10 - Constantes de Erro e Tabela Erro Estacionario e Integracao NumericaMF

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Objetivos da aula:
• Definic¸a˜o das Constantes de Erro.
• Definic¸a˜o do Tipo do Sistema.
• Ca´lculo da tabela do erro estaciona´rio.
• Exemplo de uso da tabela do erro estaciona´rio.
• Rastreamento de uma varia´vel com erro nulo a diferentes entradas.
Conceitos Ba´sicos:
• Tipo do Sistema.
• Tabela de Erro Esta´ciona´rio.
• Relac¸a˜o do tipo do sistema de L(s), ganhos dinaˆmicos e respectivos resul-
tados dos erros as entradas padronizadas.
• Ca´lculo nume´rico da implementac¸a˜o das equac¸o˜es de controle.
1
Constantes de Erro
4 de Setembro de 2019
1 Definic¸a˜o das Constantes de Erro
Vamos definir treˆs tipos de constantes de erros
constante de erro de posic¸a˜o Kp = lim
s→0
L(s)
constante de erro de velocidade Kv = lim
s→0
s · L(s)
constante de erro de acelerac¸a˜o Ka = lim
s→0
s2 · L(s)
Observe que os erros sa˜o definidos pelo ganho de malha aberta da mı´nima
realizac¸a˜o de L(s) cancelando seus polos e zeros coincidentes quando pertinente.
2 Definic¸a˜o do Tipo do Sistema (Estendida)
O tipo do sistema e´ definido como o nu´mero de po´los na origem (n) menos o
nu´mero de zeros na origem (m), ou seja n−m.
Re
Im
L(s) =
Ksm(s+ z1)(s+ z2) · · · (s+ znz )
sn(s+ p1)(s+ p2) · · · (s+ pnp)
Ou na forma padra˜o
L(s) =
Ksm(s+ z1)(s+ z2) · · · (s+ znz )
sn(s+ p1)(s+ p2) · · · (s+ pnp)
=
K0s
m(τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)
sn(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+ 1)
2
User
Realce
User
Realce
User
Realce
User
Realce
User
Realce
User
Realce
User
Realce
2.1 Transformac¸a˜o da func¸a˜o de transfereˆncia na forma
padra˜o
Obter L(s) na forma padra˜o
L(s) =
(s+ 3)(s+ 4)
(s+ 1)(s+ 2)
= K0
(τ1s+ 1)(τ2s+ 1)
(Γ1s+ 1)(Γ2s+ 1)
=
3
(
1
3
s+ 1
)
· 4
(
1
4
s+ 1
)
(s+ 1) · 2
(
1
2
s+ 1
) = 12
(
1
3
s+ 1
)(
1
4
s+ 1
)
2(s+ 1)
(
1
2
s+ 1
)
L(s) =
6
(
1
3
s+ 1
)(
1
4
s+ 1
)
(s+ 1)
(
1
2
s+ 1
)
3 Ca´lculo da tabela do erro estaciona´rio
3.1 Equac¸a˜o geral unificada dos erros estaciona´rios
G(s)
H(s)
r(t)
+
ea(t) y(t)
z(t)
−
eesta = | lim
t→∞(r(t)− z(t))| eestr = | limt→∞(r
′(t)− y(t))|
= | lim
s→0
s (R(s)− Z(s))︸ ︷︷ ︸
Ea(s)
| = | lim
s→0
s (R′(s)− Y (s))︸ ︷︷ ︸
Er(s)
|
=
∣∣∣∣ lims→0 s 11 +H(s) ·G(s)R(s)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ lims→0 s 11 +H(s) ·G(s)R′(s)
∣∣∣∣
eesta =
∣∣∣∣ lims→0 s 11 + L(s)R(s)
∣∣∣∣ eestr = ∣∣∣∣ lims→0 s 11 + L(s)R′(s)
∣∣∣∣
Observa-se que os erros estaciona´rios resultante e atuante dependem do tipo
do sistema de malha aberta e do tipo de entrada. Observe que considerando
a entrada em R(s) obtemos eesta , e considerando a entrada em R
′(s) obtemos
eestr . Portanto, adotando a seguinte notac¸a˜o
3
User
Realce
User
Realce
eestx =
∣∣∣∣ lims→0 s 11 + L(s)Rx(s)
∣∣∣∣ em que====⇒ Rx(s) =
{
R′(s), se x = r
R(s), se x = a
Podemos construir uma u´nica tabela que vale para ambos os ca´lculos de
erros estaciona´rios (resultante e atuante).
3.2 Ca´lculo dos erros estaciona´rios para diferentes tipos
de entrada padra˜o
3.2.1 Entrada degrau unita´rio
eestx =
∣∣∣∣ lims→0 s 11 + L(s)Rx(s)
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣ lims→0 s 11 + L(s) 1s
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣ lims→0 s · 1s1 + L(s)
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣ lims→0 11 + L(s)
∣∣∣∣
=
1∣∣∣ lim
s→0
1 + L(s)
∣∣∣
=
1∣∣∣1 + lim
s→0
L(s)
∣∣∣
como Kp = lim
s→0
L(s) =⇒ = 1|1 +Kp|
degrau
====⇒ eestx =
1
|1 +Kp|
4
3.2.2 Entrada rampa unita´ria
eestx =
∣∣∣∣ lims→0 s 11 + L(s)Rx(s)
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣ lims→0 s 11 + L(s) 1s2
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣ lims→0 s · 1s21 + L(s)
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣ lims→0 1s1 + L(s)
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣ lims→0 1s+ s · L(s)
∣∣∣∣
=
1∣∣∣ lim
s→0
(s+ s · L(s))
∣∣∣
=
1∣∣∣∣ lims→0(��0s+ s · L(s))
∣∣∣∣
=
1∣∣∣ lim
s→0
s · L(s)
∣∣∣
como Kv = lim
s→0
(s · L(s)) =⇒ = 1|Kv|
rampa
===⇒ eestx =
1
|Kv|
5
3.2.3 Entrada para´bola unita´ria
eestx =
∣∣∣∣ lims→0 s 11 + L(s)Rx(s)
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣ lims→0 s 11 + L(s) 1s3
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣ lims→0 s · 1s31 + L(s)
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣ lims→0 1s21 + L(s)
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣ lims→0 1s2 + s2 · L(s)
∣∣∣∣
=
1∣∣∣ lim
s→0
(s2 + s2 · L(s))
∣∣∣
=
1∣∣∣∣∣ lims→0(���
0
s2 + s2 · L(s))
∣∣∣∣∣
=
1∣∣∣ lim
s→0
s2 · L(s)
∣∣∣
como Ka = lim
s→0
(s2 · L(s)) =⇒ = 1|Ka|
para´bola
=====⇒ eestx =
1
|Ka|
6
3.3 Ca´lculo dos erros de posic¸a˜o, velocidade e acelerac¸a˜o
para diferentes tipos de sistema
3.3.1 Sistema tipo -2
L(s) =
K0s
2(τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)
s0(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+ 1)
Kp =
∣∣∣ lim
s→0
L(s)
∣∣∣
=
∣∣∣∣ lims→0 K0s2(τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)s0(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+ 1)
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ lims→0��������
���
���
���:
0
K0s
2(τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)
s0(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+ 1)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Kp = 0
Kv =
∣∣∣ lim
s→0
(s · L(s))
∣∣∣
=
∣∣∣∣ lims→0 sK0s2(τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)s0(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+ 1)
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ lims→0��������
���
���
����:
0
s
K0s
2(τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)
s0(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+ 1)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Kv = 0
Ka =
∣∣∣ lim
s→0
(s2 · L(s))
∣∣∣
=
∣∣∣∣ lims→0 s2K0s2(τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)s0(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+ 1)
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ lims→0��������
���
���
���
�:0
s2
K0s
2(τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)
s0(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+ 1)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Ka = 0
L(s) tipo − 2 =⇒

Kp = 0
Kv = 0
Ka = 0
7
3.3.2 Sistema tipo -1
L(s) =
K0s
1(τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)
s0(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+ 1)
Kp =
∣∣∣ lim
s→0
L(s)
∣∣∣
=
∣∣∣∣ lims→0 K0s1(τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)s0(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+ 1)
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ lims→0��������
���
���
���:
0
K0s
1(τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)
s0(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+ 1)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Kp = 0
Kv =
∣∣∣ lim
s→0
(s · L(s))
∣∣∣
=
∣∣∣∣ lims→0 sK0s1(τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)s0(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+ 1)
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ lims→0��������
���
���
����:
0
s
K0s
1(τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)
s0(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+ 1)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Kv = 0
Ka =
∣∣∣ lim
s→0
(s2 · L(s))
∣∣∣
=
∣∣∣∣ lims→0 s2K0s1(τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)s0(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+ 1)
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ lims→0��������
���
���
���
�:0
s2
K0s
1(τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)
s0(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+ 1)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Ka = 0
L(s) tipo − 1 =⇒

Kp = 0
Kv = 0
Ka = 0
8
3.3.3 Sistema tipo 0
L(s) =
K0s
0(τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)
s0(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+ 1)
Kp =
∣∣∣ lim
s→0
L(s)
∣∣∣
=
∣∣∣∣ lims→0 K0s0(τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)s0(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+ 1)
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣ lims→0 K0s
0(��*
0
τ0s+ 1)(��*
0
τ1s+ 1) · · · (���: 0τnzs+ 1)
s0(���*
0
Γ0s+ 1)(���*
0
Γ1s+ 1) · · · (���*
0
Γnps+ 1)
∣∣∣∣∣∣
=
K0���
1
s0 · 1 · 1 · · · 1
���
1
s0 · 1 · 1 · · · 1
Kp 6= 0
Kv =
∣∣∣ lim
s→0
(s · L(s))
∣∣∣
=
∣∣∣∣ lims→0 sK0s0(τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)s0(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+ 1)
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ lims→0��������
���
���
����:
0
s
K0s
0(τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)
s0(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+ 1)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Kv = 0
Ka =
∣∣∣ lim
s→0
(s2 · L(s))
∣∣∣
=
∣∣∣∣ lims→0 s2K0s0(τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)s0(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+ 1)
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ lims→0��������
���
���
���
�:0
s2
K0s
0(τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)
s0(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+ 1)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Ka = 0
L(s) tipo 0 =⇒

Kp =
∣∣∣ lim
s→0
L(s)
∣∣∣ 6= 0
Kv = 0
Ka = 0
9
3.3.4 Sistema tipo 1
L(s) =
K0s
0(τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)
s1(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+1)
Kp =
∣∣∣ lim
s→0
L(s)
∣∣∣
=
∣∣∣∣ lims→0 K0s0(τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)s1(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+ 1)
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣ lims→0 K0s0s · lims→0 (τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+ 1)
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣ lims→0 K0s · 1
∣∣∣∣
Kp =∞
Kv =
∣∣∣ lim
s→0
(s · L(s))
∣∣∣
=
∣∣∣∣ lims→0 �sK0s0(τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)�s(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+ 1)
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣ lims→0 K0(��*
0
τ0s+ 1)(��*
0
τ1s+ 1) · · · (���: 0τnzs+ 1)
(���*
0
Γ0s+ 1)(���*
0
Γ1s+ 1) · · · (���*
0
Γnps+ 1)
∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣ lims→0 K01
∣∣∣∣
Kv 6= 0
Ka =
∣∣∣ lim
s→0
(s2 · L(s))
∣∣∣
=
∣∣∣∣∣ lims→0 s�2K0s0(τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)��s1(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+ 1)
∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ lims→0��������
���
���
����:
0
s
K0s
0(τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)
(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+ 1)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Ka = 0
L(s) tipo 1 =⇒

Kp =∞
Kv =
∣∣∣ lim
s→0
s · L(s)
∣∣∣ 6= 0
Ka = 0
10
3.3.5 Sistema tipo 2
L(s) =
K0s
0(τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)
s2(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+ 1)
Kp =
∣∣∣ lim
s→0
L(s)
∣∣∣
=
∣∣∣∣ lims→0 K0s0(τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)s2(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+ 1)
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣ lims→0 K0s0s2 · lims→0 (τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+ 1)
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣ lims→0 K0s0s2 · 1
∣∣∣∣
Kp =∞
Kv =
∣∣∣ lim
s→0
(s · L(s))
∣∣∣
=
∣∣∣∣∣ lims→0 �sK0s0(τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)s�2(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+ 1)
∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣ lims→0 K0s0(τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)s(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+ 1)
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣ lims→0 K0s0s · lims→0 (τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+ 1)
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣ lims→0 K0s0s · 1
∣∣∣∣
Kv =∞
Ka =
∣∣∣ lim
s→0
(s2 · L(s))
∣∣∣
=
∣∣∣∣∣ lims→0��s2K0s0(τ0s+ 1)(τ1s+ 1) · · · (τnzs+ 1)��s2(Γ0s+ 1)(Γ1s+ 1) · · · (Γnps+ 1)
∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣ lims→0 K0s01
∣∣∣∣
Ka 6= 0
L(s) tipo 2 =⇒

Kp =∞
Kv =∞
Ka =
∣∣∣ lim
s→0
s2 · L(s)
∣∣∣ 6= 0
11
3.4 Construc¸a˜o da Tabela do erro estaciona´rio
Para as entradas, obtemos que
degrau unita´rio eestx =
1
|1 +Kp|
rampa unita´ria eestx =
1
|Kv|
para´bola unita´ria eestx =
1
|Ka|
Constante de Erro tipo −2 tipo −1 tipo 0 tipo 1 tipo 2
Kp 0 0 Kp ∞ ∞
Kv 0 0 0 Kv ∞
Ka 0 0 0 0 Ka
Juntando em uma u´nica tabela que relaciona o erro estaciona´rio com o tipo
extendido da minima realizac¸a˜o do sistema e o tipo de entrada temos:
Tabela 1: Tabela do Erro estaciona´rio
Entrada L(s) tipo −2 tipo −1 tipo 0 tipo 1 tipo 2
degrau unita´rio 1 1
1
1 +Kp
0 0
rampa unita´ria ∞ ∞ ∞ 1
Kv
0
para´bola unita´ria ∞ ∞ ∞ ∞ 1
Ka
E´ vantajoso usar a tabela, pois podemos determinar diretamente o erro
estaciona´rio de malha fechada somente analisando a malha aberta L(s).
A unidade utilizada depende da entrada utilizada, pois deve-se manter a
unidade coerente entre entrada e o erro estaciona´rio desejado.
eestx =
∣∣∣∣ lims→0 s 11 + L(s)Rx(s)
∣∣∣∣ em que====⇒ Rx(s) =
{
R′(s), se x = r
R(s), se x = a
Lembrando que uma vez utilizado a tabela para se calcular um dos erros
estaciona´rios (atuante ou resultante), pode-se calcular o outro erro estaciona´rio
utilizando a relac¸a˜o de conversa˜o de unidades
eestr =
eesta
K1
12
3.5 Exemplo de uso da tabela
Obter o valor de K para que o erro estaciona´rio resultante ao degrau seja 0.1 m
para uma entrada degrau unita´rio em r(t) em mA, sabendo-se que a sa´ıda y(t)
e´ em metros.
K
s+ 2
2
s+ 4
(mA)
r(t)
+
y(t)
−

eestr = 0.1 m
R(s) = 1s
H(s) = 2s+4
G(s) = Ks+2
L(s) = 2K(s+2)(s+4)
K1 = 0.5
13

eestr = 0.1 m
R(s) = 1s
H(s) = 2s+4
G(s) = Ks+2
L(s) = 2K(s+2)(s+4)
K1 = 0.5
Primeiramente observa-se que a entrada degrau e´ em r(t), ao usar a tabela,
obteremos o erro estaciona´rio atuante. Para trabalhar com as mesmas unidades,
calculamos o erro estaciona´rio atuante convertendo o valor do erro estaciona´rio
resultante dado no enunciado.
K1 =
1
2
K
s+ 2
2
s+ 4
(mA)
r′(t)
[m]
r(t)
[mA]
+
y(t)
−
eesta = K1 · eestr
eesta = 0.5 · 0.1
eesta = 0.05 mA
Poder´ıamos usar apenas o erro estaciona´rio resultante, mas seria preciso
converter a entrada para obter r′(t), e posteriormente multiplicar o valor dado
pela tabela pelo valor da entrada. Concluindo
r(t) = 1 mA =⇒ eesta = 0.05 mA
r′(t) = 2 m =⇒ eestr = 0.1 m
14
Olhando para o sistema de malha aberta
L(s) =
2K
(s+ 2)(s+ 4)
observa-se que o sistema L(s) e´ do tipo 0. Consultando a tabela de erro esta-
ciona´rio para um sistema L(s) tipo 0 e uma entrada degrau unita´rio temos,
Entrada L(s) tipo 0 tipo 1 tipo 2
degrau unita´rio
1
1 +Kp
0 0
rampa unita´ria ∞ 1
Kv
0
para´bola unita´ria ∞ ∞ 1
Ka
onde vemos que
eest =
1
1 +Kp
K
s+ 2
2
s+ 4
(mA)
r(t)
+
y(t)
−
Kp = lim
s→0
L(s)
= lim
s→0
2K
(s+ 2)(s+ 4)
=
2K
(0 + 2)(0 + 4)
=
2K
8
Kp =
K
4
15
Treˆs formas de se calcular:
• Utilizando o erro estaciona´rio atuante e sua respectiva entrada
r(t) = 1 mA =⇒ eesta = 0.05 mA
eesta =
1
1 +Kp
eesta =
1
1 +
K
4
0.05 =
1
1 +
K
4
0.05 =
4
4 +K
4 +K =
4
0.05
4 +K = 80
K = 76
• Utilizando o erro estaciona´rio resultante e sua respectiva entrada
r′(t) = 2 m =⇒ eestr = 0.1 m
eestr = γ
′ 1
1 +Kp
eestr = 2
1
1 +
K
4
0.1 =
2
1 +
K
4
0.1 =
8
4 +K
4 +K =
8
0.1
4 +K = 80
K = 76
16
• Utilizando o erro estaciona´rio resultante correspondente a sua respectiva
entrada unita´ria
Para facilitar, deve-se portanto calcular quanto seria o erro correspondente
para entradas unita´rias, para usar diretamente a tabela. Basta lembrar da
unidade utilizada no final.
r′(t) = 2 m =⇒ eestr = 0.1 m
r′(t) = 1 m =⇒ eestr = 0.05 m
eesta =
1
1 +Kp
eesta =
1
1 +
K
4
0.05 =
1
1 +
K
4
0.05 =
4
4 +K
4 +K =
4
0.05
4 +K = 80
K = 76
17
4 Rastreamento Controle Cla´ssico
Uma forma de analisar a varia´vel sendo controlada e´ avaliar o seu erro esta-
ciona´rio atrave´s da definic¸a˜o do tipo do sistema e corrigir seu erro estaciona´rio
escolhendo um func¸a˜o auxiliar W (s) que multiplicada pelo ganho de malha
aberta L(s) varie o tipo do sistema de malha aberta L(s) = WKPH para o
tipo que satisfac¸a o desempenho desejado.
4.1 Formas poss´ıveis de correc¸a˜o do erro estaciona´rio no
controle cla´ssico
W (s) K(s) P (s)
H(s)
r(t)
+
y(t)
−
Esta configurac¸a˜o apresenta a vantagem de anular o erro estaciona´rio dentro
da malha de controle.
W (s) K(s) P (s)
H(s)
r(t)
+
y(t)
−
Esta configurac¸a˜o corrige apenas os ganhos dinaˆmicos da func¸a˜o de trans-
fereˆncia da malha fechada.
4.2 Correc¸a˜o do erro estaciona´rio
Seja o sistema de controle em malha fechada:
W (s) K(s) P (s)
H(s)
r(t)
+
y(t)
−
18
User
Realce
User
Realce
User
Realce
User
Realce
User
Realce
Supondo que uma planta possa ser modelada pela seguinte equac¸a˜o diferen-
cial:
y¨ + y˙ + y = u
Podemos enta˜o obter uma func¸a˜o de transfereˆncia para essa equac¸a˜o dife-
rencial e cuja sa´ıda seja a acelerac¸a˜o da planta.
P (s) =
1
s2 + s+ 1
· s2
P (s) =
s2
s2 + s+ 1
Fechando a malha com um controlador Proporcional Kp e realimentac¸a˜o
unita´ria, temos o seguinte diagrama de blocos:
W (s) Kp
s2
s2 + s+ 1
r(t)
+
y¨(t)
−
Sabendo-se que a acelerac¸a˜o esta´ sendo realimentada no sistema, podemos
obter o ganho do sistema de malha aberta L(s):
L(s) =
(Kp)s
2
s2 + s+ 1
O tipo deste sistema desconsiderando a func¸a˜o W (s) pode ser calculado:
tipo = m− n
tipo = 0− 2 = −2
Desta forma, comoqueremos por exemplo erro nulo ao degrau da acelerac¸a˜o,
precisamos mudar o tipo do ganho de malha aberta L(s) de −2 para pelo menos
um sistema L(s) de tipo 1.
Entrada L(s) tipo −2 tipo −1 tipo 0 tipo 1 tipo 2
degrau unita´rio 1 1
1
1 +Kp
0 0
rampa unita´ria ∞ ∞ ∞ 1
Kv
0
para´bola unita´ria ∞ ∞ ∞ ∞ 1
Ka
19
User
Realce
User
Realce
User
Realce
User
Realce
User
Realce
User
Realce
Para isso, no caso de controle cla´ssico, basta acrescentarmos uma func¸a˜o de
transfereˆncia W (s) que multiplicada pelo ganho de malha aberta L(s) resultara´
no tipo desejado.
W KPH
ea(t)
onde o novo sistema de malha aberta L(s) sera´ dado por:
1
si
KPH
ea(t)
Assumindo portanto a func¸a˜o W (s) da forma de um integrador de ordem i
como sendo calculado pela diferenc¸a entre o tipo do sistema desejado (1) menos
o tipo atual (−2),
i = 1− (−2)
i = 3
obtemos W (s) como sendo:
W (s) =
1
s3
Desta forma garantimos que o sistema de malha fechada tenha erro esta-
ciona´rio ao degrau nulo, significando que o ganho dinaˆmico do sistema de malha
fechada de ordem zero obtido e´ 1. Considerando Kp = 10, a func¸a˜o de malha
fechada fica:
T =
10
1s3 + 1s2 + 1s+ 10
20
User
Realce
User
Realce
User
Realce
User
Realce
User
Realce
User
Realce
Abrindo a planta para ser representada utilizando apenas ganhos e integra-
dores, temos um novo diagrama de blocos com a func¸a˜o W (s) ja´ imbutida no
controlador K(s):
Kp
s3
1
s
1
s
r(t)
+
e(t) u(t)
+
y˙(t)
−
y(t)
− y¨(t)
−
y¨(t)
Podemos ver agora que a sa´ıda acelerac¸a˜o, resulta no seguinte gra´fico:
t
y¨(t)
Conclui-se que realimentando a acelerac¸a˜o, tivemos que acrescentar uma
func¸a˜o W (s) para corrigir o erro estaciona´rio a entrada degrau para garantir o
desempenho desejado.
21