df = VF - VP = 100.000 - 95.858,53 = $4.141,47 
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Até agora tratamos os juros compostos em pagamentos simples, isto é, uma entrada
e uma saída de caixa.
- O que acontece quando temos várias entradas (ou saídas) de caixa ?
- É o que vamos ver a seguir.
- Séries de Pagamento
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RESPOSTA = SERÃO 8 PRESTAÇÕES DE R$ 1.740,15. 
Na HP-12C
- 10.000 (CHS) (PV)
- 8 (n)
- 8 (i)
- (PMT) = 1.740,15
- Séries de Pagamento
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RESPOSTA = DAQUI A 11 MESES O MONTANTE ACUMULADO SERÁ DE R$ 6.084,36. 
Na HP-12C
- 500 (CHS) (PMT)
- 11 (n)
- 2 (i)
- (FV) = 6.084,36
- Séries de Pagamento
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- Séries de Pagamento
 Praticando:
1) Você quer trocar seu auto velho por um auto novo. Seu auto velho foi avaliado em
$12.000,00 o auto novo custa $32.000,00. Você pode financiar a diferença em 12
prestações iguais mensais com uma taxa de juros de 1,99% a.m. Qual é o valor
da prestação ?
VP = 32.000 – 12.000 20.000
Resposta: O valor da prestação é $1.890,03 mensais.
Na HP-12C
- 20.000 (CHS) (PV)
- 12 (n)
- 1.99 (i)
- (PMT) = 1.890,03
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- Planos de Amortização de Dívidas
Tendo sido apresentadas as fórmulas para calcular VP e VF nas séries de
pagamentos, consideraremos o conceito de Amortização.
Em termos genéricos, amortização é a parte da prestação que não corresponde aos
juros, ou seja, é a parte real que a dívida diminui:
Os dois planos de utilização mais utilizados são o método PRICE e o método SAC.
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- Planos de Amortização de Dívidas
Método PRICE:
Podemos afirmar que qualquer amortização do Modelo Price pode ser obtida a partir 
da primeira amortização pela fórmula: Amortização (em n) = Amortização (em n-1) 
. 1,01 
Exemplo Prático: Considere uma empréstimo de R$3.000,00, a ser liquidado através de 
5 prestações mensais, sendo cobrada uma taxa de 1% a.m.
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- Planos de Amortização de Dívidas
Método PRICE:
A equação utilizada foi aquela das séries uniformes de pagamento:
O Modelo Price costuma ser utilizado em operações de crédito direto ao
consumidor.
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- Planos de Amortização de Dívidas
Sistema de Amortizações Constantes – SAC:
Essa modalidade de pagamento é usualmente utilizada em operações de
financiamento imobiliário e nos financiamentos de longo prazo de um modo geral.
Mês 
Saldo 
antes do 
PMT Juros 
Pagamento
Saldo 
após 
PMT
Amortização Juros Total
0 $3.000,00
1 $3.000,00 30 600 30 $630,00 $2.400,00
2 $2.400,00 24 600 24 $624,00 $1.800,00
3 $1.800,00 18 600 18 $618,00 $1.200,00
4 $1.200,00 12 600 12 $612,00 $600,00
5 $600,00 6 600 6 $606,00 0
Soma dos Pagamentos$3.000,00 $90,00 $3.090,00
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 Grande parte das decisões sobre investimentos envolvem cálculos inerentes à 
matemática financeira, utilizando conceitos e fórmulas para análise de possíveis 
linhas de ação na tomada de decisão. 
 As decisões de investimento somente serão implementadas se houver uma
expectativa de retorno que supere o custo do dinheiro. Quanto mais baixa a taxa
de juros, mais elevada a atratividade para novos investimentos.
 O fluxo de caixa se constitui na informação mais relevante para o processo de
análise de investimentos. O valor do bem não deve estar vinculado ao seu
financiamento, mas ao volume e distribuição dos resultados operacionais que ele
provoca.
- Princípios e critérios de avaliação de 
investimentos
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- Princípios e critérios de avaliação de 
investimentos
 Os principais critérios de avaliação de investimento são: Valor Presente Líquido
(VPL), Pay-back (simples e descontado) e Taxa Interna de Retorno (TIR).
• Critério do Valor Presente Líquido:
Este método consiste em trazer os valores futuros do fluxo de caixa para o tempo dos
desembolsos (investimento inicial), através de uma taxa de atratividade. Uma vez
determinada, quando a confrontação dos retornos com os investimentos iniciais
forem maior do que zero, o projeto é financeiramente viável. Caso contrário, deve-se
rejeitar o projeto.
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- Princípios e critérios de avaliação de 
investimentos
• Período de pay-back
Este processo é bastante simples e consiste na mensuração do tempo em que os
investimentos iniciais do projeto são recuperados. Se a recuperação se der dentro do
tempo aprazado, o projeto será aceito. Caso contrário, será rejeitado.
• Critério da Taxa Interna de Retorno:
Por este método determina-se qual a taxa que fará com que a soma dos retornos
atualizados e o fluxo residual se igualem ao investimento inicial. Caso esta taxa
calculada seja superior à requerida pelos administradores da empresa, o projeto é
viável.
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