Lista de Exercícios Aula 06 - Função Composta e Função Inversa

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LISTA DE EXERCÍCIOS DA AULA 06
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/funcoes/funcoes-a.htm 
Dados os conjuntos A={a,b,c} e B={1,2,3,4}, podemos construir a relação R em A×B que está apresentada no gráfico.
Qual resposta mostra a relação R de forma explicita?
a. R={(a,1),(b,3),(c,4),(a,3)}
b. R={(1,a),(4,a),(3,b),(c,2)}
c. R={(a,1),(b,3),(c,2)}
d. R={(a,1),(a,4),(b,3),(c,2)}
2. Com a mesma relação R do exercício anterior, qual das alternativas é a relação inversa R-1?
R-1={(a,1),(a,4),(b,3),(c,2)}
R-1={(1,a),(4,a),(3,b),(2,c)}
R-1={(4,a),(2,c),(3,b)}
R-1={(1,a),(2,c)}
3. Sejam os conjuntos A={a,b,c,d,e} e B={2,4,6,8,10} e a relação R, mostrada no gráfico.
Quais são as formas explícitas da relação R e da relação inversa R-1?
Resp:
Sejam os conjuntos A={1,2,3} e B={1,3,4,5} de números reais e a relação definida por R={(x,y)A×B: y=2x-1}. 
Qual dos gráficos cartesianos abaixo, representa a relação R?
Resp: aParte superior do formulário
Parte inferior do formulário
Sejam os conjuntos A={1,3,4,5} e B={0,6,12,20} e a relação R={(x,y) em A×B: y=x(x-1)} definida sobre A×B. Escrever R de uma forma explicita.
Forma explícita: R={(1,0),(3,6),(4,12),(5,20)}
Seja A={1,2,3,5,7}. Analisar o gráfico cartesiano da relação R em A×A e responder às questões pertinentes a esta relação.
Qual das alternativas abaixo é verdadeira?
(2,3)R, (5,1)R, (7,7)R
(1,1)R, (3,5)R, (5,1)R
(1,1)R, (5,5)R, (3,5)R
(2,3)R, (3,5)R, (7,7)R
Para a relação R={(1,1),(2,3),(3,5),(5,1),(7,7)} definida sobre o conjunto A={1,2,3,5,7}, responda qual das alternativas abaixo representa o contradomínio da relação R. (Dica: Ver o gráfico do Exercício 6)
a. CoDom(R)={1,2,3,5,7}
b. CoDom(R)={1,3,5,7}
c. CoDom(R)=R
d. CoDom(R)={3,5,7}
Seja a relação R={(1,1),(2,3),(3,5),(5,1),(7,7)} def. sobre A={1,2,3,5,7}. Qual alternativa representa o domínio de R. (Dica: Ver o gráfico do Exercício 6)
a. Dom(R)=R
b. Dom(R)={2,5,7}
c. Dom(R)={1,2,7}
d. Dom(R)={1,2,3,5,7}
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Parte inferior do formulário
Para a relação R={(1,1),(2,3),(3,7),(5,1),(7,7)} def. sobre A={1,2,3,5,7}, qual das alternativas representa a imagem de R. (Dica: Ver o gráfico do Exercício 6)
a. Im(R)={1,2,3,5,7}
b. Im(R)={1,3,5,7}
c. Im(R)={1,3,5}
d. Im(R)=R
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Parte inferior do formulário
Sejam A={2,4,6,8}, B={1,3,5,7} e a relação R em A×B apresentada pelo seu gráfico cartesiano.
Identifique se cada afirmação é V (verdadeira) ou F (falsa).
a. (2,1) pertence à relação R.
b. (3,2) pertence à relação R.
c. (4,3) pertence à relação R.
d. (5,6) pertence à relação R.
e. (8,7) pertence à relação R.
V F V F V
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Usando as informações do exercício anterior, apresente o contradomínio da relação R e a inversa da relação R, denotada por R-1.
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Neste trabalho, o conjunto dos números naturais será denotado por N={1,2,3,4,5,6,7,...}.
Resp: 
Seja a relação R={(x,y)N×N: 2x+y=8}. Qual dos ítens representa o domínio da relação R?
a. {8} b. N c. {1,2,3} d. {2,4,6}
Parte superior do formulário
Parte inferior do formulário
Seja a relação R={(x,y) em N×N: 2x+y=8}. Qual das respostas abaixo representa o contradomínio de R?
a. {1,3,5,7} 
b. {0,1,2,3,4,5,6,7} 
c. {0,2,4,6} 
d. N
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Parte inferior do formulário
Seja a relação R={(x,y) em N×N: 2x+y=8}. Qual das alternativas abaixo representa a imagem de R?
a. {1,3,5,7} b. {2,4,6} c. Ø d. N
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Parte inferior do formulário
Seja a relação R={(x,y) em N×N: 2x+y=8}. A relação inversa denotada por R-1 está indicada em qual das alternativas?
a. {(6,1),(4,2),(2,3)}
b. Ø
c. {(1,6),(2,4),(3,2)}
d. N
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Relações reflexivas, simétricas, transitivas e anti-simétricas
Seja A={1,3,8} e as relações abaixo, definidas sobre A. Quais das alternativas indicam a ocorrência da propriedade reflexiva?
a. R1={(1,1),(1,3),(3,3),(3,1),(8,1)}
b. R2={(1,1),(3,1),(1,8),(3,3),(8,8)}
c. R3={(3,1),(3,3),(5,8),(1,1),(8,8)}
d. R4={(8,8),(3,3),(1,8),(3,1),(1,1)}
e. R5={(8,8),(3,3)}
Resp: 
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Dadas as relações definidas sobre C={1,3,5}, qual delas alternativas mostra uma relação simétrica?
a. R1={(1,3),(5,3),(5,5),(3,5)}
b. R2={(1,3),(3,1),(5,5),(1,5)}
c. R3={(3,1),(3,3),(5,5),(5,1)}
d. R4={(1,1),(3,3),(5,5)}
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A relação R={(1,3),(3,3),(2,4),(3,1),(2,3),(3,2)} def. sobre A={1,2,3,4,5} é simétrica?
Resp: Não, pois (2,4) pertence a R , mas (4, 2) não pertence a R.
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Sejam as relações definidas nos conjuntos indicados. Qual delas é uma relação transitiva?
a. Ra={(2,6),(6,8),(8,2)},conjunto A={2,6,8}.
b. Rb={(1,3),(3,4),(1,2)},conjunto B={1,2,3,4}.
c. Rc={(1,3),(3,5),(1,5)},conjunto C={1,3,5}.
d. Rd={(1,2),(2,3),(3,2)},conjunto D={1,2,3}.
Resp:
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Dado o conjunto A={1,3,8} e as relações sobre A listadas abaixo, indique qual alternativa mostra uma relação anti-simétrica. Justifique porque as outras relações não são anti-simétricas.
a. R1={(1,3),(3,1),(8,1)}
b. R2={(1,8),(8,8),(1,3),(8,1)}
c. R3={(3,3),(1,8),(8,8),(8,1)}
d. R4={(8,8),(1,3),(8,1),(1,1)}
REsp: 
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Definição de função
Quais dos diagramas abaixo se encaixa na definição de função de A em B, onde A={a,b,c} e B={1,2,3}.
Resp: b
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Quais dos diagramas abaixo não representa uma função de A em B, onde A={a,b,c} e B={1,2,3}.
Resp: b
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Dada a função real f(x)=2x+3 definida sobre o conjunto A={1,2,3,4}, apresente o conjunto de todos os pares ordenados pertencentes à função f.
Na função f(x)=2x+3, substituir cada um dos elementos de A no lugar de x, para obter:
f(1)=2×1+3=5
f(2)=2×2+3=7
f(3)=2×3+3=9
f(4)=2×4+3=11
e depois montar o conjunto dos pares ordenados para os elementos da função: f={(1,5),(2,7),(3,9),(4,11)}
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Se esta janela não fechar com o botão acima, feche-a com o botão [X] localizado no canto superior direito da mesma.
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Dada a função f:RR definida por:
determinar: f(0), f(-4), f(2) e f(10).
Como 0<2, então f(0)=2×0-7=-7.
Como -4<2, então f(-4)=2×(-4)-7=-15.
Como 2>2, então f(2)=3.
Como 10>2, então f(10)=3.
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Qual conjunto é formado pelos valores f(0), f(-3), f(2) e f(10), se a função de R×R está definida por f(x)=x²-4x+7?
a. {67,3,4,7}
b. {0,-3,2,10}
c. {7,28,3,67}
d. {10,2,-3,0}
f(0)=0²-4×0+7=7
f(-3)=(-3)²-4×(-3)+7=28
f(2)=2²-4×2+7=3
f(10)=10²-4×10+7=67
Alternativa correta: c
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Calcular os valores: f(3), f(1), f(0) e f(-10), para a função real f=f(x) definida por:
Como 3>2, então f(x)=x+3, logo:
f(3)=3+3=6.
Como x=1 está entre -2 e 2, segue que f(x)=x²+x-4, assim
f(1)=1²+1-4=-2
Como 0 está entre -2 e 2, temos que f(x)= x²+x-4, logo
f(0)=0²+0-4=-4
Como -10<-2, f(x)=2x-4 e segue que
f(-10)=2.(-10)-4=-24
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Zeros de funções
Por definição, zero de uma função é o ponto do domínio de f onde a função se anula. Dadas as quatro funções:
f(x)=3x-8,   g(x)=2x+6,   h(x)=x-1  e  i(x)=15x-30
qual dos conjuntos contém os zeros de todas as funções.
a. {-8,2,-1,-30}
b. {8/3,-3,1,2}
c. {-8/3,2,-1,-2}
d. {2,8/3,3,30}
Para obter o zero da função igualamos a função aovalor zero.
Como f(x)=3x-8 e 3x-8=0 então x=8/3.
Para g(x)=2x+6, segue que 2x+6=0 logo x=-3.
h(x)=x-1, assim x-1=0 e temos x=1.
i(x)=15x-30, 15x-30=0 portanto x=2.
A alternativa correta é a (b).
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Se uma função do primeiro grau é da forma f(x)=ax+b tal que b=-11 e f(3)=7, obtenha o valor da constante a.
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Usando f(x)=ax+b e sabendo-se que f(-2)=8 e f(-1)=2, obter os valores de a e b.
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Obter a função f(x)=ax+b tal que f(-3)=9 e f(5)=-7. Obtenha f(1) e o zero desta função.
Com x=-3 na função f(x)=ax+b, obtemos f(-3)=a(-3)+b=9.
Com x=5 na função f(x)=ax+b, obtemos f(5)=5a+b=-7.
Obtemos o sistema com duas equações
-3a + b = 9   e   5a + b = -7
Resolvendo o sistema, obtemos a=-2 e b=3 e a função toma a forma: f(x)=-2x+3
Substituindo x=1 na função acima, obtemos f(1)=1. O zero desta função é obtido quando f(x)=0, assim -2x+3=0, de onde segue que x=3/2.
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Parte inferior do formulário
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Para a função real definida por f(x)=x²+2x-3, obtenha: f-1(5), f-1(0), f-1(-3) e f-1(x+3)
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Para a função real f(x)=2x+4, qual é o conjunto f-1(8)?
Resp: A imagem inversa de 8 = {2}
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Dada a função real f(x)=-x²+6x+3, determinar o conjunto f-1(8)?
Resp: A imagem inversa de 8 = {1,5}
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Dada a função real f3(x)=x³, qual é o conjunto f-1(8)?
Resp: A imagem inversa de 8 = {2}
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Uma sequência real é uma função real cujo domínio é o conjunto dos números naturais. Seja a sequência real definida por:
cujo gráfico é dado por
Obter os valores de f(2), f(3), f(5), f-1(8) e f-1(3/2)
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Qual dos gráficos representa uma função sobrejetora?
Resp: a
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Qual dos gráficos representa uma função injetora?
Resp: a
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Seja a função f definida sobre o conjunto A={x,y,z} com imagem em B={1,2,3}. Qual das alternativas contém os pares ordenados (x,y) de elementos em A×B que representam uma função bijetora (injetora e sobrejetora).
a. {(x,3),(y,1),(z,2)}
b. {(x,1),(y,2),(x,3),(z,1)}
c. {(y,2),(x,2),(z,3)}
d. {(x,1),(y,3),(z,2),(z,1)}
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Ao analisar a função real f definida por f(x)=x²+4x-12, podemos afirmar que f é injetora? Justifique a resposta.
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Quais das funções são sobrejetoras?
a. f(x)=-x+3
b. f(x)=3
c. f(x)=x³-1
d. f(x)=-x²-1
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Funções Compostas
Se f(x)=3x-5, g(x)=x²+2x-3 e (gof)(x)=g(f(x)), obter (fog)(2), (gof)(-3), (gof)(x) e (fog)(x).
Obs: gof significa função composta de g e f.
(a) (fog)(2)=f(g(2))=f(2²+2×2-3)=f(5)=10
(b) (gof)(-3)=g(f(-3))=g(3(-3)-5)=g(-14)=165
(c) (gof)(x)=g(f(x))=g(3x-5)=(3x-5)²+2(3x-5)-3=9x²-24x+12
(d) (fog)(x)=f(g(x))=f(x²+2x-3)=3(x²+2x-3)-5=3x²+6x-14
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Parte inferior do formulário
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Sejam as funções reais definidas por g(x)= 3x-2 e
Obter (gof)(1), (fog)(3), (fof)(2) e (gog)(-4).
(a) (gof)(1)=g(f(1))=g(1+2)=g(3)=3(3)-2=7
(b) (fog)(3)=f(g(3))=f(3(3)-2)=f(7)=7²-3(7)=28
(c) (fof)(2)=f(f(2))=f(2²-3(2))=f(-2)=-2+2=0
(d) (gog)(-4)=g(g(-4))=g(3(-4)-2)=g(-14)=3(-14)-2=-44
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Se esta janela não fechar com o botão acima, feche-a com o botão [X] localizado no canto superior direito da mesma.
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Dadas as funções f:AB e g:BC pelo diagrama
obter a função composta gof:AC.
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Sobre o conjunto A={a,b,c,d}, definimos as funções
f={(a,d),(b,c),(c,b),(d,a)}
g={(a,b),(b,c),(c,d),(d,d)}
Determinar as compostas gof e fog.
(gof)(a)=g(f(a))=g(d)=d, (gof)(b)=g(f(b))=g(c)=d
(gof)(c)=g(f(c))=g(b)=c, (gof)(d)=g(f(d))=g(a)=b
Função: (gof)={(a,d),(b,d),(c,c),(d,b)}
(fog)(a)=f(g(a))=f(b)=c, (fog)(b)=f(g(b))=f(c)=b
(fog)(c)=f(g(c))=f(d)=a, (fog)(d)=f(g(d))=f(d)=a
Função: (fog)={(a,c),(b,b),(c,a),(d,a)}
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Definidas as funções f, g e h, pelo diagrama:
determinar fog, goh, hof, gog nos pontos 1, 2 e 3.
fog={f(g(1))=f(2)=2, f(g(2))=f(3)=3, f(g(3))=f(1)=1}
goh={g(h(1))=g(1)=2, g(h(2))=g(3)=1, g(h(3))=g(2)=3}
hof={h(f(1))=h(1)=1, h(f(2))=h(2)=3, h(f(3))=h(3)=2}
gog={g(g(1))=g(2)=3, g(g(2))=g(3)=1, g(g(3))=g(1)=2}
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Se esta janela não fechar com o botão acima, feche-a com o botão [X] localizado no canto superior direito da mesma.
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Dadas as funções reais f(x)=3x-1 e g(x)=x(x+2), obter gof, fog, gog e fof.
(gof)(x)=g(f(x))=g(2x-1)=(2x-1)((2x-1)+2)=4x²-1
(fog)(x)=f(g(x))=g(x(x+2))=2(x(x+2))-1=2x²+4x-1
(gog)(x)=g(g(x))=g(x(x+2))=g(x²+2x)=(x²+2x)(x²+2x+2)=x4+4x³+6x²+4x
(fof)(x)=f(f(x))=f(2x-1)=2(2x-1)-1=4x-3
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Operações com funções
Por definição (f+g)(x)=f(x)+g(x). Realizar a soma das funções f e g é o mesmo que obter os valores de f+g em todos os pontos do domínio comum a ambas as funções. Consideremos as funções reais:
f={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}
g={(1,5),(2,2),(3,3),(4,1)}
Qual alternativa mostra a função f+g?
a. {(1,7),(2,5),(6,7),(4,6)}
b. {(2,7),(4,5),(6,7),(8,6)}
c. {(1,7),(2,5),(3,7),(4,6)}
d. {(1,7),(2,5),(6,7),(8,6)}
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Por definição (f-g)(x)=f(x)-g(x). Realizar a diferença entre as funções f e g é o mesmo que obter os valores de f-g em todos os pontos do domínio comum a ambas as funções. Sejam as funções reais:
f={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}
g={(1,5),(2,2),(3,3),(4,1)}
Qual alternativa representa a função f-g?
a. {(0,-3),(0,1),(0,1),(0,4)}
b. {(1,3),(2,-1),(3,-1),(4,-4)}
c. {(1,3),(2,1),(3,-1),(4,4)}
d. {(1,-3),(2,1),(3,1),(4,4)}
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Por definição (f.g)(x)=f(x).g(x). Realizar o produto das funções f e g é o mesmo que obter os valores de f.g em todos os pontos do domínio comum a ambas as funções. Consideremos as funções reais:
f={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}
g={(1,5),(2,2),(3,3),(4,1)}
Qual alternativa representa a função f.g?
a. {(1,7),(4,6),(9,12),(16,5)}
b. {(1,10),(2,6),(3,12),(4,5)}
c. {(1,10),(4,3),(9,12),(16,5)}
d. {(1,10),(4,3),(3,12),(4,5)}
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Por definição (f/g)(x)=f(x)/g(x). Realizar a divisão entre as funções f e g é o mesmo que obter os valores de f/g em todos os pontos do domínio comum a ambas as funções. Consideremos as funções reais:
f={(1,5),(2,3),(3,9),(4,5)}
g={(1,5),(2,2),(3,3),(4,1)}
Qual alternativa representa a função f/g?
a. {(1,1),(1,3/2),(1,3),(1,5)}
b. {(1,1),(2,3/2),(3,12),(4,5)}
c. {(1,1),(4,3/2),(9,12),(16,5)}
d. {(1,1),(2,3/2),(3,3),(4,5)}
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Determinar f+g, f-g, f.g e f/g, para as funções reais:
f={(1,4),(2,5),(3,12),(4,2)}g={(1,4),(2,2),(3,3),(4,6)}
f+g={(1,8),(2,7),(3,15),(4,8)}
f-g={(1,0),(2,3),(3,9),(4,-4)}
f.g={(1,16),(2,10),(3,36),(4,12)}
f/g={(1,1),(2,5/2),(3,4),(4,1/3)}
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Gráficos de funções
Observe os gráficos e relacione os mesmos com as respectivas funções:
a. f(x)=x³-4
b. g(x)=5
c. h(x)=2x+3
d. t(x)=x²-2
Lista de exercícios de funções compostas e funções inversas
Exercício 1
Se f(x)=3x - 5, g(x)=x² + 2x -3 e (g o f)(x)=g(f(x)), obter (f o g)(2), (g o f)(-3), 
(g o f)(x) e (f o g)(x).
Exercício 2
Dadas as funções f: AB e g: BC pelo diagrama
obter a função composta (g o f):AC.
Exercício 3
Sobre o conjunto A={a,b,c,d}, definimos as funções
f= {(a, d),(b,c),(c,b),(d,a)}
g= {(a,b),(b,c),(c,d),(d,d)}
Determinar as compostas (g o f )e (f o g).
Exercício 4
Se f(x) = x3 e g(x) = x4, mostre que (f o g)(x) = (g o f )(x).
Exercício 5
Sejam e . Determine os domínios das funções 
Exercício 6
O gráfico de uma função f(x) = ax + b é uma reta que corta os eixos coordenados nos pontos (2,0) e (0,3). Calcule o valor de f(f-1(0)).
Exercício 7
O gráfico de uma função f é o segmento de reta que une os pontos (-3,4) e (3,0). Se é a função inversa de f, determine (2).
Exercício 8
Obtenha a inversa da função f : IR IR, definida por f(x) = 2x + 3
Exercício 9
Dada a função f(x) = x + 3, determine a função inversa e construa o gráfico de f e f -1.
http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html
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