Aula 2 - Vetores e Equilíbrio de um ponto material

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Resistência dos Materiais
Prof. Antonio Dias
Antonio Dias / Cap.2 1
Objetivos
• Mostrar como somar forças e decompô-las em componentes usando a lei 
do paralelogramo.
• Expressar a força e sua localização na forma vetorial cartesiana e explicar 
como determinar a intensidade e a direção dos vetores.
Antonio Dias / Cap.2 2
2.1 Escalares e Vetores
Antonio Dias / Cap.2 2-3
Figura 2.1
Escalar É uma quantidade caracterizada por um número positivo ou negativo.
Exemplos: massa, comprimento e volume.
Vetor  É uma quantidade que tem intensidade (módulo) , direção e sentido.
Exemplos: posição, força e momento.
2.2 Operações Vetoriais
Antonio Dias / Cap.2 2-4
Figura 2.2
Multiplicação e divisão de um vetor por um 
escalar
Antonio Dias / Cap.2 2-5
Figura 2.3
Adição Vetorial
Antonio Dias / Cap.2 2-6
Figura 2.4
Adição Vetorial
Antonio Dias / Cap.2 2-7
Figura 2.5
Subtração Vetorial
Antonio Dias / Cap.2 2-8
Figura 2.6
R’= A – B = A + (– B)
Decomposição de Vetores
Antonio Dias / Cap.2 2-9
Figura 2.7
2.3 Adição de Forças Vetoriais
Antonio Dias / Cap.2 2-10
2.3 Adição de Forças Vetoriais
Antonio Dias / Cap.2 2-11
Figura 2.8
2-12
Figura 2.9
 Direção da força resultante
 Intensidade da força resultante
Antonio Dias / Cap.2
Exemplo 2.1: O parafuso tipo gancho da figura está sujeito a 
duas forças F1 e F2. Determine a intensidade 
(módulo) e a direção da força resultante. 
2-13
Figura 2.10
Antonio Dias / Cap.2
2.4 Adição de um Sistema de Forças 
Coplanares
Antonio Dias / Cap.2 2-14
Figura 2.14
F = Fx + Fy F’ = F’x + F’y
Notação Escalar
2.4 Adição de um Sistema de Forças 
Coplanares
Antonio Dias / Cap.2 2-15
Figura 2.15
Notação de Vetor Cartesiano
F = Fxi + Fyj F’ = F’xi - F’yj
Figura 2.16
Notação vetorial cartesiana: F1 = F1xi + F1yj
F2 = -F2xi + F2yj
F3 = F3xi – F3yj
Resultantes de Forças Coplanares
Antonio Dias / Cap.2 2-16
Figura 2.16
Vetor resultante:
FR = F1 + F2 + F3
FR = (F1x – F2x + F3x) i + (F1y + F2y – F3y) j
FR = (FRx) i + (FRy) j
2-17Antonio Dias / Cap.2
Resultantes de Forças Coplanares
FRx = SFx
FRy = SFy
 Intensidade da força resultante
 Direção da força resultante
22
RyRxR FFF 
Rx
Ry
F
F
tg 1
2-18Antonio Dias / Cap.2
2-19Antonio Dias / Cap.2
Exemplo 2.5: Determine os componentes x e y de F1 e F2 que 
atuam sobre a lança mostrada na figura abaixo. 
Expresse cada força como vetor 
cartesiano.
2-20Antonio Dias / Cap.2
2.5 Vetores Cartesianos
Antonio Dias / Cap.2 2-21
Figura 2.20
Componentes Retangulares de um Vetor
Antonio Dias / Cap.2 2-22
Figura 2.21
A = Ax + Ay + Az
Vetor Unitário
Antonio Dias / Cap.2 2-23
Figura 2.22
A = AuA
uA = A / A
Vetores Cartesianos Unitários
Antonio Dias / Cap.2 2-24
Figura 2.23
Representação de um Vetor Cartesiano
Antonio Dias / Cap.2 2-25
Figura 2.24
A = Axi + Ayj + Azk
Intensidade de um Vetor Cartesiano
Antonio Dias / Cap.2 2-26
Figura 2.25
22'
zAAA 
22'
yx AAA 
222
zyx AAAA 
Direção de um Vetor Cartesiano
Antonio Dias / Cap.2 2-27Figura 2.26
Ângulos diretores coordenados:
 (alfa)
b (beta)
g (gama)
Ângulos medidos entre a origem 
de A e os eixos positivos x, y, z.
A
Axcos
A
Ay
bcos
A
Azgcos
2-28Antonio Dias / Cap.2
2-29
k
A
A
j
A
A
i
A
A
A
A
u z
yx
A 
222
zyx AAAA 
kjiA )cos()cos()cos( gb AAA 
1coscoscos 222  gb
Antonio Dias / Cap.2
2.6 Adição e Subtração de Vetores 
Cartesianos
Antonio Dias / Cap.2 2-30
Figura 2.28
R = A + B = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j + (Az + Bz)k
2-31Antonio Dias / Cap.2
2-32
Figura 2.29
Exemplo 2.8: Expresse a força F como um vetor cartesiano.
Antonio Dias / Cap.2
2-33
Figura 2.30
Exemplo 2.9: Determine a intensidade e os ângulos diretores 
coordenados da força resultante que atua sobre o anel. 
Antonio Dias / Cap.2
Exemplo 2.11: Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na 
figura abaixo. Especifique os ângulos diretores coordenados de F2, 
de modo que a força resultante FR atue ao longo do eixo positivo y 
e tenha intensidade de 800 N.
2-34
Figura 2.32
Antonio Dias / Cap.2
2.7 Vetores Posição
Antonio Dias / Cap.2 2-35
Figura 2.33
Vetor Posição: É um vetor fixo que localiza um ponto do 
espaço em relação a outro.
2-36
Figura 2.34
r = xi + yj + zk
Antonio Dias / Cap.2
2-37
Figura 2.35
rA + r = rB
r = rB – rA = (xBi + yBj + zBk) - (xAi + yAj + zAk) 
r = (xB – xA)i + (yB – yA)j + (zB – zA)k 
Antonio Dias / Cap.2
2-38Antonio Dias / Cap.2
Exemplo 2.12: Uma fita elástico está presa aos pontos A e B 
como mostra a figura 2.36a. Determine seu comprimento e sua 
direção, medidos de A para B.
2-39
Figura 2.36
Antonio Dias / Cap.2
2.8 Vetor Força orientado ao longo de uma 
reta
Antonio Dias / Cap.2 2-40
Figura 2.37









r
r
FuFF
A força F é orientada ao longo da 
corda AB.
Pode-se definir F como um vetor 
cartesiano pressupondo que ele 
tenha a mesma direção e sentido que 
o vetor posição r orientado do ponto 
A para o ponto B da corda.
2-41
A força F que atua ao longo da corrente pode ser representada como um vetor cartesiano 
definindo-se primeiro os eixos x, y, z, formando-se um vetor posição r ao longo do 
comprimento da corrente e determinando-se depois o vetor unitário u = r/r 
correspondente que define a direção tanto da corrente quanto da força. A intensidade da 
força é combinada com sua direção, F = Fu.
Antonio Dias / Cap.2
Exemplo 2.13: O homem mostrado na figura puxa a corda com 
uma força de 70 lb. Represente essa força, que atua sobre o suporte 
A, como vetor cartesiano e determine sua direção.
2-42
Figura 2.38
Antonio Dias / Cap.2
2-43
Exemplo 2.15: A cobertura é suportada por cabos, como 
mostrado na foto. Se os cabos exercerem as forças FAB = 100 N e 
FAC = 120 N no gancho em A, como mostrado na figura 2.40a, 
determine a intensidade da força resultante que atua em A.
Figura 2.40
Antonio Dias / Cap.2
2-44
Figura 2.40
Antonio Dias / Cap.2