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2018.1 F u n d a m e n to s D E C IÊ N C IA S E X A T A S Maricélia Soares UAM – Universidade Anhembi Morumbi Raimundo Almeida UNIFACS – Universidade Salvador 1 Material referencial para uso na disciplina Fundamentos de Ciências Exatas. Contribuições: Danilo Sande Hugo Vasconcelos Ivana Barreto Matos João Tiago Assunção Julianna Pinele Porto Ricardo Noburo Igarashi 2 SUMÁRIO Fundamentos ..................................................................................................... 0 1 ARITMÉTICA .............................................................................................. 6 Números Fracionários ........................................................................... 6 1.1.1 Operações com Frações ................................................................ 7 Potenciação em Z ............................................................................... 11 1.2.1 Propriedades da Potenciação em Z .............................................. 12 Radiciação em Z ................................................................................. 13 1.3.1 Propriedades da Radiciação em Z ................................................ 14 1.3.2 Simplificação de Radicais ............................................................. 15 1.3.3 Operações com Radicais .............................................................. 16 2 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E POLINÔMIOS ....................................... 24 Definição: Expressões Algébricas e Polinômios ................................. 24 2.1.1 Divisão de Polinômios .................................................................. 24 3 GRANDEZAS, PADRÕES E UNIDADES .................................................. 31 Introdução ........................................................................................... 31 O Sistema Internacional de Unidades (SI) .......................................... 31 Algarismos Significativos ..................................................................... 34 3.3.1 Determinando os algarismos significativos de um número ........... 36 Arredondamento de Números ............................................................. 37 Potências de Base 10 ......................................................................... 38 3.5.1 Prefixos das Potências de Base 10 .............................................. 39 Notação Científica ............................................................................... 40 Ordem de Grandeza............................................................................ 41 D07. Cálculo da quantidade de soja exportada pelo Brasil. ...................... 52 D08. Cálculo do volume do reservatório que atenderá às necessidades de uma família. ............................................................................................... 53 4 FUNÇÕES: NOÇÕES GERAIS ................................................................. 55 Conceito .............................................................................................. 55 4.1.1 Intervalos numéricos ..................................................................... 55 Noção intuitiva de função .................................................................... 56 Definição de função............................................................................. 56 4.3.1 Definição .......................................................................................... 57 4.3.2 Domínio, Contradomínio e Imagem .................................................. 58 3 A aplicação apresentada pode ser classificada como uma função? Nesse caso, através do diagrama de Venn (figura 3) é possível determinar o seu domínio, contradomínio e imagem? .............................................................. 58 Plano Cartesiano e esboço de gráfico de funções .............................. 59 Construção Gráfica ............................................................................. 60 Toda curva esboçada num plano representa o gráfico de uma função? ...... 61 Análise do gráfico de uma função ....................................................... 62 Movimentação gráfica ......................................................................... 64 4.7.1 Movimentos de Translações: ........................................................... 64 4.7.2 Movimentos de Reflexões: ............................................................... 64 Gráficos de funções elementares ........................................................ 66 5 FUNÇÕES AFINS E QUADRÁTICAS ....................................................... 81 Função Afim ........................................................................................ 81 5.1.1 Raiz de uma função afim .............................................................. 81 5.1.2 Gráfico de uma função afim .......................................................... 82 5.1.3 Crescimento e Decrescimento de uma função afim ..................... 83 Função Quadrática .............................................................................. 84 5.2.1 Raízes de uma Função Quadrática .............................................. 84 5.2.2 Gráfico de uma função quadrática ................................................ 85 6 CINEMÁTICA: NOÇÕES GERAIS ............................................................ 93 Introdução ........................................................................................... 93 Conceitos Fundamentais ..................................................................... 93 7 MOVIMENTOS RETILÍNEOS ................................................................. 106 Movimento Uniforme ......................................................................... 106 7.1.1 Funções Horárias ....................................................................... 106 Movimento Uniformemente Variado .................................................. 114 7.2.1 Funções Horárias ....................................................................... 114 8 EXPONENCIAIS E LOGARITMOS ......................................................... 121 Funções Exponenciais ...................................................................... 121 Gráfico de uma função exponencial .................................................. 121 Logaritmos ........................................................................................ 123 Propriedades dos Logaritmos ........................................................... 125 Funções Logarítmicas ....................................................................... 126 O Número de Nepper ........................................................................ 128 9 TRIGONOMETRIA .................................................................................. 134 Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo .......................... 134 Relações entre Seno, Cosseno e Tangente (propriedades) ............. 135 Seno, Cosseno e Tangente dos Ângulos Notáveis ........................... 135 4 Estudo da Circunferência Trigonométrica ......................................... 144 9.4.1 Introdução ................................................................................... 144 9.4.2 Conceitos Trigonométricos Básicos ............................................ 144 9.4.3 Circunferência Trigonométrica .................................................... 150 9.4.4 Arcos Côngruos ou Congruentes................................................ 151 Funções Trigonométricas ..................................................................155 9.5.1 Função seno ............................................................................... 155 9.5.2 Função cosseno ......................................................................... 156 9.5.3 Função tangente ......................................................................... 157 9.5.4 Outras funções Trigonométricas ................................................. 158 10 GEOMETRIA ....................................................................................... 163 Formas Geométricas Bidimensionais ............................................ 163 10.1.1 Triângulo ................................................................................. 163 10.1.2 Paralelogramo ......................................................................... 164 10.1.3 Trapézio .................................................................................. 165 10.1.4 Polígonos ................................................................................ 165 10.1.5 Círculo ..................................................................................... 167 Formas Geométricas Tridimensionais............................................ 170 10.2.1 Prisma ..................................................................................... 170 10.2.2 Pirâmide .................................................................................. 172 10.2.3 Cilindro .................................................................................... 174 10.2.4 Cone ........................................................................................ 174 10.2.5 Esfera ...................................................................................... 175 Resumo .......................................................................................... 179 11 VETORES ........................................................................................... 180 Noção Intuitiva ............................................................................... 180 12 LEIS DE NEWTON .............................................................................. 187 Introdução ...................................................................................... 187 Força .............................................................................................. 187 12.2.1 Força Resultante ..................................................................... 188 Equilíbrio ........................................................................................ 188 Princípio da Inércia ou 1ª Lei de Newton ....................................... 189 Massa de um Corpo ....................................................................... 190 Princípio Fundamental da Dinâmica ou 2ª Lei de Newton ............. 191 Medida de uma Força .................................................................... 192 Princípio da Ação e Reação ou 3ª Lei de Newton ......................... 192 Forças Especiais ............................................................................ 194 5 12.9.1 A Força Peso ........................................................................... 194 12.9.2 Força de Atrito ......................................................................... 195 12.9.3 Força de atrito estático ............................................................ 195 12.9.4 Força de atrito cinético ............................................................ 196 13 APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON .............................................. 203 Introdução ...................................................................................... 203 Equilíbrio ........................................................................................ 203 Equilíbrio Estático .......................................................................... 204 Equilíbrio Dinâmico ........................................................................ 207 Dinâmica ........................................................................................ 209 13.5.1 Plano Horizontal ...................................................................... 209 13.5.2 Plano Inclinado ........................................................................ 211 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................... 219 6 1 ARITMÉTICA Números Fracionários Números fracionários são números que representam uma ou mais partes de uma unidade que foi dividida em partes iguais. Os números fracionários são representados por dois números inteiros (termos da fração) separados por um traço horizontal (traço de fração). O número de cima (numerador) pode ser qualquer número inteiro e o número de baixo (denominador) deverá ser diferente de zero. Exemplos de alguns tipos de fração: • Fração Própria: o numerador é menor que o denominador. Exemplo: 4 3 . • Fração Imprópria: o numerador é maior que o denominador. Exemplo: 2 9 . • Fração Mista ou Numeral Misto: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Exemplo: 3 12 . • Frações Equivalentes: frações que mantêm a mesma proporção de outra fração. Exemplo: 2 5 e 4 10 . • Fração Irredutível: não pode ser simplificada. Exemplo: 3 4 . • Fração Decimal: o denominador é uma potência de base 10. Exemplo: 100 8 . Qualquer número escrito na forma de fração é um número fracionário? Pode parecer estranho, mas a resposta é não! Primeiro porque a definição diz que números fracionários são números que representam uma ou mais partes de um todo. Por exemplo, o número 2 10 , que está escrito na forma de fração não é um número fracionário, porque representa o número 5 e este não é parte de um todo. Também o número 3 2 está escrito na forma de fração, mas não é um número fracionário, porque o numerador não é um número inteiro. 7 1.1.1 Operações com Frações Adição A soma ou adição de frações requer que todas as frações envolvidas possuam o mesmo denominador. Se inicialmente todas as frações já possuírem um denominador comum, basta que realizemos a soma de todos os numeradores e mantenhamos este denominador comum. Exemplos: a) Adição de frações com os mesmos denominadores: ? 7 3 7 2 7 1 =++ Podemos observar que todas elas possuem o denominador 7. Neste caso a fração final terá como numerador a soma dos números 1, 2 e 3, assim como terá o mesmo denominador 7. Portanto: 7 6 7 321 7 3 7 2 7 1 = ++ =++ b) Adição de frações com denominadores distintos • Através de Frações Equivalentes: ? 5 4 3 2 =+ O uso das frações equivalentes para somar ou subtrair frações é um recurso muito bom. Vamos analisar passo a passo o procedimento. 1º Passo: As frações não possuem o mesmo denominador. Então precisamos encontrar um denominador igual (comum) que é um múltiplo de 3 e 5 ao mesmo tempo. Múltiplos de 3 e 5 (sem considerar o zero): 15, 30, 45,... Logo um desses múltiplos pode ser o denominador das frações equivalentes. Vamos escolher o número 15. 2º Passo: Nessa etapa vamos descobrir o termo que falta para tornar as frações equivalentes. 3 2 = 15 ? (3 × 5 = 15. Logo o numerador da fração equivalente deve ser multiplicado por 5). É o número 10. Então 3 2 será substituída por 15 10 . 5 4 = 15 ? (5 × 3 = 15. Logo o numerador da fração equivalente deve ser multiplicado por 3). É o número 12. Então 5 4 será substituída por 15 12 . 8 Deste modo, a soma 5 4 3 2 + será substituída por 15 22 15 12 15 10 =+ .• Através do MMC (Mínimo Múltiplo Comum): ? 13 3 5 2 3 1 =++ Neste caso não podemos simplesmente realizar a soma dos numeradores. Primeiramente devemos converter todas as frações ao mesmo denominador. O denominador escolhido será o mínimo múltiplo comum dos denominadores. Deste modo o MMC(3, 5, 13) = 195 e todas as frações terão este denominador comum. O novo numerador de cada uma delas será apurado, dividindo-se 195 pelo seu denominador atual e em seguida multiplicando-se o produto encontrado pelo numerador original. • Para 3 1 temos que: 195 ÷ 3 × 1 = 65, logo: 195 65 3 1 = . • Para 5 2 temos que: 195 ÷ 5 × 2 = 78, logo: 195 78 5 2 = . • Para 13 3 temos que: 195 ÷ 13 × 3 = 45, logo: 195 45 13 3 = . Obtemos assim, três frações equivalentes às frações originais sendo que todas contendo o denominador 195. Agora resta-nos proceder como no primeiro exemplo: 195 188 195 457865 195 45 195 78 195 65 = ++ =++ No caso de adição de frações mistas devemos colocar a parte fracionária toda com o mesmo denominador e depois realizarmos separadamente a soma das partes inteiras e das partes fracionárias: 24 199 24 35 24 164 8 15 3 24 =+=+ Podemos também transformar as frações mistas em impróprias antes de realizarmos a operação de soma: 24 235 24 123112 8 41 3 14 8 1 8 40 3 2 3 12 8 15 3 24 =+=+= ++ +=+ 3, 5, 13 1, 5, 13 1, 1, 13 1, 1, 13 3 5 13 3·5·13 = 195 = 9 Subtração A diferença ou subtração de frações, assim como a adição, também requer que todas as frações contenham um denominador comum. Quando as frações possuírem um mesmo denominador, temos apenas que subtrair um numerador do outro, mantendo-se este denominador comum. Exemplos: a) Subtração de frações com os mesmos denominadores: ? 9 2 9 1 9 8 =−− Observamos que todas as frações possuem o denominador 9. Neste caso a fração final terá como numerador a diferença dos numeradores, assim como irá manter o denominador 9. Portanto: 9 5 9 218 9 2 9 1 9 8 = −− =−− b) Subtração de frações com denominadores distintos: ? 7 2 3 1 9 8 =−− Como as frações não possuem todas o mesmo denominador, primeiramente devemos apurar o MMC(9, 3, 7) para utilizá-lo como denominador comum. Sabemos que o MMC(9, 3, 7) = 63. Logo utilizaremos 63 como o denominador comum. Como já visto, para encontrarmos as frações equivalentes às do exemplo, que possuam o denominador igual a 63, para cada uma delas iremos dividir 63 pelo seu denominador e em seguida multiplicaremos o resultado pelo seu numerador. • Para 9 8 temos que: 63 ÷ 9 × 8 = 56, logo: 63 56 9 8 = . • Para 3 1 temos que: 63 ÷ 3 × 1 = 21, logo: 63 21 3 1 = . • Para 7 2 temos que: 63 ÷ 7 × 2 = 18, logo: 63 18 7 2 = . Finalmente podemos realizar a subtração: 63 17 63 182156 63 18 63 21 63 56 7 2 3 1 9 8 = −− =−−=−− Assim como na adição, no caso da subtração de frações mistas também devemos colocar a parte fracionária toda com o mesmo denominador e depois realizarmos separadamente a subtração das partes inteiras e das partes fracionárias: 10 20 34 20 53 20 87 4 13 5 27 =−=− Alternativamente podemos transformar as frações mistas em impróprias antes de realizarmos a operação de subtração: 20 83 20 65148 4 13 5 37 4 1 4 12 5 2 5 35 4 13 5 27 =−=−= +− +==− Multiplicação Ao menos conceitualmente, a multiplicação ou produto de frações, talvez seja a mais simples das operações aritméticas que as envolvem. Diferentemente da adição e da subtração, a multiplicação não requer que tenhamos um denominador comum. Para realizarmos o produto de frações, basta que multipliquemos os seus numerados entre si, fazendo-se o mesmo em relação aos seus denominadores. Exemplos: a) 105 8 753 421 7 4 5 2 3 1 = ⋅⋅ ⋅⋅ =⋅⋅ b) 27 40 333 425 3 4 3 2 3 5 = ⋅⋅ ⋅⋅ =⋅⋅ c) 32 1120 32 651 84 2131 8 21 4 31 8 52 4 37 == ⋅ ⋅ =⋅=⋅ Divisão A divisão de frações resume-se a inversão das frações divisoras, trocando-se o seu numerador pelo seu denominador e realizando-se então a multiplicação das novas frações. Exemplos: a) 154 65 7 13 2 5 11 1 13 7 : 5 2 : 11 1 =⋅⋅= b) 27 40 333 425 3 4 3 2 3 5 = ⋅⋅ ⋅⋅ =⋅⋅ c) 32 1120 32 651 84 2131 8 21 4 31 8 52 4 37 == ⋅ ⋅ =⋅=⋅ = A multiplicação de frações mistas deve ser precedida da conversão das mesmas em frações impróprias. A divisão de frações mistas segue o mesmo princípio, no entanto devemos primeiramente convertê-las em frações impróprias. 11 Múltiplas Operações Assim como nas operações aritméticas com números naturais também nas operações aritméticas com frações a multiplicação e a divisão têm precedência sobre a adição e a subtração. Por isto, em expressões compostas que envolvam múltiplas operações, devemos primeiro realizar as operações de multiplicação e de divisão e por último as operações de soma e subtração. Exemplo: 1155 454 1155 195264385 77 13 35 8 3 1 11 13 7 1 35 8 3 1 13 11 : 7 1 35 8 3 1 13 11 : 7 1 75 42 3 1 13 11 : 7 1 7 4 5 2 3 1 = −+ =−+ =⋅−+ =−+ =− ⋅ ⋅ + =−⋅+ Potenciação em Z Potenciação é uma operação unária1 usada em Aritmética para indicar a multiplicação de uma dada base por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente. O uso desta operação é muito costumeiro, tendo em vista que as potências estão envolvidas em grande variedade de problemas de cálculo e técnicas estatísticas. Dados dois números naturais a e n, chama-se potência n de a, e representa-se por an, ao número obtido efetuando o produto de n fatores iguais a a. an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a 1 Em Matemática, denominamos de unária à operação que possui apenas um operador, ou seja, trata-se de uma função com somente uma variável de entrada. Primeiramente executamos a multiplicação. Em seguida, executamos a divisão. Agora podemos utilizar o MMC(3, 35, 77) = 1155 como o denominador comum das frações e realizarmos a soma e a subtração. n parcelas iguais 12 Chamamos a de base, n de expoente e ao resultado da operação an denominamos potência. Decorrentes da definição e das propriedades da multiplicação têm-se que: • 1n = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ ... ⋅ 1 = 1 • 0n = 0 1.2.1 Propriedades da Potenciação em Z Das propriedades básicas da potenciação de números inteiros, destacamos as seguintes: • Produto de potências de mesma base: ∀a, m, n ∈ Z, temos que: am ⋅ an = am + n Exemplos: a) 23 ⋅ 24 = 23+4 = 27 b) 3-3 ⋅ 34 = 3-3+4 = 31 = 3 c) 105 ⋅ 103 = 108 • Quociente de potências de mesma base: ∀a, m, n ∈ Z, temos que: nm n m a a a − = Exemplos: a) 2 12 2 2 1 4 3 == − b) 3333 3 3 143)4(3 4 ==== +−−−− − −3 c) 1001010 10 10 235 3 5 === − • Distributiva em relação ao produto e divisão:∀a, b, m ∈ Z, temos que: (a ⋅ b)m = am ⋅ bm e m mm b a b a = Exemplos: a) (2 ⋅ 3)3 = 23 ⋅ 33 = 8 ⋅ 27 = 216 b) 3375 1 125 1 27 1 5 1 3 153)53( 33333 =⋅=⋅=⋅=⋅ −−− c) 9 25 3 5 3 5 2 22 == d) 27 8 3 2 3 2 3 33 == 13 • Potência de potência: ∀a, m, n ∈ Z, temos que: (am)n = am ⋅ n Exemplos: a) (23)2 = 26 = 64 b) 729 1 3 13)3( 6623 === −− c) (102)3 = 106 = 1.000.000 Atenção: • Observe a diferença entre as expressões nm )a( e nma . Por exemplo: 6422)2( 62323 === ⋅ , enquanto que 512222 9333 2 === ⋅ . • Se n = 1, então: a1 = a. Por exemplo 4 3 4 3 1 −= − . • Se n = 0 e a ≠ 0, então: a0 = 1. Por exemplo 1 4 3 0 = − . • Se n = -1 e a ≠ 0, então: a 1 a 1 =− . Exemplos: a) 3 13 1 =− b) 3 5 5/3 1 5 3 1 == − c) 2 3 3/2 1 3 2 1 −= − = − − Radiciação em Z O termo radiciação pode ser entendido como uma operação que, se fornecida uma potência de um número e o seu grau, pode-se determinar esse número, ou seja, uma operação recíproca à potenciação. Dados três números naturais a, b, n tais que a = bn. O número b é dito raiz de índice n de a e representa-se pelo símbolo n a . Assim, a = bn implica que ban = , onde a é dito radicando e n índice do radical, a b chamamos de raiz enésima. 14 1.3.1 Propriedades da Radiciação em Z Das propriedades básicas da radiciação, destacamos as seguintes: • Distributiva em relação ao produto e à divisão: ∀a, b, m ∈ Z, temos que: nnn baba ⋅=⋅ e n n n b a b a = Exemplos: a) 333 1025 =⋅ b) 3 2 27 8 27 8 3 3 3 == • ∀a, m, n ∈ Z, temos que: ( ) n mn aa =m Exemplos: a) ( ) 222 3 333 == b) ( ) 32288 5533 5 === c) ( ) 2555555555 3 33 33 333 663 =⋅=⋅=⋅== • ∀a, m, n ∈ Z, temos que: n m n m aa = Exemplos: a) ( ) 2222 13333 === b) 8222 33 9 3 9 === • ∀a, m, n ∈ Z, temos que: 15 nmm n aa ⋅= Exemplos: a) 22646464 6 66233 ==== ⋅ b) 10000.10000.10 4 == c) 63 2525 = As propriedades são válidas apenas para as divisões e radiciações possíveis. 1.3.2 Simplificação de Radicais Para viabilizar o trabalho com radicais é conveniente transformá-los, colocando-os na forma mais simples possível. Essa forma simplificada é obtida através das propriedades dos radicais. Vejamos alguns exemplos: a) 10410252252252160 2445 =⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅= 160 80 40 20 10 5 1 2 2 2 2 2 5 160 = 25 · 5 16 b) 333 33 33 43 222222216 =⋅=⋅== 1.3.3 Operações com Radicais Para operar com radicais, usamos suas propriedades e as propriedades operatórias da adição e multiplicação de números reais (comutativa, associativa e distributiva). Vejamos alguns exemplos: a) 575)236(525356 =−+=−+ Lembre-se que só é possível adicionar radicais com mesmo índice e mesmo radicando. b) 2182621222323483184 =+=⋅+⋅=+ Observe que neste exemplo, fez-se necessário, inicialmente, o processo de simplificação de radicais, tendo em vista que só é possível adicionar radicais com mesmo índice e mesmo radicando. c) ( ) 33333 61532)53(3523 =⋅⋅⋅=⋅ Lembre-se que só é possível o produto de radicais com mesmo índice. d) 22 3 6 2 4 32 6432:64 === De igual modo ao produto, só é possível o quociente de radicais com mesmo índice. 16 8 4 2 1 2 2 2 2 16 = 24 17 Atividades de Aprendizagem Exercícios Teóricos E01. Calcule as expressões numéricas e apresente a resposta na forma de fração irredutível: a) =+− 2 3 1 7 3 b) =− 8 3 8 5 c) =−+ 3 2 4 1 6 3 d) =+ 7 5 4 3 e) =−+ 9 1 9 3 9 2 f) =− 12 52 g) =+− 10 7 3 21 5 41 h) =+ 5 32 5 13 i) =−+ 10 92 2 11 j) =−+− 4 3 6 5 3 1 2 1 E02. Efetue as multiplicações e apresente a resposta na forma de fração irredutível: a) = 2 1 . 4 3 b) = 4 3 . 7 9 c) = 8 7 . 5 8 d) = 17 4 . 7 17 e) = 5 8 . 4 1 . 3 2 f) = 6 49 . 7 2 . 5 14 g) = 16 45 . 3 1 . 15 8 h) = 3 14 . 9 4 . 7 3 i) = 2 9 . 3 25 . 5 6 j) = 8 5 . 14 7 . 15 16 E03. Efetue as divisões e apresente a resposta na forma de fração irredutível: a) = 3 2 : 5 4 b) = 3 14 : 9 7 c) = 8 3 : 4 3 d) = 15 12 : 5 24 e) = 7 2 6 f) =2: 5 4 g) = 9 5 : 3 10 h) = 5 4 :2 i) = 17 25 : 34 100 j) = 8 3 24 12 E04. Calcule: a) = 2 2 1 b) = 4 3 1 c) = 0 3 2 d) = 5 3 2 e) = 2 2 3 f) = 3 2 11 g) = 2 3 4 h) = 0 9 11 i) = 3 2 1 j) = 2 4 72 k) = 3 3 13 l) = 2 6 5 m) = 3 8 7 n) = 4 5 2 o) = 1 7 2 18 E05. Calcule o valor das expressões numéricas: a) = −+ − 3 2 4 5 5 2 2 3 b) = −+ − 9 7 9 8 6 5 8 7 c) = −− −+ 4 5 4 7 5 1 2 11 d) = +−+ + 6 1 2 12 4 1 3 1 e) −+ −−− 4 31 3 11 2 3 6 7 = f) =+ −−+ + 3 2 8 51 4 1 3 1 2 1 g) = −− + 3 2 4 5 5 2 2 3 h) 4 111 5 3 : 2 13 . 169 12 22 − + = i) = − + 8 7 7 8 . 3 4 4 3 j) 3 7 . 2 3 5 2 . 3 1 5 3 . 2 1 +− = k) +−− 5 1 2 1 . 4 13 2 117 = l) +− + 5 1 . 2 1 6 1 . 5 1 3 1 . 2 1 5 1 . 2 1 = m) + + ++ 4 13. 3 112. 2 11 2 3 = n) 4 5. 25 7 10 3 . 3 2 2. 14 3 7 4 . 2 3 + + − = o) = − + 4 3 . 2 12: 5 7 . 7 10 5 3 . 3 1 p) = 6 1 : 25 27 : 5 3 2 E06. Observe o gráfico ao lado e responda: a) Qual é a fração que representa o todo-referência? b) Qual é a fração que está faltando? E07. Em uma caixa foram colocadas 120 bolinhas coloridas. Dessas bolas: • 6 1 é azul; • 5 2 são vermelhas; • 10 3 são verdes; • O restante é amarela. Com as informações acima, determine a quantidade de bolinhas de cada cor: a) azuis; b) vermelhas; c) verdes; d) amarelas. 19 E08. Uma prova para selecionar candidatos para trabalhar em um banco era formada por questões de Português, Matemática e Sistema Bancário. Nessa prova, 5 2 do total das questões eram de Matemática e 3 1 de Português. a) Qual é a fração que representa a parte das questões de Português e Matemática? b) Qual é a fração que representa a parte das questões sobre o Sistema Bancário? E09. Considere os seguintes números: Escreva as frações em ordem crescente. E10. Num quintal há 60 árvores. As mangueiras representam 5 2 das árvores, as jaqueiras, 4 1 e o restante das árvores são goiabeiras. a) Que fração representa a soma das mangueiras e das jaqueiras? _____________ b) Que fração representa as goiabeiras? ____________ c) Quantas mangueiras há? ________________ d) Quantas jaqueiras há? __________________ E11. Classifique como V (verdadeiro) ou F (falso) as afirmativas abaixo: ________ Em duas frações de mesmo denominador, a maior é a que possui maior numerador. ________ Em duas frações de mesmo numerador, a maior é a que possui menor denominador. ________ Em duas frações de mesmo numerador, a maior é a que possui maior denominador. ________ 7 3 5 2 2 1 =+ . ________ 200de%60 tem o mesmo valor que o triplo da quinta parte de 200. ________ Na malha ao lado estão pintados 4 1 16 3 + do total de quadradinhos. E12. Classifique as seguintes frações como próprias, impróprias ou aparentes: 4 5 10 12 100 3 4 7 2 1 5 4 5 3 20 E13. Passe para a forma mista as seguintes frações impróprias: a) 5 26 b) 13 147 c) 8 125 d) 2 59 e) 6 47 f) 25 1313 E14. Transforme as frações mistas em frações impróprias. a) 3 12 b) 3 11 c) 7 21 d) 5 32 e) 7 24 f) 11 53 E15. Coloque um dos sinais de ordem (<, >, =) entre as frações, tornando a relação verdadeira: a) 7 1 ____ 14 2 b) 6 32 ____ 8 52 c) 2 3 ____ 3 4 d) 4 11 ____ 3 4 e) 5 2 ____ 7 3 f) 4 7 ____ 5 8 g) 4 10 ____ 6 15 h) 4 13 ____ 4 12 E16. Usando a equivalência de frações, descubra o número que deve ser colocado no lugar da letra x para que se tenha: a) x 14 9 7 = b) 28 x 7 4 = c) 12 x 2 7 = d) 2 x 30 15 = e) x 9 11 3 = f) 40 x 8 1 = g) x 1 18 6 = h) x 10 12 40 = E17. Reduza as frações ao mesmo denominador comum: a) 8 1 , 4 1 , 2 1 b) 9 1 , 3 1 , 6 1 c) 5 9 , 2 3 , 4 5 d) 5 2 , 6 5 , 15 4 , 10 7 Respostas dos Exercícios Teóricos: E01. a) 21 44 b) 4 1 c) 12 1 d) 28 41 e) 9 4 f) 12 19 g) 6 5 h) 5 29 i) 5 13 j) 4 1 21 E02. a) 8 3 b) 28 27 c) 5 7 d) 7 4 e) 15 4 f) 15 98 g) 2 1 h) 9 8 i) 45 j) 3 1 E03. a) 5 6 b) 6 1 c) 2 d) 6 e) 7 3 f) 5 2 g) 6 h) 2 5 i) 2 j) 3 4 E04. a) 4 1 b) 81 1 c) 1 d) 243 32 e) 4 9 f) 8 27 g) 9 16 h) 1 i) 8 1 j) 16 225 k) 27 1000 l) 36 25 m) 512 343 n) 625 16 o) 7 2 E05. a) 60 101 b) 72 11 c) 5 4 d) 4 9 e) 12 1 f) 8 11 g) 60 79 h) 4 133 i) 224 125 j) 3 11 k) 40 151 l) 100 13 m) 4 71 n) 56 239 o) 65 88 p) 2 E06. a) 12 12 b) 6 1 E07. a) 20 b) 48 c) 36 d) 16 22 E08. a) 15 11 b) 15 4 E09. 4 7 4 5 10 12 5 4 5 3 2 1 100 3 <<<<<< E10. a) 20 13 b) 20 7 c) 24 d) 15 E11. V – V – F – F – V – V E12. Própria – Aparente – Própria – Imprópria – Aparente – Própria – Aparente. E13. a) 5 15 b) 13 411 c) 8 515 d) 2 129 e) 6 57 f) 25 1352 E14. a) 3 7 b) 3 4 c) 7 9 d) 5 13 e) 7 30 f) 11 38 E15. a) 7 1 = 14 2 b) 6 32 < 8 52 c) 2 3 > 3 4 d) 4 11 > 3 4 e) 5 2 < 7 3 f) 4 7 > 5 8 g) 4 10 = 6 15 h) 4 13 > 4 12 E16. a) 18 14 9 7 = b) 28 16 7 4 = c) 12 42 2 7 = d) 2 1 30 15 = e) 33 9 11 3 = f) 40 5 8 1 = g) 3 1 18 6 = h) 3 10 12 40 = E17. a) 8 1 , 8 2 , 8 4 b) 18 2 , 18 6 , 18 3 c) 20 36 , 20 30 , 20 25 d) 30 12 , 30 25 , 30 8 , 30 21 23 E18. Assinale V (verdadeiro) ou F (falso), considerando as propriedades da potenciação: a) ______ 60203 222 =⋅ d) ______ 4 49 7 2 2 = − b) ______ 333 32)32( +=+ e) ______ ( ) 1642 55 = c) ______ ( ) 632 33 = f) ______ 7 2 5 3 3 3 = − E19. Efetue, observando as definições e propriedades: a) ( ) =− 32 _______ b) =201 _________ c) =1500 ________ d) =0100 ________ e) =30 _________ f) = −1 3 4 ______ g) =−15 ________ h) =−32 ________ i) ( ) =− 43 ________ j) ( ) =35,0 ________ k) =− 215 ________ l) =090 ________ m) =200 ________ n) = −1 2 1 ________ o) = −2 3 2 ________ p) = 3 5 4 ________ E20. Calcule o valor da expressão 32 3 5 2 2 3)2( − + −+− . E21. Efetue as adições algébricas com radicais, observando as propriedades estudadas: a) =−+ 56553 b) =+−+ 5555 3323235 c) =+−+ 39223624 d) =−++− 45254 33e) =++− 55 3333323 2 f) =−++ 25723 E22. Reduza os radicais a uma expressão na forma ba , com a e b inteiros, fazendo uso de simplificação de radicais: a) =+ 4520 b) =−+ 81850 c) =− 125272 d) =− 7634 e) =−+ 729850 f) =++ 1087512 E23. O valor da expressão 2112 )2()2()2()2( −+−+−+− −− é igual a: a) -1 b) -3 c) 4 9 − d) 4 7 e) 0 24 2 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E POLINÔMIOS Definição: Expressões Algébricas e Polinômios Chama-se expressão algébrica qualquer agrupamento de letras e números ligados por sinais de operações. O elemento fundamental da expressão algébrica é o termo, ou seja, um conjunto de letras e números ligados por operações quaisquer, exceto a adição e a subtração. Exemplo: Expressão Algébrica: ab2 xy3yx2ba 2 22 −+ . Termos: ba 2 ; yx2 2 ; ab2 xy3 2 − Chama-se polinômio de grau n (n inteiro e positivo) na variável x, a expressão algébrica do tipo: P(x) = a0(x)n + a1(x)n−1 + a2(x)n−2 + ... + an−1(x) + an, onde a0, a1, a2, ..., na são números quaisquer e a0 ≠ 0. 2.1.1 Divisão de Polinômios A divisão de polinômios estrutura-se em um algoritmo, podemos enunciá-lo como sendo a divisão de um polinômio D(x) por um polinômio não nulo E(x), de modo a obter os polinômios Q(x) e R(x). Esse algoritmo da divisão pode ser expresso pelo Método de Descartes também conhecido como Método dos coeficientes determinantes, da seguinte forma: E(x) × Q(x) + R(x) = D(x), ou seja: Quociente × Divisor + Resto = Dividendo. ♦ Método da Chave: neste método, realizamos a divisão entre os coeficientes numéricos e a divisão de potências de mesma base, conservando a base e subtraindo os expoentes. Quando trabalhamos com divisão, utilizamos também a multiplicação no processo. Observe o seguinte esquema: Quociente × Divisor + Resto = Dividendo Vamos dividir um polinômio por um monômio, com o intuito de entendermos o processo operatório. 25 Exemplo 01: Dividir o polinômio 12x3 + 4x2 – 8x por 4x. Resolução: Caso queira verificar se a divisão está correta, basta multiplicar o quociente pelo divisor, com vistas a obter o dividendo como resultado. Verificando: Quociente × Divisor + Resto = Dividendo 4x × (3x² + x – 2) + 0 = = 12x³ + 4x² – 8x Caso isso ocorra, a divisão está correta. Exemplo 02: Dividir o polinômio 10x2 – 43x + 40 por 2x – 5. Resolução: Verificando: Quociente × Divisor + Resto = Dividendo (2x – 5) × (5x – 9) + (–5) = = 10x² – 18x – 25x + 45 + (–5) = = 10x² – 43x + 45 – 5 = = 10x² – 43x + 40 Exemplo 03: Dividir o polinômio 6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5 por 2x2 – 4x + 5. Resolução: 26 Verificando: Quociente × Divisor + Resto = Dividendo (3x² + x – 1) × (2x² – 4x + 5) + 0 = = 6x4 – 12x³ + 15x² + 2x³ – 4x² + 5x – 2x² + 4x – 5 = = 6x4 – 10x³ + 9x² + 9x – 5 Exemplo 04: Dividir o polinômio 12x3 – 19x2 + 15x – 3 por 3x2 – x + 2. Resolução: Verificando: Quociente × Divisor + Resto = Dividendo (4x – 5) × (3x² – x + 2) + (2x + 7) = = 12x³ – 4x² + 8x – 15x² + 5x – 10 + (2x + 7) = = 12x³ – 19x² + 13x – 10 + 2x + 7 = = 12x³ – 19x² + 15x – 3 ♦ Dispositivo de Briot-Ruffini: a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (x – a) também pode ser feita utilizando-se o dispositivo de Briot-Ruffini. Este algoritmo se caracteriza pela sua agilidade na divisão de polinômios por binômios do 1º grau do tipo (x – a). Vamos analisar o exemplo detalhado, apresentado em Barroso (2008, p.178): Exemplo: Vamos determinar o quociente e o resto da divisão de P(x) = 2x3 – 4x + 1 por D(x) = x – 4, utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini. Resolução: Inicialmente, colocamos os coeficientes de P(x) em ordem decrescente segundo o grau do termo e completamos com zero, caso necessário. Assim, temos P(x) = 2x3 + 0x2 – 4x + 1. Dispomos os valores que participam do cálculo para montar o dispositivo. 27 Repetimos o coefiente dominante do dividendo P(x) na linha de baixo. Multiplicamos o valor de a por esse coeficiente e somamos o produto obtido com o próximo coeficiente de P(x), colocando o resultado abaixo dele. Multiplicamos o valor de a pelo resultado que acabamos de obter, somamos o produto com o próximo coeficiente de P(x) e colocamos esse novo resultado abaixo desse coeficiente. Repetimos o processo até o último coefiente de P(x), que está separado, à direita. Fonte: Barroso et al, 2008, p.174. O último resultado é o resto da divisão, e os demais números obtidos são os coeficientes do quociente, dispostos ordenadamente segundo as potências decrescentes de x. Dessa forma, no exemplo apresentado no quadro acima, temos que Q(x) = 2x2 + 8x + 28 e R(x) = 113. 2.1.1.1 Fatoração Fatorar uma expressão algébrica é transformá-la num produto utilizando, em geral, a lei distributiva. Exemplo: A3B + A2C – A2D = A2⋅(AB + C – D) → neste caso, o fator comum A2 foi colocado em evidência. 28 1º Caso: Fator Comum 2ax3 + 6bx2 = 2⋅a⋅x⋅x2 + 2⋅3⋅b⋅x2 = 2x2⋅(ax + 3b) 2º Caso: Agrupamento ax + bx + ay + by = x⋅(a + b) + y⋅(a + b) = (a + b)⋅(x + y) 3º Caso: Diferença de Quadrados a2 – b2 = (a + b)⋅(a – b) 4º Caso: Quadrado Perfeito a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 5º Caso: Cubo Perfeito a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = (a ± b)3 6º Caso: Soma e Diferença de Cubos a3 + b3 = (a + b)⋅(a2 – ab + b2) a3 − b3 = (a − b)⋅(a2 + ab + b2) 7º Caso: Trinômio do 2º Grau ax2 + bx + c = a⋅(x – x1)⋅(x – x2), onde x1, x2 são raízes da equação ax2 + bx + c = 0. 2.1.1.2 Frações Algébricas São frações que contém expressões algébricas no numerador e no denominador. Se for possível fatorar o numerador e o denominador e a fatoração apresentar fatores iguais, então podemos cancelar os fatores comuns. Exemplo: 1x2 x3 )1x2(x3 x3 x3x6 2 −= −⋅ = − CORRETO 1x6 x3 x3x6 22 −= − INCORRETO 29 Atividades de Aprendizagem Exercícios Teóricos E01. Efetue as operações: a) (2x2 – 3x + 1) + (2x – 3) + (4x2 + 5) b) (2x2 – 6x – 5) − (x2 – 3x – 5) c) (2x – 1)(x2 – 3x + 5) d) (x – 3y)(x2 – 3xy + y2) e) (3x – 1)(x + 2) – (x – 2)2 f) 2(x – 2)3 – (x – 2)2 – 3(x – 2) g) (x + 2y)3 h) (s + 7)(s – 2) i) (u – 3)(u + 3) j) (c – 9)(c – 6) k) (a + b)(a – b) l) (3y + 2)(3y – 2) E02. Efetue as divisões: a) 6x2 – x + 2 por 3x – 2 b) 4x4 – 10x – 9x2 – 10 por 2x + 3 c) 16x – 5x3 – 4 + 6x4 – 8x2 por 2x – 4 + 3x2 d) x3 – 8 por x – 2 E03. Fatore: a) 2x2 – 10x b) 2x2y – 12xy2 c) a(x + y) – b(x + y) d) 2x2y – 12xy2 e) x3 – x2 + x – 1 f) a2 – 1 g) a4 – 1 h) x2 – 2xy + y2 i) x2 + 2x + 1 j) 4a2 + 20ab + 25b2 k) 16x2 – 56x + 49 l) 4 y xy3x9 2 2 ++ E04. Simplifique as frações: a) 2)3x( 3x + + b) )5y(2 )5y(8 2 − − c) 3 2 )7x(x6 )7x(x2 + + d) 4x2 x2x2 − − e) y3 y3y9 2+ f) 9x6x 9x 2 2 ++ − g) 22 22 xy6yx4 y9x4 + − h) y3xy y3x3xyx 2 + −+− i) 23 23 x4x12 x10x28x6 − −+ j) 4x 8x 2 3 − − k) )3x(x4 6x2 )3x(x4 12x4 − − − − − l) 2)1x(9 2 )1x(6 5 − + − 30 Respostas dos Exercícios Teóricos: E01. a) 6x2 – x + 3b) x2 – 3x c) 2x3 – 7x2 + 13x – 5 d) x3 – 6x2y + 10xy2 – 3y3 e) 2x2 + 9x – 6 f) 2x3 – 13x2 + 25x – 18 g) x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 h) s2 + 5s – 14 i) u2 – 9 j) c2 + 5c + 54 k) a2 – b2 l) 9y2 – 4 E02. a) Q(x) = 2x + 1 R = 4 b) Q(x) = 2x3 – 3x2 – 5 R = 5 c) Q(x) = 2x2 – 3x + 2 R = 4 d) Q(x) = x2 + 2x + 4 R = 0 E03. a) 2x(x – 5) b) 2xy(x – 6y) c) (x + y)(a – b) d) (x + y)(a + b) e) (x – 1)(x2 + 1) f) (a + 1)(a – 1) g) (a2 + 1)(a + 1)(a – 1) h) (x – y)2 i) (x + 1)2 j) (2ª + 5b)2 E04. a) 3x 1 + b) 4(y – 5) c) 2)7x(3 x + d) 2 x e) 3 + y f) 3x 3x + − g) xy2 y3x2 − h) y yx − i) x2 5x+ j) 2x 4x2x 2 + ++ k) x2 1 l) 2)1x(18 11x15 − − 31 3 GRANDEZAS, PADRÕES E UNIDADES Introdução Quando falamos em ciências, sempre nos vêm à mente os métodos científicos que lançam mão de medidas para interpretar, analisar e compreender os fenômenos que são pertinentes a cada ciência. Especificamente no caso da Física, faz-se necessário: 1. determinar qual fenômeno físico pretende observar, dentro do “rol” (conjunto) de fenômenos físicos possíveis de serem medidos (esses fenômenos físicos serão denominados de variáveis); 2. nomear o fenômeno físico, isto é, dar um nome para esta variável e 3. encontrar uma unidade para este fenômeno físico (variável), para que possamos medi- lo. Grandeza física é alguma coisa que pode ser medida, isto é, que pode ser representada por um número e uma unidade. Veja alguns exemplos: • A distância da bola à barreira deve ser de 10 jardas ou 9,15 metros. • A bola deve ter entre 400 gramas e 500 gramas. • O tempo de uma partida é de 90 minutos. Nesses exemplos estão três grandezas fundamentais: comprimento, massa e tempo. A partir dessas grandezas fundamentais, pode-se definir outras que, por isso, chamam-se grandezas derivadas. São exemplos de grandezas derivadas a área de uma superfície, o volume e a densidade de um corpo, a velocidade e aceleração de um automóvel, a força exercida por um motor e muitas outras. Até há algum tempo, não havia ainda um conjunto de unidades fundamentais que fosse reconhecido e adotado em todo mundo. A partir de 1948, esse conjunto começou a ser estabelecido e, em 1960, recebeu o nome de Sistema Internacional de Unidades (SI). Atualmente, só os Estados Unidos ainda não adotam o SI, mas passarão a utilizá-lo em breve. O Sistema Internacional de Unidades (SI) O SI estabelece 7 grandezas físicas fundamentais das quais são derivadas todas as outras. 32 COMPRIMENTO MASSA TEMPO CORRENTE ELÉTRICA TEMPERATURA QUANTIDADE DE MATÉRIA INTENSIDADE LUMINOSA Os padrões de comprimento, o metro e, de tempo, o segundo, têm definições muito complicadas devido às exigências da Ciência e da Tecnologia modernas. O padrão de massa é o mais antigo, criado em 1889, e também o mais simples (Quadro 01). QUADRO 01 – TRÊS UNIDADES FUNDAMENTAIS DO SI GRANDEZA NOME SÍMBOLO DEFINIÇÃO Comprimento Metro m Distância percorrida pela luz, no vácuo, num intervalo de tempo de 1/299792458 s. Massa Quilograma kg Massa de um cilindro padrão de platina-irídio conservada no Bureau Internacional de Pesos e Medidas em Sèvres, na França. Tempo Segundo s Duração de 9.192.631.770 períodos da radiação de transição de dois níveis do estado fundamental do átomo do Césio 133. Observação: Note que os símbolos não são abreviaturas, por isso não têm ponto final. Cada país deve ter laboratórios capazes de reproduzir os padrões ou cópias devidamente aferidas e cuidadosamente guardadas. No Brasil essa tarefa é desempenhada pelo Inmetro – Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial, do Ministério da Indústria e do Comércio. Não é necessário saber essas definições, entretanto é importante saber que existem os padrões, as unidades fundamentais e derivadas e formas corretas de expressá-las (Quadro 02). QUADRO 02 – ALGUMAS UNIDADES DERIVADAS DO SI GRANDEZA NOME SÍMBOLO Área Metro quadrado m2 Volume Metro cúbico m3 Velocidade Metro por segundo m/s Aceleração Metro por segundo ao quadrado m/s2 Densidade Quilograma por metro cúbico kg/m3 Existem inúmeras unidades práticas ainda em uso devido ao costume ou às suas aplicações tecnológicas. Muitas dessas unidades, principalmente as de origem inglesa, tendem a desaparecer com o tempo e serem substituídas por unidades do SI. Por enquanto elas ainda são muito usadas e é interessante conhecê-las (Quadro 03). QUADRO 03 – ALGUMAS UNIDADES PRÁTICAS MAIS USADAS GRANDEZA NOME SÍMBOLO RELAÇÃO COM A UNIDADE CORRESPONDENTE DO SI Comprimento Milímetro mm 0,001 m 33 Centímetro Quilômetro Polegada Pé Jarda Milha cm km in ft yd mi 0,01 m 1.000 m 0,0254 m ou 2,54 cm 0,3048 m ou 30,48 cm 0,9144 m ou 91,44 cm 1.609 m ou 1,609 km Massa Grama Tonelada Quilate Libra Arroba g t − lb − 0,001 kg 1.000 kg 0,0002 kg ou 0,2 g 0,454 kg ou 454 g 14,688 kg Tempo Minuto Hora Dia min h d 60 s 60 min ou 3.600 s 24 h ou 86.400 s Área Hectare Alqueire (SP) Alqueire (MG, RJ e GO) ha − − 10.000 m2 2,42 ha 4,84 há Volume Litro l 0,001 m3 ou 1.000 cm3 Velocidade Quilômetro por hora Milha por hora Nó km/h min/h − (1/3,6) m/s 1,609 km/h 1,852 km/h Legenda: Submúltiplos do SI Múltiplos do SI Unidades não pertencentes ao SI Curiosidade: O Quilate é tanto uma medida de massa quanto uma medida de composição em ligas de ouro. A palavra vem do grego keratio, significando uma semente que era usada como unidade de peso na antiga Grécia. Em função das disparidades de valores do quilate como unidade de massa, em 1907 foi adotada a correspondência de 200 miligramas (0,2 gramas) para cada quilate, que passou a ser desde então, o valor usado em joalherias. Desta forma a seguinte frase está correta: "20 quilates de ouro 14", significando o mesmo que "4 gramas de ouro cuja liga é 14 quilates". Apesar de alguns autores indicarem ct (do inglês carat) como sendo símbolo de quilate métrico, esta forma não existe na língua portuguesa, portanto indicamos que se use o termo por extenso, ou a abreviação ql, tal como citado no site da Academia Brasileira de Letras. Observe, no Quadro 03, que algumas unidades têm símbolos diferentes, como a polegada, o pé e a jarda. Essas unidades foram adaptadas do inglês: polegada é inches, daí o símbolo in; pé é feet, por isso seu símbolo é ft e a jarda é yard, por isso seu símbolo yd. Atualmente é comum utilizar o símbolo pol para indicar polegada. 34 Algarismos Significativos Quando se trabalha com medidas quase sempre aparece uma dúvida: com quantos algarismos se escreve uma medida? Tente medir o diâmetro do seu lápis. Que resultado você obteve? 7 mm? 7,1 mm? 7,15 mm? Essa pergunta tem inúmeras respostas, e todas podem estar certas! Se você mediu com uma régua comum, provavelmente achou 7 mm, ou talvez 7,5 mm ou ainda 0,7 cm. Se você dispõe de um instrumento mais preciso, como um micrômetro ou um paquímetro, pode ter achado 7,34 mm ou 7,4082 mm. Se você repetir a medida várias vezes pode ser que em cada uma ache um valor diferente! Como saber qual é o valor correto? Como escrever esse valor? Na verdade, nem sempre existe um valor correto nem uma só forma de escrevê-lo. O valorde uma medida depende do instrumento utilizado, da escala em que ele está graduado e, às vezes, do próprio objeto a ser medido e da pessoa que faz a medida. Por exemplo, a medida do diâmetro do lápis com uma régua comum será feita na escala em que ela é graduada (centímetros ou milímetros) e dificilmente alguém conseguirá expressá-la com mais de dois algarismos. Nesse caso, certamente o segundo algarismo é avaliado ou duvidoso. Se for utilizado um instrumento mais preciso, é possível fazer uma medida com um número maior de algarismos e, ainda, acrescentar mais um, o duvidoso. Todos os algarismos que se obtêm ao fazer uma medida, incluindo o duvidoso, são algarismos significativos. Se outra pessoa fizer a mesma medida, talvez encontre um valor um pouco diferente, mas, ao escrevê-lo, deverá utilizar o número correto de algarismos significativos. Figura 01: Paquímetro Digital – Instrumento de Precisão 35 Uma régua comum não permite medidas muito precisas porque não há como subdividir o espaço de 1 mm: a distância entre os traços é muito pequena. O paquímetro e o micrômetro são instrumentos que utilizam duas escalas, uma fixa, semelhante à escala de uma régua comum e uma escala móvel que, de maneira muito engenhosa, permite dividir a menor divisão da escala fixa. No paquímetro, essa escala corre junto à escala fixa, enquanto que no micrômetro ela está gravada numa espécie de cilindro móvel que gira à medida que se ajusta ao instrumento para efetuar a medida. Imaginemos agora, a seguinte situação: ao medir o diâmetro de um lápis com um paquímetro, um aluno encontre o valor 7,34 mm enquanto que outro aluno, efetuando a mesma medição, encontre 7,37 mm. Pelo resultado, percebe-se que eles têm certeza do 7 e do 3, mas o último algarismo é incerto. Imagine agora que eles resolvam entrar num acordo e considerar, como melhor medida, um valor que seja igual à média aritmética dos seus resultados, obtendo, assim 355,7 2 37,734,7 = + . Estaria correto expressar o diâmetro do lápis acrescentando ainda um terceiro algarismo oriundo da média? É certo que não! Se cada um só tinha certeza de dois algarismos e avaliaram, discordando quanto à segunda casa após a vírgula, não tem sentido dar uma resposta com três casas após a vírgula! Nesse caso, para manter a coerência e expressar a medida com o número correto de algarismos significativos, deve-se desprezar o último algarismo obtido no cálculo da média aritmética. É comum utilizar a seguinte regra: quando esse algarismo (o que deve ser desprezado) for maior ou igual a 5 acrescenta-se 1 ao último algarismo que restou. Teremos então 7,355 mm ≅ 7,36 mm, que é a melhor forma de expressar a média aritmética das medidas de ambos os alunos: mantêm-se os mesmos dois algarismos dos quais têm certeza, o 7 e o 3, mas o algarismo duvidoso passa a ser o 6. É provável que esse valor seja, provisoriamente, o melhor valor dessa medida. Se outras pessoas participarem e fizerem outras medidas, a média aritmética terá um número muito maior de parcelas e o seu valor representará melhor o diâmetro do lápis. Figura 02: Micrômetro Digital – Instrumento de Precisão 36 3.3.1 Determinando os algarismos significativos de um número No item anterior verificamos que, para entender o conceito de números significativos de uma medida física, é necessário compreender que os resultados físicos que utilizamos são obtidos através de medições que os cientistas realizam. Logo, para efetuar essas medições os cientistas utilizam aparelhos que possuem incertezas, isto é, uma medida física nunca é exata e, sim, tem um erro do próprio instrumento de medida, que é determinado pela metade da menor medida do instrumento. Vejamos agora um exemplo de como determinar os algarismos significativos de um número. Quando medimos o tamanho do lápis com a régua escolar e verificamos que este tem 15,1 cm, o valor que se deve expressar é: 15,10 ± 0,05cm. Observe que temos um valor de 0,05 cm (metade da menor medida indicada na régua) para mais ou para menos em relação ao tamanho do lápis, isto é, o tamanho do lápis está com certeza entre 15,05cm e 15,15cm, por causa do instrumento utilizado na medição, que neste caso, é a régua. Pelo fato de uma medida física possuir incerteza, a utilização do conceito de algarismos significativos se torna importante, pois quando efetuamos operações com números decorrentes de medições precisamos escrever o resultado de forma que este expresse o valor mais coerente com as certezas dos instrumentos utilizados para a determinação dos valores utilizados nas operações. Portanto, para determinar a quantidade de números significativos de uma medida física é necessário que: • Inicialmente apresente o valor da medida física em notação científica (veja o item 4.3, na página 12). • Verifique quantos números aparecem no primeiro fator (mantissa) da notação científica (desconsiderando a vírgula). • A quantidade de algarismos significativos é exatamente igual ao resultado obtido no item anterior, ou seja, na mantissa da expressa numérica em notação científica. Vejamos alguns exemplos: a) 230.000.000 = 2,3 × 108, portanto o número de algarismos significativo nesse valor é de 2. b) 0,000 000 000 000 148 = 1,48 × 10-13, portanto o número de algarismos significativo nesse valor é de 3. c) 0,06289 = 6,289 × 10-2, portanto o número de algarismos significativo nesse valor é de 4. 37 d) 795.000.000.000.000 = 7,95 × 1014, portanto o número de algarismos significativo nesse valor é de 3. Observação: Quando fazendo operações com números (multiplicação, divisão adição e subtração) a resposta final deve ter o mesmo número de algarismos significativos que o valor de menor algarismo significativo, isto é, o resultado não pode ser mais preciso que a pior precisão que temos. Arredondamento de Números As regras de arredondamento estão estabelecidas pela Resolução 886 de 06.10.66 do IBGE que corroboram com a Norma ABNT NBR 5891, de 1977. Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conversado for inferior a 5, superior a 5 ou igual a 5, estabeleceremos as regras de arredondamento que seguem na tabela abaixo. CONDIÇÃO PROCEDIMENTO EXEMPLO (ARREDONDAMENTO POR CENTÉSIMO) < 5 O último algarismo a permanecer fica inalterado. 4,76|201 → 4,76 > 5 Aumenta-se de uma unidade o algarismo a permanecer. 3,77|620 → 3,78 = 5 (i) Se ao 5 seguir em qualquer casa um algarismo diferente de zero, aumenta-se uma unidade no algarismo a permanecer. 5,75|504 → 5,76 (ii) Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só seguirem zeros, o último algarismo a ser conservado só será aumentado de uma unidade se for ímpar. 2,14|500 → 2,14 2,11|500 → 2,12 As grandezas e as medidas povoam nosso dia-a-dia, tornando-se cada vez mais variadas e complexas, porém, toda medida resulta de um esforço do homem para compreender e interpretar a natureza. Fomos nós, seres humanos, que criamos as grandezas, os padrões, as unidades e os instrumentos de medida. Portanto, nenhuma medida é a expressão da verdade, independentemente do número de algarismos significativos que possua. Há, certamente, medidas e instrumentos mais confiáveis, processos de medição mais adequados a determinados fins; é importante distinguir uns dos outros. 38 Gostaria de mais informações sobre o conteúdo estudado? Seguem dicas de vídeo-aulas sobre o tema. Potências de Base 10 Observe,na tabela abaixo, algumas potências de base 10, seus expoentes inteiros positivos e a quantidade de zeros da potência. EXPOENTE INTEIRO POSITIVO (n) INDICAÇÃO DE 10n POTÊNCIA (RESULTADO) NÚMERO DE ZEROS DA POTÊNCIA 1 101 10 1 2 102 100 2 3 103 1.000 3 4 104 10.000 4 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ N 10n 100...0 n Agora observe, nesta outra tabela, algumas potências de base 10, seus expoentes inteiros negativos e a quantidade de algarismos à direita da vírgula. EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO (n) INDICAÇÃO DE 10n POTÊNCIA (RESULTADO) NÚMERO DE ALGARISMOS À DIREITA DA VÍRGULA -1 10-1 0,1 1 -2 10-2 0,01 2 -3 10-3 0,001 3 -4 10-4 0,0001 4 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ n 10n 0,00...1 N Dicas de vídeos sobre o assunto desta aula: Grandezas Físicas e Unidades de Medidas: https://www.youtube.com/watch?v=LZPiq8RK9j0 Múltiplos e Submúltiplos das Unidades de Medidas: https://www.youtube.com/watch?v=lQfZ_aSJ7xU n zeros n algarismos 39 A observação feita a partir dessas tabelas vai auxiliá-lo a escrever potências de base 10 na representação decimal e vice-versa. Por exemplo: a) 1.000.000.000.000 = 1012 b) 10-8 = 0,00000001 O uso das potências de base 10 é tão difundido nas Ciências Exatas, que alguns múltiplos e submúltiplos decimais recebem denominações especiais, conforme apresentamos no item abaixo. 3.5.1 Prefixos das Potências de Base 10 É comum utilizar prefixos para expressar números escritos em potência de 10, como, por exemplo, uma massa de 3.000 g, que pode ser expresso em potência de 10 como 3 × 103 g ou utilizando prefixo como 3 kg, em que o prefixo quilo (k) equivale a 103. Abaixo é apresentada uma tabela com a relação dos principais prefixos. NOME SÍMBOLO POTÊNCIA DE BASE DEZ exa E 1018 peta P 1015 tera T 1012 giga G 109 mega M 106 quilo k 103 hecto h 102 deca da 101 100 deci d 10-1 centi c 10-2 mili m 10-3 micro μ 10-6 nano n 10-9 pico p 10-12 femto f 10-15 atto a 10-18 12 zeros 8 algarismos 40 Notação Científica Se nos disserem que o raio do átomo de hidrogênio é igual a 0,000.000.005 cm ou que uma dada célula tem cerca de 2.000.000.000.000 de átomos dificilmente assimilaremos essas ideias, pois nossos sentidos não estão acostumados a perceber esses números. Eles estão fora do nosso quadro de referências. Dada a abrangência da Física atual micro-macro cosmo, é importante compreender números nessas ordens. A notação científica, ou seja, a escrita de um número com o auxílio de potências de base 10, é um recurso comum para a representação simplificada de números muito grandes ou muito pequenos, tendo em vista a facilidade de operar com esses números ante a seus equivalentes numéricos. Na utilização dos computadores ou máquinas de calcular, por exemplo, a notação científica tem uso regular, tornando os cálculos mais rápidos devido às propriedades da potenciação. Um número escrito em notação científica segue a seguinte configuração: m · 10e Onde: • m é denominado mantissa e corresponde a um valor numérico 1 ≤ m < 10. • e, dado sob a forma de expoente, é denominado ordem de grandeza. Vejamos alguns exemplos e sua resolução: a) 230.000.000 = 2,3 × 108 A vírgula se “deslocou” em 8 casas para a esquerda; o expoente da base 10 indica o deslocamento da vírgula e seu sinal é positivo. b) 0,000 000 000 000 148 = 1,48 × 10-13 A vírgula se “deslocou” em 13 casas para a direita; o expoente da base 10 é igual ao deslocamento da vírgula e seu sinal é negativo. c) 0,06289 = 6,289 × 10-2 A vírgula se “deslocou” em 2 casas para a direita; o expoente da base 10 é igual ao deslocamento da vírgula e seu sinal é negativo. 41 d) 795.000.000.000.000 = 7,95 × 1014 A vírgula se “deslocou” em 14 casas para esquerda; o expoente da base 10 é igual ao deslocamento da vírgula e seu sinal é positivo. Observe outros exemplos de números grandes e pequenos, expressos em notação científica: • 600.000 = 6 · 105 • 30.000.000 = 3 · 107 • 500.000.000.000.000 = 5 · 1014 • 7.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 = 7 · 1033 • 0,0004 = 4 · 10-4 • 0,00000001 = 1 · 10-8 • 0,0000000000000006 = 6 · 10-16 Para valores como esses, a notação científica é mais adequada, pois apresenta a vantagem de representar adequadamente a quantidade de algarismos significativos, em detrimento de seus equivalentes numéricos que trazem pouco significado prático. Pode-se até pensar que esses valores são pouco relevantes e de uso quase inexistente na vida cotidiana. Porém, em áreas como Física, Química e Engenharias de um modo geral, esses valores são frequentes. Também na área de Economia, ao se fazer referência a um valor monetário, em bilhões de dólares, por exemplo, é comum o uso da notação científica. Ordem de Grandeza Muitas vezes, ao trabalharmos com grandezas físicas, apenas algumas casas decimais são relevantes, devido a imprecisões nos aparelhos de medida. Nesses casos é suficiente conhecer a potência de 10 que mais se aproxima do seu valor. Essa potência é denominada ordem de grandeza da medida. Ordem de grandeza de um número é uma estimativa de potência de base 10 mais próxima deste número. Para determinação da ordem de grandeza de um número usaremos a fronteira numérica de 16,310 ≅ . Observe os exemplos. Qual a ordem de grandeza das seguintes medidas? 42 • 3 × 10-3 m → 3 < 3,16 , logo a ordem de grandeza é 10-3. • 4 × 102 m → 4 > 3,16 , logo a ordem de grandeza é 103. • 7 × 10-6 m → 7 > 3,16 , logo a ordem de grandeza é 10-5. • 0,00022 = 2,2 × 10-4 → 2,2 < 3,16, logo a ordem de grandeza é 10-4. • 174.500.000 = 1,745 × 108 → 1,745 < 3,16, logo a ordem de grandeza é 108. Não devemos nos preocupar em estabelecer critérios rigorosos para determinar a potência de base 10 mais próxima do número, pois o conceito de ordem de grandeza, por sua própria natureza, é uma avaliação aproximada, na qual não cabe nenhuma preocupação com rigor matemático. Por essa mesma razão, quando o número estiver aproximadamente no meio, entre duas potências de 10, será indiferente escolher uma ou outra para representar a ordem de grandeza daquele número. (MÁXIMO; ALVARENGA, 1992, p. 11.) 43 Atividades de Aprendizagem Exercícios Teóricos E01. Calcule quantos metros estão contidos em: a) 108 km b) 103 cm c) 10-2 mm E02. Transforme em quilômetros: a) 3600 m b) 2.160.000 cm c) 0,03 m d) 5.780 dm e) 27.600 m f) 5.800 mm E03. A espessura de uma folha de papel é de 0,05 mm. Seiscentas mil folhas iguais a essa foram empilhadas até atingirem uma altura h. Determine o valor de h em metros. E04. Sabendo que a distância entre a Terra e a Lua é de 384.000 km, aproximadamente, e que entre a Terra e o Sol é de 150.000.000 km, aproximadamente, quantas vezes a primeira distância está contida na segunda? E05. Calcule quantos gramas estão contidos em: a) 75 kg b) 0,8 mg c) 10-5 kg E06. Sabendo que 1 tonelada (1 t) equivale a 1.000 quilogramas (103 kg), determine o número de pessoas de 50 kg e o de 80 kg que podem viajar juntas em um bondinho do tipo teleférico, que transporta no máximo 60 pessoas ou 4,2 t. E07. Calcule o número de segundos de: a) 1 minuto b) 1 hora c) 1 dia d) 1 mês de 30dias E08. Qual é a duração de um espetáculo teatral que se inicia às 19h20min10s e termina às 22h12min15s? E09. Podemos considerar o átomo de hidrogênio como uma esfera com diâmetro de 10-10 m. Admitindo que pudéssemos enfileirar esses átomos, quantos seriam necessários para cobrir a distância de 1 mm? E10. No século III a.C., Erastótenes, astrônomo egípcio, determinou o valor do raio da Terra com grande precisão: 6.370 km. Escreva esse número em metros, fazendo uso de notação científica. 44 E11. Um fumante consome por dia vinte cigarros de 100 mm. Imagine que fosse possível enfileirar os cigarros que esse fumante consome num período de dez anos. Qual seria, em metros, o comprimento dessa fila? E12. Uma dona de casa curiosa teve a ideia de descobrir a massa de um grão de feijão. Utilizando uma balança descobriu que a massa de 1.000 grãos era de 0,57 kg. Determine a massa, aproximada, de um único grão, em miligramas. E13. Um analgésico deve ser ingerido na quantidade de 3 mg/kg de massa corporal, mas a dose administrada não pode exceder 200 mg. Cada gota contém 5 mg do remédio. Quantas gotas devem ser prescritas a um paciente de 80 kg? E14. No estádio do Morumbi 120.000 torcedores assistem a um jogo. Através de cada uma das 6 saídas disponíveis podem passar 1.000 pessoas por minuto. Qual o tempo mínimo necessário para esvaziar o estádio? --------- E18. Escreva os expoentes das potências de 10 conforme a indicação abaixo: a) 23.856 = 23,856 × 10_____ b) 23.856 = 2385,6 × 10_____ c) 23.856 = 238,56 × 10_____ d) 23.856 = 2,3856 × 10_____ E19. Coloque a vírgula nos números abaixo conforme a indicação das potências de 10, para que a igualdade seja válida: a) 7,82 × 103 = 78200 × 102 b) 7,82 × 103 = 78200 × 101 c) 7,82 × 103 = 78200 ×104 d) 7,82 × 103 = 78200 × 10-1 E20. Escreva os números abaixo em notação científica: a) 529 = __________________ b) 7.843 = _________________ c) 5.971.432 = ______________ d) 73 = ______________ e) 0,7 = ______________ f) 0,52 = ______________ g) 0,278 = _________________ h) 0,05697 = _______________ i) 749 × 107 = ______________ j) 59,47 × 10-9 = ____________ k) 0,38 × 104 = ____________ l) 0,7159 × 10-12 = _________ E21. Descubra a potência de base 10 que deve ser colocada no lugar de � para que se tenha: a) 56,754 · � = 567.540 c) � · 23 = 0,000023 b) 0,003 · � = 30 d) � · 4,5 = 0,00045 45 E22. Resolva as expressões, apresentando os resultados em notação científica: a) = ⋅ ⋅ − 2,110 106,3 2 4 b) = ⋅ ⋅ − − 7,010 101,2 3 2 E23. Diga, em cada caso, a quantidade de algarismos significativos: a) 1,324 × 104 b) 0,324 × 105 c) 1200 × 10-2 d) 0,000424 × 105 E24. Efetue as operações abaixo e responda utilizando os algarismos significativos na resposta: Lembre-se de que a resposta não pode ter mais algarismos significativos do que a menor quantidade de algarismos significativos dos números envolvidos nas operações. a) (0,07⋅10-3) × (7⋅10-5) = b) = ⋅ ⋅ − 5 3 1003,0 109 c) (0,6⋅10-3) + (4⋅10-5) = d) (1,09⋅10-3) − (87⋅10-5) = E25. Indique a ordem de grandeza em cada um dos itens abaixo: a) 1,324 × 104 b) 0,324 × 105 c) 1200 × 10-2 d) 0,000424 × 105 E26. Uma partida normal de futebol é disputada em 90 min. O estádio do Morumbi, em São Paulo, já recebeu cerca de 30 milhões de torcedores desde sua abertura, em 1960. A média de torcedores por partida é de aproximadamente 28 mil. Então, qual é a ordem de grandeza do total de minutos de futebol já jogados no Morumbi? E27. Em um hotel com 200 apartamentos, o consumo médio de água por apartamento é de 100 litros por dia. Qual a ordem de grandeza do volume que deve ter o reservatório do hotel, em metros cúbicos, para abastecer todos os apartamentos durante um dia? ------ Respostas dos Exercícios Teóricos: E01. a) 108.000 m b) 10 m c) 10-5 m E02. a) 3,6 km b) 21,6 km c) 3,0 ⋅ 10-5 km d) 0,578 km e) 27,6 km f) 5,8 ⋅ 10-3 km E03. 30 m E04. 390,625 vezes 46 E05. a) 7,5 ⋅ 104 g b) 8,0 ⋅ 10-4 g c) 10-2 g E06. 40 pessoas de 80 kg e 20 pessoas de 50 kg. E07. a) 60 s b) 3.600 s c) 8,64 ⋅ 104 s d) 2,592 ⋅ 106 s E08. 2h 52min 5s E09. 107 átomos E10. 6,37 ⋅ 106 m E11. 7.300 m E12. 570 mg E13. 40 gotas E14. 20 min E15. a) F b) F c) V d) V e) F f) V E16. a) -8 b) 1 c) 500 d) 1 e) 0 f) 3/4 g) 1/5 h) 1/8 i) 81 j) 1/8 k) 1/225 l) 1 m) 0 n) 2 o) 9/4 p) 64/125 E17. 79/8 E18. a) 3 b) 1 c) 2 d) 4 E19. a) 78,2 × 102 b) 782,0 × 101 c) 0,782 × 104 d) 78200, × 10-1 E20. a) 5,29 × 102 b) 7,843 × 103 c) 5,971432 × 106 d) 7,3 × 10 e) 7 × 10-1 f) 5,2 × 10-1 g) 2,78 × 10-1 h) 5,697 × 10-2 i) 7,49 × 109 j) 5,947 × 10-8 k) 3,8 × 103 l) 7,159 × 10-13 E21. a) 104 b) 104 c) 10-6 d) 10-4 E22. a) 3 × 106 b) 3 × 10 E23. a) 4 b) 3 c) 2 d) 3 E24. a) 5 × 10-9 b) 3 × 1010 c) 6 × 10-4 d) 2,2 × 10-4 E25. a) 104 b) 105 c) 10-1 d) 102 E26. 105 E27. 101 E28. a) 52− b) 5 36 c) 22315 + d) 3 538 +− e) 335 5 + 47 f) 2410 − E29. a) 55 b) 26 c) 34− d) 711 e) 26 f) 313 Testes: T01. Um caminhão consegue transportar 3,9 toneladas de carga. Sabendo que uma laranja pesa 130 gramas, quantas laranjas o caminhão pode carregar? a) 30 b) 300 c) 3.000 d) 30.000 e) 300.000 T02. Em uma área disponível em formato retangular, de 3 metros por 4 metros, eu pretendo cavar uma cisterna para guardar 15.000 litros de água. A qual profundidade, em centímetros, eu devo cavar? a) 1,25 cm b) 12,5 cm c) 125 cm d) 1.250 cm e) 12.500 cm T03. Um aquário tem o formato de um paralelepípedo retangular, de largura 50 cm, comprimento 32 cm e altura 25 cm. Para encher 3/4 dele com água, quantos litros de água serão usados? a) 0,03 b) 0,3 c) 3 d) 30 e) 300 T04. Em uma enchente, um jornalista viu uma menina com uma lata de refrigerante de 350 ml. Perguntando à menina o que ela estava fazendo, ela respondeu que estava tirando a água para secar a enchente. Sabendo que o volume da enchente era de 70.000 m3, quantas viagens a menina teria que fazer para secar toda a água? a) 2⋅102 b) 2⋅104 c) 2⋅106 d) 2⋅108 e) 2⋅1010 T05. Muitos remédios são tomados em doses menores que o mg. Um comprimido de certo remédio tem 0,025 mg de uma certa substância. Com 1 kg desta substância, quantos comprimidos podem ser feitos? 48 a) < 1 b) 40 c) 40.000 d) 40.000.000 e) 400 T06. Uma sala tem o formato aproximado de dois paralelepípedos grudados. Um destes tem largura de 4 metros e comprimento de 3 metros, e o outro tem largura e comprimento iguais, de 2 metros. A altura da sala é de 2,5 metros. Eu quero comprar um ar condicionado para resfriar esta sala, e cada ar condicionado indica o volume, em litros, que ele consegue refrigerar. Então, é preciso comprar o menor ar condicionado, dentre aqueles que tem capacidade de resfriar esta sala. Das opções abaixo, qual é a mais indicada? a) 10.000 l b) 20.000 l c) 50.000 l d) 70.000 l e) 100.000 l T07. Fui colocar gasolina no meu carro, que estava com o tanque pela metade. Coloquei 35 litros e enchi o tanque. Qual é a capacidade do tanque em m3? a) 0,07 m3 b) 17,5 m3 c) 70 m3
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