EXERCÍCIO CAL DIFERENCIAL e INTEGRAL

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AULA ATIVIDADE ALUNO 
 
 
Licenciatura em Matemática 
 
 
 
 
AULA 
ATIVIDADE 
ALUNO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso: 
Licenciatura em 
Matemática 
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Licenciatura em Matemática 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II 
Teleaula: 04 
 
Questão 1 
 
Uma das aplicações das integrais duplas é determinar a massa total de uma placa fina. Com base 
nessa informação, considere uma lâmina de formato retangular em que 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 4, cuja 
densidade é dada por 
𝛿(𝑥, 𝑦) = 4𝑥3 + 3𝑥2𝑦 
Assinale a alternativa que apresenta a massa total dessa lâmina. 
a) 24. 
b) 60. 
c) 78. 
d) 80. 
e) 128. 
 
Questão 2 
Considere o sólido S limitado superiormente por 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4 − 𝑥 − 𝑦 e inferiormente por 𝑅 = [0,2] ×
[0,1], conforme indicado na figura a seguir: 
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Sabendo que a integral dupla de uma função f sobre a região R fornece o volume do sólido limitado 
superiormente pelo gráfico de f, analise as afirmativas que seguem: 
I – Para calcular o volume do sólido é necessário calcular uma integral dupla. 
II – O volume do sólido S é 5 u.v. 
III – Não é possível determinar o volume do sólido S, uma vez que falta dados. 
Assinale a alternativa correta. 
a) Apenas I está correta. 
b) Apenas II está correta. 
c) Apenas III está correta. 
d) Apenas I e II estão corretas. 
e) Apenas I e III estão corretas. 
 
Questão 3 
A partir do sistema de coordenadas polares, considere a região R limitada, no primeiro quadrante, 
pelo eixo x (representado por y = 0), pela reta y = x e pelo círculo x2 + y2 = 1 e assinale a alternativa 
que indica corretamente a representação da região R de acordo com o sistema de coordenadas 
polares: 
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a) R = {(r, ϕ) ∈ ℝ2; 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ ϕ ≤ π 2⁄ }. 
b) R = {(r, ϕ) ∈ ℝ2; 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ ϕ ≤ π}. 
c) R = {(r, ϕ) ∈ ℝ2; 0 ≤ r ≤ ϕ e 0 ≤ ϕ ≤ 2π}. 
d) R = {(r, ϕ) ∈ ℝ2; −ϕ ≤ r ≤ ϕ e 0 ≤ ϕ ≤ π 2⁄ }. 
e) R = {(r, ϕ) ∈ ℝ2; 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ ϕ ≤ π 4⁄ }. 
 
Questão 4 
Existem diversas aplicações das integrais duplas, uma delas é a utilização para obter a massa de 
um objeto. Sabendo disso, considere um objeto que sua densidade superficial é dada por 
𝛿(𝑥, 𝑦) = 4𝑥𝑦2 + 16𝑥³ 
Assinale a alternativa que apresente a massa total desse objeto, admitindo 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 3: 
a) 200. 
b) 50. 
c) 44. 
d) 22,5. 
e) 30. 
 
Questão para Reflexão 
 
O Teorema de Fubini articula a integral em R² com a integral em R. Esse resultado contribui para a 
obtenção do volume delimitado por uma região em R² e a função f(x, y). É importante estar atentos 
para os parâmetros que compõe a região em R². Seja f(x,y), de R² em R definida pela seguinte lei: 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥³2𝑦² − 4𝑥²𝑦² + 4𝑥𝑦 e a região 𝑅 = [−6; 15] 𝑋 [−2; 7]. Assinale a alternativa que 
apresenta a integral dupla associada à região e função apresentadas. 
a) ∫ ∫ (𝑥3𝑦2 − 𝑥𝑦2 + 4𝑥𝑦)
7
−2
𝑑𝑥 𝑑𝑦
15
−6
 
b) ∫ ∫ (𝑥3𝑦2 − 𝑥²𝑦2 + 4𝑥𝑦)
15
7
𝑑𝑦 𝑑𝑥
−6
−2
 
c) ∫ ∫ (3𝑥32𝑦2 − 4𝑥²𝑦2 + 4𝑥𝑦)
7
−2
𝑑𝑦 𝑑𝑥
15
−6
 
d) ∫ ∫ (3𝑥32𝑦2 − 4𝑥²𝑦2 + 4𝑥𝑦)
15
7
𝑑𝑦 𝑑𝑥
−6
−2
 
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e) ∫ ∫ (3𝑥32𝑦2 − 4𝑥²𝑦2 + 4𝑥𝑦)
7
0
𝑑𝑥 𝑑𝑦
15
0
 
Bom trabalho a todos!