Lista 1 do 1semestre2017

Prévia do material em texto

Resolver os exercícios 1 a 12, transformando o exercício proposto em uma integal da tabela: 
 
001) ∫ 𝑥. (1 + 2𝑥4)𝑑𝑥 resp. 
𝑥2
2
+
𝑥6
3
+ 𝐶 
002) ∫(1 − 3𝑥2)2𝑑𝑥 resp. 𝑥 − 2𝑥3 +
9
5
𝑥5 + 𝐶 
003) ∫
𝑥+5𝑥7
𝑥3
 𝑑𝑥 resp. 𝑥5 −
1
𝑥
+ 𝐶 
004) ∫ 𝑥3. √𝑥. 𝑑𝑥 resp. 
2
9
𝑥
9
2⁄ + 𝐶 
005) ∫(1 − 𝑥2). √𝑥. 𝑑𝑥 resp. 
2
3
𝑥
3
2⁄ −
2
7
𝑥
7
2⁄ + 𝐶 
006) ∫ (√𝑥 + 
1
√𝑥
) 𝑑𝑥 resp. 
2
3
𝑥
3
2⁄ + 2√𝑥 + 𝐶 
007) ∫
2
√4𝑥2−36
𝑑𝑥 resp. ln|𝑥 + √𝑥2 − 9| + 𝐶 
008) ∫ √
4
𝑥4−4𝑥2
 𝑑𝑥 ; x > 0 resp. 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐 (
𝑥
2
) + 𝐶 
009) ∫
𝑥2
𝑥2−9
 𝑑𝑥 resp. 𝑥 +
3
2
ln |
𝑥−3
𝑥+3
| + 𝐶 
010) ∫
𝑥2−1
𝑥2+4
 𝑑𝑥 resp. 𝑥 −
5
2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑥
2
) + 𝐶 
011) ∫ √12 − 4𝑥2 𝑑𝑥 resp. 𝑥. √3 − 𝑥2 + 3. 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
√3
) + 𝐶 
012) ∫ 3𝑥+2 𝑑𝑥 resp. 9.
3𝑥
𝑙𝑛3
+ 𝐶 
 
 
Resolver os exercícios 13 a 37 pelo método da substituição de variáveis/ mudança de variáveis: 
 
013) ∫(𝑥3 + 4)2. 3𝑥2. 𝑑𝑥 resp. 
1
3
(𝑥3 + 4)3 + 𝐶 
014) ∫
𝑒𝑥𝑑𝑥
(𝑒𝑥+5)2
 resp. 
− 1
𝑒𝑥+5
+ 𝐶 
015) ∫ √1 − 3𝑥2 . 𝑥. 𝑑𝑥 resp. 
−1
 9
√(1 − 3𝑥2)3 + 𝐶 
016) ∫
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔4𝑥
1+𝑥2
 𝑑𝑥 resp. 
1
5
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔5𝑥 + 𝐶 
017) ∫ 𝑠𝑒𝑛5𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑑𝑥 resp. 
1
6
𝑠𝑒𝑛6𝑥 + 𝐶 
018) ∫ 𝑡𝑔3𝑥. 𝑠𝑒𝑐2𝑥. 𝑑𝑥 resp. 
1
4
𝑡𝑔4𝑥 + 𝐶 
019) ∫
ln (3𝑥)
𝑥
 𝑑𝑥 resp. 
1
2
𝑙𝑛2(3𝑥) + 𝐶 
020) ∫(2𝑥 + 3)5. 2𝑥. 𝑑𝑥 resp. 
1
6.𝑙𝑛2
(2𝑥 + 3)6 + 𝐶 
1ª LISTA DE EXERCÍCIOS − 1º SEMESTRE 2017 
 
MA 2121  NA 2121 
MA 2121 INTEGRAL INDEFINIDA NA 2121 
 
 
021) ∫
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥
𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥
 𝑑𝑥 resp. −ln|𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥| + 𝐶 
022) ∫
√𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥
5
√1−𝑥2
 𝑑𝑥 resp. 
5
6
(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥)
6
5⁄ + 𝐶 
023) ∫
𝑠𝑒𝑐𝑥.𝑡𝑔𝑥
√𝑠𝑒𝑐𝑥
 𝑑𝑥 resp. 2√𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝐶 
024) ∫(𝑐𝑜𝑠𝑥 + 5)2. 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑑𝑥 resp. 
−1
 3
(𝑐𝑜𝑠𝑥 + 5)3 + 𝐶 
025) ∫
√𝑥 + 𝑙𝑛𝑥
𝑥
 𝑑𝑥 resp. 2√𝑥 +
1
2
𝑙𝑛2𝑥 + 𝐶 
026) ∫
cos (3𝑥)
𝑠𝑒𝑛5(3𝑥)
 𝑑𝑥 resp. 
−1
12.𝑠𝑒𝑛4(3𝑥)
+ 𝐶 
027) ∫ 𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 4)𝑑𝑥 resp. 
−1
 3
cos(3𝑥 + 4) + 𝐶 
028) ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2(√3. 𝑥)𝑑𝑥 ressp. 
−√3
3
𝑐𝑜𝑡𝑔(√3. 𝑥) + 𝐶 
029) ∫ sec(2𝑥) . 𝑡𝑔(2𝑥). 𝑑𝑥 resp. 
1
2
sec(2𝑥) + 𝐶 
030) ∫
𝑒𝑥+𝑒−𝑥
2
 𝑑𝑥 resp. 
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
2
+ 𝐶 
031) ∫
5𝑥
1+52𝑥
 𝑑𝑥 resp. 
1
𝑙𝑛5
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(5𝑥) + 𝐶 
032) ∫
𝑑𝑥
√1−9𝑥2
 resp. 
1
3
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(3𝑥) + 𝐶 
033) ∫
3
2𝑥2+1
 𝑑𝑥 resp. 
3√2
2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(√2. 𝑥) + 𝐶 
 
 
 
Resolver os exercícios 34 a 37 utilizando o método da substituição racionalizante u = √𝑓(𝑥) : 
 
034) ∫ 𝑥√𝑥 + 1 𝑑𝑥 resp. 2[
(√x+1)
5
5
− 
(√x+1)
3
3
] + C 
035) ∫ 𝑥2√1 + 𝑥 𝑑𝑥 resp. 2[
(√1+x)
3
3
− 2
(√1+x)
5
5
+ 
(√1+x)
7
7
 ] + C 
036) ∫
𝑥3
√𝑥2+7 
 𝑑𝑥 resp. −7√𝑥2 + 7 + 
(√𝑥2+7)
3
3
+ C 
037) ∫ 𝑥3√4 − 𝑥2 𝑑𝑥 resp. 
−4
 3
(√4 − 𝑥2)
3
+
1
5
(√4 − 𝑥2)
5
+ 𝐶 
 
 
 
 
MA 2121 INTEGRAL INDEFINIDA NA 2121 
 
 
Resolver os exercícios 038 a 051 utilizando o método da integração por partes: 
 
 
038) ∫ 𝑥. 𝑒2𝑥𝑑𝑥 resp. 
1
4
𝑒2𝑥(2𝑥 − 1) + 𝐶 
039) ∫ 𝑥. cos (5𝑥)𝑑𝑥 resp. 
𝑥
5
𝑠𝑒𝑛(5𝑥) +
1
25
𝑐𝑜𝑠(5𝑥) + 𝐶 
040) ∫ 𝑦. 𝑠𝑒𝑐2(3𝑦). 𝑑𝑦 resp. 
𝑦
3
𝑡𝑔(3𝑦) +
1
9
𝑙𝑛|cos (3𝑦)| + 𝐶 
041) ∫ 𝑡. 𝑒−𝑡𝑑𝑡 resp. −(𝑡 + 1)𝑒−𝑡 + 𝐶 
042) ∫ √𝑥. 𝑙𝑛 𝑥. 𝑑𝑥 resp. 
2
9
𝑥
3
2⁄ (3𝑙𝑛𝑥 − 2) + 𝐶 
043) ∫ 𝑥2. 𝑠𝑒𝑛(4𝑥). 𝑑𝑥 resp. 
1
32
[−8𝑥2 cos(4𝑥) + 4𝑥𝑠𝑒𝑛(4𝑥) + cos (4𝑥)] + 𝐶 
044) ∫ 𝑙𝑛( √𝑥3 ) 𝑑𝑥 resp. 𝑥. 𝑙𝑛(√𝑥
3 ) −
𝑥
3
+ 𝐶 
045) ∫ 𝑒4𝑥. 𝑠𝑒𝑛(5𝑥)𝑑𝑥 resp. 
1
41
𝑒4𝑥[4𝑠𝑒𝑛(5𝑥) − 5cos (5𝑥)] + 𝐶 
046) ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑥 resp. 
𝑥
2
[𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥) − cos (𝑙𝑛𝑥)] + 𝐶 
047) ∫ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( 
1
𝑥
 ) 𝑑𝑥 resp. 𝑥. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( 
1
𝑥
 ) +
1
2
𝑙𝑛|𝑥2 + 1| + 𝐶 
048) ∫ 𝑙𝑛(𝑥2 + 9) 𝑑𝑥 resp. 𝑥. 𝑙𝑛(𝑥2 + 9) − 2𝑥 + 6. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑥
3
) + 𝐶 
049) ∫ 𝑐𝑜𝑠(√𝑥)𝑑𝑥 resp. 2𝑐𝑜𝑠(√𝑥) + 2√𝑥𝑠𝑒𝑛(√𝑥) + 𝐶 
[ 𝑠𝑢𝑔𝑒𝑠𝑡ã𝑜: 𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑟 √𝑥 = 𝑡 𝑒 𝑑𝑥 = 2. 𝑡. 𝑑𝑡 ] 
 
050) ∫ 𝑥3. 𝑒−𝑥
2
𝑑𝑥 resp. −
1
2
(𝑥2 + 1)𝑒−𝑥
2
+ 𝐶 
[ 𝑠𝑢𝑔𝑒𝑠𝑡ã𝑜: 𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑟 𝑥2 = 𝑡 𝑒 𝑑𝑥 =
1
2√𝑡
𝑑𝑡 ] 
 
051) ∫ 𝑥3. 𝑠𝑒𝑛(𝑥2)𝑑𝑥 resp. 
1
2
[−𝑥2𝑐𝑜𝑠(𝑥2) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥2)] + 𝐶 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para estudar integração por partes, consultar os seguintes livros: 
 Cálculo - James Stewart - volume 1 - 7ª edição - pág. 420 a 424 
 Um Curso de Cálculo - Hamilton Luiz Guidorizzi - volume 1 - 5ª edição - pág. 354 a 360 
 Cálculo A - Diva Marília Fleming e Mirian Buss Gonçalves - 6ª edição - pág. 252 a 256 
MA 2121 INTEGRAL INDEFINIDA NA 2121 
 
 
Resolver os exercícios 052 a 062 utilizando a propriedade abaixo [ propriedade 15 – prof. Novazzi – pág. 169 ]: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
052) ∫
3𝑥2
𝑥3+2
𝑑𝑥 resp. 𝑙𝑛|𝑥3 + 2| + 𝐶 
 
 
053) ∫
𝑒𝑥
𝑒𝑥+7
𝑑𝑥 resp. 𝑙𝑛|𝑒𝑥 + 7| + 𝐶 
 
 
054) ∫
2𝑥+7
𝑥2+7𝑥−1
𝑑𝑥 resp. 𝑙𝑛|𝑥2 + 7𝑥 − 1| + 𝐶 
 
 
055) ∫
𝑥
𝑥2−5
𝑑𝑥 resp. 
1
2
. 𝑙𝑛|𝑥2 − 5| + 𝐶 
 
 
056) ∫
1
5𝑥+2
𝑑𝑥 resp. 
1
5
. 𝑙𝑛|5𝑥 + 2| + 𝐶 
 
 
057) ∫
1
𝑎𝑥+𝑏
𝑑𝑥 ; a ≠ 0 resp. 
1
𝑎
. 𝑙𝑛|𝑎𝑥 + 𝑏| + 𝐶 
 
 
058) ∫
2𝑥+1
√𝑥2+𝑥+4
𝑑𝑥 resp. 2. √𝑥2 + 𝑥 + 4 + 𝐶 
 
 
059) ∫
9𝑥2+2
√3𝑥3+2𝑥
𝑑𝑥 resp. 2. √3𝑥3 + 2𝑥 + 𝐶 
 
 
060) ∫
𝑠𝑒𝑛𝑥
√7−𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑑𝑥 resp. 2. √7 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶 
 
 
061) ∫
𝑥
√𝑥2−5
𝑑𝑥 resp. √𝑥2 − 5 + 𝐶 
 
 
062) ∫
1
√3𝑥−2
𝑑𝑥 resp. 
2
3
. √3𝑥 − 2 + 𝐶 
 
 
 
 
 
 
 
Para uma função g, derivável em um intervalo I, valem: 
1. ∫
𝑔′(𝑥)
𝑔(𝑥)
𝑑𝑥 = 𝑙𝑛| 𝑔(𝑥)| + 𝐶 ; se g(x) ≠ 0 
2. ∫
𝑔′(𝑥)
√𝑔(𝑥)
𝑑𝑥 = 2. √𝑔(𝑥) + 𝐶 ; se g(x) > 0 
MA 2121 INTEGRAL INDEFINIDA NA 2121 
 
 
Resolver os exercícios 063 a 070 utilizando o processo de completar quadrados/ fatoração canônica para 
transformar o trinômio do 2º grau 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, a ≠ 0, em um binômio da forma 𝑢2 ± 𝑎2 ou 𝑎2 − 𝑢2. 
 
 
063) ∫
𝑑𝑥
𝑥2+10𝑥+35
 resp. 
√10
10
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑥+5
√10
) + 𝐶 
 
064) ∫
𝑑𝑥
𝑥2+6𝑥+7
 resp. 
√2
4
𝑙𝑛 |
𝑥+3−√2
𝑥+3+√2
| + C 
 
065) ∫ √9𝑥2 + 12𝑥 + 3 𝑑𝑥 resp. 1
6
[(3𝑥 + 2)√(3𝑥 + 2)2 − 1 − 𝑙𝑛|(3𝑥 + 2) + √(3𝑥 + 2)2 − 1 |] 
 
066) ∫ √3 − 2𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥 resp. 
(𝑥+1)
2
√4 − (𝑥 + 1)2 + 2. 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
𝑥+1
2
) + 𝐶 
 
067) ∫
𝑥
𝑥2+2𝑥+5
𝑑𝑥 resp. 
1
2
[𝑙𝑛|𝑥2 + 2𝑥 + 5| − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑥+1
2
)] + 𝐶 
 
068) ∫
𝑥
√𝑥2+6𝑥+5
𝑑𝑥 resp. √𝑥2 + 6𝑥 + 5 − 3. 𝑙𝑛|(𝑥 + 3) + √𝑥2 + 6𝑥 + 5| + 𝐶 
 
069) ∫
𝑥+1
√20+8𝑥−𝑥2
𝑑𝑥 resp. − √20 + 8𝑥 − 𝑥2 + 5. 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
𝑥−4
6
) + 𝐶 
 
070) ∫
5𝑥−3
𝑥2−4𝑥+7
𝑑𝑥 resp. 
5
2
𝑙𝑛|𝑥2 − 4𝑥 + 7| + 
7
√3
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑥−2
√3
) + 𝐶 
 
 
Resolver os exercícios 071 a 076, efetuando a divisão de polinômios e escrevendo a função integranda f(x) na 
forma 
𝐴
𝐵
= 𝑄 +
𝑅
𝐵
. 
 
 
071) ∫
12𝑥4+20𝑥3+3
3𝑥+5𝑑𝑥 resp. 𝑥4 + 𝑙𝑛|3𝑥 + 5| + 𝐶 
 
 
072) ∫
𝑥2−1
𝑥2+4
 𝑑𝑥 resp. 𝑥 −
5
2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑥
2
) + 𝐶 
 
 
073) ∫
𝑥3+3𝑥−2
𝑥2−𝑥
𝑑𝑥 resp. 
𝑥2
2
+ 𝑥 + 2. 𝑙𝑛|𝑥2 − 𝑥| + 𝐶 
 
 
074) ∫
𝑥4+8𝑥2+2𝑥−8
𝑥2+9
𝑑𝑥 resp. 
𝑥3
3
− 𝑥 + 𝑙𝑛|𝑥2 + 9| +
1
3
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑥
3
) + 𝐶 
 
 
075) ∫
𝑥3−6𝑥2+5𝑥−3
𝑥2−1
𝑑𝑥 resp. 
𝑥2
2
− 6𝑥 + 3. 𝑙𝑛|𝑥2 − 1| −
9
2
𝑙𝑛 |
𝑥−1
𝑥+1
| + 𝐶 
 
 
076) ∫
4𝑥3+19𝑥2+13𝑥+5
𝑥2+4𝑥
𝑑𝑥 resp. 2𝑥2 + 3𝑥 +
1
2
𝑙𝑛|𝑥2 + 4𝑥| +
3
4
𝑙𝑛 |
𝑥
𝑥+4
| + 𝐶 
 
 
 
MA 2121 INTEGRAL INDEFINIDA NA 2121 
 
 
Resolver os exercícios 077 a 087 pelo método da Decomposição em Frações Parciais. 
 
 
077) ∫
𝑥−9
(𝑥+5)(𝑥−2)
𝑑𝑥 resp.: 2. ln|𝑥 + 5| − ln|𝑥 − 2| + 𝐾 
078) ∫
4𝑦2−7𝑦−12
𝑦(𝑦+2)(𝑦−3)
𝑑𝑦 resp.: 2. ln|𝑦| +
9
5
. ln|𝑦 + 2| +
1
5
. ln|𝑦 − 3| + 𝐾 
079) ∫
2𝑥−6
𝑥3−2𝑥2−3𝑥
𝑑𝑥 resp.: 2. ln |
𝑥
𝑥+1
| + 
080) ∫
𝑥2+1
(𝑥−3)(𝑥−2)2
𝑑𝑥 resp.: 10. ln|𝑥 − 3| − 9. ln|𝑥 − 2| +
5
𝑥−2
+ 𝐾 
081) ∫
𝑥2+𝑥+1
𝑥2(𝑥+1)2
𝑑𝑥 resp.: ln|𝑥 + 1| − ln|𝑥| −
1
𝑥
−
1
𝑥+1
+ 𝐾 
082) ∫
4𝑥2−3
𝑥(𝑥−1)3
𝑑𝑥 resp.: 3. ln |
𝑥
𝑥−1
| −
1
2(𝑥−1)2
−
7
𝑥−1
+ 𝐾 
083) ∫
10
(𝑥−1)(𝑥2+9)
𝑑𝑥 resp.: ln|𝑥 − 1| −
1
2
. ln|𝑥2 + 9| −
1
3
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑥
3
) + 𝐾 
084) ∫
𝑥3+𝑥2+2𝑥+1
(𝑥2+1)(𝑥2+2)
𝑑𝑥 resp.: 
1
2
. ln|𝑥2 + 1| +
1
√2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑥
√2
) + 𝐾 
085) ∫
5𝑥3−4𝑥
𝑥4−16
𝑑𝑥 resp.: 
3
2
. ln|𝑥2 + 4| + ln|𝑥 + 2| + ln|𝑥 − 2| + 𝐾 
086) ∫
−8𝑥
(𝑥2+3)(𝑥2−2𝑥+1)
𝑑𝑥 resp.: 
1
2
. ln|𝑥2 + 3| + √3𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑥
√3
) +
2
𝑥−1
− ln|𝑥 − 1| + 𝐾 
087) ∫
2𝑥3+8𝑥−3
𝑥3+3𝑥
𝑑𝑥 resp.: 2𝑥 − ln|𝑥| +
1
2
. ln|𝑥2 + 3| +
2
√3
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑥
√3
) + 𝐾 
 
 
 
 
MA 2121 INTEGRAL INDEFINIDA NA 2121 
 
Resolver os exercícios 088 a 096 utilizando o método da Substituição Trigonométrica: 
 
088) ∫
𝑑𝑥
𝑥2√4−𝑥2
 resp.: 
−√4−𝑥2
4𝑥
+ 𝐶 
089) ∫
𝑥3
√16−𝑥2
𝑑𝑥 resp.: 
(√16−𝑥2)
3
3
− 16√16 − 𝑥2 + 𝐶 
090) ∫
𝑑𝑥
𝑥.√25−𝑥2
 resp.: 
1
5
ln |5−√25−𝑥
2
𝑥
| + 𝐶 
091) ∫
𝑑𝑥
𝑥.√𝑥2+4
 resp.: 
1
2
ln |√𝑥
2+4 − 2
𝑥
| + 𝐶 
092) ∫
𝑑𝑥
(9+𝑥2)
3
2⁄
 resp.: 
𝑥
9.√9+𝑥2
+ 𝐶 
093) ∫
𝑑𝑥
𝑥4√3+𝑥2
 resp.: 
1
9
[
√3+𝑥2
𝑥
 − 
1
3
. (
√3+𝑥2
𝑥
)
3
] + 𝐶 
094) ∫
𝑑𝑥
𝑥2√𝑥2−7
 resp.: 
√𝑥2−7
 7𝑥
+ 𝐶 
095) ∫
𝑑𝑥
(𝑥2−9)
3
2⁄
 resp.: 
−𝑥
9.√𝑥2−9
+ 𝐶 
096) ∫
𝑙𝑛3𝑥
𝑥.√𝑙𝑛2𝑥−1
𝑑𝑥 resp.: 
√𝑙𝑛2𝑥−1
3
. (2 + 𝑙𝑛2𝑥) + 𝐶